CN105608251A - 直升机火控***精度敏感性分析的BNSobol法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种直升机火控***精度敏感性分析的BNSobol法，运用基于贝叶斯网络和Sobol指数相结合来进行误差源对火控***精度影响的全局敏感性分析，根据先验知识建立贝叶斯网络，通过贝叶斯估计学习网络中相关参数，进而得到在各误差源取不同值条件下火控***精度达到特定等级的概率，最后利用Sobol法方差分解对所得概率结果进行处理得到各误差源的敏感性系数，本发明提出了一种组合贝叶斯网络和Sobol指数法的新敏感性分析机理，为在样本量不充分条件下开展直升机火控***精度敏感性分析提供了参考和理论支持，同时也为其它大型复杂***提供了一种不确定性快速量化分析的思路。

Description

直升机火控***精度敏感性分析的BNSobol法

技术领域

本发明涉及航空火力控制和智能决策与优化领域，尤其是直升机火控***领域。

背景技术

武装直升机凭借着其机动灵活性，在现代化战争中扮演着越来越重要的角色。机枪、航炮和火箭弹等无控武器对直升机火控***的精度提出了较高的要求，在实际作战中，由于战场环境、攻击条件以及目标运动等的复杂性，导致火控***精度受到多种因素的影响。分析这些因素对打击精度的影响及影响程度对提高火控***性能十分重要。国内外均已有研究分析了不同误差源对直升机火控***精度的影响，并给出了减小误差提高精度的措施。然而，各误差源并非单独作用于火控***，往往多种误差同时存在且其间有较强的交互耦合效应。因此，进行火控***精度的敏感性分析，从而找出主要误差源及误差源间的相互作用对最终精度的影响便显得十分必要。

根据作用范围，可将敏感性分析方法分为局部敏感性分析法和全局敏感性分析法。局部敏感性分析只检验单个属性对模型的影响程度；而全局敏感性分析则检验多个属性对模型结果产生的总影响，并分析属性之间的相互作用对模型输出的影响。它探索的模型输入空间大，分析结果具有较好的稳健性，因此可以作为直升机火控***精度敏感性分析的方法。几种常用的全局敏感性分析方法有：回归分析法(RA)、傅里叶振幅敏感性检验法(FAST)、响应曲面法(RSM)、互信息指数法(MII)以及Sobol指数法等。其中Sobol法凭借对成组输入因素分析的较强能力以及对效能评估模型的线性、单调性以及输入的分布特性等要求的宽泛性，成为进行武器装备敏感性分析的一种较为可行的方法。Sobol法基于模型分解的思想分别得到参数1、2次及更高次的敏感度，可以通过参数对输出方差的贡献比例进行敏感性分级。在处理单个变量或者少许变量的组合时,计算迅速,可操作性强。但由于它是基于统计的方法，因此一旦涉及较多变量的组合,则计算量大,在实际应用中操作较难。此外，它的计算分析是在大量的样本数据基础上开展的，这在很多领域尤其是在军工方面，应用起来会有困难。

贝叶斯网络(BayesianNetwork)能很好地表示变量的随机不确定性和相关性，并能进行不确定性推理，不但可以实现正向推理，由先验概率推导出后验概率，即由原因导出结果，还可利用公式由后验概率推导出先验概率，即由结果导出原因。国内外的研究分别有将贝叶斯网络应用于电力***可靠性评估、机械***可靠性评估以及元件的重要度和灵敏度分析中，并且都取得了较好的结果。

发明内容

在军工领域，由于成本问题往往难以为分析研究提供大量的样本数据，这使得传统的敏感性分析法受到限制，无法保证分析结果的准确性。

为了克服现有技术的不足，本发明创造性地提出运用基于贝叶斯网络和Sobol指数相结合的BNSobol法来进行误差源对火控***精度影响的全局敏感性分析，利用贝叶斯网络推理的特点，根据先验知识建立贝叶斯网络，通过贝叶斯估计学习网络中相关参数，进而推理得到在各误差源取不同值条件下火控***精度达到特定等级的概率，最后利用Sobol法方差分解的思想对推理所得概率结果进行处理便可得到各误差源的敏感性系数。

