CN104751427A - 基于改进tps模型的凝胶图像校正算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，包括：对比失真图像与模板图像获得形变程度系数β和失真图像的列数nclm，引入高度校正系数得到“笑脸”形变模型；获取失真图像与模板图像中n对相应失真图像标记点坐标ipts和模板图像标记点坐标opts，利用“笑脸”形变模型对坐标ipts进行变换得到标记点坐标Sipts；利用标记点坐标Sipts和模板图像标记点坐标opts，获得TPS形变模型的未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y；建立与失真图像尺寸大小相等的灰度值为零的图像wimg，对其坐标进行“笑脸”形变和TPS形变；根据失真图像与模板图像坐标间的对应关系，将模板图像的灰度值赋给灰度值为零的图像wimg；赋值后得到的图像wimg就是校正后的图像。本申请比原有校正算法能取得更好的校正效果，为凝胶图像的匹配提供良好的前提条件。

Description

基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法

技术领域

本发明涉及基于计算机的双向凝胶图像分析技术领域，尤涉及双向凝胶图像的形变校正方法。

背景技术

双向凝胶电泳方法可以追溯到1975年，但到目前为止这项技术仍被认为是实现蛋白质分离的最有效的方法。双向凝胶的第一向基于蛋白质的等电点不同用等电聚焦分离，第二向则按分子量的不同用聚丙烯酰胺凝胶电泳(SDS-PAGE)分离，把复杂蛋白质混合物中的蛋白质在二维平面上分开，对最终结果进行扫描可视化得到双向凝胶(2-DE)图像。2-DE图像中，蛋白质表现为不同形状、不同大小和不同灰度的点。由于蛋白质样本结构的不同，例如在不同的盐浓度中，会影响蛋白质的迁移形势，从而造成同一个蛋白质点在不同的凝胶图像上可能出现在不同的位置，即所谓的“失真”。即使对一个特定的样本进行重复分析，也可能由于凝胶的局部拉伸造成凝胶图像失真。尽管双向凝胶电泳技术有了显著地提高，但是凝胶间的几何失真仍然存在，造成不同凝胶图像上的同一蛋白质点不能有效重合，从而影响匹配的效率和准确度。因此，对凝胶图像的失真进行形变校正是基于计算机的2-DE图像分析关键一步。

图像形变就是一个像平面上的所有位置到另一个像平面位置的映射。具体来说，形变就是通过二元函数对u(x,y)和v(x,y)把一副图像上的位置(x,y)对应得到另一幅图像上的(u,v)的位置。现有的针对凝胶图像的形变方法有以下几种：

Conradsen和Pedersen于1992年介绍了一种通过立方卷积插值法重新采样的多分辨率方法来去除低分辨率的全局失真和高分辨率的局部失真。通过最小化平方差的和来估算凝胶图像间的不同，和互相关技术基本一致。首先对64×64分辨率的图像进行形变，然后增加分辨率重复，直到512×512的分辨率，相当于5％的相对形变，但是没有考虑平滑约束。

Glasbey,C.A.and Wright,F.于1994年针对多轨迹凝胶电泳中，由于不同凝胶部分蛋白质的不均一流动性产生的“微笑”和“皱眉”失真，提出了用一个梯度滤波器来估计边带方向。依据这些边带方向稳健回归和插补，并整合获得形变模型。经过变换以后边带就会是水平的，轨迹之间也会对齐。这种方法被用于DNA顺序放射自显影，也可同样应用于其他类型的形变发生时的凝胶分离。但这种方法不能处理由轨道本身造成的失真。

John S.Gustafsson等人在2001年对在凝胶图像制造过程中会出现电流侧漏而出现非齐次全局电场的问题提出了一种形变函数对电流侧漏的凝胶图像进行校正的方法。首先建立一个简单的物理化学模型使每个凝胶图像形变，来校正可能产生的失真的主要原因：二维电泳中的电流侧漏。通过最大化似然惩罚实现图像的自动配准。这种方法与Glasbey和Wright在1994年提出的校正多轨迹电泳中出现的皱眉和笑脸形变而提出的形变函数看起来很相似，都是单独的处理图像。但是多轨迹电泳图像，可以利用非对称的线索估计取向方向，并产生一个全局图像的数学形变函数。该方法只是利用了顶部和底部部分图像信息，并且必须依赖中间的物理化学模型。

