四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法
技术领域
本发明涉及无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法。
背景技术
二十世纪四、五十年代以来,现代控制理论得到了快速的发展,各国学者提出了各种先进的控制方法,并在工业控制中也得到了广泛的应用。然而这些控制方法大都建立在线性***的理论框架之下,而在实际的控制工程中真正的线性***是不存在的,这使得现代控制理论的应用受到了一定的限制。实际上,任何工程控制***都无一例外地表现出非线性特性,其中一个典型的非线性特性就是执行器饱和非线性。由于物理上的限制和出于安全的需要,几乎所有的控制***都受到了执行器饱和的限制。例如,飞机的水平转向是由竖直的尾翼控制的,其幅值和速率要受到限制;电动机因受到物理条件的限制而只能达到有限的转速或转矩;四旋翼无人机的电机转速不可能无限大,其俯仰角加速度和横滚角加速度都要受到限制。
四旋翼无人机控制***可以用一类具有执行器饱和的前馈型非线性***进行建模。对于四旋翼无人机控制***设计而言,经典控制方法往往先把原***复杂的非线性模型线性化,然后再运用经典线性控制理论对其进行分析和设计,这样难免使得控制效果不够理想,且不能保证***的全局渐近稳定性。相比之下,运用现代非线性控制理论设计的控制算法,其控制性能可以明显优于经典控制算法,且能从理论上保证控制***的稳定性。
发明内容
本发明为了解决目前具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***的控制效果不够理想的问题,提出了四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法。
四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法,包括以下步骤:
步骤一:对四旋翼无人机控制***进行状态变换,将其转化为前馈型非线性控制***;
步骤二:设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律
保证闭环***的全局渐近稳定性;σ(·)为标准的饱和函数,σ(·)定义为
x′表示σ(x′)的自变量;w4,w3,w2,w1为四旋翼俯仰通道控制***的状态变量;λθ,ε4θ,ε3θ,ε2θ,ε1θ,rθ为满足下式的参数
a和b是限定λθ、ε4θ、ε3θ、ε2θ、ε1θ、rθ而选取的参数,其中a<0.8,umaxθ是给定的正的常数,代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值;参数λθ是待设计的正常数;
步骤三:设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律
保证闭环***的全局渐近稳定性;其中σ(·)为标准的饱和函数,v4,v3,v2,v1为四旋翼横滚通道控制***的状态变量;λφ,ε4φ,ε3φ,ε2φ,ε1φ,rφ为满足下式的参数
c和d是限定而选取的参数,其中c<0.8, 是给定的正的常数,代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值;参数为待设计的正常数。
发明效果
本发明所提出的方法最显著的优点是:针对具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***,本发明通过设计嵌套饱和非线性控制方法,使四旋翼无人机***有较好的动态特性,即控制效果比较理想;并且可以保证控制***的全局渐近稳定性。从仿真结果中可以看出,四旋翼无人机控制***的各状态变量可以较快地收敛到设定位置,而且超调量很小。仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁棒性。
附图说明
图1为地理惯性坐标系和机体参考坐标系示意图;
图2为地理坐标系下X和Y方向位移仿真图;
图3为地理坐标系下俯仰角θ和横滚角φ仿真图。
具体实施方式
具体实施方式一:本实施方式的四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法,包括以下步骤:
步骤一:对四旋翼无人机控制***进行状态变换,将其转化为前馈型非线性控制***;
步骤二:设计四旋翼无人机俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律
保证闭环***的全局渐近稳定性;这里σ(·)为标准的饱和函数,定义为
w4,w3,w2,w1为四旋翼俯仰通道控制***的状态变量;λθ,ε4θ,ε3θ,ε2θ,ε1θ,rθ为满足下式的参数
a和b是限定λθ、ε4θ、ε3θ、ε2θ、ε1θ、rθ而选取的参数,其中a<0.8,umaxθ是给定的正的常数,代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值;参数λθ是待设计的正常数;