本发明能够很好的解决数据量不充分条件下***精度的敏感性分析问题，并保证了分析结果的精度。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

步骤1：确定精度敏感性分析指标

采用Sobol指数法所定义的敏感性指标，通过方差分解，把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数，通过计算单个输入参数或输入参数集的方差对总输出方差的影响来分析参数的重要性以及参数之间的交互效应；

Sobol指数法各敏感性指标定义如下：

(1)主效应，也称为一阶敏感性指数定义为为X_i“独自”对Y的方差的贡献，其值在[0,1]内；

(2)二阶交互效应定义为为二者的交互效应对输出的影响；

步骤2：建立直升机火控***精度敏感性分析的贝叶斯网络模型

根据误差源大小来确定精度等级，建立朴素贝叶斯网络：

Y表示精度评估指标，而X₁,…,X₄分别代表不同的误差源，对变量集X＝{X₁,X₂,X₃,X₄}，其中X_i∈X的值域或状态集r_i为每个子节点的状态个数，即误差源的取值区间数；D＝{C₁,…,C_n}为数据样本，即数据集或数据库，C_l为一事例，即一次试验情况或数据库的一个记录，在此即指一次实弹打靶数据；为先验概率的参数变量，表示在用户具有知识状态ξ、网络结构为S的假设，X_i的父节点集Pa具有第j个状态的前提下，变量X_i取第k个值的客观概率，Pa的值域为{pa¹,…pa^q}，q为Pa的所有可能状态的个数，即精度指标的等级数，记则

提出以下三点假设：

⑴.随机样本D是完整的，即在D中没有丢失的数据；

⑵.参数矢量相互独立，即：

⑶.参数矢量为Dirichle分布，即：

其中，N′_ijk＞0为Dirichle分布的指数系数或超级参数；

步骤3：利用BNSobol法进行火控***的精度敏感性分析

首先开展贝叶斯网络参数学习：

⑴.参数的先验分布

其中，

⑵.参数的后验分布：

其中，N_ijk是在数据库D中满足且pa＝j的情况的数量；

将在贝叶斯网络中计算想计算的概率过程称为贝叶斯推断,由参数学习已经得到了局部的条件概率分布函数，据此可以得出与所有误差源取值区间组合相对应的特定精度指标等级的概率，即其中j＝1,…,q，k_i＝1,…,r_i；

计算敏感性指标：

(一)主效应

根据Sobol指数法X_i主效应的定义结合贝叶斯网络推理得出的各概率值可以直接计算主效应

V(Y)＝E(Y²)-E²(Y)(5)

式中n是误差源取值组合下标，是第i个误差源在第n种组合下的取值，同理：

式中是第i个误差源的第k_i个取值，而是除x_i外其它误差源的第n个取值组合；

将式(5～9)带入便可求得误差源X_i的主效应；

(二)二阶交互效应

X_i与X_j二者的交互效应定义为其中，和均可求出；

式中(x_ix_j)^k是第i个和第j个误差源的第k个取值组合，而是除x_i和x_j外其它误差源的第n个取值组合；

将式(10)、(11)带入的定义式即可求得X_i与X_j二者的交互效应。

本发明的有益效果在于：

⑴.确立了直升机火控***精度的多种主要误差源，并考虑了环境因素即旋翼下洗流和随机风的影响，使得分析结果更具实际意义。

⑵.采用Sobol指数法所定义的各敏感性指标，并在具体实施时利用Sobol法方差分解的思想进行全局敏感性分析，使得分析结果更全面。

⑶.通过建立直升机火控***精度敏感性分析的贝叶斯网络模型，根据样本数据进行网络参数学习，进而根据学习结果推理所需概率，从而在满足精度要求的同时减小了分析所需的样本数据量，即减小了分析所需的成本。