为了进一步满足更有弹性的失真纠正的需要，一些学者把用于普通数字图像处理的方法用于凝胶图像的处理，并进行了测试。Salmi等人设计了一种多分辨率分段双线性变换(HGT)的方法。HGT的思想是反复的把覆盖在失真凝胶上的原始四边形分成较小的凸四边形的网格。网格的角反复利用随机下降的方法来进行优化.这种分级处理为全局失真(在早期步骤中建模)和局部失真(在最后建模)都提供了一个单一的模型，提供了充足的数量和和可用的对应点的分布。HGT的不足是有大量的网格点要优化和可能产生训练数据的过度适应。用交叉验证的方法来比较HGT和三阶全局多项式变换，虽然HGT在小训练集下(N＝15)，依然表现出优越的形变效果。

目前国内还没有对凝胶图像预形变的深入研究。纵观国外的研究分析，凝胶图像形变亟待解决的问题是：由于蛋白质凝胶图像获取过程中各种不确定因素的存在，凝胶图像产生的失真具有多样化，不确定性等特点，针对这些特点怎样选择一个形变函数既能保证形变的平滑性又能达到较好的匹配效果，为下一步的匹配提供良好的前提条件。

发明内容

本发明针对凝胶图像失真的特点，先用改进后的“笑脸”模型对选取的失真凝胶图像的坐标ipts进行先验形变得到Sipts；然后，基于标记点坐标Sipts和模版图像中的标记点坐标opts获得基于TPS的形变模型，对凝胶图像进行形变校正。将改进后的“笑脸”形变模型与薄板样条函数(TPS)形变模型相结合的形变方法，利用该方法形变校正后的图像和模版图像的相似度有了明显改善。

为实现上述目的，本发明的具体方案如下：

基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，包括以下步骤：

步骤一：对比失真图像与模板图像获得形变程度系数β和失真图像的列数nclm，通过引入高度校正系数得到“笑脸”形变模型；

步骤二：获取失真图像与模板图像中n对相应失真图像标记点坐标ipts和模板图像标记点坐标opts，利用“笑脸”形变模型对坐标ipts进行变换得到标记点坐标Sipts；

步骤三：利用标记点坐标Sipts和模板图像标记点坐标opts，获得TPS形变模型的未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y；

步骤四：建立与失真图像尺寸大小相等的灰度值为零的图像wimg，对其坐标进行“笑脸”形变和TPS形变；

步骤五：根据失真图像与模板图像坐标间的对应关系，将模板图像的灰度值赋给灰度值为零的图像wimg；赋值后得到的图像wimg就是校正后的图像。

所述“笑脸”形变模型为：

U＝X

$V=\frac{Y+\mathrm{\β}\·100[-\frac{4}{{\mathrm{nclm}}^2}{(X-\frac{\mathrm{nclm}}{2})}^2+1]}{\mathrm{Hscale}}$

其中，高度系数：

$\mathrm{Hscale}=\frac{100\·\mathrm{\β}+\mathrm{nclm}}{\mathrm{nclm}}$

式中，(X,Y)为待形变的坐标，其中，X为行坐标，Y为列坐标，(U,V)为(X,Y)经过“笑脸”形变后的坐标，其中，U为行坐标，V为列坐标，nclm为列数，β为形变程度系数。

所述步骤一中，参数形变程度系数β通过对比失真图像与模板图像获得；列数nclm可通过图像处理函数获得。

所述步骤二中，通过图像处理函数获得失真图像中的标记点坐标

ipts＝(x_i,y_i),i＝1,...,n

模版图像中的标记点坐标：

opts＝(X_i,Y_i),i＝1,...,n。

所述步骤五中，失真图像与模板图像坐标间的对应关系具体为：图像wimg的坐标(x,y)经过“笑脸”和TPS形变得到坐标(x',y')，将(x',y')进行四舍五入得到整数坐标(x_N,y_N)，将整数坐标(x_N,y_N)在失真图像中的灰度值赋给(x,y)，即I_wimg(x,y)＝I_失真(x_N,y_N)。

