CN104777842B - 一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法。通过磁悬浮控制敏感陀螺检测高频小幅值扰动下卫星的姿态角速度，使用中心陷波频率随扰动频率变化的自适应陷波器，对高频小幅值扰动产生的姿态角速度进行辨识和去除，计算出补偿扰动所需补偿力矩，根据相应的姿态控制律，计算出姿控所需的磁悬浮转子径向控制力矩，结合扰动抑制和姿态控制，设计出磁悬浮转子的一体化操纵律，使转子旋转轴偏转输出所需的径向二自由度微框架效应力矩，从而实现卫星单轴的高精度姿态控制和扰动抑制。

Description

一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法

技术领域

本发明涉及一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法，适用于卫星的高精度姿态测量与控制。

技术背景

随着高分辨率对地观测技术的发展，对卫星姿态控制和振动抑制的要求越来越高。传统姿控***的检测和控制是分离的，整个姿态控制***是一个单闭环的结构，姿控***的带宽有限。因此，对于卫星的高频小幅扰动，现有姿控***很难进行抑制。此外，现有姿态控制***的检测与控制分离，再加上卫星本身的挠性结构，这就必然导致异位控制问题，从而不可避免地影响整个姿态控制***的稳定性和鲁棒性。

为了解决上述问题，郑世强通过双框架磁悬浮控制力矩陀螺，将力矩执行和姿态测量结合起来，但此研究将测量和控制分时复用，磁悬浮控制力矩陀螺某一时刻只能工作在一种状态，测量和控制未能同时进行；刘彬提出了一种磁悬浮陀螺飞轮的设计方案，磁悬浮陀螺飞轮虽然控制和测量可以同时进行，但这种方法并没有得到三轴姿态角速度的解析表达式，不仅实用性不强，而且不便于从机理上分析姿态角速度与***参数之间的关系。

磁悬浮控制敏感陀螺是一种融合了角速率陀螺速率检测和惯性执行机构力矩输出双重功能，集姿态敏感与控制、振动检测与抑制于一体的多功能新概念惯性机构。正是由于磁悬浮控制敏感陀螺的引入，一改现有姿控***的大闭环结构，将其拓扑为三闭环姿控结构。各环针对不同的被控对象，以不同的控制带宽，分别对平台姿态、平台振动和陀螺自身振动，进行三环融合控制。突破了现有单闭环姿态***，控制稳定度有限，无法进行主动振动控制的局限，使卫星的高稳定度和超静控制成为可能。

发明内容

本发明的技术解决问题是：为了克服现有卫星无法抑制高频小幅值扰动，并且姿控***由于检测和控制不共位导致的异位控制等问题，提出了一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法。该方法通过微框架效应力矩不仅可以抑制卫星的高频小幅值扰动，而且可以进行姿态的高精度控制，实现了姿态检测、扰动抑制和姿态控制的一体化，为卫星的高精度姿态控制提供了一种全新的技术途径。

本发明的技术解决方案是：通过磁悬浮控制敏感陀螺检测高频小幅值扰动下卫星的姿态角速度，使用中心陷波频率随扰动频率变化的自适应陷波器，对高频小幅值扰动产生的姿态角速度进行辨识和去除，计算出补偿扰动所需补偿力矩，根据相应的姿态控制律，计算出姿控所需的磁悬浮转子径向控制力矩，结合扰动抑制和姿态控制，设计出磁悬浮转子的一体化操纵律，使转子旋转轴偏转输出所需的径向二自由度微框架效应力矩，从而实现卫星单轴的高精度姿态检测、控制和扰动抑制，具体包括以下步骤：

(1)根据刚体动力学和坐标变换原理磁悬浮转子动力学方程为：

其中：

H^r＝IΩⁱ

式中，M^r表示磁悬浮转子合外力矩，H^r表示在转子系下转子的角动量，

表示在转子系下转子的角动量变化率，I表示转子绕磁悬浮控制敏感陀螺参考坐标系旋转的转动惯量，I_r表示转子径向转动惯量，I_z表示转子轴向转动惯量，Ω表示转子轴向转速，Ω^r表示转子转速，Ωⁱ表示转子的绝对角速度，

