CN105005195B - 一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法 - Google Patents
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Abstract
一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法，其过程是：①建立状态方程：基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型给出假设条件，将上肢康复机器人***方程转化为特定表达形式并补偿；②状态方程变换，设计H∞鲁棒重复控制器使得***渐近稳定；③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，以式（34）为基础，满足定理1成立的条件即为控制要求。本发明针对上肢康复机器人模型特点，依据上肢康复机器人训练模式，提出具有多周期输入信号的上肢康复机器人状态反馈鲁棒重复控制；通过引入状态反馈把多周期重复控制器设计问题转化为状态反馈设计以提高不确定***的跟踪性能和鲁棒稳定性。仿真结果表明，本发明能实现高精度快速跟踪且***稳定性较高。
Description
技术领域
本发明涉及上肢康复机器人康复训练运动控制部分的整体方案设计和应用技术领域，特别提供了一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法。
背景技术
机器人基本控制结构通常分为机构本体和控制***两大部分；控制***的作用是根据用户的指令对机构本体进行操作和控制，完成作业的各种动作。控制器***性能在很大程度上决定了机器人的性能。机器人基本控制结构示意图如图3所示。
图3中，X表示期望的笛卡儿坐标系下机器人末端的运行轨迹；轨迹生成环节对X求取机器人各关节的运动学逆解，作为期望的各关节的转角qd，其速度和加速度分别用和来表示，u为控制器输出，τ为执行器输出即机器人的力矩矢量，机器人的数学模型为其中图3所示机器人基本控制***可通过示教、数值数据、外传感器生成实际的期望轨迹，并转换成笛卡儿坐标系下机器人末端的坐标轨迹；目标轨迹生成环节将此坐标轨迹转换成机器人各臂的转角轨迹，作为机器人各关节的期望输出，控制器经一定的控制算法处理输出控制量，执行器根据控制量的大小输出力矩驱动机器人各关节，最终使***稳定并保证跟踪误差，即期望值与实际值之差收敛到零或零附近的一个区域，同时满足一定的动态性能指标。
从图3中可以看出，机器人基本控制***是与运动学和动力学模型密切相关的，机器人的控制问题主要是机器人的动力学控制问题，主要是针对如何实现机械手的大范围，高速度与高精度的轨迹跟踪而提出来的。随着现代工业的高速发展，对机器人工作效率和作业质量要求越来越高，机器人完成的任务也越来越复杂，特别在高精度，快速运动的场合，机器人的动力学特性变得越来越显著，再加上外部扰动和未建模动力学的影响，传统PID控制不能满足控制要求，这时必须综合考虑机器人完整的动力学模型，重新设计机器人的控制策略(文献1：王洪斌.不确定性机器人轨迹跟踪鲁棒控制方法研究[D].燕山大学,2005)。
近年来，专家学者针对不确定机器人控制问题的研究，主要集中在滑模控制(文献:2：蔡国平,黄金枝,孙峰,等.建筑结构振动控制的改进滑模砰砰方法[J].工程力学,2001,18(1)：89-94.文献3：王丰尧.滑模变结构控制[M].北京：机械工业出版社,1995.文献4：K.Yong.Controller Design for a Manipulator using Theory of VariableStructure Systems.IEEE Trans.on System,Man and Cybernetics,1978,8(2)：210-228)、自适应控制(文献5：胡寿松，周川，胡淮礼.基于神经网络的模型跟随鲁棒自适应控制[J].自动化学报,2000,(5)：623-629.文献6：胡寿松，周川，胡淮礼.基于神经网络的模型跟随鲁棒自适应控制[J].自动化学报,2000,(5)：623-629.文献7：代领.不确定性机器人的鲁棒自适应控制方法研究[D].西安：西安交通大学,1998.)及鲁棒控制(文献8：梅生伟,申铁龙.现代鲁棒控制理论与应用[M].北京：清华大学出版社,2002.文献9：冯伯纯,张侃键.非线性***的鲁棒控制[M].北京：科学出版社,2002.文献10：俞立.鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社,2002)等三个方面。其中，滑模控制能够在动态过程中，根据***当前的状态(如偏差及其各阶导数等)有目的地不断变化，迫使***按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动，但是由于滑模控制器频繁的切换，***会发生“抖振”现象；而自适应控制方法能在一定程度上适应被控***的参数大范围的变化，克服或降低这些变化所带来的对***稳定性和性能指标的影响，但是自适应控制方案利用计算机估算未知参数，运算量非常大，在边界干扰和未建模动态存在时容易出现参数漂移现象；鲁棒控制则是基于中不确定性的描述参数和标称***的数学模型来设计控制器的，其设计仅依赖于***不确定性的界函数，运算速度快、实时性好，因此在机器人控制中得到迅速发展。另外，还有其它一些智能控制方法在不确定机器人控制中得到广泛应用，例如，文献11(K.Watanabe,K.Izumi,T.Otsubo.A Nonlinear Robust Control using a Fuzzy Reasoning and ItsApplication to a Robot Manipulator.Journal of Intelligent and RoboticSystems,1997,20：275-294.)提出一种运用模糊推理的鲁棒自适应控制方法；文献12(E.Kim.Output Feedback Tracking Control of Robot Manipulators with ModelUncertainty via Adaptive Fuzzy Logic.IEEE Trans.on Fuzzy Systems,2004,12(3)：368-378.)针对具有模型不确定性的机器人提出了一种输出反馈跟踪控制策略；文献13(K.Ahmet,M.K.Sundareshan.A Recurrent Neural Network Based Adaptive VariableStructure Model-following Control Robotic Manipulator.Automatic a,1995,31(10)：1495-1507)提出一种神经网络(NN)与变结构控制相结合的控制策略等。
