CN104376211A - 一种坐标测量机测量不确定度评定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种坐标测量机的测量不确定度标定方法，采取回避坐标测量机的各种误差源之间的复杂关系以及相互间未知的传递规律的方法，通过对坐标测量机进行测量***特性指标分析的方法，说明验证或获取该测量***相应的***特性指标值的方法和途径，并设计了获得坐标测量机的稳定性指标和复现性指标完整的标定方法以及详细的实验方案，考虑温度补偿中的实际温度以及标准光栅尺、被测工件的线膨胀系数对测量结果的影响程度，最终通过方和根法合成获得相对完整的坐标测量机的测量不确定度。

Description

一种坐标测量机测量不确定度评定方法

技术领域

本发明涉及坐标测量机不确定度评定领域，具体是一种坐标测量机测量不确定度评定方法。

背景技术

坐标测量机(Coordinate Measuring Machine，CMM)是集机械学、光学、电学、计算机技术以及控制理论于一体的高效、多功能的精密型测量仪器，可以检测尺寸、角度、形状和位置等几何量。与常规的几何量测量仪器相比，坐标测量机所具备的优越性能体现在：测量对象多种多样，即通用性强；测量精度较高，数据准确可靠；可以进行复杂测量，自动化程度高，测量效率很高。目前的坐标测量技术已发展得较为成熟，坐标测量机广泛地应用于电子加工、汽车行业和航天科技等众多机械加工制造领域，成为产品几何量检测中最重要的手段。随着坐标测量技术的发展，以及其应用越来越广泛的同时，坐标测量机测量结果的不确定度评价技术也逐渐受到业内专家的关注和重视。国际标准化组织ISO发布的《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty inMeasurement，GUM)指出，测量不确定度是评定测量***的重要指标，表示了测量结果的可靠程度，是测量结果中包含的一个重要参数，包含了测量不确定度的测量结果才是完整、可靠的、具有实用价值的。

坐标测量机是极其复杂的几何量测量***，与一般的单一对象测量的比较型测量仪器相比，想要进行坐标测量机面向任务的测量不确定度评价是很困难的。其一，坐标测量机是万能的几何量测量仪器，测量条件和方法也具有很多的选择余地，这就使得多种测量任务具有多种测量不确定度。此外，影响其测量结果的不确定度的误差来源诸多，且这些误差源与测量结果的传递关系一般很难确定，这就使得这些误差源对测量结果的影响难以量化表达。正是由于坐标测量机的误差复杂性和其多功能性，对于没有受过专业培训的测量者而言，想要评定坐标测量机的测量结果的不确定度并不现实。目前，不管是企业还是专业的计量技术机构在使用坐标测量机时，通常只能给出一个被测量的估计值，而没有该估计值的测量不确定度。科学、准确、便捷地评定坐标测量机的测量结果不确定度，成为精密测量与计量技术领域亟待解决的重要难题。

近年来，随着对坐标测量技术的研究日趋完善，评价三坐标测量机不确定度的理论和方法不断被提出，并逐渐形成了产品几何技术规范(Geometrical ProductSpecifications，GPS)ISO15530系列的坐标测量机面向任务的测量不确定度评价体系，该标准提供了为评估坐标测量机测量不确定度的名词、技术和指南，推荐了四种面向任务的评价不确定度的方法。国外的学者和计量研究机构对此非常重视，德国PTB、英国NPL都在按照ISO15530标准体系进行坐标测量机的测量不确定度评定的相关研究。

线性和偏移在坐标测量机的检定规范中有明确的定义和规定，一般以示值误差Δ_E的形式来反映。示值误差一般来源于仪器自身，综合体现在坐标测量机的机械结构的探测误差、几何误差和软件误差等在测量结果中的影响程度。ISO10360标准规定示值误差在坐标测量机的验收检测或复检时进行评估，常规以坐标测量机对标准量块(或步距规)检测时得出的最大允许示值误差来进行量化；测量***的分辨力是指测量***识别并反映被测量最微小变化的能力。由于读数最末尾值的舍去与进位，将引入不确定度。且不确定度属于矩形分布(均匀分布)。测量***的重复性是指在测量条件不变的情况下，对被测参量进行连续多次的测量所得结果之间的一致性。坐标测量机的测量结果的重复性实质上反映的是示值的随机误差，其测量结果的重复性所引起的不确定度分量一般用以一组等精度测量结果的标准差定量反映。

测量复现性是指改变测量条件的情况下对同一被测参量进行测量，可改变的测量条件有测量原理、测量方法、测量者、参考标准以及测量时间等，只要有任一种或多种条件发生改变导致的分散性就称为复现性，简而言之，就是条件变化引起的测量结果的不一致性。在产品几何技术规范ISO15530系列中尽管考虑到了测量复现性是面向任务测量不确定度的一个分量，但是由于没有给出其具体的评价方法，因此操作起来难度非常大，从而导致测量结果的质量得不到保障。