表示转子的绝对角速度变化率，

表示转子坐标系的绝对角速度，即相对于惯性空间的转速，

表示转子相对磁轴承的偏转速度，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系相对于惯性空间的速度，

为转子相对于惯性空间的角速度，ω^cmg为框架角速度，

为磁轴承坐标系到转子坐标系的变换矩阵，

为框架坐标系到磁轴承坐标系的变换矩阵，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系到框架坐标系的变换矩阵，

为星体系到磁悬浮控制敏感陀螺参考系的变换矩阵；

在磁轴承安装系、框架坐标系、磁悬浮控制敏感陀螺参考系重合和卫星仅有单轴角速率

的条件下：

α、β非常小，

又

则：

转子径向合外力矩

表达式为：

磁悬浮转子所受合外力矩为：

磁悬浮转子所受磁力可表示成如下线性形式：

f_λ＝k_iλi_λ+k_hλh_λ(λ＝ax,ay,bx,by)

式中，k_iλ和k_hλ(λ＝ax,ay,bx,by)分别表示磁悬浮转子的径向ax、ay、bx和by通道的电流刚度和位移刚度，可以通过实验标定；i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在ax、bx、ay和by方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离；h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，i_ax、i_bx、i_ay、i_by可以通过电流传感器测量，从而可以计算出转子所受合外力矩

转子偏转角度的表达式为：

α＝(h_ay-h_by)/(2l_m)，β＝(h_ax-h_bx)/(2l_m)

h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，从而可以计算得到转子偏转信息α、β、

卫星姿态角速率、角加速度为：

没有轨道角速度条件下，令

θ、ψ为无扰动时星体坐标系相对于轨道坐标系的姿态角，则

表示各个方向姿态角加速度，

表示各个方向角速度，

表示扰动产生的角加速度和角速度，

表示总的角加速度和角速度，则：

(2)卫星姿态角速度中扰动角速度辨识和扰动力矩补偿

在姿态角速度中，高频小幅值扰动力矩产生和扰动频率同频率的正弦角速度，可采用自适应陷波器对其进行辨识和去除；陷波器N的核心是凹陷反馈环节Nf，其中心频率可依据扰动频率W变化而改变，ε决定陷波器N的收敛速度和中心陷波带宽，K_h/K_i为扰动补偿的比例系数；

设ω(t)为凹陷反馈环节Nf的输入，c(t)为Nf的输出，则有：

c和ω满足以下微分方程：

凹陷反馈环节Nf的传递函数为：

陷波器输入

至凹陷反馈环节Nf输出

的传函No为：

令s＝jω，考虑No的频率特性，当ε≠0时：

N_O(jω)≈0,[ω∈(0,W-Δω)∪(W+Δω,∞)]

N_O(jω)＝1,[ω∈(W-Δω,W+Δω)]

