CN105160047A - 基于ybco超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法 - Google Patents

Abstract

一种基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法，在建立YBCO超导带材等效结构模型、YBCO超导带材等效电路模型、YBCO超导带材热传导模型和电阻型超导限流器电路模型的基础上，根据给定限流器的电路参数、超导带材的结构参数和初始运行条件，计算线路电流和超导带材电流；根据YBCO超导带材的热传导模型，计算超导带材的温度；根据YBCO超导带材等效电路模型、超导带材温度和电流，计算超导带材的电阻；根据电阻型超导限流器的电路模型，计算线路电流和超导带材电流，实现电阻型超导限流器的仿真计算。本发明可用于多单元和复杂结构的超导限流器。

Description

基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法

技术领域

本发明涉及一种超导限流器数字建模仿真方法。

背景技术

随着国民经济的快速发展，社会对电力的需求不断增加，带动了电力***的不断发展，单机和发电厂容量、变电所容量、城市和工业中心负荷不断增加，就使得电力***之间互联，各级电网中的短路电流水平不断提高，短路故障对电力***及其相连的电气设备的破坏性也越来越大。然而，大电网的暂态稳定性问题比较突出，其中最重要的原因之一是由于常规电力技术缺乏行之有效的短路故障电流限制技术。

电阻型超导限流器是一种具有远大发展前途的限流器，它利用超导体从超导态到正常态的转变，即从无阻状态到有阻状态的变化来限流，具有自动故障辨识和自动响应故障的特点。电阻型超导限流器的限流故障是非线性变化过程，其变化过程涉及到电磁场和热场的相互耦合。对于电阻型超导限流器的数字建模仿真方法，在文献“ThermalandElectricalAnalysisofCoatedConductorUnderACOver-Current(IEEETRANSACTIONSONAPPLIEDSUPERCONDUCTIVITY,VOL.17,NO.2,JUNE2007)”中有过YBCO超导带材的电磁场和热场相互耦合关系进了建模研究，分析了YBCO超导带材在经历超导态、磁通流阻态和正常态过程中，所产生的电阻及超导的温度等。然而，该数字建模仿真方法简单地把YBCO超导带材在超导态、磁通流阻态和正常态的电阻分段处理，使得在故障限流的暂态过程中，建模无法平滑过渡，经常产生奇异点，函数无法收敛；同时，由于参数多，给分析问题带来了极大的不便。

从横截面来看，基于YBCO超导带材从上到下呈层状结构，分为6层，上表面铜层，依次为银层、YBCO层、缓冲层、哈氏合金基底层和下表面的铜层，如图1所示。当超导带材处于超导态时，YBCO层的电阻为零，电流通过YBCO层而导通；当超导带材处于正常态时，YBCO层因失超而产生电阻，电流超导带材的各层中按电阻分配而导通。

对于基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器，不可避免地需要进行超导体从超导态、磁通流阻态和正常态的电磁场和热场的耦合关系分析，只有准确分析此过程，才能准确计算出YBCO超导带材所产生的电阻，从而实现限流器的设计。

发明内容

本发明的目的是克服已有技术的不足，提出一种基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法。本发明不但能够保证建模的准确性，而且避免了超导限流器暂态分析过程中的函数收敛问题，提高了***仿真效率。

本发明采用的技术方案：

本发明在建立YBCO超导带材等效结构模型、YBCO超导带材等效电路模型、YBCO超导带材热传导模型和电阻型超导限流器电路模型的基础上，根据给定电阻型超导限流器的电路参数、超导带材的结构参数和初始运行条件，在超导无感线圈电阻R_sc为零的前提下，计算线路电流的初始值和超导带材电流的初始值；根据YBCO超导带材的热传导模型计算超导带材的温度；根据YBCO超导带材等效电路模型、超导带材温度和电流，计算超导带材的电阻；根据电阻型超导限流器的电路模型，计算并反馈线路电流和超导带材电流，实现电阻型超导限流器的建模仿真。

本发明建模仿真方法的具体步骤如下：

步骤1.建立YBCO超导带材等效结构模型；

建立YBCO超导带材等效结构模型时，为便于分析YBCO超导带材各层在失超过程中的电阻情况，采用以下简化方法：

因YBCO超导带材的缓冲层的厚度很小，电阻很大，可以忽略。同时，又因YBCO超导带材的上表面铜层和下表面铜层的物理特性相同，可以合二为一进行分析。因此，所建立的YBCO超导带材等效结构模型简化分为4层：表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层。表面铜层包括上表面铜层和下表面铜层。

步骤2.建立电阻型超导限流器的电路模型，给定电阻型超导限流器的电路参数：线路等效电感L_s、线路等效电阻r和负载电阻R_load，以及交流电源电压U_s，在超导无感线圈电阻R_sc等于零的前提下，计算线路电流初始值I₀(t)和超导带材电流初始值I_s0(t)；

电阻型超导限流器包括交流电源U_s、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈R_sc和负载电阻R_load。交流电源U_s、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load依次串联，交流电源U_s和负载电阻R_load的一端接地；断路器Br和超导无感线圈电阻R_sc连接在第一连接点A上，超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load连接在第二连接点B上。

