CN105953745A - 位相灵敏度极大化条纹投射测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法。本方法所采用的投射条纹，是以测量***中投影机投射平面极点为圆心的圆弧形状正弦条纹。本方法测量步骤包括，①对***进行标定，以确定投射平面上极点像素坐标和条纹位相差与物面深度之间映射关系参数；②在计算机里生成圆弧形状正弦条纹；③利用投影机将圆弧形状正弦条纹投射于参考平面，用摄像机拍摄变形的圆弧形状正弦条纹，用计算机分析条纹图像计算参考位相；④利用投影机将圆弧形状正弦条纹投射于物体表面，并用摄像机拍摄变形的圆弧形状正弦条纹，用计算机分析条纹图像以计算物面位相；⑤计算位相差；⑥将转换为物面深度数据。本方法可在全测量空间内实现位相灵敏度的极大化，有利于提高条纹投射技术的测量精度和分辨率。

Description

位相灵敏度极大化条纹投射测量方法

【技术领域】

本发明涉及基于条纹投射轮廓术的光学三维测量技术领域，尤其涉及一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法。

【背景技术】

数字条纹投射技术是光学三维测量的主要技术方法之一。该方法以其高精度、高效率、非接触、全场、操作简单、对环境条件要求低等优点，已在工业及其他领域得到广泛应用。数字条纹投射技术，是一种基于三角测量原理的测量方法，是利用数字投影机将计算机生成的周期性正弦条纹图案投射到被测物体表面，利用摄像机从不同角度采集被测物体上的变形条纹图像，再利用计算机对变形条纹图像进行处理，提取出包含物体深度信息的条纹位相分布信息，并将位相数据转换成空间三维数据，从而实现物体三维形貌的测量与重建。位相灵敏度即条纹位相随物体深度的变化率，是影响测量分辨率和精度的直接因素。位相灵敏度决定于测量***的几何设置参数，如投影机和摄像机的镜头中心位置和光轴方向，同时也决定于条纹的方向和节距。在测量***固定、最小条纹节距受限于投影机和摄像机的横向分辨率的条件下，条纹方向是影响位相灵敏度的决定性因素。为提高位相灵敏度，Wang和Zhang[Y.Wang and S.Zhang,“Optimal fringe angle selection for digitalfringe projection technoque,”Appl.Opt.52(29),7094-7098(2013)]及Li和Zhang[B.Liand S.Zhang,“Structured light system calibration method with optimal fringeangle,”Appl.Opt.53(33),7942-7950(2014)]提出了一种直线条纹的角度优化方法，即利用水平和垂直位相差通过反正切运算得到最优条纹角度，以提高位相灵敏度。同样，Zhou等[P.Zhou,X.Liu,and T.Zhu,“Analysis of the relationship between fringe angleand three-dimensional profilometry system sensitivity,”Appl.Opt.53(13),2929–2913(2014)]进一步分析直线条纹角度与位相灵敏度之间的关系，提出位相灵敏度最优的条纹方向垂直于投影仪-摄像机基线的方向。这些方法都能有效地改善位相灵敏度，但他们并没有将位相灵敏度与条纹方向的关系描述清楚，均为近似最优方法。在一般情况下，投影仪和摄像机的光轴为空间非共面关系。因此，对于整幅条纹图而言，位相灵敏度最优方向非恒定常数，而是在测量空间随像素位置变化的。利用极线几何分析可知，位相灵敏度最优条纹不是直线条纹，且无法用单一角度参数来描述。理论证明，位相灵敏度最优条纹应当是以测量***中投影机投射平面极点为圆心的圆弧状条纹。

【发明内容】

本发明的目的在于针对已有技术存在的不足，提出一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法。该方法操作简便，有助于提高物体三维测量的精度和分辨率。

