CN104251235B - 一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，包括：第一，基于速度系数法对蜗壳基本几何参数进行求解，并采用速度矩法对蜗壳喉部面积进行计算；第二，利用面积控制系数和断面面积计算方程对蜗壳不同断面面积进行控制和计算，通过改变控制系数得到了不同断面面积分布的蜗壳水力模型；第三，初始化蜗壳几何控制变量，并采用椭圆、圆、直线等数学模型对蜗壳不同断面的控制点进行建模，并以三维坐标法对不同的控制点进行表示；第四，采用蜗壳断面面积逐次逼近迭代算法，精确的对不同蜗壳断面面积和蜗壳断面控制点坐标进行快速求解；第五，基于三维设计软件对不同控制点表示的蜗壳进行三维曲面造型。

Description

一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法

技术领域

本发明属于离心泵水力设计领域，具体涉及一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，主要用于快速准确的对蜗壳水力模型进行计算和建模，以降低离心泵蜗壳设计的难度，缩短离心泵蜗壳设计开发周期，并进一步降低设计上的误差所引起的水力损失。

背景技术

目前，传统蜗壳设计方法采用图解积分法或按比例在方格纸上进行绘制，其断面形状和几何尺寸并不精确。对于蜗壳设计方面，其成果主要集中在采用图解积分法对蜗壳断面面积进行计算，并利用二维坐标对不同蜗壳断面几何形状进行绘制，该设计方法要求设计人员具有较为丰富的设计经验，其设计开发周期长，无法自动的对蜗壳进行等分和控制不同断面的面积。

在离心泵蜗壳设计过程中，如能对蜗壳几何形状采用三维坐标点来表示，将使得蜗壳设计更加直观化，更方便初学者对蜗壳进行水力设计。同时如能够对蜗壳不同断面的控制点进行参数化控制，则可以方便的对蜗壳形状进行修改和调整，便于对蜗壳进行优化设计。因此，采用数学模型对蜗壳几何形状的控制点进行表达，实现了蜗壳水力设计的自动化和精确化，最终实现了蜗壳从“设计—计算—修改”过程的自动化，具有重要的学术和工程应用价值。

经检索，至今尚未见关于基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法的文献和申报专利，仅有一些学者采用传统的图解积分法对蜗壳进行设计开发。

已有离心泵蜗壳设计方法是采用速度系数法对蜗壳第8断面面积进行求解，并基于图解积分法对蜗壳断面面积进行计算。同时采用方格纸对蜗壳不同断面的几何形状进行绘制。该方法存在设计精度低，设计周期长等不足之处。

发明内容

本发明要解决已有技术的上述不足，提供一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，通过采用经验系数法、速度矩法、三维坐标控制点法、图形几何控制方程法和逐次面积逼近算法来计算蜗壳不同断面上的控制点坐标，并基于三维软件对输入的蜗壳控制点坐标进行自动几何造型。

为达到以上目的，本发明采用如下技术方案，方案大体分为7大步骤进行实施：

采用速度系数法计算蜗壳基本几何参数，利用速度矩法求解喉部面积；在此基础上，通过三维坐标控制点法和图形几何控制方程对蜗壳断面几何形状进行建模，同时利用逐次面积逼近算法对蜗壳断面上的控制点坐标和断面面积进行精确求解；最后将控制点坐标输入三维软件进行自动化造型。具体实施过程如下：

步骤一：基于蜗壳速度系数法求解蜗壳基本几何参数；

蜗壳主要几何参数有：(1)蜗壳基圆直径D₃；(2)蜗壳进口宽度b₃；(3)隔舌安放角θ₀；(4)隔舌螺旋角α₀；(5)喉部面积，A_t；(6)蜗壳出口直径D_o；(7)隔舌半径R_t；(8)蜗壳出口到中心的距离L。蜗壳几何参数如图2所示。

对于已知叶轮的几何参数，其中：(1)叶轮外径D₂大体确定了隔舌的直径D₃；(2)叶片出口宽度b₂及前、后盖板厚度大致可以确定蜗壳的进口宽度b₃；(3)比转速n_s大致可以确定了隔舌安放角θ₀；(4)叶片出口液流角β_2F大体确定了隔舌的螺旋角α₀；(5)根据速度矩相等原则可以大体确定蜗壳喉部断面面积A_t。

基于传统设计经验，D₃、b₃的选取可根据以下经验公式确定：

D₃＝(1.05～1.2)D₂(1)

b₃＝(1.6～2)b₂(2)

隔舌安放角θ₀与比转速n_s有关，通常比转速n_s越高，隔舌安放角θ₀越大。根据传统设计经验，比转速n_s＝40～60之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝0°～15°；比转速n_s＝60～130之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝15°～25°；比转速n_s＝130～220之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝25°～38°；比转速n_s＝220～360之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝38°～45°。隔舌螺旋角为隔舌螺旋线的切线与基圆切线间的夹角，为了符合流动规律，减小液流对隔舌的冲击损失，通常隔舌螺旋角设计成等于叶轮出口稍后处的液流角。

步骤二：根据速度矩法计算蜗壳喉部面积；

根据蜗壳喉部断面速度与蜗壳喉部断面半径之积与叶轮出口绝对速度圆周分速度与叶轮出口半径之积相等原则确定蜗壳喉部断面面积，即v_tu·R_t＝v_2u·R₂＝constant。具体计算过程如下：

$D_t=\frac{2{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}+\sqrt{\frac{2D_3{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{180\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}+{\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}\right)}^2}---\left(3\right)$

$R_t=\frac{D_3}{2}+\frac{D_t}{2}---\left(4\right)$

$A_t=\frac{\mathrm{\π}{D}_t^2}{4}---\left(5\right)$

$v_{\mathrm{tu}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360A_t}---\left(6\right)$

式中：θ_t为蜗壳喉部断面相对于隔舌断面的安放角，其值设为360°；D_t为喉部断面直径，mm；R_t为喉部断面半径，mm；Q_n为离心泵设计工况下的流量，m³/s；v_2u为叶轮出口绝对速度圆周分量，m/s；v_tu为蜗壳喉部断面速度，m/s。

步骤三：采用蜗壳断面面积控制方程对蜗壳各断面面积进行控制；

为了有效的对蜗壳各个断面面积的控制，将蜗壳从圆周方向上按照每隔30度进行划分，即将360度进行12等分，N＝12，其中隔舌断面为第0断面，喉部面积为第12断面，在360度的圆周上共有平均分布了13个断面。蜗壳各个断面面积的控制方程如下：

$A_i=\frac{f_{\mathrm{area}}\left(i\right)}{N}(A_t-A_0)+A_0---\left(7\right)$

式中：i为断面号，从1到11；A_i为第i断面面积，mm²；A₀为第0断面面积，mm²；f_area(i)为第i断面面积控制系数，其范围为0到12之间的实数。

步骤四：蜗壳隔舌断面(第0断面)数学模型求解；

在蜗壳模型构造过程中，假定蜗壳隔舌断面(第0断面)与蜗壳喉部断面(第12断面)处于同一剖面坐标系，隔舌断面的安放角为θ₀，如图3所示。对于隔舌断面，采用左右对称的13个点进行控制，这里对右边的7个点(pA0_0至pA0_6)进行数学建模。计算过程如下所示：

4.1.求解点pA0_0(X_{0_0},Y_{0_0},Z_{0_0})

X_{0_0}＝rA_{0_0}cosθ₀(8)

