CN105242683A - 一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法 - Google Patents

Abstract

针对模型不确定条件下的飞艇航迹控制问题，本发明提供一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法，首先由给定的指令航迹和实际航迹计算误差量，然后通过选取终端滑模函数，采用终端滑模控制方法设计航迹控制律，并采用神经网络逼近飞艇的不确定模型。由该方法控制的***能够在模型不确定条件下高精度跟踪指令航迹，具有更广的适应性和强鲁棒性，为飞艇航迹控制的工程实现提供了有效方案。

Description

一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法

技术领域

本发明涉及一种航空领域的飞行控制方法，它为飞艇提供一种神经网络终端滑模控制方法，属于自动控制技术领域。

背景技术

飞艇是一种依靠内充浮升气体(如氦气、氢气等)提供静升力，依靠推进***和飞行控制***实现操纵飞行的浮空类飞行器，具有留空时间长、能耗低、可重复使用等优点，特别适合作为承载平台，通过搭载多种有效载荷发展为新型电子信息装备，可以广泛应用于国土测绘、灾害监测、区域预警、侦察监视等领域，具有重要应用价值和广阔的应用前景，当前已成为航空领域的研究热点。

航迹控制是指对飞艇质心运动的控制，通常要求飞艇按照预定航线飞行，以完成特定的飞行任务。飞艇的空间运动具有非线性、通道耦合、不确定等特点，因此，航迹控制成为飞艇飞行控制的难点问题。已有文献对飞艇航迹控制的研究大都基于线性化模型，未考虑非线性因素以及纵向和横侧向运动之间的耦合作用，仅在平衡态附近有效。滑模控制方法对参数摄动和外界干扰具有鲁棒性，为飞艇航迹控制提供了一种有效手段。但是，滑模控制通常采用线性滑模，***到达滑模面后，状态跟踪误差渐近收敛至零，无法在有限时间内收敛。针对此问题，发明专利“一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法”(专利号：ZL201410623630.4)，提出了一种非奇异终端滑模航迹控制方法，通过选取终端滑模函数使得航迹控制误差在有限时间内收敛至零，提高了航迹控制的响应速度和控制精度。但是，该方法未考虑飞艇模型不确定问题，因此其适应性和鲁棒性有待进一步提高。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法。神经网络具有逼近任意复杂非线性函数的能力，可以应用于不确定***的建模问题，能够显著提高***的控制性能。本发明在非奇异终端滑模航迹控制方法的基础上，针对飞艇模型不确定问题，采用神经网络逼近飞艇的不确定模型。

本发明所提出的航迹控制***结构框图如图1所示。如图1所示，首先根据指令航迹η_d和实际航迹η计算误差量e；然后根据误差量e选取终端滑模面，采用终端滑模控制方法设计航迹控制律；为解决模型不确定问题，根据构造神经网络逼近器，在线估计飞艇的不确定模型，从而得到神经网络终端滑模航迹控制律。由该方法控制的***能够在模型不确定条件下高精度跟踪指令航迹，相比于发明专利“一种飞艇非奇异终端滑模航迹控制方法”，具有更广的适应性和强鲁棒性，为飞艇航迹控制的工程实现提供了有效方案。

本发明一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法，首先由给定的指令航迹和实际航迹计算误差量，然后通过选取终端滑模函数，采用终端滑模控制方法设计航迹控制律，并采用神经网络逼近飞艇的不确定模型。实际应用中，飞艇航迹由组合导航***测量得到，将由该方法计算得到的控制量传输至执行机构即可实现航迹控制功能。

一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法，其具体步骤如下，如图2所示：

步骤一：给定以广义坐标表示的指令航迹：η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T；

所述的指令航迹为广义坐标η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T，其中：x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置。

步骤二：误差量计算：计算指令航迹与实际航迹之间的误差量；

指令航迹与实际航迹之间的误差量，其计算方法为：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T(1)

η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角。

步骤三：终端滑模控制律设计：选取终端滑模函数，采用终端滑模控制方法设计航迹控制律，并采用神经网络逼近飞艇的不确定模型，计算航迹控制量；

1)建立飞艇空间运动的数学模型

为便于描述，飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下。如图3所示，采用地面坐标系O_eX_eY_eZ_e和体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T,x_G为浮心到重心的轴向分量，y_G为浮心到重心的侧向分量，z_G为浮心到重心的竖向分量，；运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移；姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T，u、v、w分别为体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度为V＝[u,v,w,p,q,r]^T。

