CN104457684A - 免固定设站点的全站仪三维变形监测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种全站仪三维变形监测方法，与传统方法相比，本发明不需要控制测量，用于监测的点均不需要已知，不需要建立观测墩。从而减少工序、降低工程造价，节约资源。全站仪不需要固定设站点、不需要设站点的坐标、不需要后视点、不需要仪器对中、不需要量取仪器高、不需要瞄准零方向、不需要固定坐标系或统一坐标系。这些将使得外业工作简便、快捷、高效、省时省力。支导线法平均中误差定理可以简化监测精度评定工作，并得到一个简单明确的平面点位位移中误差公式。本发明的平面点位位移中误差公式可以指导和优化变形监测的外业布置工作以及提高监测成果的可靠性。本发明容易避开施工干扰，并且不影响施工。

Description

免固定设站点的全站仪三维变形监测方法

技术领域

本发明属于工程测量领域中使用全站仪或其它类型测绘仪器设备的三维变形监测。 

背景技术

变形监测的方法很多，根据需要，对于工程变形的全站仪三维变形监测，其方法之一是，在变形体范围内布置若干个变形监测点，而在变形体之外至少应该建立三个以上已知控制点，一个控制点用于架设全站仪，另外两个控制点作为后视点和检查点，利用控制点的三维坐标推算出变形监测点的三维坐标，通过后次观测得到监测点的三维坐标与初始观测得到的监测点的三维坐标即初始值进行比较，以发现监测点的变化情况。 

对于上述这种三维变形监测方法，用于监测的设站点、后视点和检查点以及监测点的初始值三维坐标首先要通过控制测量工序确定为已知。对于高精度精密变形监测工作还需要首先建立固定观测墩，作为设站点的控制点就建立在观测墩上。若监测精度要求不高则可以不建立观测墩，这种情况下，控制点建立在地面上，每次监测都需要精确量取仪器高。若监测精度要求高而又不建立观测墩，为了提高全站仪的仪器量高精度，则可以采用虚拟观测墩技术。对于这种变形监测工作，全站仪需要严格对中，若平面监测精度要求越高则对中要求就越严格。 

监测所用的坐标系可以采用国家统一坐标系，也可以建立独立直角坐标系，在监测工作开始前坐标系要唯一确定下来，并且在监测期间坐标系一般不能改变。 

发明内容

<要解决的技术问题> 

对目前这种工程变形监测方法进行改进，使得这种变形监测工作简便灵活、省时省力、方便快捷、工序少、节约资源、降低工程造价。具体要解决下列技术问题： 

1)设站点不需要固定，可以是任何方便的位置，甚至可以建立在变形体上。每次监测设站都允许与以前监测时的设站位置不同。 

2)设站点不需要已知，即不需要设站点的坐标。 

3)不需要后视点，因此也就不需要对准水平零方向，更不需要知道零方向的具***置。 

4)不需要建立固定观测墩，因为每次后次监测时的设站都可以是不同的位置。 

5)不需要做控制测量。即，不需要在监测工作开始前建立用于监测的各类已知点，如设站点、后视点、检查点、监测点初始值等。 

6)不需要量取仪器高。 

7)不需要全站仪对中。 

8)容易避开与施工的相互干扰。 

9)每次监测都可以采用不同的坐标系。 

10)支导线法平均中误差定理，以解决本发明在相关公式推导上的复杂问题。 

<技术方案> 

本发明要求，在建立变形观测场时，除了建立必要的变形监测点外，还要在变形体之外的稳固地面上建立两个以上的固定点，每次观测时对变形监测点和固定点统一进行观测。变形监测点可以不全部观测，但固定点必须至少观测两个。对于工程中的局部变形监测工作，例如滑坡、大坝、水电站、各种规格的船闸以及重要的工程部位等，对其变形体的监测可以某一水平面为基准面。 

变形监测点和固定点都作为照准点，在照准点上需要安放目标棱镜，或直接利用反射片进行观测，或者用免棱镜全站仪对照准目标进行观测。但，目前使用反射片的测距精度比使用棱镜的测距精度要低，免棱镜全站仪的测距精度同样比直接观测棱镜的测距精度也要低。棱镜主要用来测量距离，也可以用来当作方向观测的目标。有时，为了提高方向观测精度，瞄准方向的目标，例如小十字，可以单独建立，方向观测瞄准其小十字中心，而棱镜只用来观测距离。 

本发明将用支导线法确定照准点的平面坐标，用三角高程确定照准点的高程，以获得照准点的三维坐标即平面坐标和高程。文中所说的坐标一般指的就是三维坐标，若提到平面坐标则指的是不包含高程的二维平面坐标。 

本发明将给出一种利用后次观测和初始观测得到的监测点的三维坐标进行比较而发现位移是否发生的新方法。除初始观测外，之后的定期或不定期监测都称为后次观测。对于某一次后次监测，根据需要将说成是后次第几次观测或后次第几次监测。 

一、公知的基本测量方法 

下面是测量学中熟知的两种基本测量方法：支导线法和三角高程。 

1、支导线法 

①未知点的坐标计算公式 

把全站仪架设在一个已知点A上，后视另一个已知点B，而推算出未知点i的坐标。A也称为基准点或设站点，B也称为后视点。 

计算公式为 

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i=x_A+S_i\cos {\mathrm{\&beta;}}_i\\ y_i=y_A+S_i\sin {\mathrm{\&beta;}}_i\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中， 