根据全电路欧姆定律，当超导无感线圈电阻R_sc为零时，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝I₀X+I₀r+I₀R_load(1)

式中：R_load为负载电阻，I₀为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻。

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\πft}\right)---\left(2\right)$

X＝j2πfL_s(3)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号。

线路电流的初始值为：

$I_0\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\πf}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\πft}+\mathrm{\θ})---\left(4\right)$

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m根超导带材并联组成，m≥1，根据分流定律：

I_s0(t)＝I₀(t)/m(5)

式中，I₀(t)和I_s0(t)分别为线路电流初始值和超导带材的电流初始值。

步骤3.建立YBCO超导带材的热传导模型，给定超导带材的结构参数：超导带材的宽度w、厚度d、长度l_e，所述的厚度d包括表面铜层厚度d₁、银层的厚度d₂、YBCO层的厚度d₃和哈氏合金基底层厚度d₄；给定超导无感线圈的初始运行条件：工作温度Top，计算超导带材的温度T；

(1)YBCO超导带材直接在液氮浸泡环境中冷却，根据热平衡方程，沿超导带材的长度方向，一维热传导方程为：

$v_{\mathrm{cm}}\left(T\right)C_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\∂T}{\∂t}=\frac{\∂}{\∂t}\left[K_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\∂T}{\∂x}\right]+g_j\left(T\right)-W_{\mathrm{cool}}\left(T\right)---\left(6\right)$

式中，K_cm(T)为热传导系数，V_cm和C_cm分别为YBCO超导带材的密度与比热容，g_j(T)和W_cool(T)分别是超导带材的焦耳热和散失热量。

YBCO超导带材的密度V_cm与比热容C_cm满足式：

$v_{\mathrm{cm}}{C}_{\mathrm{cm}}=v_1{C}_1\frac{d_1}{d}+v_2{C}_2\frac{d_2}{d}+v_3{C}_3\frac{d_3}{d}{v}_4{C}_4\frac{d_4}{d}---\left(7\right)$

其中_，ν₁,ν₂,ν₃,ν₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的密度。d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度，d为YBCO超导带材的厚度。C₁，C₂，C₃，C₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的比热容。各种密度和比热容均可查阅手册获得，比如《超导电力技术基础》(科学出版社，2011年)。

$K_{\mathrm{cm}}=K_1\frac{d_1}{d}+K_2\frac{d_2}{d}+K_3\frac{d_3}{d}+K_4\frac{d_4}{d}---\left(8\right)$

其中，K₁，K₂，K₃，K₄分别为表面铜层，银层，YBCO层和哈氏合金基底层的热导率。各种材料的热导率均可查阅手册获得，比如《超导电力技术基础》(科学出版社，2011年)。

(2)根据焦耳定律，超导带材的焦耳热

$g_j\left(T\right)={\∫}_0^t{U}_S\left(t\right)I_S\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

其中，U_S(t)为超导带材的电压，I_S(t)为超导带材的电流。

(3)超导带材浸泡在液氮中，根据经验公式，散失热量完全由液氮带走，超导带材的散失热量W_cool(T)为：

W_cool(T)＝hA(T)(10)

其中，A为超导带材与液氮的接触面积，即超导带材的表面积；h为液氮传热系数，与超导带材和液氮的温度差ΔT(T-Top)有关，根据实验可知，液氮传热系数h的取值。对应于不同的温差ΔT(T-Top)，热传递过程有对流、核沸腾、过渡态和膜沸腾4种状态，不同的状态对应不同的液氮传热系数h。液氮传热系数h的与拟合结果：

$h=\left\{\begin{array}{cc}0.091011*\mathrm{\&Delta;T}+0.089888& (\mathrm{\&Delta;T}\&le;10)\\ 0.5*\mathrm{\&Delta;T}-4& (10<\mathrm{\&Delta;T}\&le;31)\\ -0.069*\mathrm{\&Delta;T}+2.259& (31<\mathrm{\&Delta;T}\&le;600)\\ 0.002833*\mathrm{\&Delta;T}& (\mathrm{\&Delta;T}>600)\end{array}\right.---\left(11\right)$

步骤4.建立YBCO超导带材等效电路模型，依据超导带材温度T和超导带材电流I_s(t)，计算YBCO超导带材的电阻r_sc；

YBCO超导带材的等效电路为4个电阻并联结构。第一电阻r₁为表面铜层电阻，第二电阻r₂为银层的电阻，第三电阻r₃为YBCO层的电阻，第四电阻r₄为哈氏合金基底层的电阻。

根据所建立的YBCO超导带材等效电路模型，并根据超导带材温度和电流，根据欧姆定律和电路原理，计算YBCO超导带材的等效电路的电阻：

(1)第一电阻r₁为表面铜层电阻，为铜材料制作。第一电阻r₁是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_1\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_1\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_1}---\left(12\right)$

其中，ρ₁(T)为铜的电阻率，是超导带材温度T的函数，w为YBCO超导带材的宽度，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，l_e为超导带材的长度。

(2)第二电阻r₂为银层电阻，为银材料制作。第二电阻r₂是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_2\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_2\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_2}---\left(13\right)$