步骤三:设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律
保证闭环***的全局渐近稳定性;这里σ(·)为标准的饱和函数,v4,v3,v2,v1为四旋翼横滚通道控制***的状态变量;为满足下式的参数
c和d是限定而选取的参数,其中c<0.8, 是给定的正的常数,代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值;参数为待设计的正常数。
具体实施方式二:本实施方式步骤一所述的将四旋翼无人机控制***转化为前馈型非线性控制***的具体过程如下:
对于如图1所示的四旋翼无人机***,其模型为
其中:
u:四旋翼无人机四个电机的总输入量;
地理坐标系E:O-XYZ,
X表示地理坐标系E下X方向位移;
Y表示地理坐标系E下Y方向位移;
Z表示地理坐标系E下Z方向位移;
机体坐标系B:o-xyz,
x:机体坐标系B下x方向位移;
y:机体坐标系B下y方向位移;
z:机体坐标系B下z方向位移;
m:四旋翼无人机的质量;
g:重力加速度;
横滚角的角加速度;
τθ:俯仰角的角加速度;
τψ:偏航角的角加速度;
θ:俯仰角,定义为机体轴ox与水平面OXY平面上的夹角,ox向上为正;
横滚角,定义为无人机对称平面oxz与包含ox轴的与水平面垂直的铅垂线平面之间的夹角,向右滚转时为正;
ψ:偏航角,定义为机体轴ox在水平面上的投影与机体坐标系轴ox之间的夹角,无人机右偏航时形成的角度为正;
机体坐标系{B}和地理坐标系{E}通过矩阵R相联系:
机体坐标系B和地理坐标系E通过矩阵R相联系:
将式(4)和R代入到式(5)可以得到
(一)、考虑俯仰通道控制***为
取状态变量x1θ=x,x3θ=θ,则
令y1θ=rθx1θ,y2θ=rθx2θ,y3θ=rθx3θ,y4θ=r1θx4θ,uθ=rθτθ,则公式(9)变换成
令
则如公式(9)所示的俯仰通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***
(二)、考虑横滚通道控制***为
由于在设计横滚通道控制律时认为俯仰通道的俯仰角θ已经收敛到零,所以公式(13)可以写成
取状态变量x1φ=y,x3φ=φ,则
令y1φ=rφx1φ,y2φ=rφx2φ,y3φ=rφx3φ,y4φ=rφx4φ,uφ=rφτφ,其中rφ是待设计的正的常数,有
令
则如公式(14)所示的横滚通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三:本实施方式步骤二中设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为:
步骤3.1:定义一般的饱和函数:
σε(·)为一般的饱和函数,按如下方式进行定义
ε表示一般的饱和函数的饱和值;如果ε=1则σ1(x′)=σ(x′)为(2)式定义的标准饱和函数;
步骤3.2:将如公式(12)所示的俯仰通道控制***变换成上三角非线性***:
对于如公式(12)所示的俯仰通道控制***,设
以及
其中λθ为待设计的正的常数;对如公式(12)所示的俯仰通道控制***作变换w=Tθzθ,
zθ=[z1θ,z2θ,z3θ,z4θ]T,w=[w1,w2,w3,w4]T
根据(20)和(21)能够推出
其逆矩阵为
设
则如公式(12)所示的俯仰通道控制***可以变换为
步骤3.3:设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律uθ=-u4θ,其中
分别是饱和值为ε1θ‐ε4θ的一般的饱和函数;u1θ-u4θ是定义的中间参量;由于上式恰好可以写成(1);
步骤3.4:建立保证控制律uθ=-u4θ工作在线性区的条件:
考虑(24)和(25)组成的闭环***的最后一个状态w4满足的方程
取Lyapunov函数若
2ε3θ<ε4θ (26)则存在一个数d1使得ε3θ<d1≤ε4θ-ε3θ;当λθw4>d1时,有
其中0<d1-ε3θ<ε4θ,所以因此
类似地,如果λθw4<-d1,那么
由于2ε3θ-ε4θ<-d1+ε3θ<0,也就是因此
综合(27)和(28)可知,如果(26)成立,则
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T1>t0,对于有最终对有|λθw4|≤d1和|λθw4+u3θ|≤d1+ε3θ≤ε4θ;从而有
u4θ=λθw4+u3θ (29)
以及
|λθw4|≤ε4θ-ε3θ (30)
将(29)代入***(24)和(25),得到如下***
考虑闭环***的第三个状态w3满足的方程
取Lyapunov函数若
2ε2θ<ε3θ (32)则存在一个数d2使得ε2θ<d2≤ε3θ-ε2θ,当λθw3>d2时,有
其中0<d2-ε2θ<ε3θ,所以因此