Y_{0_0}＝rA_{0_0}sinθ₀(9)

Z_{0_0}＝b₃/2(10)

${\mathrm{rA}}_{0\_0}=\frac{D_3}{2(1+f_{r\_0})}---\left(11\right)$

式中：rA_{0_0}为点pA0_0到蜗壳中心O的半径，mm；f_{r_0}为pA0_0到蜗壳基圆的间隙系数。

4.2.求解点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})

在点pA0_0和点pA0_1之间的连接采用椭圆方程，点pA0_1位于椭圆上，需基于椭圆方程求解该点坐标，具体求解过程如下：

X_{0_1}＝rA_{0_1}cosθ₀(12)

Y_{0_1}＝rA_{0_1}sinθ₀(13)

$Z_{0\_1}=Z_{0\_0}+\mathrm{RadZ}(1-\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{\mathrm{radR}}\right)}^2})---\left(14\right)$

$\mathrm{radZ}=\frac{-{(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}^2-\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}{\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})+2(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}---\left(15\right)$

$\mathrm{radR}=\mathrm{radZ}({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})\sqrt{\frac{-1}{(Z_{0\_0}-Z_{12\_0})(Z_{0\_0}-Z_{12\_0}+2\mathrm{radZ})}}---\left(16\right)$

rA_{0_1}＝rA_{0_0}+(1-f_{line_0})(rA_{0_2}-rA_{0_0})(17)

${\mathrm{rA}}_{0\_2}=f_{r\_1}(\frac{D_3}{2}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})+{\mathrm{rA}}_{0\_0}---\left(18\right)$

${\mathrm{rA}}_{12\_0}=\frac{D_3}{2}+t+{\mathrm{tf}}_{r12\_0}---\left(19\right)$

Z_{12_0}＝Z_{0_0}+tf_{z12_0}(20)

式中：rA_{0_1}为点pA0_1到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_2}为点pA0_2到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{12_0}为点pA12_0到蜗壳中心O的半径，mm；Z_{12_0}为点pA12_0轴向的Z坐标，mm；radZ为椭圆轴向上的半径，mm；radR为椭圆径向上的半径，mm；α₁₂为椭圆上点pA12_0的切线角度，°；f_{r_1}为pA0_2的控制系数，初始值设为0.1；f_{r12_0}为pA12_0的径向上的控制系数，初始值设为1.5；f_{z12_0}为pA12_0轴向上的控制系数，初始值设为1；f_{line_0}为过点pA0_1和点pA0_2的直线斜率控制系数，初始值设为0.9；t为隔舌的直径，即点pA0_6到点pA12_9的距离，mm。

4.3.求解点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})

在点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})和点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})之间采用直线进行连接，两点直线的斜率等于过点pA0_1椭圆上切线的斜率。点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})的求解过程如下：

X_{0_2}＝rA_{0_2}cosθ₀(21)

Y_{0_2}＝rA_{0_2}sinθ₀(22)

Z_{0_2}＝Z_{0_1}+(rA_{0_2}-rA_{0_1})tanα₀(23)

$\tan {\mathrm{\α}}_0=\frac{\mathrm{radZ}({\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})}{\mathrm{rad}{R}^2\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{\mathrm{radR}}\right)}^2}}---\left(24\right)$

式中：α₀为椭圆上点pA0_1的切线角度，°。

4.4.求解点pA0_3(X_{0_3},Y_{0_3},Z_{0_3})和pA0_4(X_{0_4},Y_{0_4},Z_{0_4})

采用圆来连接点pA0_2、pA0_3和pA0_4，该圆与过点pA0_1和点pA0_2的直线Line_0相切，如图4所示。点pA0_3和pA0_4求解过程如下。

--求解圆心O₁坐标和半径R_{0_0}：

R_{0_0}＝f_{R0_0}R_m(25)

$R_m=\frac{D_3/2-{\mathrm{rA}}_{0\_2}}{1+\sin {\mathrm{\α}}_0}---\left(26\right)$

R_O1＝rA_{0_2}+R_{0_0}sinα₀(27)

Z_O1＝Z_{0_2}+R_{0_0}cosα₀(28)

--求点pA0_4：

X_{0_4}＝rA_{0_4}cosθ₀(29)

Y_{0_4}＝rA_{0_4}sinθ₀(30)

$Z_{0\_4}=\frac{Z_{O1}[{(R_{O1}-D_3/2)}^2+Z_{O1}^2]-R_{0\_0}^2{Z}_{O1}}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(31\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_4}=R_{0\_0}+R_{O1}-\frac{2R_{0\_0}(R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2)}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(32\right)$

--求点pA0_3：

X_{0_3}＝rA_{0_3}cosθ₀(33)

Y_{0_3}＝rA_{0_3}sinθ₀(34)

$Z_{0\_3}=Z_{O1}-(R_{0\_2}-R_{O1})\sin \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})\cos \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(35\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_3}=R_{O1}+(R_{0\_2}-R_{O1})\cos \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})\sin \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(36\right)$

${\mathrm{\β}}_0=\mathrm{act}\cos \left(\frac{(R_{0\_2}-R_{O1})(R_{0\_4}-R_{O1})+(Z_{0\_2}-Z_{O1})(Z_{0\_4}-Z_{O1})}{R_{0\_0}^2}\right)---\left(37\right)$

式中：rA_{0_3}为点pA0_3到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_4}为点pA0_4到蜗壳中心O的半径，mm；f_{R0_0}为过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆的大小控制系数，初值设为0.92；R_m为过点pA0_2和pA0_6且与直线Line_0相切的圆的半径，mm；β₀为过点pA0_2和pA0_4圆弧的角度，°。

4.5.求解点pA0_5(X_{0_5},Y_{0_5},Z_{0_5})和pA0_6(X_{0_6},Y_{0_6},Z_{0_6})

采用圆来连接点pA0_4、pA0_5和pA0_6，该圆与过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆相切于点pA0_4，点pA0_5和pA0_6求解过程如下。

--求解圆心O₂坐标和半径R_{0_1}：

R_{0_1}＝D₃/2-R_O2(38)

$R_{O2}=\frac{0.5[R_{O1}^2-{(D_3/2-R_{0\_0})}^2+Z_{O1}^2]}{R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2}---\left(39\right)$

Z_O2＝0(40)

--求点pA0_5：

X_{0_5}＝rA_{0_5}cosθ₀(41)

Y_{0_5}＝rA_{0_5}sinθ₀(42)

$Z_{0\_5}=Z_{O2}-({\mathrm{rA}}_{0\_4}-R_{O2})\sin \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})\cos \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(43\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_5}=R_{O2}+(R_{0\_4}-R_{O2})\cos \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})\sin \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(44\right)$

${\mathrm{\λ}}_0=\mathrm{act}\cos \left(\frac{(R_{0\_4}-R_{O2})(D_3/2-R_{O2})}{R_{0\_1}^2}\right)---\left(45\right)$

--求点pA0_6：

X_{0_6}＝rA_{0_6}cosθ₀(46)

Y_{0_6}＝rA_{0_6}sinθ₀(47)

Z_{0_6}＝0(48)

rA_{0_6}＝D₃/2(49)

式中：rA_{0_5}为点pA0_5到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_6}为点pA0_6到蜗壳中心O的半径，mm；λ₀为过点pA0_4和pA0_6圆弧的角度，°。

