CN104989351A - 油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于油气藏开发工程管理技术领域，其涉及油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，具体涉及到高温高压油气井注气过程中，油气两相瞬态流的干度、压力以及井筒-地层非稳态热传导耦合分析、数学建模及数值模拟，预测超深井干度、温度、压力分布情况。本发明中所述的油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，是为了解决传统方案中对干度、温度及压力预测不准确的问题；其实现步骤包括：A.构建地层传热模型；B.构建微分方程耦合模型；C.对微分方程耦合模型进行求解。本发明适用于油气藏开发。

Description

油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法

技术领域

本发明属于油气藏开发工程管理技术领域，其涉及油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，具体涉及到高温高压油气井注气过程中，油气两相瞬态流的干度、压力以及井筒-地层非稳态热传导耦合分析、数学建模及数值模拟，预测超深井干度、温度、压力分布情况。

背景技术

在油气井工程的注气工况中，传统方法通常考虑到微单元体机械能守恒以及内能变化，但往往忽略与外部环境的热交换，认为蒸汽内能的变化等于外部的变化，并且也忽略了注气过程的蒸汽的摩阻损失，然后计算井筒压力和温度，从而导致对井筒内干度、温度、压力分布预测极不准确。

在构建能量平衡方程时常常忽略了摩阻造成的能量损失并认为地层温度不变，只是受深度和地温梯度的影响，也忽略了由摩阻产生的蒸汽内能变化和周围环境的热传递导致的地层温度会因井筒和地层之间传热的变化。注气过程中的摩阻损失及井筒-地层的非稳态传热是构建微分方程耦合***模型的重要因素，气层损害或改善程度的重要参数，对于精确预测井筒内干度、温度、压力分布有重要意义。

油气井热力学分析：在建立模型前，关于汽流和传热的假设如下所示：

(1)流体的物理性质和形成不受深度和温度的影响。

(2)蒸汽的所有参数(速度、压力、温度和干燥度)是常数。

(3)从管道到第二接触面的传热是稳定的，从第二接触面到地层的传热是非稳定的。

(4)蒸汽流被视为一维两相均匀流。

(5)其他材料的物理性质(蒸汽和一些隔热材料除外)不受时间和温度的影响。

(6)隔热材料的热导率与温度之间存在一种线性关系。

(7)地温梯度是常数。

地层温度场的假设如下:

(1)在地层里井筒周围的温度呈轴对称分布。

(2)在往井筒注入蒸汽时，远离井筒轴心的地层温度相同。

(3)地层温度场没有内生致热原并且是瞬态传导。

压力梯度：由于蒸汽注入是恒定具体的质量流，即：流入微元体质量等于流出微元体质量(参见图1),它遵循质量守恒方程：

M＝ρ₁υ₁A＝ρ₂υ₂A＝ρ_mυ_mA                 (1)

它遵循在一段时间dt中，微量体受到的冲量是Fdt＝P₁Adt+ρ_mAg cosθdzdt-P₂Adt-τ_fdt，在这段时间dt中，动量的变化是ρ₂υ₂Adt·υ₂-ρ₁υ₁Adt·υ₁＝Δ(mυ)。它遵循动量定理：

$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\ρ}\mathrm{mg}\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m\frac{d{\mathrm{\υ}}_m}{\mathrm{dz}}-f_m\frac{{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}---\left(2\right)$

气体干度：鉴于由蒸汽流摩阻造成的能量损失，我们得出以下能量守恒方程：

$\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}+\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{dz}}=-M\frac{d{H}_m}{\mathrm{dz}}-M\frac{d{\mathrm{\υ}}_m}{\mathrm{dz}}+\mathrm{Mg}\cos \mathrm{\θ}---\left(3\right)$

在该方程中，dW表示蒸汽与管壁之间因摩阻造成的能量损失，Hm表示混合流的焓，它可以定义为：

H_m＝H_sX+H_w(1-X)                (4)

在该方程中，Hs表示饱和蒸汽的焓，Hw表示饱和水，由方程(4)可以推导出：

$\frac{d{H}_m}{\mathrm{dz}}=(\frac{d{H}_s}{\mathrm{dz}}-\frac{d{H}_w}{\mathrm{dz}})X+(H_s-H_w)\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+\frac{d{H}_w}{\mathrm{dz}}$

