CN104809276B

CN104809276B - 一种多手指机器人动力学解析模型及其建模方法

Info

Publication number: CN104809276B
Application number: CN201510175658.0A
Authority: CN
Inventors: 赵睿英; 焦生杰; 王欣
Original assignee: Changan University
Current assignee: Changan University
Priority date: 2015-04-14
Filing date: 2015-04-14
Publication date: 2017-09-12
Anticipated expiration: 2035-04-14
Also published as: CN104809276A

Abstract

本发明的提供了一种多手指机器人动力学解析模型及其建模方法，首先建立***约束表达式，获得***虚位移与约束条件的关系；其次，求解虚位移向量通解，并将其带入虚功原理表达式，得到可以简化动力学模型中约束力的关系式；然后，采用简化关系式处理***无约束时的运动方程，结合处理结果和约束表达式构造取代奇异质量矩阵的质量补充矩阵；最后，利用质量补充矩阵求解***质量矩阵奇异时的手指机器人动力学解析模型，得到了质量矩阵奇异时的依然有解的模型。

Description

一种多手指机器人动力学解析模型及其建模方法

技术领域

本发明属于机器人领域，涉及一种多手指机器人，具体涉及一种多手指机器人动力学解析模型及其建模方法。

背景技术

多手指机器人具有仿生的手指设计，多关节手指能够实现多种夹持方式，可在复杂环境中精确地完成各项任务。多手指机器人的数学模型是对其进行控制与应用研究的基础，由于涉及多体建模和接触运动学等理论，动力学建模一直是多手指机器人控制问题的难点之一，也是近年来该领域的热点研究问题。

目前，多手指机器人常采用的建模方法以拉格朗日乘子法为主，利用拉格朗日乘子将手指与抓取对象的约束引入***，建立其受约束条件下的动力学模型。采用此类建模方法时***需满足以下假设条件：(1)抓取力封闭；(2)手指的雅可比矩阵可逆；(3)接触力在摩擦锥内。此外，在研究手指与抓取对象的接触时，需利用局部坐标参数来描述接触点的位置(例如，球面参数可用来表述手指曲面上任意点的位置)，由于***引入了局部坐标参数，其质量矩阵可能出现奇异，目前，拉格朗日乘子法无法直接解决***质量矩阵奇异的建模问题。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明的目的在于，提供一种多手指机器人动力学解析模型，解决多手指机器人与抓取对象之间纯滚动的动力学问题，该模型包含了手指机器人各关节约束力和抓取力的解析模型，为多手指机器人的智能控制算法设计奠定了基础。