即当ε≠0时，No的输出将趋近于输入

中频率为W的分量

凹陷反馈环节Nf的输出

为：

即反馈环节收敛后凹陷反馈环节Nf积分器的输出值即为姿态角速度中同扰动频率量的正余弦分量的幅值，这就实现了对姿态角速度信号中扰动产生的姿态角速度

的辨识；

通过补偿比例系数K_h/K_i，在

方向引入补偿力矩

消除扰动对姿态的影响；

(3)磁悬浮转子一体化操纵律

在单轴高频小幅值扰动力矩作用下，以磁悬浮控制敏感陀螺作为执行机构的卫星姿态动力学方程为：

式中，J表示卫星转动惯量矩阵，T_d＝[T_dx 0 0]表示单轴高频小幅值扰动力矩，小姿态角条件下以磁悬浮转子作为姿态控制执行机构的卫星姿态动力学方程为：

其中，J_x、J_y、J_z表示卫星各个轴的转动惯量，h_y表示转子轴向动量，转子径向俩个方向的卫星姿态动力学方程为：

因此需要

去补偿因扰动引起的β转动方向的干扰力矩，故：

令

为调姿需要的β转动方向的速度，

补偿后则有：

α转动方向不需要补偿，令

为调姿需要的α转动方向的速度，故

转子径向俩个方向的卫星姿态动力学方程为：

加入扰动补偿后，根据卫星动力学方程，调姿目标姿态角为

ψ_r＝0，设计解耦控制律为：

k_px、k_dx、k_pz、k_dz为PD控制器参数；卫星姿态动力学方程为：

卫星没有扰动情况下的单轴姿态角信息

为：

卫星仅有单轴角速率

的情况下，

卫星姿态控制量由转子径向微框架控制力矩来实现：

故结合扰动补偿，磁悬浮转子控制的一体化操纵律为：

实际中磁轴承施加的控制参考量为h_axr、h_bxr、h_ayr、h_byr，而h_bxr＝-h_axr，h_byr＝-h_ayr，故：

本发明的原理是：根据惯量矩定理，高速转子角动量在惯性空间方向的改变只取决于它所受到的外部力矩，磁悬浮转子所受的力矩是由卫星转动、转子相对偏转引起的，而磁悬浮转子所受力矩的大小，是由磁轴承力唯一决定的，卫星在受高频小幅值干扰下的姿态角速度可以通过实时高精度检测磁轴承电流和转子位移解算得到。通过磁悬浮控制敏感陀螺自身检测高频小幅值扰动下卫星的姿态角速度，使用中心陷波频率随扰动频率变化的自适应陷波器，对高频小幅值扰动产生的姿态角速度进行辨识和去除，计算出补偿扰动所需补偿力矩，根据相应的姿态控制律，计算出姿控所需的磁悬浮转子径向控制力矩，结合扰动抑制和姿态控制，设计出磁悬浮转子的一体化操纵律，使转子旋转轴偏转输出所需的径向二自由度微框架效应力矩，从而实现卫星单轴的姿态控制和扰动抑制。

卫星和磁悬浮控制敏感陀螺的安装如图1所示，径向磁轴承安装位置相对转子质心对称，转子通过5自由度磁轴承实现悬浮控制，径向4个磁轴承(分别用ax，ay，bx，by表示)控制磁悬浮转子二个径向平动自由度和二个转动自由度，轴向(用z表示)轴承控制一个平动自由度，其转动自由度由电动机驱动，提供转子角动量。应用欧拉动力学方程，则可以得到转子系下磁悬浮转子动力学方程为：

其中：

H^r＝IΩⁱ

在磁轴承安装系、框架坐标系、磁悬浮控制敏感陀螺参考系重合和卫星仅有单轴角速率

的条件下：

α、β非常小，

又

则：

转子径向合外力矩

表达式为：

根据力矩平衡原理，转子径向合外力矩也可表示为：

磁悬浮转子所受磁力可表示成如下线性形式：

f_λ＝k_iλi_λ+k_hλh_λ(λ＝ax,ay,bx,by)

h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，i_ax、i_bx、i_ay、i_by可以通过电流传感器测量，从而可以计算出转子所受合外力矩

转子偏转角度的表达式为：

α＝(h_ay-h_by)/(2l_m)，β＝(h_ax-h_bx)/(2l_m)

h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，从而可以计算得到转子偏转信息α、β、

卫星姿态角速率、角加速度为：

没有轨道角速度条件下，令

θ、ψ为无扰动时星体坐标系相对于轨道坐标系的姿态角，则

表示各个方向姿态角加速度，

表示各个方向角速度，

表示扰动产生的角加速度和角速度，

表示总的角加速度和角速度，则：

在姿态角速度中，高频小幅值扰动力矩产生和扰动频率同频率的正弦角速度，可采用自适应陷波器对其进行辨识和去除；陷波器N的核心是凹陷反馈环节Nf，其中心频率可依据扰动频率W变化而改变，ε决定陷波器N的收敛速度和中心陷波带宽，K_h/K_i为扰动补偿的比例系数；