虽然上述不确定机器人的控制方法在理论和应用上取得了一定成果，但是仍存在计算量大、实时性难以保证、参数漂移或者容易发生“抖振”现象等问题。本文所研究的上肢康复机器人是一种辅助或替代治疗医师执行患肢康复训练的特种机器人，在对上肢康复机器进行控制时，需要考虑患者穿戴的特殊性及康复训练的重复性，现有的不确定机器人控制方法不能完全满足上肢康复机器的控制要求，因此，需要针对上肢康复机器人特点，研究其适合的控制方式。
在康复训练过程中，上肢康复机器人动态控制的目的是保证上肢康复机器人运动轨迹的精度及***运行的稳定性，其主要影响因素有：(1)上肢康复机器人对患者进行康复训练是一个长期的过程，当要求上肢康复机器人在长时期内执行同一任务时，部件磨损和老化将对重复定位精度产生影响；(2)上肢康复机器人根据患者训练状态其训练方法是实时调整的，在许多应用场合上肢康复机器人常常需要对新的任务重新编程，这时控制***和周围环境内的温度变化以及***停车与启动之间的瞬态响应条件将对定位精度产生影响；(3)上肢康复机器人模型中存在手臂主动力、时变转矩等不确定因素将影响***的稳定性。因此，上肢康复机器人控制的关键为：一是在周期信号输入条件下，保证机械臂的重复定位精度，实现高精度轨迹跟踪；二是解决模型中的不确定性问题，抑制干扰实现闭环误差***在重复运动中的稳定运行。
目前，针对上肢康复机器人所提出的控制方法，主要有：BP神经网络控制、CMAC神经网络控制及阻抗控制等。文献14(吕广明,孙立宁,陆念力.基于BP网络的康复机器人的智能控制技术[J].石油大学学报,2005,29(5)：87-94.)与文献15(吕广明,孙立宁,沈刚.基于CMAC神经网络的康复机器人的智能控制技术[J].哈尔滨工程大学学报,200627(5)：662-665.)中将人体肌电信号引入康复机器人控制***中，通过对正常人肌电信号训练学习，修正网络权值，建立BP神经网络和CMAC神经网络控制模型，从而实现对患者进行康复训练。文献16(王东岩,李庆玲,杜志江,孙立宁.5DOF穿戴式上肢康复机器人控制方法研究[J].哈尔滨工业大学学报,2007,39(9)：1383-1386.)则以表面肌电信号的特征值作为基于L-M算法的三层前馈神经网络的输入，六种上肢运动为输出，建立表面肌电信号与上肢康复动作之间的关系，并进行试验，试验结果表明该方法利用sEMG准确地完成了对上肢康复动作的识别。而文献17(李庆玲,叶腾茂,杜志江,孙立宁,王东岩.五自由度上肢康复机器人力辅助控制的研究[J].哈尔滨工程大学学报,2009,30(2)：166-170,177.)为康复机器人辅助运动模式设计了一种力辅助控制方法，该方法通过实时获取各关节力矩信号来判断人体上肢的运动意图所产生的作用力方向与大小，为实时跟随患者上肢运动意图，利用比例控制器对肢体末端运动速度进行控制，从而驱动各关节完成运动。另外，针对康复机器人与患者间存在相互作用力的问题，文献18(李庆玲.基于sEMG信号的外骨骼式上肢康复机器人***研究[D].哈尔滨工业大学,2009.)在康复机器人与操作对象间引入力控制环，提出基于阻抗控制的上肢康复机器人主动控制策略，在笛卡儿坐标空间中用一个代表弹簧-阻尼-质量***的二阶微分方程来表示机器人的目标阻抗模型，通过调节控制器中的刚度系数、阻尼系数及惯性系数使手臂康复机器人具有不同的刚度特性和阻尼特性，实现患者的主动康复训练。
在上述控制方法中，或者针对上肢康复机器人各个关节运动，利用表面肌电信号采集患者上肢各关节的运动信息，转化为机械臂的运动控制命令，以驱动电机实现5个自由度的动作；或者形成双环控制***结构，即内环为关节速度控制环、外环为力控制环，来实现上肢康复机器人的力控制。人们迫切希望获得一种技术效果优良的上肢康复机器人康复训练运动控制方法。
发明内容
本发明的目的是提供一种技术效果优良的上肢康复机器人康复训练运动控制方法。本发明主要考虑上肢康复机器人模型中的不确定因素以及重复运动产生跟踪误差，对***的稳定性及跟踪精度的影响，依据上肢康复机器人的训练方式，针对上肢康复机器人模型中存在手臂主动力、时变转矩等不确定因素，研究一种既能保证上肢康复机器人训练精度又能维护***稳定性的智能控制方法，使上肢康复机器人能够稳定高效的完成对脑卒中上肢偏瘫患者的康复训练。本发明的技术基础说明如下：
一、关于状态方程建立的技术基础：
基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为：
上两式中，为关节的位移、速度和加速度向量；M(q)∈Rn×n为惯性矩阵；为离心力、哥氏力的转矩矩阵；G(q)∈Rn为重力作用项；为摩擦力作用矩阵；为不确定性外加力矩；τ∈Rn为广义关节力矩输入项。上两式中M(q)，G(q)分解成两部分，一部分是参数已知的标称变量M0(q)，G0(q)，令一部分是不确定项，即：
对于如式(1)(2)所示的上肢康复机器人拉格朗日动力学方程，满足如下性质：特性1：惯量矩阵M(q)是对称正定的，且对于所有的q∈Rn是一致有界的，即：||M(q)||≤d d为正常数。特性2：为斜对称矩阵，即： 特性3：重力项G(q)对于所有的q∈Rn是一致有界的，即：||G(q)||≤a a为正常数。特性4：摩擦力是一个难于精确建模和十分复杂的非线性，在上肢康复机器人低速运动时，它的作用尤为重要。通常是一个最常用的近似，显然有Vi为关节i的动态摩擦系数。特性5：当摩擦力精确建模和忽略外部扰动时，有：式中，是已知n×r函数矩阵，称作回归矩阵，θ是r×1机器人物理参数向量。本发明将利用这些性质将上肢康复机器人动力学模型问题进行转化，并在此基础上提出自己的建立状态方程的具体方法。
二、关于控制策略的技术基础：
本发明所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法的关键具体是具有多重周期输入信号的上肢康复机器人H∞鲁棒重复控制。由于上肢康复机器人模型中不确定性外加力矩的存在，***的输入信号并不是简单的单周期信号，而是由几种不同周期的周期信号组合而成，可以说上肢康复机器人是一个多重周期输入信号***，本节针对不确定对象——上肢康复机器人，建立具有多重周期输入信号的上肢康复机器人的H∞鲁棒重复控制***，以满足上肢康复机器人的康复训练要求。
多周期重复控制：重复控制的目标是设计一个针对周期信号的跟踪控制器或者扰动补偿器，它可根据周期性参考信号的特点和内部模型控制原理，将周期信号发生器植入闭环***之内，以实现对周期参考信号的稳态跟踪，其基本原理如图4所示。图4中：R(s)为单个周期输入信号，Y(s)为输出信号，D(s)为重复控制器，G(s)为原始控制对象，C(s)为串联补偿器。图4中的重复控制***是重复控制的基本结构，它针对单个周期输入信号R(s)设计一个重复控制器即单个重复回路，使***可以无偏地跟踪周期信号。然而如果***中包含多个周期指令信号，即重复误差包含多个基频及谐波信号，那么单一的重复控制回路已满足不了***的要求，因此，在文献(Woo Sok Chang,Hong Suh,Jae-Hyuk Oh.Synthesisand analysis of digital-multiple repetitive control systems.American ControlConference,Proceedings of the 1998,5：2687-2691.)中针对多重周期指令信号的重复控制***进行了研究及分析。