4.6.求解隔舌断面面积

隔舌断面面积按照隔舌断面构造方程，可以分成4个区域，如图5所示，区域1为O’-pA0_0-pA0_1,它由一个三角形面积AreaTri_{0_1}减去一小块椭圆面积AreaElli_{0_1}构成；区域2为O’-pA0_1-pA0_2,它由一个三角形面积AreaTri_{0_2}构成；区域3为O’-pA0_2-pA0_4,它由一个三角形面积AreaTri_{0_3}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_3}构成；区域4为O’-pA0_4-pA0_6,它由一个三角形面积AreaTri_{0_4}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_4}构成。隔舌断面面积的计算过程如下：

--求解4个三角形面积：

已知三点坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，C(r₂,z₂)，求解三角形的面积计算公式如式50所示。

$\mathrm{AreaTri}=\left|\frac{(r_1-r_0)(z_2-z_0)-(r_2-r_0)(z_1-z_0)}{2}\right|---\left(50\right)$

根据式50，将4个区域内的各个点的坐标带入方程，可求得4个三角形区域的面积。

--求解2个圆弧段面积：

已知圆形的半径r和圆弧跨度的角度θ，则圆弧段的面积公式如式51所示。

$\mathrm{AreaCir}=\left|\frac{r^2(\mathrm{\θ}-\sin \mathrm{\θ})}{2}\right|---\left(51\right)$

根据式51，将2个圆弧区域内的半径和角度带入方程，可求得2个圆弧区域的面积。

--求解2个圆弧段面积：

已知椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，则两点间椭圆段的面积公式如式52所示。

$\mathrm{AreaElli}=0.5|\mathrm{radR}\·\mathrm{radZ}(\frac{\mathrm{\π}}{2}+\mathrm{act}\sin \frac{D}{\mathrm{ranZ}})+\frac{\mathrm{radR}\·D\sqrt{{\mathrm{radZ}}^2-D^2}}{\mathrm{radZ}}|-\left|\frac{(r_1-r_0)(z_1-z_0)}{2}\right|---\left(52\right)$

D＝-radZ+|z₀-z₁|(53)

根据式52和53，将1个椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标带入方程，可求得1个椭圆区域的面积。

--求解隔舌断面面积(第0断面)：

A₀＝2(AreaTri_{0_1}-AreaElli_{0_1}+AreaTri_{0_2}+AreaTri_{0_3}+AreaCir_{0_3}

+AreaTri_{0_4}+AreaCir_{0_4})(54)

步骤五：蜗壳喉部断面(第12断面)数学模型求解；

蜗壳喉部断面控制点如图6所示，对喉部断面上的控制点pA12_0至pA12_9，其中点pA12_0根据公式19和20可求得其平面坐标，根据喉部断面的空间安放角θ₀，可求得其空间上的坐标；点pA12_9的半径rA_{12_9}可根据点pA0_6的半径加上隔舌直径t求得，同时可求得其空间上的坐标。

将点pA12_0，点pA12_6和点pA12_7采用圆弧进行连接，已知过点pA12_0切线的角度α₁₂，可参照点pA0_2，pA0_3和pA0_4的推导过程进行数学建模，由于篇幅限制，这里省去具体推导过程。同样，对于点pA12_7，点pA12_8和点pA12_8采用圆弧进行连接，参考点pA0_5和pA0_6的推导过程进行数学建模，同样省去具体推导过程。

由于已知喉部面积A_t，根据采用计算喉部面积A_{t_c}与给定喉部面积A_t不断迭代逼近的算法求解点pA12_1，pA12_2，pA12_3，pA12_4和pA12_5。其中点pA12_0和pA12_1之间采用直线连接；点pA12_1，pA12_2，pA12_3采用圆弧连接；点pA12_3，pA12_4，pA12_5采用圆弧连接；连接方式与隔舌断面类似。

由已知点pA12_0，pA12_6，pA12_7，pA12_8和pA12_9可以求得点pA12_0，pA12_9和O₃组成区域的面积，将其表示为A_t0。点pA12_9的半径采用rA_{12_9}表示，而Z_{12_9}为0，其求解过程如下：

5.1.假定的rA_{12_9}计算公式如下：

${\mathrm{rA}}_{12\_9}=\frac{{\mathrm{rA}}_{12\_0}}{1-f_{r\_12}}---\left(55\right)$

式中：f_{r_12}为rA_{12_9}控制系数。

5.2.如假设给定一个f_{r_12}值，则可参考隔舌断面的面积求解过程求得过点pA12_0，pA12_1，pA12_6，pA12_7，pA12_8，pA12_9和O₃组成的面积，将该面积用OpenArea表示，那么可知该面积与f_{r_12}具有函数关系，即OpenArea(f_{r_12})。

5.3.采用喉部面积逐次逼近的迭代算法求解f_{r_12}，即求解rA_{12_9}。迭代算法如下：

设f_{r_12_min}＝0.01，f_{r_12_max}＝0.99，则A_{tc_min}＝OpenArea(0.01)，A_{tc_max}＝OpenArea(0.99)。

核心算法为：

通过该算法，可以得到最终的f_{r_12}，那么即可求出rA_{12_9}，已知pA12_9的坐标，同样可参考隔舌断面点的求解方法对点pA12_1，pA12_6，pA12_7和pA12_8分别进行求解。

步骤六：蜗壳其他断面(第1～11断面)数学模型求解；

通过假定第1断面到第11断面的面积控制系数f_area(i)，则根据式7可求得每个断面面积。已知断面面积，可参考喉部面积逐次逼近算法，求得每个断面顶点pAi_6的坐标，再通过参考隔舌断面各个控制点的求解模型，对其他11个断面的控制点的坐标进行求解，具体建模过程可参考隔舌断面。

步骤七：蜗壳所有断面面积及控制点坐标计算完成后，将其输入到三维设计软件(CATIA，Pro/E，UG等)，采用相关操作完成最终蜗壳几何造型。

本发明的有益效果是：1)能根据指定设计工况对离心泵蜗壳进行快速精确设计；2)能根据设计要求对蜗壳隔舌半径，隔舌安防位置进行自动调整，并快速建模以便于蜗壳隔舌部位的优化设计；3)能根据设计要求对蜗壳不同断面面积进行自动调整，并基于新的断面面积分布对蜗壳进行自动建模，以便于蜗壳断面面积的优化设计；4)能更加精确的对离心泵蜗壳几何尺寸和断面面积进行控制，降低几何尺寸和断面面积误差带来的水力损失；5)自动化的蜗壳设计降低离心泵蜗壳设计难度，缩短蜗壳设计开发周期。

附图说明

图1为本发明所述的一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法流程图。

图2为蜗壳主要几何参数图。

图3为蜗壳隔舌断面和喉部断面几何控制参数。

图4为蜗壳隔舌断面几何控制参数图。

图5为蜗壳隔舌断面面积计算示意图。

图6为蜗壳喉部断面几何控制参数图。

图7为蜗壳断面控制点及三维模型示意图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细描述。

结合图1，本发明所述的基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法的流程大致分为：1)采用速度系数法计算蜗壳基本几何参数；2)采用速度矩法计算蜗壳喉部面积；3)初始化蜗壳几何控制变量；4)采用蜗壳断面面积控制方程对蜗壳断面面积进行控制；5)采用椭圆、圆和直线等数学模型对蜗壳断面几何形状进行建模，并采用三维坐标点对蜗壳断面控制点进行表述；6)采用逐次面积逼近迭代算法对蜗壳断面面积和断面控制点坐标进行计算；7)采用三维软件对蜗壳控制点进行几何建模，得到最终蜗壳模型。