其中，ρ₂(T)为银的电阻率，w为YBCO超导带材的宽度，d₂为银层的厚度，l_e为超导带材的长度。

(3)第三电阻r₃为YBCO层电阻。根据超导带材的电阻变化规律，第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)是超导带材温度T的函数，通过对YBCO超导带材的特性测试，并采用数值拟合的方法可得第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)：

ρ₃(T)＝ρ₃₁(T)+ρ₃₂(T)(14)

其中，ρ₃₁(T)和ρ₃₂(T)由分段函数拟合而成：

${\mathrm{\&rho;}}_{31}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<J_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n1}/J& (J>J_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_{32}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<{\mathrm{\&gamma;J}}_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n2}/J& (J>{\mathrm{\&gamma;J}}_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，Jc(T)是超导带材临界电流密度Jc随温度T变化的函数：

J_c(T)＝J_c0[(T_c-T)/(T_c-T_op)]^1.5(17)

其中，Jc为超导带材临界电流密度。J_c0＝2×10⁶A/cm²，为77K下的临界电流密度；Tc＝92K，为YBCO的临界温度，Top为工作温度，在液氮池中为77K。参数n₁＝3；n₂＝20；γ＝2，均为根据超导带材的特性而得到的拟合参数。针对ρ₃₁(T)和ρ₃₂(T)为零的情况，在实际计算过程中，可以取为一个非常小的数据，如10^-19Ω··cm等，避免运算出错。

根据欧姆定律，超导带材的电流Is表示为：

I_S(T)＝J(T)/(dw)(18)

式中：d为超导带材的厚度，w为YBCO超导带材的宽度。

其中，超导带材的厚度d表示为：

d＝(d₁+d₂+d₃+d₄)(19)

式中，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度。

YBCO层的第三电阻r₃，根据欧姆定律可得：

$r_3(T,I_s)={\mathrm{\&rho;}}_3\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_3}---\left(20\right)$

式中：d₃为YBCO层厚度，w为YBCO超导带材的宽度，I_s为超导带材电流，l_e为超导带材的长度，T为超导带材的温度。

(4)第四电阻r₄是哈氏合金基底层电阻，第四电阻r₄是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_4\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_4\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_4}---\left(21\right)$

式中，ρ₄(T)为银的电阻率，w为YBCO超导带材的宽度，d₄为哈氏合金基底层的厚度。

(5)按照YBCO超导带材等效电路的电阻并联结构，根据全电路欧姆定律，超导带材的电阻r_sc为：

$r_{\mathrm{sc}}(T,I_s)=\frac{1}{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}}---\left(22\right)$

式中：r₁、r₂、r₃、r₄分别为第一电阻r₁、第二电阻r₂、第三电阻r₃、第四电阻r₄的阻值，I_s为超导带材电流，T为超导带材的温度。

在电网稳态运行时，超导带材工作在超导态，即J<J_C(T)时，超导带材的YBCO层的电阻为零，电流都通过YBCO层而导通，不会对电网造成电压降。当电网发生故障时，电网电流增大，超导带材失超而产生电阻，电流将在超导带材的各层之间分配。

步骤5.根据电阻型超导限流器的电路模型、超导带材的电阻r_sc，计算线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)，输出线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)，并反馈超导带材的温度T给步骤3、反馈超导带材电流I_s(t)给步骤4，实现***循环建模和仿真；

根据全电路欧姆定律，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝IX+Ir+IR_sc+IR_load(23)

式中：R_load为负载电阻，R_sc为超导无感线圈电阻，I为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻。

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)---\left(24\right)$

X＝j2πfL_s(25)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号。

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m根超导带材并联组成，m≥1，根据分流定律：

R_sc(T)＝r_sc(T)/m(26)

I(t)＝mI_s(t)(27)

式中，r_sc(T)为超导带材的电阻、I(t)和I_s(t)分别为线路电流和超导带材的电流。

根据全电路欧姆定律，把式(24)-(27)代入式(23)，得到电阻型超导限流器的电流与电压关系：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(28\right)$

其中，相角θ为：

$\mathrm{tg}\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{2\mathrm{\&pi;f}{L}_s}{r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}}}---\left(29\right)$

因此，通过超导带材的电流：

$I_s\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(30\right)$

超导带材的电流峰值为：

$I_{\mathrm{sM}}\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}---\left(31\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻。

在电网稳态时，电阻型超导限流器工作在超导态，超导无感线圈的电阻为R_sc(T)＝0，根据式(30)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(32\right)$

在电网发生短路故障时，负载电阻R_load减小为零，同时，电阻型超导限流器工作的正常态而产生电阻，因此，根据式(23)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m)}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(33\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻。线路等效电感L_s和线路等效电阻r表示了电网短路故障的程度，而超导无感线圈的电阻r_sc/m则体现了电阻型超导限流器的限流能力，当电阻r_sc/m增大时，线路电流I(t)就减小。