坐标测量机的测量不确定度评定常见的方法是灵敏系数解析法。解析方法通常先计算原始误差源的数值，再考虑误差源到测量结果的传递关系，根据不同误差源的相互关系进行合成，最终得到测量结果的不确定度。然而坐标测量机的误差来源较多，且不同误差源之间的关系和传递规律较为复杂，因而，只是通过解析法去对坐标测量机的测量不确定度进行评定异常困难，实用性不强。

发明内容

本发明的目的是提供一种坐标测量机测量不确定度评定方法，以解决现有技术坐标测量机测量不确定度评定存在的问题。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案为：

一种坐标测量机测量不确定度评定方法，其特征在于：包括坐标测量机测量稳定性标定及测量复现性标定两个部分，其中：

坐标测量机的测量稳定性标定过程如下：

(1)、由同一名测量人员对工件的同一被测参数进行单次测量；

(2)、保持测量环境不变，将坐标测量机保持工作状态，被测工件保持同样的位置及装夹，保持时间≥1小时后，由同一测量人员采用相同的测量方法再次对步骤(1)中的工件的同一被测参数进行单次测量；

(3)、保持相同的时间间隔，且保持条件不变依次进行多组上述的独立测量

(4)、各组测量的平均值按大小顺序排列成顺序统计量x_(i)，即有：

x₍₁₎≤x₍₂₎≤...≤x_(a)；

(5)、各组测量为等精度测量，服从均匀分布，选择其中的最大值x_(a)减去最小值x₍₁₎，所得到的极差即反映了***测量的稳定性；

(6)、根据极差的分布函数可求得***稳定性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}}.$

坐标测量机的测量复现性的标定过程如下：

(a)、由m名有一定的实际测量经验的且在一定程度上具备相近的测量水准测量人员，进行独立的b次连续测量，m≥5，b≥10；

(b)、每位测量人员测得一组数据后，间隔较短的时间(≤5min)后，另一位测量人员重新开始测量测量过程，不同测量人员之间的操作时间不宜过长，一般不超过5min，主要是考虑减少时间因素在测量复现性中影响程度，因为时间因素在***稳定性中已作考虑；

(c)、各测量人员因测量习惯、实际测量经验的不同其所选择的测量方案也不尽完全相同，但每个测量人员在进行单次重复测量时的测量条件不准随意改变，并应尽快完成单组的重复性测量；

(d)、计算各测量列的平均值，第i位测量人员的测量列的算术平均值记为

(e)、测量人员和测量方案的改变，容易导致上述的m组测量列的平均值之间出现异常值，发现异常值应及时剔除，采用t检验准则剔除可疑的异常值，具体步骤如下：

(e.1)、若认为为测量组中的异常值，将其剔除后计算m组测量列的平均值，即：

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{m-1}\underset{i\≠q}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}}\stackrel{\‾}{x_i};$

(e.2)、计算不包括在内的测量组的标准差：

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\υ}}_i^2}{m-2}};$

(e.3)、根据测量次数m以及选定的显著度α，通过查询t分布的检验系数表得到K值；

(e.4)、若则认定为异常值，否则予以保留；

(f)、各组测量之间的测量条件稍有不同，即非等精度测量，因此不能直接用贝塞尔公式计算实验标准差，而是通过计算其合并样本标准差sp(x)来确定测量复现性引起的不确定度分量，过程如下：

(f.1)、分别计算出m组测量结果的各组实验标准差s(x_i)：

$s\left(x_i\right)=\sqrt{\frac{\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{b-1}};$

(f.2)、m组测量所包含的测量次数相同，合并样本标准差sp(x)为：

$\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}s{\left(x_i\right)}^2}{m}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(f.3)、测量复现性是不同测量条件下所得测量值的实验标准差，因此复现性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{RD}}=\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}}.$

所述的一种坐标测量机测量不确定度评定方法，其特征在于：运用测量***的特性指标对坐标测量机的测量不确定度进行评定，具体操作步骤如下：

(1)、进行测量***的稳定性标定实验，计算稳定性所引起的不确定度分量u_ST：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}};$

(2)、进行测量***的复现性标定实验，计算复现性误差所引起的不确定度分量u_RD：

$u_{\mathrm{RD}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(3)、进行重复性实验，多次测量后通过贝塞尔公式计算单次测量的标准差后计算出***重复性引入的测量不确定度分量u_RT：

$u_{\mathrm{RT}}=\sqrt{\frac{1}{N\·(n-1)}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2};$

(4)、测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB，通过示值误差Δ_E来反映，取均匀分布，即测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB为：

$u_{\mathrm{LB}}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_E}{\sqrt{3}};$

(5)、测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS，分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS是由于读数的末尾数值的舍入引入的，定义坐标测量机的分辨率为e，取均匀分布，则测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS为：

$u_{\mathrm{RS}}=\frac{e}{2\sqrt{3}};$

(6)、依据坐标测量机的温度补偿的误差模型，计算环境温度所引起的不确定度分量u_T，过程如下：

(6.1)、建立温度补偿的误差数学模型：

δ_x＝x·(α_s-α_x)·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

式中，x表示被测参数的数值大小，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数，ΔT表示测量环境的实际环境温度与标准温度20℃的差值，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，根据该误差数学模型，分析温度修正的各项不确定度分量；