结合图2，离心泵蜗壳基本几何参数包括蜗壳基圆直径D₃；蜗壳进口宽度b₃；隔舌安放角θ₀；隔舌螺旋角α₀；喉部面积，A_t；蜗壳出口直径D_o；隔舌半径R_t；蜗壳出口到中心的距离L。

结合图3、图4、图5、图6和图7，对蜗壳不同断面的控制方程进行求解，具体步骤如下所示：

步骤一：基于蜗壳速度系数法求解蜗壳基本几何参数；

对于已知叶轮的几何参数，其中：(1)叶轮外径D₂大体确定了隔舌的直径D₃；(2)叶片出口宽度b₂及前、后盖板厚度大致可以确定蜗壳的进口宽度b₃；(3)比转速n_s大致可以确定了隔舌安放角θ₀；(4)叶片出口液流角β_2F大体确定了隔舌的螺旋角α₀；(5)根据速度矩相等原则可以大体确定蜗壳喉部断面面积A_t。

基于传统设计经验，D₃、b₃的选取可根据以下经验公式确定：

D₃＝(1.05～1.2)D₂(1)

b₃＝(1.6～2)b₂(2)

隔舌安放角θ₀与比转速n_s有关，通常比转速n_s越高，隔舌安放角θ₀越大。根据传统设计经验，比转速n_s＝40～60之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝0°～15°；比转速n_s＝60～130之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝15°～25°；比转速n_s＝130～220之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝25°～38°；比转速n_s＝220～360之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝38°～45°。隔舌螺旋角为隔舌螺旋线的切线与基圆切线间的夹角，为了符合流动规律，减小液流对隔舌的冲击损失，通常隔舌螺旋角设计成等于叶轮出口稍后处的液流角。

步骤二：根据速度矩法计算蜗壳喉部面积；

根据蜗壳喉部断面速度与蜗壳喉部断面半径之积与叶轮出口绝对速度圆周分速度与叶轮出口半径之积相等原则确定蜗壳喉部断面面积，即v_tu·R_t＝v_2u·R₂＝constant。具体计算过程如下：

$D_t=\frac{2{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}+\sqrt{\frac{2D_3{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{180\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}+{\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360\mathrm{\π}{v}_{2u}{D}_2}\right)}^2}---\left(3\right)$

$R_t=\frac{D_3}{2}+\frac{D_t}{2}---\left(4\right)$

$A_t=\frac{\mathrm{\π}{D}_t^2}{4}---\left(5\right)$

$v_{\mathrm{tu}}=\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360A_t}---\left(6\right)$

式中：θ_t为蜗壳喉部断面相对于隔舌断面的安放角，其值设为360°；D_t为喉部断面直径，mm；R_t为喉部断面半径，mm；Q_n为离心泵设计工况下的流量，m³/s；v_2u为叶轮出口绝对速度圆周分量，m/s；v_tu为蜗壳喉部断面速度，m/s。

步骤三：采用蜗壳断面面积控制方程对蜗壳各断面面积进行控制；

为了有效的对蜗壳各个断面面积的控制，将蜗壳从圆周方向上按照每隔30度进行划分，即将360度进行12等分，N＝12，其中隔舌断面为第0断面，喉部面积为第12断面，在360度的圆周上共有平均分布了13个断面。蜗壳各个断面面积的控制方程如下：

$A_i=\frac{f_{\mathrm{area}}\left(i\right)}{N}(A_t-A_0)+A_0---\left(7\right)$

式中：i为断面号，从1到11；A_i为第i断面面积，mm²；A₀为第0断面面积，mm²；f_area(i)为第i断面面积控制系数，其范围为0到12之间的实数。

步骤四：蜗壳隔舌断面(第0断面)数学模型求解；

在蜗壳模型构造过程中，假定蜗壳隔舌断面(第0断面)与蜗壳喉部断面(第12断面)处于同一剖面坐标系，隔舌断面的安放角为θ₀，如图3所示。对于隔舌断面，采用左右对称的13个点进行控制，这里对右边的7个点(pA0_0至pA0_6)进行数学建模。计算过程如下所示：

4.1.求解点pA0_0(X_{0_0},Y_{0_0},Z_{0_0})

X_{0_0}＝rA_{0_0}cosθ₀(8)

Y_{0_0}＝rA_{0_0}sinθ₀(9)

Z_{0_0}＝b₃/2(10)

${\mathrm{rA}}_{0\_0}=\frac{D_3}{2(1+f_{r\_0})}---\left(11\right)$

式中：rA_{0_0}为点pA0_0到蜗壳中心O的半径，mm；f_{r_0}为pA0_0到蜗壳基圆的间隙系数。

4.2.求解点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})

在点pA0_0和点pA0_1之间的连接采用椭圆方程，点pA0_1位于椭圆上，需基于椭圆方程求解该点坐标，具体求解过程如下：

X_{0_1}＝rA_{0_1}cosθ₀(12)

Y_{0_1}＝rA_{0_1}sinθ₀(13)

$Z_{0\_1}=Z_{0\_0}+\mathrm{RadZ}(1-\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{\mathrm{radR}}\right)}^2})---\left(14\right)$

$\mathrm{radZ}=\frac{-{(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}^2-\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}{\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})+2(Z_{12\_0}-Z_{0\_0})}---\left(15\right)$

$\mathrm{radR}=\mathrm{radZ}({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})\sqrt{\frac{-1}{(Z_{0\_0}-Z_{12\_0})(Z_{0\_0}-Z_{12\_0}+2\mathrm{radZ})}}---\left(16\right)$

rA_{0_1}＝rA_{0_0}+(1-f_{line_0})(rA_{0_2}-rA_{0_0})(17)

${\mathrm{rA}}_{0\_2}=f_{r\_1}(\frac{D_3}{2}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})+{\mathrm{rA}}_{0\_0}---\left(18\right)$

${\mathrm{rA}}_{12\_0}=\frac{D_3}{2}+t+{\mathrm{tf}}_{r12\_0}---\left(19\right)$

Z_{12_0}＝Z_{0_0}+tf_{z12_0}(20)

式中：rA_{0_1}为点pA0_1到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_2}为点pA0_2到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{12_0}为点pA12_0到蜗壳中心O的半径，mm；Z_{12_0}为点pA12_0轴向的Z坐标，mm；radZ为椭圆轴向上的半径，mm；radR为椭圆径向上的半径，mm；α₁₂为椭圆上点pA12_0的切线角度，°；f_{r_1}为pA0_2的控制系数，初始值设为0.1；f_{r12_0}为pA12_0的径向上的控制系数，初始值设为1.5；f_{z12_0}为pA12_0轴向上的控制系数，初始值设为1；f_{line_0}为过点pA0_1和点pA0_2的直线斜率控制系数，初始值设为0.9；t为隔舌的直径，即点pA0_6到点pA12_9的距离，mm。

4.3.求解点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})

在点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})和点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})之间采用直线进行连接，两点直线的斜率等于过点pA0_1椭圆上切线的斜率。点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})的求解过程如下：

X_{0_2}＝rA_{0_2}cosθ₀(21)

Y_{0_2}＝rA_{0_2}sinθ₀(22)

Z_{0_2}＝Z_{0_1}+(rA_{0_2}-rA_{0_1})tanα₀(23)

