CN105155462A - 一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，其特征在于，模型同步轴直径采用刚度相似得到，并在所述模型同步轴中间部位开槽口改变直径来满足强度相似的要求，根据等效扭转角将所述槽口改成缓坡状，采用变直径同步轴来避免槽口部位应力集中。本发明解决了现有技术中不能同时模拟机械同步轴抗扭变形和强度的技术问题，实现了既可以分析承船厢的稳定效果及同步轴的抗扭变形，在此基础上又可以同时校核同步轴强度，提高了水力式升船机物理模型试验的可靠性与准确性。

Description

一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法

技术领域

本发明涉及一种机械同步***的相似模拟方法，具体地说是涉及一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法。

背景技术

水力式升船机是我国自主研发的一种新型的升船机型式，具有机构简单、安全可靠等优越性，在我国高坝通航中具有广阔的应用前景，但在国内外无运行实例，也无经验可以借鉴。对以水为驱动力的新型升船机进行物理模型试验，可以模拟升船机极端工况及同步轴***的运行情况，更好地研究升船机抗倾斜机理，为工程设计和安全运行提供科学依据。

水力式升船机同步***和卷筒直接连接，同步轴的扭转变化和联轴器的微小间隙均直接传递到卷筒，从而影响船厢倾斜量。一方面，船厢中的倾斜的水体对船厢的倾覆力矩进一步地加剧船厢的倾斜，形成不利于升船机运行的恶性循环；另一方面，船厢的倾斜也迫使机械同步轴的扭矩加大，从而增大同步轴上的切应力，造成因强度不足引起的同步轴扭坏。因此，要保证该物理试验成果的可靠性和准确性，原型和模型之间需满足一定的相似规律，即在相同的运行环境下机械同步***的扭转变形以及强度同时达到一致的规律。

目前，现有的技术可以根据模型选用的材料不同，得到不同的同步轴模型尺寸，通过改变同步轴直径的几何相似比尺，使得同步轴抗扭变形刚度相似，具体如下：

1、几何相似关系：

λ_L＝L/L_m；λ_D＝D/D_m(1)

其中，L、D分别为原型各部件的特征长度和直径，下标m为模型值，λ_L为垂直升船机全整体物理模型几何比尺。

2、运动相似关系：

由船厢中水体满足Froud数和Strouhal数相同得到：

$F_r=v/\sqrt{gL}=v_m/\sqrt{{\mathrm{gL}}_m}$ 推出 ${\mathrm{\λ}}_v={\mathrm{\λ}}_L^{1/2}$

S_t＝vt/L＝v_mt_m/L_m推出 ${\mathrm{\λ}}_t={\mathrm{\λ}}_L^{1/2}---\left(2\right)$

由于船厢水体特征速度和机械同步***提升速度相同，所以，式中v为原型水体的特征速度、同步***提升速度。

3、结构力学相似关系：

由经典物理学可知：

${\mathrm{\λ}}_m={\mathrm{\λ}}_V={\mathrm{\λ}}_L^3;{\mathrm{\λ}}_a={\mathrm{\λ}}_v/{\mathrm{\λ}}_t=1;{\mathrm{\λ}}_T={\mathrm{\λ}}_F{\mathrm{\λ}}_R={\mathrm{\λ}}_L^4---\left(3\right)$

其中，a为提升加速度，F为***原型提升力，T为同步轴原型所受扭矩,R为卷筒半径，卷筒看成刚性。

4、由材料力学同步轴相对扭转角同步轴截面切应力最大值其中，GI为扭转刚度，反映了同步轴强度。对于截面为圆环的同步轴，截面极惯性矩为扭转截面系数 $W=\frac{\mathrm{\π}}{16}(D^3-d^4/D)$

5、为使得模型和原型的扭转角以及强度相同需满足：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{\mathrm{\θ}}{{\mathrm{\θ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T{\mathrm{\λ}}_L}{{\mathrm{\λ}}_G{\mathrm{\λ}}_I}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^5}{{\mathrm{\λ}}_G{\mathrm{\λ}}_D^4}=1---\left(4\right)$

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\τ}}=\frac{\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T}{{\mathrm{\λ}}_W}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^4}{{\mathrm{\λ}}_D^3}=1---\left(5\right)$