本发明的主要优点：

1.本发明通过对YBCO超导带材结构和电路的简化和等效，使得超导带材在过流失超过程中的暂态电阻变化关系更加明确，便于计算。

2.本发明通过建立YBCO超导带材的热传导模型，准确分析了限流暂态过程中，超导带材温度变化的原因和热扩散的特征。

3.本发明给出了YBCO超导带材的电路和热传导建模所需的多种参数，使得超导带材建模更加简单。

4.本发明所建立的电阻型超导限流器的电路的数字模型，从超导带材的结构和热传导模型出发，解决了超导限流器在限流过程中的复杂的电磁场-热场耦合问题。

5.本发明所建立的电阻型超导限流器的电路的数字模型，使得建模方法简单化，为包含电阻型超导限流器的限流技术的建模和控制，提供了一种简单、易于操作的方法。

附图说明

图1为YBCO超导带材结构图；

图2为本发明的电阻型超导限流器的仿真计算流程图；

图3为本发明YBCO超导带材等效结构模型；

图4为本发明的电阻型超导限流器电路原理图；

图5为本发明的液氮传热系数与带材温度和运行温度的温差的关系图；

图6为本发明YBCO超导带材等效电路模型。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

本发明包括建立YBCO超导带材等效结构模型、等效电路模型和热传导模型、电阻型超导限流器的电路原理的数字建模仿真等步骤，如图2所示。

本发明的具体步骤如下：

步骤1.建立YBCO超导带材等效结构模型；

建立YBCO超导带材等效结构模型时，为便于分析YBCO超导带材各层在失超过程中的电阻情况，采用以下简化方法：

因YBCO超导带材的缓冲层的厚度很小，电阻很大，可以忽略。同时，又因YBCO超导带材的上表面铜层和下表面铜层的物理特性相同，可以合二为一进行分析。因此，所建立的YBCO超导带材等效结构模型简化分为4层：表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层。表面铜层包括上表面铜层和下表面铜层，如图3所示。

步骤2.建立电阻型超导限流器的电路模型，给定电阻型超导限流器的电路参数：线路等效电感L_s、线路等效电阻r和负载电阻R_load，以及交流电源电压U_s，在超导无感线圈电阻Rsc等于零的前提下，计算线路电流初始值I₀(t)和超导带材电流初始值I_s0(t)；

电阻型超导限流器的电路原理图如图4所示，包括交流电源U_s、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈R_sc和负载电阻R_load。交流电源U_s、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load依次串联，交流电源U_s和负载电阻R_load的一端接地；断路器Br和超导无感线圈电阻R_sc连接在第一连接点A上，超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load连接在第二连接点B上。

根据全电路欧姆定律，当超导无感线圈电阻R_sc为零时，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝I₀X+I₀r+I₀R_load(1)

式中：R_load为负载电阻，I₀为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻。

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)---\left(2\right)$

X＝j2πfL_s(3)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号。

线路电流的初始值为：

$I_0\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(4\right)$

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m(m≥1)根超导带材并联组成，根据分流定律：

I_s0(t)＝I₀(t)/m(5)

式中，I₀(t)和I_s0(t)分别为线路电流初始值和超导带材的电流初始值。

步骤3.建立YBCO超导带材的热传导模型，给定超导带材的结构参数：超导带材的宽度w、厚度d和长度l_e，所述的后度d包括了包括表面铜层厚度d₁、银层的厚度d₂、YBCO层的厚度d₃和哈氏合金基底层厚度d₄；给定超导无感线圈的初始运行条件：工作温度Top，计算超导带材的温度T；

(1)YBCO超导带材直接在液氮浸泡环境中冷却，根据热平衡方程，沿超导带材的长度方向，一维热传导方程为：

$v_{\mathrm{cm}}\left(T\right)C_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\left[K_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;x}\right]+g_j\left(T\right)-W_{\mathrm{cool}}\left(T\right)---\left(6\right)$

式中，K_cm(T)为热传导系数，V_cm和C_cm分别为YBCO超导带材的密度与比热容，g_j(T)和W_cool(T)分别是超导带材的焦耳热和散失热量。

YBCO超导带材的密度V_cm与比热容C_cm满足式：

$v_{\mathrm{cm}}{C}_{\mathrm{cm}}=v_1{C}_1\frac{d_1}{d}+v_2{C}_2\frac{d_2}{d}+v_3{C}_3\frac{d_3}{d}{v}_4{C}_4\frac{d_4}{d}---\left(7\right)$

其中，ν₁,ν₂,ν₃,ν₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的密度。d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度，d为YBCO超导带材的厚度。C₁，C₂，C₃，C₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的比热容。各种密度和比热容均可查阅手册获得。

$K_{\mathrm{cm}}=K_1\frac{d_1}{d}+K_2\frac{d_2}{d}+K_3\frac{d_3}{d}+K_4\frac{d_4}{d}---\left(8\right)$

其中，K₁，K₂，K₃，K₄分别为表面铜层，银层，YBCO层和哈氏合金基底层的热导率。各种材料的热导率均可查阅手册获得。

(2)根据焦耳定律，超导带材的焦耳热

$g_j\left(T\right)={\&Integral;}_0^t{U}_S\left(t\right)I_S\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

其中，U_S(t)为超导带材的电压，I_S(t)为超导带材的电流。

(3)超导带材浸泡在液氮中，根据经验公式，散失热量完全由液氮带走，超导带材的散失热量W_cool(T)为：

W_cool(T)＝hA(T)(10)

