CN105912826A - 四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法 - Google Patents

Abstract

四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，涉及无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法。为了解决目前具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***的控制效果不够理想的问题，本发明首先对四旋翼无人机控制***进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制***；然后分别设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律τ_θ和横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律本发明适用于四旋翼无人机控制***的全局镇定。

Description

四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法

技术领域

本发明涉及无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法。

背景技术

二十世纪四、五十年代以来，现代控制理论得到了快速的发展，各国学者提出了各种先进的控制方法，并在工业控制中也得到了广泛的应用。然而这些控制方法大都建立在线性***的理论框架之下，而在实际的控制工程中真正的线性***是不存在的，这使得现代控制理论的应用受到了一定的限制。实际上，任何工程控制***都无一例外地表现出非线性特性，其中一个典型的非线性特性就是执行器饱和非线性。由于物理上的限制和出于安全的需要，几乎所有的控制***都受到了执行器饱和的限制。例如，飞机的水平转向是由竖直的尾翼控制的，其幅值和速率要受到限制；电动机因受到物理条件的限制而只能达到有限的转速或转矩；四旋翼无人机的电机转速不可能无限大，其俯仰角加速度和横滚角加速度都要受到限制。

四旋翼无人机控制***可以用一类具有执行器饱和的前馈型非线性***进行建模。对于四旋翼无人机控制***设计而言，经典控制方法往往先把原***复杂的非线性模型线性化，然后再运用经典线性控制理论对其进行分析和设计，这样难免使得控制效果不够理想，且不能保证***的全局渐近稳定性。相比之下，运用现代非线性控制理论设计的控制算法，其控制性能可以明显优于经典控制算法，且能从理论上保证控制***的稳定性。

发明内容

本发明为了解决目前具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***的控制效果不够理想的问题，提出了四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法。

四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，包括以下步骤：

步骤一：对四旋翼无人机控制***进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制***；

步骤二：设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θ}}=-\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{4\mathrm{\θ}}}{r_{\mathrm{\θ}}}\mathrm{\σ}\[\frac{r_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{w}_4}{{\mathrm{\ϵ}}_{4\mathrm{\θ}}}+\frac{r_{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\ϵ}}_{3\mathrm{\θ}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{4\mathrm{\θ}}}\mathrm{\σ}\[\frac{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{w}_3}{{\mathrm{\ϵ}}_{3\mathrm{\θ}}}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{2\mathrm{\θ}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{3\mathrm{\θ}}}\mathrm{\σ}\[\frac{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{w}_2}{{\mathrm{\ϵ}}_{2\mathrm{\θ}}}+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{1\mathrm{\θ}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{2\mathrm{\θ}}}\mathrm{\σ}\[\frac{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}{w}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_{1\mathrm{\θ}}}\]\]\]\]$

保证闭环***的全局渐近稳定性；σ(·)为标准的饱和函数，σ(·)定义为

$\mathrm{\&sigma;}\left(x^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x^{\&prime;}>1\\ x^{\&prime;},& -1\&le;x^{\&prime;}\&le;1\\ -1,& x^{\&prime;}<-1\end{array}\right.$

x′表示σ(x′)的自变量；w₄，w₃，w₂，w₁为四旋翼俯仰通道控制***的状态变量；λ_θ，ε_4θ，ε_3θ，ε_2θ，ε_1θ，r_θ为满足下式的参数

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ r_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\end{array}\right.$

a和b是限定λ_θ、ε_4θ、ε_3θ、ε_2θ、ε_1θ、r_θ而选取的参数，其中a＜0.8，u_maxθ是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；参数λ_θ是待设计的正常数；

步骤三：设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&phi;}}=-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{r_{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}+\frac{r_{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}}\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;$

保证闭环***的全局渐近稳定性；其中σ(·)为标准的饱和函数，v₄，v₃，v₂，v₁为四旋翼横滚通道控制***的状态变量；λ_φ，ε_4φ，ε_3φ，ε_2φ，ε_1φ，r_φ为满足下式的参数

c和d是限定而选取的参数，其中c＜0.8， 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；参数为待设计的正常数。

发明效果

本发明所提出的方法最显著的优点是：针对具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***，本发明通过设计嵌套饱和非线性控制方法，使四旋翼无人机***有较好的动态特性，即控制效果比较理想；并且可以保证控制***的全局渐近稳定性。从仿真结果中可以看出，四旋翼无人机控制***的各状态变量可以较快地收敛到设定位置，而且超调量很小。仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁棒性。

附图说明

图1为地理惯性坐标系和机体参考坐标系示意图；

图2为地理坐标系下X和Y方向位移仿真图；

图3为地理坐标系下俯仰角θ和横滚角φ仿真图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，包括以下步骤：

步骤一：对四旋翼无人机控制***进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制***；

步骤二：设计四旋翼无人机俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}+\frac{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;---\left(1\right)$

保证闭环***的全局渐近稳定性；这里σ(·)为标准的饱和函数，定义为

$\mathrm{\&sigma;}\left(x^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x^{\&prime;}>1\\ x^{\&prime;},& -1\&le;x^{\&prime;}\&le;1\\ -1,& x^{\&prime;}<-1\end{array}\right.---\left(2\right)$

w₄，w₃，w₂，w₁为四旋翼俯仰通道控制***的状态变量；λ_θ，ε_4θ，ε_3θ，ε_2θ，ε_1θ，r_θ为满足下式的参数

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ r_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\end{array}\right.$

a和b是限定λ_θ、ε_4θ、ε_3θ、ε_2θ、ε_1θ、r_θ而选取的参数，其中a＜0.8，u_maxθ是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；参数λ_θ是待设计的正常数；

步骤三：设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

保证闭环***的全局渐近稳定性；这里σ(·)为标准的饱和函数，v₄，v₃，v₂，v₁为四旋翼横滚通道控制***的状态变量；为满足下式的参数

c和d是限定而选取的参数，其中c＜0.8， 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；参数为待设计的正常数。

