1.一种挠性卫星自适应神经网络滑模姿态控制方法,其特征在于一种挠性卫星自适应神经网络滑模姿态控制方法具体是按照以下步骤进行的:
步骤一、采用混合坐标法建立挠性卫星姿态动力学模型;
步骤二、根据挠性卫星姿态动力学模型,忽略挠性卫星姿态动力学方程中与模态相关的高阶耦合项,考虑卫星作惯性定向飞行,同时采用小角度假设,得到简化后的挠性卫星姿态动力学方程;具体过程为:
(1)、忽略挠性卫星姿态动力学方程中与模态相关的高阶耦合项,将挠性卫星姿态动力学模型简化为:
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>s</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>F</mi>
<mo>+</mo>
<mi>G</mi>
<mi>u</mi>
<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中,
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>G</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>I</mi>
<mi>s</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
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<mi>F</mi>
<mrow>
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<mn>1</mn>
</mrow>
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<msubsup>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
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<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>F</mi>
<mo>=</mo>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>&omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mo>&times;</mo>
</msubsup>
<msub>
<mi>I</mi>
<mi>s</mi>
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<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mi>s</mi>
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<mo>-</mo>
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<mi>&omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mo>&times;</mo>
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<msub>
<mi>R</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>a</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>&omega;</mi>
<mi>a</mi>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>D</mi>
<mo>=</mo>
<mi>G</mi>
<mo>&lsqb;</mo>
<mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>R</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>a</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>a</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>F</mi>
<mi>a</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>a</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>&xi;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<msub>
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<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
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<mn>2</mn>
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<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
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<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
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<msub>
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<mn>2</mn>
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</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
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<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>&xi;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>3</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<msub>
<mi>&eta;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>4</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
D为干扰及不确定性的总和,且D有界;F为未知的非线性项;u为姿态控制器;
(2)、考虑卫星惯性定向飞行,且采用小角度假设,近似的认为卫星角速度ωs近似等于姿态角速度则简化后的挠性卫星姿态动力学方程具体为:
<mrow>
<mover>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>F</mi>
<mo>+</mo>
<mi>G</mi>
<mi>u</mi>
<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
步骤三、根据简化后的挠性卫星姿态动力学方程,利用RBF神经网络设计滑模姿态控制器;具体过程为:
(1)、取滑模函数s为:
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mi>e</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
卫星的期望姿态角Θd为0,误差e=Θd-Θ=-Θ,Θ为卫星的实际姿态角;
(2)、联立式(2-5)和式(2-6)得:
<mrow>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
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<mi>F</mi>
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<mi>u</mi>
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<mi>D</mi>
<mo>+</mo>
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<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
(3)、设计姿态控制器的基本形式为:
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mi>F</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
(4)、采用RBF神经网络对未知的非线性项F进行逼近:
取hj(x)为的高斯基函数形式,则:
F=W*Th(x)+ε (2-9)
式中,x=[x1,x2,…,xr]T为是神经网络的r维输入向量,cj为RBF神经网络中第j个节点的中心向量,cj=[cj1,cj2,…,cjr]T;bj>0为节点j的基宽值,b=[b1,b2,…,bm]T;h(x)=[h1(x),h2(x),…,hj(x),…hm(x)]T为m×1维神经网络径向基向量,m为隐层数;为m×3理想网络权值阵;ε=[ε1,ε2,ε3]T为神经网络逼近误差,且εi有界,i取1、2、3表示卫星的X、Y和Z三通道;将未知的非线性项F作为神经网络的输出;
(5)、将公式(2-9)的网络输入取为则网络输出的估计值为:
<mrow>
<mover>
<mi>F</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,是权值的估计值; 或分别为卫星的X、Y和Z三通道权值的估计值;
(6)、将网络输出的估计值引入姿态控制器u即公式(2-8)中:
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>F</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
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<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
(7)、将控制器代入式(2-7)得
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>F</mi>
<mo>-</mo>
<mi>G</mi>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>F</mi>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>F</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>F</mi>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>F</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
<mo>=</mo>
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<mover>
<mi>F</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>12</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中,
(8)、取第一个Lyapunov函数V1为:
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>s</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>t</mi>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将V1对时间求导得:
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>t</mi>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>F</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
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<mi>&gamma;</mi>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