其中，A为超导带材与液氮的接触面积，即超导带材的表面积；h为液氮传热系数，与超导带材和液氮的温度差ΔT(T-Top)有关，根据实验可知，液氮传热系数h的取值，如图5所示。对应于不同的温差ΔT(T-Top)，热传递过程有对流、核沸腾、过渡态和膜沸腾4种状态，不同的状态对应不同的液氮传热系数h。液氮传热系数h的与拟合结果：

$h=\left\{\begin{array}{cc}0.091011*\mathrm{\&Delta;T}+0.089888& (\mathrm{\&Delta;T}\&le;10)\\ 0.5*\mathrm{\&Delta;T}-4& (10<\mathrm{\&Delta;T}\&le;31)\\ -0.069*\mathrm{\&Delta;T}+2.259& (31<\mathrm{\&Delta;T}\&le;600)\\ 0.002833*\mathrm{\&Delta;T}& (\mathrm{\&Delta;T}>600)\end{array}\right.---\left(11\right)$

步骤4.建立YBCO超导带材等效电路模型，依据超导带材温度T和超导带材电流I_s(t)，计算YBCO超导带材的电阻r_sc；

YBCO超导带材的等效电路为4个电阻并联结构。第一电阻r₁为表面铜层电阻，第二电阻r₂为银层的电阻，第三电阻r₃为YBCO层的电阻，第四电阻r₄为哈氏合金基底层的电阻，如图6所示。

根据所建立的YBCO超导带材等效电路模型，并根据超导带材温度和电流，根据欧姆定律和电路原理，计算YBCO超导带材的等效电路的电阻：

(1)第一电阻r₁为表面铜层电阻，为铜材料制作。第一电阻r₁是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_1\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_1\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_1}---\left(12\right)$

其中，ρ₁(T)为铜的电阻率，是超导带材温度T的函数，w为YBCO超导带材的宽度，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，l_e为超导带材的长度。

(2)第二电阻r₂为银层电阻，为银材料制作。第二电阻r₂是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_2\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_2\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_2}---\left(13\right)$

其中，ρ₂(T)为银的电阻率，w为YBCO超导带材的宽度，d₂为银层的厚度，l_e为超导带材的长度。

(3)第三电阻r₃为YBCO层电阻。根据超导带材的电阻变化规律，第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)是超导带材温度T的函数，通过对YBCO超导带材的特性测试，并采用数值拟合的方法可得第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)：

ρ₃(T)＝ρ₃₁(T)+ρ₃₂(T)(14)

其中，ρ₃₁(T)和ρ₃₂(T)由分段函数拟合而成：

${\mathrm{\&rho;}}_{31}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<J_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n1}/J& (J>J_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_{32}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<{\mathrm{\&gamma;J}}_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n2}/J& (J>{\mathrm{\&gamma;J}}_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，Jc(T)是超导带材临界电流密度Jc随温度T的函数：

J_c(T)＝J_c0[(T_c-T)/(T_c-T_op)]^1.5(17)

其中，Jc为超导带材临界电流密度。J_c0＝2×10⁶A/cm²，为77K下的临界电流密度；Tc＝92K，为YBCO的临界温度，Top为工作温度，在液氮池中为77K。参数n₁＝3；n₂＝20；γ＝2，均为根据超导带材的特性而得到的拟合参数。针对ρ₃₁(T)和ρ₃₂(T)为零的情况，在实际计算过程中，可以取为一个非常小的数据，如10^-19Ω··cm等，避免运算出错。

根据欧姆定律，超导带材的电流Is表示为：

I_S(T)＝J(T)/(dw)(18)

式中：d为超导带材的厚度，w为YBCO超导带材的宽度。

其中，超导带材的厚度d表示为：

d＝(d₁+d₂+d₃+d₄)(19)

式中，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度。

YBCO层的第三电阻r₃，根据欧姆定律可得：

$r_3(T,I_s)={\mathrm{\&rho;}}_3\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_3}---\left(20\right)$

式中：d₃为YBCO层厚度，w为YBCO超导带材的宽度，I_s为超导带材电流，l_e为超导带材的长度，T为超导带材的温度。

(4)第四电阻r₄是哈氏合金基底层电阻，第四电阻r₄是超导带材温度T的函数。根据欧姆定律可得：

$r_4\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_4\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_4}---\left(21\right)$

式中，ρ₄(T)为银的电阻率w为YBCO超导带材的宽度，d₄为哈氏合金基底层的厚度。

(5)按照YBCO超导带材等效电路的电阻并联结构，根据全电路欧姆定律，超导带材的电阻r_sc为：

$r_{\mathrm{sc}}(T,I_s)=\frac{1}{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}}---\left(22\right)$

式中：r₁、r₂、r₃、r₄分别为第一电阻r₁、第二电阻r₂、第三电阻r₃、第四电阻r₄的阻值，I_s为超导带材电流，T为超导带材的温度。

在电网稳态运行时，超导带材工作在超导态，即J<J_C(T)时，超导带材的YBCO层的电阻为零，电流都通过YBCO层而导通，不会对电网造成电压降。当电网发生故障时，电网电流增大，超导带材失超而产生电阻，电流将在超导带材的各层之间分配。

步骤5.根据电阻型超导限流器的电路模型、超导带材的电阻r_sc，计算线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)；输出线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)，并反馈超导带材的温度T给步骤3、反馈超导带材电流I_s(t)给步骤4，实现***循环建模和仿真。