(6.2)、将温度补偿的误差数学模型展开后得到：

δ_x＝x·α_s·△T-x·α_x·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

令

δ_x＝δ₁-δ₂+δ₃-δ₄，

其中，δ₁＝x·α_s·△T；δ₂＝x·α_x·△T；δ₃＝x·α_s·△t_s；δ₄＝x·α_x·△t_x；

针对定义的δ₁、δ₂、δ₃、δ₄四个分量分别进行测量不确定度评定；

(6.3)、δ₁＝x·α_s·△T中包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₁)的数学表达式为：

u(δ₁)＝x·α_s·u(△T)；

(6.4)、δ₂＝x·α_x·△T中也包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₂)的数学表达式为：

u(δ₂)＝x·α_x·u(△T)；

在步骤(6.3)和(6.4)中，ΔT为实验室环境温度与标准参考温度20℃的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left(\mathrm{\ΔT}\right)=\frac{\mathrm{\ΔT}}{\sqrt{2}};$

(6.5)、δ₃＝x·α_s·△t_s中包含了数学期望为0的变量△t_s，所以其不确定度u(δ₃)的数学表达式为：

u(δ₃)＝x·α_s·u(△t_s)，

式中，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下坐标测量机光栅尺温度与实验室环境温度的偏差较小，即u(Δt_s)≈0℃，因此该分量可忽略不计；

(6.6)、δ₄＝x·α_x·△t_x中包含了数学期望为0的变量△t_x，所以其不确定度u(δ₄)的数学表达式为：

u(δ₄)＝x·α_x·u(△t_x)，

式中，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left({\mathrm{\Δt}}_x\right)=\frac{{\mathrm{\Δt}}_x}{\sqrt{2}};$

(6.7)、合成环境温度所引起的不确定度：

$u_T=\sqrt{{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_1\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_2\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_3\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_4\right)\right]}^2};$

(7)、上述的***特性指标和环境温度的标准不确定度分量均要考虑，计算各分量数值后按照方和根法进行标准不确定度合成：

$u_C=\sqrt{{u_{\mathrm{ST}}}^2+{u_{\mathrm{RD}}}^2+{u_{\mathrm{RT}}}^2+{u_{\mathrm{LB}}}^2+{u_{\mathrm{RS}}}^2+{u_T}^2}$

(8)、按置信概率P＝95％，取包含因子k＝2，得到扩展不确定度：U₉₅＝k·u_C,k＝2。

本发明回避了坐标测量机的各不同来源的误差源之间的相互关系和传递规律的复杂性以至无法描述这些误差因素在测量过程中引起的不确定度分量的问题，通过基于测量稳定性和复现性标定的基础上评定坐标测量机的测量不确定度，设计相关的实验方案和要求，从而获取相应的测量***的特性指标，并以坐标测量机的六个***特性指标入手进行测量不确定度评定，考虑环境温度的影响，获得准确可靠的坐标测量机测量结果的不确定度，最终得到完整的测量结果的不确定度。

附图说明

图1是测量***的重复性与复现性比较图。

图2是本发明实例的实现流程图。

具体实施方式

一种坐标测量机测量不确定度评定方法，包括坐标测量机测量稳定性标定及测量复现性标定两个部分，其中：

坐标测量机的测量稳定性标定过程如下：

(1)、由同一名测量人员对工件的同一被测参数进行单次测量；

(2)、保持测量环境不变，将坐标测量机保持工作状态，被测工件保持同样的位置及装夹，保持时间≥1小时后，由同一测量人员采用相同的测量方法再次对步骤(1)中的工件的同一被测参数进行单次测量；

(3)、保持相同的时间间隔，且保持条件不变依次进行多组上述的独立测量；

(4)各组测量的平均值按大小顺序排列成顺序统计量x_(i)，即有：

x₍₁₎≤x₍₂₎≤...≤x_(a)；

(5)、各组测量为等精度测量，服从均匀分布，选择其中的最大值x_(a)减去最小值x₍₁₎，所得到的极差即反映了***测量的稳定性；

(6)、根据极差的分布函数可求得***稳定性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}}.$

坐标测量机的测量复现性的标定过程如下：

(a)、由m名有一定的实际测量经验的且在一定程度上具备相近的测量水准测量人员，进行独立的b次连续测量，m≥5，b≥10；

(b)、每位测量人员测得一组数据后，间隔较短的时间(≤5min)后，另一位测量人员重新开始测量测量过程，不同测量人员之间的操作时间不宜过长，一般不超过5min，主要是考虑减少时间因素在测量复现性中影响程度，因为时间因素在***稳定性中已作考虑；

(c)、各测量人员因测量习惯、实际测量经验的不同其所选择的测量方案也不尽完全相同，但每个测量人员在进行单次重复测量时的测量条件不准随意改变，并应尽快完成单组的重复性测量；

(d)、计算各测量列的平均值，第i位测量人员的测量列的算术平均值记为

(e)、测量人员和测量方案的改变，容易导致上述的m组测量列的平均值之间出现异常值，发现异常值应及时剔除，采用t检验准则剔除可疑的异常值，具体步骤如下：

(e.1)、若认为为测量组中的异常值，将其剔除后计算m组测量列的平均值，即：

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{m-1}\underset{i\≠q}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}}\stackrel{\‾}{x_i};$