根据上述文献的研究，在具有多重周期指令信号的控制***的闭环回路中并行嵌入多个重复控制回路，则构成多周期重复控制***；如图5所示。图5中，Rn(s)，E(s)，Y(s)分别是参考信号、误差信号、输出信号的拉氏变换，W(s)为低通滤波器，M(s)是包含表示参考信号的内模的多周期重复控制器，G(s)是受控***的拉氏变换。图3所示***其意义是有多重周期输入指令Rn(s)其输出为Y(s)，多路重复控制器将检测原***的跟踪误差E(s)，并在跟踪误差E(s)叠加修正量U(s)来减少这个误差，从而消除重复出现的畸变使***达到稳定。
多周期重复控制适合于具有多重周期输入信号的重复运动性质的被控对象，通过反复修正达到某种控制目标的改善。它在控制***中引入学习机制，使***能够通过自身的学习来改善跟踪进度，最终实现无稳态误差地跟踪任意的周期目标输入信号或对周期性干扰信号进行有效抑制的目的。
H∞鲁棒控制：在不确定机器人控制方法中，鲁棒控制理论中H∞控制方法是获得机器人强鲁棒稳定性的有效方法。H∞鲁棒控制的基本思想是，用H∞范数作为目标函数的度量进行控制***的设计，使***干扰至误差的传递函数的H∞范数最小，从而使具有有限功率谱的干扰至误差的影响降到最小程度[146]。由于H∞鲁棒控制理论适合处理存在数据摄动和外界扰动时***的鲁棒控制问题，因此可将H∞鲁棒控制应用于分析和设计重复控制***中补偿重复控制器的稳定性，达到控制目的。
图6所示是H∞控制问题的一般的框图，其中P是包含被控对象和加权函数的广义对象，它由式(12)来定义：
式(12)中，z∈Rm表示被控输出信号，y∈Rq表示测量信号，w∈Rr表示外部输入信号，u∈Rp表示控制信号；
在上述标准H∞控制问题的解法中，均假设广义对象P(s)中P12(s)和P21(s)在包含无穷远处在内的虚轴上不含零点，然而实际控制问题是不满足这一假设的。通常称这种在虚轴上有零点的H∞控制问题为奇异控制问题。对于奇异H∞控制问题，现主要有如下几种处理方法：第一，通过采用频率回路整形或廉价控制，即引入摄动量ε，将含有虚轴零点的H∞控制问题转换为不含有虚轴的新的H∞控制问题；第二，Stoorvogel提出的由2个二次矩阵不等式组成的判据；第三，用Riccati不等式组成的判据来判断H∞控制问题的有解性；第四，利用有界实引理的线性矩阵不等式描述，直接从时域上用代数推到方法获得了基于3个线性矩阵不等式的H∞控制问题的可解的充要条件。
图6所示***，由输入信号u,w到输出信号z,y的传递函数矩阵G称为增广被控对象，它包括实际被控对象和为了描述设计指标而设定的加权函数等。K为控制器。设传递函数矩阵G的状态空间实现由下式给出：
其中，x为n维状态变量，w为r维信号向量，u为p维，z为m维，y为q维信号向量，则(13)式还可以表示为：
其中H∞控制问题就是求一正则控制器：u＝Kx (15)
使得闭环***稳定，并使w到z的传递函数：
Tzw＝LFT(G(s),K(s))＝G11+G12K(I-G22)-1G21 (16)
的H∞范数最小，即求解：min||Tzw||∞ (17)
式(17)表示最优H∞控制问题，若给定γ>0，将式(19)变为：||Tzw||∞<γ (18)
则式(18)表示次最优H∞控制问题；
若式(17)或(18)的H∞范数改为H2范数，即min||Tzw||2或||Tzw||2<γ，这一问题就变为H2控制问题，也就是LQG控制问题。
显然，如果对于给定的G，H∞次最优设计问题有解，那么可以通过反复“递减γ—试探求次优解”的过程，而求的最优控制器的逼近解，即γ趋近于γ0。
另外，(18)式等价于：而实际上等于增广被控对象：
控制器K所构成的如图6所示***的闭环传递函数。实际问题中只考虑γ＝1的情况即可。虽然多周期重复控制在多重周期信号输入下的轨迹跟踪问题上有着一定的优势，但对上肢康复机器人不确定***来说，由于多周期重复控制器的大时滞特性，所以不能确保***的稳定性。
本发明一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法，借助于专用的控制方法对上肢康复机器人进行控制以实现其功能；其特征在于：首先建立状态方程，然后将状态方程按照控制要求进行变换处理；再之后进行上肢康复机器人康复训练的运动控制；
其中：①建立状态方程的相关要求如下：基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为：
式中，为关节的位移、速度和加速度向量；M(q)∈Rn×n为惯性矩阵；为离心力、哥氏力的转矩矩阵；G(q)∈Rn为重力作用项；为摩擦力作用矩阵；为不确定性外加力矩；τ∈Rn为广义关节力矩输入项；式中M(q)，G(q)分解成两部分，一部分是参数已知的标称变量M0(q)，G0(q)，另一部分是不确定项，即：
②对状态方程进行变换的处理要求是：
由于上肢康复机器人运动控制***是一个多重周期输入信号***，针对对象不确定的上肢康复机器人，建立具有多重周期输入信号的上肢康复机器人的H∞鲁棒重复控制***，以满足上肢康复机器人的康复训练要求；具体是将多周期重复控制进行改进，利用H∞鲁棒控制来弥补多周期重复控制的稳定性问题，既保证上肢康复机器人多周期信号***重复运动的轨迹跟踪精度，又利用H∞鲁棒控制增强***的稳定性；
具体的控制要求是：
H∞鲁棒重复控制器设计如下：经变换后，若要原***即式(21)的输出跟踪参考信号，则要求新***即式(33)输出信号e(k)趋于0；上肢康复机器人状态方程表达式为：
其中，δ(k)＝(B+ΔBp)(τc-v(k))为***中存在的不确定项；为离心力、哥氏力的转矩矩阵。设则有：
设式(33)的状态反馈控制律为则通过状态反馈形成的闭环***为：
式(34)中ΔAp和ΔBp满足[ΔAp ΔBp]＝EΓ(t)[F1 F2]，其中E，F1和F2为常数矩阵，Γ满足ΓTΓ≤I；其中：Cp为***输出矩阵；
Γ＝400cos2(q3-q2)-520cos(q3-q2)sin2q1sinq2sinq3+80cos(q3-q2)sin2q1sin2q3+400cos(q3-q2)+845sin2q1sin2q2-520sin2q1sinq2sinq3+312sin2q1sin2q3-1160
公式中Γ等字符含义说明：如未加特别说明，均为计算推倒过程中的中间参数。上式中，模型中不确定项：