根据全电路欧姆定律，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝IX+Ir+IR_sc+IR_load(23)

式中：R_load为负载电阻，R_sc为超导无感线圈电阻，I为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻。

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)---\left(24\right)$

X＝j2πfL_s(25)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号。

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m根超导带材并联组成，m≥1，根据分流定律：

R_sc(T)＝r_sc(T)/m(26)

I(t)＝mI_s(t)(27)

式中，r_sc(T)为超导带材的电阻、I(t)和I_s(t)分别为线路电流和超导带材的电流。

根据全电路欧姆定律，把式(24)-(27)代入式(23)，得到电阻型超导限流器的电流与电压关系：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(28\right)$

其中，相角θ为：

$\mathrm{tg}\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{2\mathrm{\&pi;f}{L}_s}{r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}}}---\left(29\right)$

因此，通过超导带材的电流：

$I_s\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(30\right)$

超导带材的电流峰值为：

$I_{\mathrm{sM}}\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}---\left(31\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻。

在电网稳态时，电阻型超导限流器工作在超导态，超导无感线圈的电阻为R_sc(T)＝0，根据式(30)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(32\right)$

在电网发生短路故障时，负载电阻R_load减小为零，同时，电阻型超导限流器工作的正常态而产生电阻，因此，根据式(23)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m)}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(33\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻。线路等效电感L_s和线路等效电阻r表示了电网短路故障的程度，而超导无感线圈的电阻r_sc/m则体现了电阻型超导限流器的限流能力，当电阻r_sc/m增大时，线路电流I(t)减小。

本发明基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法所构造的超导带材结构模型和超导带材等效电路模型，简化了超导带材的结构，全面描述了超导带材在由超导态转化为正常态过程的电阻变化规律；通过YBCO超导带材的热传导建模的建立，分析了超导带材各个组分在不同温度下的比热容、电导率等的变化规律，以及带材的散热情况；通过电阻型超导限流器的电路模型的建立，提供了简单而有效的电路和限流器模型和分析方法。通过建模提供了一种有效的基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器的故障分析方法，提高了工作效率。通过本发明所提供的建模方法，不仅解决了基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器精确分析方法，而且，也可用于多单元和复杂结构的超导限流器的研究，推动了超导限流器在电网中的应用。

Claims (2)

1.一种基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法，其特征在于：所述建模仿真方法在建立YBCO超导带材等效结构模型、YBCO超导带材等效电路模型、YBCO超导带材热传导模型和电阻型超导限流器电路模型的基础上，根据给定电阻型超导限流器的电路参数、超导带材的结构参数和初始运行条件，在超导无感线圈电阻R_sc为零的前提下，计算线路电流的初始值和超导带材电流的初始值；根据YBCO超导带材的热传导模型计算超导带材的温度；根据YBCO超导带材等效电路模型、超导带材温度和电流，计算超导带材的电阻；根据电阻型超导限流器的电路模型，计算并反馈线路电流和超导带材电流，实现电阻型超导限流器的建模和仿真。

2.按照权利要求1所述的基于YBCO超导带材的电阻型超导限流器数字建模仿真方法，其特征在于：所述的建模仿真方法的具体步骤如下：

步骤1.建立YBCO超导带材等效结构模型；

建立YBCO超导带材等效结构模型时，为便于分析YBCO超导带材各层在失超过程中的电阻情况，忽略YBCO超导带材缓冲层的厚度，将YBCO超导带材的上表面铜层和下表面铜层合二为一进行分析；因此，所建立的YBCO超导带材等效结构模型简化分为4层：表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层；表面铜层包括上表面铜层和下表面铜层；

步骤2.建立电阻型超导限流器的电路模型，给定电阻型超导限流器的电路参数：线路等效电感L_s、线路等效电阻r和负载电阻R_load，以及交流电源电压U_s，在超导无感线圈电阻R_sc等于零的前提下，计算线路电流初始值I₀(t)和超导带材电流初始值I_s0(t)；

电阻型超导限流器包括交流电源U _s 、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈R_sc和负载电阻R_load；交流电源U_s、线路等效感抗X、线路等效电阻r、断路器Br、超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load依次串联，交流电源U_s和负载电阻R_load的一端接地；断路器Br和超导无感线圈电阻R_sc连接在第一连接点A上，超导无感线圈电阻R_sc和负载电阻R_load连接在第二连接点B上；

根据全电路欧姆定律，当超导无感线圈电阻R_sc为零时，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝I₀X+I₀r+I₀R_load(1)

式中：R_load为负载电阻，I₀为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻；

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)---\left(2\right)$

X＝j2πfL_s(3)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号；

线路电流初始值为：

$I_0\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(4\right)$

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m根超导带材并联组成，m≥1，根据分流定律：

I_s0(t)＝I₀(t)/m(5)

式中，I₀(t)为线路电流初始值，I_s0(t)为超导带材的电流初始值；

步骤3.建立YBCO超导带材的热传导模型，给定超导带材的结构参数：超导带材的宽度w、包括表面铜层厚度d₁，银层厚度d₂，YBCO层厚度d₃，哈氏合金基底层厚度d₄的厚度d，以及长度l_e，给定超导无感线圈的初始运行条件：工作温度Top，计算超导带材的温度T；

