CN104215206A - 一种双机器人协作***的基坐标标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双机器人协作***的基坐标标定方法，首先根据协作***中双机器人间的坐标变换关系建立双机器人基坐标系间的几何约束；然后采用安装在工具手末端的标定指进行双机器人的多次握手动作实验，获取双机器人在各自基坐标系下的握手采样点坐标；再根据握手采样点和机器人基坐标约束，建立标定模型；最后采用奇异值分解算法进行求解以得到双机器人基坐标之间的旋转矩阵和平移矢量，以完成双机器人协作***的标定。本发明的标定方法无需依赖其它外部专用测量设备，简单易行，且采用数值解方法，标定精度高，并具有良好的误差容错能力，从而有利于提高双机器人协作***的加工水平和生产质量。

Description

一种双机器人协作***的基坐标标定方法

技术领域

本发明涉及诸如焊接、切割、喷涂、搬运等工业机器人先进制造产业技术领域，特别是涉及一种双机器人协作***的基坐标标定方法。

背景技术

作为自动化装备，工业机器人不受工作环境的影响，工作稳定可靠，又由于其具有可编程性，极大地提高了工作效率，降低了生产成本。目前，在处理诸如无夹具***焊接等任务中，单体机器人所表现出来的能力越显不足，因而双机器人乃至多机器人***正逐渐被应用到各个领域中。多个机器人通过协调协作，可以完成单机器人难以完成的复杂作业，提高生产效率，解决更多的实际应用问题。

传统的双机器人协作***大多是将机器人安装在事先已经规划好的安装位置。其安装方法不够灵活，一旦机器人发生移动，原有的标定结果将不再适用，需要重新采用精密仪器标定新的安装位置，费时费力，耽误生产进度。而精密仪器的价格昂贵，测量速度较慢，也越来越不适应于现在高效率的生产工作。

目前，国际国内双机器人标定问题的研究工作并不多，大多是通过精密仪器测量，然后采用一定的方法改进测量结果，其具有一些难以克服的困难：(1)灵活性差，测量工作费时费力，延缓生产进度；(2)步骤复杂，操作性差，需要相关专业人士才能胜任；(3)测量仪器精密性要求高，一般较为昂贵，加大了成本开销。

发明内容

技术问题：本发明所要解决的技术问题是：提供一种双机器人协作***的基坐标标定方法，该方法能针对双机器人的实际情况标定其坐标系间的变换关系，具有极高的灵活性及精度，简单可行，不需要借助其他的精密仪器，具有良好的适应性和较为广阔的应用面，有效地提高了机器人生产中的工作效率。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案如下：

一种双机器人协作***的基坐标标定方法，该标定方法包括以下步骤：

第一步：根据协作***中双机器人间的坐标变换关系，建立双机器人两个基坐标系之间的约束关系；

第二步：根据第一步建立的基坐标系之间的约束关系，采用安装在双机器人工具手末端的标定指，进行双机器人的握手动作，获取双机器人在各自基坐标系下的握手采样点坐标；

第三步：根据第二步获取的握手采样点坐标和机器人基坐标系之间的约束关系，建立基于最小二乘的标定模型；

第四步：进行双机器人协作***的标定：采用奇异值分解算法对第三步建立的标定模型进行求解，得到双机器人基坐标之间的旋转矩阵和平移矢量，进而得到双机器人基座标系间的齐次坐标变换矩阵，完成双机器人协作***的标定。

进一步，所述的第一步的过程为：根据协作***中双机器人各自的基座标系，采用一台机器人的基座标系作为世界坐标系，从而得出另一台机器人的基座标系关于世界坐标系的变换关系，将此作为双机器人基座标系之间的约束关系。

进一步，所述的第二步的过程为：

201)：在每台机器人上安装标定指，得到标定指末端在各自机器人基座标系中的位置；

202)：为第一台机器人设置标定指末端所要到达的点集，且该点集中的所有样本点都在两台机器人的工作空间重叠区域内；设该点集中有N个样本点；

203)：将第一台机器人标定指末端运动到点集中的任一样本点，再将第二台机器人标定指末端与第一台机器人标定指末端接触，实现握手动作；通过示教盒读取该样本点在第二台机器人基座标系中的坐标，并记录；

204)：重复步骤203)，直至点集中所有的样本点都实现两机器人的握手动作。

进一步，所述的第三步的过程为：

301)：点p_k是双机器人工作空间重叠区域中的任意一点，点p_k在第一台机器人基坐标系中的坐标为点p_k在第二台机器人基座标系中的坐标为

$p_k^1={(p_{\mathrm{kx}}^1,p_{\mathrm{ky}}^1,p_{\mathrm{kz}}^1)}^T$

$p_k^2={(p_{\mathrm{kx}}^2,p_{\mathrm{ky}}^2,p_{\mathrm{kz}}^2)}^T$

其中，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的z轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的z轴坐标，上标T表示矩阵的转置；

302)：和满足下式：

$p_k^1=R_2^1\·p_k^2+T_2^1$     式(4)

式(4)中，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的旋转矩阵，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的平移矩阵；

303)：建立如式(5)所示的基于最小二乘的标定模型：

${\mathrm{\Σ}}^2=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|p_k^1-R_2^1\·p_k^2-T_2^1\left|\right|}^2$     式(5)

进一步，所述的第四步包括以下步骤：

401)：记由组成点集M，其中，k＝1、2、…、N；记由组成点集D，其中，k＝1、2、…、N；测算两个点集的中心：点集M中心为点集D中心为 $c_d=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k^2;$

