CN104331933B - 一种分层方向自适应快速选取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分层方向自适应快速选取方法，将三维模型三角网格化得到三角形面片后求出面积加权法向量；然后对面积加权法向量进行主成分分析，构造协方差矩阵并进行奇异值分解，得出三个特征向量作为候选分层方向；其后，在候选分层方向下对模型进行分层，并计算分层后构建模型和原始模型的总体积误差，最小总体积误差所对应的候选分层方向即为最优分层方向。本发明通过提取特征向量获得三个垂直正交的候选分层方向，并基于最小体积误差选择最优分层方向，无需将模型表面所有法向量或空间法向量的采样作为候选分层方向，提高模型精度的同时减少了算法复杂度，能够大大降低获得最优分层方向的时间，适用于几何特征或拓扑结构复杂的模型。

Description

一种分层方向自适应快速选取方法

技术领域

本发明涉及一种数据处理方法，具体涉及一种快速成型中的分层方向选取方法。

背景技术

3D打印是快速成型技术(Rapid prototyping)的一种，最早由美国麻省理工大学(MIT)提出，采用分层制造(增加制造)的思想。快速成型是逆向工程、计算机辅助设计及制造、材料去除成型、材料增加成型、分层制造等技术的统称，现在3D打印已是快速成型技术的统称。分层制造是指沿分层方向将三维模型离散为一组二维图形，即一组薄层(也被称为切片或者分层)，逐层加工、层层叠加形成三维模型实体。该技术具有设备简单、材料便宜、成本低、体积小、工作过程无污染、成型速度快等优点。

三维模型的数据格式多样，如CAD模型、点云数据模型、STL模型等，无法直接作为3D打印的输入数据，必须通过分层软件转化为3D打印可识别的数据形式。STL模型是为快速成型技术服务的文件格式，由美国3D System公司于1987年首次提出，已经被工业界公认为是CAD***与快速成型***之间数据交换的标准格式，因此也被3D打印技术所采用。STL模型由若干通过将三维模型三角网格化获得的三角形面片组成，每一个三角形面片包含三个顶点和一个指向模型外部的法向量，这些三角形面片无序排列。分层过程为先求得与分层平面相交的三角形面片，再将得到的交线段首尾相接构成当前层的二维图形，即切片，分层结果直接影响模型构建精度和模型构建时间。随着3D打印技术的普及，适用于复杂模型的分层算法逐渐成为研究热点，重点为分层厚度和分层方向的选取。

模型构建精度是指成型的模型实体与理论模型之间的接近程度，一般用模型表面的阶梯效应来表示，分层厚度越小阶梯效应越不明显，模型误差越小。模型构建时间主要是指构建一个完整模型所需要的时间，一般来讲，分层数目越少构建时间越短。模型的构建精度和构建时间同时受分层厚度和分层方向的影响。

通常考虑两种类型的误差对模型构建精度的影响。一种是在CAD模型到STL模型转化中，由光滑曲面三角化为离散三角形面片引起的，可以通过控制chordal误差减少。另一种是在分层过程中由模型表面产生的阶梯效应引起的，一般来讲在大曲率和倾斜的三角形表面上会产生更明显的阶梯效应，导致构建的模型实体表面与理论模型表面之间产生更大的误差。根据分层制造的原理可知打印过程中的阶梯效应不能被消除，但是可以通过调整分层厚度和分层方向减小。分层厚度越小，阶梯效应越不明显，构建的模型实体表面与理论模型的表面越接近，那么模型的构建精度越高。另一方面，相同的模型分层厚度越小，产生的分层数目就越多，那么模型构建时间就越长，所以同时提高构建精度和减少构建时间是一个难点。