飞艇空间运动的数学模型描述如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=J\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& J_2\end{array}\right]V---\left(2\right)$

$M\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G}+\mathrm{\τ}---\left(3\right)$

式中，0_3×3表示3×3阶的零矩阵，表示η的一阶微分，表示V的一阶微分，

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+cos\mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-cos\mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& cos\mathrm{\φ}& -sin\mathrm{\φ}\\ 0& \sec \mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& sec\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\\ 1& tan\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& tan\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(5\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -{\mathrm{my}}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -{\mathrm{mz}}_G& 0& {\mathrm{mx}}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& {\mathrm{my}}_G& -{\mathrm{mx}}_G& 0\\ 0& -{\mathrm{mz}}_G& {\mathrm{my}}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{mz}}_G& 0& -{\mathrm{mx}}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& {\mathrm{mx}}_G& 0& -I_{xz}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\stackrel{\‾}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)sin\mathrm{\θ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}-z_{G}Gcos\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-z_{G}Gsin\mathrm{\θ}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+y_{G}G\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}F\cos \mathrm{\μ}\cos \mathrm{\υ}\\ F\sin \mathrm{\μ}\\ F\cos \mathrm{\μ}\sin \mathrm{\υ}\\ {\mathrm{Fsin\υl}}_y\\ {\mathrm{Fcos\υl}}_z-{\mathrm{Fsin\υl}}_x\\ {\mathrm{Fcos\υl}}_z-{\mathrm{Fsin\υl}}_x\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\stackrel{\‾}{N}={\[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r\]}^T---\left(9\right)$

其中，G表示飞艇所受的重力，B表示飞艇所受的浮力，F表示飞艇所受的推力，

N_u＝(m+m₂₂)vr-(m+m₃₃)wq+m[x_G(p²+r²)-y_Gpq-z_Gpr]

(10)

+QV^2/3(-C_Xcosαcosβ+C_Ycosαsinβ+C_Zsinα)

N_v＝(m+m₃₃)wp-(m+m₁₁)ur-m[x_Gpq-y_G(p²+r²)+z_Gqr]

(11)

+QV^2/3(C_Xsinβ+C_Ycosβ)

N_w＝(m+m₂₂)vp-(m+m₁₁)uq-m[x_Gpr+y_Gqr-z_G(p²+q²)]

(12)

+QV^2/3(-C_Xsinαsinβ+C_Ysinαcosβ-C_Zcosα)

N_p＝[(I_y+I₂₂)-(I_z+I₃₃)]qr+I_xzpq-I_xypr-I_yz(r²-q²)+

(13)

[mz_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)]+QVC_l

N_q＝[(I_z+I₃₃)-(I_x+I₁₁)]pr+I_xyqr-I_yzpq-I_xz(p²-r²)

(14)

+m[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)]+QVC_m

N_r＝[(I_y+I₂₂)-(I_x+I₁₁)]pq-I_xzqr-I_xy(q²-p²)+I_yzpr

(15)

+m[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)]+QVC_n

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离。

式(3)为关于广义速度V的表达式，需要将其变换为关于广义坐标η的表达式。

由式(1)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=R\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right]\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}---\left(16\right)$

式中，J^-1(η)为J(η)的逆矩阵， $R\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right],$

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -sin\mathrm{\θ}& 1\\ cos\mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& 0\\ -\sin \mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

对式(16)微分，可得

$\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(19\right)$

式中

$\stackrel{\·}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{A}& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& \stackrel{\·}{B}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(19)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\·}{V}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R^{T}MR\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(21\right)$

综合式(3)、式(19)以及式(21)可得:

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}---\left(22\right)$

式中

M_η＝R^TMR(23)

$N_{\mathrm{\η}}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}---\left(24\right)$

$G_{\mathrm{\η}}=-R^T(\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G})---\left(25\right)$

$\stackrel{\‾}{u}=R^T\mathrm{\τ}---\left(26\right)$

实际飞行过程中，M_η、N_η和G_η均存在不确定项，分别为ΔM_η、ΔN_η和ΔG_η；由此式(22)可以写为：

$(M_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔM}}_{\mathrm{\η}})\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+(N_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔN}}_{\mathrm{\η}})\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+(G_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔG}}_{\mathrm{\η}})=\stackrel{\‾}{u}---\left(27\right)$