具体实施方式二：本实施方式步骤一所述的将四旋翼无人机控制***转化为前馈型非线性控制***的具体过程如下：

对于如图1所示的四旋翼无人机***，其模型为

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}=u\left(cos\right(\mathrm{\&phi;}\left)cos\right(\mathrm{\&psi;}\left)sin\right(\mathrm{\&theta;})+sin(\mathrm{\&phi;}\left)sin\right(\mathrm{\&psi;}\left)\right)\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Y}=u\left(cos\right(\mathrm{\&phi;}\left)sin\right(\mathrm{\&theta;}\left)sin\right(\mathrm{\&psi;})-\cos (\mathrm{\&psi;}\left)sin\right(\mathrm{\&phi;}\left)\right)\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}=ucos\left(\mathrm{\&phi;}\right)\cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)-mg\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&phi;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&psi;}}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：

u：四旋翼无人机四个电机的总输入量；

地理坐标系E：O-XYZ，

X表示地理坐标系E下X方向位移；

Y表示地理坐标系E下Y方向位移；

Z表示地理坐标系E下Z方向位移；

机体坐标系B：o-xyz，

x：机体坐标系B下x方向位移；

y：机体坐标系B下y方向位移；

z：机体坐标系B下z方向位移；

m：四旋翼无人机的质量；

g：重力加速度；

横滚角的角加速度；

τ_θ：俯仰角的角加速度；

τ_ψ：偏航角的角加速度；

θ：俯仰角，定义为机体轴ox与水平面OXY平面上的夹角，ox向上为正；

横滚角，定义为无人机对称平面oxz与包含ox轴的与水平面垂直的铅垂线平面之间的夹角，向右滚转时为正；

ψ：偏航角，定义为机体轴ox在水平面上的投影与机体坐标系轴ox之间的夹角，无人机右偏航时形成的角度为正；

机体坐标系{B}和地理坐标系{E}通过矩阵R相联系：

$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)\cos \left(\mathrm{\&psi;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&psi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)-\cos \left(\mathrm{\&phi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&psi;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&phi;}\right)\cos \left(\mathrm{\&psi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&theta;}\right)+\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&psi;}\right)\\ \cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(\mathrm{\&psi;}\right)& \sin \left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&psi;}\right)+\cos \left(\mathrm{\&phi;}\right)\cos \left(\mathrm{\&psi;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&phi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(\mathrm{\&psi;}\right)-\cos \left(\mathrm{\&psi;}\right)\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\&theta;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)& \cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)\cos \left(\mathrm{\&phi;}\right)\end{array}\right]$

机体坐标系B和地理坐标系E通过矩阵R相联系：

$m\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}\end{array}\right]={\mathrm{mR}}^T\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Y}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}\end{array}\right]=R^T\left[\begin{array}{c}m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Y}\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}\end{array}\right]---\left(5\right)$

将式(4)和R代入到式(5)可以得到

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=mgsin\mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=-mgsin\left(\mathrm{\&phi;}\right)cos\left(\mathrm{\&theta;}\right)---\left(7\right)$

(一)、考虑俯仰通道控制***为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=g\sin \mathrm{\&theta;}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

取状态变量x_1θ＝x，x_3θ＝θ，则

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1\mathrm{\&theta;}}=x_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{gx}}_{3\mathrm{\&theta;}}+g\left(sin\right(x_{3\mathrm{\&theta;}})-x_{3\mathrm{\&theta;}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3\mathrm{\&theta;}}=x_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

令y_1θ＝r_θx_1θ，y_2θ＝r_θx_2θ，y_3θ＝r_θx_3θ，y_4θ＝r_1θx_4θ，u_θ＝r_θτ_θ，则公式(9)变换成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{1\mathrm{\&theta;}}=y_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{gy}}_{3\mathrm{\&theta;}}+r_{\mathrm{\&theta;}}g\left(sin\right(\frac{y_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{y_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{3\mathrm{\&theta;}}=y_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{4\mathrm{\&theta;}}=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(10\right)$

令

$\left\{\begin{array}{c}{z}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{y_{1\mathrm{\&theta;}}}{g}\\ z_{2\mathrm{\&theta;}}=\frac{y_{2\mathrm{\&theta;}}}{g}\\ z_{3\mathrm{\&theta;}}=y_{3\mathrm{\&theta;}}\\ z_{4\mathrm{\&theta;}}=y_{4\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

则如公式(9)所示的俯仰通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{1\mathrm{\&theta;}}=z_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{2\mathrm{\&theta;}}=z_{3\mathrm{\&theta;}}+r_{\mathrm{\&theta;}}\left(sin\right(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{3\mathrm{\&theta;}}=z_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{4\mathrm{\&theta;}}=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(12\right)$

(二)、考虑横滚通道控制***为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=-g\sin \left(\mathrm{\&phi;}\right)\cos \left(\mathrm{\&theta;}\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

由于在设计横滚通道控制律时认为俯仰通道的俯仰角θ已经收敛到零，所以公式(13)可以写成

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=-g\sin \mathrm{\&phi;}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

取状态变量x_1φ＝y，x_3φ＝φ，则

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1\mathrm{\&phi;}}=x_{2\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{\&phi;}}=-{\mathrm{gx}}_{3\mathrm{\&phi;}}-g\left(sin\right(x_{3\mathrm{\&phi;}})-x_{3\mathrm{\&phi;}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3\mathrm{\&phi;}}=x_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(15\right)$

令y_1φ＝r_φx_1φ，y_2φ＝r_φx_2φ，y_3φ＝r_φx_3φ，y_4φ＝r_φx_4φ，u_φ＝r_φτ_φ，其中r_φ是待设计的正的常数，有

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{1\mathrm{\&phi;}}=y_{2\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{2\mathrm{\&phi;}}=-{\mathrm{gy}}_{3\mathrm{\&phi;}}-r_{\mathrm{\&phi;}}g\left(sin\right(\frac{y_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}})-\frac{y_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{3\mathrm{\&phi;}}=y_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{4\mathrm{\&phi;}}=u_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(16\right)$

令

$\left\{\begin{array}{c}{z}_{1\mathrm{\&phi;}}=-\frac{y_{1\mathrm{\&phi;}}}{g}\\ z_{2\mathrm{\&phi;}}=-\frac{y_{2\mathrm{\&phi;}}}{g}\\ z_{3\mathrm{\&phi;}}=y_{3\mathrm{\&phi;}}\\ z_{4\mathrm{\&phi;}}=y_{4\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(17\right)$

则如公式(14)所示的横滚通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{1\mathrm{\&phi;}}=z_{2\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{2\mathrm{\&phi;}}=z_{3\mathrm{\&phi;}}+r_{\mathrm{\&phi;}}\left(sin\right(\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}})-\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{3\mathrm{\&phi;}}=z_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{4\mathrm{\&phi;}}=u_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(18\right)$

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式步骤二中设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：

步骤3.1：定义一般的饱和函数：

σ_ε(·)为一般的饱和函数，按如下方式进行定义

${\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\left(x^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;},& x^{\&prime;}>\mathrm{\&epsiv;}\\ x^{\&prime;},& -\mathrm{\&epsiv;}\&le;x^{\&prime;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}\\ -\mathrm{\&epsiv;},& x^{\&prime;}<-\mathrm{\&epsiv;}\end{array}\right.---\left(19\right)$

ε表示一般的饱和函数的饱和值；如果ε＝1则σ₁(x′)＝σ(x′)为(2)式定义的标准饱和函数；

步骤3.2：将如公式(12)所示的俯仰通道控制***变换成上三角非线性***：

对于如公式(12)所示的俯仰通道控制***，设

$A_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

以及

$A_1=\left[\begin{array}{cccc}0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]---\left(21\right)$