现有分层算法主要分为直接分层算法和自适应分层算法。直接分层算法从原始CAD模型生成每一层的轮廓信息，避免了模型三角化造成的误差。Rajagopalan于Susila B，et al.Interfacing geometric model data with rapid prototyping systems.Journalof Intel ligent Manufacturing 1999；10：323-9中提出了一种利用模型整体几何信息对NURBS模型直接分层的算法；Chakraborry于Chakraborty D，Choudhury AR.A semi-analytic approach for direct slicing of free form surfaces for layeredmanufacturing.Rapid Prototyping Journal 2007；13：256-64提出了一种基于曲面-平面求交的直接分层算法，该算法生成一种分层文件。自适应分层算法根据模型局部的几何特征或者期望的模型精度进行分层，通过减少分层厚度减少误差效应，减少分层数目提高模型构建效率。Dolenc和Makela于Dolenc，A.and Makela，I.(1994)，“Slicing proceduresfor layered manufacturing techniques”，Computer-Aided Design，Vol.26，pp.119-26提出了一种被广泛使用的cusp height来表示阶梯效应造成的误差大小，cusp height由三角形面片的法向量方向与分层方向的夹角和分层厚度决定。根据给定的cusp height和三角形面片的法向量与分层方向的夹角来调整分层厚度，从而提高模型构建精度。Sabourin用Cusp height作为模型构建误差的标准提出了一种统一分层厚度的算法，该算法先将模型分为较厚的薄层，然后对每个薄层进行局部分析，最终获得一个最优的分层厚度。统一分层厚度算法最终只使用一个分层厚度对模型进行分层，也就是每个薄层的厚度相同。这种算法虽然简单，但是一般来讲模型的局部几何特征不同，所以该类算法并不适用于几何特征复杂的模型。Yan通过自适应的cusp height调整分层厚度获得了更高模型构建精度。已有大量工作通过调整分层厚度来提高模型构建精度，但是3D打印设备的每一层构建厚度有一定阈值，分层厚度多受硬件条件限制。

分层方向对模型构建精度和构建时间都有重要影响，如图2所示，给出了不同分层方向下模型产生不同的阶梯效应。图2(a)中分层方向为，组成平面AEFD、平面DFC、平面AEB的三角形面片的法向量分别与分层方向垂直，组成平面FEBC的三角形面片的法向量分别与分层方向平行，由图可见在这些三角形面片上不会产生阶梯效应。然而组成平面ABCD的三角形面片的法向量与分层方向既不垂直也不平行，由图可见在该平面上产生锯齿状台阶，即阶梯效应。图2(b)中分层方向为，由图可见同样只在法向量与分层方向既不垂直又平行的平面ABCD上产生阶梯效应。图2(c)中分层方向为，组成模型的所有三角形面片的法向量都与分层方向垂直或者平行，由图可见模型所有表面上都不产生阶效应。同时由图可见，阶梯效应的大小直接影响模型精度，产生阶梯效应的模型表面上的阶梯效应越小，该表面越接近理论模型，反之阶梯效应越大，模型表面上误差越大，与理论模型越不吻合。在图2(a)和图2(b)中，分层厚度越小，阶梯效应造成的误差越小，但是会导致过多的分层数目，使得打印时间过度增加，同时由于机械原因，分层厚度只能在一定范围内取值。而图2(c)中，分层厚度可以取到最大的分层厚度值，减少分层数目，提高了模型精度的同时也可以减少打印制造的时间。可见，分层方向同时影响分层厚度的选取，若某个三角形面片与分层方向平行或者垂直，那么该三角形面片的分层厚度可以取得最大值而不会在该三角形面片上产生阶梯效应。因此在模型分层之前选取一个好的分层方向对模型的构建精度和构建时间影响很大。由以上三角形面片的法向量与分层方向的关系可以得出以下结论：若最终选取的分层方向，使得某个三角形面片在该分层方向上的投影最大(三角形面片的法向量与分层方向垂直)或者最小(三角形面片的法向量与分层方向平行)，那么该三角形面片在此分层方向上产生的误差最少。

现有分层方向选取算法主要从提高模型精度、减少构建时间、减少支撑结构、节省材料等目标中选取单个或多个构造一个目标函数，以模型表面的法向量或空间法向量的采样作为候选方向，从中选取目标函数值最小的候选方向作为最优分层方向。Cheng W，FuhJYH，Nee AYC，Wong YS，Loh HT，Miyazawa T(1995)Multi-objective optimization ofpart building orientation in stereolithography.RPJ 1：12-23提出了一种可以直接应用于CAD模型的多目标算法，目标包括提高模型精度和减少构建时间等。模型精度作为主目标，构建时间为次目标，根据这两个参数计算每一个候选方向的目标函数值，选取目标函数值最大的方向作为候选方向。但是该算法需要根据模型几何信息先找到一个候选方向集(比如使用模型所有表面的法向量或空间向量的采样等)，然后根据目标函数从中选取最优分层方向。Masood SH，Rattanawong W，Iovenitti P(2000)Part build orientationsbased on volumetric error in fused deposition modeling.Int J Adv ManufTechnol 19：162-168中根据FDM技术的特征，提出使用分层制造引起的体积误差来选取最优分层方向。将模型旋转一定角度，计算在该方向下进行分层产生的体积误差，那么最优分层方向是产生体积误差最小的角度方向。但是该算法只能在固定的旋转角度中选取一个方向，而不同的模型最优分层方向之间并没有内在关系。Hossein Ahari，AssemblyAutomation(2013)Optimization of slicing direction in laminated tooling forvoulume deviation reduction中提出了一种应用于CAD模型的分层方向选取算法，不通过计算体积误差或者支撑材料等其他目标值，而是根据三角形面片的法向量与分层方向的平行或者垂直关系，将其添加到该候选方向的三角形面片集合。计算各个候选方向对应的三角形面片的总面积，选取总面积最大的候选方向作为分层方向。该算法将模型中所有的法向量作为候选方向集合，不适用于几何特征复杂的模型，但是对于简单模型该算法能够获得产生体积误差最少的最优分层方向。以上算法虽然使用了不同的目标来选取分层方向：模型精度、构建时间、支撑结构、材料成本等，但它们都是基于遍历枚举的思想。