记 $\mathrm{\Δ}f=-({\mathrm{\ΔM}}_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔN}}_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔG}}_{\mathrm{\η}}),$ 则式(27)可写为：

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}+\mathrm{\Δ}f---\left(28\right)$

以式(28)所描述的数学模型为被控对象，采用神经网络终端滑模控制方法设计航迹控制律。

2)滑模面设计

设计终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}}---\left(29\right)$

其中，e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆分别为向量e的第1个至第6个元素，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆分别为向量s的第1个至第6个元素，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆),λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆分别为向量λ的第1个至第6个元素，diag(·)表示对角矩阵，λ为正定矩阵，κ为正实数且满足1＜κ＜2。

3)设计终端滑模控制律：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{u}=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-\frac{1}{\mathrm{\κ}}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)-\\ \frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\left|\right|\mathrm{\Δ}f\left|\right|\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(30\right)$

式中，λ^-1表示λ的逆矩阵，表示M_η的逆矩阵，||·||表示欧几里德范数。

滑模面的稳定性分析如下。

定义如下Lyapunov函数

对式(31)微分并利用式(29)，可得：

式中，表示的一阶微分，s^T表示s的转置。

对式(1)求二阶微分并利用式(22)和式(29)，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{e}=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d=M_{\mathrm{\η}}^{-1}(\stackrel{\‾}{u}-N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-G_{\mathrm{\η}})=M_{\mathrm{\η}}^{-1}\[-\frac{1}{\mathrm{\κ}}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)\]+\\ M_{\mathrm{\η}}^{-1}\[-\frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\left|\right|\mathrm{\Δ}f\left|\right|\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\]\end{array}---\left(33\right)$

将式(33)代入式(32)，可得：

式(34)即证滑模面的稳定性。

式(30)中的模型不确定项Δf实际上并非已知，因此，通过式(30)并不能准确给出航迹控制量。针对此问题，本发明采用神经网络逼近模型不确定项Δf。

4)构造神经网络逼近器，设计神经网络终端滑模控制律：

神经网络逼近器包括输入层、隐层和输出层，如图4所示。

输入层：选取网络的输入变量为 $x=\[e^T,{\stackrel{\·}{e}}^T,{\stackrel{\·\·}{e}}^T,{\mathrm{\η}}^T,{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}^T,{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}^T\],$ e^T为误差量e的转置、为误差量e的一阶微分的转置、为误差量e的二阶微分的转置、η^T为η的转置、为η的一阶微分的转置、为η的二阶微分的转置。

隐层：选取高斯函数作为隐层节点的基函数

$h_j\left(x\right)=\exp \left(\frac{\left|\right|x-c_j|{|}^2}{2b_j^2}\right)---\left(35\right)$

其中，c_j＝[c_j1,c_j2,…,c_jn]为第j个高斯函数的中值，c_j1,c_j2,…,c_jn分别为c_j的第1个、第2个、…、第n个分量，n为神经网络的节点数；b_j为第j个高斯函数的标准偏差，j＝1,2,…,n，n为神经网络的节点数，||·||表示欧几里德范数。

输出层：神经网络逼近器的输出为

$\widehat{\mathrm{\γ}}={\hat{W}}^{T}h\left(x\right)---\left(36\right)$

式中，为||Δf||的估计值，为最优权重系数向量，h(x)＝[h₁(x),h₂(x),…,h_n(x)]^T，h₁(x),h₂(x),…,h_n(x)分别为向量函数的第1个、第2个、…、第n个分量，n为神经网络的节点数。

由此，神经网络终端滑模控制律为：

$\begin{array}{c}{u}_N=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-{\mathrm{\κM}}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)\\ -\frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\widehat{\mathrm{\γ}}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(37\right)$

(3)优点及效果：

本发明与现有技术相比，其优点是：

1)该方法直接基于飞艇空间运动的非线性动力学模型设计，考虑了各项非线性因素以及纵向和横侧向运动之间的耦合作用，克服了线性化模型仅适于平衡态的局限性。

2)终端滑模控制通过选取终端滑模函数使得姿态控制误差在有限时间内收敛至零，克服了传统滑模控制的渐近收敛问题，具有动态响应速度快、有限时间收敛、稳态跟踪精度高等优点。

