CN105182470A - 一种多模光纤主模态的偏振依赖关系及其推导方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种多模光纤主模态的偏振依赖关系，所述偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。本发明的优点在于：对渐变折射率MMF提出了一种参数化的物理方法，这种方法允许我们计算空间和偏振模态耦合系数，并且因此来计算PMs和其延时。

Description

一种多模光纤主模态的偏振依赖关系及其推导方法

技术领域

本发明涉及一种渐变性折射率多模光纤，特别涉及一种基于空间和偏振模态耦合情况下渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系及其推导方法。

背景技术

在多模光纤(MMF)中，不同的模态一般以不同的群延时(GDs)进行传播，这种现象被称为模态色散。光纤的缺陷，如折射率不均匀性、纤芯椭圆率和离心率、弯曲，会产生模态之间的耦合，即被称为模态耦合的作用。由于模态耦合，即使光脉冲发射到一个单模中，它也倾向于耦合其他模态，导致MMF输出的多脉冲叠加。

传统上，MMF中的模态色散和耦合已经被使用功率耦合模型来描述。这个模型含蓄地假设理想模态和其GDs没有被模态耦合修改。耦合仅仅导致模态之间的功率的重新分布，并且可通过耦合系数来描述，这个耦合系数是实数、非负和相位独立。这些模型在描述模态功率分布非常有效，且模态功率分布是时间和光纤长度的函数，这些模型也有助于理解信号失真、作为光纤长度的函数的脉冲展宽和光纤损耗。

这种模型不考虑相位的影响，然而，它们只对非相干源合适，如发光二极管。通过对比发现，在单模光纤中(SMF)，通过主状态模型的场耦合模型来描述偏振模态耦合和偏振模态色散(PMD)。在这个模型中，偏振模态场振幅之间的耦合是通过所依赖的相位的复合系数来描述。这个耦合修改了理想模态和其GDs，使得它们与频率相关。存在一对正交偏振状态，称为偏振的主状态，它是GD运算符的特征模态，并且其具有独立于一阶频率的场幅度和GDs。

近年来，在MMF中采用相干源和高速调制的方法进行了许多实验，这些实验表明不能用功率耦合模型来解释的某些作用，例如脉冲响应对发射偏振的依赖性。Fan和Kahn引入了一种场耦合模型，这种模型是对用于PMD的单模光纤(SMF)主状态模型的简单概括。特别地，它们的模型预测一组被称为主模态(PMs)的正交模态，它是GD运算符的特征模态，并且是独立于一阶频率的振幅和GDs。换一句话来说，PMs是不受模态色散和一阶频率的约束。Shen等使用适应性光学仪器来发射低阶PMs的光信号，以减少模态色散，使得能在高速率-距离产品中传输，即使在有模态耦合的光纤中，结果不能完全采用功率耦合模型解释。

目前研究中只描述了PMs的一般概念、摘要设置，并且没有任何模态耦合的特殊模型，特殊模型可能用于定量解释实验的结果。因此，需要研究一种在空间和偏振模态耦合情况下的渐变性折射率多模光纤来的传输主模态。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于空间和偏振模态耦合情况下渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系及其推导方法。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案为：一种渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系，其创新点在于：所述偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。

本发明还提供一种上述渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系的推导方法，所述推导方法具体步骤如下：

(1)理论：假定一个发射电场分布和偏振，在该电场中建设一个空间和偏振模态耦合光纤的多段模型，计算光纤的传播运算符，然后，计算群延时运算符，并且得到其特征向量，这些是PMs，给定发射场分布和偏振时，计算光纤的脉冲响应，证明，它在低耦合机制中有效，偏振的正交性导致最小和最大开关过程；

(2)三模态***的分析建模：建设一种简单的三模态***以说明在低和高耦合机制中有关光纤曲率和长度的GDs依赖程度；

(3)多模光纤的竖直建模：描述实际光纤模型的数值计算，描述PMs特性和其在低和高耦合机制中的群延时；

(4)得出多模光纤主模态的偏振依赖关系。

进一步地，所述空间和偏振模态耦合光纤的多段模型建设时，首先确定光纤折射率分布；然后，得出局部正常模态的传播常数和场分布，并且在弯曲段中计算空间模态耦合系数，组合这些以得到最后组合Rⁱ和Mⁱ一起来获得U_total，并计算GD运算符，从而获得电场分布和光纤PMs的GDs。

进一步地，所述空间和偏振模态耦合光纤的多段模型的建设具体步骤如下：

(A)折射率分布

使用无限抛物线型折射率实芯进行，与如下形式的折射率相对应

这里n₀是光纤中心的标称折射率；对于x和y偏振，n_0x和n_0y是在光纤中心的背景折射率，并且与n₀不同，且为双折射的一半，Δ参数化实芯和覆盖层之间的折射率，r是从光纤中心到覆盖层最外层的半径距离，a是实芯半径，α≈2是幂指数，由于双折射作用，假设背景折射率n_0x和n_0y依赖于应力作用，同时Δ和n₀与应力无关，为了说明材料色散，那么采用Sellmeier方程[18]来计算n₀；

双折射，定义为从光纤中心x方向和y方向偏振波形看去的折射率的差异，且假设是由于曲率[19]应力所引起

这里k表示光纤段的曲率，C_s/k₀是指应变光系数；对于单模光纤，和δ＝1[20]；在多模光纤中，指数分布不均匀性、实芯椭圆率和离心率、弯曲、扭曲，内部和外部应力可能引起空间模态耦合和双折射率，虽然这两种作用可能在给定光纤中不一定具有一致的原点，为了简单模型采用曲率来生成两种作用，为了让曲率生成这两种模型的物理实际值，必须选择δ＞＞1；

(B)理想模态

在Δ＜＜1时，采用弱引导近似方法，MMF的理想模态的闭环解可在直角坐标系和柱面坐标系中求得，由于x和y方向弯曲的对称性，那么在直角坐标系中采用理想光纤的特征模态方法很容易找出耦合系数，这是标准正交的Hermite–Gaussian函数

<E_pq|E_p′q′>＝δ_pp′δ_qq′(4)

这里p和q是在x和y方向的模态数字，p和q的最大值确定

并且模态半径w由下式给出(不同于频率w)

总模态数由下式给出

这里因子2描述每个理想空间模态的两种偏振状态，因此，用2M×1复合向量A(z)表示沿着光纤轴每个点z的空间模态方式，根据理想模态

这里i_m是模态折射率，表示(p，q)，对于α＝2的情况，传播常数β_pq(x，y)表示

在典型的光纤中，α的值从2开始慢慢变化，这使得很难找到理想模态方式的一个闭环解，在一阶扰动分析中，假设α不等于2，理想模态不变，只有传播常数变化，这是波动方程扰动分析的一种标准假设，例如，在量子力学中，传播常数是以α＞2来计算的，但是没有考虑双折射，通过假设依赖于偏振的背景折射率的方式，修改了表达式，同时没有修改径向变化折射率，从而得到传播常数，

注意到传播常数通过n₀(x，y)是对双折射敏感的，Gamma函数定义如下

在式(10)中，β与ω不成线性比例，显示群延时色散；

(C)单段光纤中模态耦合***

为了评估由弯曲所引起的模态耦合，采用耦合模态理论，依据局部正常模态扩展了模态范围，在这种方法中，在沿着光纤的每个z点求解波动方程，这里折射率为n(x，y，z)；假设任何反向散射波不耦合正向传播波，模态耦合方程为

这里a_pq是在模态(p，q)下的波的幅度，归一化场模态由式(3)给出；C′_{pq，p′q′}是从接收光纤段间叠加积分所得到的耦合系数；

C′_{pq，p′q′}＝0forp+p′＝q+q′.(13)