为达到上述目的，本发明的构思是：

基于如图1所示的基本原理。点P和C分别表示投影机和摄像机的镜头中心，其连线PC称之为***的基线。平面π_P和π_C分别表示投影机的投影平面和摄像机的成像平面。基线PC与π_P和π_C的交点称之为极点。假设点M₁为被测物体上的一点，则点M₁、P和C构成的平面称为极平面，记为π。极平面与投影面π_P和成像面π_C的交线l和l’称之为极线。根据极线约束条件，当物点M₁被照明时，光线M₁P与平面π_P的交点m₁必然位于极线l上；M₁C与平面π_C的交点m’必然位于极线l’上。也就是说，点m₁和m’对应于相同的条纹位相。当物点的深度发生变化，由点M₁移动到M₂时，成像面π_C上的像点m’保持原位置不变，而投影面π_P上的点则由m₁移到m₂。这一现象表明，当物面深度发生变化时，成像面上一点在投影面上的对应点的轨迹是该平面上的极线，位相灵敏度最大方向即为极线方向。由于所有的极平面均交于基线，即所有极线都交于极点。灵敏度极大化条纹应垂直于极线，即为以投影机投射平面极点为圆心的圆弧形状条纹。

根据上述发明构思，本发明采用如下技术方案：

一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法，其特征在于：采用的投射条纹是以测量***中投影机(1)的投射平面的极点为圆心的圆弧形状正弦条纹，利用该圆弧形状正弦条纹对物面深度进行测量的测量步骤如下：

S1：***标定：通过***标定，以确定投影机(1)投射平面极点的像素坐标(s_e,t_e)，和位相差与物面深度之间映射关系参数a(i,j)和b(i,j)；

S2：生成圆弧形状正弦条纹图像：根据条纹背景灰度α、对比度β和条纹节距p，在计算机(2)里，以点(s_e,t_e)为圆心，生成N幅具有相移的圆弧形状正弦条纹图案，其中第n(n＝0,1,…,N-1)幅图案里(s,t)像素点的灰度由下式确定：

S3：参考位相的测量：将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将步骤2)形成的相移圆弧形状条纹图案投射到参考平面(3)上，利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；在计算机(2)里，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算参考位相分布， 其中摄像机(4)(i,j)像素处的参考位相记为φ_ref(i,j)；

S4：物面位相的测量：利用投影机(1)将步骤2)形成的相移圆弧形状条纹图案投射到被测物体(5)上，利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；在计算机(2)里，利用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算物面位相分布，其中在摄像机(4)(i,j)像素处，被测物体(5)表面位相记为φ_obj(i,j)；

S5：计算位相差：将步骤3)所得参考位相φ_ref(i,j)和步骤4)所得物面位相φ_obj(i,j)代入公式

ψ(i,j)＝φ_obj(i,j)-φ_ref(i,j)

计算位相差；

S6：物面深度计算：将位相差ψ(i,j)代入公式

计算物面深度h(i,j)。

上述***标定是通过以下标定步骤，确定投影机(1)投射平面上极点像素坐标(s_e,t_e)，以及位相差与物面深度之间的映射关系参数a(i,j)和b(i,j)：

S1’：生成竖直与水平直线条纹：在计算机(2)里生成N幅相移竖直正弦条纹图案，其中第n幅图案中(s,t)像素点的灰度由下式确定：

在计算机(2)里生成N幅相移水平正弦条纹图案，其中第n幅图案中(s,t)像素点的灰度由下式确定：

S2’：测量0位置竖直与水平条纹位相：将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将竖直和水平两组相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；利用计算机(2)，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算条纹位相分布，其中，摄像机(4)像素(i,j)处，竖直条纹位相记为Φ₀ ^(v)(i,j)，水平条纹位相记为Φ₀ ^(h)(i,j)；

S3’：测量序列深度竖直与水平条纹位相：利用导轨(6)将参考平面(3)沿平面垂直方向移动至K个不同深度位置，其中第k个深度记为H_k，k＝1,2,…,K。利用投影机(1)将竖直和水平两组 相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；利用计算机(2)，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算参考平面(3)在不同深度时的位相分布；参考平面(3)在第k个深度位置时，摄像机(4)像素(i,j)处的竖直条纹位相为Φ_k ^(v)(i,j)，水平条纹位相为Φ_k ^(h)(i,j)；