由上式(4)可以看出根据模型选用不同的材料来改变模型同步轴的直径就能满足刚度相似。但是现有的技术存在下列问题，为方便说明，假设同步轴模型和原型使用相同材料：

首先，把式(4)带入式(5)，那么模型的切应力由于垂直升船机全整体物理模型几何比尺大于1，所以模型的切应力较原型小数倍，虽然能够反映同步轴产生的抗扭变形及由此引起的承船厢倾斜，但不能满足刚度相似；

其次，同步轴强度作为和抗扭变形平行的检验指标，若同样的运行条件下，原型切应力达到工程许用切应力，强度不满足，而试验的模型切应力还未达到，无法准确校核同步轴强度；

最后，若使用不同的材料，根据模型选用的材料往往能够确定切变模量比尺λ_G，但是这样比例不一定能够满足：所以这种矛盾的产生实质是由于没有合适的现有材料同时使得式(4)、(5)成立，满足刚度和强度双相似。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术存在的缺陷，提出一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，解决现有技术中不能同时模拟机械同步轴抗扭变形和强度的技术问题，实现既可以分析承船厢的稳定效果及同步轴的抗扭变形，在此基础上又可以同时校核同步轴强度，提高了水力式升船机物理模型试验的可靠性与准确性。

本发明采用如下技术方案：一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，其特征在于，模型同步轴直径采用刚度相似得到，并在所述同步轴中间部位开槽口改变直径来满足强度相似的要求，根据等效扭转角将槽口改成缓坡状，采用变直径同步轴来避免槽口部位应力集中。

优选地，具体包括如下步骤：

步骤SS1确定同步轴直径，使得原型和模型刚度相似，也即满足： ${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{\mathrm{\θ}}{{\mathrm{\θ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T{\mathrm{\λ}}_L}{{\mathrm{\λ}}_G{\mathrm{\λ}}_I}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^5{I}_m}{{\mathrm{\λ}}_{G}I}=1$

从而得到同步轴两端直径为：

$D_m^{\′}=\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}---\left(6\right)$

其中，θ为同步轴扭转角，G为同步轴原型材料剪切模量，下标m代表模型；

步骤SS2确定同步轴中间控制直径，使得原型和模型强度相似，也即满足：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\τ}}=\frac{\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T}{{\mathrm{\λ}}_W}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^4{W}_m}{W}=1---\left(7\right)$

其中，τ为同步轴截面切应力最大值，T为原型同步轴扭矩，W为原型同步轴扭转截面系数，下标m代表模型；

步骤SS3根据步骤SS2得到机械同步轴满足强度相似的中间控制直径换算公式：

$D_m^3-\frac{d_m^4}{D_m}=\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_L^4}(D^3-\frac{d^4}{D})---\left(8\right)$

其中，D为同步轴原型外径，d为同步轴原型内径，λ_L为垂直升船机全整体物理模型几何比尺；式(8)是关于同步轴模型外径D_m的四次方程，且只和原型的几何尺寸有关；若同步轴模型为实心的，则可以达到D_m的显示表达式：

步骤SS4根据所述步骤SS1所选的模型的直径在中间的位置挖入凹槽，使得所述模型的同步轴整体的刚度和强度与原型相同，其中凹槽部位的深度为：

$Vh=\frac{1}{2}(D_m^{\′}-D_m)=\frac{1}{2}(\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}-D_m)---\left(9\right)$

其中，D'_m是根据刚度相似得到的外径，D_m是根据强度相似得到的外径；

步骤SS5为避免凹槽处产生的应力集中现象，将所述凹槽改成缓坡斜槽，所述缓坡斜槽的深度和长度根据等效扭转角来确定；所述缓坡斜槽的同步轴根据对称性可以分成三段：两端段、斜坡段、中间段；所述两端段为圆柱型，截面圆的外径由等效扭转角确定；所述斜坡段为过渡的圆台；所述中间段为强度相似控制段，外径由强度相似确定，根据等效扭转角具体方程建立如下：

$\mathrm{\θ}=2{\mathrm{\θ}}_1+2{\mathrm{\θ}}_2+{\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_m}{{\mathrm{GI}}_m^{\′}}---\left(10\right)$

L＝2L₁+2L₂+L₃(11)

