CN105045093A - 基于最大灵敏度指标的稳定分数阶pid参数优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，包括步骤：S1、获取分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的参数稳定域，分数阶PID控制器的参数包括：k_p、k_i、k_d、λ以及μ；S2、获取满足一预设的最大灵敏度指标的分数阶PID控制器的参数解集；S3、由参数稳定域以及参数解集的交集获得满足最大灵敏度的参数稳定解；S4、根据优化目标确定权系数大小；S5、在参数稳定解中选择一组最优的解；S6：分数阶PID控制器在最优解下对预定变量进行平稳控制；其中，优化目标的函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s，最优的解包括：使优化目标的函数值最小，且最优解属于参数解集，σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。

Description

基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法

本申请要求申请日为2014年8月12日、申请号为201410395817.3、名称为基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法的优先权。

技术领域

本发明涉及计算、推算技术领域，特别涉及一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数最优整定方法。

背景技术

分数阶微积分作为一种数学分析工具，和整数阶微积分相比有许多优点。分数阶微积分是指微分，积分的阶次不再局限于整数，可以是任意的或者是分数。由于微分，积分阶次范围的扩大，分数阶微积分的描述能力比整数阶微积分更大。当描述对象本身是分数阶***时，分数阶微积分通常比整数阶微积分具有更加普遍的意义。

分数阶控制理论随着分数阶微积分与控制理论的结合而形成。随后分数阶控制理论应用于PID控制器参数整定，这给PID控制注入了新的活力。分数阶PID控制器是一种新型控制器，除了k_p,k_i,k_d三个参数，它多了两个可调参数λ和μ，使得控制器设计及参数整定的难度加大，但同时却也使控制器参数调节更为灵活，控制效果更好。

然而大部分研究集中在对分数阶PID控制器参数整定，对于参数优化也是及其重要的，特别当对于控制器跟踪性能有要求时，优化就更为重要。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提供了一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，本发明通过以下技术方案实现：

一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，包括步骤：

S11、获取分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的参数稳定域，分数阶PID控制器的参数包括：k_p、k_i、k_d、λ以及μ；

S12、获取满足一预设的最大灵敏度指标的分数阶PID控制器的参数解集；

S13、由所述参数稳定域以及所述参数解集的交集获得满足最大灵敏度的参数稳定解；

S14、根据优化目标确定权系数大小；

S15、在所述参数稳定解中选择一组最优的解；

S16：所述分数阶PID控制器在所述最优的PID参数解的条件下对预定变量进行平稳控制；

其中，优化目标的函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s，其中，k_p代表所述分数阶PID控制器的比例系数，k_i代表所述分数阶PID控制器的积分系数，k_d代表所述分数阶PID控制器的微分系数；

最优的解包括：使优化目标的函数值最小，且最优解属于参数解集，其中，σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。

较佳地，采用D分割原理获取分数阶PID控制器的参数的稳定域，稳定域为由实根边界、无穷根边界以及复根边界为边界的区域。

较佳地，获取分数阶PID控制器的参数稳定域包括：

分数阶PID控制器的传递函数为：其中，0<λ_,μ<2；

被控对象的传递函数为： $G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-Ls}=\frac{b_n{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_n}+b_{n-1}{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_{n-1}}+\mathrm{...}+b_1{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_1}+b_0{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_0}}{a_n{s}^{a_n}+a_{n-1}{s}^{a_{n-1}}+\mathrm{...}+a_1{s}^{a_1}+a_0{s}^{a_0}}{e}^{-Ls},{\mathrm{\&beta;}}_n>\mathrm{...}>{\mathrm{\&beta;}}_1>{\mathrm{\&beta;}}_0\&GreaterEqual;0,$ ${\mathrm{\&alpha;}}_n>...>{\mathrm{\&alpha;}}_1>{\mathrm{\&alpha;}}_0\&GreaterEqual;0,$

所述分数阶PID控制器与所述被控对象组成的的闭环***的传递函数： $\mathrm{\&Phi;}\left(s\right)=\frac{C\left(s\right)G\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)};$

将分数阶PID控制器的传递函数和被控对象的传递函数代入闭环***的传递函数，得到特征多项式：Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s)e^-Ls，对于一组参数：k_p，k_i，k_d，λ，μ，能使特征多项式的值为0时，分数阶PID控制器的输入输出稳定。