因为 $\frac{d{H}_s}{\mathrm{dz}}=C_{\mathrm{Ps}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-C_{\mathrm{Js}}{C}_{\mathrm{Ps}}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}$ 并且 $\frac{d{H}_w}{\mathrm{dz}}=C_{\mathrm{Pw}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-C_{\mathrm{Jw}}{C}_{\mathrm{Pw}}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}},$ 所以可以推导出：

$\begin{array}{c}\frac{d{H}_m}{\mathrm{dz}}=[(C_{\mathrm{Ps}}-C_{\mathrm{Pw}})\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-(C_{\mathrm{Js}}{C}_{\mathrm{Ps}}-C_{\mathrm{Jw}}{C}_{\mathrm{Pw}})\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}]X\\ +(H_s-H_w)\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+C_{\mathrm{Pw}}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-C_{\mathrm{Jw}}{C}_{\mathrm{Pw}}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}\end{array}$

此外，混合流的速度方程为：

${\mathrm{\υ}}_m={\mathrm{\υ}}_s+{\mathrm{\υ}}_m=\frac{\mathrm{MX}}{{\mathrm{\ρ}}_{s}A}+\frac{M(1-X)}{{\mathrm{\ρ}}_{w}A}---\left(5\right)$

所以则有，

$\frac{d{\mathrm{\υ}}_m}{\mathrm{dz}}=R\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}-S\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}---\left(6\right)$

在该方程中， $R=\frac{M}{A}(\frac{1}{\mathrm{\ρs}}-\frac{q}{\mathrm{\ρw}}),S=\frac{M}{A}(\frac{X}{{\mathrm{\ρ}}_S^2}\frac{\mathrm{d\ρs}}{\mathrm{dP}}+\frac{1-X}{{\mathrm{\ρ}}_W^2}\frac{\mathrm{d\ρw}}{\mathrm{dP}}).$ 因为蒸汽流量和摩擦力的方向是相反的,所以蒸汽与管壁之间因摩阻造成的能量损失dW是负值。单位时间内dz的摩擦力为：

$\mathrm{dW}=\frac{{\mathrm{\τ}}_f\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{\τ}}_f\mathrm{dz}}{\mathrm{dz}/{\mathrm{\υ}}_m}{\mathrm{\τ}}_f{\mathrm{\υ}}_m---\left(7\right)$

方程(1)给出了质量的定义，从而我们得到以下气体模型的干燥度方程：

$A_1\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+A_{2}X+A_3=0---\left(8\right)$

在该方程中，

$A_1=H_s-H_w+R{\mathrm{\υ}}_m,A_2=(C_{P_S}-C_{P_W})\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-(C_{J_S}{C}_{P_S}-C_{J_w}{C}_{P_W})\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}},$

$A_3=C_{P_W}\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}-(C_{J_w}{C}_{P_W}+{\mathrm{\υ}}_{m}S)\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}-g\cos \mathrm{\θ}+\frac{1}{M}(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}+\frac{{\mathrm{\τ}}_f{\mathrm{\υ}}_m}{\mathrm{dz}})$

井筒传热：注意，假定从管道到第二接触面的传热是稳定的(参见图2)。它遵循

$\frac{\mathrm{dZ}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\π}{D}_{\mathrm{to}}{U}_{\mathrm{to}}(T-T_{\mathrm{ref}})---\left(9\right)$

第二接触面到周围地层的径向传热为：

$\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}=\frac{\mathrm{\π}{K}_e}{f\left(t_D\right)}(T_{\mathrm{ref}}-T_e)---\left(10\right)$

结合方程(9)和(10)，从而得出蒸汽流和周围地层之间的传热模型量，如下所示：

$\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}=\frac{\mathrm{\π}{D}_{\mathrm{to}}{U}_{\mathrm{to}}{K}_e}{0.5D_{\mathrm{to}}{U}_{\mathrm{to}}f\left(t_D\right)+K_e}(T-T_e)---\left(11\right)$

若α＝πD_toU_toK_e/(0.5D_toU_tof(t_D)+K_e)，则

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提出一种油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，解决传统方案中对干度、温度及压力预测不准确的问题。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，包括：

A.构建地层传热模型；

B.构建微分方程耦合模型；

C.对微分方程耦合模型进行求解。

进一步的，步骤A中基于从第二接触面到地层不稳定传热的假设，构建地层传热模型，具体包括：

$\frac{\∂T_e}{\∂t}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂T_e}{\∂r})---\left(12\right)$

初始条件：

T_e＝T_α+γ^Z，若t＝0.