(e.2)、计算不包括在内的测量组的标准差：

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\υ}}_i^2}{m-2}};$

(e.3)、根据测量次数m以及选定的显著度α，通过查询t分布的检验系数表得到K值；

(e.4)、若则认定为异常值，否则予以保留；

(f)、各组测量之间的测量条件稍有不同，即非等精度测量，因此不能直接用贝塞尔公式计算实验标准差，而是通过计算其合并样本标准差sp(x)来确定测量复现性引起的不确定度分量，过程如下：

(f.1)、分别计算出m组测量结果的各组实验标准差s(x_i)：

$s\left(x_i\right)=\sqrt{\frac{\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{b-1}};$

(f.2)、m组测量所包含的测量次数相同，合并样本标准差sp(x)为：

$\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}s{\left(x_i\right)}^2}{m}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(f.3)、测量复现性是不同测量条件下所得测量值的实验标准差，因此复现性误差所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{RD}}=\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}}.$

运用测量***的特性指标对坐标测量机的测量不确定度进行评定，具体操作步骤如下：

(1)、进行测量***的稳定性标定实验，计算稳定性所引起的不确定度分量u_ST：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}};$

(2)、进行测量***的复现性标定实验，计算复现性误差所引起的不确定度分量u_RD：

$u_{\mathrm{RD}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(3)、进行重复性实验，多次测量后通过贝塞尔公式计算单次测量的标准差后计算出***重复性引入的测量不确定度分量u_RT：

$u_{\mathrm{RT}}=\sqrt{\frac{1}{N\·(n-1)}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2};$

(4)、测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB，通过示值误差Δ_E来反映，取均匀分布，即测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB为：

$u_{\mathrm{LB}}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_E}{\sqrt{3}};$

(5)、测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS，分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS是由于读数的末尾数值的舍入引入的，定义坐标测量机的分辨率为e，取均匀分布，则测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS为：

$u_{\mathrm{RS}}=\frac{e}{2\sqrt{3}};$

(6)、依据坐标测量机的温度补偿的误差模型，计算环境温度所引起的不确定度分量u_T，过程如下：

(6.1)、建立温度补偿的误差数学模型：

δ_x＝x·(α_s-α_x)·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

式中，x表示被测参数的数值大小，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数，ΔT表示测量环境的实际环境温度与标准温度20℃的差值，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，根据该误差数学模型，分析温度修正的各项不确定度分量；

(6.2)、将温度补偿的误差数学模型展开后得到：

δ_x＝x·α_s·△T-x·α_x·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

令

δ_x＝δ₁-δ₂+δ₃-δ₄，

其中，δ₁＝x·α_s·△T；δ₂＝x·α_x·△T；δ₃＝x·α_s·△t_s；δ₄＝x·α_x·△t_x；

针对定义的δ₁、δ₂、δ₃、δ₄四个分量分别进行测量不确定度评定；

(6.3)、δ₁＝x·α_s·△T中包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₁)的数学表达式为：

u(δ₁)＝x·α_s·u(△T)；

(6.4)、δ₂＝x·α_x·△T中也包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₂)的数学表达式为：

u(δ₂)＝x·α_x·u(△T)；

在步骤(6.3)和(6.4)中，ΔT为实验室环境温度与标准参考温度20℃的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left(\mathrm{\ΔT}\right)=\frac{\mathrm{\ΔT}}{\sqrt{2}};$

(6.5)、δ₃＝x·α_s·△t_s中包含了数学期望为0的变量△t_s，所以其不确定度u(δ₃)的数学表达式为：

u(δ₃)＝x·α_s·u(△t_s)，

式中，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下坐标测量机光栅尺温度与实验室环境温度的偏差较小，即u(Δt_s)≈0℃，因此该分量可忽略不计；

(6.6)、δ₄＝x·α_x·△t_x中包含了数学期望为0的变量△t_x，所以其不确定度u(δ₄)的数学表达式为：

u(δ₄)＝x·α_x·u(△t_x)，

式中，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left({\mathrm{\Δt}}_x\right)=\frac{{\mathrm{\Δt}}_x}{\sqrt{2}};$

(6.7)、合成环境温度所引起的不确定度：

$u_T=\sqrt{{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_1\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_2\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_3\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_4\right)\right]}^2};$

(7)、上述的***特性指标和环境温度的标准不确定度分量均要考虑，计算各分量数值后按照方和根法进行标准不确定度合成：

$u_C=\sqrt{{u_{\mathrm{ST}}}^2+{u_{\mathrm{RD}}}^2+{u_{\mathrm{RT}}}^2+{u_{\mathrm{LB}}}^2+{u_{\mathrm{RS}}}^2+{u_T}^2}$