$\tan {\mathrm{\α}}_0=\frac{\mathrm{radZ}({\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})}{\mathrm{rad}{R}^2\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{\mathrm{radR}}\right)}^2}}---\left(24\right)$

式中：α₀为椭圆上点pA0_1的切线角度，°。

4.4.求解点pA0_3(X_{0_3},Y_{0_3},Z_{0_3})和pA0_4(X_{0_4},Y_{0_4},Z_{0_4})

采用圆来连接点pA0_2、pA0_3和pA0_4，该圆与过点pA0_1和点pA0_2的直线Line_0相切，如图4所示。点pA0_3和pA0_4求解过程如下。

--求解圆心O₁坐标和半径R_{0_0}：

R_{0_0}＝f_{R0_0}R_m(25)

$R_m=\frac{D_3/2-{\mathrm{rA}}_{0\_2}}{1+\sin {\mathrm{\α}}_0}---\left(26\right)$

R_O1＝rA_{0_2}+R_{0_0}sinα₀(27)

Z_O1＝Z_{0_2}+R_{0_0}cosα₀(28)

--求点pA0_4：

X_{0_4}＝rA_{0_4}cosθ₀(29)

Y_{0_4}＝rA_{0_4}sinθ₀(30)

$Z_{0\_4}=\frac{Z_{O1}[{(R_{O1}-D_3/2)}^2+Z_{O1}^2]-R_{0\_0}^2{Z}_{O1}}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(31\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_4}=R_{0\_0}+R_{O1}-\frac{2R_{0\_0}(R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2)}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(32\right)$

--求点pA0_3：

X_{0_3}＝rA_{0_3}cosθ₀(33)

Y_{0_3}＝rA_{0_3}sinθ₀(34)

$Z_{0\_3}=Z_{O1}-(R_{0\_2}-R_{O1})\sin \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})\cos \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(35\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_3}=R_{O1}+(R_{0\_2}-R_{O1})\cos \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})\sin \left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(36\right)$

${\mathrm{\β}}_0=\mathrm{act}\cos \left(\frac{(R_{0\_2}-R_{O1})(R_{0\_4}-R_{O1})+(Z_{0\_2}-Z_{O1})(Z_{0\_4}-Z_{O1})}{R_{0\_0}^2}\right)---\left(37\right)$

式中：rA_{0_3}为点pA0_3到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_4}为点pA0_4到蜗壳中心O的半径，mm；f_{R0_0}为过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆的大小控制系数，初值设为0.92；R_m为过点pA0_2和pA0_6且与直线Line_0相切的圆的半径，mm；β₀为过点pA0_2和pA0_4圆弧的角度，°。

4.5.求解点pA0_5(X_{0_5},Y_{0_5},Z_{0_5})和pA0_6(X_{0_6},Y_{0_6},Z_{0_6})

采用圆来连接点pA0_4、pA0_5和pA0_6，该圆与过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆相切于点pA0_4，点pA0_5和pA0_6求解过程如下。

--求解圆心O₂坐标和半径R_{0_1}：

R_{0_1}＝D₃/2-R_O2(38)

$R_{O2}=\frac{0.5[R_{O1}^2-{(D_3/2-R_{0\_0})}^2+Z_{O1}^2]}{R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2}---\left(39\right)$

Z_O2＝0(40)

--求点pA0_5：

X_{0_5}＝rA_{0_5}cosθ₀(41)

Y_{0_5}＝rA_{0_5}sinθ₀(42)

$Z_{0\_5}=Z_{O2}-({\mathrm{rA}}_{0\_4}-R_{O2})\sin \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})\cos \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(43\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_5}=R_{O2}+(R_{0\_4}-R_{O2})\cos \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})\sin \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(44\right)$

${\mathrm{\λ}}_0=\mathrm{act}\cos \left(\frac{(R_{0\_4}-R_{O2})(D_3/2-R_{O2})}{R_{0\_1}^2}\right)---\left(45\right)$

--求点pA0_6：

X_{0_6}＝rA_{0_6}cosθ₀(46)

Y_{0_6}＝rA_{0_6}sinθ₀(47)

Z_{0_6}＝0(48)

rA_{0_6}＝D₃/2(49)

式中：rA_{0_5}为点pA0_5到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_6}为点pA0_6到蜗壳中心O的半径，mm；λ₀为过点pA0_4和pA0_6圆弧的角度，°。

4.6.求解隔舌断面面积

隔舌断面面积按照隔舌断面构造方程，可以分成4个区域，如图5所示，区域1为O’-pA0_0-pA0_1,它由一个三角形面积AreaTri_{0_1}减去一小块椭圆面积AreaElli_{0_1}构成；区域2为O’-pA0_1-pA0_2,它由一个三角形面积AreaTri_{0_2}构成；区域3为O’-pA0_2-pA0_4,它由一个三角形面积AreaTri_{0_3}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_3}构成；区域4为O’-pA0_4-pA0_6,它由一个三角形面积AreaTri_{0_4}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_4}构成。隔舌断面面积的计算过程如下：

--求解4个三角形面积：

已知三点坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，C(r₂,z₂)，求解三角形的面积计算公式如式50所示。

$\mathrm{AreaTri}=\left|\frac{(r_1-r_0)(z_2-z_0)-(r_2-r_0)(z_1-z_0)}{2}\right|---\left(50\right)$

根据式50，将4个区域内的各个点的坐标带入方程，可求得4个三角形区域的面积。

--求解2个圆弧段面积：

已知圆形的半径r和圆弧跨度的角度θ，则圆弧段的面积公式如式51所示。

$\mathrm{AreaCir}=\left|\frac{r^2(\mathrm{\θ}-\sin \mathrm{\θ})}{2}\right|---\left(51\right)$

根据式51，将2个圆弧区域内的半径和角度带入方程，可求得2个圆弧区域的面积。

--求解2个圆弧段面积：

已知椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，则两点间椭圆段的面积公式如式52所示。

$\mathrm{AreaElli}=0.5|\mathrm{radR}\·\mathrm{radZ}(\frac{\mathrm{\π}}{2}+\mathrm{act}\sin \frac{D}{\mathrm{ranZ}})+\frac{\mathrm{radR}\·D\sqrt{{\mathrm{radZ}}^2-D^2}}{\mathrm{radZ}}|-\left|\frac{(r_1-r_0)(z_1-z_0)}{2}\right|---\left(52\right)$

D＝-radZ+|z₀-z₁|(53)

根据式52和53，将1个椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标带入方程，可求得1个椭圆区域的面积。

--求解隔舌断面面积(第0断面)：

A₀＝2(AreaTri_{0_1}-AreaElli_{0_1}+AreaTri_{0_2}+AreaTri_{0_3}+AreaCir_{0_3}

+AreaTri_{0_4}+AreaCir_{0_4})(54)

步骤五：蜗壳喉部断面(第12断面)数学模型求解；

蜗壳喉部断面控制点如图6所示，对喉部断面上的控制点pA12_0至pA12_9，其中点pA12_0根据公式19和20可求得其平面坐标，根据喉部断面的空间安放角θ₀，可求得其空间上的坐标；点pA12_9的半径rA_{12_9}可根据点pA0_6的半径加上隔舌直径t求得，同时可求得其空间上的坐标。

将点pA12_0，点pA12_6和点pA12_7采用圆弧进行连接，已知过点pA12_0切线的角度α₁₂，可参照点pA0_2，pA0_3和pA0_4的推导过程进行数学建模，由于篇幅限制，这里省去具体推导过程。同样，对于点pA12_7，点pA12_8和点pA12_8采用圆弧进行连接，参考点pA0_5和pA0_6的推导过程进行数学建模，同样省去具体推导过程。