设ω(t)为凹陷反馈环节Nf的输入，c(t)为Nf的输出，则有：

c和ω满足以下微分方程：

凹陷反馈环节Nf的传递函数为：

陷波器输入

至凹陷反馈环节Nf输出

的传函No为：

令s＝jω，考虑No的频率特性，当ε≠0时：

N_O(jω)≈0,[ω∈(0,W-Δω)∪(W+Δω,∞)]

N_O(jω)＝1,[ω∈(W-Δω,W+Δω)]

即当ε≠0时，No的输出将趋近于输入

中频率为W的分量

凹陷反馈环节Nf的输出

为：

即反馈环节收敛后凹陷反馈环节Nf积分器的输出值即为姿态角速度中同扰动频率量的正余弦分量的幅值，这就实现了对姿态角速度信号中扰动产生的姿态角速度

的辨识；

通过补偿比例系数K_h/K_i，在

方向引入补偿力矩

消除扰动对姿态的影响；

在单轴高频小幅值扰动力矩作用下，以磁悬浮控制敏感陀螺作为执行机构的卫星姿态动力学方程为：

式中，J表示卫星转动惯量矩阵，T_d＝[T_dx 0 0]表示单轴高频小幅值扰动力矩，小姿态角条件下以磁悬浮转子作为姿态控制执行机构的卫星姿态动力学方程为：

其中，J_x、J_y、J_z表示卫星各个轴的转动惯量，h_y表示转子轴向动量，转子径向两个方向的卫星姿态动力学方程为：

因此需要

去补偿因扰动引起的β转动方向的干扰力矩，故：

令

为调姿需要的β转动方向的速度，

补偿后则有：

α转动方向不需要补偿，令

为调姿需要的α转动方向的速度，故

转子径向两个方向的卫星姿态动力学方程为：

加入扰动补偿后，根据卫星动力学方程，调姿目标姿态角为

ψ_r＝0，设计解耦控制律为：

k_px、k_dx、k_pz、k_dz为PD控制器参数；卫星姿态动力学方程为：

卫星没有扰动情况下的单轴姿态角信息

为：

卫星仅有单轴角速率

的情况下，

卫星姿态控制量由转子径向微框架控制力矩来实现：

故结合扰动补偿，磁悬浮转子控制的一体化操纵律为：

实际中磁轴承施加的控制参考量为h_axr、h_bxr、h_ayr、h_byr，而h_bxr＝-h_axr，h_byr＝-h_ayr，故：

至此，通过控制磁轴承转子位移输出微框架效应力矩，实现了卫星单轴姿态的测控一体化。

本发明的方案与现有方案相比，主要优点在于：为了克服现有卫星很难抑制高频小幅值扰动，和姿控***由于检测和控制不共位导致的异位控制等问题，提出了一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的高频小幅值扰动下卫星单轴姿态测控一体化方法。该方法在实现姿态角速率高精度检测的基础上，通过微框架效应力矩不仅可以抑制卫星的高频小幅值扰动，而且可以进行姿态控制，实现了卫星姿态角速率检测、姿态控制和扰动抑制的一体化，为卫星的高精度姿态控制提供了一种全新的技术途径。

附图说明

图1磁悬浮控制敏感陀螺在卫星上的安装结构示意图；

图2为陷波器结构图；

图3为本发明的原理框图；

图4为PD控制无扰动抑制补偿卫星单轴姿态角；

图5为PD控制无扰动抑制补偿卫星单轴姿态角速率；

图6为PD控制有扰动抑制补偿卫星单轴姿态角；

图7为PD控制有扰动抑制补偿卫星单轴姿态角速率。

具体实施方案

本发明的实施对象如图1所示，径向磁轴承安装位置相对转子质心对称，径向4个磁轴承(分别用ax，ay，bx，by表示)控制磁悬浮转子二个径向平动自由度和二个转动自由度，设计的陷波器的结构如图2所示，本发明的具体实施方案如图3所示，具体实施步骤如下：