其中λ_θ为待设计的正的常数；对如公式(12)所示的俯仰通道控制***作变换w＝T_θz_θ，

z_θ＝[z_1θ,z_2θ,z_3θ,z_4θ]^T，w＝[w₁,w₂,w₃,w₄]^T

$T_{\mathrm{\&theta;}}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& A_1{b}_1& A_1^2{b}_1& A_1^3{b}_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& A_0{b}_0& A_0^2{b}_0& A_0^3{b}_0\end{array}\right]}^{-1}---\left(22\right)$

根据(20)和(21)能够推出

$T_{\mathrm{\&theta;}}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3& 3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2& 3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2& 2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(23\right)$

其逆矩阵为

${T_{\mathrm{\&theta;}}}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& -\frac{3}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& \frac{3}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& -\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}\\ 0& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}& -\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\\ 0& 0& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}& -\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

设

$f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=r_{\mathrm{\&theta;}}\left(sin\right(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})$

则如公式(12)所示的俯仰通道控制***可以变换为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(24\right)$

步骤3.3：设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律u_θ＝-u_4θ，其中

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{4\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{3\mathrm{\&theta;}})\\ u_{3\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+u_{2\mathrm{\&theta;}})\\ u_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+u_{1\mathrm{\&theta;}})\\ u_{1\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1\right)\end{array}\right.---\left(25\right)$

分别是饱和值为ε_1θ‐ε_4θ的一般的饱和函数；u_1θ-u_4θ是定义的中间参量；由于上式恰好可以写成(1)；

步骤3.4：建立保证控制律u_θ＝-u_4θ工作在线性区的条件：

考虑(24)和(25)组成的闭环***的最后一个状态w₄满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=-u_{4\mathrm{\&theta;}}=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{3\mathrm{\&theta;}})$

取Lyapunov函数若

2ε_3θ＜ε_4θ (26)则存在一个数d₁使得ε_3θ＜d₁≤ε_4θ-ε_3θ；当λ_θw₄>d₁时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{3\mathrm{\&theta;}})>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}(d_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}})=d_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}>0$

其中0＜d₁-ε_3θ＜ε_4θ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\left(w_4\right)=w_4{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4<-\left|w_4\right|(d_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}})---\left(27\right)$

类似地，如果λ_θw₄＜-d₁，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{3\mathrm{\&theta;}})<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}(-d_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}})=-d_1+{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}<0$

由于2ε_3θ-ε_4θ＜-d₁+ε_3θ＜0，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\left(w_4\right)=w_4{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4<-\left|w_4\right|(d_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}})---\left(28\right)$

综合(27)和(28)可知，如果(26)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\left(w_4\right)<-(d_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}})\sqrt{2V_1\left(w_4\right)},\&ForAll;w_4\&Element;\{w_4:V_1\left(w_4\right)>\frac{d_1^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\}$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₁>t₀，对于有最终对有|λ_θw₄|≤d₁和|λ_θw₄+u_3θ|≤d₁+ε_3θ≤ε_4θ；从而有

u_4θ＝λ_θw₄+u_3θ (29)

以及

|λ_θw₄|≤ε_4θ-ε_3θ (30)

将(29)代入***(24)和(25)，得到如下***

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-u_{3\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-u_{3\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=-u_{3\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4-u_{3\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(31\right)$

考虑闭环***的第三个状态w₃满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=-u_{3\mathrm{\&theta;}}=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+u_{2\mathrm{\&theta;}})$

取Lyapunov函数若

2ε_2θ＜ε_3θ (32)则存在一个数d₂使得ε_2θ＜d₂≤ε_3θ-ε_2θ，当λ_θw₃>d₂时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+u_{2\mathrm{\&theta;}})>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}(d_2-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})=d_2-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}>0$

其中0＜d₂-ε_2θ＜ε_3θ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2\left(w_3\right)=w_3{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3<-\left|w_3\right|(d_2-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})---\left(33\right)$

类似地，如果λ_θw₃＜-d₂，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+u_{2\mathrm{\&theta;}})<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}(-d_2+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})=-d_2+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}<0$

由于2ε_2θ-ε_3θ＜-d₂+ε2θ＜0，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2\left(w_3\right)=w_3{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3<-\left|w_3\right|(d_2-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})---\left(34\right)$

综合(33)和(34)可知，如果(32)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2\left(w_3\right)<-(d_2-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})\sqrt{2V_2\left(w_3\right)},\&ForAll;w_3\&Element;\{w_3:V_2\left(w_3\right)>\frac{d_2^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\}$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₂>t₀，对于有最终，对于有|λ_θw₃|≤d₂和|λ_θw₃+u_2θ|≤d₂+ε_2θ≤ε_3θ成立；从而有

u_3θ＝λ_θw₃+u_2θ (35)

以及

|λ_θw₃|≤ε_3θ-ε_2θ (36)

将(35)代入***(31)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-u_{2\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-u_{2\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-u_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-u_{2\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(37\right)$

考虑闭环***的第二个状态w₂满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-u_{2\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+u_{1\mathrm{\&theta;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)$

由于

$\left\{\begin{array}{c}{z}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{w_3-w_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\\ \left|w_3\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\\ \left|w_4\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\end{array}\right.---\left(38\right)$

所以有下面求取函数

$f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=r_{\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}-sin\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;\&rsqb;,\left|z_{3\mathrm{\&theta;}}\right|\&Element;\&lsqb;0,\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\&rsqb;$

极大值，由于

$\left|f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\right|=r_{\mathrm{\&theta;}}|sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\right)-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}|=f(-z_{3\mathrm{\&theta;}})$

所以只要假设z_3θ≥0.取其中a为大于0待定常数；那么

$\begin{array}{c}max\left\{f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\right\}=r_{\mathrm{\&theta;}}(\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}-sin(\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\left)\right)\\ =r_{\mathrm{\&theta;}}\left(a-\sin a\right)\\ =\frac{\left({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}\right)\left(a-\sin a\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}a}\end{array}$

令

$\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-\sin a)}{a}={\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}}$

取Lyapunov函数若

2ε_1θ+ε_0θ＜ε_2θ (39)成立，则存在一个数d₃使得ε_1θ+ε_0θ＜d₃≤ε_2θ-ε_1θ；当λ_θw₂>d₃时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+u_{1\mathrm{\&theta;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}(d_3-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}})-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}}=d_3-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}}>0$

其中ε_0θ＜d₃-ε_1θ＜ε_2θ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\left(w_2\right)=w_2{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2<-\left|w_2\right|(d_3-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}})---\left(40\right)$

类似地，如果λ_θw₂＜-d₃，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+u_{1\mathrm{\&theta;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}(-d_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}})+{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}}=-d_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}}<0$

由于2ε_1θ-ε_2θ≤-d₃+ε_1θ＜-ε_0θ，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\left(w_2\right)=w_2{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2<-\left|w_2\right|(d_3-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}})---\left(41\right)$