所述步骤三中，(x_i,y_i)代表失真图像坐标系中经过“笑脸”模型形变后的标记点坐标，(X_i,Y_i)为模板图像坐标系中与(x_i,y_i)相对应的点坐标，令Z代表[X₁,X₂,…X_n]^T或者[Y₁,Y₂,…Y_n]^T，通过如下矩阵运算，就得到TPS的未知参数：

$Z_i(x_i,y_i)=a_0+a_x{x}_i+a_y{y}_i+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{j}U\left(r_{\mathrm{ij}}\right),i=1,...,n$

$r_{\mathrm{ij}}^2={(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2,U\left(r_{\mathrm{ii}}\right)=0$

其中，Z_i(x_i,y_i)为坐标(x_i,y_i)经过TPS形变后的坐标值； X₁,X₂,…X_n为坐标(x_i,y_i),i＝1,...,n经过变换后得到的行坐标；Y₁,Y₂,…Y_n为坐标(x_i,y_i),i＝1,...,n经过变换后得到的列坐标。

矩阵形式为：

Z＝PA+KW

其中

$K=\left[\begin{array}{cccc}0& U\left(r_{12}\right)& ...& U\left(r_{1n}\right)\\ U\left(r_{21}\right)& 0& ...& U\left(r_{2n}\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ U\left(r_{n1}\right)& U\left(r_{n2}\right)& ...& 0\end{array}\right]$

$\begin{array}{ccc}W=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ \·\\ \·\\ w_n\end{array}\right]& P=\left[\begin{array}{ccc}1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\\ ...& ...& ...\\ 1& x_n& y_n\end{array}\right]& A=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_x\\ a_t\end{array}\right]\end{array}$

令 $\begin{array}{cc}L=\left[\begin{array}{cc}K& P\\ P^T& O\end{array}\right]& V=\left[\begin{array}{ccccccc}{X}_1& X_2& ...& X_n& 0& 0& 0\\ Y_1& Y_2& ...& Y_n& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$

依据标记点的对应关系可得：

$\begin{array}{cc}L\left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=V^T& \left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=L^{-1}{V}^T\end{array}$

由此得到TPS形变模型中的所有未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y。

本发明的有益效果：

通过对真实和模拟失真凝胶图像的形变校正测试，本发明新提出的校正算法较好的利用了凝胶图像失真的先验知识，能够对凝胶图像进行更有效的形变校正，提高了与模版图像的相似度，且TPS的形变能量值减小，计算效率高，更好的保护了图像的细节信息，适合实际应用，为凝胶图像的匹配提供良好的前提条件。

附图说明

图1a-图1b模版凝胶图像和失真的凝胶图像示意图；

图2改进后的“笑脸”形变模型校正后的凝胶图像示意图；

图3a-图3b模板凝胶图像中的标记点和失真凝胶图像中的标记点示意图；

图4经过“笑脸”形变模型变换后的失真图像中的标记点位置示意图；

图5a-图5b原失真图像和新方法校正后的图像的对比示意图；

图6a-图6b模板图像与本发明的方法校正图像对比示意图；

图7本发明的整体流程示意图。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明进行详细说明：

在凝胶图像的获取过程中，由于不同凝胶部分的蛋白质不均一流动性会造成凝胶图像的“微笑”失真。针对“微笑”失真凝胶图像中，只有图像的行坐标Y发生了改变，且是轴对称的，所以可将原“笑脸”形变模型：

γ＝(5×10^-5)βx²  (1)

初步改进为：

U＝X

$V=Y+\mathrm{\β}\·100[-\frac{4}{{\mathrm{nclm}}^2}{(X-\frac{\mathrm{nclm}}{2})}^2+1]---\left(2\right)$

不难看出，用此模型对图像进行形变会引起图像高度的变化。为了获得与原图尺寸大小相同的校正图像，引入高度校正系数Hscale：

$\mathrm{Hscale}=\frac{100\·\mathrm{\β}+\mathrm{nclm}}{\mathrm{nclm}}---\left(3\right)$