(1)根据刚体动力学和坐标变换原理磁悬浮转子动力学方程为：

其中：

H^r＝IΩⁱ

式中，M^r表示磁悬浮转子合外力矩，H^r表示在转子系下转子的角动量，

表示在转子系下转子的角动量变化率，I表示转子绕磁悬浮控制敏感陀螺参考坐标系旋转的转动惯量，I_r表示转子径向转动惯量，I_z表示转子轴向转动惯量，Ω表示转子轴向转速，Ω^r表示转子转速，Ωⁱ表示转子的绝对角速度，

表示转子的绝对角速度变化率，

表示转子坐标系的绝对角速度，即相对于惯性空间的转速，

表示转子相对磁轴承的偏转速度，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系相对于惯性空间的速度，

为转子相对于惯性空间的角速度，ω^cmg为框架角速度，

为磁轴承坐标系到转子坐标系的变换矩阵，

为框架坐标系到磁轴承坐标系的变换矩阵，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系到框架坐标系的变换矩阵，

为星体系到磁悬浮控制敏感陀螺参考系的变换矩阵；

在磁轴承安装系、框架坐标系、磁悬浮控制敏感陀螺参考系重合和卫星仅有单轴角速率

的条件下：

α、β非常小，

又

则：

转子径向合外力矩

表达式为：

转子径向合外力矩也可表示为：

磁悬浮转子所受磁力可表示成如下线性形式：

f_λ＝k_iλi_λ+k_hλh_λ(λ＝ax,ay,bx,by)

式中，k_iλ和k_hλ(λ＝ax,ay,bx,by)分别表示磁悬浮转子的径向ax、ay、bx和by通道的电流刚度和位移刚度，可以通过实验标定；i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在ax、bx、ay和by方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离；h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，i_ax、i_bx、i_ay、i_by可以通过电流传感器测量，从而可以计算出转子所受合外力矩

转子偏转角度的表达式为：

α＝(h_ay-h_by)/(2l_m)，β＝(h_ax-h_bx)/(2l_m)

h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在ax、bx、ay和by方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，从而可以计算得到转子偏转信息α、β、

卫星姿态角速率、角加速度为：

没有轨道角速度条件下，令

θ、ψ为无扰动时星体坐标系相对于轨道坐标系的姿态角，则

表示各个方向姿态角加速度，

表示各个方向角速度，

表示扰动产生的角加速度和角速度，

表示总的角加速度和角速度，则：

(2)卫星姿态角速度中扰动角速度辨识和扰动力矩补偿

在姿态角速度中，高频小幅值扰动力矩产生和扰动频率同频率的正弦角速度，可采用自适应陷波器对其进行辨识和去除；陷波器N的核心是凹陷反馈环节Nf，其中心频率可依据扰动频率W变化而改变，ε决定陷波器N的收敛速度和中心陷波带宽，K_h/K_i为扰动补偿的比例系数；

设ω(t)为凹陷反馈环节Nf的输入，c(t)为Nf的输出，则有：

c和ω满足以下微分方程：

凹陷反馈环节Nf的传递函数为：

陷波器输入

至凹陷反馈环节Nf输出

的传函No为：

令s＝jω，考虑No的频率特性，当ε≠0时：

N_O(jω)≈0,[ω∈(0,W-Δω)∪(W+Δω,∞)]

N_O(jω)＝1,[ω∈(W-Δω,W+Δω)]