3)该方法采用神经网络逼近飞艇的不确定模型，克服了实际飞行过程中的飞行模型不确定问题，具有更广的适应性和强鲁棒性。

控制工程师在应用过程中可以根据实际飞艇给定任意指令航迹，并将由该方法得到的控制量传输至执行机构实现航迹控制功能。

附图说明

图1为本发明所述飞艇航迹控制***结构图

图2为本发明所述飞艇航迹控制方法步骤流程图

图3为本发明所述飞艇坐标系及运动参数定义

图4为本发明所述的神经网络逼近器结构图

图5为本发明所述飞艇航迹控制结果

图6为本发明所述飞艇航迹控制误差

图7为本发明所述神经网络逼近结果

图中符号说明如下：

ηη＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为飞艇航迹，其中x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

为η的一阶微分；

为η的二阶微分；

η_dη_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T为指令航迹，其中x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角；

O_eX_eY_eZ_eO_eX_eY_eZ_e表示地面坐标系；

o_bx_by_bz_bo_bx_by_bz_b表示飞艇体坐标系；

ee＝[x_e,y_e,z_e,θ_e,ψ_e,φ_e]^T为航迹控制误差，x_e、y_e、z_e、θ_e、ψ_e和φ_e分别为航迹控制的x坐标误差、y坐标误差、z坐标误差、俯仰角误差、偏航角误差和滚转角误差；

为误差量e的一阶微分；

为误差量e的二阶微分；ss为滑模面；

u_Nu_N为神经网络终端滑模航迹控制量；

表示一阶微分运算。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及有益效果更加清楚明白，下面结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当注意，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

步骤一：给定指令航迹

给定指令航迹为：

η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T＝[(1.5t)m,200sin(0.005t)m,10m,0rad,0.02rad,0rad]^T，x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角；

步骤二：误差量计算

计算指令航迹与实际航迹之间的误差量：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T，

其中，η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角，为连续变化值。

初始航迹为：

η₀＝[x₀,y₀,z₀,θ₀,ψ₀,φ₀]^T＝[50m,-100m,8m,0.01rad,0.01rad,0.01rad]^T。

初始速度：

V₀＝[u₀,v₀,w₀,p₀,q₀,r₀]^T＝[5m/s,2.5m/s,0m/s,0rad/s,0rad/s,0rad/s]^T

步骤三：设计航迹控制律：

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的数学模型可表示为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=J\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& J_2\end{array}\right]V---\left(38\right)$

$M\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G}+\mathrm{\τ}---\left(39\right)$

式中

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+cos\mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-cos\mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(40\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& cos\mathrm{\φ}& -sin\mathrm{\φ}\\ 0& \sec \mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& sec\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\\ 1& tan\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& tan\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(41\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -{\mathrm{my}}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -{\mathrm{mz}}_G& 0& {\mathrm{mx}}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& {\mathrm{my}}_G& -{\mathrm{mx}}_G& 0\\ 0& -{\mathrm{mz}}_G& {\mathrm{my}}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{mz}}_G& 0& -{\mathrm{mx}}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& {\mathrm{mx}}_G& 0& -I_{xz}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(42\right)$

$\stackrel{\‾}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)sin\mathrm{\θ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}-z_{G}Gcos\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-z_{G}Gsin\mathrm{\θ}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+y_{G}G\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]---\left(43\right)$

$\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}T\cos \mathrm{\μ}\cos \mathrm{\υ}\\ T\sin \mathrm{\μ}\\ T\cos \mathrm{\μ}\sin \mathrm{\υ}\\ {\mathrm{Tsin\υl}}_y\\ {\mathrm{Tcos\υl}}_z-{\mathrm{Tsin\υl}}_x\\ {\mathrm{Tcos\υl}}_z-{\mathrm{Tsin\υl}}_x\end{array}\right]---\left(44\right)$

$\stackrel{\‾}{N}={\[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r\]}^T---\left(45\right)$

其中

N_u＝(m+m₂₂)vr-(m+m₃₃)wq+m[x_G(p²+r²)-y_Gpq-z_Gpr]

(46)

+QV^2/3(-C_Xcosαcosβ+C_Ycosαsinβ+C_Zsinα)

N_v＝(m+m₃₃)wp-(m+m₁₁)ur-m[x_Gpq-y_G(p²+r²)+z_Gqr]

(47)

+QV^2/3(C_Xsinβ+C_Ycosβ)

N_w＝(m+m₂₂)vp-(m+m₁₁)uq-m[x_Gpr+y_Gqr-z_G(p²+q²)]