(1)YBCO超导带材直接在液氮浸泡环境中冷却，根据热平衡方程，沿超导带材的长度方向，一维热传导方程为：

$v_{\mathrm{cm}}\left(T\right)C_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\left[K_{\mathrm{cm}}\left(T\right)\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;x}\right]+g_j\left(T\right)-W_{\mathrm{cool}}\left(T\right)---\left(6\right)$

式中，K_cm(T)为热传导系数，V_cm和C_cm分别为YBCO超导带材的密度与比热容，g_j(T)和W_cool(T)分别是超导带材的焦耳热和散失热量；

YBCO超导带材的密度V_cm与比热容C_cm满足式：

$v_{\mathrm{cm}}{C}_{\mathrm{cm}}=v_1{C}_1\frac{d_1}{d}+v_2{C}_2\frac{d_2}{d}+v_3{C}_3\frac{d_3}{d}+v_4{C}_4\frac{d_4}{d}---\left(7\right)$

其中，ν₁,ν₂,ν₃,ν₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的密度，d₁为表面铜层厚度，为上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度，d为YBCO超导带材的厚度；C₁，C₂，C₃，C₄分别为表面铜层、银层、YBCO层和哈氏合金基底层的比热容；

$K_{\mathrm{cm}}=K_1\frac{d_1}{d}+K_2\frac{d_2}{d}+K_3\frac{d_3}{d}+K_4\frac{d_4}{d}---\left(8\right)$

其中，K₁，K₂，K₃，K₄分别为表面铜层，银层，YBCO层和哈氏合金基底层的热导率；

(2)根据焦耳定律，超导带材的焦耳热：

$g_j\left(T\right)={\&Integral;}_0^t{U}_S\left(t\right)I_S\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

其中，U_S(t)为超导带材的电压，I_S(t)为超导带材的电流；

(3)超导带材浸泡在液氮中，根据经验公式，散失热量完全由液氮带走，超导带材的散失热量W_cool(T)为：

W_cool(T)＝hA(T)(10)

其中，A为超导带材与液氮的接触面积，即超导带材的表面积；h为液氮传热系数，与超导带材和液氮的温度差ΔT(T-Top)有关，根据实验可知，液氮传热系数h的取值；对应于不同的温差ΔT(T-Top)，热传递过程有对流、核沸腾、过渡态和膜沸腾4种状态，不同的状态对应不同的液氮传热系数h；液氮传热系数h的与拟合结果：

$h=\left\{\begin{array}{cc}0.091011*\mathrm{\&Delta;T}+0.089888& (\mathrm{\&Delta;T}\&le;10)\\ 0.5*\mathrm{\&Delta;T}-4& (10<\mathrm{\&Delta;T}\&le;31)\\ -0.069*\mathrm{\&Delta;T}+2.259& (31<\mathrm{\&Delta;T}\&le;600)\\ 0.002833*\mathrm{\&Delta;T}& (\mathrm{\&Delta;T}>600)\end{array}\right.---\left(11\right)$

步骤4.建立YBCO超导带材等效电路模型，依据超导带材温度T和超导带材电流I_s(t)，计算YBCO超导带材的电阻r_sc；

YBCO超导带材的等效电路为4个电阻并联结构；第一电阻r₁为表面铜层电阻，第二电阻r₂为银层的电阻，第三电阻r₃为YBCO层的电阻，第四电阻r₄为哈氏合金基底层的电阻；

根据所建立的YBCO超导带材等效电路模型，并根据超导带材温度和电流，根据欧姆定律和电路原理，计算YBCO超导带材的等效电路的电阻：

(1)第一电阻r₁为表面铜层电阻，为铜材料制作；第一电阻r₁是超导带材温度T的函数；根据欧姆定律可得：

$r_1\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_1\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_1}---\left(12\right)$

其中，ρ₁(T)为铜的电阻率，是超导带材温度T的函数，w为YBCO超导带材的宽度，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，l_e为超导带材的长度；

(2)第二电阻r₂为银层电阻，为银材料制作；第二电阻r₂是超导带材温度T的函数；根据欧姆定律可得：

$r_2\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_2\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_2}---\left(13\right)$

其中，ρ₂(T)为银的电阻率，w为YBCO超导带材的宽度，d₂为银层的厚度，l_e为超导带材的长度；

(3)第三电阻r₃为YBCO层电阻；根据超导带材的电阻变化规律，第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)是超导带材温度T的函数，通过对YBCO超导带材的特性测试，并采用数值拟合的方法可得第三电阻r₃的电阻率ρ₃(T)：

ρ₃(T)＝ρ₃₁(T)+ρ₃₂(T)(14)

其中，ρ₃₁(T)和ρ₃₂(T)由分段函数拟合而成：

${\mathrm{\&rho;}}_{31}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<J_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n1}/J& (J>J_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_{32}\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& (J<\mathrm{\&gamma;}{J}_C\left(T\right))\\ E_0{(J/\mathrm{Jc}\left(T\right)-1)}^{n2}/J& (J>{\mathrm{\&gamma;J}}_C\left(T\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，Jc(T)是超导带材临界电流密度Jc随温度T的函数：