综合(40)和(41)可知，如果(39)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\left(w_2\right)<-(d_3-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&theta;}})\sqrt{2V_3\left(w_2\right)},\&ForAll;w_2\&Element;\{w_2:V_3\left(w_2\right)>\frac{d_3^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\}$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₃>t₀，对于有最终，对于有|λ_θw₂|≤d₃和|λ_θw₂+u_1θ|≤d₃+ε_1θ≤ε_2θ成立；从而有

u_2θ＝λ_θw₁+u_1θ

将上式代入***(37)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1=-u_{1\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-u_{1\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-u_{1\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-u_{1\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(42\right)$

考虑闭环***的第一个状态w₁满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1=-u_{1\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1\right)+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)$

取Lyapunov函数令

$\frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-\sin a)}{a}=\mathrm{\&alpha;}$

如果不等式

$\frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-\sin a)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}---\left(43\right)$

成立，则当λ_θw₁>ε_1θ时有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4\left(w_1\right)=w_1{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1\&le;-\left|w_1\right|({\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})<0$

当λ_θw₁＜-ε_1θ时有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_4\left(w_1\right)=w_1{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1\&le;-\left|w_1\right|({\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}-\mathrm{\&alpha;})<0$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₄>t₀，对于有|λ_θw₁|≤ε_1θ，从而有u_1θ＝λ_θw₁，将此式代入***(42)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1\end{array}\right.---\left(44\right)$

综合上述推导，如果不等式(26)、(32)、(39)、(43)成立，控制律(25)最终工作在线性区，闭环***可以写成(44)；将不等式(26)、(32)、(39)、(43)综合写成

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}+\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-\sin a)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}\\ \frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-sina)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(45\right)$

因此可以取

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{b\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{b\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}+\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-\sin a)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}\\ \frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}})(a-sina)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(46\right)$

其中b＜1是正的常数；解不等式(46)可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}<\frac{1}{2}\&lsqb;{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(a-\sin a\right)}{a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&rsqb;\\ \frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(a-\sin a\right)}{a}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(47\right)$

显然ε_1θ存在的充分必要条件是

$\frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;(a-\sin a)}{a}<\frac{1}{2}\&lsqb;{\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;(a-\sin a)}{a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&rsqb;---\left(48\right)$

由此解得

$b>\sqrt{\frac{28a-28\sin a}{8a-7\sin a}}---\left(49\right)$

另一方面注意到

$u_{max\mathrm{\&theta;}}\&GreaterEqual;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}}=\frac{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}=\frac{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}{1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2}---\left(50\right)$

其中u_maxθ是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；由上式解得λ_θ应满足不等式

${\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}---\left(51\right)$

进而取

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{1}{2}\&lsqb;\frac{1}{2}\&lsqb;{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(a-\sin a\right)}{a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&rsqb;+\frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(a-\sin a\right)}{a}\&rsqb;\\ =\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\end{array}---\left(52\right)$

总结可知，如果下面的一组条件满足

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}\\ \sqrt{\frac{28a-28\sin a}{8a-7\sin a}}<b<1\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(53\right)$

则如公式(25)所示的控制律工作在线性区，闭环***可以写成：

$\stackrel{\&CenterDot;}{w}=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(54\right)$

其中

$f_1=3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right),f_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right),f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=r_{\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;sin\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;,z_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{w_3-w_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}$

步骤3.5：证明如公式(54)所示的闭环***的全局渐近稳定性：

对于闭环***(54)，设

$A_4=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ -1& -1& -1& 0\\ -1& -1& -1& -1\end{array}\right],b_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],F=\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

取Lyapunov函数V₅(w)＝w^TPw，其中P＝I₄为4阶单位矩阵，则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{w}}^{T}Pw+w^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{w}\\ ={\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{A}_{4}w+F\right)}^{T}Pw+w^{T}P\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{A}_{4}w+F\right)\\ ={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^T{A}_4^{T}Pw+F^{T}Pw+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^T{\mathrm{PA}}_{4}w+w^{T}PF\\ =w^T\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{A}_4^{T}P+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{PA}}_4\right)w+2F^{T}Pw\\ =w^T\left(-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}P-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{b}_4{b}_4^T\right)w+2F^{T}Pw\\ =-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^{T}Pw+2F^{T}Pw-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^T{b}_4{b}_4^{T}w\end{array}---\left(55\right)$

由于

$\begin{array}{c}2F^{T}Pw=F^T{P}^{\frac{1}{2}}{P}^{\frac{1}{2}}w+{\mathrm{wP}}^{\frac{1}{2}}{P}^{\frac{1}{2}}{F}^T\\ ={\left(P^{\frac{1}{2}}F\right)}^T\left(P^{\frac{1}{2}}w\right)+{\left(P^{\frac{1}{2}}w\right)}^T\left(P^{\frac{1}{2}}F\right)\\ \&le;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}{w}^{T}Pw+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{F}^{T}PF\end{array}---\left(56\right)$

则(55)可进一步写成

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^{T}Pw+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}{w}^{T}Pw+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{F}^{T}PF-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^T{b}_4{b}_4^{T}w\\ =-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}{w}^2+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{F}^{T}PF-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}^T{b}_4{b}_4^{T}w\end{array}---\left(57\right)$

由于和

$\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{F}^{T}PF=\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\left[\begin{array}{cccc}3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ 0\\ 0\end{array}\right]=20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3{\left(f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\right)}^2---\left(58\right)$

成立，从(57)可以推出

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)\&le;-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)+20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3{f}^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)---\left(59\right)$

另一方面，由于

$\begin{array}{c}\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3{f}^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}^2}{z}_{3\mathrm{\&theta;}}^2=\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3{f}^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}^2}{\&lsqb;\frac{w_3-w_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;}^2\\ \&le;\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3{f}^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}^2}\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\left(w_3^2+w_4^2\right)\\ =40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\frac{f^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}^2}\left(w_3^2+w_4^2\right)\end{array}$

不等式(59)可以进一步写成

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)\&le;-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}(w_3^2+w_4^2)+40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{\&lsqb;\frac{f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;}^2(w_3^2+w_4^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}(w_1^2+w_2^2)\\ =-\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\frac{f^2\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}^2}\&rsqb;\left(w_3^2+w_4^2\right)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}\left(w_1^2+w_2^2\right)\end{array}---\left(60\right)$

令

$g\left(z_3\right)=\frac{f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&theta;}}}=\frac{\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}-sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\right)}{\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}}=1-\frac{sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\right)}{\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}}$

再令由于所以又由于所以l₃∈[0,a]；从而g(z_3θ)可以写成

$g\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=1-\frac{\sin l_3}{l_3}$

由于函数在[0,π]上单调递增，所以当l₃＝a时g(z_3θ)取极大值因此(60)可以写成

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)\&le;-\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{(1-\frac{\sin a}{a})}^2\&rsqb;(w_3^2+w_4^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}(w_1^2+w_2^2)$

因此，如果

$\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{(1-\frac{\sin a}{a})}^2>0$

