CN105701332A - 基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法，所述方法用优化方法解决控制领域问题，定义函数f和c的近似割平面模型，在引入第l个改进函数的割平面模型后，进行特征值非精确优化方法设计和计算。本发明在建立数学模型和数值准确性之间寻找平衡，广泛的应用于机器人设计、反Chebyshev逼近、最优时间控制、中心设计、滤波器设计中的信号处理、竞争决策中。

Description

基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法

技术领域

本发明属于自动化控制技术领域，具有涉及一种基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法。

背景技术

自动化控制领域，智能控制问题涉及工业、农业以及国民生活的各个方面，在控制过程中，因环境因素的变化而对控制参数的智能调节问题是控制人员面临的一个难题，特别在基因扩增控制过程中，DNA环境因素影响着控制过程的参数调节，在控制过程中，需要找到一个普遍的非精确优化方法，于是需要求解一类非精确优化问题：

minf(x)

s.tc(x)≤0，

其中f(x)，c(x)都是非光滑函数。众所周知，即便是非光滑无约束问题很难直接求解。求解非精确优化问题的方法可简单的分为：次梯度方法、割平面方法、解析中心割平面方法、束方法。束方法和解析中心割平面方法可认为是割平面方法的的改进版本，且更加稳定、可靠。其中，解析中心割平面方法是基于一种给定的分离信息程序，所以在某种程度上该方法不是基于Oralce。Lemarechal和Wolfe在1975年分别提出了求解凸优化问题的束方法。其后，学者们设计出了一系列杰出的束方法，但是这些方法都是基于精确的函数值和次梯度信息，也就是精确束方法。

直到2001年，Hintermuller提出了一个基于非精确次梯度信息的近迫束方法。Kiwiel给出了一个改进的束方法，该方法同样只是基于非精确次梯度信息。以上算法都只是针对非光滑凸问题，目前还没有求解非精确优化问题优化方法。

发明内容

为了克服现有技术的不足，提出了一种基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法，所述方法用优化方法解决现实问题，最重要的是需要在建立数学模型和数值准确性之间寻找平衡。需要越多的信息，往往这个模型就越难求解。因此，非精确束方法有着更广泛的应用，且本发明的数学模型可以广泛的应用于机器人设计、反Chebyshev逼近、最优时间控制、中心设计、滤波器设计中的信号处理、竞争决策中。

本发明的技术方案为：基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法，所述方法用优化方法解决控制领域问题，定义函数f和c的近似割平面模型：

${\hat{f}}_l\left(y\right)=f_{x^k}+\underset{i\&Element;L_l^f}{\max }\{-{\hat{e}}_{f_i}^k+<g_{f_{y^i}}+{\mathrm{\&rho;}}_l{\mathrm{\&Delta;}}_i^k,y-x^k>\},$

${\hat{c}}_l\left(y\right)=c_{x^k}+\underset{i\&Element;L_l^c}{\max }\{-{\hat{e}}_{c_i}^k+<g_{c_{y^i}}+{\mathrm{\&rho;}}_l{\mathrm{\&Delta;}}_i^k,y-x^k>\}.$

其中

$e_{f_i}^k=f_{x^k}-f_{y^i}-<g_{f_{y^i}},x^k-y^i>,$

$e_{c_i}^k=c_{x^k}-c_{y^i}-<g_{c_{y^i}},x^k-y^i>.$

有了以上函数，引入如下的第l个改进函数的割平面模型：

初始步：

选取初始点y⁰，令x⁰＝y⁰，用Oracle计算非精确函数值以及非精确次梯度令下降步指标k＝k(l)＝0，迭代指标l＝0，指标集

Step1(计算迭代点)：

为了得到迭代点y^l+1，计算下面的二次规划：

由此，计算预测下降量

并通过Oracle计算以及

Step2(束更新)：

计算新的束信息：

${\mathrm{\&Delta;}}_{l+1}^k=y^{l+1}-x^k,d_{l+1}^k=\frac{{\left|\right|y^{l+1}-x^k\left|\right|}^2}{2},$

$e_{f_{l+1}}^k=f_{x^k}-f_{y^{l+1}}-<g_{f_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>,$

$e_{c_{l+1}}^k=c_{x^k}-c_{y^{l+1}}-<g_{c_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>.$

相应地更新，

${\hat{e}}_{f_{l+1}}^k=e_{f_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k,{\hat{e}}_{c_{l+1}}^k=e_{c_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k.$