较佳地，获得满足最大灵敏度的参数稳定解，包括：

将s＝jω，和e^jx＝cosx+jsinx代入特征多项式， $\mathrm{\&Delta;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&mu;}})N\left(s\right)e^{-Ls}+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{e}^{j\mathrm{\&theta;}}N\left(s\right)e^{-Ls},$ 得到一组K_P,K_i关于ω的方程，在[ω_min,ω_max]内以预设步长取ω的值，得到K_P,K_i的参数稳定解的解集。

较佳地，最大灵敏度指标为：M_T≤γ_T，γ_T≥1，其中， $M_T=\left|\right|K\left(s\right)|{|}_{\mathrm{\&infin;}}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{sup}|K\left(s\right)|,K\left(s\right)=G_{er}\left(s\right)=\frac{E\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{1}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)},$ γ_T为预设的最大灵敏度指标。

本发明还提供另外一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，

分数阶PID控制器对直流电机的速度进行平稳控制，包括以下步骤：

S21、根据所述分数阶PID控制器的传递函数与所述直流电机的速度的传递函数建立一直流电机的闭环***并获取所述分数阶PID控制器的参数稳定域；

S22、获取满足一预设的最大灵敏度指标的所述分数阶PID控制器的参数解集；

S23、由所述参数稳定域以及所述参数解集的交集获得满足最大灵敏度的参数稳定解；

S24、根据优化目标确定权系数大小；

S25、在所述参数稳定解中选择一组最优的PID参数解；

S26：所述分数阶PID控制器在所述最优的PID参数解的条件下对所述直流电机的速度进行平稳控制；

其中，k_p代表所述分数阶PID控制器的比例系数，k_i代表所述分数阶PID控制器的积分系数，k_d代表所述分数阶PID控制器的微分系数，0<λ_,μ<2

所述优化目标的函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s；

所述最优的解包括：使所述优化目标的函数值最小，且所述最优解属于所述参数解集，其中，σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。

较佳地，采用D分割原理获取分数阶PID控制器的参数的稳定域，稳定域为由实根边界、无穷根边界以及复根边界为边界的区域。

较佳地，

获取所述分数阶PID控制器的参数稳定域包括：

将所述分数阶PID控制器的传递函数和所述直流电机的速度的传递函数代入所述闭环***的传递函数，得到特征多项式：Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s)e^-Ls，对于一组参数：k_p，k_i，k_d，λ，μ，能使特征多项式的值为0时，所述分数阶PID控制器的输入输出稳定，所述分数阶PID控制器的输入为所述直流电机的预设速度值，所述分数阶PID控制器的输出为所述直流电机的预设电流值。

较佳地，获得满足最大灵敏度的参数稳定解，包括：

将s＝jω，和e^jx＝cosx+jsinx代入特征多项式， $\mathrm{\&Delta;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&mu;}})N\left(s\right)e^{-Ls}+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{e}^{j\mathrm{\&theta;}}N\left(s\right)e^{-Ls},$ 得到一组K_P,K_i关于ω的方程，在[ω_min,ω_max]内以预设步长取ω的值，得到K_P,K_i的参数稳定解的解集。

较佳地，最大灵敏度指标为：M_T≤γ_T，γ_T≥1，其中， $M_T=\left|\right|K\left(s\right)|{|}_{\mathrm{\&infin;}}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{sup}|K\left(s\right)|,K\left(s\right)=G_{er}\left(s\right)=\frac{E\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{1}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)},$ γ_T为预设的最大灵敏度指标。

本发明可以得到满足灵敏度约束的分数阶PID控制器，并且控制器能兼顾多个输入跟踪性能，该方法是一种有效的分数阶PID控制器参数整定方法。

附图说明

图1所示的是分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的结构图；

图2所示的是最大灵敏度指标几何表示示意图；

图3所示的是分数阶PID控制器的稳定域示意图；

图4所示的是稳定域内随机得到三个参数的单位阶跃响应示意图；

图5所示的是满足最大灵敏度指标的分数阶PID控制器参数解集示意图；

图6所示的是ξ₁＝0.4,ξ₂＝0.6时的阶跃响应示意图；

图7所示的是ξ₁＝1,ξ₂＝0时的阶跃响应示意图；

图8所示的是ξ₁＝0,ξ₂＝1时的阶跃响应示意图。

具体实施方式

以下将结合本发明的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述和讨论，显然，这里所描述的仅仅是本发明的一部分实例，并不是全部的实例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