(48)

+QV^2/3(-C_Xsinαsinβ+C_Ysinαcosβ-C_Zcosα)

N_p＝[(I_y+I₂₂)-(I_z+I₃₃)]qr+I_xzpq-I_xypr-I_yz(r²-q²)+

(49)

[mz_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)]+QVC_l

N_q＝[(I_z+I₃₃)-(I_x+I₁₁)]pr+I_xyqr-I_yzpq-I_xz(p²-r²)

(50)

+m[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)]+QVC_m

N_r＝[(I_y+I₂₂)-(I_x+I₁₁)]pq-I_xzqr-I_xy(q²-p²)+I_yzpr

(51)

+m[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)]+QVC_n

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离。

将式(39)变换为关于广义坐标η的表达式。

由式(38)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=R\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right]\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}---\left(52\right)$

式中，J^-1(η)为J(η)的逆矩阵， $R\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right],$

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(53\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -sin\mathrm{\θ}& 1\\ cos\mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& 0\\ -\sin \mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}& 0\end{array}\right]---\left(54\right)$

对式(52)微分，可得

$\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(55\right)$

式中

$\stackrel{\·}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{A}& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& \stackrel{\·}{B}\end{array}\right]---\left(56\right)$

式(55)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\·}{V}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R^{T}MR\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(57\right)$

综合式(39)、式(55)以及式(57)可得:

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}---\left(58\right)$

式中

M_η＝R^TMR(59)

$N_{\mathrm{\η}}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}---\left(60\right)$

$G_{\mathrm{\η}}=-R^T(\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G})---\left(61\right)$

$\stackrel{\‾}{u}=R^T\mathrm{\τ}---\left(62\right)$

考虑模型不确定项，式(58)可以写为：

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}+\mathrm{\Δ}f---\left(63\right)$

式中，其中，ΔM_η、ΔN_η和ΔG_η分别为M_η、N_η和G_η的未知项和不确定项。

本实施例中的飞艇参数见表2。

表2飞艇参数

2)滑模面设计

设计终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}}---\left(64\right)$

其中，diag(2,2,2,2,2,2),diag(·)表示对角矩阵，κ＝5/3。

3)设计终端滑模控制律：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{u}=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-\frac{1}{\mathrm{\κ}}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)-\\ \frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\left|\right|\mathrm{\Δ}f\left|\right|\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(65\right)$

4)构造神经网络逼近器，设计神经网络终端滑模控制律：

神经网络逼近器包括输入层、隐层和输出层。

输入层：选取网络的输入变量为 $x=\[e^T,{\stackrel{\·}{e}}^T,{\stackrel{\·\·}{e}}^T,{\mathrm{\η}}^T,{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}^T,{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}^T\].$

隐层：选取高斯函数作为隐层节点的基函数，节点数n＝7，

$h_j\left(x\right)=\exp \left(\frac{\left|\right|x-c_j|{|}^2}{2b_j^2}\right)---\left(66\right)$

其中， $c=\left[\begin{array}{ccccccc}-3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\end{array}\right],$ b_j＝0.12。

输出层：神经网络逼近器的输出为

$\widehat{\mathrm{\γ}}={\hat{W}}^{T}h\left(x\right)---\left(67\right)$

其中，取为元素为0.01、维数为42的向量。

神经网络终端滑模控制律为：

$\begin{array}{c}{u}_N=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-{\mathrm{\κM}}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)\\ -\frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\widehat{\mathrm{\γ}}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(68\right)$

实施例中的飞艇三维航迹跟踪结果如图5-图7所示。图5给出了飞艇航迹控制结果，由图5可得：飞艇由初始位置(50m,-100m,8m)出发经过300s到达终点位置(450m,200m,10m)，能够准确跟踪指令航迹，验证了本发明所提出的航迹控制方法的有效性；图6给出了航迹控制误差，由图6可得：飞艇能够以零稳态误差跟踪指令航迹，具有较高的控制精度。图7给出了神经网络逼近结果，由图7可得，本发明所提出的神经网络逼近器能够较好地逼近飞艇的不确定模型。

Claims (1)

1.一种飞艇神经网络终端滑模航迹控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：给定以广义坐标表示的指令航迹：η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T；

所述的指令航迹为广义坐标η_d＝[x_d,y_d,z_d,θ_d,ψ_d,φ_d]^T，其中：x_d、y_d、z_d、θ_d、ψ_d和φ_d分别为指令x坐标、指令y坐标、指令z坐标、指令俯仰角、指令偏航角和指令滚转角，上标T表示向量或矩阵的转置；