对于归一化模态场，方程已经被修改，也应注意在相同群中模态并不耦合；设x₀(z)和y₀(z)表示在位置z的光纤中心，对于α＝2，折射率的扰动可如

在模型中，弯曲是被定义为沿着x方向，因此y₀(z)＝0，为了扰动分析的有效性，设有2Δ·x₀(z)·x/a²＜＜1，考虑式(14)，可将式(13)写为

在环形弯曲的模型中，写成

这里k是段的曲率，当每段弯曲光纤的长度比弯曲半径小很多时，约等式是成立的；将式(16)的二阶导数代入式(15)中，得到

方程(17)通常对于光纤内的场传播是有效的，定义归一化的一维Hermite–Gaussian模态为

并且从式(17)得到叠加积分为

在式(19)中，对于Hermite–Gaussian模态，看到曲率引起|p-p′|＝1和q-q′＝0之间模态的耦合，虽然式(17)易于计算，并且可在的模型中使用，为了简化，进一步近似不同于式(9)的传播常数为

采用式(20)，并且重申|p-p′|＝1和q-q′＝0，那么式(17)变为C′_{pq，p′q′}＝jk₀n₀k<E_pq|x|E_p′q′>.(21)

通过将弯曲近似为两条直线波导连接的方法简化表达式(21)，交叉角度为Δθ(突然弯曲)，并且计算Δθ/Δz→k时的系数，这种方法找到从引导模态到放射模态的功率耦合；

将式(19)代入式(21)，可将模态耦合系数写成

耦合系数(22)是沿着弯曲的每个点定义，因此他们并不依赖于每个弯曲段的长度；它们线性依赖于曲率k，值得强调的是，因为它们是在标量模型中计算得出，所以它们是独立于偏振；

(D)段间偏振旋转矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，光纤轴旋转角度θ_i，这个旋转对电场偏振的作用可通过单位旋转矩阵来表示

(E)段间模态投影矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，假设在段i+1的轴(x′，y′)关于段i的轴(x，y)顺时针旋转，将模场方式写为

使用如下的特性：

对于式(28)沿着一组新的Hermite–Gaussian模态分解的闭环表达式如式(30)所示，这里

k+q-l+m＝2s

p-k+l+n＝2t

s＞k，s＞q-l，s＞m，t＞p-k，t＞l，t＞n.(31)

在一个M×M阶矩阵Ξ中，表示系数ξ_mn，pq，注意模态映射是和两种偏振一样，并且得到段i和段i+1之间的模态映射矩阵

(F)总传播运算符

组合来自段II-D–F的结果，得到

(G)群延时运算符和主模态

PMs定义为独立于一阶频率，并且有定义好的GDs，在输入PM中的一个发射脉冲在相应的输出PM中是作为单脉冲接收，从传播运算符，得到GD运算符

PMs和相应的GDs分别是F的特征向量和特征值，分别与其延时相关，对于无损光纤，U是单一的，F是Hermitian的，因此，GDs是实数，P是单一的，在理想光纤中，F减少对角线矩阵与理想模态GDs相等的元素，在模态耦合光纤中，特征向量分量(34)通常必须进行数值计算；

(H)强度脉冲响应

在通过向量A_in描述模态场方式中，若发射光信号到光纤中，如根据理想模态给出振幅，可以计算耦合到每个PMs的光信号的幅度为

μ_i＝<A_in|P_i>fori＝1，...，2M.(35)

方程(35)可视为在电场上的叠加积分，或根据理想模态的向量的点积，在后者的情况下，提供一个2M×1的PM幅度向量μ；发射到第i个PM的一个脉冲以GDτ_i传播，对于无损光纤，强度脉冲响应是以耦合到PMs的功率来衡量的脉冲总和；

定义强度脉冲响应运算符为

强度脉冲响应(36)可写为

h(t)＝<A_in|H|A_in>.(38)

在矩阵形式下，式(38)等于

(I)偏振的正交性导致最大和最小开关过程

实验确定发射空间模态分布常数，强度脉冲响应对发射信号偏振比较灵敏，此外，发现在使用直接检测的on-off按键的链接中，导致最大和最小开关过程的偏振近似正交，这里解释后者的实验观察结果，定义开关过程G为第一种空间模态的功率和剩余空间模态的总功率之间的差别，考虑双折射非常小，以致第一个两个延时与x和y方向偏振的最低阶空间模态相应，将开关过程写为

若忽略损耗，那么总功率P_tot＝Σ_i|μ_i|²是恒定的，并且可通过最大化第一个两项的方式最大化G，通过一个二次目标函数描述

G₀(μ)＝|μ₁|²+|μ₂|².(41)

假设光是以一种特定空间模态方式A_M×1发射，一个通用的椭圆的偏振表示为

可将μ写为

μ＝P^HA_in.(43)

保持空间模态方式A_M×1和总功率恒定，可调整偏振的三个自由度r、和通过定义一个新变量x

可将μ表示为

μ＝Qx(45)

这里

定义和其是通过分别保持Q和μ的前两行来获得，在前两个PMs中，定义为最大和最小功率比

这里最后一项是采用单值分解(SVD)而获得

所以，是矩阵的条件值，将的SVD写为

若选择

那么得到与最大单数值相关的输入偏振，这导致最大的开关过程；相反地，

式(51)给出导致最小开关过程的输入偏振；

这里的目的是优化第一项和第二项PMs的功率和，当试着激发最低阶空间模态时，并且当双折射诱导的DGDs与不同空间模态之间的DGDs要小时；非常容易理解推广这个分析以优化在任何PMs组中发射的功率和，同时保持总的发射功率恒定，通过适当定义和证明导致在给定组PMs引起最小和最大功率的发射偏振之间的正交性。

进一步地，所述三模态***的分析建模为通过分析一个简单的***，研究了有关光纤曲率的GDs和低和高耦合机制中长度的相关性，在MMF中，在每个偏振中传播模态的最小数为3，沿着一个方向的弯曲导致两种模态，并且彼此耦合，而让第三种模态单独没有耦合地进行传播，因此，忽略第三种空间模态，为了简单，假设所有光纤段位于x-z平面，以至偏振没有影响，并且可以忽略不计；结果是两模态***，并且其数学上类似于PMD的单模态光纤，首先，为了说明低耦合机制，研究单段有较小曲率的光纤，然后，为了说明高耦合机制，研究一种许多段和统计曲率参数的光纤。

进一步地，所述三模态***的分析建模具体步骤如下：

(A)低耦合机制的DGD

这里，在单段弯曲光纤中计算DGD，定义缓慢变化包络线A(z)为

A(z)＝exp(-Γz)A(z)(52)

这里Γ由式(24)定义，式(52)的导数可写为

A′(z)＝-Γe^(-Γz)A(z)+e^(-Γz)A′(z).(53)

将式(52)和式(53)代入式(23)中，可写为

A′(z)＝je^(Γz)Ce^(-Γz)A(z).(54)

这是缓慢变换包络线的耦合方程，定义缓慢变化包络线的耦合矩阵为

C＝e^(Γz)Ce^(-Γz).(55)

定义Δβ＝β₁-β₂为这两种耦合模态的传播常数之间的差，可将C写为

包络线A的传播是通过单一传播矩阵T来描述，这和SMF中Jones类似；

A(z)＝T(z)A(0)(57)

采用T，可使用下式得到传播矩阵U

U＝e^(-Γz)T(z).(59)

采用式(59)和T^HT＝I的情况，使用式(34)来将群延时矩阵F写为

因为T是单一的，所以F的特征值是圆括号内矩阵的特征值，如从这个导数所看到的，对于直线光纤，这里F的特征值为耦合模态的GDs值，由给出，在较短的光纤段中，与低耦合机制相应，A₁(z)≈1时，可假设大多数光信号以第一种模态中传播，并且慢慢地耦合到第二种模态，使得得到

使用的情况，并且只考虑z中一阶项，可写为

考虑式(58)中T的导数和式(62)