(x_i，y_i)为未知点i的坐标； 

(x_A，y_A)为基准点A的坐标； 

S_i为A到i的水平距离； 

β_i为A到i的方位角。方位角是纵轴正向按顺时针方向旋转到一条边的角度。 

②估计未知点的坐标中误差 

对(1)式微分得 

$\left\{\begin{array}{c}d{x}_i={\mathrm{dx}}_A+\cos {\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{dS}}_i-S_i\sin {\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i\\ {\mathrm{dy}}_i={\mathrm{dy}}_A+\sin {\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{dS}}_i+S_i\cos {\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i\end{array}\right.$

转化为中误差方程得到 

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{x_{\text{i}}}^2=m_{x_A}^2+{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}\\ m_{y_i}^2=m_{y_A}^2+{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中， 

ρ＝206265″，是测量学中的一个常数； 

为i点的横坐标中误差； 

为i点的纵坐标中误差； 

为A点的横坐标中误差； 

为A点的纵坐标中误差。 

③求未知点的平面点位中误差 

设未知点的平面点位中误差为则 

$M_{d_i}^2=m_{x_i}^2+m_{y_i}^2---\left(3\right)$

将(2)式代入上式得 

$\begin{array}{c}{M}_{d_i}^2=(m_{x_A}^2+{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2})\\ +(m_{y_A}^2+{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2})\end{array}$

化简整理得 

$M_{d_i}=\sqrt{M_A^2+m_{S_i}^2+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}}---\left(4\right)$

其中，M_A是基准点A的点位中误差。 

实际应用中，都把基准点当作理论值，所以可令M_A＝0，则 

$M_{d_i}=\sqrt{m_{S_i}^2+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}}---\left(5\right)$

这时，(2)式变为 

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{x_{\text{i}}}^2={\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}\\ m_{y_i}^2={\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}\end{array}\right.---\left(6\right)$

2、三角高程 

由A点的高程z_A推算i点的高程z_i，按下式计算： 

z_i＝z_A+S_i tan α_i+I_A-V_i+f_i    (1′) 

式中， 

I_A为在A点架设全站仪的仪器高； 

α_i为i点的观测垂直角； 

V_i为i点的觇标高； 

f_i为i点的球气差。 

二、支导线法平均中误差定理 

由于用支导线法确定未知点时，其未知点的纵横坐标中误差不相等，使得本发明在进行精度评定时公式的推导很繁，难以得到一个明确的结果。但是，利用这个定理能使得公式推导大大简化，最后得出一个简单明确的结果，从而指导本发明的生产实施。 

定理：支导线法确定未知点坐标时，其未知点的横坐标和纵坐标的平均中误差相等，且平均平面点位中误差与平面点位中误差相等。 

此定理称为支导线法平均中误差定理。下面给出这个定理的证明。 

证明： 

由(6)式可知，一般情况下，仅在个别特殊情况下，即方位角为±45°和180°±45°时等号才成立。 

因此，在2π范围内，将某一监测点的第i次监测得到的横坐标x的平均中误差设为则 

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_i}^2=\frac{\left[m_{x_i}^2\right]}{\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{d\&beta;}}_i}}\\ =\frac{[{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}]}{\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{d\&beta;}}_i}}\\ =\frac{[{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}]{\mathrm{d\&beta;}}_i}{2\mathrm{\&pi;}}\\ =\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}({\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}){\mathrm{d\&beta;}}_i\end{array}$

其中，[]表示求和。 

因为 

${\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i=\mathrm{\&pi;}$

${\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{d\&beta;}}_i={\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}(1-{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i){\mathrm{d\&beta;}}_i={\left[{\mathrm{\&beta;}}_i\right]}_0^{2\mathrm{\&pi;}}-{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{d\&beta;}}_i=\mathrm{\&pi;}$

所以 

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_i}^2=\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}[m_{S_i}^2{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{d\&beta;}}_i]\\ =\frac{1}{2}(m_{S_i}^2+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2})\end{array}$

同理，纵坐标y的平均中误差设为则 

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}^2=\frac{\left[m_{y_i}^2\right]}{\frac{2\mathrm{\&pi;}}{d{\mathrm{\&beta;}}_i}}\\ =\frac{[{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}]}{\frac{2\mathrm{\&pi;}}{d{\mathrm{\&beta;}}_i}}\\ =\frac{[{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}]d{\mathrm{\&beta;}}_i}{2\mathrm{\&pi;}}\\ =\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}({\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_i{m}_{S_i}^2+S_i^2{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_i\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2})d{\mathrm{\&beta;}}_i\end{array}$

${\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}^2=\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}[m_{S_i}^2{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\sin }^2{\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}{\cos }^2{\mathrm{\&beta;}}_{i}d{\mathrm{\&beta;}}_i]$

${\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}^2=\frac{1}{2}(m_{S_i}^2+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2})$

可见 

${\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_i}={\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}$

说明x坐标和y坐标具有相同的平均中误差。 

平均平面点位中误差为： 

${\stackrel{\&OverBar;}{M}}_{d_i}=\sqrt{{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_i}^2+{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}^2}=\sqrt{m_{S_i}^2+S_i^2\frac{m_{{\mathrm{\&beta;}}_i}^2}{{\mathrm{\&rho;}}^2}}$