遍历枚举算法的基本思想是将构成模型的所有三角形面片的法向量作为候选方向，此类方法选取的候选方向个数与构成模型的三角形面片个数是线性关系，模型的几何特征越复杂，三角形面片个数越多，那么候选方向的个数就越多，获取最优分层方向的时间也越久，也就是候选方向复杂度是0(n)，其中n表示构成模型的三角形个数。随着3D打印的普及，需要打印的模型已经不局限于通过CAD制作的简单三维模型，而是现实世界里更加精细的复杂模型，比如人物模型、艺术品模型等，此类模型几何特征复杂，表示模型的三角形面片数量巨大，传统分层方向选取方法已经无法满足分层方向选取的实时性要求。因此如何降低候选方向的个数是影响分层方向选取的关键因素。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明旨在提供一种适用于具有复杂几何特征的模型的分层方向快速选取方法，用表示三维模型的三角形面片面积对其相应的法向量进行加权，并对面积加权法向量进行主成分分析提取特征向量获得最优分层方向。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种分层方向自适应快速选取方法，包括如下步骤：

步骤1，将三维模型三角网格化，获得若干三角形面片，每一个三角形面片包含三个顶点和一个指向模型外部的法向量；

步骤2，计算出每一个三角形面片对应的面积加权法向量

其中，表示第m个三角形面片的面积加权法向量，A_m为第m个三角形面片的面积，为第m个三角形面片的原始单位法向量；

步骤3，所有的面积加权法向量构成的新的样本空间记为n为样本总数，即三角形面片的个数；对面积加权法向量进行主成分分析，构造协方差矩阵并进行奇异值分解，得出包含新样本空间信息最多的三个特征向量作为候选方向；

步骤4，分别在候选分层方向下对三维模型进行分层；

步骤5，计算在三个候选分层方向下构建的模型在阶梯效应下和原始模型之间的总体积误差；

步骤6，根据步骤5计算得出的三个总体积误差，其中最小值所对应的候选分层方向即为最优分层方向。

需要说明的是，步骤3包括：

3.1)计算n个面积加权法向量的平均法向量

3.2)计算每一个面积加权法向量与平均法向量的差，得到差值向量

3.3)构造协方差矩阵C＝(c_ij)_3×3：

C＝D*D^T；

其中

3.4)对协方差矩阵C进行奇异值分解，得到三个特征值γ_k(k＝1，2，3)和每个特征值对应的特征向量所述特征向量即为候选分层方向。

需要说明的是，步骤5中所述总体积误差计算过程如下：

5.1)计算在候选分层方向下，每个三角形面片对应的体积误差：

其中，c_m为第m个三角形面片对应的阶梯效应斜高(cusp height)，有

t为分层厚度，θ_m为和的夹角；

5.2)对构成模型的所有三角形面片的体积误差加总得出相应候选方向下的总体积误差：

进一步需要说明的是，所述分层厚度t为统一分层厚度，即为固定值。

本发明的有益效果在于：本发明通过提取特征向量获得三个垂直正交的候选分层方向，并基于最小体积误差选择最优分层方向，无需将模型表面所有法向量或空间法向量的采样作为候选分层方向，提高模型精度的同时减少了算法复杂度，能够大大降低获得最优分层方向的时间，适用于几何特征或拓扑结构复杂的模型。