本发明的另一个目的在于提供一种多手指机器人动力学解析模型的建模方法，解决了多手指机器人建模过程中质量矩阵奇异时运动方程无解的问题。

为了实现上述技术任务，本发明采用如下技术方案予以实现：

一种多手指机器人动力学解析模型，所述的多手指机器人动力学解析模型为手指与抓取对象之间纯滚动约束条件下的动力学模型，具体模型如下所述：

式中：I为单位矩阵；

q＝[q_f1 q_f2 … q_fl q_o]^T，为***广义坐标向量；

为***广义速度向量；

为***广义加速度向量；

M(q)：＝diag[M_f1，M_f2，…，M_fl，M_o]，为***质量矩阵；

为***约束二阶表达式系数矩阵；

为***约束二阶表达式常数项矩阵；

为***的约束表达式；

为***外力向量；

q_fi为第i根手指子***的坐标参数向量，(i＝1，2，…，l)；

M_fi为第i个手指子***质量矩阵，(i＝1，2，…，l)；

Q_fi为第i个手指子***外力向量，(i＝1，2，…，l)；

q_o为抓取物***坐标参数；

M_o为抓取物***质量矩阵；

Q_o为抓取物***外力向量；

[·]⁺为矩阵[·]的广义逆矩阵；

f表示手指子***，o表示抓取对象子***，l＝2，3，…，n，l表示机器人的手指个数。

一种如上所述的多手指机器人动力学解析模型的建模方法，该方法包括以下步骤：

步骤一，分解多手指机器人与抓取对象***并提出建模设定条件；

步骤二，定义建模基础坐标系和各子***参考坐标系；

步骤三，根据拉格朗日方程建立第i个手指子***动力学模型；

步骤四，根据拉格朗日方程建立抓取对象子***动力学模型；

步骤五，根据拉格朗日方程建立手指与抓取对象“非约束”***的动力学模型；

步骤六，建立手指与抓取对象之间纯滚动约束条件下的约束方程；

步骤七，首先建立***约束表达式，获得***虚位移与约束条件的关系；其次，求解虚位移向量通解，并将其带入虚功原理表达式，得到可以简化动力学模型中约束力的关系式；然后，采用简化关系式处理***无约束时的运动方程，结合处理结果和约束表达式构造取代奇异质量矩阵的质量补充矩阵；最后，利用质量补充矩阵求解***质量矩阵奇异时的手指机器人动力学解析模型，得到了质量矩阵奇异时的依然有解的模型如上所示。

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：

解决了多手指机器人建模过程中质量矩阵奇异时运动方程无解的问题，并得到了多手指机器人动力学解析模型。相对于拉格朗日乘子法得到的数值模型，该模型为解析形式，更易于被控制***应用。相对于Gibbs-Appell方法和Kane(凯恩)方法，该建模方法无需借助辅助变量，使得建模过程更简化和高效。

纯滚动约束是一种较难实现的约束形式，要求指尖与抓取对象之间保持接触并无相对滑动。相比滑动约束和夹持约束，纯滚动约束的数学表达式个数较多、形式相对复杂。在纯滚动约束条件下建立的手指机器人模型可为其他形式约束下的建模过程提供参考价值。

目前，机器人力位混合控制中，需要在机器人上安装力觉传感器，对末端执行器与外界接触的相互作用力进行实时采样。本专利提供的动力学解析模型可以得到机器人各关节力矩和抓取力的解析式，使得机器人力控制可以仅凭***状态反馈完成，无需加装力觉传感器。

注：解析模型为一定条件下得到的数学表达式模型，给出任意自变量就可以得到模型的解，解析模型不依赖自变量的初始值。数值模型为采用数值方法得出的近似模型，应用中模型精度依赖数值计算结果，不能随意给出任意自变量的解，数值模型结果依赖自变量初始值的设定。相对于数值模型，解析模型更精确、更便于实现自动化控制。

本申请所述的***是指多手指机器人与抓取对象构成的***，分成的子***包括手指子***和抓取对象子***。

附图说明

图1是三手指机器人与抓取对象运动学关系示意图。

图2是第i根手指与抓取对象纯滚动接触示意图。

图3是第1根手指三关节力矩的数值仿真结果图。

图4是第2根手指三关节力矩的数值仿真结果图。

图5是第3根手指三关节力矩的数值仿真结果图。

图6是第1根手指尖抓取力的数值仿真结果仿真图。

图7是第2根手指尖抓取力的数值仿真结果仿真图。

图8是第3根手指尖抓取力的数值仿真结果仿真图。

以下结合附图和实施例对本发明的具体内容作进一步详细地说明。

具体实施方式

本发明提出的一种多手指机器人动力学解析模型及其建模方法的具体实施步骤如下：

步骤一，分解多手指机器人与抓取对象***并提出建模设定条件：

建模过程中，将机器人与抓取对象看作一个复杂多刚体***，并将这个复杂多体***分为(l+1)个子***：l个手指子***和一个抓取对象子***，l＝2，3，…，n，l表示机器人的手指个数，如三手指机器人，l＝3。

该建模方法基于如下设定：

多手指机器人的手指子***不少于2个，即l≥2；

多手指机器人的手指关节个数为3；

(3)手指子***模型可以简化为一个连杆机构：指节视为一个单杆，指节之间的关节视为旋转铰接；

(4)手指子***模型中，设定指根位置坐标相对于基坐标系固定；

(5)手指尖与抓取对象为点接触，接触点处指尖与抓取对象无相对变形。

步骤二，定义建模基础坐标系和各子***参考坐标系：

(1)定义建模基础坐标系{B}，即地面坐标系，选取空间任意点为原点O_B，横轴X_B与地面平行，纵轴Y_B与地面垂直；

(2)定义第i个手指的参考坐标系{B_i}(i＝1，2，…，l)，选取指根连接处为原点横轴与横轴X_B平行，纵轴与纵轴Y_B平行；

(3)定义第i个手指的指尖坐标系{f_i}(i＝1，2，…，l)，该坐标系固定在指端上，选取手指末端指节中轴线上除指尖表面外的任意点为原点横轴与中轴线重合，纵轴与横轴垂直。

