CN104950821B - 一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法 - Google Patents

Abstract

一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，本发明涉及数控***速度规划方法。本发明是要解决现有的速度规划方法导致机床产生剧烈振动、计算量巨大，编程复杂以及出现加速度突变，产生刚性冲击的问题。本发明是通过1、利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数；2、求得t₁、t₂和t₃对应的名义加速度分别为a₁、a₂和a₃；3、得到所需的加速段速度规划曲线；4、计算总位移增量；5、根据公式(3)求得位移为D(m)；6、被控对象未达到最大速度V_max则从减速点第i步开始减速直到速度为0；7、从减速点第j步开始减速到速度为0；8、被控对象按照类S型曲线进行减速到速度为0等步骤实现的。本发明应用于数控***速度规划领域。

Description

一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法

技术领域

本发明涉及数控***速度规划方法，特别涉及一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法。

背景技术

速度规划是数控***的核心技术。常用的速度规划方法有梯形速度规划方法，S型曲线速度规划方法，指数型速度规划方法等。梯形速度规划方法虽然计算量小，编程简单，但是在加减速阶段存在加速度突变的现象，导致机床产生剧烈振动，不适合于高速高精度加工。常用S型曲线速度规划方法通过限制加加速度来控制加速度的突变现象，然而传统的S形曲线速度规划方法利用多项式表示法将整个速度规划分为7个阶段，然后在每个阶段内进行讨论，在实现过程中不仅要对相邻阶段之间要进行边界判断，还要判断在实际运动中有几个阶段存在，比如运动距离很小(几毫米)，那么就有匀速等一个或几个阶段不存在，所以计算量巨大，编程复杂。同样的指数型速度规划方法，在加减速切换的瞬间会出现加速度突变，产生刚性冲击，不适合于高速高精度场合。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有的速度规划方法导致机床产生剧烈振动、计算量巨大，编程复杂以及出现加速度突变，产生刚性冲击的问题而提出的一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、根据被控对象运动时间t，利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数：

其中，h为时间步长，j为连加运算∑的索引，分数阶积分的次数为α；c为微积分起始时间，通常c＝0；当α>0时为分数阶微分运算，α<0时为分数阶积分运算；

步骤二、将被控对象加速段运动时间T分为三段分别为t₁、t₂和t₃，并且t₁、t₂和t₃分别对应的名义加速度分别为a₁、a₂和a₃；其中，a₁、a₂和a₃的约束是a₂>a₁>0,a₃<0；

步骤三、令α<0，利用公式(2)对名义加速度a₁,a₂,a₃进行分数阶积分，即得到所需的加速段速度规划曲线，此曲线为类S型曲线；

步骤四、被控对象第i个运动周期的速度为v(i)，运动周期即时间步长为h；位移增量为d(i)则到第N周期结束，即总位移增量；

步骤五、t₁时刻达到最大速度V_max，第N周期走过的步数为m＝t₁/h，利用m＝N根据公式(3)求得位移为D(m)；

步骤六、被控对象按照类S型曲线进行运动，若行程s<D(m)时，被控对象未达到最大速度V_max则从减速点第i步开始减速直到速度为0，满足s/2＝D(i)；

步骤七、被控对象按照类S型曲线进行运动；若行程s>D(m)时，被控对象达到了最大速度V_max后，经过匀速V_max过程后再从减速点第j步开始减速到速度为0，减速点满足s-D(j)＝D(m)；

步骤八、若行程s＝D(m)时，被控对象达到最大速度V_max后，被控对象按照类S型曲线进行减速到速度为0；即完成了一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法。

发明效果

针对现有技术中存在的不足之处，本发明提供一种数控***速度曲线规划的新方法，实现被控对象的平稳加减速。所采用的技术为分数阶微积分技术。本发明采用的分数阶微积分是对整数阶微积分的广义推广。它的研究几乎同时于传统的牛顿微积分体系，历史上许多大数学家都对此进行过相关研究。人们从各自领域出发曾经给出了多种定义，其中最适合我们本发明研究的是Grünwald-Letnikov(G-L)定义。

本发明采用的分数阶微积分具有记忆性和非局部性，能够很好地对数据进行平滑，做到精细化。采用分数阶微积分技术对加速度进行积分，可以得到平滑的加减速速度曲线，实现平稳速度规划的要求。如图3c所示在长行程下的加减速曲线，拥有完整的加速阶段，匀速阶段和减速阶段。

附图说明

图1为具体实施方式一提出的名义加速度示意图；

图2为具体实施方式一提出的速度规划曲线示意图；

图3a为具体实施方式一提出的不同程下的加减速曲线示意图；

图3b为具体实施方式一提出的不同程下的加减速曲线示意图；

图3c为具体实施方式一提出的不同程下的加减速曲线示意图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，具体是按照以下步骤制备的：