由于已知喉部面积A_t，根据采用计算喉部面积A_{t_c}与给定喉部面积A_t不断迭代逼近的算法求解点pA12_1，pA12_2，pA12_3，pA12_4和pA12_5。其中点pA12_0和pA12_1之间采用直线连接；点pA12_1，pA12_2，pA12_3采用圆弧连接；点pA12_3，pA12_4，pA12_5采用圆弧连接；连接方式与隔舌断面类似。

由已知点pA12_0，pA12_6，pA12_7，pA12_8和pA12_9可以求得点pA12_0，pA12_9和O₃组成区域的面积，将其表示为A_t0。点pA12_9的半径采用rA_{12_9}表示，而Z_{12_9}为0，其求解过程如下：

5.1.假定的rA_{12_9}计算公式如下：

${\mathrm{rA}}_{12\_9}=\frac{{\mathrm{rA}}_{12\_0}}{1-f_{r\_12}}---\left(55\right)$

式中：f_{r_12}为rA_{12_9}控制系数。

5.2.如假设给定一个f_{r_12}值，则可参考隔舌断面的面积求解过程求得过点pA12_0，pA12_1，pA12_6，pA12_7，pA12_8，pA12_9和O₃组成的面积，将该面积用OpenArea表示，那么可知该面积与f_{r_12}具有函数关系，即OpenArea(f_{r_12})。

5.3.采用喉部面积逐次逼近的迭代算法求解f_{r_12}，即求解rA_{12_9}。迭代算法如下：

设f_{r_12_min}＝0.01，f_{r_12_max}＝0.99，则A_{tc_min}＝OpenArea(0.01)，A_{tc_max}＝OpenArea(0.99)。

核心算法为：

通过该算法，可以得到最终的f_{r_12}，那么即可求出rA_{12_9}，已知pA12_9的坐标，同样可参考隔舌断面点的求解方法对点pA12_1，pA12_6，pA12_7和pA12_8分别进行求解。

步骤六：蜗壳其他断面(第1～11断面)数学模型求解；

通过假定第1断面到第11断面的面积控制系数f_area(i)，则根据式7可求得每个断面面积。已知断面面积，可参考喉部面积逐次逼近算法，求得每个断面顶点pAi_6的坐标，再通过参考隔舌断面各个控制点的求解模型，对其他11个断面的控制点的坐标进行求解，具体建模过程可参考隔舌断面。

步骤七：蜗壳所有断面面积及控制点坐标计算完成后，将其输入到三维设计软件(CATIA，Pro/E，UG等)，采用相关操作完成最终蜗壳几何造型。

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也包涵本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (4)

1.一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，其特征在于，根据给定的设计工况下的流量、扬程和转速，以及匹配叶轮的几何参数；首先，基于蜗壳速度系数法对蜗壳基本几何参数进行求解；其次，采用速度矩法对蜗壳喉部面积进行计算，同时建立蜗壳断面面积控制方程对断面面积进行控制；再次，采用数学模型对蜗壳不同断面的控制点进行建模，以三维坐标法对不同的控制点进行表示，并采用蜗壳断面面积逐次逼近迭代算法，对不同蜗壳断面面积和蜗壳断面控制点坐标进行快速求解；最后，基于三维设计软件对控制点表达的蜗壳进行几何建模；其具体步骤如下：

步骤一：基于蜗壳速度系数法求解蜗壳基本几何参数；

对于已知叶轮的几何参数，其中：叶轮外径D₂大体确定了隔舌的直径D₃；叶片出口宽度b₂及前、后盖板厚度大致确定蜗壳的进口宽度b₃；比转速n_s大致确定了隔舌安放角θ₀；叶片出口液流角β_2F大体确定了隔舌的螺旋角α₀；根据速度矩相等的原则大体确定蜗壳喉部断面面积A_t；

基于传统设计经验，D₃、b₃的选取可根据以下经验公式确定：

D₃＝(1.05～1.2)D₂(1)

b₃＝(1.6～2)b₂(2)

隔舌安放角θ₀与比转速n_s有关，通常比转速n_s越高，隔舌安放角θ₀越大；根据传统设计经验，比转速n_s＝40～60之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝0°～15°；比转速n_s＝60～130之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝15°～25°；比转速n_s＝130～220之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝25°～38°；比转速n_s＝220～360之间，推荐的隔舌安放角θ₀＝38°～45°；隔舌螺旋角为隔舌螺旋线的切线与基圆切线间的夹角，为了符合流动规律，减小液流对隔舌的冲击损失，通常隔舌螺旋角设计成等于叶轮出口稍后处的液流角；

步骤二：根据速度矩法计算蜗壳喉部面积；

根据蜗壳喉部断面速度与蜗壳喉部断面半径之积与叶轮出口绝对速度圆周分速度与叶轮出口半径之积相等原则确定蜗壳喉部断面面积，即v_tu·R_t＝v_2u·R₂＝constant；具体计算过程如下：

$D_t=\frac{2{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360{\mathrm{\πv}}_{2u}{D}_2}+\sqrt{\frac{2D_3{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{180{\mathrm{\πv}}_{2u}{D}_2}+{\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360{\mathrm{\πv}}_{2u}{D}_2}\right)}^2}---\left(3\right)$

$R_t=\frac{D_3}{2}+\frac{D_t}{2}---\left(4\right)$

$A_t=\frac{{\mathrm{\πD}}_t^2}{4}---\left(5\right)$

$v_{tu}=\frac{{\mathrm{\θ}}_t{Q}_n}{360A_t}---\left(6\right)$

式中：θ_t为蜗壳喉部断面相对于隔舌断面的安放角，其值设为360°；D_t为喉部断面直径，mm；R_t为喉部断面半径，mm；Q_n为离心泵设计工况下的流量，m³/s；v_2u为叶轮出口绝对速度圆周分量，m/s；v_tu为蜗壳喉部断面速度，m/s；

步骤三：采用蜗壳断面面积控制方程对蜗壳各断面面积进行控制；

为了有效的对蜗壳各个断面面积的控制，将蜗壳从圆周方向上按照每隔30度进行划分，即将360度进行12等分，N＝12，其中蜗壳隔舌断面为第0断面，蜗壳喉部断面为第12断面，在360度的圆周上共有平均分布了13个断面；蜗壳各个断面面积的控制方程如下：

$A_i=\frac{f_{area}\left(i\right)}{N}(A_t-A_0)+A_0---\left(7\right)$

式中：i为断面号，从1到11；A_i为第i断面面积，mm²；A₀为第0断面面积，mm²；f_area(i)为第i断面面积控制系数，其范围为0到12之间的实数；

步骤四：蜗壳隔舌断面的数学模型求解；

在蜗壳模型构造过程中，假定蜗壳隔舌断面与蜗壳喉部断面处于同一剖面坐标系，隔舌断面的安放角为θ₀；对于隔舌断面，采用左右对称的13个点进行控制，这里对右边的7个点，即pA0_0至pA0_6，进行数学建模；计算过程如下所示：

4.1.求解点pA0_0(X_{0_0},Y_{0_0},Z_{0_0})

X_{0_0}＝rA_{0_0}cosθ₀(8)

Y_{0_0}＝rA_{0_0}sinθ₀(9)

Z_{0_0}＝b₃/2(10)