(8)、按置信概率P＝95％，取包含因子k＝2，得到扩展不确定度：U₉₅＝k·u_C。

本发明提供的基于测量稳定性和复现性标定的坐标测量机测量不确定度评定方法，该方法具体步骤如下：

1)对坐标测量机的***稳定性指标进行标定，得出u_ST；

2)对坐标测量机的测量复现性指标进行标定，得出u_RD；

3)进行重复性实验，通过贝塞尔公式计算单次测量的标准差后计算出u_RT；

4)计算通过示值误差Δ_E来反映的测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB；

5)计算由于读数的末尾数值的舍入引入的测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS；

6)依据坐标测量机的温度补偿的误差模型，计算环境温度所引起的不确定度分量u_T。

7)标准不确定度合成 $u_C=\sqrt{{u_{\mathrm{ST}}}^2+{u_{\mathrm{RD}}}^2+{u_{\mathrm{RT}}}^2+{u_{\mathrm{LB}}}^2+{u_{\mathrm{RS}}}^2+{u_T}^2};$

8)扩展不确定度计算U＝k·u_C,k＝2；

步骤1)中***稳定性所引起的不确定度分量u_ST表达的是坐标测量机在一段连续时间内对同一工件或标准量进行测量的变化或不一致性，以多组测量数据标准差定量地进行表示。

步骤2)中测量复现性所引起的不确定度分量u_RD反映坐标测量机测量结果的分散性，以多组测量数据标准差定量地进行表示。测量复现性是测量***分析重要的量值特性指标，体现了测量中不确定性的一些基本特征，是测量不确定度的重要来源。测量复现性需要在符合测量规范的前提下主动改变某一个或多个会对测量结果产生影响、但影响程度难以量化分析的因素，这些因素在实际测量中一般很难控制或者并没有统一的标准，但确实对测量结果的不确定性造成影响。实质上，测量复现性是不同条件下，主要是不同的测量者、测量方法之间存在的***效应而导致的多次测量结果的变动性。图1表示反映了测量***复现性与重复性的区别。

步骤3)中测量重复性所引起的不确定度分量u_RT反映坐标测量机示值的随机误差分量，以一组测量数据标准差定量地进行表示。

步骤4)中线性和偏移所引起的不确定度分量u_LB以示值误差Δ_E的形式来反映，示值误差以坐标测量机对标准量块检测得到的最大允许示值误差Δ_E来进行量化。

步骤5)中***分辨率所引起的不确定度分量u_RS是由于读数的末尾数值的舍入引入的。

步骤6)中环境温度所引起的不确定度分量u_T由坐标测量机测量过程中采用的温度修正补偿误差引入的，其误差模型为：

δ_x＝x·(α_s-α_x)·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

式中，x表示被测工件的尺寸，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数，ΔT表示测量环境的实际环境温度与标准温度20℃的差值，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差。根据该误差数学模型，分析温度修正的各项不确定度分量。将温度修正的数学模型展开后得到：

δ_x＝x·α_s·△T-x·α_x·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

令

δ_x＝δ₁-δ₂+δ₃-δ₄，

其中，δ₁＝x·α_s·△T；δ₂＝x·α_x·△T；δ₃＝x·α_s·△t_s；δ₄＝x·α_x·△t_x。

即环境温度所引起的不确定度分量u_T包括四个不确定度分量u(δ₁)、u(δ₂)、u(δ₃)、u(δ₄)。

其中，δ₁＝x·α_s·△T中包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度的数学表达式为：

u²(δ₁)＝[x·△T·u(α_s)]²+[x·α_s·u(△T)]²＝[x·α_s·u(△T)]²，

即

u(δ₁)＝x·α_s·u(△T)，

式中，ΔT为实验室环境温度与标准参考温度20℃的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则

$u\left(\mathrm{\ΔT}\right)=\frac{\mathrm{\ΔT}}{\sqrt{2}},$

同理，δ₂＝x·α_x·△T中也包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₂)＝x·α_x·u(△T)，

δ₃＝x·α_s·△t_s中包含了数学期望为0的变量△t_s，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₃)＝x·α_s·u(△t_s)，

式中，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下坐标测量机光栅尺温度与实验室环境温度的偏差较小，即u(Δt_s)≈0℃，因此该分量可忽略不计。

δ₄＝x·α_x·△t_x中包含了数学期望为0的变量△t_x，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₄)＝x·α_x·u(△t_x)，

式中，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则

$u\left({\mathrm{\Δt}}_x\right)=\frac{{\mathrm{\Δt}}_x}{\sqrt{2}},$

合成环境温度所引起的不确定度有：

$u_T=\sqrt{{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_1\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_2\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_3\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_4\right)\right]}^2}.$

具体实施例：

下面结合图2及实验室实际测量状况对本发明的具体实施方式作进一步的说明。需要说明的是，对于下列实施方式的说明用于帮助解释和理解本发明，并不构成对本发明的限定。具体实施方式包括如下具体步骤：

1)将被测工件提前放置于实验室恒温(不低于8h)；开启三坐标测量机；记录实验室环境温度；清洁被测工件、工作台、校准球和测头；校准测头；装夹工件。

2)坐标测量机测量稳定性的标定

由同一名测量人员对被测参量进行一次测量。保持测量环境不变，将坐标测量机保持工作状态，工件保持同样的位置及装夹。若干小时后(一般不低于1h)，由同一测量人员采用相同的测量方法再次对被测参数进行一次测量。相同的时间间隔后，保持条件不变进行a(a≥10)次独立测量。