S4’：确定极点坐标：对于摄像机(4)每一像素(i,j)，位相对[Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)]随k不同作线性变化，将Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)代入下式

形成线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得摄像机(4)各像素点的对应斜率A(i,j)和截距B(i,j)；在投影机(1)投射平面中，由上述斜率和截距决定的直线必然相交于极点；将所有A(i,j)和B(i,j)代入下式

t＝A(i,j)s+B(i,j)

形成线性方程组，求其最小二乘解可得极点坐标(s_e,t_e)；

S5’：确定位相差与物面深度之间映射关系参数：对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算竖直条纹位相差

将位相差代入下式

形成非线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得竖直条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间的映射关系参数a^(v)(i,j)和b^(v)(i,j)；对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算水平条纹位相差

将位相差代入下式

形成非线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得水平条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间的映射关系参数a^(h)(i,j)和b^(h)(i,j)；以极点为圆心的圆弧条纹的位相差与物面深度之间映射关系参数由以下二式确定

本发明与现有技术相比较，具有如下突出的实质性特点和显著的优点：

1、本发明所采用的投射条纹是以测量***中投影机投射平面极点为圆心的圆弧形状正弦条纹。与现有的各类直线条纹方法相比，这种圆弧形状条纹可在全部测量空间内使位相灵敏度达到极大值，有利于提高测量的精度和分辨率。

2、本发明提供了详细的“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”测量步骤，操作简便，具有实用性；

3、本发明提供了详细的“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的***标定方法，可精确确定投射平面极点坐标，结合数字投影机作为结构光源，易于构造位相灵敏度极大化条纹图案，具有可操作性。

【附图说明】

图1是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的极线几何原理图；

图2是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的***示意图；

图3是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的测量过程流程图；

图4是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”圆弧形状条纹图案实例；

图5是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”参考面变形条纹图及位相图实例；

图6是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”物面变形条纹图及位相图实例；

图7是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”位相差分布实例；

图8是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”物面深度测量结果实例；

图9是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的***标定方法示意图；

图10是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”的***标定过程流程图；

图11是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”***标定采用的竖直与水平条纹图案实例；

图12是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”***标定竖直与水平变形条纹图像及其位相图实例；

图13是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”中的极点求解方法示意图。

图14是本发明“位相灵敏度极大化条纹投射测量方法”***标定所得位相差与物面深度之间映射关系参数分布图实例。

【具体实施方式】

本发明的具体实施例结合附图详述如下：

实施例一：参见图2～图8，本发明采用一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法，采用的投射条纹是以测量***中投影机(1)的投射平面的极点为圆心的圆弧形状正弦条纹，按照图3所示的测量步骤对物面深度进行测量。

第一步，***标定。是通过***标定，以确定投影机(1)投射平面极点的像素坐标(s_e,t_e)，和位相差与物面深度之间映射关系参数a(i,j)和b(i,j)；

第二步，通过生成圆弧形状正弦条纹图像。根据条纹背景灰度α、对比度β和条纹节距p，可在计算机(2)里，以(s_e,t_e)为圆心生成N幅相移圆弧形状正弦条纹图案。假设相移量在整个2π周期内为等间距分布，则第n(n＝0,1,…,N-1)幅图案的相移量为2πn/N弧度。这些条纹图案(如图4所示)中(s,t)像素点的灰度可由下式确定：

例如，当投影机(1)投射平面极点的像素坐标(s_e,t_e)为(1180.8，797.2)时，图4所示为一幅生成的圆弧形状正弦条纹图案。

第三步，测量参考位相。将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将第二步形成的N幅相移圆弧形状条纹图案投射到参考平面(3)上，利用摄像机(4)拍摄N幅变形条纹图像I_n(i,j)(n＝0,1,…,N-1)。在计算机(2)里，采用同步探测相移算法