类似地,如果λθw3<-d2,那么
由于2ε2θ-ε3θ<-d2+ε2θ<0,也就是因此
综合(33)和(34)可知,如果(32)成立,则
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T2>t0,对于有最终,对于有|λθw3|≤d2和|λθw3+u2θ|≤d2+ε2θ≤ε3θ成立;从而有
u3θ=λθw3+u2θ (35)
以及
|λθw3|≤ε3θ-ε2θ (36)
将(35)代入***(31)可以得到
考虑闭环***的第二个状态w2满足的方程
由于
所以有下面求取函数
极大值,由于
所以只要假设z3θ≥0.取其中a为大于0待定常数;那么
令
取Lyapunov函数若
2ε1θ+ε0θ<ε2θ (39)成立,则存在一个数d3使得ε1θ+ε0θ<d3≤ε2θ-ε1θ;当λθw2>d3时,有
其中ε0θ<d3-ε1θ<ε2θ,所以因此
类似地,如果λθw2<-d3,那么
由于2ε1θ-ε2θ≤-d3+ε1θ<-ε0θ,也就是因此
综合(40)和(41)可知,如果(39)成立,则
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T3>t0,对于有最终,对于有|λθw2|≤d3和|λθw2+u1θ|≤d3+ε1θ≤ε2θ成立;从而有
u2θ=λθw1+u1θ
将上式代入***(37)可以得到
考虑闭环***的第一个状态w1满足的方程
取Lyapunov函数令
如果不等式
成立,则当λθw1>ε1θ时有
当λθw1<-ε1θ时有
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T4>t0,对于有|λθw1|≤ε1θ,从而有u1θ=λθw1,将此式代入***(42)可以得到
综合上述推导,如果不等式(26)、(32)、(39)、(43)成立,控制律(25)最终工作在线性区,闭环***可以写成(44);将不等式(26)、(32)、(39)、(43)综合写成
因此可以取
其中b<1是正的常数;解不等式(46)可得
显然ε1θ存在的充分必要条件是
由此解得
另一方面注意到
其中umaxθ是给定的正的常数,代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值;由上式解得λθ应满足不等式
进而取
总结可知,如果下面的一组条件满足
则如公式(25)所示的控制律工作在线性区,闭环***可以写成:
其中
步骤3.5:证明如公式(54)所示的闭环***的全局渐近稳定性:
对于闭环***(54),设
取Lyapunov函数V5(w)=wTPw,其中P=I4为4阶单位矩阵,则
由于
则(55)可进一步写成
由于和
成立,从(57)可以推出
另一方面,由于
不等式(59)可以进一步写成
令
再令由于所以又由于所以l3∈[0,a];从而g(z3θ)可以写成
由于函数在[0,π]上单调递增,所以当l3=a时g(z3θ)取极大值因此(60)可以写成
因此,如果
或者等价地
则存在充分小的正数δθ使得
根据Lyapunov稳定性定理,闭环***(54)是一致指数渐近稳定的;最后,解不等式(61)得到
a<0.8 (62)
综上,如果a满足不等式(62),则闭环***(54)是渐近稳定的。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四:本实施方式步骤三中设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为:
步骤4.1:将如公式(18)所示的横滚通道控制***变换成上三角非线性***:
对于如公式(18)所示的横滚通道控制***,设
以及
其中为待设计的正的常数,对如公式(18)所示的横滚通道***作变换其中
根据(63)和(64)可推出
则其逆矩阵为
设
则如公式(18)所示的横滚通道控制***可以变换为
步骤4.2:设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律uφ=-u4φ,其中
分别是饱和值为ε1θ‐ε4θ的一般的饱和函数;是定义的中间参量;由于
上式恰好可以写成(3);
步骤4.3:建立保证控制律uφ=-u4φ工作在线性区的条件:
考虑(67)和(68)组成的闭环***的最后一个状态v4满足的方程
取Lyapunov函数若
2ε3φ<ε4φ (69)
则存在一个数d4使得ε3φ<d4≤ε4φ-ε3φ,当λφv4>d4时,有
其中0<d4-ε3φ<ε4φ,所以因此
类似地,如果λφv4<-d4,那么
由于2ε3φ-ε4φ<-d4+ε3φ<0,也就是因此
综合(70)和(71)可知,如果(69)成立,则
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T5>t0,对于有最终对有|λφv4|≤d4和|λφv4+u3φ|≤d4+ε3φ≤ε4φ,从而有