将a次测量的数据按大小顺序排列成顺序统计量x_(i)，即有：

x₍₁₎≤x₍₂₎≤...≤x_(a)，

上述测量为等精度测量，服从均匀分布，选择其中的最大值x_(a)减去最小值x₍₁₎得到的极差即反映了***稳定性的影响程度。根据极差的分布函数可求得***稳定性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}},$

3)坐标测量机测量复现性的标定

由m名测量人员(m≥5)在三坐标测量机上进行独立的b(b≥10)次连续测量。上述不同测量人员均需有一定的实际测量经验，且在一定程度上具备相近的测量水准。

每位测量人员测得一组数据后，间隔较短的时间后，另一位测量人员应重新选择测头型号、校准测头、选择工件摆放位置和装夹工件、建立坐标系、决定测量方法。需要说明的是不同测量人员之间的操作时间不宜过长，一般不超过5min，主要是考虑减少时间因素在测量复现性中影响程度，因为时间因素在***稳定性中已作考虑。

各测量人员因测量习惯、实际测量经验的不同其所选择的测量方案也不尽完全相同，但每个测量人员在进行单次重复测量时的测量条件不准随意改变，并应尽快完成单组的重复性测量。

实验数据统计并记录于表1中。

表1 ***复现性的测量数据记录表

由于测量人员和测量方案的改变，即各组测量结果之间的测量条件已发生了改变，容易导致上述m组测量列的平均值之间出现异常值，发现异常值须及时剔除。本发明使用t检验准则剔除可疑的异常值，具体步骤如下：

若认为为测量组中的异常值，将其剔除后计算平均值，即：

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{m-1}\underset{i\≠q}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}}\stackrel{\‾}{x_i},$

计算不包括在内的测量组的标准差：

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σ}{\mathrm{\υ}}_i^2}{m-2}},$

根据测量次数m以及选定的显著度α，通过表2查询t分布的经验系数K(m,α)来判定。若则认定为异常值。否则，予以保留。

表2 t分布的检验系数

由于各组测量之间的测量条件稍有不同，即非等精度测量，因此不能简单地直接用贝塞尔公式计算实验标准差，而是计算其合并样本标准差s_p(x)。

首先，分别计算出m组测量结果的实验室标准差s(x_i)。

$s\left(x_i\right)=\sqrt{\frac{\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{b-1}},$

再计算合并样本标准差sp(x)：

$\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}s{\left(x_i\right)}^2}{m}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}},$

测量复现性是不同测量条件下所得测量值的实验标准差，因此复现性误差所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{RD}}=\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}}.$

4)坐标测量机测量重复性的标定

建立合适的坐标系，相同的条件下，对工件的待测参数进行n次(n≥10)的重复连续测量，实验数据记录在表3中。

表3 重复性测量的数据记录表

通过贝塞尔公式计算单次测量的标准差，取表3中的N(N≥3)次测量数据的平均值作为测量结果的估计值，有

$u_{\mathrm{RT}}=\sqrt{\frac{1}{N\·(n-1)}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2},$

5)计算线性和偏移所引起的不确定度分量u_LB。

线性和偏移所引起的不确定度分量u_LB以示值误差Δ_E的形式来反映，示值误差以三坐标测量机对标准量块检测得到的最大允许示值误差Δ_E来进行量化，取均匀分布。

$u_{\mathrm{LB}}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_E}{\sqrt{3}}.$

6)计算***分辨率所引起的不确定度分量u_RS。

***分辨率所引起的不确定度分量u_RS是由于读数的末尾数值的舍入引入的，定义三坐标测量机的分辨率为e，取均匀分布。

$u_{\mathrm{RS}}=\frac{e}{2}\·\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{e}{2\sqrt{3}}.$

7)计算环境温度所引起的不确定度分量u_T。

测量过程中采用坐标测量机的温度修正补偿方法，误差模型为：

δ_x＝x·(α_s-α_x)·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

式中，x表示被测工件的尺寸，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数，ΔT表示测量环境的实际环境温度与标准温度20℃的差值，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差。根据该误差数学模型，分析温度修正的各项不确定度分量。

将该数学模型展开后得到：

δ_x＝x·α_s·△T-x·α_x·△T+x·α_s·△t_s-x·α_x·△t_x，

将四个乘积项按照如下表达式定义：

δ₁＝x·α_s·△T

δ₂＝x·α_x·△T

                ，

δ₃＝x·α_s·△t_s

δ₄＝x·α_x·△t_x

则

δ_x＝δ₁-δ₂+δ₃-δ₄。

7.1)不确定度分量u(δ₁)：

δ₁＝x·α_s·△T中包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度的数学表达式为：

u²(δ₁)＝[x·△T·u(α_s)]²+[x·α_s·u(△T)]²＝[x·α_s·u(△T)]²，

即

u(δ₁)＝x·α_s·u(△T)，

式中，ΔT为实验室环境温度与标准参考温度20℃的偏差，一般情况下最大偏差为±1℃，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则