最后，选择新的迭代指标集

Step3(下降步测试)：

如果δ_l≤tol_stop则迭代停止，否则试探如下的下降步测试：

$\left\{\begin{array}{cc}{f}_{y^{l+1}}\&le;f_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,c_{y^{l+1}}\&le;0,& \mathrm{if}{c}_{x^k}\&le;0,\\ c_{y^{l+1}}\&le;c_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,& \mathrm{if}{c}_{x^k}>0.\end{array}\right.$

如果y^l+1满足上面的式子，则y^l+1是下降步，则令x^k+1＝y^l+1，k(l+1)＝k+1，k＝k+1，以及否则令x^k+1＝x^k，k(l+1)＝k，

Step4(更新凸化参数)：

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_l,& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }\&le;{\mathrm{\&rho;}}_l,\\ N_0{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }>{\mathrm{\&rho;}}_l,\end{array}\right.$

其中

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }=\underset{d_i^k\&NotEqual;0}{\max }\{\underset{i\&Element;L_{l+1}^f}{\max }-\frac{e_{f_i}^k}{d_i^k},\underset{i\&Element;L_{l+1}^c}{\max }-\frac{e_{c_i}^k}{d_i^k}\}.$

更新迭代指标，令l＝l+1，

Step5(更新迫近参数)：

如果满足如下不等式同时满足，

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{y^{l+1}}>f_{x^k}+M_0\\ c_{y^{l+1}}>c_{x^k}+M_0,\end{array}\right.$

则此迭代点被认为是不可接受的，需要快速的增加迫近参数μ_l+1

μ_l+1＝N₁μ_l.

其中，

参数m∈(0，1)，M₀＞0，N₀＞1，N₁＞1，初始迫近参数μ₀，初始凸化参数ρ₀，迭代终止参数tol_stop＝10^-6；

重新设置参数以及束信息：

ρ₀＝ρ_l+1，μ₀＝μ_l+1，x⁰＝x^k，k＝l＝0，

$e_{f_0}^0=0,e_{c_0}^0=0,d_0^0=0,{\mathrm{\&Delta;}}_0^0=0.$

否则，令μ_l+1＝μ_l，转入Step1。

本发明有益效果

1)本发明所述方法用优化方法解决控制所面临的问题，在建立数学模型和数值准确性之间寻找平衡。

2)本发明在控制领域有着更广泛的应用，本发明的数学模型可以广泛的应用于机器人设计、反Chebyshev逼近、最优时间控制、中心设计、滤波器设计中的信号处理、竞争决策中。

3)本发明使用非精确信息，且函数值和次梯度信息都是非精确的。

具体实施方式

本发明应用于一类重要的非精确优化问题，即目标函数f(x)和约束函数c(x)都是非凸函数。本方法引入了改进函数

$h_{x^k}\left(x\right)=\max \{f\left(x\right)-f_{x^k};c\left(x\right)\},$

其中x^k是下降步，也称为迭代中心。通过改进函数，将非精确优化约束问题转化成更容易求解的非光滑无约束问题

$\begin{array}{cc}\min & h_{x^k}\left(x\right).\end{array}$

本发明使用非精确信息，且函数值和次梯度信息都是非精确的。在我们的束方法中使用入下的信息：

$\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{c}{f}_x=f\left(x\right)-{\mathrm{\&eta;}}_x,\\ g_{f_x}\&Element;B(g_{f\left(x\right)},{\mathrm{\&gamma;}}_x);\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{c}{c}_x=f\left(x\right)-{\mathrm{\&eta;}}_x,\\ g_{c_x}\&Element;B(g_{c\left(x\right)},{\mathrm{\&gamma;}}_x),\end{array}\right.\end{array}$

其中以及η_x，γ_x是非精确参数。

在描述非精确迫近束方法之前，首先有如下的信息：

$d_i^k=\frac{{|y^i-x^k|}^2}{2},{\mathrm{\&Delta;}}_i^k=y^i-x^k,$

其中yⁱ是迭代点，x^k是迭代中心。然后，如下的线性化误差：

$e_{f_i}^k=f_{x^k}-f_{y^i}-<g_{f_{y^i}},x^k-y^i>,$

$e_{c_i}^k=c_{x^k}-c_{y^i}-<g_{c_{y^i}},x^k-y^i>.$

为了处理非凸函数，在线性化误差中加入了二次项，

${\hat{e}}_{f_i}^k=e_{f_i}^k+{\mathrm{\&rho;}}_l{d}_i^k\text{,}{\hat{e}}_{c_i}^k=e_{c_i}^k+{\mathrm{\&rho;}}_l{d}_i^k,$