即当ε≠0时，No的输出将趋近于输入

中频率为W的分量

凹陷反馈环节Nf的输出

为：

即反馈环节收敛后凹陷反馈环节Nf积分器的输出值即为姿态角速度中同扰动频率量的正余弦分量的幅值，这就实现了对姿态角速度信号中扰动产生的姿态角速度

的辨识；

通过补偿比例系数K_h/K_i，在

方向引入补偿力矩

消除扰动对姿态的影响；

(3)磁悬浮转子一体化操纵律

在单轴高频小幅值扰动力矩作用下，以磁悬浮控制敏感陀螺作为执行机构的卫星姿态动力学方程为：

式中，J表示卫星转动惯量矩阵，T_d＝[T_dx 0 0]表示单轴高频小幅值扰动力矩，小姿态角条件下以磁悬浮转子作为姿态控制执行机构的卫星姿态动力学方程为：

其中，J_x、J_y、J_z表示卫星各个轴的转动惯量，h_y表示转子轴向动量，转子径向俩个方向的卫星姿态动力学方程为：

因此需要

去补偿因扰动引起的β转动方向的干扰力矩，故：

令

为调姿需要的β转动方向的速度，

补偿后则有：

α转动方向不需要补偿，令

为调姿需要的α转动方向的速度，故

转子径向俩个方向的卫星姿态动力学方程为：

加入扰动补偿后，根据卫星动力学方程，调姿目标姿态角为

ψ_r＝0，设计解耦控制律为：

k_px、k_dx、k_pz、k_dz为PD控制器参数；卫星姿态动力学方程为：

卫星没有扰动情况下的单轴姿态角信息

为：

卫星仅有单轴角速率

的情况下，

卫星姿态控制量由转子径向微框架控制力矩来实现：

故结合扰动补偿，磁悬浮转子控制的一体化操纵律为：

实际中磁轴承施加的控制参考量为h_axr、h_bxr、h_ayr、h_byr，而h_bxr＝-h_axr，h_byr＝-h_ayr，故：

为了验证该方法的效果，将扰动抑制补偿前后的姿态角和姿态角速度进行对比，试验结果分别如图4、图5、图6、图7所示。

在图4、图6中横坐标表示时间，单位是s，纵坐标表示滚动角，单位是°，在图5、图7中横坐标表示时间，单位是s，纵坐标表示滚动角速度，单位是°/s。对比扰动抑制补偿前后的姿态角和姿态角速度，可以看出采用本发明很好的实现了高频小幅值扰动的抑制，且计算实现较简单，工程性强。

本发明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.本发明涉及一种基于磁悬浮控制敏感陀螺的卫星单轴测控一体化方法，通过磁悬浮控制敏感陀螺检测高频小幅值扰动下卫星的姿态角速度，使用中心陷波频率随扰动频率变化的自适应陷波器，对高频小幅值扰动产生的姿态角速度进行辨识和去除，计算出补偿扰动所需补偿力矩，并根据相应的姿态控制律，计算出姿控所需的磁悬浮转子径向控制力矩，结合扰动抑制和姿态控制，设计出磁悬浮转子的一体化操纵律，使转子旋转轴偏转输出所需的径向二自由度微框架效应力矩，从而实现卫星单轴的姿态控制和扰动抑制，具体包括以下步骤：

(1)根据刚体动力学和坐标变换原理磁悬浮转子动力学方程为：

其中：

H^r＝IΩⁱ

式中，M^r表示磁悬浮转子合外力矩，H^r表示在转子系下转子的角动量，

表示在转子系下转子的角动量变化率，I表示转子绕磁悬浮控制敏感陀螺参考坐标系旋转的转动惯量，I_r表示转子径向转动惯量，I_z表示转子轴向转动惯量，Ω表示转子轴向转速，Ω^r表示转子转速，Ωⁱ表示转子的绝对角速度，

表示转子的绝对角速度变化率，

表示转子坐标系的绝对角速度，即相对于惯性空间的转速，

表示转子相对磁轴承的偏转速度，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系相对于惯性空间的速度，

为转子相对于惯性空间的角速度，ω^cmg为框架角速度，

为磁轴承坐标系到转子坐标系的变换矩阵，

为框架坐标系到磁轴承坐标系的变换矩阵，

为磁悬浮控制敏感陀螺参考系到框架坐标系的变换矩阵，

为星体系到磁悬浮控制敏感陀螺参考系的变换矩阵；

在磁轴承安装系、框架坐标系、磁悬浮控制敏感陀螺参考系重合和卫星仅有单轴角速率

的条件下：

α、β非常小，

又

则：

转子径向合外力矩

表达式为：

根据力矩平衡原理，转子径向合外力矩

也可表达为：

磁悬浮转子所受磁力可表示成如下线性形式：

f_λ＝k_iλi_λ+k_hλh_λ(λ＝ax,ay,bx,by)