总之，本发明提出了一种组合贝叶斯网络和Sobol指数法的新敏感性分析机理，为在样本量不充分条件下开展直升机火控***精度敏感性分析提供了参考和理论支持，同时也为其它大型复杂***提供了一种不确定性快速量化分析的思路。

附图说明

图1是本发明火控***精度敏感性分析的朴素贝叶斯网络。

图2是本发明的贝叶斯网络推理过程图，其中，Y表示精度评估指标，而X₁,X₂,X₃,X₄分别代表不同的误差源。

图3是本发明的误差源关系图。

图4是本发明的旋翼下洗流场图。

图5是本发明的随机风场仿真结果图。

图6是本发明的水平攻击CCIP瞄准原理图。

图7是本发明的仿真分析流程图。

图8是本发明的两种分析法所得各误差源主效应对比图。

图9是本发明的两种分析法所得各误差源间的二阶交互效应对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

步骤1：确定直升机火控***误差源及精度评估指标

采用Sobol指数法所定义的敏感性指标，通过方差分解，把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数，通过计算单个输入参数或输入参数集的方差对总输出方差的影响来分析参数的重要性以及参数之间的交互效应。

Sobol指数法各敏感性指标定义如下：

(1)主效应，也称为一阶敏感性指数定义为描述了X_i“独自”对Y的方差的贡献，其值在[0,1]内，根据主效应的大小对各个变量进行敏感性排序，主效应指数越大，表明该变量的变动对输出的变动影响越大，因此，控制输出的变动，重点就在于控制主效应指数大的输入的变动；

(2)二阶交互效应定义为描述了二者的交互效应对输出的影响；

一、确定误差源

本发明主要研究的误差源如下：传感器(雷达瞄准误差)、惯导(测量误差)、挂架(抖动误差)、环境误差(随机风、旋翼下洗流)，由于环境误差无法人为控制，故将其取为定值，其它误差则均作为白噪声叠加在标准值上，其中各误差源间关系如图3所示。

在悬停状态下，由于火箭弹悬挂在直升机主旋翼的下方，旋翼旋转时将产生下洗流场，火箭弹在离开发射装置后将穿越此流场使作用于火箭弹上的气动力和力矩发生变化从而影响其的初始弹道轨迹。因此直升机旋翼下洗流对火箭弹发射弹道的影响不容忽视，在进行火控解算时应将其考虑在内。而对于航炮来讲，因其初速较大，穿越流场所用时间短，且航炮弹丸体积小，因此旋翼下洗流对其作用较小可忽略，旋翼下洗流场如图4所示。

随机风场的数学模型：

由于风的影响机理极为复杂，因而在实际工作中主要考虑横风和纵风，并认为横风和纵风是服从正态分布的，根据理论研究和实验测试，得到风场的协方差函数：

纵风：

横风：

依协方差函数式(12)、(13)的风场仿真模型：

式中：K_x(τ),K_y(τ)为纵风和横风随机量的协方差函数；S_x(ω),S_y(ω)为纵风和横风随机量的频谱密度；L为模拟风场的变化周期；W₁为计算风场模型的过度变量；V为弹丸运动速度；W_x为纵风风速；W_y为横风风速；ξ_x、ξ_y为服从正态分布的随机变量；σ_w为风速均方差。

以V＝100m/s时随机风场为例，σ_w取值为5m/s，经过仿真，得到随机风场的仿真结果见图5。

二、确定精度评估指标

精度评估指标采用圆概率偏差(CEP)，直升机在用航炮、火箭弹等武器进行攻击时，通常采用的是连发射击，即一次性发射多发炮弹，而由于随机风和挂架抖动等随机误差的影响会使得这些炮弹在弹着平面形成散布。通常，按密集度评定方法求解的CEP是相对散布中心的，而非相对瞄准点。命中精度应为弹头落点相对瞄准点散布程度，大小等于以瞄准点为圆心，弹着概率为0.5的圆域半径r。