${\mathrm{\θ}}_1=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{{\mathrm{GI}}_{m1}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m1}^4-d_m^4)}---\left(12\right)$

${\mathrm{\θ}}_2={\∫}_0^{L_{m2}}\left(\frac{T}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}\[{\left(\left(1-\frac{x}{L_{m2}}\right)D_{m1}+\frac{x}{L_{m2}}{D}_m\right)}^4-d_m^4\])}\right)dx---\left(13\right)$

${\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{{\mathrm{GI}}_{m3}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m3}^4-d_m^4)}---\left(14\right)$

为满足强度相似，D_m3＝D_m(15)

将式(12)-(15)带入式(10)，指定各段长度后可以求得D_m1；

其中：θ₁、θ₂、θ₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的扭转角，θ₁、θ₂与θ₃的和等效于模型同截面等长度的扭转角；L₁、L₂、L₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的长度；D₁、D₂、D₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的外径；d为模型内径；m代表模型。

本发明所达到的有益效果：(1)实现了既可以分析承船厢的稳定效果及同步轴的抗扭变形，在此基础上又可以同时校核同步轴强度，提高了水力式升船机物理模型试验的可靠性与准确性；(2)可以方便的制造出各种等效的同步轴模型尺寸，不受现有材料的限制；(3)可以避免因应力集中导致同步轴模型过早地发生强度不足破坏的问题；(4)本发明为水力式升船机同步轴刚度和强度双相似模拟方法提出了新思路，同理可应用于垂直升船机以及模拟承船厢变形、塔楼变形等其他涉及强度和刚度耦合相似的问题。

附图说明

图1是本发明的水力式升船机同步轴凹槽模型示意图。

图2是本发明的水力式升船机同步轴斜槽模型示意图。

附图备注：图1上标记对应步骤SS4，△h为凹槽的深度；图2上标记对应步骤SS5，下标1，2，3对应同步轴两端段、斜坡段、中间段，L表示长度，D表示直径，m表示模型。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明采用如下技术方案：一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，其特征在于，模型同步轴直径采用刚度相似得到，并在所述同步轴中间部位开槽口改变直径来满足强度相似的要求，根据等效扭转角将所述槽口改成缓坡状，采用变直径同步轴来避免槽口部位应力集中。

优选地，具体包括如下步骤：

步骤SS1确定同步轴直径，使得原型和模型刚度相似，也即满足： ${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{\mathrm{\θ}}{{\mathrm{\θ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T{\mathrm{\λ}}_L}{{\mathrm{\λ}}_G{\mathrm{\λ}}_I}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^5{I}_m}{{\mathrm{\λ}}_{G}I}=1$

从而得到同步轴两端直径为：

$D_m^{\′}=\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}---\left(6\right)$

其中，θ为同步轴扭转角，G为同步轴原型材料剪切模量，下标m代表模型；

步骤SS2确定同步轴中间控制直径，使得原型和模型强度相似，也即满足：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\τ}}=\frac{\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T}{{\mathrm{\λ}}_W}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^4{W}_m}{W}=1---\left(7\right)$

其中，τ为同步轴截面切应力最大值，T为原型同步轴扭矩，W

为原型同步轴扭转截面系数，下标m代表模型；

步骤SS3根据步骤SS2得到机械同步轴满足强度相似的中间控制直径换算公式：

$D_m^3-\frac{d_m^4}{D_m}=\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_L^4}(D^3-\frac{d^4}{D})---\left(8\right)$

其中，D为同步轴原型外径，d为同步轴原型内径，λ_L为垂直升船机全整体物理模型几何比尺；式(8)是关于同步轴模型外径D_m的四次方程，且只和原型的几何尺寸有关；若同步轴模型为实心的，则可以达到D_m的显示表达式：

步骤SS4根据所述步骤SS1所选的模型的直径在中间的位置挖入凹槽，使得所述模型的同步轴整体的刚度和强度与原型相同，其中凹槽部位的深度为：

$Vh=\frac{1}{2}(D_m^{\′}-D_m)=\frac{1}{2}(\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}-D_m)---\left(9\right)$