注意(63)等于T-I/2ω，并且将其代入到式(60)，得到

为了确定单个弯曲段的一阶作用，通过求解下式得到GDs

这里GDs之间的差别给出了总长为L的光纤的DGD，

表达式(66)显示DGD随着光纤长度而线性增长，就像PMD在低耦合机制中的情况，此外，对于较小的k，弯曲会增加DGD，DGD是和k²成比例；

(B)高耦合机制的DGD

在高耦合机制中，GDs不是由局部光纤特性所决定；而是依赖于整个光纤上模态耦合的累积效应，GDs的统计特性可通过求解耦合随机差分方程来进行研究，对于有PMD的SMF的情况，Poole已经观察了低和高耦合机制中的这些方程，对于假设位于x-z平面的三模态MMF，式(23)中耦合模态方程化简到如下

如在前面的章节中所述，有一个模态并不与其他两种模态耦合，所以在的分析中也忽略，光纤曲率k(z)的自相关定义如下

R_k(u)＝<k(z)k(z-u)>(68)

这里括号表示总体均值，也定义功率谱密度(PSD)k为

根据文献[6]的方法来解决随机耦合(67)，得到作为z的函数的均方DGD为

参数h描述整体均值率，这里功率在模态之间转换，并且定义为

在低耦合极限hz→0时，有

对于处于低耦合机制中恒定弯曲的光纤，式(72)中的均方DGD是和式(66)中的DGD一致，方程(66)已经被扩展到包含最低非零阶弯曲的作用；

在这里所考虑的高耦合极限hz→∞中，得到

方程(73)给提供了洞察有关光纤统计的DGD的依赖性机会，在高耦合机制中显示，DGD与曲率的PSD成反比变化，就像在SMF[6]PDM的情况中，DGD随着高耦合机制中长度，如的平方根而变化，为了进一步了解式(73)，注意到在的模型中，因为曲率在每段长度上是恒定的，曲率k(z)可通过离散随机变量k_i，i＝1，...，N来描述，其是独立同分布的(i.i.d.)，分别表示k_i的期望和方差为m_k和段i和段i+1之间离散自相关为

为了找出曲率k(z)的PSD，注意k(z)，z的函数类似于PAM信号，t的函数，使用这种类推法，得到k(z)的PSD为

在这些现存的问题中，这里第一种和第二种模态是非退化的，例如Δβ≠0，得到DGD方差(73)为

方程(76)显示在高耦合机制中，DGD是与光纤长度，例如，的平方根成正比，并且与曲率标准差σ_k成反比。

进一步地，所述多模光纤的数值建模为，基于理论中描述的空间和偏振模态耦合光纤的多段模型，采用MATLAB中高精度矩阵工具进行MMF的数值建模，光纤为50-μm实芯渐进折射率硅材料的MMF，其总长为L＝1000m，光纤具有数值孔径为NA＝0.19，并且波长为λ＝1550nm，光纤中心的折射率n₀＝1.444是在波长为λ＝1550nm时所测得，离开这个波长，n₀是采用Sellmeier方程进行计算，折射率对频率的导数dn₀/dw也采用Sellmeier方程计算，然而，发现在的模型中，波导色散比材料色散影响更大，双折射比例因子设置为δ＝8000，使用式(5)和式(7)，发现55个空间模态在两个偏振中传播，采用α＝2.09的无限实芯近似(2)，选择匹配实验，在这个试验中发现低阶模态具有较短的GDs，并且发现DGDs比在理想值α＝2时所预测的值要高许多，除非另有说明，光纤被划分为10⁴段，即每段长度为0.1米，每段相对于前面一段旋转一个服从独立同分布的角度θ，其概率密度函数(pdf)为正态分布，且方差为每段的曲率是一个独立同分布的随机变量k_i，其概率密度函数正态概率密度函数的正面，且其方差为因为增长，那么模型从低耦合机制到高耦合机制，给定旋转角度和曲率的随机实现，计算群延时运算符F，对F进行对角化简以得到PMs和其GDs。

进一步地，所述结论为偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。

本发明的优点在于：

当在高速数据率情况下，采用相干源的时，例如依赖偏振的脉冲响应，功率耦合模型本质上不能描述多模光纤(MMF)的某些模态耦合作用；我们开发了一种在渐变折射率的多模光纤(MMF)中传播的场耦合模型，类似于单模光纤中偏振模态色散的主要状态模型；假定一个发射电场分布和偏振，我们的模型允许光纤脉冲响应的计算；为了对空间和偏振模态耦合进行建模，我们将多模光纤(MMF)划分成许多小段，每段具有随机曲率和随机的方位角；这个模型可只使用一些参数来描述，包括光纤长度、段数和曲率方差；对于多模光纤(MMF)的每种随机实现，我们计算了传播矩阵、主模态(PMs)和相应的群延时(GDs)；当曲率方差与光纤长度相比较小时(低耦合机制)，群延时(GDs)非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态(PMs)依然是产生高度偏振；在这种机制中，我们的模型再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤(MMF)中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时(高耦合机制)，那么会减少传播的群延时(GDs)，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态(PMs)去偏振化；在这个模型中，我们的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时(GDs)减少相一致。

附图说明

图1为光纤建模成许多弯曲段的连接体；

图2为GDs与累积标准差σ_k；

图3为对于一个三模态***采用数值MMF模型进行计算；

图4为一个有2*55模态的MMF的DGDΔτ和总长度L的比；

图5为一个1千米长MMF典型实现的强度脉冲响应；

图6-9为在低耦合和高耦合机制中1千米光纤的最低阶输入和输出PMs的强度采样和偏振状态；

图10为在低耦合机制中(σ_k＝0.95m^-1)DOP和光纤长度的比值；

图11为在低耦合机制(σ_k＝1.2m^-1)情况下的1千米MMF中最低位PMs(编号1–6)频偏和相关因子的比；

具体实施方式

本发明公开了一种渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系，该偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。

本发明还公开了一种上述渐变折射率多模光纤主模态的偏振依赖关系的推导方法，具体步骤如下：

(一)理论

将光纤建模成许多弯曲段的连接体，如图1所示；每段位于一个相位，每段的相位是在前一段的基础上旋转所得；每段的曲率导致空间模态耦合双折射；许多弯曲段的连接导致偏振相关的空间模态耦合；这个模型可能被视为单模光纤中[15]的PMD的多段模型的扩充；在我们的模型中，我们未假设模态相关损耗的任何机制；

在这样一个光纤中的模态传播是通过整个光纤的传播矩阵U_total来进行完整描述；在得出U_total表达式时，我们采用局部正常模态[16]来计算；因此，在每段光纤中，我们是根据完整光纤的理想模型来进行计算，坐标轴和特定段的平面成一条直线；在第i段中的传播是受空间但不是偏振模态耦合的影响，并且是用传播矩阵来表示；在第i段和第i+1段之间的连接处，局部轴旋转角度θ_i；在这里必须考虑两个方面的影响；偏振模态旋转矩阵Rⁱ代表由于轴旋转所产生的偏振耦合；此外，沿着前一个轴定义的空间模态方式必须沿着新轴扩展，以说明一种新的理想模态基础；这是通过空间模态映射矩阵Mⁱ来描述；容易得到这意味着阶数并不重要，在这里应用两个矩阵；因此，

这里N是总段数

假定一个发射电场分布和偏振，在该电场中建设一个空间和偏振模态耦合光纤的多段模型，计算光纤的传播运算符，然后，计算群延时运算符，并且得到其特征向量，这些是PMs，给定发射场分布和偏振时，计算光纤的脉冲响应，证明，它在低耦合机制中有效，偏振的正交性导致最小和最大开关过程；

上述空间和偏振模态耦合光纤的多段模型建设时，首先确定光纤折射率分布；然后，得出局部正常模态的传播常数和场分布，并且在弯曲段中计算空间模态耦合系数，组合这些以得到最后组合Rⁱ和Mⁱ一起来获得并计算GD运算符，从而获得电场分布和光纤PMs的GDs；