则“笑脸”形变模型可变为：

U＝X

$V=\frac{Y+\mathrm{\β}\·100[-\frac{4}{{\mathrm{nclm}}^2}{(X-\frac{\mathrm{nclm}}{2})}^2+1]}{\mathrm{Hscale}}---\left(4\right)$

平滑TPS是一个经典的逼近函数。TPS曲面用一个方程式来逼近选定的n个点：

$Z(x,y)=a_0+a_{x}x+a_{y}y+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i}U\left(r_i\right)---\left(5\right)$

其中r_i ²＝(x-x_i)²+(y-y_i)²，径向函数U(r)＝r²logr²是双协调方程的基础解，能够满足最小化弯曲能量函数的条件。权数w_i与垂直作用于薄板上点(x_i,y_i)的集中力成正比。曲面通过薄板来逼近n个点，薄板的弯曲能量为：

$E=\underset{R^2}{\∫\∫}({\left(\frac{{\∂}^{2}z}{{\∂x}^2}\right)}^2+2{\left(\frac{{\∂}^{2}z}{\∂x\∂y}\right)}^2+{\left(\frac{{\∂}^{2}z}{{\∂y}^2}\right)}^2)\mathrm{dxdy}---\left(6\right)$

在TPS公式中，得到的Z(x,y)可以直接应用于两个图像坐标系特定对应点之间的映射。这样，TPS可以用来解决二维平面图像的校正问题，并且最小化弯曲能量和均方误差的加权和。

图1a-图1b是凝胶图像的模版图像和失真图像的示意图，对比可以发现，是真图像较原模板图像有较大的差别。

图2是用改进后的“笑脸”形变模型对失真凝胶图像校正结果示意图，通过图像处理函数可以获得图像的列数nclm，对比失真的程度可以获得形变程度系数β，得到“笑脸”形变模型。形变程度系数是通过对比失真图像和模板图像中对应标记点的坐标大致确定的。

图3a-图3b是选取的模板凝胶图像中的标记点opts和失真凝胶图像中的标记点ipts在图像中位置的示意图。

图4是失真凝胶图像中的标记点ipts经过“笑脸”形变模型变换后在图像中的位置。

图5a-图5b是新方法校正后的图像与原失真图像的对比示意图，图6a-图6b模板图像与本发明的方法校正图像对比示意图。

如图7所示，本发明所述新方法校正的具体过程如下：

(1)对比失真图像与模板图像获得形变程度系数β和失真图像的列数nclm，得到“笑脸”形变模型中未知参数；用matlab中的size函数nclm＝size(img,2)获得失真图像img的列数。

(2)获取两幅图像中n对相应标记点坐标ipts和opts，利用“笑脸”形变模型对坐标ipts进行变换得到Sipts；

标记点坐标ipts＝(x_i,y_i),i＝1,...,n将ipts中的坐标值(x_i,y_i)代入“笑脸”形变模型

U＝X

$V=\frac{Y+\mathrm{\β}\·100[-\frac{4}{{\mathrm{nclm}}^2}{(X-\frac{\mathrm{nclm}}{2})}^2+1]}{\mathrm{Hscale}}$

得到(x′_i,y′_i)，令Sipts＝(x′_i,y′_i),i＝1,...,n

(3)利用标记点坐标Sipts和opts，获得TPS形变模型的未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y；

TPS的形变模型为

$Z_i(x_i,y_i)=a_0+a_x{x}_i+a_y{y}_i+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{j}U\left(r_{\mathrm{ij}}\right),i=1,...,n,$ n是自然数，代表标记点的对数。

根据凝胶图像失真特点的先验信息，先对失真凝胶图像进行“笑脸”形变，然后再进行TPS形变，可以减少TPS形变的能量：

$E=\underset{R^2}{\∫\∫}({\left(\frac{{\∂}^{2}z}{{\∂x}^2}\right)}^2+2{\left(\frac{{\∂}^{2}z}{\∂x\∂y}\right)}^2+{\left(\frac{{\∂}^{2}z}{{\∂y}^2}\right)}^2)\mathrm{dxdy}$

更好的保护图像的细节信息。

(4)建立与原图尺寸大小相等的灰度值为零的图像wimg，对其坐标进行“笑脸”形变和TPS形变；具体为：对图像wimg中的每个坐标(x,y)，根据“笑脸”形变模型先进行“笑脸”形变，然后再根据TPS模型进行TPS形变最后得到一对坐标值(x',y')。