其中，D'_m是根据刚度相似得到的外径，D_m是根据强度相似得到的外径；图1是本发明的水力式升船机同步轴凹槽模型示意图，△h为凹槽的深度；

步骤SS5为避免凹槽处产生的应力集中现象，将所述凹槽改成缓坡斜槽，所述缓坡斜槽的深度和长度根据等效扭转角来确定；所述缓坡斜槽的同步轴根据对称性可以分成三段：两端段、斜坡段、中间段；所述两端段为圆柱型，截面圆的外径由等效扭转角确定；所述斜坡段为过渡的圆台；所述中间段为强度相似控制段，外径由强度相似确定，根据等效扭转角具体方程建立如下：

$\mathrm{\θ}=2{\mathrm{\θ}}_1+2{\mathrm{\θ}}_2+{\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_m}{{\mathrm{GI}}_m^{\′}}---\left(10\right)$

L＝2L₁+2L₂+L₃(11)

${\mathrm{\θ}}_1=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{{\mathrm{GI}}_{m1}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m1}^4-d_m^4)}---\left(12\right)$

${\mathrm{\θ}}_2={\∫}_0^{L_{m2}}\left(\frac{T}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}\[{\left(\left(1-\frac{x}{L_{m2}}\right)D_{m1}+\frac{x}{L_{m2}}{D}_m\right)}^4-d_m^4\])}\right)dx---\left(13\right)$

${\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{{\mathrm{GI}}_{m3}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m3}^4-d_m^4)}---\left(14\right)$

为满足强度相似，D_m3＝D_m(15)

将式(12)-(15)带入式(10)，指定各段长度后可以求得Dm1；图2是本发明的水力式升船机同步轴斜槽模型示意图，下标1，2，3对应同步轴两端段、斜坡段、中间段，L表示长度，D表示直径，m表示模型；其中：θ₁、θ₂、θ₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的扭转角，θ₁、θ₂与θ₃的和等效于模型同截面等长度的扭转角；L1、L2、L3分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的长度；D1、D2、D3分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的外径；d为模型内径；m代表模型。

本实施例选用景洪水力升船机机械同步***加强布置数据，原型同步轴外径D＝0.8m，内径d＝0.68m，长度为2.9m，同步***单独作用下，承船厢2.5m水深时，船厢倾斜量为21.7mm左右，同步轴扭矩为100.7kN.m。景洪升船机整体模型几何比尺λ_L＝10。

按本发明的方法，为方便制作，模型为实心且使用相同的材料时，即d_m＝0，按照步骤SS1由刚度相似条件确定同步轴直径：

$D_m^{\′}=\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}=\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}}=0.0374m$

由强度相似条件确定同步轴中间控制直径：

$D_m=\sqrt[3]{\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_L^4}(D^3-\frac{d^4}{D})}\≈0.0290m$

为使得同步轴整体的刚度和强度与原型相同所选的模型的直径在中间的位置挖入凹槽，深度为：

以上所得的等截面直径37.4mm并在中间开4.2mm槽口的同步轴理论上就能够同时满足刚度和强度相似，但是为避免凹槽处产生的应力集中现象，将凹槽改成缓坡斜槽，斜槽的深度和长度根据等效扭转角来确定。

根据比例尺，同步轴模型的总长为0.29m，若取模型中间段的长度为0.1m，斜坡段为0.05m，则两端段为0.045m，将式(12)-(15)带入式(10)，得到：

$\frac{2L_{m1}}{D_{m1}^4}+{\∫}_0^{L_{m2}}2{((1-\frac{x}{L_{m2}})D_{m1}+\frac{x}{L_{m2}}{D}_m)}^{-4}dx+\frac{L_{m3}}{D_{m3}^4}=\frac{L_m}{{D_m^{\′}}^4}$

从而求得两端段的直径为0.09928m。

同理，可以得到表1中其他长度取值情况下同步轴两端的直径。

表1同步轴在不同中间段长度下模型的两端段直径

表1中数据显示，在模型同步轴斜坡段的长度一定的情况下，随着中间段长度的增加，两端段所需要的直径也增大，但是中间段过长模型比例会失调，不利于实际使用。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，其特征在于，模型同步轴直径采用刚度相似得到，并在所述模型同步轴中间部位开槽口改变直径来满足强度相似的要求，根据等效扭转角将所述槽口改成缓坡状，采用变直径同步轴来避免槽口部位应力集中。