附图说明

图1为本发明的实施流程示意图；

图2为分层方向对阶梯效应的影响示意图；

图3为模型M的结构示意图；

图4为对图3中模型M分层产生的阶梯效应示意图；

图5为图4中阶梯效应产生的误差三角形示意图；

图6为图3中模型M的三角形面片面积加权的法向量在分层方向上的投影示意图；

图7为对三角形面片数为10000的Buddha模型的实验示意图；

图8为对三角形面片数为69630的Bunny模型的实验示意图；

图9为对三角形面片数为5110的Bunny模型的实验示意图；

图10为对三角形面片数为1240的Bottle模型的实验示意图。

具体实施方式

以下将结合附图对本发明作进一步的描述，需要说明的是，本实施例以本技术方案为前提，给出了详细的实施步骤和具体操作过程，但本发明的保护范围并不限于本实施例。

如图1所示，一种分层方向自适应快速选取方法包括如下步骤：

步骤1，将三维模型三角网格化，获得若干三角形面片，每一个三角形面片包含三个顶点和一个指向三维模型外部的法向量；

步骤2，计算出每一个三角形面片对应的面积加权法向量

其中，表示第m个三角形面片的面积加权法向量，A_m为第m个三角形面片的面积，为第m个三角形面片的原始单位法向量；所述面积加权法向量可以看做是三维空间中的一个点，其元素值表示该点在三维空间内的坐标值。

步骤3，所有的面积加权法向量构成的新的样本空间记为n表示样本总数为三角形的个数，对面积加权法向量进行主成分分析，构造协方差矩阵并进行奇异值分解，得出包含新样本空间信息最多的三个特征向量作为候选方向。

这些点在三维空间内并不是随机分布的，而是具有某种分布特征的，他们可以表示为若干特征向量(或投影方向)的线性组合。主成分分析的主要思想就是在整个三维空间内找到最好的描述这些点分布特征的基向量。这些特征向量组成一个新的特征空间，每一个样本都是特征向量的线性组合。特征向量的选取是通过对原始样本的协方差矩阵进行特征值分解，特征值越大表示该特征值对应的特征向量包含原始样本的信息越多，越适合作为基向量。

主成分分析(PCA，principle component analysis)是一种经典的多元统计分析方法，它的目标是重新计算一组更有意义的基来表示原始的杂乱数据，将原始复杂数据降维，新基与原始样本之间的联系是方差的大小。PCA的优点在于通过分析数据本身获得各维数据的内在联系，得到的各个主成分标准正交，冗余信息少，更具代表性。主成分分析基本原理是：(1)把给定的一组变量X₁、X₂、X₃…X_n，通过线性变换得到一组不相关的变量Y₁、Y₂、Y₃…Y_k(2)在这种变换中，保持变量的总方差(X₁、X₂、X₃…X_n的方差之和与Y₁、Y₂、Y₃…Y_k的方差之和相同)不变，同时，使得Y₁具有最大方差，称为第一主成分，Y₂具有最次大方差，称为第二主成分，依次类推，原来的n个变量，就可以转换为k个新变量，达到对原始变量的降维目标。主成分通过对原始变量的协方差矩阵进行奇异值分解得到，协方差矩阵进行奇异值分解后每个特征值对一个特征向量，最大特征值的特征向量即为方差最大的第一主成分，它最能表示原始样本的低频信息，反之最小特征值的特征向量表示原始变量的高频信息。

基于上述原理，步骤3具体包括如下步骤：

3.1)计算n个面积加权法向量的平均法向量

3.2)计算每一个面积加权法向量与平均法向量的差，得到差值向量

3.3)构造协方差矩阵C＝(c_ij)_3×3：

C＝D*D^T；

其中

3.4)对协方差矩阵C进行特征值分解，得到所有特征值及其对应的特征向量。由于协方差矩阵C是实对称矩阵，这里使用jacobi SVD方法对协方差矩阵C进行奇异值分解，得到三个特征值γ_k(k＝1，2，3)和每个特征值对应的特征向量所述特征向量即为候选方向。

步骤4，分别在候选分层方向下对三维模型进行分层，分层厚度为统一分层厚度；

步骤5，计算分层后构建的模型在阶梯效应影响下和原始模型之间的总体积误差；

在这里，以模型M为例，对模型体积误差进行说明。如图3所示，其中图3(a)为模型M的模型实体示意图，图3(b)为模型M的三维结构示意图，箭头所示方向为分层方向，模型M中的表面F2，F3，F4与分层方向水平，F5与分层方向垂直，F1与分层方向存在一定夹角。