其中ρ_l是凸化参数，且遵循以下原则

${\mathrm{\&rho;}}_l\&GreaterEqual;{\mathrm{\&rho;}}_{\min }=\underset{d_i^k\&NotEqual;0}{\max }\{\underset{i\&Element;L_l^f}{\max }-\frac{e_{f_i}^k}{d_i^k},\underset{i\&Element;L_l^c}{\max }-\frac{e_{c_i}^k}{d_i^k}\}.$

其中和是对应的指标集。通过该策略，可以保证和都是非负的。

本发明在引入如下的第l个改进函数的割平面模型后，就可以进行分析计算，计算的步骤为。

第0部，即，初始步：

在本步骤的计算中，首先选取初始数据点，以便计算迭代点，如，选取初始点y⁰，令x⁰＝y⁰，用Oracle计算非精确函数值以及非精确次梯度令下降步指标k＝k(l)＝0，迭代指标l＝0，指标集

Step1(计算迭代点)：

为了得到迭代点y^l+1，计算下面的二次规划：

由此，计算预测下降量

并通过Oracle计算以及

Step2(束更新)：

计算新的束信息：

${\mathrm{\&Delta;}}_{l+1}^k=y^{l+1}-x^k,d_{l+1}^k=\frac{{\left|\right|y^{l+1}-x^k\left|\right|}^2}{2},$

$e_{f_{l+1}}^k=f_{x^k}-f_{y^{l+1}}-<g_{f_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>,$

$e_{c_{l+1}}^k=c_{x^k}-c_{y^{l+1}}-<g_{c_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>.$

相应地更新，

${\hat{e}}_{f_{l+1}}^k=e_{f_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k,{\hat{e}}_{c_{l+1}}^k=e_{c_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k.$

最后，选择新的迭代指标集

Step3(下降步测试)：

如果δ_l≤tol_stop则迭代停止，否则试探如下的下降步测试：

$\left\{\begin{array}{cc}{f}_{y^{l+1}}\&le;f_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,c_{y^{l+1}}\&le;0,& \mathrm{if}{c}_{x^k}\&le;0,\\ c_{y^{l+1}}\&le;c_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,& \mathrm{if}{c}_{x^k}>0.\end{array}\right.$

如果y^l+1满足上面的式子，则y^l+1是下降步，则令x^k+1＝y^l+1，k(l+1)＝k+1，k＝k+1，以及否则令x^k+1＝x^k，k(l+1)＝k，

Step4(更新凸化参数)：

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_l,& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }\&le;{\mathrm{\&rho;}}_l,\\ N_0{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }>{\mathrm{\&rho;}}_l,\end{array}\right.$

其中

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }=\underset{d_i^k\&NotEqual;0}{\max }\{\underset{i\&Element;L_{l+1}^f}{\max }-\frac{e_{f_i}^k}{d_i^k},\underset{i\&Element;L_{l+1}^c}{\max }-\frac{e_{c_i}^k}{d_i^k}\}.$

更新迭代指标，令l＝l+1，

Step5(更新迫近参数)：

如果满足如下不等式同时满足，

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{y^{l+1}}>f_{x^k}+M_0\\ c_{y^{l+1}}>c_{x^k}+M_0,\end{array}\right.$

则此迭代点被认为是不可接受的，需要快速的增加迫近参数μ_l+1

μ_l+1＝N₁μ_l.

其中，

参数m∈(0，1)，M₀＞0，N₀＞1，N₁＞1，初始迫近参数μ₀，初始凸化参数ρ₀，迭代终止参数tol_stop＝10^-6；

重新设置参数以及束信息：

ρ₀＝ρ_l+1，μ₀＝μ_l+1，x⁰＝x^k，k＝l＝0，

$e_{f_0}^0=0,e_{c_0}^0=0,d_0^0=0,{\mathrm{\&Delta;}}_0^0=0.$

否则，令μ_l+1＝μ_l，转入Step1。

在本发明的算法中，引了入改进函数，将约束问题转化为无约束问题，使问题简单化，为了非精确束方法的收敛性，在割平面模型中加入二次项，以确保束方法的快速收敛，使用非精确函数值和非精确次梯度信息，能更好的解决复杂的模型，如半无限问题、两阶段随机规划问题。

Claims (1)