边界条件：

$\frac{\∂T_e}{\∂r}=0,\mathrm{if\; r}\→\∞$

$\mathrm{dQ}=-2\mathrm{\π}{r}_{\mathrm{cem}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}\frac{\∂T_e}{\∂r}\mathrm{dz}{|}_{r=r_{\mathrm{cem}}}$

把无因次量和代入方程(12)，得

$\frac{\∂T_e}{\∂t_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{\∂T_e}{\∂r_D})---\left(13\right)$

边界条件转化为：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D}{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}{\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}---\left(14\right)$

饱和饱和蒸汽温度和压力之间的关系：

$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}---\left(15\right).$

进一步的，步骤B中，所述微分方程耦合模型考虑了摩阻损失及井筒-地层非稳态传热，构建的微分方程耦合模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}={\mathrm{\ρ}}_{m}g\cos \mathrm{\θ}-p_m{\mathrm{\υ}}_m(R\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}-S\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}})-f_m\frac{p_m{\mathrm{\υ}}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+A_{2}X+A_3=0\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}\\ \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ \frac{\∂T_e}{{\∂t}_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{\∂T_e}{\∂r_D})\end{array}\right.---\left(16\right).$

进一步的，步骤C中，在求解模型前，对模型中的参数进行如下处理：

1)蒸汽速度V_m:

${\mathrm{\υ}}_m={\mathrm{\υ}}_s+{\mathrm{\υ}}_w=\frac{\mathrm{MX}}{{\mathrm{\ρ}}_{s}A}+\frac{M(1-X)}{{\mathrm{\ρ}}_{w}A}---\left(17\right);$

2)蒸汽密度Pm:由于水蒸汽气流是气液两相流，因此应用Beggs-Brill方法来计算混合物的平均密度；

3)摩擦力T_f：

${\mathrm{\τ}}_f=\frac{1}{4}\mathrm{\π}{f}_m{r}_{\mathrm{ti}}{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m^2\mathrm{dz}---\left(18\right);$

4)气液混合物的摩阻因子f_m，f_m是关于雷诺数和绝对糙度e的函数，

$f_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{Re}}{64}& \mathrm{if\; Re}\≤2000\\ {[1.14-2\ln (\frac{\mathrm{\ϵ}}{2r_{\mathrm{ti}}}+21.25{\mathrm{Re}}^{-0.9})]}^{-2}& \mathrm{if\; Re}>2000\end{array}\right.---\left(19\right);$

5)传热系数U_to：

$\frac{1}{U_{\mathrm{to}}}=r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ins}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{ci}}}{r_{\mathrm{to}}}\right)+\frac{1}{h_c+h_r}+r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{cem}}}{r_{\mathrm{co}}}\right)---\left(20\right)$

其中，λ_ins和λ_cem分别为绝热材料和水泥环的热导率。hc和hr分别为对流传热系数和辐射传热系数；

6)无量纲时间函数：

$f\left(t_D\right)=\left\{\begin{array}{cc}1.1281\sqrt{t_D}(1-0.3\sqrt{t_D})& \mathrm{if}{t}_D\≤1.5\\ (0.5\ln \left(t_D\right)+0.4063)(1+\frac{0.6}{t_D})& \mathrm{if}{t}_D>1.5\end{array}\right.---\left(21\right).$

进一步的，步骤C中，采用交互式四阶龙格-库塔有限差分法对微分方程耦合模型进行求解，包括：

步骤1.分别给出θ₀，T₀,P₀,X₀,Q₀和T_e0初始值；

步骤2.计算耦合模型中的所有系数；

步骤3.使微分法转化为函数f_i(i＝1，2，3，4)，可得到以下耦合函数***：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={\mathrm{\ρ}}_{m}g\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m(R{f}_2-S{f}_1)-f_m\frac{{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1{f}_2+A_{2}X+A_3=0\\ f_3=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ f_4=44.15P^{-0.79}{f}_1\end{array}\right.---\left(22\right)$