步骤二：误差量计算：计算指令航迹与实际航迹之间的误差量；

指令航迹与实际航迹之间的误差量，其计算方法为：

e＝η-η_d＝[x-x_d,y-y_d,z-z_d,θ-θ_d,ψ-ψ_d,φ-φ_d]^T(1)

η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T为实际航迹，x、y、z、θ、ψ、φ分别为实际航迹的x坐标、y坐标、z坐标、俯仰角、偏航角和滚转角；

步骤三：终端滑模控制律设计：选取终端滑模函数，采用终端滑模控制方法设计航迹控制律，并采用神经网络逼近飞艇的不确定模型，计算航迹控制量；

1)建立飞艇空间运动的数学模型

飞艇空间运动的坐标系及运动参数定义如下：采用地面坐标系O_eX_eY_eZ_e和体坐标系o_bx_by_bz_b对飞艇的空间运动进行描述，CV为浮心，CG为重心，浮心到重心的矢量为r_G＝[x_G,y_G,z_G]^T，x_G为浮心到重心的轴向分量，y_G为浮心到重心的侧向分量，z_G为浮心到重心的竖向分量，；运动参数定义：位置P＝[x,y,z]^T，x、y、z分别为轴向、侧向和竖直方向的位移；姿态角Ω＝[θ,ψ,φ]^T，θ、ψ、φ分别为俯仰角、偏航角和滚转角；速度v＝[u,v,w]^T，u、v、w分别为体坐标系中轴向、侧向和垂直方向的速度；角速度ω＝[p,q,r]^T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；记广义坐标η＝[x,y,z,θ,ψ,φ]^T，广义速度为V＝[u,v,w,p,q,r]^T；

飞艇空间运动的数学模型描述如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=J\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& J_2\end{array}\right]V---\left(2\right)$

$M\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G}+\mathrm{\τ}---\left(3\right)$

式中，0_3×3表示3×3阶的零矩阵，表示η的一阶微分，表示V的一阶微分，

$J_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(4\right)$

$J_2=\left[\begin{array}{ccc}0& cos\mathrm{\φ}& -sin\mathrm{\φ}\\ 0& \sec \mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& sec\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\\ 1& tan\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}& tan\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(5\right)$

$M=\left[\begin{array}{cccccc}m+m_{11}& 0& 0& 0& {\mathrm{mz}}_G& -{\mathrm{my}}_G\\ 0& m+m_{22}& 0& -{\mathrm{mz}}_G& 0& {\mathrm{mx}}_G\\ 0& 0& m+m_{33}& {\mathrm{my}}_G& -{\mathrm{mx}}_G& 0\\ 0& -{\mathrm{mz}}_G& {\mathrm{my}}_G& I_x+I_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{mz}}_G& 0& -{\mathrm{mx}}_G& 0& I_x+I_{22}& 0\\ 0& {\mathrm{mx}}_G& 0& -I_{xz}& 0& I_x+I_{33}\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\stackrel{\‾}{G}=\left[\begin{array}{c}(B-G)sin\mathrm{\θ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ (G-B)cos\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ y_{G}G\cos \mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}-z_{G}Gcos\mathrm{\θ}sin\mathrm{\φ}\\ -x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-z_{G}Gsin\mathrm{\θ}\\ x_{G}G\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+y_{G}G\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\mathrm{\τ}=\left[\begin{array}{c}Fcos\mathrm{\μ}cos\mathrm{\υ}\\ F\sin \mathrm{\μ}\\ Fcos\mathrm{\μ}sin\mathrm{\υ}\\ {\mathrm{Fsin\υl}}_y\\ {\mathrm{Fcos\υl}}_z-{\mathrm{Fsin\υl}}_x\\ {\mathrm{Fcos\υl}}_z-{\mathrm{Fsin\υl}}_x\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\stackrel{\‾}{N}={\[N_u,N_v,N_w,N_p,N_q,N_r\]}^T---\left(9\right)$

其中，G表示飞艇所受的重力，B表示飞艇所受的浮力，F表示飞艇所受的推力，

$\begin{array}{c}{N}_u=(m+m_{22})vr-(m+m_{33})wq+m\[x_G(p^2+r^2)-y_{G}pq-z_{G}pr\]\\ +{\mathrm{QV}}^{2/3}(-C_X\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}+C_Y\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+C_Z\sin \mathrm{\α})\end{array}---\left(10\right)$