为了便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以具体实施例为例作进一步的解释说明，且各个实施例不构成对本发明实施例的限定。

本发明针对的分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的结构如图1所示，其中：r(t)代表分数阶PID控制器的输入，u(t)代表分数阶PID控制器的输出，C(s)代表分数阶PID控制器的传递函数，v(t)代表被控对象，G(s)代表被控对象的传递函数，y(t)代表闭环***的输出；

$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s^{\mathrm{\&lambda;}}}+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}}---\left(1\right)$

式中0<λ_,μ<2，k_p代表所述分数阶PID控制器的比例系数，k_i代表所述分数阶PID控制器的积分系数，k_d代表所述分数阶PID控制器的微分系数；

$G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-Ls}=\frac{b_n{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_n}+b_{n-1}{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_{n-1}}+\mathrm{...}+b_1{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_1}+b_0{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_0}}{a_n{s}^{a_n}+a_{n-1}{s}^{a_{n-1}}+\mathrm{...}+a_1{s}^{a_1}+a_0{s}^{a_0}}{e}^{-Ls}---\left(2\right)$

其中，β_n>…>β₁>β₀≥0，α_n>…>α₁>α₀≥0，

分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的传递函数为 $\mathrm{\&Phi;}\left(s\right)=\frac{C\left(s\right)G\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)}---\left(3\right)$

将式(1)和式(2)代入(3)，闭环***的特征多项式写作：

Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s)e^-Ls(4)

对于一组参数(k_p,k_i,k_d,λ,μ)，若它使特征方程式Ψ(s)＝0的根都有复实部，则该子***是输入输出稳定的。

由D分割原理(出处：SerdarEH.AnAlgorithmforStabilizationofFractional-OrderTimeDelaySystemsUsingFractionalOrderPIDControllers[J].IEEETransonAutomaticControl,2007,52(4):1964-1969.),可将(k_p,k_i,k_d,λ_,μ)所构成的参数空间Φ分割成RRB，CRB，IRB为边界的区域D，区域D包含所有使子***稳定的点，D分割的边界定义如下：

$\&part;D\&equiv;\&part;D_0\&cup;\&part;D_{\mathrm{\&infin;}}\&cup;\&part;D_{jw}---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\&part;D_0\&equiv;\left\{\left(k_p,k_i,k_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;}\right)\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(j\mathrm{\&omega;}\right)=0,\mathrm{\&omega;}=0\right\}\\ \&part;D_{\mathrm{\&infin;}}\&equiv;\left\{\left(k_p,k_i,k_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;}\right)\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(j\mathrm{\&omega;}\right)=0,\mathrm{\&omega;}=\mathrm{\&infin;}\right\}\\ \&part;D_{j\mathrm{\&omega;}}\&equiv;\left\{\left(k_p,k_i,k_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;}\right)\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(j\mathrm{\&omega;}\right)=0,\&ForAll;\mathrm{\&omega;}\&Element;\left(0,\mathrm{\&infin;}\right)\right\}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，表示实根边界，表示无穷根边界，表示复根边界。

将s＝jω代入特征多项式(4),可得到特征方程如下：

Ψ(jω)＝(jω)^λD(jω)+(k_d(jω)^λ+μ+k_p(jω)^λ+k_i)N(jω)e^-Ljω(7)

根据D分割原理，对给定被控***，分数阶PI^λD^μ控制器的参数空间(k_p,k_i,k_d,λ_,μ)被可能的平面(a)，可能的平面(b)和曲面(c)分割成若干区域。

(a)实根边界(RRB)

根据式(6)的第一个式子，可以得到实根边界为：k_i＝0。

(b)无穷根边界(IRB)

$k_d=\left\{\begin{array}{c}0,{\mathrm{\&alpha;}}_n<{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \&PlusMinus;a_n/b_n,{\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ none,{\mathrm{\&alpha;}}_n>{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(8\right)$

(c)复根边界(CRB)根据和欧拉公式e^jx＝cosx+jsinx，代入特征方程(7)可得

$k_p=\frac{\&lsqb;f\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+f_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\&lsqb;f_4\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+f_5\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)}{f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)-f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_2\left(2\right)}---\left(9\right)$

$k_i=\frac{\&lsqb;f_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+f_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;h_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\&lsqb;f_4\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+f_5\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)}{f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)-f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(10\right)$