与(5)式相同。即 

${\stackrel{\&OverBar;}{M}}_{d_i}=M_{d_i}$

(证毕) 

因此，用平均纵、横向坐标中误差代替纵、横向坐标中误差，其结果不影响平面点位中误差的大小。即，用代替用代替其结果不影响的大小。因为所以在实际工作中也可以认为和是相等的。 

根据该定理，第j点的平面点位中误差可以简单表示成以下几种形式： 

$M_{d_j}={\stackrel{\&OverBar;}{M}}_{d_j}=\sqrt{2}{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_j}=\sqrt{2}{\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_i}=\sqrt{2}{m}_{x_j}=\sqrt{2}{m}_{y_i}---\left(7\right)$

三、本发明的方法简述 

为叙述方便，设1、2、3、…、n为变形监测点的点号，A、B为两个固定点。 

本发明所述的方法是将各照准点的初始观测坐标当做初始值保存，这时所采用的坐标系称为初始观测坐标系，后次观测的各个照准点的坐标，其坐标系称为后次观测坐标系。监测点的后次观测坐标系的坐标将通过A、B两点变换到初始观测坐标系中，然后与初始值进行比较而得到监测点的位移。 

初始观测时，在任何位置设站观测各照准点，然后将监测点平移归算到以固定点A为坐标原点的坐标系中。 

后次观测时，同样在任何位置设站观测各照准点，然后也将监测点平移归算到以固定点A为坐标原点的坐标系中。 

因为前后两次观测允许在不同的任何位置上设站，所以，前后两次观测的以A点为原点的两个坐标系之间一般会存在一个夹角。也就是说，每次监测所采用的坐标系都可以是各自独立而互不相干的坐标系，在每次设站观测后都经过平移归算为以A点为坐标原点的坐标系中。然后，再经过旋转变换而得到监测点的位移。 

四、位移计算方法 

建立观测场后，固定点A、B均无需已知坐标。 

下面推导三维位移的计算公式。 

设(j＝1、2、3、......、n、A、B) 

为照准点1、2、3、......、n和两个固定点A、B的初始观测坐标系坐标。 

注：右上角的数字0表示初始观测，若为非0数字则表示后次观测的第i次观测，j表示照准点号。 

1、确定以A为坐标原点的初始观测坐标系坐标 

把照准点的初始观测坐标通过平移运算变换为以固定点A为坐标原点，平移后的坐标分量前面都缀以Δ。 

在初始观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标为 

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^0\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^0\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_j^0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_j^0\\ y_j^0\\ z_j^0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_A^0\\ y_A^0\\ z_A^0\end{array}\right)---\left(8\right)$

(j≠A，j＝1、2、3、......、n、B) 

初始观测后得到AB的初始方位角为 

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0}$

而 

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_B^0\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_B^0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_B^0\\ y_B^0\\ z_B^0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_A^0\\ y_A^0\\ z_A^0\end{array}\right)---\left(9\right)$

2、确定以A为坐标原点的后次观测坐标系坐标 

把照准点的后次观测坐标通过平移运算变换为以固定点A为坐标原点，平移后的坐标分量前面都缀以Δ。 

设 

(i＝1、2、3、......、m，j＝1、2、3、......、n、A、B) 

为照准点1、2、3、......、n和两个固定点A、B的后次第i次观测坐标系坐标。m为观测次数。 

后次观测的次数从1开始起算，对于监测工作来说，称为第一次正式监测。 

在后次观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标为 

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_j^i\\ {\mathrm{\&Delta;y}}_j^i\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_j^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_j^i\\ y_j^i\\ z_j^i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_A^i\\ y_A^i\\ z_A^i\end{array}\right)---\left(10\right)$

(j≠A，j＝1、2、3、......、n、B) 

后次观测得到AB的方位角为 

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i}{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i}$

而 

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\\ {\mathrm{\&Delta;y}}_B^i\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_B^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_B^i\\ y_B^i\\ z_B^i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_A^i\\ y_A^i\\ z_A^i\end{array}\right)---\left(11\right)$

3、位移计算 

将后次观测坐标系旋转变换到与初始观测坐标系一致，然后进行位移计算。 

下面可以得到变形监测点后次第i次观测相对于初始观测时的三维变化量。 

因为所有照准点的后次观测与初始观测都已经过平移变换为以A点为坐标原点，接下来将后次观测的结果旋转变换到初始观测坐标系中。 

设旋转角为Δα_i，则 

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0$

Δα_i为AB方向后次第i次观测方位角与初始观测方位角之差。 

将后次第i次观测得到的监测点在以A点为坐标原点的后次观测坐标系坐标旋转变换到以A点为坐标原点的初始观测坐标系中的坐标为 

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x_j^i}^{\&prime;\&prime;}\\ \mathrm{\&Delta;}{y_j^i}^{\&prime;\&prime;}\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& -\sin \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i\\ \sin \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& \cos \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^i\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^i\end{array}\right)---\left(12\right)$

在本发明中，k＝1。 

用前缀表示位移，设监测点的位移为则 

(j＝1、2、3、......、n) 