u4φ=λφv4+u3φ (72)
以及
|λφv4|≤ε4φ-ε3φ (73)
将(72)代入***(67)和(68),得到如下***
考虑闭环***(74)的第三个状态v3满足的方程
取Lyapunov函数若
2ε2φ<ε3φ (75)
则存在一个数d5使得ε2φ<d5≤ε3φ-ε2φ,当λφv3>d5时,有
其中0<d5-ε2φ<ε3φ,所以因此
类似地,如果λφv3<-d5,那么
由于2ε2φ-ε3φ<-d5+ε2φ<0,也就是因此
综合(76)和(77)可知,如果(75)成立,则
按照Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T6>t0,对于有最终,对于有|λφv3|≤d5和|λφv3+u2φ|≤d5+ε2φ≤ε3φ成立;从而有
u3φ=λφv3+u2φ (78)
以及
|λφv3|≤ε3φ-ε2φ (79)
将(78)代入***(74)可以得到
考虑闭环***(74)的第二个状态v2满足的方程
由于
所以有下面求取函数
极大值,由于
所以只要假设z3φ≥0;取其中c为大于0待定常数,那么
令
取Lyapunov函数若
2ε1φ+ε0φ<ε2φ (82)
存在一个数d6使得ε1φ+ε0φ<d6≤ε2φ-ε1φ;当λφv2>d6时,有
其中ε0φ<d6-ε1φ<ε2φ,所以因此
类似地,如果λφv2<-d6,那么
由于2ε1φ-ε2φ≤-d6+ε1φ<-ε0φ,也就是因此
综合(83)和(84)可知,如果(82)成立,则
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T7>t0,对于有最终,对于有|λφv2|≤d6和|λφv2+u1φ|≤d6+ε1φ≤ε2φ成立;从而有
u2φ=λφv1+u1φ
将上式代入***(80)可以得到
考虑闭环***的第一个状态v1满足的方程
取Lyapunov函数令
如果不等式
成立,则当λφv1>ε1φ时
当λφv1<-ε1φ时有
根据Lyapunov稳定性理论,存在有限时间T8>t0,对于有|λφv1|≤ε1φ,从而有u1φ=λφv1,将此式代入***(82)可以得到
综合上述推导,如果不等式(69)、(75)、(82)、(86)成立,控制律(68)最终工作在线性区,闭环***可以写成(87);将不等式(69)、(75)、(82)、(86)综合写成
因此可以取
其中d<1是正的常数;解不等式(89)可得
显然ε1φ存在的充分必要条件是
由此解得
另一方面注意到
其中umaxφ是给定的正的常数,代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值;由上式解得λφ应满足不等式:
进而取
总结可知,如果下面的一组条件满足
则如公式(68)所示的控制律工作在线性区,闭环***可以写成:
其中
步骤4.4:证明如公式(97)所示的闭环***的全局渐近稳定性:
对于闭环***(97),设
取Lyapunov函数V0(v)=vTPv,则
由于
则(98)可进一步写成
由于和
则从(100)可以推出
另一方面,由于
则(102)可以进一步写成
令
再令由于所以又由于所以k3∈[0,c],从而p(z3φ)可以写成
对于函数在[0,π]上单调递增,所以p(z3φ)当k3=c时取极大值为因此(103)可以写成
因此,如果
或者等价地
则存在充分小的正数δφ使得
根据Lyapunov稳定性定理,闭环***(97)是一致指数渐近稳定的;最后,解不等式(101)得到
c<0.8 (105)
综上,如果c满足不等式(105),则闭环***(97)是渐近稳定的。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施例
直接针对原始非线性***(4)进行仿真分析。对于俯仰通道控制***的控制律(1),取a=0.5,λθ=0.8,b=0.99,rθ=2;对于横滚通道控制***的控制律(3),取c=0.5,λφ=0.8,d=0.99,rφ=2。由前述分析过程知
εθ=[ε1θ,ε2θ,ε3θ,ε4θ]T、
可设计如下
在仿真中设定俯仰通道和横滚通道允许的最大角加速度为2rad/s2,四旋翼无人机质量为482g;在地理坐标系中期望位移的控制目标为(X,Y)=(0,0),其初始值为(X0,Y0)=(5,5)。姿态角的控制目标为(θ,φ)=(0,0),其初始值设为(θ0,φ0)=(0.2,0.2)。仿真结果如图2-3所示。图2为地理坐标系下X和Y方向位移仿真图,图3为地理坐标系下俯仰角θ和横滚角φ仿真图。
仿真结果显示,在地理坐标系中,在控制律τθ和τφ的作用下,闭环***具有非常好的动态特性,在地理坐标系下X,Y方向的位移及俯仰角θ和横滚角φ分别能够快速地达到设定值。这表明所设计的嵌套饱和非线性控制方法对于具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***具有超调小、收敛快等优良的控制性能。