计算包裹位相。利用位相去包裹算法使位相连续化，得到参考位相的绝对位相分布，其中摄像机(4)(i,j)像素处的参考位相记为φ_ref(i,j)。图5所示，为采用图4圆弧形状正弦条纹图案时，由摄像机采集到的参考平面(3)的变形条纹图和计算所得参考位相。

第四步，测量物面位相。利用投影机(1)将第二步形成的N幅相移圆弧形状条纹图案投射到被测物体(5)上，利用摄像机(4)拍摄N幅变形条纹图像；在计算机(2)里，利用上述相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算物面位相分布，其中在摄像机(4)(i,j) 像素处，被测物体(5)表面位相记为φ_obj(i,j)。图6所示，为采用图4圆弧形状正弦条纹图案时，由摄像机采集到的被测物体(5)上的变形条纹图和计算所得物面位相。

第五步，计算位相差。将上述两步所得参考位相φ_ref(i,j)物面位相φ_obj(i,j)代入公式

ψ(i,j)＝φ_obj(i,j)-φ_ref(i,j)

计算位相差。图7所示，为图5和图6中参考位相和物面位相计算所的位相差。

第六步，计算物面深度。将位相差ψ(i,j)代入公式

计算出物面深度h(i,j)。图8为利用图7所示位相差计算所得物面深度分布。

实施例二：参见图9～图14，本实施例与实施例一基本相同，特别之处如下：

上述步骤的第一步骤***标定，其方法如下：确定投影机(1)投射平面上极点像素坐标(s_e,t_e)，以及位相差与物面深度之间映射关系参数a(i,j)和b(i,j)，其标定步骤结合图9和图10详述如下：

第一步，生成竖直与水平直线条纹。在计算机(2)里生成N幅具有相移的竖直正弦条纹图案，其中第n幅图案的(s,t)像素点的灰度由下式确定：

在计算机里(2)生成N幅具有相移的水平正弦条纹图案，其中第n幅图案的(s,t)像素点的灰度由下式确定：

图11为生成的竖直及水平条纹图案。

第二步，测量0位置竖直与水平条纹位相。将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将竖直和水平两组相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像。利用计算机(2)，采用前述的相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算条纹位相分布。其中，摄像机(4)像素点(i,j)处，竖直条纹位相记为Φ₀ ^(v)(i,j)，水平条纹位相记为Φ₀ ^(h)(i,j)。

第三步，测量序列深度竖直与水平条纹位相。利用导轨(6)将参考平面(3)沿平面垂直方向移动至K个不同深度位置，其中第k个深度记为H_k，k＝1,2,…,K。利用投影机(1)将竖直和水 平两组相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像。利用计算机(2)，重复上述图像处理过程，计算参考平面(3)在不同深度时的位相分布。参考平面(3)在第k个深度位置时，摄像机(4)(i,j)像素点处的竖直条纹位相为Φ_k ^(v)(i,j)，水平条纹位相为Φ_k ^(h)(i,j)。图12所示，摄像机拍摄所得竖直与水平条纹图像及其位相图。

第四步，确定极点坐标。对于摄像机(4)每一像素(i,j)，位相对[Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)]随k不同作线性变化，将Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)代入下式

形成超定线性方程组。该方程组正则方程为

解该正则方程组可得原方程的最小二乘解，即摄像机(4)各像素点对应的最小二乘斜率A(i,j)和截距B(i,j)，即

如图13所示，在投影机(1)投射平面中，由上述斜率和截距决定的直线必然相交于极点。将所有A(i,j)和B(i,j)代入下式

t＝A(i,j)s+B(i,j)

形成超定线性方程组。该方程组的正则方程组为

解该正则方程组可得原方程的最小二乘解，即投影机(1)投射平面极点坐标(s_e,t_e)为：

例如，利用图12所示位相确定的极点坐标为(1180.8，797.2)，从而形成的圆形条纹图如图4所示。

第五步，确定位相差与物面深度之间映射关系参数。对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算竖直条纹位相差