步骤4.求解前面的方程组得P_k,X_k,Q_k,T_k,和T_ek，可得出系数：

a_i＝f_i(P_k，X_k，Q_k，T_k)，j＝1，2，3，4；

步骤5.使通过解以下方程得到Te，

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂T_e}{\∂t_D}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e{\mathrm{\ρ}}_e}}\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{r_D{C}_{P_e{\mathrm{\ρ}}_e}}\frac{\∂T_e}{\∂r_D}=0\\ T_e{|}_{t_D=0}=T_0+\mathrm{\γz}\\ \frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}=-\mathrm{\α}(T-T_e){\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}\right.---\left(23\right)$

当时间j，径向i在深度z时，T^j _i表示温度，i＝1；2…M,j＝1,2…N；其中M和N分别表示时间和径向的最后一个节点；采用有限差分法对方程(23)进行离散可得：

在该方程中，τ表示时间间隔，ζ表示径向间隔；它可以转换成标准形式，如下：

然后使用差分法离散边界条件；若rD＝1，则：

$\frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}-\frac{\mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}{T}_e{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{\αT}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}---\left(26\right)$

它满足

若rD＝N，则：

$T_N^{i+1}-T_{N-1}^{i+1}=0---\left(28\right)$

结合方程式(25)、(27)和(28)，可计算出地层温度Te的数值解；

步骤6.当rD＝1时，把Te代入方程***(23)，可得到：

$b_j=f_j(P_k+\frac{h{a}_1}{2},X_k+\frac{h{a}_2}{2},Q_k+\frac{h{a}_3}{2},T_k+\frac{h{a}_4}{2})$

步骤7.计算 $c_j=f_j(P_k+\frac{h{b}_1}{2},X_k+\frac{h{b}_2}{2},Q_k+\frac{h{b}_3}{2},T_k+\frac{h{b}_3}{2})$ 和

d_j＝f_j(P_k+hc₁，X_k+hc₂，Q_k+hc₃，T_k+hc₄)(j＝1，2，3，4)

步骤8.在(K+1)这一点上计算气液混合物，气体的干度、压力和温度可得：

$P_{k+1}=P_k+\frac{h(a_1+2b_1+2c_1+d_1)}{6},X_{k+1}=X_k+\frac{h(a_2+2b_2+2c_2+d_2)}{6},$

$Q_{k+1}=Q_k+\frac{h(a_3+2b_3+2c_3+d_3)}{6},T_{k+1}=T_k+\frac{h(a_4+2b_4+2c_4+d_4)}{6}.$

步骤9.把T＝T_k+1代入方程(23)的边界条件，通过有限差分法可得T_e，_k+1；

步骤10.重复步骤2-9,直到计算出P_nX_nQ_n,T_n和T_en。

本发明的有益效果是：在建立耦合模型时，考虑了由摩阻产生的蒸汽内能变化和周围环境的热传递导致的地层温度会因井筒和地层之间传热的变化，从而精确预测超深井干度、温度、压力分布情况。

附图说明

图1为微元体的受力分析图；

图2为井筒结构示意图；

图3为本发明预测方法流程图；

图4为蒸汽的压力随注入时间的变化曲线图；

图5为蒸汽的干度随注入时间的变化曲线图；

图6为井眼内的温度随注入时间的变化曲线图；

图7为底层温度随注入时间的变化曲线图。

具体实施方式

本发明旨在提出一种油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，解决传统方案中对干度、温度及压力预测不准确的问题。

如图3所示，该预测方法包括：

A.构建地层传热模型；

B.构建微分方程耦合模型；

C.对微分方程耦合模型进行求解。

下面从具体实施上针对每一步骤进行详细说明：

地层传热：根据从第二接触面到地层不稳定传热的假设，我们得出以下地层传热模型：

$\frac{\∂T_e}{\∂t}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂T_e}{\∂r})---\left(12\right)$

初始条件：

T_e＝T_α+γ^Z，若t＝0.