空间和偏振模态耦合光纤的多段模型的建设具体步骤如下：

(A)折射率分布

使用无限抛物线型折射率实芯进行，与如下形式的折射率相对应

这里n₀是光纤中心的标称折射率；对于x和y偏振，n_0x和n_0y是在光纤中心的背景折射率，并且与n₀不同，且为双折射的一半，Δ参数化实芯和覆盖层之间的折射率，r是从光纤中心到覆盖层最外层的半径距离，a是实芯半径，α≈2是幂指数，由于双折射作用，假设背景折射率n_0x和n_0y依赖于应力作用，同时Δ和n₀与应力无关，为了说明材料色散，那么采用Sellmeier方程[18]来计算n₀；

双折射，定义为从光纤中心x方向和y方向偏振波形看去的折射率的差异，且假设是由于曲率[19]应力所引起

这里k表示光纤段的曲率，C_s/k₀是指应变光系数；对于单模光纤，和δ＝1[20]；在多模光纤中，指数分布不均匀性、实芯椭圆率和离心率、弯曲、扭曲，内部和外部应力可能引起空间模态耦合和双折射率，虽然这两种作用可能在给定光纤中不一定具有一致的原点，为了简单模型采用曲率来生成两种作用，为了让曲率生成这两种模型的物理实际值，必须选择δ＞＞1；

(B)理想模态

在Δ＜＜1时，采用弱引导近似方法，MMF的理想模态的闭环解可在直角坐标系和柱面坐标系中求得，由于x和y方向弯曲的对称性，那么在直角坐标系中采用理想光纤的特征模态方法很容易找出耦合系数，这是标准正交的Hermite–Gaussian函数

这里p和q是在x和y方向的模态数字，p和q的最大值确定

并且模态半径w由下式给出(不同于频率w)

总模态数由下式给出

这里因子2描述每个理想空间模态的两种偏振状态，因此，用2M×1复合向量A(z)表示沿着光纤轴每个点z的空间模态方式，根据理想模态

这里i_m是模态折射率，表示(p，q)，对于α＝2的情况，传播常数β_pq(x，y)表示

在典型的光纤中，α的值从2开始慢慢变化，这使得很难找到理想模态方式的一个闭环解，在一阶扰动分析中，假设α不等于2，理想模态不变，只有传播常数变化，这是波动方程扰动分析的一种标准假设，例如，在量子力学中，传播常数是以α＞2来计算的，但是没有考虑双折射，通过假设依赖于偏振的背景折射率的方式，修改了表达式，同时没有修改径向变化折射率，从而得到传播常数，

注意到传播常数通过n_0(x，y)是对双折射敏感的，Gamma函数定义如下

在式(10)中，β与ω不成线性比例，显示群延时色散；

(C)单段光纤中模态耦合***

为了评估由弯曲所引起的模态耦合，采用耦合模态理论，依据局部正常模态扩展了模态范围，在这种方法中，在沿着光纤的每个z点求解波动方程，这里折射率为n(x，y，z)；假设任何反向散射波不耦合正向传播波，模态耦合方程为

这里a_pq是在模态(p，q)下的波的幅度，归一化场模态由式(3)给出；C_{pq，p′q′}是从接收光纤段间叠加积分所得到的耦合系数；

对于归一化模态场，方程已经被修改，也应注意在相同群中模态并不耦合；设x₀(z)和y₀(z)表示在位置z的光纤中心，对于α＝2，折射率的扰动可如

在模型中，弯曲是被定义为沿着x方向，因此y₀(z)＝0，为了扰动分析的有效性，设有2Δ·x₀(z)·x/a²＜＜1，考虑式(14)，可将式(13)写为

在环形弯曲的模型中，写成

这里k是段的曲率，当每段弯曲光纤的长度比弯曲半径小很多时，约等式是成立的；将式(16)的二阶导数代入式(15)中，得到

方程(17)通常对于光纤内的场传播是有效的，定义归一化的一维Hermite–Gaussian模态为

并且从式(17)得到叠加积分为

在式(19)中，对于Hermite–Gaussian模态，看到曲率引起|p-p′|＝1和q-q′＝0之间模态的耦合，虽然式(17)易于计算，并且可在的模型中使用，为了简化，进一步近似不同于式(9)的传播常数为

采用式(20)，并且重申|p-p′|＝1和q-q′＝0，那么式(17)变为

C_{pq，p′q′}＝jk₀n₀k<E_pq|x|E_p′q′>.(21)

通过将弯曲近似为两条直线波导连接的方法简化表达式(21)，交叉角度为Δθ(突然弯曲)，并且计算Δθ/Δz→k时的系数，这种方法找到从引导模态到放射模态的功率耦合；

将式(19)代入式(21)，可将模态耦合系数写成

耦合系数(22)是沿着弯曲的每个点定义，因此他们并不依赖于每个弯曲段的长度；它们线性依赖于曲率k，值得强调的是，因为它们是在标量模型中计算得出，所以它们是独立于偏振；

(D)段间偏振旋转矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，光纤轴旋转角度θ_i，这个旋转对电场偏振的作用可通过单位旋转矩阵来表示

(E)段间模态投影矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，假设在段i+1的轴(x′，y′)关于段i的轴(x，y)顺时针旋转，将模场方式写为

使用如下的特性：

对于式(28)沿着一组新的Hermite–Gaussian模态分解的闭环表达式如式(30)所示，这里

k+q-l+m＝2s

p-k+l+n＝2t

s＞k，s＞q-l，s＞m，t＞p-k，t＞l，t＞n.(31)

在一个M×M阶矩阵Ξ中，表示系数ξmn，pq，注意模态映射是和两种偏振一样，并且得到段i和段i+1之间的模态映射矩阵

(F)总传播运算符

组合来自段II-D–F的结果，得到

(G)群延时运算符和主模态

PMs定义为独立于一阶频率，并且有定义好的GDs，在输入PM中的一个发射脉冲在相应的输出PM中是作为单脉冲接收，从传播运算符，得到GD运算符

PMs和相应的GDs分别是F的特征向量和特征值，分别与其延时相关，对于无损光纤，U是单一的，F是Hermitian的，因此，GDs是实数，P是单一的，在理想光纤中，F减少对角线矩阵与理想模态GDs相等的元素，在模态耦合光纤中，特征向量分量(34)通常必须进行数值计算；

(H)强度脉冲响应

在通过向量A_in描述模态场方式中，若发射光信号到光纤中，如根据理想模态给出振幅，可以计算耦合到每个PMs的光信号的幅度为

μ_i＝<A_in|P_i>fori＝1，...，2M.(35)

方程(35)可视为在电场上的叠加积分，或根据理想模态的向量的点积，在后者的情况下，提供一个2M×1的PM幅度向量μ；发射到第i个PM的一个脉冲以GDτ_i传播，对于无损光纤，强度脉冲响应是以耦合到PMs的功率来衡量的脉冲总和；

定义强度脉冲响应运算符为

强度脉冲响应(36)可写为

h(t)＝<A_in|H|A_in>.(38)

在矩阵形式下，式(38)等于

(I)偏振的正交性导致最大和最小开关过程

实验确定发射空间模态分布常数，强度脉冲响应对发射信号偏振比较灵敏，此外，发现在使用直接检测的on-off按键的链接中，导致最大和最小开关过程的偏振近似正交，这里解释后者的实验观察结果，定义开关过程G为第一种空间模态的功率和剩余空间模态的总功率之间的差别，考虑双折射非常小，以致第一个两个延时与x和y方向偏振的最低阶空间模态相应，将开关过程写为

若忽略损耗，那么总功率P_tot＝Σ_i|μ_i|²是恒定的，并且可通过最大化第一个两项的方式最大化G，通过一个二次目标函数描述

G₀(μ)＝|μ₁|²+|μ₂|².(41)

假设光是以一种特定空间模态方式A_M×1发射，一个通用的椭圆的偏振表示为

可将μ写为

μ＝P^HA_in.(43)

保持空间模态方式A_M×1和总功率恒定，可调整偏振的三个自由度r、和通过定义一个新变量x

可将μ表示为

μ＝Qx(45)