其中，ε∈[0,1]为模型中不确定项的参数，由于其不确定性，参数存在的范围在0和1之间；q1,q2,q3分别是肩部外展、肩部俯仰和肘部回转关节的旋转角度。
式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差，对新***模型设计控制器使新***输出为零，即可达到使原***输出跟踪输入的控制目的，经过证明，此状态空间是能控能观的。
③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，具体要求如下：
以式(34)为基础，满足定理1成立的条件即为控制要求；
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，a，使得下列不等式成立：
其中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1。
所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法还满足下述要求：
①在建立状态方程时相关要求如下：基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为式(3)、式(4)；为便于设计控制策略，对上肢康复机器人***，给出如下假设：
假设1：设上肢康复机器人各关节对应于独立的控制输入；
假设2：设上肢康复机器人的期望轨迹qd是一致有界的，即：
sup||qd||＝s1，为正常数；
假设3：设上肢康复机器人的不确定性外加力矩τd有界，满足下面的关系：
τd≤ρ(t)且
则定义e＝q-qd，在上肢康复机器人标称***中选择如下鲁棒控制律为：
式中，kv∈Rn×n和kp∈Rn×n是常量正定矩阵；
之后将e＝q-qd，及式(5)代入式(3)，则上肢康复机器人***方程转化为：
其中，
***的集中不确定项为：
显然，只有当满足条件：
才使不确定性项Δ＝0；
由于模型中存在不确定性，所以无法得到上肢康复机器人精确的数学模型，式(5)和式(6)仅能保证***输出的有界跟踪，所以对于参数摄动和外干扰，设计补偿器u(t)进行补偿，消除不确定性和外干扰的影响，保证***输出跟踪误差的渐进收敛；
取状态由式(6)得***状态方程为：
式中，
***不确定项为：Δ(t)＝τc-v(t)
并且满足如下不确定性约束函数：
考虑上肢康复机器人的不确定因素，即：
M(q)＝M0(q)-ΔM(q)，G(q)＝G0(q)-ΔG(q)，则不确定***状态方程(9)化为：
式中，ΔAp和ΔBp为不确定项，δ(t)＝(B+ΔBp)(τc-v(t))；
②对状态方程进行变换时，具体处理要求是：
首先要求“零化”状态空间模型：将上肢康复机器人状态空间模型转换为“零化”状态空间模型，“零化”的目的是将***中的多个控制问题转化为单个控制问题，最终将上肢康复机器人的多重周期信号控制问题转变为H∞状态反馈的设计问题；
上肢康复机器人状态方程表达式为
其中，δ(k)＝(B+ΔBp)(τc-v(k))为***中存在的不确定项；C为***状态输出矩阵。参考输入信号r(k)是一个多重周期信号
定义一个“零化多项式”F(z-1)：
其中，则有：F(z-1)r(k)＝0；用F(z-1)同时乘以式(21)两边，设依此类推有：
则“零化”误差向量为：F(z-1)e(k)＝F(z-1)r(k)-F(z-1)y(k) (24)
又F(z-1)r(k)＝0，则：
为了更清楚的表达写出当k＝0,1,2,…,N+1时P(z-1)e(k)的表达式
式(26)两边取Z变换，得：P(z-1)e(z)＝v(z) (27)
因此，其中：
将式(28)写成矩阵形式：
其中，若则：
故，以离散形式表示v→e则有：
其中，是由以前的误差向量组成，
其它参数表示如下：
F0是一个n×n矩阵；
将式(31)中写成矩阵形式：
分别将式(23)和式(31)中的第一个表达式写成一个矩阵形式：
设则有：
其中：
Γ＝400cos2(q3-q2)-520cos(q3-q2)sin2q1sinq2sinq3+80cos(q3-q2)sin2q1sin2q3+400cos(q3-q2)+845sin2q1sin2q2-520sin2q1sinq2sinq3+312sin2q1sin2q3-1160
式中，(公式中Γ等字符含义说明：如未特别说明，均应为计算过程中的中间参数)模型中不确定项：
其中，ε∈[0,1]为模型中不确定项的参数，由于其不确定性，参数存在的范围在0和1之间；q1,q2,q3分别是肩部外展、肩部俯仰和肘部回转关节的旋转角度。式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差，对新***模型设计控制器使新***输出为零，即可达到使原***输出跟踪输入的控制目的，经过证明，此状态空间是能控能观的；
H∞鲁棒重复控制器设计满足下述要求：
经变换后，若要原***即式(21)的输出跟踪参考信号，则新***即式(33)输出信号z(k)趋于0即可，设式(33)的状态反馈控制律为则通过状态反馈形成的闭环***为：
式(34)中ΔAp和ΔBp满足[ΔAp ΔBp]＝EΓ(t)[F1 F2]，其中E，F1和F2为常数矩阵，Γ满足ΓTΓ≤I，Cp为***输出矩阵。在没有输入情况下，带有扰动的***标称状态方程为
具有多周期输入信号的上肢康复机械臂H∞鲁棒重复控制***满足下述要求如图7所示。
图7中，qd,为关节的给定位移、速度和加速度向量；q,为关节的输出位移、速度和加速度向量；kp、kv为控制增益；Δ为模型中的不确定项；为上肢康复机器人标称模型；为上肢康复机器人实际模型；控制力矩τ由前馈控制和反馈控制两部分组成，前馈控制部分只与自身结构有关，作用是使***沿标称轨迹运动所需要的控制力矩；反馈控制部分包含外界控制输入量u，是消除外界不确定性干扰及轨迹跟踪所需的补偿控制量；
③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，具体要求如下：基于式(34)、式(35)的H∞鲁棒重复控制器设计，图7所示控制***设计的关键是：构造线性矩阵不等式条件，使得给定的常数γ>0，***(34)是渐近稳定的，并且满足H∞性能，即||z||2<γ||δ||2，其中||·||2表示L2范数，为得出结果需要如下引理：
引理1：对于***(35)，设γ>0是一个给定的常数，如果存在一个对称矩阵P>0和一组充分小的正数a，满足下列不等式：
则***(35)是渐近稳定的，并且||z||2<γ||δ||2；
证明对于不等式(36)应用Schur补引理，得到等价不等式：
其中，对于矩阵不等式(37)的左边矩阵分别左右乘以得到等价矩阵不等式：
因矩阵P>0，a>0，故非正定，满足式(38)的矩阵P必满足：