或者等价地

$\frac{1}{\sqrt{80}}>1-\frac{\sin a}{a}---\left(61\right)$

则存在充分小的正数δ_θ使得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_5\left(w\right)\&le;-{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{\&theta;}}(w_3^2+w_4^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{2}(w_1^2+w_2^2)$

根据Lyapunov稳定性定理，闭环***(54)是一致指数渐近稳定的；最后，解不等式(61)得到

a＜0.8 (62)

综上，如果a满足不等式(62)，则闭环***(54)是渐近稳定的。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式步骤三中设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：

步骤4.1：将如公式(18)所示的横滚通道控制***变换成上三角非线性***：

对于如公式(18)所示的横滚通道控制***，设

以及

$A_3=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(64\right)$

其中为待设计的正的常数，对如公式(18)所示的横滚通道***作变换其中

根据(63)和(64)可推出

则其逆矩阵为

设

则如公式(18)所示的横滚通道控制***可以变换为

步骤4.2：设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律u_φ＝-u_4φ，其中

分别是饱和值为ε_1θ‐ε_4θ的一般的饱和函数；是定义的中间参量；由于

上式恰好可以写成(3)；

步骤4.3：建立保证控制律u_φ＝-u_4φ工作在线性区的条件：

考虑(67)和(68)组成的闭环***的最后一个状态v₄满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4=-u_{4\mathrm{\&phi;}}=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4+u_{3\mathrm{\&phi;}})$

取Lyapunov函数若

2ε_3φ＜ε_4φ (69)

则存在一个数d₄使得ε_3φ＜d₄≤ε_4φ-ε_3φ，当λ_φv₄>d₄时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4+u_{3\mathrm{\&phi;}})>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}(d_4-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}})=d_4-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}>0$

其中0＜d₄-ε_3φ＜ε_4φ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_6\left(v_4\right)=v_4{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4<-\left|v_4\right|(d_4-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}})---\left(70\right)$

类似地，如果λ_φv₄＜-d₄，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4+u_{3\mathrm{\&phi;}})<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}(-d_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}})=-d_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}<0$

由于2ε_3φ-ε_4φ＜-d₄+ε_3φ＜0，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_6\left(v_4\right)=v_4{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4<-\left|v_4\right|(d_4-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}})---\left(71\right)$

综合(70)和(71)可知，如果(69)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_6\left(v_4\right)<-(d_4-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}})\sqrt{2V_6\left(v_4\right)},\&ForAll;v_4\&Element;\{v_4:V_6\left(v_4\right)>\frac{d_4^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\}$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₅>t₀，对于有最终对有|λ_φv₄|≤d₄和|λ_φv₄+u_3φ|≤d₄+ε_3φ≤ε_4φ，从而有

u_4φ＝λ_φv₄+u_3φ (72)

以及

|λ_φv₄|≤ε_4φ-ε_3φ (73)

将(72)代入***(67)和(68)，得到如下***

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-u_{3\mathrm{\&phi;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-u_{3\mathrm{\&phi;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3=-u_{3\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4-u_{3\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(74\right)$

考虑闭环***(74)的第三个状态v₃满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3=-u_{3\mathrm{\&phi;}}=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3+u_{2\mathrm{\&phi;}})$

取Lyapunov函数若

2ε_2φ＜ε_3φ (75)

则存在一个数d₅使得ε_2φ＜d₅≤ε_3φ-ε_2φ，当λ_φv₃>d₅时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3+u_{2\mathrm{\&phi;}})>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}(d_5-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})=d_5-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}>0$

其中0＜d₅-ε_2φ＜ε_3φ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_7\left(v_3\right)=v_3{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3<-\left|v_3\right|(d_5-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})---\left(76\right)$

类似地，如果λ_φv₃＜-d₅，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3+u_{2\mathrm{\&phi;}})<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}(-d_5+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})=-d_5+{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}<0$

由于2ε_2φ-ε_3φ＜-d₅+ε_2φ＜0，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_7\left(v_3\right)=v_3{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3<-\left|v_3\right|(d_5-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})---\left(77\right)$

综合(76)和(77)可知，如果(75)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_7\left(v_3\right)<-(d_5-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})\sqrt{2V_7\left(v_3\right)},\&ForAll;v_3\&Element;\{v_3:V_7\left(v_3\right)>\frac{d_5^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\}$

按照Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₆>t₀，对于有最终，对于有|λ_φv₃|≤d₅和|λ_φv₃+u_2φ|≤d₅+ε_2φ≤ε_3φ成立；从而有

u_3φ＝λ_φv₃+u_2φ (78)

以及

|λ_φv₃|≤ε_3φ-ε_2φ (79)

将(78)代入***(74)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-u_{2\mathrm{\&phi;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-u_{2\mathrm{\&phi;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-u_{2\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-u_{2\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(80\right)$

考虑闭环***(74)的第二个状态v₂满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-u_{2\mathrm{\&phi;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2+u_{1\mathrm{\&phi;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)$

由于

$\left\{\begin{array}{c}{z}_{3\mathrm{\&phi;}}=\frac{v_3-v_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}\\ \left|v_3\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}\\ \left|v_4\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}\end{array}\right.---\left(81\right)$

所以有下面求取函数

$h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=r_{\mathrm{\&phi;}}\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}-sin\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}\&rsqb;\&rsqb;,z_{3\mathrm{\&phi;}}\&Element;\&lsqb;0,\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\&rsqb;$

极大值，由于

$\left|h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\right|=r_{\mathrm{\&phi;}}|sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}\right)-\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}|=h(-z_{3\mathrm{\&phi;}})$

所以只要假设z_3φ≥0；取其中c为大于0待定常数，那么

$\begin{array}{c}max\left\{h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\right\}=r_{\mathrm{\&phi;}}(\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}-sin(\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\left)\right)\\ =r_{\mathrm{\&phi;}}\left(c-\sin c\right)\\ =\frac{\left({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}\right)\left(c-\sin c\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}c}\end{array}$

令

$\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}={\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}}$

取Lyapunov函数若

2ε_1φ+ε_0φ＜ε_2φ (82)

存在一个数d₆使得ε_1φ+ε_0φ＜d₆≤ε_2φ-ε_1φ；当λ_φv₂>d₆时，有

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2+u_{1\mathrm{\&phi;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)>{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}(d_6-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}})-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}}=d_6-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}}>0$

其中ε_0φ＜d₆-ε_1φ＜ε_2φ，所以因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_8\left(v_2\right)=v_2{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2<-\left|v_2\right|(d_6-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}})---\left(83\right)$

类似地，如果λ_φv₂＜-d₆，那么

${\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2+u_{1\mathrm{\&phi;}})+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)<{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}(-d_6+{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}})+{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}}=-d_6+{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}}<0$

由于2ε_1φ-ε_2φ≤-d₆+ε_1φ＜-ε_0φ，也就是因此

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_8\left(v_2\right)=v_2{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2<-\left|v_2\right|(d_6-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}})---\left(84\right)$