(5)根据失真图像与模板图像坐标间的对应关系，将模板图像的灰度值赋给wimg；失真图像与模板图像坐标间的对应关系具体指的是：图像wimg的坐标(x,y)经过“笑脸”和TPS形变得到坐标(x',y')，将(x',y')进行四舍五入得到整数坐标(x_N,y_N)，将整数坐标(x_N,y_N)在失真图像中的灰度值赋给(x,y)，即I_wimg(x,y)＝I_失真(x_N,y_N)。

整数坐标(x_N,y_N)中的N不是参数，只是表明x_N,y_N为整数。因为图像wimg的坐标(x,y)经过“笑脸”和TPS形变得到坐标(x',y')一般情况下都不是整数，但数字图像中的坐标都为整数，为了达到为对应点坐标赋值的目的，就必须对坐标(x',y')取整，即：

x_N＝[x']

y_N＝[y']

[x]代表对x进行四舍五入取整。

(6)最终得到的图像wimg就是校正后的图像。

所述步骤(1)中，参数β通过对比失真图像与模板图像获得；参数nclm可通过图像处理函数获得。

所述步骤(2)中，通过图像处理函数获得失真图像中的标记点坐标

ipts＝(x_i,y_i),i＝1,...,n  (7)

模版图像中的标记点坐标

opts＝(X_i,Y_i),i＝1,...,n  (8)

利用“笑脸”形变模型对坐标ipts进行变换得到Sipts。

所述步骤(3)中，(x_i,y_i)代表失真图像坐标系中经过“笑脸”模型形变后的标记点坐标，(X_i,Y_i)为模板图像坐标系中与(x_i,y_i)相对应的点坐标。令Z代表[X₁,X₂,…X_n]^T或者[Y₁,Y₂,…Y_n]^T，通过如下矩阵运算，就得到TPS的未知参数。

$Z_i(x_i,y_i)=a_0+a_x{x}_i+a_y{y}_i+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{j}U\left(r_{\mathrm{ij}}\right),i=1,...,n$

$r_{\mathrm{ij}}^2={(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2,U\left(r_{\mathrm{ii}}\right)=0---\left(9\right)$

矩阵形式为：

Z＝PA+KW  (10)

其中

$K=\left[\begin{array}{cccc}0& U\left(r_{12}\right)& ...& U\left(r_{1n}\right)\\ U\left(r_{21}\right)& 0& ...& U\left(r_{2n}\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ U\left(r_{n1}\right)& U\left(r_{n2}\right)& ...& 0\end{array}\right]---\left(11\right)$

$\begin{array}{ccc}W=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ \·\\ \·\\ w_n\end{array}\right]& P=\left[\begin{array}{ccc}1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\\ ...& ...& ...\\ 1& x_n& y_n\end{array}\right]& A=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_x\\ a_t\end{array}\right]\end{array}---\left(12\right)$

令 $\begin{array}{cc}L=\left[\begin{array}{cc}K& P\\ P^T& O\end{array}\right]& V=\left[\begin{array}{ccccccc}{X}_1& X_2& ...& X_n& 0& 0& 0\\ Y_1& Y_2& ...& Y_n& 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}---\left(13\right)$

依据标记点的对应关系可得：

$\begin{array}{cc}L\left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=V^T& \left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=L^{-1}{V}^T\end{array}---\left(14\right)$

由此得到TPS形变模型中的所有未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (7)

1.基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，包括以下步骤：

步骤一：对比失真图像与模板图像获得形变程度系数β和失真图像的列数nclm，通过引入高度校正系数得到“笑脸”形变模型；

步骤二：获取失真图像与模板图像中n对相应失真图像标记点坐标ipts和模板图像标记点坐标opts，利用“笑脸”形变模型对坐标ipts进行变换得到标记点坐标Sipts；

步骤三：利用标记点坐标Sipts和模板图像标记点坐标opts，获得TPS形变模型的未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y；