综合(8)、(10)、(12)、(13)式得位移计算公式为 

即 

(14)式和(15)式称为位移计算公式，是等价的两种不同形式。 

从(15)式中的后两个矩阵式并结合(1)式和(1′)式可知，设站点的坐标以及设站的仪器高都是不需要的，实际工作中为了保持现有的工作习惯可以假设这些量作为过渡。 

下面推导出不需要设站点的假设坐标以及不需要设站的假设仪器高的坐标分量计算公式。 

假设设站点的点号为W，由(10)式和(1)式及(1′)式可得 

$\mathrm{\&Delta;}{x}_j^i=x_j^i-x_A^i=(x_W+S^j\cos {\mathrm{\&beta;}}_j^i)-(x_W+S_A^i\cos {\mathrm{\&beta;}}_A^i)=S_j^i\cos {\mathrm{\&beta;}}_j^i-S_A^i\cos {\mathrm{\&beta;}}_A^i$

$\mathrm{\&Delta;}{y}_j^i=y_j^i-y_A^i=S_j^i\sin {\mathrm{\&beta;}}_j^i-S_A^i\sin {\mathrm{\&beta;}}_A^i$

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{z}_j^i=z_j^i-Z_A^i=(z_W+S_j^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_j^i+I_W-V_j^i+f_j^i)-(z_W+S_A^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_A^i+I_W-V_A^i+f_A^i)\\ =(S_j^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_j^i-V_j^i+f_j^i)-(S_A^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_A^i-V_A^i+f_A^i)\end{array}$

即： $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^i=x_j^i-x_A^i=S_j^i\cos {\mathrm{\&beta;}}_j^i-S_A^i\cos {\mathrm{\&beta;}}_A^i\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{ji}}^i=y_j^i-y_A^i=S_j^i\sin {\mathrm{\&beta;}}_j^i-S_A^i\sin {\mathrm{\&beta;}}_A^i\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_j^i=z_j^i-z_A^i=(S_j^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_j^i-V_j^i+f_j^i)-(S_A^i\tan {\mathrm{\&alpha;}}_A^i-V_A^i+f_A^i)\end{array}\right.---\left({15}^{\&prime;}\right)$

式中， 

分别为第i次监测观测时设站点到j点的水平距离、水平角、垂直角、觇标高和球气差； 

分别为第i次监测观测时设站点到A点的水平距离、水平角、垂直角、觇标高和球气差； 

在(15′)式中，当i＝0时表示初始观测，当i＞0时表示后次观测。 

从(15′)式可以看出，不需要设站点坐标、不需要后视点而直接用监测点的观测方向当作其方位角、不需要设站仪器高就可以进行位移计算了。因此，也就不需要将仪器对中了。 

由(14)式可知，如果没有发生平面点位位移和垂直位移，则 

所以 

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& -\sin \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& 0\\ \sin \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& \cos \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^i\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^i\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_j^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^0\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^0\\ \mathrm{\&Delta;}{z}_j^0\end{array}\right)---\left(16\right)$

当三维坐标位移计算出来以后，就可以计算被监测点发生位移后的平面点位位移大小和方向了。 

设第j点在后次第i次监测得到的平面点位位移为则 

位移方位角为 

式中， 

为第j点在第i次监测时的在初始观测坐标系中的位移方位角。位移方位角表示了位移的方向。 

根据实际工作情况，本发明同样允许采用统一坐标系，此时 

Δα_i＝0 

代入(14)式和(15)式后得 

和 

五、位移误差估计 

由(14)式知 

由(15)式知 

对(20)式求全微分得 

将上面三式转换为中误差形式，得 

求出以上各式中的偏导数 

因为 

$\tan \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=\tan ({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0)=\frac{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i-\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i+\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}$

所以 

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i={\tan }^{-1}=\frac{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i-\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i+\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}$

对上式求全微分得 

$\begin{array}{c}\mathrm{d\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0}\mathrm{d\&Delta;}{x}_B^0+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}\mathrm{d\&Delta;}{y}_B^0+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i}\mathrm{d\&Delta;}{x}_B^i+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i}\mathrm{d\&Delta;}{y}_B^i\\ =\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;{\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}d(x_B^0-x_A^0)+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}d(y_B^0-y_A^0)+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i}d(x_B^i-x_A^i)+\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}{\&PartialD;{\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}d(y_B^i-y_A^i)\end{array}$

转化为中误差式 

$\begin{array}{c}{m}_{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}^2={\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}\right)}^2(m_{x_B^0}^2+m_{x_A^0}^2)+{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}\right)}^2(m_{y_B^0}^2+m_{y_A^0}^2)+{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}\right)}^2(m_{x_B^i}^2+m_{x_A^i}^2)\\ +{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}\right)}^2(m_{y_B^i}^2+m_{y_A^i}^2)\end{array}---\left(22\right)$

结合以下三式求上式的各偏导数： 

${\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i={\tan }^{-1}\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0={\tan }^{-1}\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}=\frac{\&PartialD;({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}-\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}=-\frac{1}{1+{\left(\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{{-\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2}=\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^0\right)}^2}$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}=\frac{\&PartialD;({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}-\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}=-\frac{1}{1+{\left(\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^0}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}=\frac{{-\mathrm{\&Delta;x}}_B^0}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^0\right)}^2}$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}=\frac{\&PartialD;({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}-\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}=\frac{1}{1+{\left(\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{{-\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\right)}^2}=\frac{-{\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^i\right)}^2}$

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}=\frac{\&PartialD;({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0)}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}=\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^i}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}-\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{AB}}^0}{{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}=\frac{1}{1+{\left(\frac{{\mathrm{\&Delta;y}}_B^i}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}\right)}^2}\&CenterDot;\frac{1}{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}=\frac{{\mathrm{\&Delta;x}}_B^i}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^i\right)}^2}$