这里

定义和其是通过分别保持Q和μ的前两行来获得，在前两个PMs中，定义为最大和最小功率比

这里最后一项是采用单值分解(SVD)而获得

所以，是矩阵的条件值，将的SVD写为

若选择

那么得到与最大单数值相关的输入偏振，这导致最大的开关过程；相反地，

式(51)给出导致最小开关过程的输入偏振；

这里的目的是优化第一项和第二项PMs的功率和，当试着激发最低阶空间模态时，并且当双折射诱导的DGDs与不同空间模态之间的DGDs要小时；非常容易理解推广这个分析以优化在任何PMs组中发射的功率和，同时保持总的发射功率恒定，通过适当定义和证明导致在给定组PMs引起最小和最大功率的发射偏振之间的正交性；

(二)三模态***的分析建模

建设一种简单的三模态***以说明在低和高耦合机制中有关光纤曲率和长度的GDs依赖程度；

三模态***的分析建模为通过分析一个简单的***，研究了有关光纤曲率的GDs和低和高耦合机制中长度的相关性，在MMF中，在每个偏振中传播模态的最小数为3，沿着一个方向的弯曲导致两种模态，并且彼此耦合，而让第三种模态单独没有耦合地进行传播，因此，忽略第三种空间模态，为了简单，假设所有光纤段位于x-z平面，以至偏振没有影响，并且可以忽略不计；结果是两模态***，并且其数学上类似于PMD的单模态光纤，首先，为了说明低耦合机制，研究单段有较小曲率的光纤，然后，为了说明高耦合机制，研究一种许多段和统计曲率参数的光纤；

三模态***的分析建模具体步骤如下：

(A)低耦合机制的DGD

这里，在单段弯曲光纤中计算DGD，定义缓慢变化包络线A(z)为

A(z)＝exp(-Γz)A(z)(52)

这里Γ由式(24)定义，式(52)的导数可写为

A′(z)＝-Γe^(-Γz)A(z)+e^(-Γz)A′(z).(53)

将式(52)和式(53)代入式(23)中，可写为

A′(z)＝je^(Γz)Ce^(-Γz)A(z).(54)

这是缓慢变换包络线的耦合方程，定义缓慢变化包络线的耦合矩阵为

C＝e^(Γz)Ce^(-Γz).(55)

定义Δβ＝β₁-β₂为这两种耦合模态的传播常数之间的差，可将C写为

包络线A的传播是通过单一传播矩阵T来描述，这和SMF中Jones类似；

A(z)＝T(z)A(0)(57)

采用T，可使用下式得到传播矩阵U

U＝e^(-Γz)T(z).(59)

采用式(59)和T^HT＝I的情况，使用式(34)来将群延时矩阵F写为

因为T是单一的，所以F的特征值是圆括号内矩阵的特征值，如从这个导数所看到的，对于直线光纤，这里F的特征值为耦合模态的GDs值，由给出，在较短的光纤段中，与低耦合机制相应，A₁(z)≈1时，可假设大多数光信号以第一种模态中传播，并且慢慢地耦合到第二种模态，使得得到

使用的情况，并且只考虑z中一阶项，可写为

考虑式(58)中T的导数和式(62)

注意(63)等于T-I/2ω，并且将其代入到式(60)，得到

为了确定单个弯曲段的一阶作用，通过求解下式得到GDs

这里GDs之间的差别给出了总长为L的光纤的DGD，

表达式(66)显示DGD随着光纤长度而线性增长，就像PMD在低耦合机制中的情况，此外，对于较小的k，弯曲会增加DGD，DGD是和k²成比例；

(B)高耦合机制的DGD

在高耦合机制中，GDs不是由局部光纤特性所决定；而是依赖于整个光纤上模态耦合的累积效应，GDs的统计特性可通过求解耦合随机差分方程来进行研究，对于有PMD的SMF的情况，Poole已经观察了低和高耦合机制中的这些方程，对于假设位于x-z平面的三模态MMF，式(23)中耦合模态方程化简到如下

如在前面的章节中所述，有一个模态并不与其他两种模态耦合，所以在的分析中也忽略，光纤曲率k(z)的自相关定义如下

R_k(u)＝〈k(z)k(z-u)〉(68)

这里括号表示总体均值，也定义功率谱密度(PSD)k为

根据文献[6]的方法来解决随机耦合(67)，得到作为z的函数的均方DGD为

参数h描述整体均值率，这里功率在模态之间转换，并且定义为

在低耦合极限hz→0时，有

对于处于低耦合机制中恒定弯曲的光纤，式(72)中的均方DGD是和式(66)中的DGD一致，方程(66)已经被扩展到包含最低非零阶弯曲的作用；

在这里所考虑的高耦合极限hz→∞中，得到

方程(73)给提供了洞察有关光纤统计的DGD的依赖性机会，在高耦合机制中显示，DGD与曲率的PSD成反比变化，就像在SMF[6]PDM的情况中，DGD随着高耦合机制中长度，如的平方根而变化，为了进一步了解式(73)，注意到在的模型中，因为曲率在每段长度上是恒定的，曲率k(z)可通过离散随机变量k_i，i＝1，...，N来描述，其是独立同分布的(i.i.d.)，分别表示k_i的期望和方差为m_k和段i和段i+1之间离散自相关为

为了找出曲率k(z)的PSD，注意k(z)，z的函数类似于PAM信号，t的函数，使用这种类推法，得到k(z)的PSD为

在这些现存的问题中，这里第一种和第二种模态是非退化的，例如Δβ≠0，得到DGD方差(73)为

方程(76)显示在高耦合机制中，DGD是与光纤长度，例如，的平方根成正比，并且与曲率标准差σ_k成反比。

(三)多模光纤的数值建模

基于在第一部分中描述的模型，我们采用MATLAB中高精度矩阵工具进行MMF的数值建模[29]；光纤为50-μm实芯渐进折射率硅材料的MMF，其总长为L＝1000m；光纤具有数值孔径为NA＝0.19，并且波长为λ＝1550nm；光纤中心的折射率n₀＝1.444是在波长为λ＝1550nm时所测得；离开这个波长，n₀是采用Sellmeier方程进行计算；折射率对频率的导数dn₀/dw也采用Sellmeier方程计算；然而，我们发现在我们的模型中，波导色散比材料色散影响更大；双折射比例因子设置为δ＝8000；使用式(5)和式(7)，我们发现55个空间模态在两个偏振中传播；我们采用α＝2.09的无限实芯近似(2)，选择匹配实验，在这个试验中我们发现低阶模态具有较短的GDs，并且发现DGDs比在理想值α＝2时所预测的值要高许多；除非另有说明，光纤被划分为10⁴段，即每段长度为0.1米；每段相对于前面一段旋转一个服从独立同分布的角度θ，其概率密度函数(pdf)为正态分布，且方差为每段的曲率是一个独立同分布的随机变量k_i，其概率密度函数正态概率密度函数的正面，且其方差为因为增长，那么模型从低耦合机制到高耦合机制；给定旋转角度和曲率的随机实现，我们计算群延时运算符F；我们也对F进行对角化简以得到PMs和其GDs；

对于模型中参数的各种选择，图2(a)–(c)显示GDs与累积标准差σ_k；图2(a)显示一根分为N＝100段的光纤的GDs，每段长10米；在低σ_k时，GDs本质上与σ_k独立，并且在非常高的σ_k时，GDs发散；给定模型中各种参数值，这个N值太小而不能产生如第III-B部分的统计分析中所期望的行为，特别是GDs在中等到较高σ_k的收敛性；当我们将N增加到10⁴时，模型产生本质上与N独立的结果；

对于折射率幂指数α的两个不同值，图2(b)和(c)考虑N＝10⁴段，每段长度为0.1米；在图2(b)中，这里α＝2，最大和最小GDs的范围只有200ps，这比实验观察[11]所得的结果小很多；因此，在图2(c)中，我们已经将指数增加到α＝2.09，这产生实际GD差；