边界条件：

$\frac{\∂T_e}{\∂r}=0,\mathrm{if\; r}\→\∞$

$\mathrm{dQ}=-2\mathrm{\π}{r}_{\mathrm{cem}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}\frac{\∂T_e}{\∂r}\mathrm{dz}{|}_{r=r_{\mathrm{cem}}}$

把无因次量和代入方程(12)，得

$\frac{\∂T_e}{\∂t_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{\∂T_e}{\∂r_D})---\left(13\right)$

边界条件转化为：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D}{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}{\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}---\left(14\right)$

此外，倪等(2005)提出了饱和蒸汽温度和压力之间的关系：

$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}---\left(15\right)$

微分耦合模型构建：本发明为预测高温高压油气井注气过程中干度、温度、压力分布提出一种考虑了摩阻损失及井筒-地层非稳态传热的微分方程耦合***模型:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}={\mathrm{\ρ}}_{m}g\cos \mathrm{\θ}-p_m{\mathrm{\υ}}_m(R\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}-S\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}})-f_m\frac{p_m{\mathrm{\υ}}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+A_{2}X+A_3=0\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}\\ \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ \frac{\∂T_e}{{\∂t}_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{\∂T_e}{\∂r_D})\end{array}\right.---\left(16\right)$

交互式四阶龙格-库塔有限差分法：在提出求解模型前，部分参数作如下处理：

(1)蒸汽速度V_m.

${\mathrm{\υ}}_m={\mathrm{\υ}}_s+{\mathrm{\υ}}_w=\frac{\mathrm{MX}}{{\mathrm{\ρ}}_{s}A}+\frac{M(1-X)}{{\mathrm{\ρ}}_{w}A}---\left(17\right)$

(2)蒸汽密度Pm.因为水蒸汽气流是气液两相流，我们应用Beggs-Brill(Beggs and Brill,1973)方法来计算混合物的平均密度。

(3)摩擦力T_f。它可以由下列方程计算:

${\mathrm{\τ}}_f=\frac{1}{4}\mathrm{\π}{f}_m{r}_{\mathrm{ti}}{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m^2\mathrm{dz}---\left(18\right)$

(4)气液混合物的摩阻因子f_m。f_m是关于雷诺数和绝对糙度e的函数，

$f_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{Re}}{64}& \mathrm{if\; Re}\≤2000\\ {[1.14-2\ln (\frac{\mathrm{\ϵ}}{2r_{\mathrm{ti}}}+21.25{\mathrm{Re}}^{-0.9})]}^{-2}& \mathrm{if\; Re}>2000\end{array}\right.---\left(19\right)$

(5)传热系数U_to(从井筒轴的不同位置到第二接触面)。

$\frac{1}{U_{\mathrm{to}}}=r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ins}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{ci}}}{r_{\mathrm{to}}}\right)+\frac{1}{h_c+h_r}+r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{cem}}}{r_{\mathrm{co}}}\right)---\left(20\right)$

方程(20)的右半部分是绝缘管的热阻，分别为靶腔和水泥环。λ_ins和λ_cem分别为绝热材料和水泥环的热导率。hc和hr分别为对流传热系数和辐射传热系数。

(6)无量纲时间函数。它可以由方程(21)来计算。

$f\left(t_D\right)=\left\{\begin{array}{cc}1.1281\sqrt{t_D}(1-0.3\sqrt{t_D})& \mathrm{if}{t}_D\≤1.5\\ (0.5\ln \left(t_D\right)+0.4063)(1+\frac{0.6}{t_D})& \mathrm{if}{t}_D>1.5\end{array}\right.---\left(21\right)$

由于微分方程耦合***模型不仅包含常微分方程，而且包含偏微分方程，所以我们提出交互式四阶龙格-库塔有限差分法来解决问题。详细算法可以归纳为以下方式:

步骤1.分别给出θ₀，T₀,P₀,X₀,Q₀和T_e0初始值。

步骤2.计算耦合***中的所有系数。

步骤3.使微分法转化为函数f_i(i＝1，2，3，4)。然后我们得到以下耦合函数***:

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={\mathrm{\ρ}}_{m}g\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m(R{f}_2-S{f}_1)-f_m\frac{{\mathrm{\ρ}}_m{\mathrm{\υ}}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1{f}_2+A_{2}X+A_3=0\\ f_3=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ f_4=44.15P^{-0.79}{f}_1\end{array}\right.---\left(22\right)$