根据支导线法平均中误差定理可知，对所求点的纵、横坐标中误差用它们的平均中误差代替后对平面点位中误差的大小没有影响。 

因此，对于初始观测： 

对于A点，根据该定理，可令 

$m_{x_A^0}={\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_A^{\text{0}}}$

$m_{y_A^0}={\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_A^{\text{0}}}$

因 

${\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{x_A^0}={\stackrel{\&OverBar;}{m}}_{y_A^{\text{0}}}$

所以 

$m_{x_A^0}=m_{y_A^{\text{0}}}$

同理 

$m_{x_B^0}=m_{y_B^{\text{0}}}$

$m_{x_j^0}=m_{y_j^{\text{0}}}$

同理，对于后次第i次观测，有 

$m_{x_A^i}=m_{y_A^{\text{i}}}$

$m_{x_B^i}=m_{y_B^{\text{i}}}$

$m_{x_j^i}=m_{y_j^{\text{i}}}$

其次，为了公式推导的方便，假设各个监测点在同一次监测时为同精度观测，这同时也符合大多数实际测量工作情况。因此， 

对于初始观测有 

$m_{x_A^0}=m_{x_B^0}=m_{x_j^{\text{0}}}$

$m_{y_A^0}=m_{y_B^0}=m_{y_j^{\text{0}}}$

$m_{z_A^0}=m_{z_B^0}=m_{z_j^{\text{0}}}$

对于第i次观测有 

$m_{x_A^i}=m_{x_B^i}=m_{x_j^{\text{i}}}$

$m_{y_A^i}=m_{y_B^i}=m_{y_j^{\text{i}}}$

$m_{z_A^i}=m_{z_B^i}=m_{z_j^{\text{i}}}$

综合以上关于坐标中误差的论述，可以设 

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{x_A^0}=m_{x_B^0}=m_{y_A^0}=m_{y_B^0}=m_{x_j^0}=m_{y_j^0}=m_{\mathrm{xy}}^0\\ m_{z_A^0}=m_{z_B^0}=m_{z_j^0}=m_{z^0}\end{array}\right.---\left(23\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{m}_{x_A^i}=m_{x_B^i}=m_{y_A^i}=m_{y_B^i}=m_{x_j^i}=m_{y_j^i}=m_{\mathrm{xy}}^i\\ m_{z_A^i}=m_{z_B^i}=m_{z_j^i}=m_{z^i}\end{array}\right.---\left(24\right)$

式中， 

为监测点初始值的平面坐标分量中误差；右下角的xy，既表示x坐标分量的中误差，也表示y坐标分量的中误差，因为二者相等，下同。 

为监测点后次第i次观测时的平面坐标分量中误差； 

m_z ^o为监测点初始值的高程中误差； 

m_z ⁱ为监测点后次第i次观测的高程中误差。 

以下为了公式的简洁，将表示成将表示成

将式(23)、(24)分别代入式(21)，并将相应的偏导数代入，化简整理得 

由(16)式可知，在没有发生平面点位位移时 

$\left(\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i-\sin {\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i\\ \begin{array}{cc}\sin \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i& \cos \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i\end{array}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_j^i\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_j^0\\ \mathrm{\&Delta;}{y}_j^0\end{array}\right)$

所以 

又因为，由(22)式，同时照顾到(23)式、(24)式，并将相应的偏导数代入，得 

$\begin{array}{c}{m}_{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_i}^2={\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^0\right)}^2}\right)}^2(m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{0^2})+{\left(\frac{-\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0\right)}^2}\right)}^2(m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{0^2})\\ +{\left(\frac{-\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}\right)}^2(m_{\mathrm{xy}}^{i^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})+{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}\right)}^2(m_{\mathrm{xy}}^{i^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})\\ =2{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^0\right)}^2}\right)}^2{m}_{\mathrm{xy}}^{0^2}+2{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^0\right)}^2}\right)}^2{m}_{\mathrm{xy}}^{0^2}+2{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}\right)}^2{m}_{\mathrm{xy}}^{i^2}\\ +2{\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}\right)}^2{m}_{\mathrm{xy}}^{i^2}\\ =\frac{{2m}_{\mathrm{xy}}^{0^2}}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^0\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0\right)}^2}+\frac{2m_{\mathrm{xy}}^{i^2}}{{\left({\mathrm{\&Delta;x}}_B^i\right)}^2+{\left({\mathrm{\&Delta;y}}_B^i\right)}^2}\end{array}$

所以 

设： 

为初始观测得到的A、B之间的距离。则 

$S_{\mathrm{AB}}^0=\sqrt{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0\right)}^2}$

为后次第i次观测得到的A、B之间的距离。则 

$S_{\mathrm{AB}}^i=\sqrt{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}$

因为A、B为两个固定点，所以理应当于是 

而 

$m_{\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i}^2=\frac{2m_{\mathrm{xy}}^{0^2}}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^0\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^0\right)}^2}+\frac{2m_{\mathrm{xy}}^{i^2}}{{\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_B^i\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_B^i\right)}^2}=\frac{2(m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}$

即 

${m_{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}}_i=\&PlusMinus;\frac{\sqrt{2(m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})}}{S_{\mathrm{AB}}^0}\mathrm{\&rho;}---\left(25\right)$