在图2(c)中，我们能区别多种机制；在非常小的σ_k的时，存在较小的模态耦合，并且GDs是非退化的；在稍大的σ_k时，对应于低耦合，GDs退化，并且GDs近似σ_k的二次分布；在较高σ_k(σ_k属于区间1和10m-1)，对应于高耦合机制，GDs收敛，GD差减少明显；这个行为在数量上与式(76)一致；最后，在非常高的σ_k时(大约20m-1)，GDs发散；这个非物理行为是由于违反我们在扰动分析中所做的假设而得出的；

在图2(c)中，高耦合机制中GDs的收敛性类似于带PMD的单模光纤，这里DGD在高耦合机制[6]中减少相当多；GDs对模态耦合的依赖性是场耦合模型的关键特征，但是在功率耦合模型中并不出现；在塑料MMFs中观察到脉冲展宽减少，这里是由于模态耦合，并且采用功率耦合模型来解释；脉冲展宽的减少不是由于GDs自身的变化；而是，有人认为光线传播，它是从一种模态跳跃到另外一种模态，并且所有的光线倾向于在各个模态花费同样比例的时间，以致所有的光线承受几乎相等的传播延时；目前的工作根据由模态耦合引起的GDs的变化，提供减少的脉冲展宽的另外一种解释；我们应该注意在塑料MMF中，散射机制导致模态耦合是和增加的衰减相关的；通过对比，在我们的模型中，曲率导致模态耦合并不会导致衰减；

为了研究GDs对曲率标准偏差σ_k和光纤长度L的依赖性，我们定义DGDΔτ为两个最低阶PMs的GD的差异；

在图3中，对于一个三模态***采用数值MMF模型进行计算，我们给出DGDΔτ与曲率标准偏差σ_k；在第III部分三模态***的理论分析中，为了简单起见，我们考虑所有位于x-z平面的光纤段；在数值模型中，我们放松这一假设，并且包含段间的旋转，然后得到结果与简化的分析相一致；在图3(a)和(b)张，我们考虑N＝1段，在这种情况下，σ_k减少单一曲率k；在图3(a)中，Δτ似乎与k独立，所以在图3(b)中，我们必须消除部分独立于k的Δτ，揭示其与k²成比例的因素，这是和式(66)成比例；在图3(c)–(e)中，我们分别考虑N＝100，1000，10⁴段；在后者情况下，我们看到Δτ是与σ_k成反比例，这也和式(76)相一致；

在图4中，我们显示了一个有2*55模态的MMF的DGDΔτ和总长度L的比；段长度保持在0.1m不变，只要我们将长度L从10增加到104m，段数N在100到105之间变化；我们考虑到曲率变化σ_k的四种不同值；当σ_k和(或)N值小时，Δτ和L成比例，这符合(66)；对于较大的σ_k值来说，当N足够大时，Δτ倾向于和成比例；这与(73)和(76)是一致；

一旦找到MMF具体实现有关的PMs和它们各自的GDs后，给定发射场分布的情况下，我们使用(38)和(39)中定义的脉冲响应运算符来计算强度脉冲响应；该运算符产生了一系列的脉冲；而这些脉冲受发射到不同PMs中的应力的影响并被它们各自的GDs延迟；为了促进与采用有限带宽的实验性测量方法的比较，我们采用了半峰全宽为50-ps的高斯脉冲来计算强度脉冲响应的卷积[11]；

图5(a)和(b)显示的是一个1千米长MMF典型实现的强度脉冲响应；该强度脉冲响应的建模是使用N＝10⁴段与弯曲变化σ_k＝1.2m^-1来建模的，与低耦合相关；相对于最低阶理想空间模态来说，光线被射入半径w＝8μm的高斯模态中；这些参数被用来定性重现实验结果；

在图5(a)中，我们假设n₀(x，y)是依赖于弯曲诱发的应力，而Δ和n₀是独立于应力的(见讨论(2))；我们发现，随着我们改变发射偏振，耦合入高阶PMs中的光的数量也会改变；这和实验观测[11][10]是定性一致的；使用(50)和(51)，我们发现了导致的最大和最小开关过程的两个正交偏振；在这两个偏振中，我们观测到在最低阶PM中，最大功率和最小功率的比为ζ＝1.31；据我们所知，本文是第一个对MMF脉冲响应的偏振依赖性做出解释的研究；

在图5(b)中，我们考虑同样的MMF实现，但是假设n₀(x，y)，Δ和n₀都是依赖于应力的；脉冲响应几乎不依赖于偏振，我们观测到了ζ＝1.01；这说明了，Δ和n₀不依赖于应力的假设对我们的模型是十分重要的；因此，在接下来显示的所有计算中我们都做这个假设；

在图6-9中，我们显示了在低耦合和高耦合机制中1千米光纤的最低阶输入和输出PMs的强度采样和偏振状态；在每个图中，带有近乎相同GDs的PMs形成配对，并按GD增加来排序；为了获得强度采样，我们重叠了有不同模数但是相同偏振的域，计算了每个重合的强度，然后计算了两个偏振的和；我们依据Stokes参数显示了偏振状态[30]；为了计算i^thPM的这些值，我们将场分量之间的乘积改成了PM振幅向量之间的点积；S₁，S₂和S₃被标准化为总功率S₀，而三个标准化的点则显示为球体表面上的点；半径接近1预示着较高的偏振度(DOP)，而较小的半径意味着较低的偏振度；将图6与图7相比，图8与图9相比，我们观测到在所有的情况中，一个输入PM和相对的输出PM有不同的强度采样和不同的偏振状态；

图6和7描述了一个在低耦合机制中的1千米MMF，其弯曲变化为σ_k＝0.95m^-1；低位理想模态的强度采样要比低位PMs的更对称；在每对有着基本相同的PMs之中，两者有着基本相同的强度采样但是不同的正交偏振；详细的检查显示最低位PMs1和2的DOP是非常接近1，然而PMs3,4,5和6显示的DOPs略微小于1；

图8和9描述的是高耦合机制中的1千米的MMF，其弯曲变化为σ_k＝4.2m^-1；即使是最低位的PMs也代表着几个理想模态的重合，因此它们的强度采样是复杂和不对称的；在每对有着基本相同的GDs的PMs中，两者有着明显不同的强度采样和偏振状态；PMs只是部分偏振的，其显示的DOPs明显小于1，这预示着空间自由度和偏振自由度之间重要的耦合；光纤长度和弯曲变化对DOP的影响显示在图10中；PMs按GDs增长来排序；1–2,3–4以及5–6形成了基本退化的对；

图10(a)和(b)显示了在低耦合机制中(σ_k＝0.95m^-1)DOP和光纤长度的比值；在光纤长度为几百米的地方PMs开始显示一些去偏振，伴随着高阶PMs在光纤长度增加的过程中去衰减比低阶PMs快；图10(c)和(d)显示高耦合机制中(σ_k＝4.2m^-1)DOP和光纤长度的比；在光纤长度短到10米的地方PMs就开始显示去衰减；而随着光纤长度的增加，模态数和DOP之间并没有明显的、一致的相关性；

按定义，PMs有独立于一阶频率的场方式[14]；人们会认为这些场方式在一些频率范围内是基本不变的；我们将其称为“相干带宽”；在带有PMD的SMF的特殊情况下，该相干带宽被称为“主偏振态的带宽”[31]；参考部分[11]演示了使用空间光调制器(SLM)控制发射到MMF中的电场，以此优先激活低阶PMs，降低模态色散的影响；我们发现，在显示低模型耦合的11千米硅材料MMF中，一组SLM就可以在带宽为600GHz时补偿模态色散；这预示着在这样的光纤中PMs可能达到了几十到几百GHz的程度；