$\begin{array}{c}{N}_v=(m+m_{33})wp-(m+m_{11})ur-m\[x_{G}pq-y_G(p^2+r^2)+z_{G}qr\]\\ +{\mathrm{QV}}^{2/3}(C_X\sin \mathrm{\β}+C_Y\cos \mathrm{\β})\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{N}_w=(m+m_{22})vp-(m+m_{11})uq-m\[x_{G}pr+y_{G}qr-z_G(p^2+q^2)\]\\ +{\mathrm{QV}}^{2/3}(-C_X\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+C_Y\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}-C_Z\cos \mathrm{\α})\end{array}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{N}_p=\[(I_y+I_{22})-(I_z+I_{33})\]qr+I_{xz}pq-I_{xy}pr-I_{yz}(r^2-q^2)+\\ \[{\mathrm{mz}}_G(ur-wp)+y_G(uq-vp)\]+{\mathrm{QVC}}_l\end{array}---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}{N}_q=\[(I_z+I_{33})-(I_x+I_{11})\]pr+I_{xy}qr-I_{yz}pq-I_{xz}(p^2-r^2)\\ +m\[x_G(vp-uq)-z_G(wp-vr)\]+{\mathrm{QVC}}_m\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{N}_r=\[(I_y+I_{22})-(I_x+I_{11})\]pq-I_{xz}qr-I_{xy}(q^2-p^2)+I_{yz}pr\\ +m\[y_G(wq-vr)-x_G(ur-wp)\]+{\mathrm{QVC}}_n\end{array}---\left(15\right)$

式中，m为飞艇质量，m₁₁、m₂₂、m₃₃为附加质量,I₁₁、I₂₂、I₃₃为附加惯量；Q为动压，α为迎角,β为侧滑角，C_X、C_Y、C_Z、C_l、C_m、C_n为气动系数；I_x、I_y、I_z分别为绕o_bx_b、o_by_b、o_bz_b的主惯量；I_xy、I_xz、I_yz分别为关于平面o_bx_by_b、o_bx_bz_b、o_by_bz_b的惯量积；T为推力大小，μ为推力矢量与o_bx_bz_b面之间的夹角，规定其在o_bx_bz_b面之左为正，υ为推力矢量在o_bx_bz_b面的投影与o_bx_b轴之间的夹角，规定其投影在o_bx_b轴之下为正；l_x、l_y、l_z表示推力作用点距原点o_b的距离；

式(3)为关于广义速度V的表达式，需要将其变换为关于广义坐标η的表达式；

由式(1)可得：

$V=J^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=R\left(\mathrm{\η}\right)\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right]\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}---\left(16\right)$

式中J^-1(η)为J(η)的逆矩阵， $R\left(\mathrm{\η}\right)=\left[\begin{array}{cc}A& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& B\end{array}\right];$

$A=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}-\sin \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}+\cos \mathrm{\ψ}\cos \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}+\sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \sin \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}-\cos \mathrm{\ψ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\end{array}\right]---\left(17\right)$

$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -sin\mathrm{\θ}& 1\\ cos\mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& 0\\ -\sin \mathrm{\φ}& cos\mathrm{\θ}cos\mathrm{\φ}& 0\end{array}\right]---\left(18\right)$

对式(16)微分，可得

$\stackrel{\·}{V}=\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(19\right)$

式中

$\stackrel{\·}{R}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{A}& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& \stackrel{\·}{B}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式(19)左乘可得

$R^{T}M\stackrel{\·}{V}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+R^{T}MR\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}---\left(21\right)$

综合式(3)、式(19)以及式(21)可得:

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}---\left(22\right)$

式中

M_η＝R^TMR(23)

$N_{\mathrm{\η}}=R^{T}M\stackrel{\·}{R}---\left(24\right)$

$G_{\mathrm{\η}}=-R^T(\stackrel{\‾}{N}+\stackrel{\‾}{G})---\left(25\right)$

$\stackrel{\‾}{u}=R^T\mathrm{\τ}---\left(26\right)$

实际飞行过程中，M_η、N_η和G_η均存在不确定项，分别为ΔM_η、ΔN_η和ΔG_η；由此式(22)可以写为：

$(M_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔM}}_{\mathrm{\η}})\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+(N_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔN}}_{\mathrm{\η}})\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+(G_{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔG}}_{\mathrm{\η}})=\stackrel{\‾}{u}---\left(27\right)$