综合(83)和(84)可知，如果(82)成立，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_8\left(v_2\right)<-(d_6-{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{0\mathrm{\&phi;}})\sqrt{2V_8\left(v_2\right)},\&ForAll;v_2\&Element;\{v_2:V_8\left(v_2\right)>\frac{d_6^2}{2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\}$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₇>t₀，对于有最终，对于有|λ_φv₂|≤d₆和|λ_φv₂+u_1φ|≤d₆+ε_1φ≤ε_2φ成立；从而有

u_2φ＝λ_φv₁+u_1φ

将上式代入***(80)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=-u_{1\mathrm{\&phi;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-u_{1\mathrm{\&phi;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-u_{1\mathrm{\&phi;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-u_{1\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(85\right)$

考虑闭环***的第一个状态v₁满足的方程

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=-u_{1\mathrm{\&phi;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}}\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1\right)+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)$

取Lyapunov函数令

$\frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}=\mathrm{\&beta;}$

如果不等式

$\frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}---\left(86\right)$

成立，则当λ_φv₁>ε_1φ时

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_9\left(v\right)=v_1{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1\&le;-\left|v_1\right|({\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-\mathrm{\&beta;})<0$

当λ_φv₁＜-ε_1φ时有

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_9\left(v_1\right)=v_1{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1\&le;-\left|v_1\right|({\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}-\mathrm{\&beta;})<0$

根据Lyapunov稳定性理论，存在有限时间T₈>t₀，对于有|λ_φv₁|≤ε_1φ，从而有u_1φ＝λ_φv₁，将此式代入***(82)可以得到

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_3=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_4=-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_4-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_3-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_2-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}_1\end{array}\right.---\left(87\right)$

综合上述推导，如果不等式(69)、(75)、(82)、(86)成立，控制律(68)最终工作在线性区，闭环***可以写成(87)；将不等式(69)、(75)、(82)、(86)综合写成

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}+\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}\\ \frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(88\right)$

因此可以取

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{d\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}={\mathrm{d\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}\\ 2{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}+\frac{({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_2)(c-\sin c)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}\\ \frac{3({\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}})(c-\sin c)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(89\right)$

其中d＜1是正的常数；解不等式(89)可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}=\frac{d}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}=\frac{d}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}={\left(\frac{d}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}<\frac{1}{2}\&lsqb;{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(c-\sin c\right)}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&rsqb;\\ \frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(c-\sin c\right)}{c}<{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(90\right)$

显然ε_1φ存在的充分必要条件是

$\frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;(c-\sin c)}{c}<\frac{1}{2}\&lsqb;{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;(c-\sin c)}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&rsqb;---\left(91\right)$

由此解得

$d>\sqrt{\frac{28c-28\sin c}{8c-7\sin c}}---\left(92\right)$

另一方面注意到

$u_{max\mathrm{\&phi;}}\&GreaterEqual;\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}{\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{c\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}}=\frac{{\mathrm{c\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}}=\frac{{\mathrm{c\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}{1-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}---\left(93\right)$

其中u_maxφ是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；由上式解得λ_φ应满足不等式：

${\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&phi;}}}{c}\&lsqb;1-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\&rsqb;}---\left(94\right)$

进而取

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}=\frac{1}{2}\&lsqb;\frac{1}{2}\&lsqb;{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}-\frac{\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(c-\sin c\right)}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&rsqb;+\frac{3{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{d}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;\left(c-\sin c\right)}{c}\&rsqb;\\ =\frac{20c-20\sin c-4{\mathrm{cd}}^2+5d^2\sin c}{16c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\end{array}---\left(95\right)$

总结可知，如果下面的一组条件满足

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&phi;}}}{c}\&lsqb;1-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2\&rsqb;}\\ \sqrt{\frac{28c-28\sin c}{8c-7\sin c}}<d<1\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}=\frac{d}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}={\left(\frac{d}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}=\frac{20c-20\sin c-4{\mathrm{cd}}^2+5d^2\sin c}{16c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right.---\left(96\right)$

则如公式(68)所示的控制律工作在线性区，闭环***可以写成：

$\stackrel{\&CenterDot;}{v}=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& 0& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(97\right)$

其中

$h_1=3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right),h_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right),h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=r_{\mathrm{\&phi;}}(sin\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}-\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}),z_{3\mathrm{\&phi;}}=\frac{v_3-v_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}$

步骤4.4：证明如公式(97)所示的闭环***的全局渐近稳定性：

对于闭环***(97)，设

$A_5=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ -1& -1& -1& 0\\ -1& -1& -1& -1\end{array}\right],b_5=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

取Lyapunov函数V₀(v)＝v^TPv，则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{v}}^{T}Pv+v^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{v}\\ ={\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{A}_{4}v+H\right)}^{T}Pv+v^{T}P\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{A}_{4}v+H\right)\\ ={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^T{A}_4^{T}Pv+H^{T}Pv+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^T{\mathrm{PA}}_{4}v+v^{T}PH\\ =v^T\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{A}_4^{T}P+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{\mathrm{PA}}_4\right)v+2H^{T}Pv\\ =v^T\left(-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}P-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{b}_4{b}_4^T\right)v+2H^{T}Pv\\ =-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^{T}Pv+2H^{T}Pv-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^T{b}_4{b}_4^{T}v\end{array}---\left(98\right)$

由于

$\begin{array}{c}2H^{T}Pv=H^T{P}^{\frac{1}{2}}{P}^{\frac{1}{2}}v+{\mathrm{vP}}^{\frac{1}{2}}{P}^{\frac{1}{2}}{H}^T\\ ={\left(P^{\frac{1}{2}}H\right)}^T\left(P^{\frac{1}{2}}v\right)+{\left(P^{\frac{1}{2}}v\right)}^T\left(P^{\frac{1}{2}}H\right)\\ \&le;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}{v}^{T}Pv+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{H}^{T}PH\end{array}---\left(99\right)$

则(98)可进一步写成

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^{T}Pv+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}{v}^{T}Pv+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{H}^{T}PH-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^T{b}_4{b}_4^{T}v\\ =-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}{v}^2+\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{H}^{T}PH-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{v}^T{b}_4{b}_4^{T}v\end{array}---\left(100\right)$

由于和

$\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{H}^{T}PH=\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}\left[\begin{array}{cccc}3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^{2}h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\\ 0\\ 0\end{array}\right]=20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^3{\left(h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)\right)}^2---\left(101\right)$

则从(100)可以推出

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)\&le;-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}(v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2)+20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^3{h}^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)---\left(102\right)$

另一方面，由于

$\begin{array}{c}\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^3{h}^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}^2}{z}_{3\mathrm{\&phi;}}^2=\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^3{h}^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}^2}{\left(\frac{v_3-v_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}\right)}^2\\ \&le;\frac{20{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^3{h}^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}^2}\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}^2}\left(v_3^2+v_4^2\right)\\ =40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}\frac{h^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}^2}\left(v_3^2+v_4^2\right)\end{array}$