步骤四：建立与失真图像尺寸大小相等的灰度值为零的图像wimg，对其坐标进行“笑脸”形变和TPS形变；

步骤五：根据失真图像与模板图像坐标间的对应关系，将模板图像的灰度值赋给灰度值为零的图像wimg；赋值后得到的图像wimg就是校正后的图像。

2.如权利要求1所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，所述“笑脸”形变模型为：

U＝X

$V=\frac{Y+\mathrm{\β}\·100[-\frac{4}{{\mathrm{nclm}}^2}{(X-\frac{\mathrm{nclm}}{2})}^2+1]}{\mathrm{Hscale}}$

其中，高度系数：

$\mathrm{Hscale}=\frac{100\·\mathrm{\β}+\mathrm{nclm}}{\mathrm{nclm}}$

式中，(X,Y)为待形变的坐标，其中，X为行坐标，Y为列坐标，(U,V)为(X,Y)经过“笑脸”形变后的坐标，其中，U为行坐标，V为列坐标，nclm为列数，β为形变程度系数。

3.如权利要求1所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，所述步骤一中，参数形变程度系数β通过对比失真图像与模板图像获得；列数nclm可通过图像处理函数获得。

4.如权利要求1所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，所述步骤二中，通过图像处理函数获得失真图像中的标记点坐标

ipts＝(x_i,y_i),i＝1,...,n

模版图像中的标记点坐标：

opts＝(X_i,Y_i),i＝1,...,n。

5.如权利要求1所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，所述步骤五中，失真图像与模板图像坐标间的对应关系具体为：图像wimg的坐标(x,y)经过“笑脸”和TPS形变得到坐标(x',y')，将(x',y')进行四舍五入得到整数坐标(x_N,y_N)，将整数坐标(x_N,y_N)在失真图像中的灰度值赋给(x,y)，即I_wimg(x,y)＝I_失真(x_N,y_N)。

6.如权利要求1所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，所述步骤三中，(x_i,y_i)代表失真图像坐标系中经过“笑脸”模型形变后的标记点坐标，(X_i,Y_i)为模板图像坐标系中与(x_i,y_i)相对应的点坐标，令Z代表[X₁,X₂,…X_n]^T或者[Y₁,Y₂,…Y_n]^T，通过如下矩阵运算，就得到TPS的未知参数：

$Z_i(x_i,y_i)=a_0+a_x{x}_i+a_y{y}_i+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{j}U\left(r_{\mathrm{ij}}\right),i=1,...,n$

$r_{\mathrm{ij}}^2={(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2,U\left(r_{\mathrm{ii}}\right)=0$

其中，Z_i(x_i,y_i)为坐标(x_i,y_i)经过TPS形变后的坐标值； X₁,X₂,…X_n为坐标(x_i,y_i),i＝1,...,n经过变换后得到的行坐标；Y₁,Y₂,…Y_n为坐标(x_i,y_i),i＝1,...,n经过变换后得到的列坐标。

7.如权利要求6所述的基于改进TPS模型的凝胶图像校正算法，其特征是，矩阵形式为：

Z＝PA+KW

其中

$K=\left[\begin{array}{cccc}0& U\left(r_{12}\right)& ...& U\left(r_{1n}\right)\\ U\left(r_{21}\right)& 0& ...& U\left(r_{2n}\right)\\ ...& ...& ...& ...\\ U\left(r_{n1}\right)& U\left(r_{n2}\right)& ...& 0\end{array}\right]$

$W=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ .\\ .\\ w_n\end{array}\right]$    $P=\left[\begin{array}{ccc}1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\\ ...& ...& ...\\ 1& x_n& y_n\end{array}\right]$    $A=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_x\\ a_t\end{array}\right]$

令 $L=\left[\begin{array}{cc}K& P\\ P^T& O\end{array}\right]$    $V=\left[\begin{array}{ccccccc}{X}_1& X_2& ...& X_n& 0& 0& 0\\ Y_1& Y_2& ...& Y_n& 0& 0& 0\end{array}\right]$

依据标记点的对应关系可得：

$L\left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=V^T$    $\left[\begin{array}{c}W\\ A\end{array}\right]=L^{-1}{V}^T$

由此得到TPS形变模型中的所有未知参数w_i(i＝1…n),a₀,a_x,a_y。