7.2)不确定度分量u(δ₂)：

同理，δ₂＝x·α_x·△T中也包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₂)＝x·α_x·u(△T)，

式中u(ΔT)＝0.707℃。

7.3)不确定度分量u(δ₃)：

δ₃＝x·α_s·△t_s中包含了数学期望为0的变量△t_s，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₃)＝x·α_s·u(△t_s)，

式中，△t_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下坐标测量机光栅尺温度与实验室环境温度的偏差较小，即u(Δts)≈0℃，因此该分量可忽略不计。

7.4)不确定度分量u(δ₄)：

δ₄＝x·α_x·△t_x中包含了数学期望为0的变量△t_x，所以其不确定度的数学表达式为：

u(δ₄)＝x·α_x·u(△t_x)，

式中，△t_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下该温度偏差通过预先将工件放置实验室恒温处理可控制在±0.2℃的范围内，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则

7.5)合成环境温度所引起的不确定度

将环境温度引入的各不确定度分量汇总到表4中：

表4 温度引入的不确定度分量预算表

表中，x表示被测参量的数值，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数。

8)测量不确定度合成与报告

根据上述的计算与分析，将各项不确定度分量的评价结果汇总，按表5式样汇总。

表5 坐标测量机的测量不确定度分量汇总表

假设各不确定度分量相互独立，则合成标准不确定度为：

$u_C=\sqrt{{u_{\mathrm{ST}}}^2+{u_{\mathrm{RD}}}^2+{u_{\mathrm{RT}}}^2+{u_{\mathrm{LB}}}^2+{u_{\mathrm{RS}}}^2+{u_T}^2},$

按置信概率P＝95％，取包含因子k＝2，得扩展不确定度

U₉₅＝k·u_C,k＝2，

以上所述为本发明的较佳且常规的实例而已，但本发明不应只局限该实施例和附图所公开的内容。凡不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种坐标测量机测量不确定度评定方法，其特征在于：包括坐标测量机测量稳定性标定及测量复现性标定两个部分，其中：

坐标测量机的测量稳定性标定过程如下：

(1)、由同一名测量人员对工件的同一被测参数进行单次测量；

(2)、保持测量环境不变，将坐标测量机保持工作状态，被测工件保持同样的位置及装夹，保持时间≥1小时后，由同一测量人员采用相同的测量方法再次对步骤(1)中的工件的同一被测参数进行单次测量；

(3)、保持相同的时间间隔，且保持条件不变依次进行多组上述的独立测量；

(4)、各组测量的平均值按大小顺序排列成顺序统计量x_(i)，即有：

x₍₁₎≤x₍₂₎≤···≤x_(a)；

(5)、各组测量为等精度测量，服从均匀分布，选择其中的最大值x_(a)减去最小值x₍₁₎，所得到的极差即反映了***测量的稳定性；

(6)、根据极差的分布函数可求得***稳定性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}}.$

坐标测量机的测量复现性的标定过程如下：

(a)、由m名有一定的实际测量经验的且在一定程度上具备相近的测量水准测量人员，进行独立的b次连续测量，m≥5，b≥10；

(b)、每位测量人员测得一组数据后，间隔较短的时间(≤5min)后，另一位测量人员重新开始测量测量过程，不同测量人员之间的操作时间不宜过长，一般不超过5min，主要是考虑减少时间因素在测量复现性中影响程度，因为时间因素在***稳定性中已作考虑；

(c)、各测量人员因测量习惯、实际测量经验的不同其所选择的测量方案也不尽完全相同，但每个测量人员在进行单次重复测量时的测量条件不准随意改变，并应尽快完成单组的重复性测量；

(d)、计算各测量列的平均值，第i位测量人员的测量列的算术平均值记为

(e)、测量人员和测量方案的改变，容易导致上述的m组测量列的平均值之间出现异常值，发现异常值应及时剔除，采用t检验准则剔除可疑的异常值，具体步骤如下：

(e.1)、若认为为测量组中的异常值，将其剔除后计算m组测量列的平均值，即：

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{m-1}\underset{\underset{i\≠q}{i=1}}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{x_i};$

(e.2)、计算不包括在内的测量组的标准差：

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\Σ}{v}_i^2}{m-2}};$

(e.3)、根据测量次数m以及选定的显著度α，通过查询t分布的检验系数表得到K值；

(e.4)、若 $|x_q-\stackrel{\‾}{x}|>K\·\mathrm{\σ},$ 则认定为异常值，否则予以保留；

(f)、各组测量之间的测量条件稍有不同，即非等精度测量，因此不能直接用贝塞尔公式计算实验标准差，而是通过计算其合并样本标准差sp(x)来确定测量复现性引起的不确定度分量，过程如下：

(f.1)、分别计算出m组测量结果的各组实验标准差s(x_i)：

$s\left(x_i\right)=\sqrt{\frac{\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{b-1}};$

(f.2)、m组测量所包含的测量次数相同，合并样本标准差sp(x)为：

$\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}s{\left(x_i\right)}^2}{m}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(f.3)、测量复现性是不同测量条件下所得测量值的实验标准差，因此复现性所引起的不确定度分量为：