再应用Schur补引理，可推出根据文献[Nie H,ZhaoJ.Hybrid state feedback H∞robust control for a class of linear systems withtime-varying normbounded uncertainty[A].Proc of the American Control Conf[C].Denver,2003：3608-3613.]中的引理1，上述引理得证。
可在式(39)的左边矩阵分别左乘和右乘矩阵diag{P,I,I,I}，得到等价的线性矩阵不等式：
引理2：设Y,M,N表示具有适当维数的矩阵，其中Y是对称的，则对任意矩阵Γ满足ΓTΓ≤I，
Y+MΓN+NTΓTMT<0 (41)
当且仅当存在一个常数λ>0，使得：
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，a，使得下列不等式成立：
其中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1；
证明由引理1知，在状态反馈控制律u＝Kx下闭环***(34)渐近稳定的充分条件是下列不等式成立：
对矩阵不等式(43)的左右分别乘以矩阵diag{I,P-1,I,I}，并令X＝P-1，S＝KX，K＝SX-1，得到等价矩阵不等式：
仿定理1的证明，式(45)成立当且仅当存在正数λ，使得：
其中Q＝F1X+F2S，对于不等式(45)进一步应用Schur补引理，得到等价矩阵不等式(46)，定理得证。这里为方便起见，不失一般性，取γ＝0.1，a＝0.2，λ＝0.001，常数矩阵：
根据式(33)将各参数代入矩阵不等式(43)中利用Matlab LMI工具箱求解矩阵K,K＝SX-1且X为正定对称矩阵X>0取X＝I8×8，因此求解矩阵S即可得到矩阵K，由矩阵不等式(43)解得S为：
本发明主要针对上肢康复机器人的模型特点，依据上肢康复机器人的训练模式，提出具有多周期输入信号的上肢康复机器人H∞状态反馈鲁棒重复控制，本发明引入状态反馈把多周期重复控制器设计问题转化为H∞状态反馈设计，以提高不确定***的跟踪性能和鲁棒稳定性，仿真结果表明，该方法能达到高精度快速跟踪的目的且***稳定性较高。
附图说明
下面结合附图及实施方式对本发明作进一步详细的说明：
图1为5-DOF上肢康复机器人总体结构示意简图；
图2为5-DOF上肢康复机器人硬件控制结构图；
图3为5-DOF上肢康复机器人基本控制结构示意图；
图4为重复控制***基本结构图；
图5为多周期重复控制***；
图6为标准H∞控制问题示意图；
图7为上肢康复机器人H∞鲁棒重复控制***结构图；
图8为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节外展/内收的轨迹跟踪曲线；
图9为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图10为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图11为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节外展/内收的跟踪误差曲线；
图12为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图13为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肘关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图14为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节外展/内收的控制力矩曲线；
图15为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肩关节屈/伸的控制力矩曲线；
图16为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时肘关节屈/伸的控制力矩曲线；
图17为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节外展/内收的轨迹跟踪曲线；
图18为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图19为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图20为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节外展/内收的跟踪误差曲线；
图21为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图22为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肘关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图23为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节外展/内收的控制力矩曲线；
图24为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肩关节屈/伸的控制力矩曲线；
图25为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时肘关节屈/伸的控制力矩曲线；
图26为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节外展/内收的轨迹跟踪曲线；
图27为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图28为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线；
图29为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节外展/内收的跟踪误差曲线；
图30为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图31为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肘关节屈/伸的跟踪误差曲线；
图32为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节外展/内收的控制力矩曲线；
图33为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肩关节屈/伸的控制力矩曲线；
图34为上肢康复机器人康复训练运动控制方法仿真验证当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时肘关节屈/伸的控制力矩曲线。