式中，k_iλ和k_hλ(λ＝ax,ay,bx,by)分别表示磁悬浮转子的径向ax、ay、bx和by通道的电流刚度和位移刚度，可以通过实验标定；i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在ax、bx、ay和by方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离；h_ax、h_bx、h_ay、h_by可以通过电涡流位移传感器测量，i_ax、i_bx、i_ay、i_by可以通过电流传感器测量，从而可以计算出转子所受合外力矩M_x ^r、M_z ^r；

转子偏转角度的表达式为：

α＝(h_ay-h_by)/(2l_m)，β＝(h_ax-h_bx)/(2l_m)

从而可以计算得到转子偏转信息α、β、

卫星姿态角速率、角加速度为：

没有轨道角速度条件下，令

θ、ψ为无扰动时星体坐标系相对于轨道坐标系的姿态角，则

表示各个方向姿态角加速度，

表示各个方向角速度，

表示扰动产生的角加速度和角速度，

表示总的角加速度和角速度，则：

(2)卫星姿态角速度中扰动角速度辨识和扰动力矩补偿

在姿态角速度中，高频小幅值扰动力矩产生和扰动频率同频率的正弦角速度，可采用自适应陷波器对其进行辨识和去除；陷波器N的核心是凹陷反馈环节Nf，其中心频率可依据扰动频率W变化而改变，ε决定陷波器N的收敛速度和中心陷波带宽，K_h/K_i为扰动补偿的比例系数；

设ω(t)为凹陷反馈环节Nf的输入，c(t)为Nf的输出，则有：

c和ω满足以下微分方程：

凹陷反馈环节Nf的传递函数为：

陷波器输入

至凹陷反馈环节Nf输出

的传函No为：

令s＝jω，考虑传函No的频率特性，当ε≠0时，

N_O(jω)≈0,[ω∈(0,W-Δω)∪(W+Δω,∞)］

N_O(jω)＝1,[ω∈(W-Δω,W+Δω)]

即当ε≠0时，No的输出将趋近于输入

中频率为W的分量

凹陷反馈环节Nf的输出

为：

因此，反馈环节收敛后凹陷反馈环节Nf积分器的输出值即为姿态角速度中同扰动频率量的正余弦分量的幅值，这就实现了对姿态角速度信号中扰动产生的姿态角速度

的辨识；

通过补偿比例系数K_h/K_i，在

方向引入补偿力矩

消除扰动对姿态的影响；

(3)磁悬浮转子一体化操纵律

在单轴高频小幅值扰动力矩作用下，以磁悬浮控制敏感陀螺作为执行机构的卫星姿态动力学方程为：

式中，J表示卫星转动惯量矩阵，T_d＝[T_dx 0 0]表示单轴高频小幅值扰动力矩，小姿态角条件下以磁悬浮转子作为姿态控制执行机构的卫星姿态动力学方程为：

其中，J_x、J_y、J_z表示卫星各个轴的转动惯量，h_y表示转子轴向动量，转子径向俩个方向的卫星姿态动力学方程为：

因此需要

去补偿因扰动引起的β转动方向的干扰力矩，故：

令

为调姿需要的β转动方向的速度，

补偿后则有：

α转动方向不需要补偿，令

为调姿需要的α转动方向的速度，故

转子径向两个方向的卫星姿态动力学方程为：

加入扰动补偿后，根据卫星动力学方程，调姿目标姿态角为

ψ_r＝0，设计解耦控制律为：

k_px、k_dx、k_pz、k_dz为PD控制器参数；卫星姿态动力学方程为：

卫星没有扰动情况下的单轴姿态角信息

为：

卫星仅有单轴角速率

的情况下，

卫星姿态控制量由转子径向微框架控制力矩来实现：

故结合扰动补偿，磁悬浮转子控制的一体化操纵律为：

实际中磁轴承施加的控制参考量为h_axr、h_bxr、h_ayr、h_byr，而h_bxr＝-h_axr，h_byr＝-h_ayr，故：

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