步骤4.求解前面的方程组得P_k,X_k,Q_k,T_k,和T_ek，然后我们得出系数

a_i＝f_i(P_k，X_k，Q_k，T_k)，j＝1，2，3，4。

步骤5.使然后通过解以下方程我们得到Te，

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂T_e}{\∂t_D}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e{\mathrm{\ρ}}_e}}\frac{{\∂}^2{T}_e}{\∂r_D^2}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{r_D{C}_{P_e{\mathrm{\ρ}}_e}}\frac{\∂T_e}{\∂r_D}=0\\ T_e{|}_{t_D=0}=T_0+\mathrm{\γz}\\ \frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}=-\mathrm{\α}(T-T_e){\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}\right.---\left(23\right)$

当时间j，径向i在深度z时，T^j _i表示温度，i＝1；2…M,j＝1,2…N。其中M和N分别表示时间和径向的最后一个节点。我们应用有限差分法对方程(23)进行离散可得：

在该方程中，τ表示时间间隔，ζ表示径向间隔。它可以转换成标准形式，如下：

然后使用差分法离散边界条件。若rD＝1，则：

$\frac{\∂T_e}{\∂r_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}-\frac{\mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}{T}_e{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{\αT}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}---\left(26\right)$

它满足

若rD＝N，则：

$T_N^{i+1}-T_{N-1}^{i+1}=0---\left(28\right)$

结合方程式(25)、(27)和(28)，我们可以计算出地层温度Te的数值解。

步骤6.当rD＝1时，把Te代入方程***(23)，我们得到：

$b_j=f_j(P_k+\frac{h{a}_1}{2},X_k+\frac{h{a}_2}{2},Q_k+\frac{h{a}_3}{2},T_k+\frac{h{a}_4}{2})$

步骤7.用类似的方法计算 $c_j=f_j(P_k+\frac{h{b}_1}{2},X_k+\frac{h{b}_2}{2},Q_k+\frac{h{b}_3}{2},T_k+\frac{h{b}_3}{2})$ 和

d_j＝f_j(P_k+hc₁，X_k+hc₂，Q_k+hc₃，T_k+hc₄)(j＝1，2，3，4)

步骤8.在(K+1)这一点上计算气液混合物，气体的干度、压力和温度可得：

$P_{k+1}=P_k+\frac{h(a_1+2b_1+2c_1+d_1)}{6},X_{k+1}=X_k+\frac{h(a_2+2b_2+2c_2+d_2)}{6},$

$Q_{k+1}=Q_k+\frac{h(a_3+2b_3+2c_3+d_3)}{6},T_{k+1}=T_k+\frac{h(a_4+2b_4+2c_4+d_4)}{6}.$

步骤9.把T＝T_k+1代入方程(23)的边界条件，通过有限差分法我们可得T_e，k+1。

步骤10.重复步骤2-9,直到计算出P_nX_nQ_n,T_n和T_en。

实施例：以Y高温高压气井为例，利用以上建立的模型，对注气过程中的干度、压力、温度等参数进行计算。如上述模型分析以及求解过程所述，要将井段从底部开始剖分成若干单元，时间也要做类似划分，再按照上述的计算步骤进行计算。

相关参数及测量数据：内部流体密度为1000kg/m3；外部流体密度为1000kg/m3；深度为7100米；地面温度为20c；地面热导率参数为2.06；地面温度梯度为0.0218₁c/m；每段的长度为1m.此外，管道参数、斜井参数、倾斜、方位和垂直深度参数分别在表1，表2和表3中列出。

表1

表2

表3

计算结果趋势分析：基于龙格-库塔法和有限差分法，我们得到一系列关于该井的结果。蒸汽干度、井筒的压力和温度以及地层温度如表4所示。

表4

灵敏度分析：主要结果如图4、5、6、7所示。蒸汽的压力、温度和干度随着注入时间的增加而增大。事实上，它变得接近实际情况。随着注入蒸汽数量的增加，井筒中的水逐渐减少，所以蒸汽的干燥度增加。与此同时，随着传热的增加，地层的温度也会增加，但是增加的速度变得缓慢。为了研究气液混合物注入量和地面温度梯度对气体干燥度、压力和温度的影响，我们使用不同的气液混合物注入量和地面温度梯度重做以前的计算。

Claims (5)

1.油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，其特征在于，包括：

A.构建地层传热模型；

B.构建微分方程耦合模型；

C.对微分方程耦合模型进行求解。

2.如权利要求1所述的油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，其特征在于，

步骤A中基于从第二接触面到地层不稳定传热的假设，构建地层传热模型，具体包括：

$\frac{\∂T_e}{\∂t}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{\mathrm{Pe}}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\∂T_e}{\∂r})---\left(12\right)$

初始条件：

T_e＝T_α+γz，若t＝0.