代入下式

形成非线性方程组。利用New-Raphson算法求解该方程组的最小二乘解，或者将该方程组线性化为

其正则方程组为

解该正则方程组可得原方程的最小二乘解，即竖直条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间映射关系参数a^(v)(i,j)和b^(v)(i,j)的最小二乘解，即

对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算水平条纹位相差

代入下式

形成非线性方程组。按照前述方法可得水平条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间映射关系参数a^(h)(i,j)和b^(h)(i,j)的最小二乘解，即

利用上述结果，以极点为圆心的圆弧条纹的位相差与物面深度之间映射关系参数由以下二式确定

利用图12所示位相确定的位相差与物面深度之间映射关系参数分布如图14所示。

Claims (2)

1.一种位相灵敏度极大化条纹投射测量方法，其特征在于：采用的投射条纹是以测量***中投影机(1)的投射平面的极点为圆心的圆弧形状正弦条纹，利用该圆弧形状正弦条纹对物面深度进行测量的测量步骤如下：

步骤1)：***标定：通过***标定，以确定投影机(1)投射平面极点的像素坐标(s_e,t_e)，和位相差与物面深度之间映射关系参数a(i,j)和b(i,j)；

步骤2)：生成圆弧形状正弦条纹图像：根据条纹背景灰度α、对比度β和条纹节距p，在计算机(2)里，以点(s_e,t_e)为圆心，生成N幅具有相移的圆弧形状正弦条纹图案，其中第n(n＝0,1,…,N-1)幅图案里(s,t)像素点的灰度由下式确定：

$g_n^{\left(c\right)}\left(s,t\right)=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\cos \left\{\frac{2\mathrm{\π}}{p}\[\sqrt{s_e^2+t_e^2}-\sqrt{{\left(s-s_e\right)}^2+{\left(t-t_e\right)}^2}\]+\frac{2\mathrm{\π}n}{N}\right\},n=0,1,...,N-1;$

步骤3)：参考位相的测量：将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将步骤2)形成的相移圆弧形状条纹图案投射到参考平面(3)上，利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；在计算机(2)里，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算参考位相分布，其中摄像机(4)(i,j)像素处的参考位相记为φ_ref(i,j)；

步骤4)：物面位相的测量：利用投影机(1)将步骤2)形成的相移圆弧形状条纹图案投射到被测物体(5)上，利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；在计算机(2)里，利用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算物面位相分布，其中在摄像机(4)(i,j)像素处，被测物体(5)表面位相记为φ_obj(i,j)；

步骤5)：计算位相差：将步骤3)所得参考位相φ_ref(i,j)和步骤4)所得物面位相φ_obj(i,j)代入公式

ψ(i,j)＝φ_obj(i,j)-φ_ref(i,j)

计算位相差；

步骤6)：物面深度计算：将位相差ψ(i,j)代入公式

$h(i,j)=\frac{\mathrm{\ψ}(i,j)}{a(i,j)-b(i,j)\mathrm{\ψ}(i,j)}$

计算物面深度h(i,j)。

2.根据权利要求1所述的位相灵敏度极大化条纹投射测量方法，其特征在于：所述步骤1)中的***标定是确定投影机(1)投射平面上极点像素坐标(s_e,t_e)，以及位相差与物面深度之间映射关系参数a(i,j)和b(i,j)，其步骤为：

步骤①：生成竖直与水平直线条纹：在计算机(2)里生成N幅相移竖直正弦条纹图案，其中第n幅图案中(s,t)像素点的灰度由下式确定：

$g_n^{\left(v\right)}(s,t)=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}cos\{\frac{2\mathrm{\π}}{p}s+\frac{2\mathrm{\π}n}{N}\},n=0,1,...,N-1;$

在计算机(2)里生成N幅相移水平正弦条纹图案，其中第n幅图案中(s,t)像素点的灰度由下式确定：

$g_n^{\left(h\right)}(s,t)=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}cos\{\frac{2\mathrm{\π}}{p}t+\frac{2\mathrm{\π}n}{N}\},n=0,1,...,N-1;$