${\mathrm{rA}}_{0\_0}=\frac{D_3}{2(1+f_{r\_0})}---\left(11\right)$

式中：rA_{0_0}为点pA0_0到蜗壳中心O的半径，mm；f_{r_0}为pA0_0到蜗壳基圆的间隙系数；

4.2.求解点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})

在点pA0_0和点pA0_1之间的连接采用椭圆方程，点pA0_1位于椭圆上，需基于椭圆方程求解该点坐标，具体求解过程如下：

X_{0_1}＝rA_{0_1}cosθ₀(12)

Y_{0_1}＝rA_{0_1}sinθ₀(13)

$Z_{0\_1}=Z_{0\_0}+RadZ(1-\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{radR}\right)}^2})---\left(14\right)$

$radZ=\frac{-{\left(Z_{12\_0}-Z_{0\_0}\right)}^2-\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)\left({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}\right)\left(Z_{12\_0}-Z_{0\_0}\right)}{\tan \left({\mathrm{\α}}_{12}\right)\left({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}\right)+2\left(Z_{12\_0}-Z_{0\_0}\right)}---\left(15\right)$

$radR=radZ({\mathrm{rA}}_{12\_0}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})\sqrt{\frac{-1}{(Z_{0\_0}-Z_{12\_0})(Z_{0\_0}-Z_{12\_0}+2radZ)}}---\left(16\right)$

rA_{0_1}＝rA_{0_0}+(1-f_{line_0})(rA_{0_2}-rA_{0_0})(17)

${\mathrm{rA}}_{0\_2}=f_{r\_1}(\frac{D_3}{2}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})+{\mathrm{rA}}_{0\_0}---\left(18\right)$

${\mathrm{rA}}_{12\_0}=\frac{D_3}{2}+t+{\mathrm{tf}}_{r12\_0}---\left(19\right)$

Z_{12_0}＝Z_{0_0}+tf_{z12_0}(20)

式中：rA_{0_1}为点pA0_1到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_2}为点pA0_2到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{12_0}为点pA12_0到蜗壳中心O的半径，mm；Z_{12_0}为点pA12_0轴向的Z坐标，mm；radZ为椭圆轴向上的半径，mm；radR为椭圆径向上的半径，mm；α₁₂为椭圆上点pA12_0的切线角度，°；f_{r_1}为pA0_2的控制系数，初始值设为0.1；f_{r12_0}为pA12_0的径向上的控制系数，初始值设为1.5；f_{z12_0}为pA12_0轴向上的控制系数，初始值设为1；f_{line_0}为过点pA0_1和点pA0_2的直线斜率控制系数，初始值设为0.9；t为隔舌的直径，即点pA0_6到点pA12_9的距离，mm；

4.3.求解点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})

在点pA0_1(X_{0_1},Y_{0_1},Z_{0_1})和点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})之间采用直线进行连接，两点直线的斜率等于过点pA0_1椭圆上切线的斜率；点pA0_2(X_{0_2},Y_{0_2},Z_{0_2})的求解过程如下：

X_{0_2}＝rA_{0_2}cosθ₀(21)

Y_{0_2}＝rA_{0_2}sinθ₀(22)

Z_{0_2}＝Z_{0_1}+(rA_{0_2}-rA_{0_1})tanα₀(23)

${\mathrm{tan\α}}_0=\frac{radZ({\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0})}{{\mathrm{radR}}^2\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{rA}}_{0\_1}-{\mathrm{rA}}_{0\_0}}{radR}\right)}^2}}---\left(24\right)$

式中：α₀为椭圆上点pA0_1的切线角度，°；

4.4.求解点pA0_3(X_{0_3},Y_{0_3},Z_{0_3})和pA0_4(X_{0_4},Y_{0_4},Z_{0_4})

采用圆来连接点pA0_2、pA0_3和pA0_4，该圆与过点pA0_1和点pA0_2的直线Line_0相切；点pA0_3和pA0_4求解过程如下；

--求解圆心O₁坐标和半径R_{0_0}：

R_{0_0}＝f_{R0_0}R_m(25)

$R_m=\frac{D_3/2-{\mathrm{rA}}_{0\_2}}{1+{\mathrm{sin\α}}_0}---\left(26\right)$

R_O1＝rA_{0_2}+R_{0_0}sinα₀(27)

Z_O1＝Z_{0_2}+R_{0_0}cosα₀(28)

--求点pA0_4：

X_{0_4}＝rA_{0_4}cosθ₀(29)

Y_{0_4}＝rA_{0_4}sinθ₀(30)

$Z_{0\_4}=\frac{Z_{O1}\[{(R_{O1}-D_3/2)}^2+Z_{O1}^2\]-R_{0\_0}^2{Z}_{O1}}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(31\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_4}=R_{0\_0}+R_{O1}-\frac{2R_{0\_0}(R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2)}{{(R_{0\_0}+R_{O1}-R_{0\_2})}^2+Z_{O1}^2}---\left(32\right)$

--求点pA0_3：

X_{0_3}＝rA_{0_3}cosθ₀(33)

Y_{0_3}＝rA_{0_3}sinθ₀(34)

$Z_{0\_3}=Z_{O1}-(R_{0\_2}-R_{O1})sin\left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})cos\left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(35\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_3}=R_{O1}+(R_{0\_2}-R_{O1})cos\left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_2}-Z_{O1})sin\left(\frac{{\mathrm{\β}}_0}{2}\right)---\left(36\right)$

${\mathrm{\β}}_0=act\cos \left(\frac{(R_{0\_2}-R_{O1})(R_{0\_4}-R_{O1})+(Z_{0\_2}-Z_{O1})(Z_{0\_4}-Z_{O1})}{R_{0\_0}^2}\right)---\left(37\right)$

式中：rA_{0_3}为点pA0_3到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_4}为点pA0_4到蜗壳中心O的半径，mm；f_{R0_0}为过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆的大小控制系数，初值设为0.92；R_m为过点pA0_2和pA0_6且与直线Line_0相切的圆的半径，mm；β₀为过点pA0_2和pA0_4圆弧的角度，°；

4.5.求解点pA0_5(X_{0_5},Y_{0_5},Z_{0_5})和pA0_6(X_{0_6},Y_{0_6},Z_{0_6})

采用圆来连接点pA0_4、pA0_5和pA0_6，该圆与过点pA0_2、pA0_3和pA0_4的圆相切于点pA0_4，点pA0_5和pA0_6求解过程如下；

--求解圆心O₂坐标和半径R_{0_1}：

R_{0_1}＝D₃/2-R_O2(38)

$R_{O2}=\frac{0.5\[R_{O1}^2-{(D_3/2-R_{0\_0})}^2+Z_{O1}^2\]}{R_{0\_0}+R_{O1}-D_3/2}---\left(39\right)$

Z_O2＝0(40)

--求点pA0_5：

X_{0_5}＝rA_{0_5}cosθ₀(41)

Y_{0_5}＝rA_{0_5}sinθ₀(42)

$Z_{0\_5}=Z_{O2}-({\mathrm{rA}}_{0\_4}-R_{O2})sin\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})cos\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(43\right)$

${\mathrm{rA}}_{0\_5}=R_{O2}+(R_{0\_4}-R_{O2})cos\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)+(Z_{0\_4}-Z_{O2})sin\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{2}\right)---\left(44\right)$

${\mathrm{\λ}}_0=actcos\left(\frac{(R_{0\_4}-R_{O2})(D_3/2-R_{O2})}{R_{0\_1}^2}\right)---\left(45\right)$