具体实施方式
实施例1
一种技术效果优良的上肢康复机器人康复训练运动控制方法，主要考虑上肢康复机器人模型中的不确定因素以及重复运动产生跟踪误差，对***的稳定性及跟踪精度的影响，依据上肢康复机器人的训练方式，针对上肢康复机器人模型中存在手臂主动力、时变转矩等不确定因素，研究一种既能保证上肢康复机器人训练精度又能维护***稳定性的智能控制方法，使上肢康复机器人能够稳定高效的完成对脑卒中上肢偏瘫患者的康复训练。
技术基础说明如下：5-DOF上肢康复机器人总体结构参见图1；5-DOF上肢康复机器人硬件控制结构参见图2。
一、关于状态方程建立的技术基础：
基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为：
相关解释及其他相关内容参见说明书的发明内容部分，在此从略。
本实施例将利用这些性质将上肢康复机器人动力学模型问题进行转化，并在此基础上提出自己的建立状态方程的具体方法。
二、关于控制策略的技术基础：
本实施例所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法的关键具体是具有多重周期输入信号的上肢康复机器人H∞鲁棒重复控制。由于上肢康复机器人模型中不确定性外加力矩的存在，***的输入信号并不是简单的单周期信号，而是由几种不同周期的周期信号组合而成，可以说上肢康复机器人是一个多重周期输入信号***，本节针对不确定对象——上肢康复机器人，建立具有多重周期输入信号的上肢康复机器人的H∞鲁棒重复控制***，以满足上肢康复机器人的康复训练要求。
本实施例一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法，借助于专用的控制方法对上肢康复机器人进行控制以实现其功能；其特征在于：首先建立状态方程，然后将状态方程按照控制要求进行变换处理；再之后进行上肢康复机器人康复训练的运动控制；其中：
①建立状态方程的相关要求如下：
基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为：
相关解释及其他相关内容参见说明书的发明内容部分，在此从略。
②对状态方程进行变换的处理要求是：
由于上肢康复机器人运动控制***是一个多重周期输入信号***，针对对象不确定的上肢康复机器人，建立具有多重周期输入信号的上肢康复机器人的H∞鲁棒重复控制***，以满足上肢康复机器人的康复训练要求；具体是将多周期重复控制进行改进，利用H∞鲁棒控制来弥补多周期重复控制的稳定性问题，既保证上肢康复机器人多周期信号***重复运动的轨迹跟踪精度，又利用H∞鲁棒控制增强***的稳定性；
具体的控制要求相关解释及其他相关内容参见说明书的发明内容部分，在此从略。
说明书中式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差，对新***模型设计控制器使新***输出为零，即可达到使原***输出跟踪输入的控制目的，经过证明，此状态空间是能控能观的。
④然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，要求如下：以式(34)为基础，满足定理1成立的条件即为控制要求；
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，a，使得说明书中述及的不等式(43)成立。
式(43)中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1。
所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法还满足下述要求：
①在建立状态方程时相关要求如下：基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为式(3)、式(4)；为便于设计控制策略，对上肢康复机器人***，给出如下假设：
假设1：设上肢康复机器人各关节对应于独立的控制输入；
假设2：设上肢康复机器人的期望轨迹qd是一致有界的，即：
sup||qd||＝s1，si(i＝1,2,3)为正常数；
假设3：设上肢康复机器人的不确定性外加力矩τd是有界的，满足下面的关系：
τd≤ρ(t)且
公式(5)-公式(11)及其他相关解释内容参见说明书的发明内容部分，在此从略。
②对状态方程进行变换时，具体处理要求是：
首先要求“零化”状态空间模型：将上肢康复机器人状态空间模型转换为“零化”状态空间模型，“零化”的目的是将***中的多个控制问题转化为单个控制问题，最终将上肢康复机器人的多重周期信号控制问题转变为H∞状态反馈的设计问题；
式(21)—(31)相关解释及其他相关内容参见说明书的发明内容部分，在此从略。将式(31)中写成矩阵形式：
分别将式(23)和式(31)中的第一个表达式写成一个矩阵形式：
设则有：
其中：
Γ＝400cos2(q3-q2)-520cos(q3-q2)sin2q1sinq2sinq3+80cos(q3-q2)sin2q1sin2q3+400cos(q3-q2)+845sin2q1sin2q2-520sin2q1sinq2sinq3+312sin2q1sin2q3-1160
式中，(公式中Γ等字符含义说明：如未特别说明，均应为计算过程中的中间参数)模型中不确定项：
其中，ε∈[0,1]为模型中不确定项的参数，由于其不确定性，参数存在的范围在0和1之间；q1,q2,q3分别是肩部外展、肩部俯仰和肘部回转关节的旋转角度。
式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差，对新***模型设计控制器使新***输出为零，即可达到使原***输出跟踪输入的控制目的，经过证明，此状态空间是能控能观的；
H∞鲁棒重复控制器设计满足下述要求：
经变换后，若要原***即式(21)的输出跟踪参考信号，则新***即式(33)输出信号z(k)趋于0即可，设式(33)的状态反馈控制律为则通过状态反馈形成的闭环***为：
式(34)中ΔAp和ΔBp满足[ΔAp ΔBp]＝EΓ(t)[F1 F2]，其中E，F1和F2为常数矩阵，Γ满足ΓTΓ≤I，Cp为***输出矩阵；
在没有输入情况下，带有扰动的***标称状态方程为
具有多周期输入信号的上肢康复机械臂H∞鲁棒重复控制***满足下述要求如图7所示。
图7中，qd,为关节的给定位移、速度和加速度向量；q,为关节的输出位移、速度和加速度向量；τ为控制力矩；kp、kv为控制增益；Δ为模型中的不确定项；为上肢康复机器人标称模型；为上肢康复机器人实际模型；控制力矩τ由前馈控制和反馈控制两部分组成，前馈控制部分只与自身结构有关，作用是使***沿标称轨迹运动所需要的控制力矩；反馈控制部分包含外界控制输入量u，是消除外界不确定性干扰及轨迹跟踪所需的补偿控制量；
③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，具体要求如下：