(4)定义抓取对象的参考坐标系{O}，该坐标系固定在抓取对象上，选取抓取对象质心为原点O_O，任意方向为横轴与横轴垂直的方向为纵轴

步骤三，建立第i个手指子***动力学模型：

选取q_fi＝[q_i1，q_i2，q_i3，v_i]^T为第i根手指子***的坐标参数向量，如图1所示，q_ij为第i根手指的第j个关节的旋转位移，j＝1，2，3，即q_i1，q_i2，q_i3，v_i是第i根手指与抓取对象接触时，第i根手指的指尖坐标系{f_i}下的局部坐标。

根据拉格朗日方程得到第i根手指子***动力学模型为：

M_fi(q_fi)为第i根手指子***的惯性矩阵，为第i根手指子***的外力矩阵。

其中，

M_Fi13＝M_fi14＝M_fi23＝M_fi24＝M_fi31＝M_fi32＝M_fi34＝0 (6)

M_fi41＝M_fi42＝M_fi43＝M_fi44＝0 (7)

上式中涉及的参数如下：

m_ij表示第i根手指的第j个关节的质量；

l_ij表示第i根手指的第j个指节的长度；

I_ij表示第i根手指的第j个指节关于该指节质心的惯性矩；

g表示重力加速度。

步骤四，建立抓取对象子***动力学模型：

选取抓取对象子***的坐标参数向量为q_o＝[x_o，y_o，φ，u₁，u₂，…，u_l]^T，其中(x_o，y_o)为抓取对象质心在基坐标系{B}的位置参数，φ为抓取对象坐标系{O}相对于基坐标系{B}的旋转位移，u_i为第i根手指与抓取对象接触点在{O}内的局部坐标参数。

根据拉格朗日方程得到，抓取对象子***动力学模型为：

其中，M_o(q_o)为第i根手指子***的惯性矩阵，为第i根手指子***的外力矩阵。m_o为抓取对象质量，I_o为抓取对象对其质心的惯性矩，

步骤五，建立手指与抓取对象“非约束”***的动力学模型：

将手指子***和抓取对象子***作为“非约束”***，并根据拉格朗日方程建立其***模型如下：

q＝[q_f1 q_f2 … q_f1 q_o]^T (15)

M(q)：＝diag[M_f1，M_f2，…，M_fl，M_o] (16)

其中，M(q)为手指与抓取对象“非约束”***的惯性矩阵，为手指与抓取对象“非约束”***的外力矩阵，q为手指与抓取对象***的的坐标参数向量，diag函数为利用自变量作为对角线元素构造新的矩阵。