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<mo>~</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
<mi>T</mi>
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<msub>
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<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
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<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
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</mrow>
</mtd>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
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<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
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<mover>
<mi>W</mi>
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<mi>i</mi>
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<mi>h</mi>
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<mn>1</mn>
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<mn>3</mn>
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<mi>W</mi>
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</mover>
<mi>i</mi>
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<mo>&CenterDot;</mo>
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<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
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</mrow>
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<mtd>
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<mo>=</mo>
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<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
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<mrow>
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<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>+</mo>
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<mi>W</mi>
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<mo>&CenterDot;</mo>
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<mo>&rsqb;</mo>
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<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>14</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中,si为s1、s2或s3;为或
(9)、取自适应律为:
<mrow>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&gamma;</mi>
</mfrac>
<msub>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
则
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>+</mo>
<mi>D</mi>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
如果令η′>|Di|+|εi|,则有***全局渐近稳定;其中,Di为D1、D2或D3;
于是,滑模姿态控制器表示为:
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&gamma;</mi>
</mfrac>
<msub>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>17</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
</mrow>
步骤四、进一步采用RBF神经网络逼近符号函数η′sgn(s),削弱抖振对滑模姿态控制器的影响,得到削弱抖振后的滑模姿态控制器;其中,sgn(s)=[sgn(s1),sgn(s2),sgn(s3)]T,η′为待设计参数且η′>0,s1、s2和s3分别为X、Y和Z三通道的滑模函数;s=[s1,s2,s3]T;s为滑模函数;
步骤四中进一步采用RBF神经网络逼近符号函数η′sgn(s),削弱抖振对姿态控制器的影响具体过程为:
(1)、采用RBF神经网络逼近η′sgn(s),令
H=η′sgn(s) (2-18)
式中,H=[H1,H2,H3]T,Hi=η′sgn(si);理想情况下有:
<mrow>
<msub>
<mi>H</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>W</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>*</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&epsiv;</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>19</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
此时的为逼近符号函数时第i个通道的理想权值向量, 为或εfi>0为逼近符号函数时的神经网络逼近误差,εf=[εf1,εf2,εf3]T;εfi为εf1、εf2或εf3;xfi为逼近符号函数时的神经网络输入;xfi为xf1、xf2或xf3;i取1、2、3表示卫星的X、Y和Z三通道;Hi=H1、H2或H3;
(2)、根据η′sgn(s)的形式,将网络的输入取为xfi=si;H的估计值为:
<mrow>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<msub>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中,为理想权值的估计值;设计姿态控制器为:
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>H</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>21</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中,表示εf的估计值;c为对角阵,是待设计参数;e是卫星姿态误差;
(3)、将上述控制器代入(2-7)得:
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>-</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>+</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>22</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中, 为或 为或
(4)、取第二个Lyapunov函数V2为:
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>s</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>t</mi>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>f</mi>
</msub>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>c</mi>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mn>23</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中,γf和γc为常数且大于0;γ>0为常数;将V2对时间求导得
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>t</mi>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>f</mi>
</msub>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>c</mi>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>s</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
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<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>+</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mi>D</mi>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&gamma;</mi>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>f</mi>
</msub>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mi>c</mi>
</msub>
<msubsup>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>f</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<munderover>
<mi>&Sigma;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mn>3</mn>
</munderover>
<msubsup>
<mover>
<mi>W</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
<mi>T</mi>
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(5)、取自适应律为
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</mrow>
令η′>|Di|+|εi|,有***全局渐近稳定;
得到削弱抖振后的滑模姿态控制器即最终完整的姿态控制器表示为:
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<mfenced open = "{" close = "">
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<mn>27</mn>
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式中,即完成了一种挠性卫星自适应神经网络滑模姿态控制方法。