步骤2：建立直升机火控***模型

在精度分析中，C代表精度指标的一系列等级，A₁,…,A_n代表影响精度的误差源，根据误差源大小来确定精度等级，为此建立如图1所示的朴素贝叶斯网络：

图1中，Y表示精度评估指标，而X₁,…,X₄分别代表不同的误差源，对变量集X＝{X₁,X₂,X₃,X₄}，其中X_i∈X的值域或状态集r_i为每个子节点的状态个数，即误差源的取值区间数；D＝{C₁,…,C_n}为数据样本，即数据集或数据库，C_l为一事例，即一次试验情况或数据库的一个记录，在此即指一次实弹打靶数据；为先验概率的参数变量，表示在用户具有知识状态ξ、网络结构为S的假设，X_i的父节点集Pa具有第j个状态的前提下，变量X_i取第k个值的客观概率，Pa的值域为{pa¹,…pa^q}，q为Pa的所有可能状态的个数，即精度指标的等级数，记则

提出以下三点假设：

⑴.随机样本D是完整的，即在D中没有丢失的数据；

⑵.参数矢量相互独立，即：

⑶.参数矢量为Dirichle分布，即：

其中，N′_ijk＞0为Dirichle分布的指数系数或超级参数；

对地攻击火控原理CCIP

连续计算命中点(ContinouslyComputedImpactPoint,CCIP)瞄准原理,是平视显示/武器瞄准***、综合火力控制***实施轰炸和空对地射击时，普遍采用的一种瞄准原理。

图6中所示是在(OXYZ)_H航向坐标系中的载机、弹丸、目标的相互位置和运动关系。飞机速度矢量和X_H轴向一致。载机火控计算机根据载机飞行高度H、空速V₁、武器弹药的性能参数和风速U、风向角ε等攻击条件，连续计算出如果当前投射，该弹丸在地面上的命中点C的位置，在平视显示器上显示出来，飞行员通过观察命中点C，形成瞄准线。在投射点O处用瞄准线瞄准目标M点并投射，经过弹丸下落时间T后弹丸命中目标M点。

命中点C又称***点或弹丸落点。瞄准点B是指瞄准线与地面的交点，在没有瞄准误差时，瞄准点实际上也就是命中点C。

命中点C的位置，可以用C点在航向坐标系(OXYZ)_H中的3个坐标表示，即

纵向射程：A_XH＝A₀+UTcosε(15)

侧向射程：A_YH＝UTsinε(16)

垂直射程：A_ZH＝H(17)

式中

A₀--------弹丸无风射程；

T---------弹丸落下时间。

命中点C的位置，也可以用射程矢量相对航向坐标系(OXYZ)_H的X_H轴的两个转角和矢量的模来表示，射程矢量相对X_H轴(即V₁的方向)采用Y-Z-X方式转过角度μ_CH-ν_CH-0，根据图6很容易得到如下结果，即：

式中的负号，说明按右手定则，图示μ_CH角度应为负值。

无控武器运动模型

在解航炮、火箭弹等无控武器质心运动时，综合提出以下假设：

⑴.在弹丸整个飞行时间内，设其运动速度方向始终与弹轴运动方向重合，即章动角δ≈0，则空气阻力作用线通过质心，方向与速度方向相反。基于这一假设就可将弹丸运动看成为一个质点的运动；

⑵.设推力P或推力加速度a通过质心，其方向与速度方向相同，亦即火箭弹发动机是完全理想的情况；

⑶.由于射程不大，因而可假设重力加速度为一常量，方向铅直向下；

⑷.地球曲率及哥氏加速度均忽略不计；

⑸.空气的压强、温度、湿度和比重在地面是标准值，且他们按高度的分布也是标准的；

在假设前提下规定：气象条件为航空兵标准气象条件。则重力加速度g＝9.806m/s²；地面标准气压值h₀＝760毫米汞柱；地面标准虚拟温度τ₀＝288.4°K；温度梯度G＝5.862×10^-3度/米；空气气体常数R＝29.27米/度；地面空气比重标准值γ_ON＝1.225kg/m³。