边界条件：

$\frac{{\∂T}_e}{\∂r}=0,\mathrm{if\; r}\→\∞$

$\mathrm{dQ}=-2{\mathrm{\πr}}_{\mathrm{cem}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}\frac{{\∂T}_e}{\∂r}\mathrm{dz}{|}_{r=r_{\mathrm{cem}}}$

把无因次量 $r_D=\frac{r}{r_{\mathrm{cem}}}$ 和 $t_D=\frac{{\mathrm{\λ}}_{e}t}{r_{\mathrm{cem}}^2}$ 代入方程(12)，得

$\frac{\∂T_e}{{\∂t}_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{\mathrm{Pe}}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_D})---\left(13\right)$

边界条件转化为：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}_D}{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}{\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}_D}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}---\left(14\right)$

饱和饱和蒸汽温度和压力之间的关系：

$\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}---\left(15\right).$

3.如权利要求2所述的油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，其特征在于，

步骤B中，所述微分方程耦合模型考虑了摩阻损失及井筒-地层非稳态传热，构建的微分方程耦合模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\ρ}\mathrm{mg}\cos \mathrm{\θ}-p_m{\mathrm{\υ}}_m(R\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}-S\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}})-f_m\frac{p_m{v}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dz}}+A_{2}X+A_3=0\\ \frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dz}}=44.15P^{-0.79}\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dz}}\\ \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dz}}=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ \frac{{\∂T}_e}{{\∂t}_D}=\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{\mathrm{Pe}}{\mathrm{\ρ}}_e}(\frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}_D^2}+\frac{1}{r_D}\frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_D})\end{array}\right..---\left(16\right)$

4.如权利要求3所述的油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，其特征在于，

步骤C中，在求解模型前，对模型中的参数进行如下处理：

1)蒸汽速度V_m:

$v_m=v_s+v_w=\frac{\mathrm{MX}}{{\mathrm{\ρ}}_{s}A}+\frac{M(1-X)}{{\mathrm{\ρ}}_{w}A}---\left(17\right);$

2)蒸汽密度Pm:由于水蒸汽气流是气液两相流，因此应用Beggs-Brill方法来计算混合物的平均密度；

3)摩擦力T_f：

${\mathrm{\τ}}_f=\frac{1}{4}\mathrm{\π}{f}_m{r}_{\mathrm{ti}}{\mathrm{\ρ}}_m{v}_m^2\mathrm{dz}---\left(18\right);$

4)气液混合物的摩阻因子f_m，f_m是关于雷诺数和绝对糙度e的函数，

$f_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{Re}}{64}& \mathrm{if\; Re}\≤2000\\ [1.14-2\ln {(\frac{\mathrm{\ϵ}}{{2r}_{\mathrm{ti}}}+21.25{\mathrm{Re}}^{-0.9})]}^{-2}& \mathrm{if\; Re}>2000\end{array}\right.---\left(19\right);$

5)传热系数U_to：

$\frac{1}{U_{\mathrm{to}}}=r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ins}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{ci}}}{r_{\mathrm{to}}}\right)+\frac{1}{h_c+h_r}+r_{\mathrm{ti}}\·\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{cem}}}\ln \left(\frac{r_{\mathrm{cem}}}{r_{\mathrm{co}}}\right)---\left(20\right)$

其中，λ_ins和λ_cem分别为绝热材料和水泥环的热导率；hc和hr分别为对流传热系数和辐射传热系数；

6)无量纲时间函数：

$f\left(t_D\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1.1281\sqrt{t_D}(1-0.3\sqrt{t_D})& \mathrm{if}& t_D\≤1.5\\ (0.5\ln \left(t_D\right)+0.4063)(1+\frac{0.6}{t_D})& \mathrm{if}& t_D>1.5\end{array}\right.---\left(21\right).$