基于式(34)、式(35)的H∞鲁棒重复控制器设计，图7所示控制***设计的关键是：构造线性矩阵不等式条件，使得给定的常数γ>0，***(34)是渐近稳定的，并且满足H∞性能，即||z||2<γ||δ||2，其中||·||2表示L2范数，为得出结果需要如下引理：
引理1：对于***(35)，设γ>0是一个给定的常数，如果存在一个对称矩阵P>0和一组充分小的正数a，满足下列不等式
则***(35)是渐近稳定的，并且||z||2<γ||δ||2；
引理2：设Y,M,N表示具有适当维数的矩阵，其中Y是对称的，则对任意矩阵Γ满足ΓTΓ≤I，
Y+MΓN+NTΓTMT<0 (41)
当且仅当存在一个常数λ>0，使得：
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，a，使得下列不等式成立：
其中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1；
这里为方便起见，不失一般性，取γ＝0.1，a＝0.2，λ＝0.001，常数矩阵:
根据式(33)将各参数代入矩阵不等式(43)中利用Matlab LMI工具箱求解矩阵K,K＝SX-1且X为正定对称矩阵X>0取X＝I8×8，因此求解矩阵S即可得到矩阵K，由矩阵不等式(43)解得S为
本实施例主要针对上肢康复机器人的模型特点，依据上肢康复机器人的训练模式，提出具有多周期输入信号的上肢康复机器人H∞状态反馈鲁棒重复控制，本实施例引入状态反馈把多周期重复控制器设计问题转化为H∞状态反馈设计，以提高不确定***的跟踪性能和鲁棒稳定性，仿真结果表明，该方法能够达到高精度快速跟踪的目的且***稳定性较高。按照下述要求进行仿真验证：
设周期性参考输入信号为r(t)＝2sint+cost，采样时间为1，此输入信号包含2个周期信号，其中N1＝N2＝1，且当t≤0时，u＝0，多周期重复控制回路增益取Kn＝0.1。
初始条件q(0)＝[0.5 0.5]Trad/s，期望轨迹(角位移)为qd＝[0.5sin(1.5t)-0.2cos(0.6t)0.5cos(1.5t)-0.2sin(0.6t)0.5sin(1.5t)-0.2cos(0.6t)]Trad/s。不确定性外加力矩为τd＝τ1+τ2，其中手臂主动力τ1＝10～20(N.m)，时变转矩不确定性的界为||Δ(t)||≤ρ(t)其中ρ(t)＝0.5。
取常数矩阵 则状态方程中各参数及状态反馈阵K为：
仿真结果如图8-34所示。
(1)当τ1＝10N.mτ2＝4N.m时,肩关节外展/内收、肩关节屈/伸、肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线分别见图8、9、10；跟踪误差曲线分别见图11、12、13；控制力矩曲线分别见图14、15、16；
(2)当τ1＝15N.mτ2＝6N.m时,肩关节外展/内收、肩关节屈/伸、肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线分别见图17、18、19；跟踪误差曲线分别见图20、21、22；控制力矩曲线分别见图23、24、25；
(3)当τ1＝20N.mτ2＝8N.m时,肩关节外展/内收、肩关节屈/伸、肘关节屈/伸的轨迹跟踪曲线分别见图26、27、28；跟踪误差曲线分别见图29、30、31；控制力矩曲线分别见图32、33、34.
通过图8-34可以看出，在相同输入情况下，PD控制器参数不变，在不确定项有界范围内，选取不同的不确定性外加力矩值，上肢康复机器人轨迹跟踪动态响应曲线均可在一个周期内与输入信号拟合，在仿真时间t＝2s后，跟踪误差基本为零，***进入稳定状态，实现了对控制对象的无差跟踪控制，说明H∞状态反馈鲁棒重复控制能够达到高精度稳定跟踪的目的。
仿真结果表明，针对上肢康复机器人不确定***的多周期信号鲁棒重复控制能够保证***的稳定运行，且***输出能较好的跟踪参考输入，使***具有鲁棒稳定性又提高***的扰动抑制性能和跟踪性能。
本实施例主要针对上肢康复机器人模型特点，依据上肢康复机器人训练模式，提出具有多周期输入信号的上肢康复机器人H∞状态反馈鲁棒重复控制，本实施例引入状态反馈把多周期重复控制器设计问题转化为H∞状态反馈设计，以提高不确定***的跟踪性能和鲁棒稳定性，仿真结果表明，该方法能达到高精度快速跟踪的目的且***稳定性较高。
Claims (2)
1.一种上肢康复机器人康复训练运动控制方法，其特征在于：首先建立状态方程，然后将状态方程按照控制要求进行变换处理；再之后进行上肢康复机器人康复训练的运动控制；其中：
①建立状态方程的相关要求如下：
基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为：
式中，q,为关节的位移、速度和加速度向量；M(q)∈Rn×n为惯性矩阵；为离心力、哥氏力的转矩矩阵；G(q)∈Rn为重力作用项；为摩擦力作用矩阵；为不确定性外加力矩；τ∈Rn为广义关节力矩输入项；式中M(q)，G(q)分解成两部分，一部分是参数已知的标称变量M0(q)，G0(q)，另一部分是不确定项，即：
M(q)＝M0(q)-ΔM(q)G(q)＝G0(q)-ΔG(q)
②对状态方程进行变换的处理要求是：
由于上肢康复机器人运动控制***是一个多重周期输入信号***，针对对象不确定的上肢康复机器人，建立具有多重周期输入信号的上肢康复机器人的H∞鲁棒重复控制***，以满足上肢康复机器人的康复训练要求；具体是将多周期重复控制进行改进，利用H∞鲁棒控制来弥补多周期重复控制的稳定性问题，既保证上肢康复机器人多周期信号***重复运动的轨迹跟踪精度，又利用H∞鲁棒控制增强***的稳定性；
具体的控制要求是：
H∞鲁棒重复控制器设计如下：经变换后，若要原***即式(21)的输出跟踪参考信号，则要求新***即式(33)输出信号z(k)趋于0；
上肢康复机器人状态方程表达式为
其中，δ(k)＝(B+ΔBp)(τc-v(k))为***中存在的不确定项；为离心力、哥氏力的转矩矩阵； 设则有：
其中，是由以前的误差向量组成， ；
设式(33)的状态反馈控制律为则通过状态反馈形成的闭环***为：
式(34)中ΔAp和ΔBp满足[ΔAp ΔBp]＝EΓ(t)[F1 F2]，其中E，F1和F2为常数矩阵，Γ满足ΓTΓ≤I，Cp为***输出矩阵；其中：
kp、kv为控制增益；
Γ＝400cos2(q3-q2)-520cos(q3-q2)sin2q1sinq2sinq3+80cos(q3-q2)sin2q1sin2q3+400cos(q3-q2)+845sin2q1sin2q2-520sin2q1sinq2sinq3+312sin2q1sin2q3-1160
式中，模型中不确定项：