则(102)可以进一步写成

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)\&le;-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}\left(v_3^2+v_4^2\right)+40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{\&lsqb;\frac{h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}}\&rsqb;}^2\left(v_3^2+v_4^2\right)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}\left(v_1^2+v_2^2\right)\\ =-\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}\frac{h^2\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}^2}\&rsqb;\left(v_3^2+v_4^2\right)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}\left(v_1^2+v_2^2\right)\end{array}---\left(103\right)$

令

$p\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=\frac{h\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)}{z_{3\mathrm{\&phi;}}}=\frac{\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}-sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}\right)}{\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}}=1-\frac{sin\left(\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}\right)}{\frac{z_{3\mathrm{\&phi;}}}{r_{\mathrm{\&phi;}}}}$

再令由于所以又由于所以k₃∈[0,c]，从而p(z_3φ)可以写成

$p\left(z_{3\mathrm{\&phi;}}\right)=1-\frac{\sin k_3}{k_3}$

对于函数在[0,π]上单调递增，所以p(z_3φ)当k₃＝c时取极大值为因此(103)可以写成

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)\&le;-\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{(1-\frac{\sin c}{c})}^2\&rsqb;(v_3^2+v_4^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}(v_1^2+v_2^2)$

因此，如果

$\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}-40{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}{(1-\frac{\sin c}{c})}^2>0$

或者等价地

$\frac{1}{\sqrt{80}}>1-\frac{\sin c}{c}---\left(104\right)$

则存在充分小的正数δ_φ使得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_0\left(v\right)\&le;-{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{\&phi;}}(v_3^2+v_4^2)-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&phi;}}}{2}(v_1^2+v_2^2)$

根据Lyapunov稳定性定理，闭环***(97)是一致指数渐近稳定的；最后，解不等式(101)得到

c＜0.8 (105)

综上，如果c满足不等式(105)，则闭环***(97)是渐近稳定的。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施例

直接针对原始非线性***(4)进行仿真分析。对于俯仰通道控制***的控制律(1)，取a＝0.5，λ_θ＝0.8，b＝0.99，r_θ＝2；对于横滚通道控制***的控制律(3)，取c＝0.5，λ_φ＝0.8，d＝0.99，r_φ＝2。由前述分析过程知

ε_θ＝[ε_1θ,ε_2θ,ε_3θ,ε_4θ]^T、

可设计如下

$\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}=4,\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=1.98,\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}=0.9801,\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=0.4004,\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&phi;}}=4\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&phi;}}=1.98\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&phi;}}=0.9801\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&phi;}}=0.4004\end{array}\right.\end{array}$

在仿真中设定俯仰通道和横滚通道允许的最大角加速度为2rad/s²，四旋翼无人机质量为482g；在地理坐标系中期望位移的控制目标为(X,Y)＝(0,0)，其初始值为(X₀,Y₀)＝(5,5)。姿态角的控制目标为(θ,φ)＝(0,0)，其初始值设为(θ₀,φ₀)＝(0.2，0.2)。仿真结果如图2-3所示。图2为地理坐标系下X和Y方向位移仿真图，图3为地理坐标系下俯仰角θ和横滚角φ仿真图。

仿真结果显示，在地理坐标系中，在控制律τ_θ和τ_φ的作用下，闭环***具有非常好的动态特性，在地理坐标系下X，Y方向的位移及俯仰角θ和横滚角φ分别能够快速地达到设定值。这表明所设计的嵌套饱和非线性控制方法对于具有执行器饱和的四旋翼无人机控制***具有超调小、收敛快等优良的控制性能。

Claims (4)

1.四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：对四旋翼无人机控制***进行状态变换，将其转化为前馈型非线性控制***；

步骤二：设计四旋翼无人机俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}+\frac{r_{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}+\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}\mathrm{\&sigma;}\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;\&rsqb;---\left(1\right)$

σ(·)为标准的饱和函数，σ(·)定义为

$\mathrm{\&sigma;}\left(x^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x^{\&prime;}>1\\ x^{\&prime;},& -1\&le;x^{\&prime;}\&le;1\\ -1,& x^{\&prime;}<-1\end{array}\right.---\left(2\right)$

x′表示σ(x′)的自变量；w₄，w₃，w₂，w₁为四旋翼俯仰通道控制***的状态变量；λ_θ，ε_4θ，ε_3θ，ε_2θ，ε_1θ，r_θ为满足下式的参数

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ r_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}{{\mathrm{a\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\end{array}\right.$

a和b是限定λ_θ、ε_4θ、ε_3θ、ε_2θ、ε_1θ、r_θ而选取的参数，其中u_maxθ是给定的正的常数，代表四旋翼无人机俯仰角加速度允许的最大值；参数λ_θ是待设计的正常数；

步骤三：设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律

σ(·)为标准的饱和函数；v₄，v₃，v₂，v₁为四旋翼横滚通道控制***的状态变量； 为满足下式的参数

c和d是限定而选取的参数，其中 是给定的正的常数，代表四旋翼无人机横滚角加速度允许的最大值；参数为待设计的正常数。

2.根据权利要求1所述的四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，其特征在于步骤一所述的将四旋翼无人机控制***转化为前馈型非线性控制***的具体过程如下：

四旋翼无人机***，其模型为

其中：

u：四旋翼无人机四个电机的总输入量；

地理坐标系E：O-XYZ，

X表示地理坐标系E下X方向位移；

Y表示地理坐标系E下Y方向位移；

Z表示地理坐标系E下Z方向位移；

机体坐标系B：o-xyz，

x：机体坐标系B下x方向位移；

y：机体坐标系B下y方向位移；

z：机体坐标系B下z方向位移；

m：四旋翼无人机的质量；

g：重力加速度；

横滚角的角加速度；

τ_θ：俯仰角的角加速度；

偏航角的角加速度；

θ：俯仰角，定义为机体轴ox与水平面OXY平面上的夹角，ox向上为正；

横滚角，定义为无人机对称平面oxz与包含ox轴的与水平面垂直的铅垂线平面之间的夹角，向右滚转时为正；

ψ：偏航角，定义为机体轴ox在水平面上的投影与机体坐标系轴ox之间的夹角，无人机右偏航时形成的角度为正；

机体坐标系B和地理坐标系E通过矩阵R相联系：

机体坐标系下的加速度向量作如下表示

$m\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}\end{array}\right]={\mathrm{mR}}^T\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Y}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}\end{array}\right]=R^T\left[\begin{array}{c}m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Y}\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{Z}\end{array}\right]---\left(5\right)$

将式(4)和R代入到式(5)得到

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=mgsin\mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

考虑俯仰通道控制***为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=g\sin \mathrm{\&theta;}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