①.航炮运动模型

航炮质心运动方程：

又根据航空外弹道学可知：

J＝CH_τ(y₁)G(v_τ)v(22)

τ＝288.4-5.862×10^-3×y₁(25)

初始条件：当t＝0时，x＝0,y＝0,z＝0，v₀为航炮发射初速度。

借助辅助方程(22)～(29)及根据表和相应的初始条件，可用龙格库塔法解微分方程组得出理论弹道落点诸元。

上面方程中，J为空气阻力加速度，γ为空气比重，v为弹丸速度，τ为虚拟温度，y为航炮铅直运动位移，方向铅直向下，h为空气气压，C为弹道系数，a为弹丸所处高度的音速，y₁为弹丸距地面高度。其中为弹丸的阻力系数，其值与弹丸速度有关，可由表提供的部分数据利用拉格朗日插值法求得弹丸任意速度时的阻力系数。

由于直升机上的炮架是活动的，即炮架可旋转，因此当炮架向下旋转使得武器初速度矢量与载机速度矢量形成武器高低角μ_w时，只需改变初始发射条件即可：当t＝0时，x＝0,y＝0,z＝0，v_oy＝v₀sinμ_w，

②.火箭弹运动模型

火箭弹运动模型与航炮相似，发射后均处于无控状态，根据不同发射条件做不同俯冲角的抛物线运动。然而它与航炮又有不同之处，火箭弹发射初速度要小于航炮，但火箭弹本身自带燃料，发射后的运动分为主动段与被动段两部分。主动段利用燃料燃烧产生的推力做加速运动，被动段的运动与航炮完全相同。

式中：

其中：

ω为装药量；q₀为弹丸始重；t_K为主动段飞行时间；u_e为有效排气速度。

v₀为火箭弹发射初速度(射出滑轨段时的速度)，初始条件以及求解弹道诸元方法与航炮一样。a推力加速度只作用于主动段，被动段时其值为零。

步骤3：利用BNSobol法进行火控***的精度敏感性分析

首先开展贝叶斯网络参数学习：

⑴.参数先验分布

其中，

⑵.参数的后验分布：

其中，N_ijk是在数据库D中满足且pa＝j的情况的数量；

将在贝叶斯网络中计算想计算的概率过程称为贝叶斯推断,在理论上由联合分布可以推断出任何在贝叶斯网络中想知道的概率，由参数学习已经得到了局部的条件概率分布函数，据此可以推理得出与所有误差源取值区间组合相对应的特定精度指标等级的概率，即其中j＝1,…,q，k_i＝1,…,r_i；其推理方法如图2所示(该过程借助于Matlab的Bayesian工具箱)：

图2中推理证据(evidence)即相应的误差源取值组合，而class即精度评估指标。

计算各敏感性指标：

(一)主效应

根据Sobol指数法X_i主效应的定义结合贝叶斯网络推理得出的各概率值可以直接计算

V(Y)＝E(Y²)-E²(Y)(5)