其中：

$f_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-{\mathrm{a\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}cos\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)---\left(12\right)$

$f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)=cos\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}sin\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;+sin\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}cos\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;---\left(13\right)$

$f_4\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\{cos\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}sin\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)\&rsqb;+sin\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}cos\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)\&rsqb;\}---\left(14\right)$

$f_5\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\hat{a}{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}sin\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)$

$F_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)=cos\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}cos\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;+sin\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}sin\&lsqb;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\&rsqb;---\left(15\right)$

$h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)=cos\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}cos\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)+sin\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}sin\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)---\left(16\right)$

$h_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)=cos\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}sin\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)+sin\left(\hat{L}\mathrm{\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\hat{b}}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}cos\left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)---\left(17\right)$

通过上式(9)和(10)，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞变化时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界(CRB)。

最大灵敏度指标如图2表示：

引理1设F(s)＝N_F(s)/D_F(s)为一稳定正则实(或复)有理数，且D_F(s)的阶数为α次幂系数。定义：

则对于一给定的γ>0，当且仅当同时满足下面两个条件时，||F(s)||_∞<γ：

1)|c_α|<γ|d_α|；2)Hurwize稳定，

其中：c_α和d_α分别为N_F和D_F的s的α次幂系数。

由灵敏度约束指标和引理1，可得引理1中对应的N_F和D_F分别为：

N_F(s)＝N(s)e^-Ls(19)

D_F(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^λ+μ)N(s)e^-Ls(20)

由条件2)可得式 $\mathrm{\&Delta;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&mu;}})N\left(s\right)e^{-Ls}+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{e}^{j\mathrm{\&theta;}}N\left(s\right)e^{-Ls}---\left(21\right)$

求取满足最大灵敏度指标的参数解集：

$\&part;D_{j\mathrm{\&omega;}}^{,}:\left\{\begin{array}{c}{k}_p=\frac{\&lsqb;f_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+{f_2}^{*}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\&lsqb;f_4\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+{f_5}^{*}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)}{f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)-f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_2\left(2\right)}\\ k_i=\frac{\&lsqb;f_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+{f_2}^{*}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;h_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\&lsqb;f_4\left(\mathrm{\&omega;}\right)k_d+{f_5}^{*}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;h_1}{f_6\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)-f_3\left(\mathrm{\&omega;}\right)h_1\left(\mathrm{\&omega;}\right)}\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中：f₁(ω),f₂(ω),f₃(ω),f₄(ω),f₅(ω),f₆(ω)，h₁(ω),h₂(ω)同前

${f_2}^{*}\left(\mathrm{\&omega;},\mathrm{\&theta;}\right)=\left(1+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}\cos \mathrm{\&theta;}\right)f_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}{f}_5\left(\mathrm{\&omega;}\right)\sin \mathrm{\&theta;}---\left(25\right)$

${f_5}^{*}(\mathrm{\&omega;},\mathrm{\&theta;})=(1+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}cos\mathrm{\&theta;})f_5\left(\mathrm{\&omega;}\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}{f}_2\left(\mathrm{\&omega;}\right)sin\mathrm{\&theta;}---\left(26\right)$

通过上式(24)，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞变化时，可以得到最大灵敏度指标下的分数阶PID控制器参数解集Q_θ。

定义优化函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s(27)

参数优化问题为：

min(f(k_p,k_i,k_d))

(28)

s.t.(k_p,k_i,k_d)∈Φ

其中：σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。通过改变两个权系数的比重，可以达到不同的优化目的。

参数优化步骤：

(1)求取分数阶PID控制器参数稳定域；

(2)在稳定域内求得满足灵敏度约束指标下的参数解集Φ；

(3)根据实际优化要求确定权值ξ₁和ξ₂的大小；

(4)在参数解集Φ中通过求解参数优化问题(28)得到一组最优的解。

下面利用本发明对直流电机速度进行平稳控制，以直流电机的速度为被控对象，直流电机电流与速度的关系的传递函数可以表示成：

$G\left(s\right)=\frac{0.01}{0.005s^2+0.06s+0.1002}---\left(29\right)$

设计分数阶PID控制器，且满足灵敏度指标：M_T≤γ_T,γ_T＝1.6。此时，对于图一所示的控制***回路，r(t)为直流电机速度设定值，u(t)为分数阶PID控制器输出值，也就是直流电机电流给定值，y(t)为直流电机实际速度值。