记 $\mathrm{\Δ}f=-({\mathrm{\ΔM}}_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔN}}_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ΔG}}_{\mathrm{\η}}),$ 则式(27)可写为：

$M_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}=\stackrel{\‾}{u}+\mathrm{\Δ}f---\left(28\right)$

以式(28)所描述的数学模型为被控对象，采用神经网络终端滑模控制方法设计航迹控制律；

2)滑模面设计

设计终端滑模面为：

$s=e+\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}}---\left(29\right)$

其中，e＝[e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆]^T，e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆分别为向量e的第1个至第6个元素，s＝[s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆]^T，s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆分别为向量s的第1个至第6个元素，λ＝diag(λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆),λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅,λ₆分别为向量λ的第1个至第6个元素，diag(·)表示对角矩阵，λ为正定矩阵，κ为正实数且满足1＜κ＜2；

3)设计终端滑模控制律：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{u}=M_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-\frac{1}{\mathrm{\κ}}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)-\\ \frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\left|\right|\mathrm{\Δ}f\left|\right|\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(30\right)$

式中，λ^-1表示λ的逆矩阵，表示M_η的逆矩阵，||·||表示欧几里德范数；

滑模面的稳定性分析如下；

定义如下Lyapunov函数

对式(31)微分并利用式(29)，可得：

式中，表示的一阶微分，s^T表示s的转置；

对式(1)求二阶微分并利用式(22)和式(29)，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{e}=\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d=M_{\mathrm{\η}}^{-1}(\stackrel{\‾}{u}-N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-G_{\mathrm{\η}})=M_{\mathrm{\η}}^{-1}\[-\frac{1}{\mathrm{\κ}}{M}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)\]+\\ {\stackrel{\·\·}{M}}_{\mathrm{\η}}^{-1}\[-\frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\left|\right|\mathrm{\Δ}f\left|\right|\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{\mathrm{\κ}-1}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\]\end{array}---\left(33\right)$

将式(33)代入式(32)，可得：

式(34)即证滑模面的稳定性；

对于式(30)中的模型不确定项Δf，采用神经网络逼近模型不确定项Δf；

4)构造神经网络逼近器，设计神经网络终端滑模控制律：

神经网络逼近器包括输入层、隐层和输出层；

输入层：选取网络的输入变量为e^T为误差量e的转置、为误差量e的一阶微分的转置、为误差量e的二阶微分的转置、η^T为η的转置、为η的一阶微分的转置、为η的二阶微分的转置；

隐层：选取高斯函数作为隐层节点的基函数

$h_j\left(x\right)=\exp \left(\frac{\left|\right|x-c_j|{|}^2}{2b_j^2}\right)---\left(35\right)$

其中，c_j＝[c_j1,c_j2,…,c_jn]为第j个高斯函数的中值，c_j1,c_j2,…,c_jn分别为c_j的第1个、第2个、…、第n个分量，n为神经网络的节点数；b_j为第j个高斯函数的标准偏差，j＝1,2,…,n，n为神经网络的节点数，||·||表示欧几里德范数；

输出层：神经网络逼近器的输出为

$\widehat{\mathrm{\γ}}={\hat{W}}^{T}h\left(x\right)---\left(36\right)$

式中，为||Δf|\的估计值，为最优权重系数向量，h(x)＝[h₁(x),h₂(x),…,h_n(x)]^T，h₁(x),h₂(x),…,h_n(x)分别为向量函数的第1个、第2个、…、第n个分量，n为神经网络的节点数；

由此，神经网络终端滑模控制律为：

$\begin{array}{c}{u}_N{M}_{\mathrm{\η}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}}_d+N_{\mathrm{\η}}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+G_{\mathrm{\η}}-{\mathrm{\κM}}_{\mathrm{\η}}{\mathrm{\λ}}^{-1}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)\\ -\frac{{\[s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\]}^T}{\left|\right|s^T\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}|{|}^2}\·\widehat{\mathrm{\γ}}\left|\right|s\left|\right|\left|\right|\mathrm{\λ}diag\left({\stackrel{\·}{e}}^{2-\mathrm{\κ}}\right)M_{\mathrm{\η}}^{-1}\left|\right|\end{array}---\left(37\right).$