取状态变量x_1θ＝x，x_3θ＝θ，则

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1\mathrm{\&theta;}}=x_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{gx}}_{3\mathrm{\&theta;}}+g\left(sin\right(x_{3\mathrm{\&theta;}})-x_{3\mathrm{\&theta;}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{3\mathrm{\&theta;}}=x_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{4\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(9\right)$

令y_1θ＝r_θx_1θ，y_2θ＝r_θx_2θ，y_3θ＝r_θx_3θ，y_4θ＝r_θx_4θ，u_θ＝r_θτ_θ，则公式(9)变换成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{1\mathrm{\&theta;}}=y_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{gy}}_{3\mathrm{\&theta;}}+r_{\mathrm{\&theta;}}g\left(sin\right(\frac{y_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{y_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{3\mathrm{\&theta;}}=y_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{4\mathrm{\&theta;}}=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(10\right)$

令

$\left\{\begin{array}{c}{z}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{y_{1\mathrm{\&theta;}}}{g}\\ z_{2\mathrm{\&theta;}}=\frac{y_{2\mathrm{\&theta;}}}{g}\\ z_{3\mathrm{\&theta;}}=y_{3\mathrm{\&theta;}}\\ z_{4\mathrm{\&theta;}}=y_{4\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

则如公式(9)所示的俯仰通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{1\mathrm{\&theta;}}=z_{2\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{2\mathrm{\&theta;}}=z_{3\mathrm{\&theta;}}+r_{\mathrm{\&theta;}}\left(sin\right(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{3\mathrm{\&theta;}}=z_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{4\mathrm{\&theta;}}=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(12\right)$

考虑横滚通道控制***为

在设计横滚通道控制律时认为俯仰通道的俯仰角θ已经收敛到零，所以公式(13)写成

取状态变量则

令有

令

则如公式(14)所示的横滚通道控制***被变换成如下的前馈型非线性***

3.根据权利要求2所述的四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，其特征在于步骤二中设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：

步骤3.1：定义一般的饱和函数：

σ_ε(.)为一般的饱和函数，按如下方式进行定义

${\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\left(x^{\&prime;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;},& x^{\&prime;}>\mathrm{\&epsiv;}\\ x^{\&prime;},& -\mathrm{\&epsiv;}\&le;x^{\&prime;}\&le;\mathrm{\&epsiv;}\\ -\mathrm{\&epsiv;},& x^{\&prime;}<-\mathrm{\&epsiv;}\end{array}\right.---\left(19\right)$

ε表示一般的饱和函数的饱和值；如果ε＝1则σ₁(x′)＝σ(x′)为(2)式定义的标准饱和函数；

步骤3.2：将如公式(12)所示的俯仰通道控制***变换成上三角非线性***：

对于如公式(12)所示的俯仰通道控制***，设

$A_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

以及

$A_1=\left[\begin{array}{cccc}0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]---\left(21\right)$

其中λ_θ为待设计的正的常数；对如公式(12)所示的俯仰通道控制***作变换w＝T_θz_θ，

z_θ＝[z_1θ,z_2θ,z_3θ,z_4θ]^T，w＝[w₁,w₂,w₃,w₄]^T

$T_{\mathrm{\&theta;}}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& A_1{b}_1& A_1^2{b}_1& A_1^3{b}_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& A_0{b}_0& A_0^2{b}_0& A_0^3{b}_0\end{array}\right]}^{-1}---\left(22\right)$

根据(20)和(21)能够推出

$T_{\mathrm{\&theta;}}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3& 3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2& 3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2& 2{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& 0& {\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(23\right)$

其逆矩阵为

${T_{\mathrm{\&theta;}}}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& -\frac{3}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& \frac{3}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}& -\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^3}\\ 0& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}& -\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^2}\\ 0& 0& \frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}& -\frac{1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

设

$f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=r_{\mathrm{\&theta;}}\left(sin\right(\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}})$

则如公式(12)所示的俯仰通道控制***变换为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}+3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{\mathrm{\&theta;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_4=u_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(24\right)$

步骤3.3：设计俯仰通道控制***的嵌套饱和非线性控制律u_θ＝-u_4θ，其中

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{4\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_4+u_{3\mathrm{\&theta;}})\\ u_{3\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_3+u_{2\mathrm{\&theta;}})\\ u_{2\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}}({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_2+u_{1\mathrm{\&theta;}})\\ u_{1\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}}\left({\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}{w}_1\right)\end{array}\right.---\left(25\right)$

分别是饱和值为ε_1θ‐ε_2θ的一般的饱和函数；u_1θ—u_4θ是定义的中间参量；由于上式恰好写成(1)；

步骤3.4：建立保证控制律u_θ＝-u_4θ工作在线性区的条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;\sqrt{\frac{u_{max\mathrm{\&theta;}}}{a}\&lsqb;1-{\&lsqb;\frac{b}{2}\&rsqb;}^2\&rsqb;}\\ \sqrt{\frac{28a-28\sin a}{8a-7\sin a}}<b<1\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}>0\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{b}{2}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{2\mathrm{\&theta;}}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{1\mathrm{\&theta;}}=\frac{20a-20\sin a-4{\mathrm{ab}}^2+5b^2\sin a}{16a}{\mathrm{\&epsiv;}}_{4\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right.---\left(53\right)$

则如公式(25)所示的控制律工作在线性区，闭环***写成：

$\stackrel{\&CenterDot;}{w}=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& 0\\ -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}& -{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(54\right)$

其中

$f_1=3{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right),f_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}^{2}f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right),f\left(z_{3\mathrm{\&theta;}}\right)=r_{\mathrm{\&theta;}}\&lsqb;sin\&lsqb;\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;-\frac{z_{3\mathrm{\&theta;}}}{r_{\mathrm{\&theta;}}}\&rsqb;,z_{3\mathrm{\&theta;}}=\frac{w_3-w_4}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{\&theta;}}}$

步骤3.5：证明如公式(54)所示的闭环***全局渐近稳定性，并确定a<0.8。

4.根据权利要求3所述的四旋翼无人机控制***的嵌套饱和非线性设计方法，其特征在于步骤三中设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律的具体设计过程为：

步骤4.1：将如公式(18)所示的横滚通道控制***变换成上三角非线性***：

对于如公式(18)所示的横滚通道控制***，设

以及

$A_3=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],b_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(64\right)$

其中为待设计的正的常数，对如公式(18)所示的横滚通道***作变换其中

v＝[v₁,v₂,v₃,v₄]^T

根据(63)和(64)可推出

则其逆矩阵为

设

则如公式(18)所示的横滚通道控制***变换为

步骤4.2：设计横滚通道控制***的嵌套饱和非线性控制律其中

分别是饱和值为的一般的饱和函数；；是定义的中间参量；由于上式恰好写成(3)；

步骤4.3：建立保证控制律工作在线性区的条件：

则如公式(68)所示的控制律工作在线性区，闭环***写成：

其中

步骤4.4：证明如公式(97)所示的闭环***全局渐近稳定性，并确定c<0.8。