根据分数阶PID参数整定步骤可以求得分数阶PID控制器参数为λ＝1.2,μ＝0.62,k_d＝1时得到最大稳定域。如图3所示：

在稳定域内随机取三个点，点A:k_p＝9.324,k_i＝2.425,点B:k_p＝12.532,k_i＝5.562，点C:k_p＝18.674,k_i＝8.453,分别得到直流电机速度设定为160r/min时的随时间T的运行图，如图4所示，从图中可以看出，控制***都是稳定的。

再根据灵敏度指标约束下的控制器参数解集求取策略，得到λ＝1.5,μ＝0.7,k_d＝1时满足灵敏度约束时控制器参数解集如图5所示。

参数优化：

(1)在满足灵敏度指标的分数阶PID控制器参数解集中根据本文的优化方法对参数进行优化,选取ξ₁＝0.4，ξ₂＝0.6。得到直流电机分数阶PID控制器比例系数，积分系数最优参数解为k_p＝4.874,k_i＝0.851。再在满足灵敏度约束的参数解集中随机取一个点k_p＝12.532,k_i＝5.562。直流电机速度V设定为160r/min时***随时间T的运行状况如图6所示。从图中可以看出，最优参数解下的闭环***阶跃响应跟踪性能明显优于优化前。

(2)当ξ₁＝1，ξ₂＝0时，此时得到优化后直流电机分数阶PID控制器比例系数，积分系数为k_p＝4.325,k_i＝0.438。阶跃响应如图7所示。

(3)当ξ₁＝0,ξ₂＝1时得到优化后直流电机分数阶PID控制器比例系数，积分系数为k_p＝12.662,k_i＝0.454，此时直流电机速度设定为160r/min时***随时间T的运行状况如图8所示。

本发明对分数阶PID控制器的参数整定进行了研究，给出了一种基于最大灵敏度指标的分数阶PID控制器参数最优整定方法。该方法先根据D分割法求取分数阶PID控制器参数稳定域，再得到满足灵敏度约束指标下的参数解集，最后由超调量和调节时间作为优化指标函数对参数进行优化得到最优参数解。最后结果表明该方法可以得到满足灵敏度约束的分数阶PID控制器，并且控制器能兼顾多个输入跟踪性能，该方法是一种有效的分数阶PID控制器参数整定方法。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (10)

1.一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

S11、获取分数阶PID控制器与被控对象组成的闭环***的参数稳定域，所述分数阶PID控制器的参数包括：k_p、k_i、k_d、λ以及μ；

S12、获取满足一预设的最大灵敏度指标的所述分数阶PID控制器的参数解集；

S13、由所述参数稳定域以及所述参数解集的交集获得满足最大灵敏度的参数稳定解；

S14、根据优化目标确定权系数大小；

S15、在所述参数稳定解中选择一组最优的PID参数解；

S16：所述分数阶PID控制器在所述最优的PID参数解的条件下对预定变量进行平稳控制；

其中，所述优化目标的函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s，其中，k_p代表所述分数阶PID控制器的比例系数，k_i代表所述分数阶PID控制器的积分系数，k_d代表所述分数阶PID控制器的微分系数；

所述最优的解包括：使所述优化目标的函数值最小，且所述最优解属于所述参数解集，其中，σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。

2.根据权利要求1所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，采用D分割原理获取分数阶PID控制器的参数的稳定域，所述稳定域为由实根边界、无穷根边界以及复根边界为边界的区域。

3.根据权利要求1所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，获取分数阶PID控制器的参数稳定域包括：

所述分数阶PID控制器的传递函数为：其中，0<λ_,μ<2；

被控对象的传递函数为： $G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-Ls}=\frac{b_n{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_n}+b_{n-1}{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_{n-1}}+...+b_1{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_1}+b_0{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_0}}{a_n{s}^{a_n}+a_{n-1}{s}^{a_{n-1}}+...+a_1{s}^{a_1}+a_0{s}^{a_0}}{e}^{-Ls},$ β_n>…>β₁>β₀≥0，α_n>…>α₁>α₀≥0，

所述分数阶PID控制器与所述被控对象组成的闭环***的传递函数为： $\mathrm{\&Phi;}\left(s\right)=\frac{C\left(s\right)G\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)};$