5.如权利要求4所述的油气井注气过程中干度、温度及压力耦合预测方法，其特征在于，

采用交互式四阶龙格-库塔有限差分法对微分方程耦合模型进行求解，包括：

步骤1.分别给出θ₀，T₀,P₀,X₀,Q₀和T_e0初始值；

步骤2.计算耦合模型中的所有系数；

步骤3.使微分法转化为函数f_i(i＝1，2，3，4)，可得到以下耦合函数***：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={\mathrm{\ρ}}_{m}g\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ρ}}_m{v}_m(R{f}_2-S{f}_1)-f_m\frac{{\mathrm{\ρ}}_m{v}_m^2}{4r_{\mathrm{ti}}}\\ A_1{f}_2+A_{2}X{+A}_3=0\\ f_3=\mathrm{\α}(T-T_e)\\ f_4=44.15P^{-0.79}{f}_1\end{array}\right.---\left(22\right)$

步骤4.求解前面的方程组得P_k,X_k,Q_k,T_k,和T_ek，可得出系数：

a_j＝f_i(P_k，X_k，Q_k，T_k)，j＝1，2，3，4；

步骤5.使通过解以下方程得到Te，

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂T_e}{{\∂t}_D}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{C_{P_e\mathrm{\ρe}}}\frac{{\∂}^2{T}_e}{{\∂r}_D^2}-\frac{{\mathrm{\λ}}_e}{r_D{C}_{P_e\mathrm{\ρe}}}\frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_D}=0\\ T_e{|}_{t_D=0}=T_0+\mathrm{\γz}\\ \frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}=-\mathrm{\α}(T-T_e){\left(2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e\right)}^{-1}\\ \frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_{D_e}}{|}_{r_D\→\∞}=0\end{array}\right.---\left(23\right)$

当时间j，径向i在深度z时，T^j _i表示温度，i＝1；2…M,j＝1,2…N；其中M和N分别表示时间和径向的最后一个节点；采用有限差分法对方程(23)进行离散可得：

在该方程中，τ表示时间间隔，ζ表示径向间隔；它可以转换成标准形式，如下：

然后使用差分法离散边界条件；若rD＝1，则：

$\frac{{\∂T}_e}{{\∂r}_{\mathrm{De}}}{|}_{r_D=1}-\frac{\mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}{T}_e{|}_{r_D=1}=-\frac{\mathrm{\αT}}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\λ}}_e}---\left(26\right)$

它满足

若rD＝N，则：

$T_N^{i+1}-T_{N-1}^{i+1}=0---\left(28\right)$

结合方程式(25)、(27)和(28)，可计算出地层温度Te的数值解；

步骤6.当rD＝1时，把Te代入方程***(23)，可得到：

$b_j=f_j(P_k+\frac{{\mathrm{ha}}_1}{2},X_k+\frac{{\mathrm{ha}}_2}{2},Q_k+\frac{{\mathrm{ha}}_3}{2},T_k+\frac{{\mathrm{ha}}_4}{2})$

步骤7.计算 $c_j=f_j(P_k+\frac{{\mathrm{hb}}_1}{2},X_k+\frac{{\mathrm{hb}}_2}{2},Q_k+\frac{{\mathrm{hb}}_3}{3},T_k+\frac{{\mathrm{hb}}_4}{2})$ 和

$d_j=f_j(P_k+{\mathrm{hc}}_1,X_k+{\mathrm{hc}}_2,Q_k+{\mathrm{hc}}_3,T_k+{\mathrm{hc}}_4)(j=\mathrm{1,2,3,4})$ 步骤8.在(K+1)这一点上计算气液混合物，气体的干度、压力和温度可得：

$P_{k+1}=P_k+\frac{h(a_1+{2b}_1+{2c}_1+d_1)}{6},X_{k+1}=X_k+\frac{h(a_2+{2b}_2+{2c}_2+d_2)}{6},$

$Q_{k+1}=Q_k+\frac{h(a_3+{2b}_3+{2c}_3+d_3)}{6},T_{k+1}=T_k+\frac{h(a_4+{2b}_4+{2c}_4+d_4)}{6},$

步骤9.把T＝T_k+1代入方程(23)的边界条件，通过有限差分法可得T_e，k+1；

步骤10.重复步骤2-9,直到计算出P_nX_nQ_n,T_n和T_en。