使用统一分层厚度对模型M进行分层。如图4所示，分层完成以后，在表面F1上会产生一系列阶梯形状的锯齿，这种现象称为阶梯效应。分层厚度越小，阶梯效应越不明显，造成的误差越小，模型表面越接近原始模型。但是由于硬件的限制，分层厚度只能取得有限阈值。由图4可知表面F2，F3，F4，F5与分层之前的原始模型相同，没有产生阶梯效应，所以不存在体积误差。下面分析分层方向，三角形面片的法向量和面积对模型表面精度的影响。

如图5(a)所示，表面F3和F5没有产生阶梯效应，表面F1产生了阶梯效应；记为分层方向，为表面F1的法向量，那么和的夹角θ可以表示为：

因此，阶梯斜高(cusp height)c可以表示为：

其中t为分层厚度，显然分层厚度受c和法向量与分层方向的夹角θ影响。但一个模型由很多三角形面片组成，不同的三角形面片上法向量方向不同，那么它们对应的c不同，同时由图5可知模型的误差还与s有关，所以c并不能表示模型整体误差。

图5(b)中阶梯效应产生的误差三角形面积AE为：

s为相应的三角形面片在一层切片上的长度，显见此误差三角形的面积越小，阶梯效应越不明显，构建模型的表面越接近理论模型。同样，模型不同部分的阶梯效应中的误差三角形的面积并不相同，由上式可知模型的误差还与表示模型的三角形面片有关，因此误差三角形的面积AE也不能表示模型整体误差。

为弥补以上两种误差度量方法的缺陷，体积误差同时考虑了分层方向、三角形面片的法向量、三角形面片的面积对误差的影响。图5中表面F1上产生的体积误差VE1可以表示为：

其中A1为表面F1的面积，c为该表面阶梯效应中的cusp height。

那么模型总体积误差为：

基于上述说明，步骤5中所述总体积误差计算过程如下：

5.1)分别计算在候选方向下，每个三角形面片对应的体积误差：

其中，c_m为第m个三角形面片对应的阶梯效应斜高(cusp height)，有

t为分层厚度，θ_m为和的夹角；

5.2)对构成模型的所有三角形面片的体积误差加总得出相应候选分层方向下的总体积误差：

采用统一分层厚度分层时t为定值，那么误差体积VE取决于也就是每个三角形面片的法向量在分层方向上的投影乘以其面积A_m，可以理解为将其法向量使用相应的面积进行乘积加权后在分层方向上的投影如图6(a)所示，分别为表面F1、F2、F3、F4、F5的法向量，由图6(b)可知，面积加权的法向量在分层方向上的投影越小，该三角形面片上产生的误差体积越小。若求得的分层方向使得所有三角形面片的面积加权法向量在分层方向上的投影和最小，那么该方向即为最优分层方向。由主成分分析原理可知通过对由面积加权的法向量样本进行主成分分析可以得到三个包含新样本空间信息最多的特征向量，该特征向量与新样本空间方差最大，也就是最能表示新样本空间分布规律，故可从这三个特征向量中以体积误差最小为目标选取最优分层方向。

步骤6，根据步骤5计算得出的三个候选分层方向下的总体积误差，其中最小值所对应的候选分层方向即为最优分层方向。

以下通过实验验证本发明适用于几何特征复杂的大数据模型，可快速获得产生体积误差更少的分层方向。

一、算法精度分析

由式(1)可知，模型体积误差同时受分层厚度和分层方向的影响，故在不同的分层厚度下对各个模型进行了多组实验。

如图7、8、9、10所示，(a)图为实验模型，(b)图为在各算法获得的最优分层方向下产生的体积误差，其中，图7(a)所示模型为共有10000个三角形面片的Buddha模型；图8(a)所示模型为共有69630个三角形面片的Bunny模型；图9(a)所示模型为共有5110个三角形面片的Bunny模型；图10(a)为共有1240个三角形面片Bottle模型。由此可知，图7(a)、8(a)、9(a)、10(a)所示模型的复杂程度排序为：图8＞图7＞图9＞图10。在图7(b)、8(b)、9(b)、10(b)中，左图为原始单位法向量的主成分分析结果和本发明结果的体积误差对比图，右图为Hossein算法结果和本发明结果的体积误差对比图，由图可见，本发明所提供的分层方向选取方法能够获得产生误差体积更小的分层方向。