为了估算我们模型中的相干带宽，我们在给定的光频f＝w/(2π)和移位的频率f+Δf上计算了PMs和一个相关因子；该因子为在这两个频率上PMs之间规范化的内积的大小；我们随机地将相干带宽定义为Δf的值而导致了相关因子减小到了0.8.图11(a)和(b)显示了在低耦合机制(σ_k＝1.2m^-1)情况下的1千米MMF中最低位PMs(编号1–6)频偏和相关因子的比；在图11(a)中，我们考虑了一个指数，幂指数α＝2.00；如图2(b)所示，该指数给出的GD传播要比实验观测到的低五倍；使用α的这个值，该模型预测PMs的相干带宽约为300GHz；在图11(b)中，我们认为α＝2.09,我们考虑α＝2.09；该数值在图2(c)中显示，用来产生一个更现实的GD传播；使用α的这个值，模型预测最低位PMs(1–2)的相干带宽接近10GHz，而高阶PMs(3–4和5–6)有逐渐变小的相干带宽；因此，我们的模型估算相干带宽至少小于实验所期望的一个数量级；目前，造成该不一致性的原因还不明确；

(四)结论

偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (8)

1.一种多模光纤主模态的偏振依赖关系，其特征在于：所述偏振依赖关系为

当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；

当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。

2.一种权利要求1所述的多模光纤主模态的偏振依赖关系的推导方法，其特征在于：所述推导方法具体步骤如下：

理论：假定一个发射电场分布和偏振，在该电场中建设一个空间和偏振模态耦合光纤的多段模型，计算光纤的传播运算符，然后，计算群延时运算符，并且得到其特征向量，这些是PMs，给定发射场分布和偏振时，计算光纤的脉冲响应，证明，它在低耦合机制中有效，偏振的正交性导致最小和最大开关过程；

三模态***的分析建模：建设一种简单的三模态***以说明在低和高耦合机制中有关光纤曲率和长度的GDs依赖程度；

多模光纤的竖直建模：描述实际光纤模型的数值计算，描述PMs特性和其在低和高耦合机制中的群延时；

得出多模光纤主模态的偏振依赖关系。

3.根据权利要求2所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述空间和偏振模态耦合光纤的多段模型建设时，首先确定光纤折射率分布；然后，得出局部正常模态的传播常数和场分布，并且在弯曲段中计算空间模态耦合系数，组合这些以得到；最后组合和一起来获得，并计算GD运算符，从而获得电场分布和光纤PMs的GDs。

4.根据权利要求3所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述空间和偏振模态耦合光纤的多段模型的建设具体步骤如下：

（A）折射率分布

使用无限抛物线型折射率实芯进行，与如下形式的折射率相对应

这里是光纤中心的标称折射率；对于x和y偏振，和是在光纤中心的背景折射率，并且与不同，且为双折射的一半，参数化实芯和覆盖层之间的折射率，r是从光纤中心到覆盖层最外层的半径距离，是实芯半径，是幂指数，由于双折射作用，假设背景折射率和依赖于应力作用，同时和与应力无关，为了说明材料色散，那么采用Sellmeier方程[18]来计算；

双折射，定义为从光纤中心x方向和y方向偏振波形看去的折射率的差异，且假设是由于曲率[19]应力所引起

这里表示光纤段的曲率，是指应变光系数；对于单模光纤， 和[20]；在多模光纤中，指数分布不均匀性、实芯椭圆率和离心率、弯曲、扭曲，内部和外部应力可能引起空间模态耦合和双折射率，虽然这两种作用可能在给定光纤中不一定具有一致的原点，为了简单模型采用曲率来生成两种作用，为了让曲率生成这两种模型的物理实际值，必须选择；

（B）理想模态

在时，采用弱引导近似方法，MMF的理想模态的闭环解可在直角坐标系和柱面坐标系中求得，由于x和y方向弯曲的对称性，那么在直角坐标系中采用理想光纤的特征模态方法很容易找出耦合系数，这是标准正交的Hermite–Gaussian函数

这里p和q是在x和y方向的模态数字，p和q的最大值确定

并且模态半径由下式给出（不同于频率）

总模态数由下式给出

这里因子2描述每个理想空间模态的两种偏振状态，因此，用复合向量表示沿着光纤轴每个点z的空间模态方式，根据理想模态

这里是模态折射率，表示，对于的情况，传播常数表示

在典型的光纤中，的值从2开始慢慢变化，这使得很难找到理想模态方式的一个闭环解，在一阶扰动分析中，假设不等于2，理想模态不变，只有传播常数变化，这是波动方程扰动分析的一种标准假设，例如，在量子力学中，传播常数是以来计算的，但是没有考虑双折射，通过假设依赖于偏振的背景折射率的方式，修改了表达式，同时没有修改径向变化折射率，从而得到传播常数，

注意到传播常数通过是对双折射敏感的，Gamma函数定义如下

在式(10)中，与不成线性比例，显示群延时色散；

（C）单段光纤中模态耦合***

为了评估由弯曲所引起的模态耦合，采用耦合模态理论，依据局部正常模态扩展了模态范围，在这种方法中，在沿着光纤的每个点求解波动方程，这里折射率为；假设任何反向散射波不耦合正向传播波，模态耦合方程为

这里是在模态下的波的幅度，归一化场模态由式(3)给出；是从接收光纤段间叠加积分所得到的耦合系数；

对于归一化模态场，方程已经被修改，也应注意在相同群中模态并不耦合；设和表示在位置的光纤中心，对于，折射率的扰动可如

在模型中，弯曲是被定义为沿着x方向，因此，为了扰动分析的有效性，设有，考虑式(14)，可将式(13)写为

在环形弯曲的模型中，写成

这里是段的曲率，当每段弯曲光纤的长度比弯曲半径小很多时，约等式是成立的；将式(16)的二阶导数代入式(15)中，得到

方程(17)通常对于光纤内的场传播是有效的，定义归一化的一维Hermite–Gaussian模态为

并且从式(17)得到叠加积分为

在式(19)中，对于Hermite–Gaussian模态，看到曲率引起和之间模态的耦合，虽然式(17)易于计算，并且可在的模型中使用，为了简化，进一步近似不同于式(9)的传播常数为

采用式(20)，并且重申和，那么式(17)变为

通过将弯曲近似为两条直线波导连接的方法简化表达式(21)，交叉角度为（突然弯曲），并且计算时的系数，这种方法找到从引导模态到放射模态的功率耦合；

将式(19)代入式(21)，可将模态耦合系数写成

耦合系数(22)是沿着弯曲的每个点定义，因此他们并不依赖于每个弯曲段的长度；它们线性依赖于曲率，值得强调的是，因为它们是在标量模型中计算得出，所以它们是独立于偏振；

（D）段间偏振旋转矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，光纤轴旋转角度，这个旋转对电场偏振的作用可通过单位旋转矩阵来表示

（E）段间模态投影矩阵

在段i和段i+1之间的连接处，假设在段i+1的轴关于段i的轴顺时针旋转，将模场方式写为

使用如下的特性：

对于式(28)沿着一组新的Hermite–Gaussian模态分解的闭环表达式如式(30)所示，这里

在一个阶矩阵中，表示系数，注意模态映射是和两种偏振一样，并且得到段i和段i+1之间的模态映射矩阵

；

（F）总传播运算符

组合来自段II-D–F的结果，得到

；

（G）群延时运算符和主模态

PMs定义为独立于一阶频率，并且有定义好的GDs，在输入PM中的一个发射脉冲在相应的输出PM中是作为单脉冲接收，从传播运算符，得到GD运算符

PMs和相应的GDs分别是的特征向量和特征值，分别与其延时相关，对于无损光纤，U是单一的，F是Hermitian的，因此，GDs是实数，是单一的，在理想光纤中，F减少对角线矩阵与理想模态GDs相等的元素，，在模态耦合光纤中，特征向量分量(34)通常必须进行数值计算；

（H）强度脉冲响应

在通过向量描述模态场方式中，若发射光信号到光纤中，如根据理想模态给出振幅，可以计算耦合到每个PMs的光信号的幅度为

方程(35)可视为在电场上的叠加积分，或根据理想模态的向量的点积，在后者的情况下，提供一个的PM幅度向量；发射到第i个PM的一个脉冲以GD传播，对于无损光纤，强度脉冲响应是以耦合到PMs的功率来衡量的脉冲总和；