Q_f1与当i＝1时的相等，M_f1与当i＝1时的M_fi(q_fi)相等，为了方便简写成此，其他参数的表示方式雷同。

步骤六，建立手指与抓取对象之间纯滚动约束条件下的约束方程：

手指机器人与抓取对象之间维持纯滚动运动时，手指与抓取对象需要满足三个约束条件，即手指与抓取物在接触点的位置、速度及法向量约束。

手指与抓取物保持接触时，第i根手指和抓取物满足位置约束，约束方程可表示为：

其中，(x_bi，y_bi)是第i根手指基部B_i在基坐标系{B}中的位置参数，r是抓取对象曲面半径，ρ是指尖曲面半径。

手指与抓取物在接触点处无相对滑动，即手指与接触点满足速度约束，第i根手指和抓取物的速度约束可以表示为：

其中，

指尖平面和抓取物平面在接触点的单位法向量大小相等，且位于公切面的相反方向。第i根手指与抓取物在接触点的法向量约束可表述为：

通过上式(18)、(19)、(22)求关于时间t的导数，可以得到约束的二阶形式，并将二阶约束用矩阵的形式表示为：

其中，

式(23)可以被分解为：

式(24)中：

上式(25)、(26)、(27)、(28)中，为了便于书写成规范的矩阵，采用一些中间变量来书写，具体的中间变量的含义如下所述：

式中s₁＝sinq_i1，s₁₂＝sin(q_i1+q_i2)，s₁₂₃＝sin(q_i1+q_i2+q_i3)，

步骤七，建立手指与抓取对象“约束”***的动力学解析模型：

建立手指与抓取对象***的运动方程，其表达式如下：

其中，为***约束力。

根据式(24)，***的约束表达式可以改写为：

其中，

根据虚位移定义，有下式成立：其中：

δq为***虚位移。

根据虚功原理，有下式成立：

其中，为***约束力。

公式(33)的解为：δq＝(I-A⁺A)γ(35)，其中，γ为任意向量。

将式(33)带入(34)得：

由于γ为任意向量，则

将式(29)两侧同乘以(I-A⁺A)，得：

由于式(37)，则上式可以重新改写为：

结合式(24)和(38)，得：

定义：

通过求解(40)，得：

其中η为任意向量。如果满秩，则***得动力学模型为：

公式(43)即为所述的多手指机器人动力学解析模型为手指与抓取对象之间纯滚动约束条件下的多手指机器人动力学解析模型，式中：

q为***广义坐标向量；为***广义速度向量；

为***广义加速度向量；I为单位矩阵；

M(q)为***质量矩阵；

为***约束二阶表达式系数矩阵；

为***约束二阶表达式常数项矩阵；

为***外力向量。

在动力学模型的基础上，更进一步，获得***的约束力的解析模型为：

其中，

第i个接触点的抓取力解析模型为：

其中，为第i根手指和抓取对象接触点的雅可比矩阵。

仿真应用例1：

根据上述发明提供的多手指机器人动力学解析模型，其具体结构如图1和图2所示，建立三手指机器人动力学解析模型，并对数学模型在Matlab软件中进行数值仿真，该三手指机器人仿真中用的具体参数如下表：

表1 仿真参数设置

表中，m_ij为第i根手指第j个指节的质量，l_ij为第i根手指第j个指节的长度，I_ij为第i根手指第j个指节关于质心的惯性矩，ρ_i为第i根手指指尖表面关于坐标系{f_i}的曲率半径，m_o为抓取对象的质量，I_o为抓取对象关于质心的惯性矩，r_o为抓取对象表面关于坐标系{O}的曲率半径，i＝1，2，3，j＝1，2，3。

仿真过程中，给定一组初始状态为：

1)初始位移向量q＝[π/6，π/3，π/3，π/3，--π/6，π/3，π/3，π/3，π/3，π/3，π/6，π/6，0，0，0，π/5，7π/10，2π/5]^T；

2)初始速度向量

3)初始加速度向量

4)手指基部在基坐标系{B}中的位置参数为：B₁＝(0.75，-0.29)，

B₂＝(-1.5，-0.3)，B₃＝(0.75，-0.1)。

图3-8为三手指机器人动力学解析模型数值仿真结果。图3-5所示为满足纯滚动约束条件下，三根手指每个关节的力矩数值仿真结果，图中为第i根手指的第j个指关节的力矩；图6-8所示为满足纯滚动约束条件下，三根手指指尖的抓取力的数值仿真结果，图中为第i根手指的指尖抓去力在X_B方向的分量，图中为第i根手指的指尖抓去力在Y_B方向的分量。

从图3至图8可知，利用本发明所提出的三指机器人动力学解析模型，数值仿真结果连续、收敛，模型有效且可行。

Claims

1.一种多手指机器人动力学解析模型的建模方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤二，定义建模基础坐标系和各子***参考坐标系；

步骤三，根据拉格朗日方程建立第i个手指子***动力学模型；

步骤四，根据拉格朗日方程建立抓取对象子***动力学模型；

步骤七，首先建立***约束表达式，获得***虚位移与约束条件的关系；

其次，求解虚位移向量通解，并将其带入虚功原理表达式，得到可以简化动力学模型中约束力的关系式；

然后，采用简化关系式处理***无约束时的运动方程，结合处理结果和约束表达式构造取代奇异质量矩阵的质量补充矩阵；

最后，利用质量补充矩阵求解***质量矩阵奇异时的手指机器人动力学解析模型，得到了质量矩阵奇异时的依然有解的模型如下：

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式中：

q为***广义坐标向量；为***广义速度向量；

为***广义加速度向量；I为单位矩阵；

M(q)为***质量矩阵；

为***约束二阶表达式系数矩阵；

为***约束二阶表达式常数项矩阵；

为***外力向量。