$u_{\mathrm{RD}}=\mathrm{sp}\left(x\right)=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}}.$

2.根据权利要求1所述的一种坐标测量机测量不确定度评定方法，其特征在于：运用测量***的特性指标对坐标测量机的测量不确定度进行评定，具体操作步骤如下：

(1)、进行测量***的稳定性标定实验，计算稳定性所引起的不确定度分量u_ST：

$u_{\mathrm{ST}}=\frac{x_{\left(a\right)}-x_{\left(1\right)}}{\sqrt{3}};$

(2)、进行测量***的复现性标定实验，计算复现性误差所引起的不确定度分量u_RD：

$u_{\mathrm{RD}}=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{x_i})}^2}{m\·(b-1)}};$

(3)、进行重复性实验，多次测量后通过贝塞尔公式计算单次测量的标准差后计算出***重复性引入的测量不确定度分量u_RT：

$u_{\mathrm{RT}}=\sqrt{\frac{1}{N\·(n-1)}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2};$

(4)、测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB，通过示值误差Δ_E来反映，取均匀分布，即测量***的线性和偏移特性所引起的不确定度分量u_LB为：

$u_{\mathrm{LB}}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_E}{\sqrt{3}};$

(5)、测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS，分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS是由于读数的末尾数值的舍入引入的，定义坐标测量机的分辨率为e，取均匀分布，则测量***的分辨率特性所引起的不确定度分量u_RS为：

$u_{\mathrm{RS}}=\frac{e}{2\sqrt{3}};$

(6)、依据坐标测量机的温度补偿的误差模型，计算环境温度所引起的不确定度分量u_T，过程如下：

(6.1)、建立温度补偿的误差数学模型：

δ_x＝x·(α_s-α_x)·ΔT+x·α_s·Δt_s-x·α_x·Δt_x，

式中，x表示被测参数的数值大小，α_s表示坐标测量机光栅尺的线膨胀系数，α_x表示工件的线膨胀系数，ΔT表示测量环境的实际环境温度与标准温度20℃的差值，Δt_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，Δt_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，根据该误差数学模型，分析温度修正的各项不确定度分量；

(6.2)、将温度补偿的误差数学模型展开后得到：

δ_x＝x·α_s·ΔT-x·α_x·ΔT+x·α_s·Δt_s-x·α_x·Δt_x，

令

δ_x＝δ₁-δ₂+δ₃-δ₄，

其中，δ₁＝x·α_s·ΔT；δ₂＝x·α_x·ΔT；δ₃＝x·α_s·Δt_s；δ₄＝x·α_x·Δt_x；

针对定义的δ₁、δ₂、δ₃、δ₄四个分量分别进行测量不确定度评定；

(6.3)、δ₁＝x·α_s·ΔT中包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₁)的数学表达式为：

u(δ₁)＝x·α_s·u(ΔT)；

(6.4)、δ₂＝x·α_x·ΔT中也包含了数学期望为0的变量ΔT，所以其不确定度u(δ₂)的数学表达式为：

u(δ₂)＝x·α_x·u(ΔT)；

在步骤(6.3)和(6.4)中，ΔT为实验室环境温度与标准参考温度20℃的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left(\mathrm{\ΔT}\right)=\frac{\mathrm{\ΔT}}{\sqrt{2}};$

(6.5)、δ₃＝x·α_s·Δt_s中包含了数学期望为0的变量Δt_s，所以其不确定度u(δ₃)的数学表达式为：

u(δ₃)＝x·α_s·u(Δt_s)，

式中，Δt_s表示坐标测量机光栅尺的温度相对于实际环境温度的偏差，一般情况下坐标测量机光栅尺温度与实验室环境温度的偏差较小，即u(Δt_s)≈0℃，因此该分量可忽略不计；

(6.6)、δ₄＝x·α_x·Δt_x中包含了数学期望为0的变量Δt_x，所以其不确定度u(δ₄)的数学表达式为：

u(δ₄)＝x·α_x·u(Δt_x)，

式中，Δt_x表示被测工件的温度相对于实际环境温度的偏差，假设其服从反正弦分布(U形分布)，则：

$u\left(\mathrm{\Δ}{t}_x\right)=\frac{\mathrm{\Δ}{t}_x}{\sqrt{2}};$

(6.7)、合成环境温度所引起的不确定度：

$u_T=\sqrt{{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_1\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_2\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_3\right)\right]}^2+{\left[u\left({\mathrm{\δ}}_4\right)\right]}^2};$

(7)、上述的***特性指标和环境温度的标准不确定度分量均要考虑，计算各分量数值后按照方和根法进行标准不确定度合成：

$u_C=\sqrt{{u_{\mathrm{ST}}}^2+{u_{\mathrm{RD}}}^2+{u_{\mathrm{RT}}}^2+{u_{\mathrm{LB}}}^2+{u_{\mathrm{RS}}}^2+{u_T}^2}$

(8)、按置信概率P＝95％，取包含因子k＝2，得到扩展不确定度：

U₉₅＝k·u_C,k＝2。