定义强度脉冲响应运算符为

强度脉冲响应(36)可写为

在矩阵形式下，式(38)等于

；

（I）偏振的正交性导致最大和最小开关过程

实验确定发射空间模态分布常数，强度脉冲响应对发射信号偏振比较灵敏，此外，发现在使用直接检测的on-off按键的链接中，导致最大和最小开关过程的偏振近似正交，这里解释后者的实验观察结果，定义开关过程为第一种空间模态的功率和剩余空间模态的总功率之间的差别，考虑双折射非常小，以致第一个两个延时与x和y方向偏振的最低阶空间模态相应，将开关过程写为

若忽略损耗，那么总功率是恒定的，并且可通过最大化第一个两项的方式最大化，通过一个二次目标函数描述

假设光是以一种特定空间模态方式发射，一个通用的椭圆的偏振表示为

可将写为

保持空间模态方式和总功率恒定，可调整偏振的三个自由度、和，通过定义一个新变量x

可将表示为

这里

定义和，其是通过分别保持和的前两行来获得，在前两个PMs中，定义为最大和最小功率比

这里最后一项是采用单值分解(SVD)而获得

所以，是矩阵的条件值，将的SVD写为

若选择

那么得到与最大单数值相关的输入偏振，这导致最大的开关过程；相反地，

式（51）给出导致最小开关过程的输入偏振；

这里的目的是优化第一项和第二项PMs的功率和，当试着激发最低阶空间模态时，并且当双折射诱导的DGDs与不同空间模态之间的DGDs要小时；非常容易理解推广这个分析以优化在任何PMs组中发射的功率和，同时保持总的发射功率恒定，通过适当定义和，证明导致在给定组PMs引起最小和最大功率的发射偏振之间的正交性。

5.根据权利要求2所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述三模态***的分析建模为通过分析一个简单的***，研究了有关光纤曲率的GDs和低和高耦合机制中长度的相关性，在MMF中，在每个偏振中传播模态的最小数为3，沿着一个方向的弯曲导致两种模态，并且彼此耦合，而让第三种模态单独没有耦合地进行传播，因此，忽略第三种空间模态，为了简单，假设所有光纤段位于平面，以至偏振没有影响，并且可以忽略不计；结果是两模态***，并且其数学上类似于PMD的单模态光纤，首先，为了说明低耦合机制，研究单段有较小曲率的光纤，然后，为了说明高耦合机制，研究一种许多段和统计曲率参数的光纤。

6.根据权利要求5所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述三模态***的分析建模具体步骤如下：

低耦合机制的DGD

这里，在单段弯曲光纤中计算DGD，定义缓慢变化包络线为

这里由式(24)定义，式(52)的导数可写为

将式(52)和式(53)代入式(23)中，可写为

这是缓慢变换包络线的耦合方程，定义缓慢变化包络线的耦合矩阵为

定义为这两种耦合模态的传播常数之间的差，可将写为

包络线A的传播是通过单一传播矩阵T来描述，这和SMF中Jones类似；

采用T，可使用下式得到传播矩阵U

采用式(59)和的情况，使用式(34)来将群延时矩阵F写为

因为T是单一的，所以F的特征值是圆括号内矩阵的特征值，如从这个导数所看到的，对于直线光纤，这里，F的特征值为耦合模态的GDs值，由给出，在较短的光纤段中，与低耦合机制相应，时，可假设大多数光信号以第一种模态中传播，并且慢慢地耦合到第二种模态，使得得到

使用的情况，并且只考虑z中一阶项，可写为

考虑式(58)中T的导数和式(62)

注意(63)等于，并且将其代入到式(60)，得到

为了确定单个弯曲段的一阶作用，通过求解下式得到GDs

这里GDs之间的差别给出了总长为L的光纤的DGD，

表达式(66)显示DGD随着光纤长度而线性增长，就像PMD在低耦合机制中的情况，此外，对于较小的，弯曲会增加DGD，DGD是和成比例；

（B）高耦合机制的DGD

在高耦合机制中，GDs不是由局部光纤特性所决定；而是依赖于整个光纤上模态耦合的累积效应，GDs的统计特性可通过求解耦合随机差分方程来进行研究，对于有PMD的SMF的情况，Poole已经观察了低和高耦合机制中的这些方程，对于假设位于平面的三模态MMF，式(23)中耦合模态方程化简到如下

如在前面的章节中所述，有一个模态并不与其他两种模态耦合，所以在的分析中也忽略，光纤曲率的自相关定义如下

这里括号表示总体均值，也定义功率谱密度(PSD)为

根据文献[6]的方法来解决随机耦合(67)，得到作为的函数的均方DGD为

参数描述整体均值率，这里功率在模态之间转换，并且定义为

在低耦合极限时，有

对于处于低耦合机制中恒定弯曲的光纤，式(72)中的均方DGD是和式(66)中的DGD一致，方程(66)已经被扩展到包含最低非零阶弯曲的作用；

在这里所考虑的高耦合极限中，得到

方程(73)给提供了洞察有关光纤统计的DGD的依赖性机会，在高耦合机制中显示，DGD与曲率的PSD成反比变化，就像在SMF[6]PDM的情况中，DGD随着高耦合机制中长度，如的平方根而变化，为了进一步了解式(73)，注意到在的模型中，因为曲率在每段长度上是恒定的，曲率可通过离散随机变量来描述，其是独立同分布的(i.i.d.)，分别表示的期望和方差为和，段i和段i+1之间离散自相关为

为了找出曲率的PSD，注意，z的函数类似于PAM信号，t的函数，使用这种类推法，得到的PSD为

在这些现存的问题中，这里第一种和第二种模态是非退化的，例如，得到DGD方差(73)为

方程(76)显示在高耦合机制中，DGD是与光纤长度，例如，的平方根成正比，并且与曲率标准差成反比。

7.根据权利要求5所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述多模光纤的数值建模为，基于理论中描述的空间和偏振模态耦合光纤的多段模型，采用MATLAB中高精度矩阵工具进行MMF的数值建模，光纤为实芯渐进折射率硅材料的MMF，其总长为，光纤具有数值孔径为，并且波长为，光纤中心的折射率是在波长为时所测得，离开这个波长，是采用Sellmeier方程进行计算，折射率对频率的导数也采用Sellmeier方程计算，然而，发现在的模型中，波导色散比材料色散影响更大，双折射比例因子设置为，使用式(5)和式(7)，发现55个空间模态在两个偏振中传播，采用的无限实芯近似(2)，选择匹配实验，在这个试验中发现低阶模态具有较短的GDs，并且发现DGDs比在理想值时所预测的值要高许多，除非另有说明，光纤被划分为段，即每段长度为0.1米，每段相对于前面一段旋转一个服从独立同分布的角度，其概率密度函数(pdf)为正态分布，且方差为，每段的曲率是一个独立同分布的随机变量，其概率密度函数正态概率密度函数的正面，且其方差为，因为增长，那么模型从低耦合机制到高耦合机制，给定旋转角度和曲率的随机实现，计算群延时运算符F，对F进行对角化简以得到PMs和其GDs。

8.根据权利要求5所述的渐变性折射率多模光纤的传输主模态，其特征在于：所述结论为偏振依赖关系为当曲率方差与光纤长度相比较小时，即低耦合机制时，群延时非常接近其非耦合值，并且与光纤长度成线性比例，同时主模态依然是产生高度偏振，在这种机制中，再现了脉冲响应的偏振依赖性，并且这种偏振依赖性是在硅材料多模光纤中观察到的；当曲率方差和光纤长度足够大时，即高耦合机制，那么会减少传播的群延时，并且与光纤长度的平方根成比例，同时主模态去偏振化，在这个模型中，的模型的群延时是与在塑料材料多模光纤MMF中观察到的传播群延时减少相一致。