又设，初始观测时第j点到A点的距离为则 

${\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2={\left(\mathrm{\&Delta;}{x}_j^0\right)}^2+{\left(\mathrm{\&Delta;}{y}_j^0\right)}^2$

后次第i次观测时第j点的平面点位位移中误差为则 

所以 

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{2[\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2](m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})}$

如果将第j点的初始观测平面点位中误差表示成将其后次观测平面点位中误差表示成则，后次第i次观测时第j点的平面点位位移中误差可以表示成初始观测与后次观测的平面点位位移中误差的函数关系。即 

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{[\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2](m_{d_j^0}^2+m_{d_j^i}^2)}---\left(26\right)$

式中， 

表示第j点在后次第i次监测得到的平面点位位移中误差； 

表示第j点在初始观测时得到的平面点位中误差； 

表示第j点在后次第i次观测时得到的平面点位中误差； 

表示第j点到固定点A的水平距离； 

表示两个固定点之间的水平距离。 

从(26)式可以看出，两个固定点A、B之间的距离越大，或者，照准点j与A点的距离越小，则平面点位位移的精度就越高，预报的就越准确。这是本发明提高监测精度的两种途径，可以单独实现，也可以同时实现。 

因此，在建立观测场时，将固定点A尽可能建在靠近变形体附近的稳定地面上，而只要不影响观测，将固定点B尽可能建在距离变形体较远的稳定地面上。 

高程位移中误差的计算公式为： 

实际应用中可进行多余观测使初始观测值的精度尽可能提高，甚至可以精确到把初始观测值当作理论值而忽略初始值观测值的误差，即使得此时 

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2m_{d_j^i}}$

6、多站观测问题 

对于一个设站观测不完的变形体，可以进行多设站联测。站与站之间要有一定的重叠观测，其重叠观测的点数不应少于2个，以便将所有监测点在一次观测完成后都统一到一个特定的坐标系中，例如利用重叠点统一到第一个设站的观测坐标系中。若有多余观测时，还可以进行平差运算以提高监测精度和发现观测错误。 

7、平面和高程可以分开独立进行 

本发明还可以将平面和高程分开进行实施。例如，有的工程只需要做垂直位移监测，这时，就可以只 用(14)式或(15)式的第三式计算监测点的垂直位移即可。如果有的工程只需要做水平位移监测，则用(14)式或(15)式的前两式计算监测点的平面坐标位移，进而计算监测点的平面点位位移和位移方位角即可。 

8、总结 

1.在变形体上建立若干个变形监测点，并在变形体范围之外的稳定体上建立两个固定点A和B，监测点和固定点统称为照准点，对照准点观测其初始观测坐标系坐标；监测时，对照准点观测其后次观测坐标系坐标，监测点在三维坐标系下的三维坐标位移用下式计算： 

(j＝1、2、3、...、n，n为变形监测点个数) 

式中， 

Δα_i为旋转角，为AB方向后次第i次观测方位角与初始观测方位角之差； 

为第j点第i次监测的三维坐标位移； 

为第j点的后次第i次观测坐标系坐标； 

为A点的后次第i次观测坐标系坐标； 

为第j点的初始观测坐标系坐标； 

为A点的初始观测坐标系坐标。 

2.监测点的三维坐标位移的另一种计算公式为： 

式中， 

为在初始观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标； 

为在后次观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标。 

3.平面点位位移的中误差用下式计算： 

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{[\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2](m_{d_j^0}^2+m_{d_j^i}^2)}$

式中， 

表示第j点在后次第i次监测得到的平面点位位移中误差； 

表示第j点在初始观测时得到的平面点位中误差； 

表示第j点在后次第i次观测时得到的平面点位中误差； 

表示第j点到固定点A的水平距离； 

表示两个固定点之间的水平距离。 

4.初始观测值为理论值的后次监测平面点位位移中误差用 

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2}{m}_{d_j^i}$

式计算。 

5.由点位位移中误差的计算式可知，两个固定点A、B之间的距离越大，或者，照准点j与A点的距离越小，则平面点位位移的精度就越高，预报的就越准确。 

6.平面点位位移用下式计算： 

式中， 

为第j点在后次第i次监测得到的平面点位位移。 

7.位移的方位角用下式计算： 

式中， 

为第j点在第i次监测时的在初始观测坐标系中的位移方位角。 

8.多站观测问题 

对于一个设站观测不完的变形体，可以进行多设站观测，站与站之间要有一定的重叠观测，其重叠观测的点数不应少于2个。 

9.平面和高程可以分开独立进行 

本发明还可以将平面和高程分开进行实施，以适应只做水平位移监测或只做垂直位移监测的工程变形监测工作。 

10.根据实际工作情况，本发明同样允许采用统一坐标系，此时 

Δα_i＝0 

于是 

即 

<有益效果> 

具体表现在以下几个方面： 

1.设站点不需要固定，可以是任何方便的位置，甚至可以建立在变形体上。每次监测设站都允许与以前监测时的设站位置不同。 

如果受施工场地条件限制，必须要把设站点建立在变形体上进行监测观测，则需要保证在当次监测期间设站点不发生位置变化。这可以通过瞄准一个稳定点，在完成当次监测工作的前后瞄准该点检查确定。只要在此次监测观测期间设站点的位置不发生变形就不会影响到此次的监测结果。即，在一次监测观测前瞄准该点，在该次监测观测结束后再次瞄准这个点，两次瞄准的误差只要在全站仪的观测精度范围内，即表示在该次监测期间变形体没有发生变化，证明本次监测结果是可靠的。 