1.基于多因素复杂控制问题的特征值非精确优化方法，其特征是：所述方法用优化方法解决控制领域问题，定义函数f和c的近似割平面模型：

${\hat{f}}_l\left(y\right)=f_{x^k}+\underset{i\&Element;L_l^f}{\max }\{-{\hat{e}}_{f_i}^k+<g_{f_{y^i}}+{\mathrm{\&rho;}}_l{\mathrm{\&Delta;}}_i^k,y-x^k>\},$

${\hat{c}}_l\left(y\right)=c_{x^k}+\underset{i\&Element;L_l^c}{\max }\{-{\hat{e}}_{c_i}^k+<g_{c_{y^i}}+{\mathrm{\&rho;}}_l{\mathrm{\&Delta;}}_i^k,y-x^k>\}.$

其中

$e_{f_i}^k=f_{x^k}-f_{y^i}-<g_{f_{y^i}},x^k-y^i>,$

$e_{c_i}^k=c_{x^k}-c_{y^i}-<g_{c_{y^i}},x^k-y^i>.$

有了以上函数，引入如下的第l个改进函数的割平面模型：

初始步：

选取初始点y⁰，令x⁰＝y⁰，用Oracle计算非精确函数值以及非精确次梯度令下降步指标k＝k(l)＝0，迭代指标l＝0，指标集

Step1(计算迭代点)：

为了得到迭代点y^l+1，计算下面的二次规划：

由此，计算预测下降量

并通过Oracle计算以及

Step2(束更新)：

计算新的束信息：

${\mathrm{\&Delta;}}_{l+1}^k=y^{l+1}-x^k,d_{l+1}^k=\frac{{\left|\right|y^{l+1}-x^k\left|\right|}^2}{2},$

$e_{f_{l+1}}^k=f_{x^k}-f_{y^{l+1}}-<g_{f_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>,$

$e_{c_{l+1}}^k=c_{x^k}-c_{y^{l+1}}-<g_{c_{y^{l+1}}},x^k-y^{l+1}>.$

相应地更新，

${\hat{e}}_{f_{l+1}}^k=e_{f_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k,{\hat{e}}_{c_{l+1}}^k=e_{c_{l+1}}^k+{\mathrm{\&mu;}}_l{d}_{l+1}^k.$

最后，选择新的迭代指标集

Step3(下降步测试)：

如果δ_l≤tol_stop则迭代停止，否则试探如下的下降步测试：

$\left\{\begin{array}{cc}{f}_{y^{l+1}}\&le;f_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,c_{y^{l+1}}\&le;0,& \mathrm{if}{c}_{x^k}\&le;0,\\ c_{y^{l+1}}\&le;c_{x^k}-m{\mathrm{\&delta;}}_l,& \mathrm{if}{c}_{x^k}>0.\end{array}\right.$

如果y^l+1满足上面的式子，则y^l+1是下降步，则令x^k+1＝y^l+1，k(l+1)＝k+1，k＝k+1，以及否则令x^k+1＝x^k，k(l+1)＝k，

Step4(更新凸化参数)：

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_l,& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }\&le;{\mathrm{\&rho;}}_l,\\ N_0{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min },& \mathrm{if}{\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }>{\mathrm{\&rho;}}_l,\end{array}\right.$

其中

${\mathrm{\&rho;}}_{l+1}^{\min }=\underset{d_i^k\&NotEqual;0}{\max }\{\underset{i\&Element;L_{l+1}^f}{\max }-\frac{e_{f_i}^k}{d_i^k},\underset{i\&Element;L_{l+1}^c}{\max }-\frac{e_{c_i}^k}{d_i^k}\}.$

更新迭代指标，令l＝l+1，

Step5(更新迫近参数)：

如果满足如下不等式同时满足，

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{y^{l+1}}>f_{x^k}+M_0\\ c_{y^{l+1}}>c_{x^k}+M_0,\end{array}\right.$

则此迭代点被认为是不可接受的，需要快速的增加迫近参数μ_l+1

μ_l+1＝N₁μ_l.

其中，

参数m∈(0，1)，M₀＞0，N₀＞1，N₁＞1，初始迫近参数μ₀，初始凸化参数ρ₀，迭代终止参数tol_stop＝10^-6；

重新设置参数以及束信息：

ρ₀＝ρ_l+1，μ₀＝μ_l+1，x⁰＝x^k，k＝l＝0，

$e_{f_0}^0=0,e_{c_0}^0=0,d_0^0=0,{\mathrm{\&Delta;}}_0^0=0.$

否则，令μ_l+1＝μ_l，转入Step1。