式中n是误差源取值组合下标，是第i个误差源在第n种组合下的取值，同理：

式中是第i个误差源的第k_i个取值，而是除x_i外其它误差源的第n个取值组合；

将式(5～9)带入便可求得误差源X_i的主效应；

(二)二阶交互效应

X_i与X_j二者的交互效应定义为其中，和均可求出；

式中(x_ix_j)^k是第i个和第j个误差源的第k个取值组合，而是除x_i和x_j外其它误差源的第n个取值组合；

将式(10)、(11)带入的定义式即可求得X_i与X_j二者的交互效应。

用以下符号代替对应误差源及交互效应：

x₁--载机偏航角测量误差；

x₂--挂架随机抖动误差；

x₃--目标距离测量误差；

x₄--目标方位瞄准误差；

此处以直升机悬停火箭弹对地攻击为例，其他攻击情况的仿真与此相似。

整体仿真分析流程如图7。

(一)、初始参数设置

表1仿真初始参数设置

表2各误差均方差范围设置

x1	x2	x3	x4
				0～0.5	0～0.5	0～2	0～0.5

(二)、基于蒙特卡洛的Sobol指数敏感性指标计算

设各误差均方差值在上表所列范围内服从均匀分布，首先，采用随机抽样的方法生成两个输入矩阵A，B，两矩阵中的每一行都是四种误差源的一组具体的取值组合。

记C₃将矩阵B的第3列换成矩阵A的第3列所得矩阵；记C_-3将矩阵A的第3列换成矩阵B的第3列所得的矩阵。

同理可定义C₁,C₂,C₄,C_-1,C_-2,C_-4以及C_1,2,C_-1,-2等。将这些矩阵作为误差源数据，叠加在标准值上带入仿真模型，便可获得模型的输出向量即精度指标CEP。记y_A,y_B,y_C分别为相应的输入矩阵对应的输出列向量。

由蒙特卡洛法可得以下估计：

记

敏感性指标的估算按以下公式进行：

误差源x₃的主效应指数的估计：

误差源x₁与x₃的二阶交互效应指数的估计：

采用上述方法多次随机抽样不同组数的误差源数据，带入模型仿真计算，可得各误差源对火箭弹命中精度影响的敏感度排序。发现在数据量趋近于5000组时，分析结果逐渐收敛，此处列出对5000组数据和500组数据分析所得的各误差源主效应以及二阶交互效应的计算结果：

表35000组数据下各误差源主效应排序

表45000组数据下各误差源间的二阶交互效应

	x1	x2	x3	x4
					x1	--	0.109	0.217	0.155
x2	0.109	--	0.182	0.179
					x3	0.217	0.182	--	0.366
x4	0.155	0.179	0.366	--

表5500组数据下各误差源主效应排序

误差源	主效应	排序
			x1	0.208	3
x2	0.598	114 -->
			x3	0.598	1
x4	0.503	2

表6500组数据下各误差源间的二阶交互效应

	x1	x2	x3	x4
					x1	--	0.251	0.048	0.1755
x2	0.251	--	0.438	0.295
					x3	0.048	0.438	--	0.4025
x4	0.1755	0.295	0.4025	--

(三)、基于BNSobol法的敏感性指标计算

输入输出离散化，将各误差源取值离散化为如下区间：

表7各误差源取值区间

按CEP大小将精度指标划分为两个等级：

表8精度指标等级划分

在上述处理的基础上，多次随机抽取不同组数仿真样本数据作为真实打靶数据，借助于MatLab贝叶斯网络工具箱(BayesianNetorksToolbox,BNT)进行参数学习，发现在数据量大于400时，结果逐渐收敛。在此取500组样本数据分析所得结果，网络的各参数见下表：

表9网络参数学习结果表

表中θ_ijk的值代表误差源x_i在第k各取值区间时CEP达到第j各精度等级的概率。从表中可以看出网络中各参数值并非呈现单调递增或递减关系，这说明原始数据中各误差源间存在交互耦合效应。由学习得到的参数进行推理便可获得到256种误差源取值组合下的命中精度，进而可得各敏感性指标。

通过两种精度敏感性分析法的结果对比可知：

⑴.从分析结果对比图8和图9可以看出两种分析方法所得结果尽管并非完全吻合，但均可得出如下两点结论：①.在多误差源同时作用于火控***时，载机偏航角测量误差和目标方位瞄准误差对火箭弹射击精度有重要影响，是主要误差源；②.各误差源间均存在着较强的二阶交互效应，其中载机偏航角测量误差和目标方位瞄准误差两者间的交互效应最为显著。