2.因位移与设站点的坐标无关，所以设站点不需要已知，即不需要设站点的坐标。然而，如果想保持现有的工作习惯，则可以假设设站点的坐标，但这不是必须的。 

3.因位移也与后视无关，所以不需要后视点，因此也就不需要对准水平零方向，更不需要知道零方向的具***置。然而，如果想保持现有的工作习惯，则可以假设后视点及其坐标，但这不是必须的。 

4.不需要建立固定观测墩，因为每次后次监测时的设站都可以是不同的位置。 

5.不需要做控制测量。即，不需要在监测工作开始前建立用于监测的各类已知点，如设站点、后视点、检查点、监测点初始值等。 

6.因位移与仪器高无关，所以不需要量取仪器高。这将使得观测高差的中误差减小了，垂直位移也不存在仪器量高误差的影响。然而，如果想保持现有的工作习惯，可以假设仪器高，但这不是必须的。 

7.水平位移不存在对中误差的影响，因而不需要全站仪对中。这将使得水平角测角中误差减小，进而提高平面点位位移的精度。 

8.容易避开与施工的相互干扰。本方法由于选择设站点位置不固定因而完全可以避开施工繁杂区，并且监测工作也不会影响到施工，可以很好地解决有关通视问题、相互干扰问题、设站点周围因施工所产生的震动问题等。 

9.每次监测都允许采用不同的坐标系。 

10.支导线法平均中误差定理，以解决本发明在相关公式推导上的复杂问题。应用该定理能使得公式推导大大简化，最后得出一个简单明确的结果，以指导本发明的生产实施。 

总之，与传统方法相比，本发明的有益效果主要体现在以下几个主要方面。 

不需要控制测量，用于监测的点均不需要已知，不需要建立观测墩。从而减少工序、降低工程造价， 节约资源。 

全站仪不需要固定设站点、不需要设站点的坐标、不需要后视点、不需要仪器对中、不需要量取仪器高、不需要瞄准零方向、不需要固定坐标系或统一坐标系。这些将使得外业工作简便、快捷、高效、省时省力。 

支导线法平均中误差定理可以简化监测精度评定工作，并得到一个简单明确的平面点位位移中误差公式。 

平面点位位移中误差公式，可以指导和优化变形监测的外业布置工作以及提高监测成果的可靠性。 

本发明容易避开施工干扰，并且不影响施工。 

本发明也适合于用全球定位***GPS接收机获取照准点和监测点的初始观测坐标和后次观测坐标的位移计算。 

附图说明

图1为变形体观测场示意图。 

符号为监测点照准目标，右下角的1为监测点点号。监测点建立在变形体范围内。 

符号为固定点照准目标，右下角的A为固定点点号。固定点建立在稳定地面上。 

符号是仪器三脚架和全站仪。 

图1中的闭合曲线表示变形体范围轮廓。 

具体实施方式

实施方式1：推荐一种简单可行的全站仪直接测量坐标的监测观测实施方案 

架设全站仪，整平后开机，瞄准照准点进行观测，即可从全站仪中直接记录其坐标。当初始观测和后次观测数据具备后，按(15)式计算监测点的位移。 

注意：这一方案不需要考虑设站点的坐标和后视点的平面坐标以及仪器高，用全站仪中现有保存的这些数据不要动就可以了，因为从(15′)式和(15)式可以看出它们不影响位移的计算。但要事先把各种改正参数在全站仪中设置好，例如球气差改正，温度改正、棱镜常数、觇标高等，否则要做后处理对观测的坐标进行修正。 

实施方式2：推荐一种全站仪观测值监测观测实施方案 

架设全站仪，整平后开机，瞄准照准点进行观测，记录其观测值。当初始观测和后次观测数据具备后，按(15)式或按(15′)式和(14)式计算监测点的位移。 

观测值一般指的是距离、水平角、垂直角三大要素。另外，如果各个照准点的标高不统一，则还要记录其标高。 

注意：这一方案需要记下当时的必要观测条件信息，如温度、大气压、大气遮光差等，以便观测结束 后进行坐标计算时进行修正。计算照准点的坐标时，只需首先假设设站点的坐标，用照准点的水平角直接当做其方位角，因而也就不需要后视点，按(1)式计算照准点的坐标，按(1′)式计算照准点的高程。仪器高可以是假设的。 

假设的设站点坐标以及假设的设站仪器高，只是为了保持现有的工作习惯而设立的中间过渡量。建议直接按(15′)式、(14)式或(15)式计算监测点的位移，而不需要假设设站点的坐标以及不需要假设设站的仪器高。 

实施方式3：推荐一种用GPS进行三维变形监测的实施方案 

用GPS直接获得监测点的初始观测坐标和后次观测坐标，然后按(15)式计算监测点的坐标位移。 

实施方式4：计算例子 

对某一变形监测体进行监测。在变形体上建立变形监测点7个，编号分别为1、2、3、4、5、6、7；在稳定地面上建立固定点两个，编号分别为A和B。初始观测数据和后次第6次观测数据分别见表1和表2，第6次监测发现2号点发生位移，其位移计算结果见表3。 