2.根据权利要求1所述的一种水力式升船机机械同步***刚强度双相似模拟方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

步骤SS1确定同步轴直径，使得原型和模型刚度相似，也即满足： ${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{\mathrm{\θ}}{{\mathrm{\θ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T{\mathrm{\λ}}_L}{{\mathrm{\λ}}_G{\mathrm{\λ}}_I}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^5{I}_m}{{\mathrm{\λ}}_{G}I}=1$

从而得到同步轴两端直径为：

$D_m^{\′}=\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}+d_m^4}---\left(6\right)$

其中，θ为同步轴扭转角，G为同步轴原型材料剪切模量，下标m代表模型；

步骤SS2确定同步轴中间控制直径，使得原型和模型强度相似，也即满足：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\τ}}=\frac{\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_m}=\frac{{\mathrm{\λ}}_T}{{\mathrm{\λ}}_W}=\frac{{\mathrm{\λ}}_L^4{W}_m}{W}=1---\left(7\right)$

其中，τ为同步轴截面切应力最大值，T为原型同步轴扭矩，W为原型同步轴扭转截面系数，下标m代表模型；

步骤SS3根据步骤SS2得到机械同步轴满足强度相似的中间控制直径换算公式：

$D_m^3-\frac{d_m^4}{D_m}=\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_L^4}(D^3-\frac{d^4}{D})---\left(8\right)$

其中，D为同步轴原型外径，d为同步轴原型内径，λ_L为垂直升船机全整体物理模型几何比尺；式(8)是关于同步轴模型外径D_m的四次方程，且只和原型的几何尺寸有关；若同步轴模型为实心的，则可以达到D_m的显示表达式： $D_m=\sqrt[3]{\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_L^4}\left(D^3-\frac{d^4}{D}\right)}$

步骤SS4根据所述步骤SS1所选的模型的直径在中间的位置挖入凹槽，使得所述模型的同步轴整体的刚度和强度与原型相同，其中凹槽部位的深度为：

$Vh=\frac{1}{2}(D_m^{\′}-D_m)=\frac{1}{2}\left(\sqrt[4]{\frac{D^4-d^4}{{\mathrm{\λ}}_L^5}\frac{G}{G_m}{d}_m^4}-D_m\right)---\left(9\right)$

其中，D'_m是根据刚度相似得到的外径，D_m是根据强度相似得到的外径；

步骤SS5为避免凹槽处产生的应力集中现象，将所述凹槽改成缓坡斜槽，所述缓坡斜槽的深度和长度根据等效扭转角来确定；所述缓坡斜槽的同步轴根据对称性可以分成三段：两端段、斜坡段、中间段；所述两端段为圆柱型，截面圆的外径由等效扭转角确定；所述斜坡段为过渡的圆台；所述中间段为强度相似控制段，外径由强度相似确定，根据等效扭转角具体方程建立如下：

$\mathrm{\θ}=2{\mathrm{\θ}}_1+2{\mathrm{\θ}}_2+{\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_m}{{\mathrm{GI}}_m^{\′}}---\left(10\right)$

L＝2L₁+2L₂+L₃(11)

${\mathrm{\θ}}_1=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{{\mathrm{GI}}_{m1}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m1}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m1}^4-d_m^4)}---\left(12\right)$

${\mathrm{\θ}}_2={\∫}_0^{L_{m2}}\left(\frac{T}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}\[{\left(\left(1-\frac{x}{L_{m2}}\right)D_{m1}+\frac{x}{L_{m2}}{D}_m\right)}^4-d_m^4\])}\right)dx---\left(13\right)$

${\mathrm{\θ}}_3=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{{\mathrm{GI}}_{m3}}=\frac{{\mathrm{TL}}_{m3}}{G\frac{\mathrm{\π}}{32}(D_{m3}^4-d_m^4)}---\left(14\right)$

为满足强度相似，D_m3＝D_m(15)

将式(12)-(15)带入式(10)，指定各段长度后可以求得D_m1；

其中：θ₁、θ₂、θ₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的扭转角，θ₁、θ₂与θ₃的和等效于模型同截面等长度的扭转角；L₁、L₂、L₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的长度；D₁、D₂、D₃分别对应同步轴模型两端段、斜坡段、中间段的外径；d为模型内径；m代表模型。