将所述分数阶PID控制器的传递函数和所述被控对象的传递函数代入所述闭环***的传递函数，得到特征多项式：Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s)e^-Ls，对于一组参数：k_p，k_i，k_d，λ，μ，能使特征多项式的值为0时，所述分数阶PID控制器的输入输出稳定。

4.根据权利要求3所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，所述获得满足最大灵敏度的参数稳定解，包括：

将s＝jω，和e^jx＝cosx+jsinx代入所述特征多项式， $\mathrm{\&Delta;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&mu;}})N\left(s\right)e^{-Ls}+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{e}^{j\mathrm{\&theta;}}N\left(s\right)e^{-Ls},$ 得到一组K_P,K_i关于ω的方程，在[ω_min,ω_max]内以预设步长取ω的值，得到K_P,K_i的参数稳定解的解集。

5.根据权利要求1所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，所述最大灵敏度指标为：M_T≤γ_T，γ_T≥1，其中， $M_T=\left|\right|K\left(s\right)|{|}_{\mathrm{\&infin;}}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{sup}|K\left(s\right)|,K\left(s\right)=G_{er}\left(s\right)=\frac{E\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{1}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)},$ γ_T为所述预设的最大灵敏度指标。

6.一种基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，分数阶PID控制器对直流电机的速度进行平稳控制，包括以下步骤：

S21、根据所述分数阶PID控制器的传递函数与所述直流电机的速度的传递函数建立一直流电机的闭环***并获取所述分数阶PID控制器的参数稳定域；

S22、获取满足一预设的最大灵敏度指标的所述分数阶PID控制器的参数解集；

S23、由所述参数稳定域以及所述参数解集的交集获得满足最大灵敏度的参数稳定解；

S24、根据优化目标确定权系数大小；

S25、在所述参数稳定解中选择一组最优的PID参数解；

S26：所述分数阶PID控制器在所述最优的PID参数解的条件下对所述直流电机的速度进行平稳控制；

其中，k_p代表所述分数阶PID控制器的比例系数，k_i代表所述分数阶PID控制器的积分系数，k_d代表所述分数阶PID控制器的微分系数，0<λ_,μ<2

所述优化目标的函数为：f(k_p,k_i,k_d)＝ξ₁σ+ξ₂t_s；

所述最优的解包括：使所述优化目标的函数值最小，且所述最优解属于所述参数解集，其中，σ为超调量，t_s为调节时间，ξ₁,ξ₂为权系数，并满足ξ₁+ξ₂＝1。

7.根据权利要求6所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，采用D分割原理获取分数阶PID控制器的参数的稳定域，所述稳定域为由实根边界、无穷根边界以及复根边界为边界的区域。

8.根据权利要求6所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，获取所述分数阶PID控制器的参数稳定域包括：

将所述分数阶PID控制器的传递函数和所述直流电机的速度的传递函数代入所述闭环***的传递函数，得到特征多项式：Ψ(s)＝s^λD(s)+(k_ps^λ+k_i+k_ds^μ+λ)N(s)e^-Ls，对于一组参数：k_p，k_i，k_d，λ，μ，能使特征多项式的值为0时，所述分数阶PID控制器的输入输出稳定，所述分数阶PID控制器的输入为所述直流电机的预设速度值，所述分数阶PID控制器的输出为所述直流电机的预设电流值。

9.根据权利要求8所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，所述获得满足最大灵敏度的参数稳定解，包括：

将s＝jω，和e^jx＝cosx+jsinx代入所述特征多项式， $\mathrm{\&Delta;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&lambda;}+\mathrm{\&mu;}})N\left(s\right)e^{-Ls}+\frac{1}{\mathrm{\&gamma;}}{e}^{j\mathrm{\&theta;}}N\left(s\right)e^{-Ls},$ 得到一组K_P,K_i关于ω的方程，在[ω_min,ω_max]内以预设步长取ω的值，得到K_P,K_i的参数稳定解的解集。

10.根据权利要求1所述的基于最大灵敏度指标的稳定分数阶PID参数优化方法，其特征在于，所述最大灵敏度指标为：M_T≤γ_T，γ_T≥1，其中， $M_T=\left|\right|K\left(s\right)|{|}_{\mathrm{\&infin;}}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{sup}|K\left(s\right)|,K\left(s\right)=G_{er}\left(s\right)=\frac{E\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{1}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)},$ γ_T为所述预设的最大灵敏度指标。