J_c(T)＝J_c0[(T_c-T)/(T_c-T_op)]^1.5(17)

其中，Jc为超导带材临界电流密度；J_c0＝2×10⁶A/cm²，为77K下的临界电流密度；Tc＝92K，为YBCO的临界温度，Top为工作温度，在液氮池中为77K；参数n₁＝3；n₂＝20；γ＝2，均为根据超导带材的特性而得到的拟合参数；根据欧姆定律，超导带材的电流Is表示为：

I_S(T)＝J(T)/(dw)(18)

式中：d为超导带材的厚度，w为YBCO超导带材的宽度；

其中，超导带材的厚度d表示为：

d＝(d₁+d₂+d₃+d₄)(19)

式中，d₁为表面铜层厚度，即上表面铜层和下表面铜层的厚度之和，d₂为银层的厚度，d₃为YBCO层的厚度，d₄为哈氏合金基底层的厚度；

YBCO层的第三电阻r₃，根据欧姆定律可得：

$r_3(T,I_s)={\mathrm{\&rho;}}_3\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_3}---\left(20\right)$

式中：d₃为YBCO层厚度，w为YBCO超导带材的宽度，I_s为超导带材电流，l_e为超导带材的长度，T为超导带材的温度；

(4)第四电阻r₄是哈氏合金基底层电阻，第四电阻r₄是超导带材温度T的函数，根据欧姆定律可得：

$r_4\left(T\right)={\mathrm{\&rho;}}_4\left(T\right)\frac{l_e}{{\mathrm{wd}}_4}---\left(21\right)$

式中，ρ₄(T)为银的电阻率w为YBCO超导带材的宽度，d₄为哈氏合金基底层的厚度；

(5)按照YBCO超导带材等效电路的电阻并联结构，根据全电路欧姆定律，超导带材的电阻r_sc为：

$r_{\mathrm{sc}}(T,I_s)=\frac{1}{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}}---\left(22\right)$

式中：r₁、r₂、r₃、r₄分别为第一电阻r₁、第二电阻r₂、第三电阻r₃、第四电阻r₄的阻值，I_s为超导带材电流，T为超导带材的温度；

在电网稳态运行时，超导带材工作在超导态，即J<J_C(T)时，超导带材的YBCO层的电阻为零，电流都通过YBCO层而导通，不会对电网造成电压降；当电网发生故障时，电网电流增大，超导带材失超而产生电阻，电流将在超导带材的各层之间分配；

步骤5.根据电阻型超导限流器的电路模型、超导带材的电阻r_sc，计算线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)；输出线路电流I(t)和超导带材电流I_s(t)，并反馈超导带材的温度T给步骤3，反馈超导带材电流I_s(t)给步骤4，实现***循环建模和仿真；

根据全电路欧姆定律，电阻型超导限流器的电流与电压关系为：

U_s＝IX+Ir+IR_sc+IR_load(23)

式中：R_load为负载电阻，R_sc为超导无感线圈电阻，I为线路电流，U_s为交流电源电压，X为线路等效感抗，r为线路等效电阻；

其中，交流电源电压U_s、线路等效感抗X分别表示为：

$U_s\left(t\right)=\sqrt{2}{U}_0\cos \left(2\mathrm{\&pi;ft}\right)---\left(24\right)$

X＝j2πfL_s(25)

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，j为虚函数符号；

超导无感线圈的电阻为R_sc(T)，超导无感线圈一般由m根超导带材并联组成，m≥1，根据分流定律：

R_sc(T)＝r_sc(T)/m(26)

I(t)＝mI_s(t)(27)

式中，r_sc(T)为超导带材的电阻、I(t)和I_s(t)分别为线路电流和超导带材的电流；

根据全电路欧姆定律，把式(24)-(27)代入式(23)，得到电阻型超导限流器的电流与电压关系：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(28\right)$

其中，相角θ为：

$\mathrm{tg}\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\frac{2\mathrm{\&pi;f}{L}_s}{r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}}}---\left(29\right)$

因此，通过超导带材的电流：

$I_s\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(30\right)$

超导带材的电流峰值为：

$I_{\mathrm{sM}}\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0/m}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m+R_{\mathrm{load}})}^2}}---\left(31\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻；

在电网稳态时，电阻型超导限流器工作在超导态，超导无感线圈的电阻为R_sc(T)＝0，根据式(30)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+R_{\mathrm{load}})}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(32\right)$

在电网发生短路故障时，负载电阻R_load减小为零，同时，电阻型超导限流器工作的正常态而产生电阻，因此，根据式(23)，线路电流为：

$I\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}{U}_0}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\&pi;f}{L}_s\right)}^2+{(r+r_{\mathrm{sc}}/m)}^2}}\cos (2\mathrm{\&pi;ft}+\mathrm{\&theta;})---\left(33\right)$

式中，U₀为交流电源电压有效值，f为交流电源频率，L_s为线路等效电感，m为超导带材的并联根数，r为线路等效电阻，R_load为负载电阻，r_sc为超导带材的电阻；线路等效电感L_s和线路等效电阻r表示了电网短路故障的程度，而超导无感线圈的电阻r_sc/m则体现了电阻型超导限流器的限流能力，当电阻r_sc/m增大时，线路电流I(t)减小。