利用本发明选取的候选分层方向通过对构成模型的所有三角形面片的法向量进行面积加权以后应用PCA主成分分析方法提取得到，体积误差的目标函数式(1)为对法向量进行面积加权提供了理论依据，根据本发明候选方向进行分层可以产生更小的体积误差。由图7、8、9、10可知，对不同复杂程度的模型，本文算法获得最优分层方向不会产生比其他两种算法更多的误差体积。图9中的模型几何特征较少，模型法向量分布特征明显，本文算法获得的三个主成分接近模型中已有的某些法向量，故与另外两种算法的结果相差不大。图7中的模型几何特征丰富，模型法向量分布特征不明显，由协方差矩阵系数可知该模型的法向量相关程度小，模型中没有与本发明得到的三个主成分接近的法向量，故本文算法获得的最优分层方向比另外两种算法产生的误差体积更少。

二、算法效率分析

由前面的分析可知，本发明对面积加权的法向量直接进行主成分分析特征向量提取只得到三个候选方向，候选方向个数复杂度为0(1)，然后根据误差体积的目标函数式(1)，获取最优分层方向，时间复杂度为0(n)。而Hossein算法将模型所有三角形面片的法向量作为候选方向，候选方向个数复杂度为0(n)，同样根据误差体积的目标函数公式(1)，获取最优分层方向，时间复杂度为0(n²)。其中n为模型中三角形面片的个数，故本算法的时间效率更高。表1为本发明和Hossein算法在不同模型下的运行时间对比。

表1

如表1所示，相同的模型下，本发明获取最优分层方向的时间更少，当模型复杂程度增加，三角形面片个数增加时本文算法所需时间增长并不明显，而Hossein算法所需时间增长很快。

对于本领域的技术人员来说，可以根据以上的技术方案和构思，给出各种相应的改变和变形，而所有的这些改变和变形都应该包括在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种分层方向自适应快速选取方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤1，将三维模型三角网格化，获得若干三角形面片，每一个三角形面片包含三个顶点和一个指向模型外部的法向量；

步骤2，计算出每一个三角形面片对应的面积加权法向量

其中，表示第m个三角形面片的面积加权法向量，A_m为第m个三角形面片的面积，为第m个三角形面片的原始单位法向量；

步骤3，所有的面积加权法向量构成的新的样本空间记为n为样本总数，即三角形面片的个数；对面积加权法向量进行主成分分析，构造协方差矩阵并进行奇异值分解，得出包含新样本空间信息最多的三个特征向量作为候选方向；

步骤4，分别在三个候选分层方向下对三维模型进行分层；

步骤5，计算在三个候选分层方向下构建的模型在阶梯效应影响下和原始模型之间的总体积误差；

所述总体积误差计算过程如下：

5.1)计算在候选分层方向下，每个三角形面片对应的体积误差：

${\mathrm{VE}}_m=\frac{1}{2}*A_m*c_m;$

其中，c_m为第m个三角形面片对应的阶梯效应斜高(cusp height)，有

t为分层厚度，Δ_m为和的夹角；

5.2)对构成模型的所有三角形面片的体积误差加总得出相应候选分层方向下的总体积误差：

${\mathrm{VE}}_k={\Σ}_1^n{\mathrm{VE}}_m={\Σ}_1^n(\frac{1}{2}*A_m*c_m)={\Σ}_1^n(\frac{1}{2}*A_m*t*(\stackrel{\→}{e_k}\·\stackrel{\→}{N_m}\left)\right),k=1,2,3;$

步骤6，根据步骤5计算得出的三个总体积误差，其中最小值所对应的候选分层方向即为最优分层方向。

2.根据权利要求1所述的一种分层方向自适应快速选取方法，其特征在于，步骤3包括：

3.1)计算n个面积加权法向量的平均法向量

3.2)计算每一个面积加权法向量与平均法向量的差，得到差值向量

$\stackrel{\→}{D_m^{\′}}=\stackrel{\→}{N_m^{\′}}-\stackrel{\‾}{N^{\′}};$

3.3)构造协方差矩阵C＝(c_ij)_3×3：

C＝D*D^T；

其中

3.4)对协方差矩阵C进行奇异值分解，得到三个特征值γ_k(k＝1，2，3)和每个特征值对应的特征向量所述特征向量即为候选分层方向。

3.根据权利要求1所述的一种分层方向自适应快速选取方法，其特征在于，所述分层厚度t为统一分层厚度，即为固定值。