一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法利用分数阶微积分的记忆特性，对预定义的名义加速度进行一次分数阶积分，即可得到平滑的加减速速度规划曲线

步骤一、根据被控对象运动时间t，利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数：

其中，h为时间步长，j为连加运算∑的索引，分数阶积分的次数为α；c为微积分起始时间，通常c＝0；当α>0时为分数阶微分运算，α<0时为分数阶积分运算；本发明即是利用公式(2)对被积函数进行分数阶积分得到期望的加减速曲线的；

步骤二、将被控对象加速段运动时间T分为三段分别为t₁、t₂和t₃，并且t₁、t₂和t₃分别对应的名义加速度分别为a₁、a₂和a₃；其中，a₁、a₂和a₃的约束是a₂>a₁>0,a₃<0；

步骤三、令α<0，利用公式(2)对名义加速度a₁,a₂,a₃进行分数阶积分，即得到所需的加速段速度规划曲线，此曲线为类S型曲线，最终整个过程的加速段速度规划曲线见图2；

步骤四、速度规划共分为三个阶段：加速阶段、匀速阶段和减速阶段；减速阶段与加速阶段是镜像的逆过程，而匀速阶段为以最大速度V_max匀速运行，直到到达减速点；如此，整个速度规划即是对加速阶段的规划，下面介绍加速阶段速度规划方法；加速阶段速度规划有两个性能指标：一是加速时间T，二是最大速度V_max，这两个参数作为用户的输入，是已知参量；然后是定义加速阶段的名义加速度，如图1所示；实际运动过程中，需要根据行程的大小，被控对象第i个运动周期的速度为v(i)，运动周期即时间步长为h；位移增量为d(i)(位移增量就是每一步的走的位移，所以总位移增量为位移增量之和)，则到第N周期结束，即总位移增量；

步骤五、图2所示，t₁时刻达到最大速度V_max，第N周期走过的步数为m＝t₁/h，利用m＝N根据公式(3)求得位移为D(m)；

步骤六、被控对象按照类S型曲线进行运动，若行程s<D(m)时，被控对象未达到最大速度V_max则从减速点第i步开始减速直到速度为0，满足s/2＝D(i)；如图3a所示为短行程下的加减速曲线，此时没有达到最大速度就开始减速；

步骤七、被控对象按照类S型曲线进行运动；若行程s>D(m)时，被控对象达到了最大速度V_max后，经过匀速V_max过程后再从减速点第j步开始减速到速度为0，减速点满足s-D(j)＝D(m)(s-D(j)＝D(m)根据速度规划曲线加速段与减速段是对称镜像的)；如图3c为长行程下的加减速曲线，拥有完整的加速阶段，匀速阶段和减速阶段；

步骤八、若行程s＝D(m)时，被控对象达到最大速度V_max后，被控对象按照类S型曲线进行减速到速度为0如图3b为刚好达到最大速度，但是没有匀速阶段，直接进入减速阶段；即完成了一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法。

本实施方式效果：

针对现有技术中存在的不足之处，本实施方式提供一种数控***速度曲线规划的新方法，实现被控对象的平稳加减速。所采用的技术为分数阶微积分技术。本实施方式采用的分数阶微积分是对整数阶微积分的广义推广。它的研究几乎同时于传统的牛顿微积分体系，历史上许多大数学家都对此进行过相关研究。人们从各自领域出发曾经给出了多种定义，其中最适合我们本实施方式研究的是Grünwald-Letnikov(G-L)定义。

本实施方式采用的分数阶微积分具有记忆性和非局部性，能够很好地对数据进行平滑，做到精细化。采用分数阶微积分技术对加速度进行积分，可以得到平滑的加减速速度曲线，实现平稳速度规划的要求。如图3c所示在长行程下的加减速曲线，拥有完整的加速阶段，匀速阶段和减速阶段。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中根据被控对象运动时间t，利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数具体过程为：

(1)对于连续函数y＝f(t)，根据经典的求导公式，函数y＝f(t)的一阶求导公式为：

其物理意义可以理解为上述函数的变化率；

(2)根据步骤(1)得到的f'(t)求导为二阶导数具体为：

其物理意义可以理解为曲线的曲率或者某个物理量的加速度；

(3)根据步骤(2)得到的f″(t)求导为三阶导数具体为：

(4)利用数学归纳法，根据步骤(1)～(3)的推导过程推导出f(t)的n阶导数具有以下形式：

其中，

由此，推论到分数阶导数如下：

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中令α<0，步骤二中定义的名义加速度的数学表达式为：

利用公式(2)对名义加速度a(t)进行α阶分数阶积分，即可得到加速段的速度规划曲线。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤三中α设定为-1～-2之间调整，以得到满足需要的加速段速度规划曲线。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