⑵.Sobol法统计分析需要大量的样本数据，这在实际应用中有时很难做到。以直升机火控***精度分析为例，在数据量充分时，即提供5000组数据情况下Sobol法能分析得到正确的结论。而当数据量不充分时，即只提供500组数据，则传统Sobol法分析所得结果变得不再准确。在军工上，尤其是打靶数据，每一组都消耗了大量的资金，本身就很稀少。本文仅对4种误差源进行了分析，当误差源增多或模型更为复杂时，Sobol法所需的样本量极速增长，因此该方法应用起来显然变得十分困难。但BNSobol法在仅有500组数据时分析得出了与数据量充分时应用传统Sobol指数法近似的结果，因此大大减小了分析所需的成本。

Claims (1)

1.一种直升机火控***精度敏感性分析的BNSobol法，其特征在于包括下述步骤：

步骤1：确定精度敏感性分析指标

采用Sobol指数法所定义的敏感性指标，通过方差分解，把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数，通过计算单个输入参数或输入参数集的方差对总输出方差的影响来分析参数的重要性以及参数之间的交互效应；

Sobol指数法各敏感性指标定义如下：

(1)主效应，也称为一阶敏感性指数定义为为X_i“独自”对Y的方差的贡献，其值在[0,1]内；

(2)二阶交互效应定义为为二者的交互效应对输出的影响；

步骤2：建立直升机火控***精度敏感性分析的贝叶斯网络模型

根据误差源大小来确定精度等级，建立朴素贝叶斯网络：

Y表示精度评估指标，而X₁,…,X₄分别代表不同的误差源，对变量集X＝{X₁,X₂,X₃,X₄}，其中X_i∈X的值域或状态集r_i为每个子节点的状态个数，即误差源的取值区间数；D＝{C₁,…,C_n}为数据样本，即数据集或数据库，C_l为一事例，即一次试验情况或数据库的一个记录，在此即指一次实弹打靶数据；为先验概率的参数变量，表示在用户具有知识状态ξ、网络结构为S的假设，X_i的父节点集Pa具有第j个状态的前提下，变量X_i取第k个值的客观概率，Pa的值域为{pa¹,…pa^q}，q为Pa的所有可能状态的个数，即精度指标的等级数，记则

提出以下三点假设：

⑴.随机样本D是完整的，即在D中没有丢失的数据；

⑵.参数矢量相互独立，即：

⑶.参数矢量为Dirichle分布，即：

其中，N′_ijk＞0为Dirichle分布的指数系数或超级参数；

步骤3：利用BNSobol法进行火控***的精度敏感性分析

首先开展贝叶斯网络参数学习：

⑴.参数的先验分布

其中，

⑵.参数的后验分布：

其中，N_ijk是在数据库D中满足且pa＝j的情况的数量；

将在贝叶斯网络中计算想计算的概率过程称为贝叶斯推断,由参数学习已经得到了局部的条件概率分布函数，据此可以得出与所有误差源取值区间组合相对应的特定精度指标等级的概率，即其中j＝1,…,q，k_i＝1,…,r_i；

计算敏感性指标：

(一)主效应

根据Sobol指数法X_i主效应的定义结合贝叶斯网络推理得出的各概率值可以直接计算主效应

V(Y)＝E(Y²)-E²(Y)(5)

式中n是误差源取值组合下标，是第i个误差源在第n种组合下的取值，同理：

式中是第i个误差源的第k_i个取值，而是除x_i外其它误差源的第n个取值组合；

将式(5～9)带入便可求得误差源X_i的主效应；

(二)二阶交互效应

X_i与X_j二者的交互效应定义为其中，和均可求出；

式中(x_ix_j)^k是第i个和第j个误差源的第k个取值组合，而是除x_i和x_j外其它误差源的第n个取值组合；

将式(10)、(11)带入的定义式即可求得X_i与X_j二者的交互效应。