--求点pA0_6：

X_{0_6}＝rA_{0_6}cosθ₀(46)

Y_{0_6}＝rA_{0_6}sinθ₀(47)

Z_{0_6}＝0(48)

rA_{0_6}＝D₃/2(49)

式中：rA_{0_5}为点pA0_5到蜗壳中心O的半径，mm；rA_{0_6}为点pA0_6到蜗壳中心O的半径，mm；λ₀为过点pA0_4和pA0_6圆弧的角度，°；

4.6.求解隔舌断面面积

隔舌断面面积按照隔舌断面构造方程，分成4个区域，区域1为O’-pA0_0-pA0_1,它由一个三角形面积AreaTri_{0_1}减去一小块椭圆面积AreaElli_{0_1}构成；区域2为O’-pA0_1-pA0_2,它由一个三角形面积AreaTri_{0_2}构成；区域3为O’-pA0_2-pA0_4,它由一个三角形面积AreaTri_{0_3}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_3}构成；区域4为O’-pA0_4-pA0_6,它由一个三角形面积AreaTri_{0_4}加上一块圆弧面积AreaCir_{0_4}构成；隔舌断面面积的计算过程如下：

--求解4个三角形面积：

已知三点坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，C(r₂,z₂)，求解三角形的面积计算公式如式50所示；

$AreaTri=\left|\frac{(r_1-r_0)(z_2-z_0)-(r_2-r_0)(z_1-z_0)}{2}\right|---\left(50\right)$

根据式50，将4个区域内的各个点的坐标带入方程，可求得4个三角形区域的面积；

--求解2个圆弧段面积：

已知圆形的半径r和圆弧跨度的角度θ，则圆弧段的面积公式如式51所示；

$AreaCir=\left|\frac{r^2(\mathrm{\θ}-sin\mathrm{\θ})}{2}\right|---\left(51\right)$

根据式51，将2个圆弧区域内的半径和角度带入方程，可求得2个圆弧区域的面积；

--求解2个圆弧段面积：

已知椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标A(r₀,z₀)，B(r₁,z₁)，则两点间椭圆段的面积公式如式52所示；

$AreaElli=0.5|radR\·radZ\left(\frac{\mathrm{\π}}{2}+act\sin \frac{D}{radZ}\right)+\frac{radR\·D\sqrt{{\mathrm{radZ}}^2-D^2}}{radZ}|-\left|\frac{\left(r_1-r_0\right)\left(z_1-z_0\right)}{2}\right|---\left(52\right)$

D＝-radZ+|z₀-z₁|(53)

根据式52和53，将1个椭圆的长轴半径radR、短轴半径radZ和椭圆上两点的坐标带入方程，可求得1个椭圆区域的面积；

--求解蜗壳隔舌断面面积：

$\begin{array}{c}{A}_0=2({\mathrm{AreaTri}}_{0\_1}-{\mathrm{AreaElli}}_{0\_1}+{\mathrm{AreaTri}}_{0\_2}+{\mathrm{AreaTri}}_{0\_3}+{\mathrm{AreaCir}}_{0\_3}\\ +{\mathrm{AreaTri}}_{0\_4}+{\mathrm{AreaCir}}_{0\_4})\end{array}---\left(54\right)$

步骤五：蜗壳喉部断面的数学模型求解；

蜗壳喉部断面控制点，对喉部断面上的控制点pA12_0至pA12_9，其中点pA12_0根据公式19和20可求得其平面坐标，根据喉部断面的空间安放角θ₀，可求得其空间上的坐标；点pA12_9的半径rA_{12_9}可根据点pA0_6的半径加上隔舌直径t求得，同时可求得其空间上的坐标；

将点pA12_0，点pA12_6和点pA12_7采用圆弧进行连接，已知过点pA12_0切线的角度α₁₂，可参照点pA0_2，pA0_3和pA0_4的推导过程进行数学建模，由于篇幅限制，这里省去具体推导过程；同样，对于点pA12_7，点pA12_8和点pA12_8采用圆弧进行连接，参考点pA0_5和pA0_6的推导过程进行数学建模，同样省去具体推导过程；

由于已知喉部面积A_t，根据采用计算喉部面积A_{t_c}与给定喉部面积A_t不断迭代逼近的算法求解点pA12_1，pA12_2，pA12_3，pA12_4和pA12_5；其中点pA12_0和pA12_1之间采用直线连接；点pA12_1，pA12_2，pA12_3采用圆弧连接；点pA12_3，pA12_4，pA12_5采用圆弧连接；连接方式与隔舌断面类似；

由已知点pA12_0，pA12_6，pA12_7，pA12_8和pA12_9求得点pA12_0，pA12_9和O₃组成区域的面积，将其表示为A_t0；点pA12_9的半径采用rA_{12_9}表示，而Z_{12_9}为0，其求解过程如下：

5.1.假定的rA_{12_9}计算公式如下：

${\mathrm{rA}}_{12\_9}=\frac{{\mathrm{rA}}_{12\_0}}{1-f_{r\_12}}---\left(55\right)$

式中：f_{r_12}为rA_{12_9}控制系数；

5.2.如假设给定一个f_{r_12}值，则可参考隔舌断面的面积求解过程求得过点pA12_0，pA12_1，pA12_6，pA12_7，pA12_8，pA12_9和O₃组成的面积，将该面积用OpenArea表示，那么可知该面积与f_{r_12}具有函数关系，即OpenArea(f_{r_12})；

5.3.采用喉部面积逐次逼近的迭代算法求解f_{r_12}，即求解rA_{12_9}；迭代算法如下：

设f_{r_12_min}＝0.01，f_{r_12_max}＝0.99，则A_{tc_min}＝OpenArea(0.01)，A_{tc_max}＝OpenArea(0.99)；

核心算法为：

通过该算法，得到最终的f_{r_12}，那么即可求出rA_{12_9}，已知pA12_9的坐标，同样可参考隔舌断面点的求解方法对点pA12_1，pA12_6，pA12_7和pA12_8分别进行求解；

步骤六：蜗壳的第1～11断面的数学模型求解；

通过假定第1断面到第11断面的面积控制系数f_area(i)，则根据式7可求得每个断面面积；已知断面面积，可参考喉部面积逐次逼近算法，求得每个断面顶点pAi_6的坐标，再通过参考隔舌断面各个控制点的求解模型，对其他11个断面的控制点的坐标进行求解，具体建模过程可参考隔舌断面；

步骤七：蜗壳所有断面面积及控制点坐标计算完成后，将其输入到三维设计软件，采用相关操作完成最终蜗壳几何造型。

2.根据权利要求1所述的一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，其特征在于：所述的步骤三，通过改变蜗壳断面面积控制系数来得到不同断面面积分布的蜗壳，其分布形式包括线性分布、凹状分布、凸状分布和S形分布；便于分析不同蜗壳面积分布对离心泵水力性能的影响。

3.根据权利要求1所述的一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，其特征在于：所述的步骤三，将蜗壳进行12等分，改变蜗壳周向的等分数，所述的等分数是8等分，10等分和20等分；等分数越大，对蜗壳的调控性越好。

4.根据权利要求1所述的一种基于数学模型的离心泵蜗壳设计方法，其特征在于：所述的步骤四，通过改变蜗壳隔舌的安放角大小和隔舌直径来设计不同隔舌形状的蜗壳，便于分析不同隔舌形状对水力性能的影响。