Claims (4)

1.一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，其特征在于一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、根据被控对象运动时间t，利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数：

$D_t^{\mathrm{\&alpha;}}{}_{c}f\left(t\right)=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{1}{h^{\mathrm{\&alpha;}}}\underset{j=0}{\overset{\&lsqb;(t-c)/h\&rsqb;}{\&Sigma;}}{(-1)}^j\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}\\ j\end{array}\right)f(t-jh)---\left(2\right);$

其中，h为时间步长，j为连加运算∑的索引，分数阶积分的次数为α；c为微积分起始时间，通常c＝0；当α>0时为分数阶微分运算，α<0时为分数阶积分运算；

步骤二、将被控对象加速段运动时间T分为三段分别为t₁、t₂和t₃，并且t₁、t₂和t₃分别对应的名义加速度分别为a₁、a₂和a₃；其中，a₁、a₂和a₃的约束是a₂>a₁>0,a₃<0；

步骤三、令α<0，利用公式(2)对名义加速度a₁,a₂,a₃进行分数阶积分，即得到所需的加速段速度规划曲线，此曲线为类S型曲线；

步骤四、被控对象第i个运动周期的速度为v(i)，运动周期即时间步长为h；位移增量为d(i)则到第N周期结束，即总位移增量；

$D\left(N\right)=h\underset{i=0}{\overset{N}{\&Sigma;}}v\left(i\right)---\left(3\right);$

步骤五、t₁时刻达到最大速度V_max，第N周期走过的步数为m＝t₁/h，利用m＝N根据公式(3)求得位移为D(m)；

步骤六、被控对象按照类S型曲线进行运动，若行程s<D(m)时，被控对象未达到最大速度V_max则从减速点第i步开始减速直到速度为0，满足s/2＝D(i)；

步骤七、被控对象按照类S型曲线进行运动；若行程s>D(m)时，被控对象达到了最大速度V_max后，经过匀速V_max过程后再从减速点第j步开始减速到速度为0，减速点满足s-D(j)＝D(m)；

步骤八、若行程s＝D(m)时，被控对象达到最大速度V_max后，被控对象按照类S型曲线进行减速到速度为0；即完成了一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法。

2.根据权利要求1所述一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，其特征在于：步骤一中根据被控对象运动时间t，利用连续函数y＝f(t)，推导分数阶导数具体过程为：

(1)对于连续函数y＝f(t)，根据经典的求导公式，函数y＝f(t)的一阶求导公式为：

$f^{\&prime;}\left(t\right)=\frac{df}{dt}=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f(t-h)}{h};$

(2)根据步骤(1)得到的f'(t)求导为二阶导数具体为：

$f^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)=\frac{d^{2}f}{{\mathrm{dt}}^2}=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f^{\&prime;}\left(t\right)-f^{\&prime;}\left(t-h\right)}{h}=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-2f\left(t-h\right)+f\left(t-2h\right)}{h^2};$

(3)根据步骤(2)得到的f″(t)求导为三阶导数具体为：

$f^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(t\right)=\frac{d^{3}f}{{\mathrm{dt}}^3}=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-3f(t-h)+3f(t-2h)-f(t-3h)}{h^3};$

(4)利用数学归纳法，根据步骤(1)～(3)的推导过程推导出f(t)的n阶导数具有以下形式：

$f^{\left(n\right)}\left(t\right)=\frac{d^{n}f}{{\mathrm{dt}}^n}=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{1}{h^n}\underset{r=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{(-1)}^r\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)f(t-rh)---\left(1\right)$

其中，

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}$

由此，推论到分数阶导数如下：

$D_t^{\mathrm{\&alpha;}}{}_{c}f\left(t\right)=\underset{h\&RightArrow;0}{\lim }\frac{1}{h^{\mathrm{\&alpha;}}}\underset{j=0}{\overset{\&lsqb;(t-c)/h\&rsqb;}{\&Sigma;}}{(-1)}^j\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&alpha;}\\ j\end{array}\right)f(t-jh)---\left(2\right).$

3.根据权利要求1所述一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，其特征在于：步骤三中令α<0，利用公式(2)对名义加速度a₁,a₂,a₃的数学表达式为：

$a\left(T\right)=\left\{\begin{array}{cc}{a}_1& 0\&le;T<t_1\\ a_2& t_1\&le;T<t_2\\ a_3& t_2\&le;T\&le;t_3\end{array}\right.$

利用公式(2)对名义加速度a(t)进行α阶分数阶积分，即可得到加速段的速度规划曲线。

4.根据权利要求1所述一种基于分数阶微积分的数控***速度规划方法，其特征在于：步骤三中α设定为-1～-2之间。