其中，ε∈[0,1]为模型中不确定项的参数，由于其不确定性，参数存在的范围在0和1之间；q1,q2,q3分别是肩部外展、肩部俯仰和肘部回转关节的旋转角度； 式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差；
③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，具体要求如下：
以式(34)为基础，满足定理1成立的条件即为控制要求；
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，α，使得下列不等式成立：
其中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1。
2.按照权利要求1所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法，其特征在于：所述上肢康复机器人康复训练运动控制方法还满足下述要求：
①在建立状态方程时相关要求如下：
基于拉格朗日的上肢康复机器人动力学模型为式(3)、式(4)；为便于设计控制策略，对上肢康复机器人***，给出如下假设：
假设1：设上肢康复机器人各关节对应于独立的控制输入；
假设2：设上肢康复机器人的期望轨迹qd是一致有界的，即：
sup||qd||＝s1，si(i＝1,2,3)为正常数；
假设3：设上肢康复机器人的不确定性外加力矩τd是有界的，满足下面的关系：
τd≤ρ(t)且
则定义e＝q-qd，在上肢康复机器人标称***中选择如下鲁棒控制律为：
式中，kv∈Rn×n和kp∈Rn×n是常量正定矩阵；
之后将e＝q-qd，及式(5)代入式(3)，则上肢康复机器人***方程转化为：
其中，
***的集中不确定项为：
显然，只有当满足条件：
才使不确定性项Δ＝0；
由于模型中存在不确定性，所以无法得到上肢康复机器人精确的数学模型，式(5)和式(6)仅能保证***输出的有界跟踪，所以对于参数摄动和外干扰，设计补偿器u(t)进行补偿，消除不确定性和外干扰的影响，保证***输出跟踪误差的渐进收敛；
取状态由式(6)得到***状态方程为：
式中，
***不确定项为：Δ(t)＝τc-v(t)
并且满足如下不确定性约束函数：
考虑上肢康复机器人的不确定因素，即：
M(q)＝M0(q)-ΔM(q)，G(q)＝G0(q)-ΔG(q)，则不确定***状态方程(9)化为：
式中，ΔAp和ΔBp为不确定项，δ(t)＝(B+ΔBp)(τc-v(t))；
②对状态方程进行变换时，具体处理要求是：
首先要求“零化”状态空间模型：将上肢康复机器人状态空间模型转换为“零化”状态空间模型，“零化”的目的是将***中的多个控制问题转化为单个控制问题，最终将上肢康复机器人的多重周期信号控制问题转变为H∞状态反馈的设计问题；
上肢康复机器人状态方程表达式为
其中，δ(k)＝(B+ΔBp)(τc-v(k))为***中存在的不确定项；为离心力、哥氏力的转矩矩阵； 参考输入信号r(k)是一个多重周期信号：
定义一个“零化多项式”F(z-1)：
其中，则有：F(z-1)r(k)＝0；用F(z-1)同时乘以式(21)两边，设依此类推有：
则“零化”误差向量为：F(z-1)e(k)＝F(z-1)r(k)-F(z-1)y(k) (24)
又F(z-1)r(k)＝0，则：
为了更清楚的表达写出当k＝0,1,2,…,N+1时P(z-1)e(k)的表达式
式(26)两边取Z变换，得：P(z-1)e(z)＝v(z) (27)
因此，其中：
将式(28)写成矩阵形式：
其中，
若则有：
因此，以离散形式表示v→e，则有
其中，是由以前的误差向量组成，
其它参数表示如下
F0是一个n×n矩阵；
F2＝[0 0 … 0 1]T；
F3＝[-αk-1 -αk-2 … -αk-N+1 -αk-N]；
将式(31)中写成矩阵形式：
分别将式(23)和式(31)中的第一个表达式写成一个矩阵形式：
设则有：
其中：
Γ＝400cos2(q3-q2)-520cos(q3-q2)sin2q1sinq2sinq3+80cos(q3-q2)sin2q1sin2q3+400cos(q3-q2)+845sin2q1sin2q2-520sin2q1sinq2sinq3+312sin2q1sin2q3-1160
式中，模型中不确定项：
其中，ε∈[0,1]为模型中不确定项的参数，由于其不确定性，参数存在的范围在0和1之间；q1,q2,q3分别是肩部外展、肩部俯仰和肘部回转关节的旋转角度；
式(33)即为新***的状态方程表达式，此表达式的输出为原***模型输入与输出之间的差；
H∞鲁棒重复控制器设计满足下述要求：
经变换后，若要原***即式(21)的输出跟踪参考信号，则新***即式(33)输出信号z(k)趋于0即可，设式(33)的状态反馈控制律为则通过状态反馈形成的闭环***为：
式(34)中ΔAp和ΔBp满足[ΔAp ΔBp]＝EΓ(t)[F1 F2]，其中E，F1和F2为常数矩阵，Γ满足ΓTΓ≤I，Cp为***输出矩阵；
在没有输入情况下，带有扰动的***标称状态方程为
具有多周期输入信号的上肢康复机械臂H∞鲁棒重复控制***满足下述要求：qd,为关节的给定位移、速度和加速度向量；q,为关节的输出位移、速度和加速度向量；τ为控制力矩；kp、kv为控制增益；Δ为模型中的不确定项；为上肢康复机器人标称模型；为上肢康复机器人实际模型；控制力矩τ由前馈控制和反馈控制两部分组成，前馈控制部分只与自身结构有关；反馈控制部分包含外界控制输入量u，是消除外界不确定性干扰及轨迹跟踪所需的补偿控制量；
③然后进行上肢康复机器人康复训练运动控制，具体要求如下：基于式(34)、式(35)的H∞鲁棒重复控制器设计，控制***设计的关键是：构造线性矩阵不等式条件，使得给定的常数γ>0，***(34)是渐近稳定的，并且满足H∞性能，即||z||2<γ||δ||2，其中||·||2表示L2范数，为得出结果需要如下引理：
引理1：对于***(35)，设γ>0是一个给定的常数，如果存在一个对称矩阵P>0和一组充分小的正数α，满足下列不等式
则***(35)是渐近稳定的，并且||z||2<γ||δ||2；
引理2：设Y,M,N表示具有适当维数的矩阵，其中Y是对称的，则对任意矩阵Γ满足ΓTΓ≤I，
Y+MΓN+NTΓTMT<0 (41)
当且仅当存在一个常数λ>0，使得：
定理1状态反馈控制律u＝Kx镇定闭环***(34)，且||z||2<γ||δ||2的充分条件是存在一个正定对称矩阵X>0，矩阵S和正数λ，α，使得下列不等式成立：
其中，Q＝F1X+F2S，状态反馈阵为K＝SX-1；
这里为方便起见，不失一般性，取γ＝0.1，α＝0.2，λ＝0.001，常数矩阵:
根据式(33)将各参数代入矩阵不等式(43) 中求解矩阵K,K＝SX-1且X为正定对称矩阵X>0取X＝I8×8，因此求解矩阵S即可得到矩阵K，由矩阵不等式(43)解得S为
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