(1)观测数据与位移计算 

依据(14)式或(15)式进行计算。计算过程见下表： 

表1 初始观测坐标(单位：m) 

表2 后次观测坐标(单位：m) 

表3 位移(单位：mm) 

从表3可知，第6次监测发现2号点发生了明显位移，其三维位移为： 

2号点第6次监测的平面位移方位角按(18)式计算为： 

(2)位移精度评定 

初始观测坐标为理论值，所以 

$m_{\mathrm{xy}}^0=0,m_{d_2^0}=0,m_{z^0}=0$

而后次观测坐标中误差为 

$m_{\mathrm{xy}}^6=\&PlusMinus;1.2\mathrm{mm}$

$m_{z^6}=\&PlusMinus;1.5\mathrm{mm}$

2号点第6次监测的平面点位位移按(17)式计算为： 

为从2号点的初始位置到2号点发生位移后的位置之间的距离。 

2号点的平面点位位移中误差按(26)式计算，其计算过程如下： 

因为 

$S_{2A}^0=13.5241m.$

$S_{\mathrm{AB}}^0=90.5610m..$

2号点的平面点位中误差按(3)式计算为 

$m_{d_2^6}=\&PlusMinus;\sqrt{{\left(m_{\mathrm{xy}}^6\right)}^2+{\left(m_{\mathrm{xy}}^6\right)}^2}=\&PlusMinus;\sqrt{2}*1.2=\&PlusMinus;1.7\left(\mathrm{mm}\right)$

所以，按(26)式计算得2号点的平面点位位移中误差为 

$M_{d_2^6}==\&PlusMinus;\sqrt{[\frac{{\left(S_{2A}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2](0^2+m_{d_2^6}^2)}=\&PlusMinus;\sqrt{\frac{{\left(S_{2A}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2}{m}_{d_2^6}=\&PlusMinus;2.4\left(\mathrm{mm}\right)$

2号点第6次监测高程位移中误差按(27)式计算为： 

2号点第6次监测的平面位移方位角中误差按(25)式计算得 

$m_{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_2^6}=\&PlusMinus;\frac{\sqrt{2(m_{\mathrm{xy}}^{0^2}+m_{\mathrm{xy}}^{i^2})}}{S_{\mathrm{AB}}^0}\mathrm{\&rho;}=\&PlusMinus;\frac{\sqrt{2(0^2+{1.2}^2)}}{90.5610*1000}*{206265}^{\text{'}\text{'}}=\&PlusMinus;4^{\text{'}\text{'}}$

(3)计算结果小结 

第6次监测结果：2号点的平面点位位移为16.4mm±2.4mm，高程位移为-20.2mm±2.1mm，位移方位角为30°00′18″±4″。 

其它六个变形监测点没有发现明显位移变化。 

Claims (9)

1.免固定设站点的全站仪三维变形监测方法，是一种用全站仪进行三维变形监测的方法，其特征是：在变形体上建立若干个变形监测点，并在变形体范围之外的稳定体上建立两个固定点A和B，监测点和固定点统称为照准点，对照准点观测其初始观测坐标系坐标；监测时，对照准点观测其后次观测坐标系坐标，监测点在三维坐标系下的三维坐标位移用下式计算

(j＝1、2、3、…、n；n为变形监测点个数)

式中，

Δα_i为旋转角，为AB方向后次第i次观测方位角与初始观测方位角之差；

为第j点第i次监测的三维坐标位移；

为第j点的后次第i次观测坐标系坐标；

为A点的后次第i次观测坐标系坐标；

为第j点的初始观测坐标系坐标；

为A点的初始观测坐标系坐标。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征是：监测点的三维坐标位移的另一种计算公式为

式中，

为在初始观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标；

为在后次观测坐标系中，照准点j在以A点为坐标原点的坐标。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征是：平面点位位移中误差用下式计算

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{[\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2](m_{d_j^0}^2+m_{d_j^i}^2)}$

式中，

表示第j点在后次第i次监测得到的平面点位位移中误差；

表示第j点在初始观测时得到的平面点位中误差；

表示第j点在后次第i次观测时得到的平面点位中误差；

表示第j点到固定点A的水平距离；

表示两个固定点之间的水平距离。

4.根据权利要求2所述的方法，其特征是：初始观测值为理论值的后次监测平面点位位移中误差用

$M_{d_j^i}=\&PlusMinus;\sqrt{\frac{{\left(S_{\mathrm{jA}}^0\right)}^2}{{\left(S_{\mathrm{AB}}^0\right)}^2}+2}{m}_{d_j^i}$

式计算。

5.根据权利要求2所述的方法，其特征是：两个固定点A、B之间的距离越大，或者，照准点j与A点的距离越小，则平面位移的精度就越高，预报的就越准确。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征是：对于一个设站观测不完的变形体，可以进行多设站观测，站与站之间要有一定的重叠观测，其重叠观测的点数不应少于2个。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征是：可以将平面和高程分开进行实施，以适应只做水平位移监测或只做垂直位移监测的工程变形监测工作。

8.根据权利要求1所述的方法，其特征是：采用统一坐标系，监测点在三维坐标系下的三维坐标位移用

式计算。

9.支导线法平均中误差定理是测绘学中的一条定理，其特征是：支导线法确定未知点坐标时，其未知点的横坐标和纵坐标的平均中误差相等，且平均平面点位中误差与平面点位中误差相等。