步骤②：测量0位置竖直与水平条纹位相：将参考平面(3)置于0深度位置处，利用投影机(1)将竖直和水平两组相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；利用计算机(2)，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算条纹位相分布，其中，摄像机(4)像素(i,j)处，竖直条纹位相记为Φ₀ ^(v)(i,j)，水平条纹位相记为Φ₀ ^(h)(i,j)；

步骤③：测量序列深度竖直与水平条纹位相：利用导轨(6)将参考平面(3)沿平面垂直方向移动至K个不同深度位置，其中第k个深度记为H_k，k＝1,2,…,K。利用投影机(1)将竖直和水平两组相移条纹图像分别投射至参考平面(3)，并利用摄像机(4)拍摄变形条纹图像；利用计算机(2)，采用相移算法和位相去包裹算法对变形条纹图像进行处理，计算参考平面(3)在不同深度时的位相分布；参考平面(3)在第k个深度位置时，摄像机(4)像素(i,j)处的竖直条纹位相为Φ_k ^(v)(i,j)，水平条纹位相为Φ_k ^(h)(i,j)；

步骤④：确定极点坐标：对于摄像机(4)每一像素(i,j)，位相对[Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)]随k不同作线性变化，将Φ_k ^(v)(i,j),Φ_k ^(h)(i,j)代入下式

${\mathrm{\Φ}}_k^{\left(v\right)}(i,j)=A(i,j){\mathrm{\Φ}}_k^{\left(h\right)}(i,j)+B(i,j),k=0,1,...,K$

形成线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得摄像机(4)各像素点的对应斜率A(i,j)和截距B(i,j)；在投影机(1)投射平面中，由上述斜率和截距决定的直线必然相交于极点；将所有A(i,j)和B(i,j)代入下式

t＝A(i,j)s+B(i,j)

形成线性方程组，求其最小二乘解可得极点坐标(s_e,t_e)；

步骤⑤：确定位相差与物面深度之间映射关系参数：对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算竖直条纹位相差

${\mathrm{\Ψ}}_k^{\left(v\right)}(i,j)={\mathrm{\Φ}}_k^{\left(v\right)}(i,j)-{\mathrm{\Φ}}_0^{\left(v\right)}(i,j),k=1,2,...,K;$

将位相差代入下式

${\mathrm{\ψ}}_k^{\left(v\right)}(i,j)=\frac{a^{\left(v\right)}(i,j)H_k}{1+b^{\left(v\right)}(i,j)H_k},k=1,2,...,K$

形成非线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得竖直条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间的映射关系参数a^(v)(i,j)和b^(v)(i,j)；对于摄像机(4)每一像素(i,j)，计算水平条纹位相差

${\mathrm{\Ψ}}_k^{\left(h\right)}(i,j)={\mathrm{\Φ}}_k^{\left(h\right)}(i,j)-{\mathrm{\Φ}}_0^{\left(h\right)}(i,j),k=1,2,...,K;$

将位相差代入下式

${\mathrm{\ψ}}_k^{\left(h\right)}(i,j)=\frac{a^{\left(h\right)}(i,j)H_k}{1+b^{\left(h\right)}(i,j)H_k},k=1,2,...,K$

形成非线性方程组；求解该方程组的最小二乘解，可得水平条纹情况下摄像机(4)各像素点位相差与物面深度之间的映射关系参数a^(h)(i,j)和b^(h)(i,j)；以极点为圆心的圆弧条纹的位相差与物面深度之间映射关系参数由以下二式确定

$a(i,j)=\sqrt{{\[a^{\left(v\right)}(i,j)\]}^2+{\[a^{\left(h\right)}(i,j)\]}^2}$

$b(i,j)=\frac{b^{\left(v\right)}(i,j)+b^{\left(h\right)}(i,j)}{2}.$