在两个点集中，用每个样本点的坐标减去点集中心坐标，得到点集M的中间点集M′和点集D的中间点集D′：

$M^{\′}={\{m_k^{\′}=p_k^1-c_m\}}_{k=1,...,N.}$

$D^{\′}={\{d_k^{\′}=p_k^2-c_d\}}_{k=1,...,N.}$

其中，m'_k表示点集M′中的第k个元素，d'_k表示点集D′中的第k个元素；

402)：建立如式(6)所示的协方差矩阵H

$H=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^{\′}{m}_i^{\′T}=\left(\begin{array}{ccc}{S}_{\mathrm{xx}}& S_{\mathrm{xy}}& S_{\mathrm{xz}}\\ S_{\mathrm{yx}}& S_{\mathrm{yy}}& S_{\mathrm{yz}}\\ S_{\mathrm{zx}}& S_{\mathrm{zy}}& S_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)$     式(6)

其中，协方差矩阵H的各分量为：

$S_{\mathrm{xx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{xy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{xz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′},$

$S_{\mathrm{yx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{yy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{yz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′},$

$S_{\mathrm{zx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{zy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{zz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′};$

其中，m′_kx表示点集M′中第k个点的x坐标，d′_kx表示点集D′中第k个点的x坐标，d′_ky表示点集D′中第k个点的y坐标，d′_kz表示点集D′中第k个点的z坐标，m′_ky表示点集M′中第k个点的y坐标，m′_kz表示点集M′中第k个点的z坐标；

403)：对协方差矩阵H作奇异值分解：

H＝QΛV^T

其中，Q的列为HH^T的特征向量，V的列为H^TH的特征向量，HH^T与H^TH有相同的特征值，将特征值设为λ₁,...,λ_r，r表示协方差矩阵H的秩；Λ中对角线元素i＝1,..r，且Λ中对角线元素按降序排列，Λ中其余元素为0；

404)：建立两机器人基座标系的旋转矩阵和平移矩阵

$R_2^1={\mathrm{QV}}^T$     式(7)

$T_2^1=c_d-R_2^1{c}_m$   式(8)

根据式(7)和式(8)，两机器人基座标系间的齐次变换关系为 $\left(\begin{array}{cc}{R}_2^1& T_2^1\\ 0& 1\end{array}\right),$ 完成双机器人协作***的标定。

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案能够在不借助精密仪器的情况下，针对双机器人基座标系间变化关系进行标定，简单可行，精度高，在提高了生产效率，并降低了生产成本。本发明的标定方法，首先根据协作***中双机器人间的坐标变换关系建立双机器人基坐标系间的几何约束；然后根据建立的基坐标系约束关系，采用安装在工具手末端的标定指进行双机器人的多次握手动作实验，获取双机器人在各自基坐标系下的握手采样点坐标；再根据握手采样点和机器人基坐标约束将标定问题建模为一个最小二乘优化问题；最后采用奇异值分解(SVD)算法进行求解以得到双机器人基坐标之间的旋转矩阵和平移矢量，以完成双机器人协作***的标定。根据该标定方法，双机器人可以在不依赖于外部昂贵的坐标测量工具的前提下，仅依赖自身的关节传感器和示教工具即可准确快速地完成自标定过程。较之常规的自标定方法而言抗误差能力更强，精度更高，从而可以缩短机器人投放使用的前期准备过程，提高生产效率，节约生产成本。

附图说明

图1为本发明的流程框图。

图2为本发明中优选的采样点空间分布示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

图1为本发明所提出的用于协作机器人标定方法的流程示意图。如图所示，依据本发明协作机器人标定方法包括以下步骤：

第一步：建立双机器人两个基坐标系间的约束关系：根据协作***中双机器人间的坐标变换关系，建立双机器人两个基坐标系之间的约束关系。

根据协作***中双机器人各自的基座标系，采用一台机器人的基座标系作为世界坐标系，则得出另一台机器人的基座标系关于世界坐标系的变换关系，将此作为双机器人基座标系间的几何约束关系。

根据国标GB/T16977-1997中有关工业机器人的坐标系和运动的命名原则，建立机器人的基座标系O-XYZ：

原点O：机器人基座标系的原点O由机器人制造厂规定；

Z轴：Z轴正方向垂直于机器人安装面，从原点指向机器人本体部分；

X轴：X轴正方向垂直于Z轴，从原点指向机器人的工作空间中心点；

Y轴：Y轴正方向由X轴正方向和Z轴正方向按右手定则确定。

采用齐次变换矩阵来表征机器人基坐标系间的位姿变换关系，如式(1)所

示： $U=\left[\begin{array}{cc}R& T\\ O& 1\end{array}\right]$     式(1)

其中，U为齐次变换矩阵，R为坐标系姿态的旋转矩阵为，T为两基座标系的平移向量，为零向量；为实数集合。

建立双机器人协作***中两机器人基座标系间的齐次变换矩阵分为两步：

101)：记第一台机器人基座标系为B¹，世界坐标系为B^W，从第一台机器人的基座标系B¹到世界坐标系B^W变换关系的齐次变换矩阵为则有

$B^W=U_1^W\·B^1=\left[\begin{array}{cc}{R}_1^W& T_1^W\\ O& 1\end{array}\right]\·B^1$   式(2)

式(2)中，是B¹到B^W的旋转矩阵，为B¹到B^W的平移向量。

102)：设第二台机器人的基座标系为世界坐标系，则式(2)中的就转化为第一台机器人同第二台机器人基座标系间的变换关系，重写为

$B^2=U_1^2\·B^1=\left[\begin{array}{cc}{R}_1^2& T_1^2\\ O& 1\end{array}\right]\·B^1$     式(3)

式(3)中，表示从第一台机器人基座标系B¹到第二台机器人基座标系B²变换关系的齐次变换矩阵，B²表示第二台机器人的基座标系，表示从第一台机器人基座标系B¹到第二台机器人基座标系B²变换关系的旋转矩阵，T₁ ²表示从第一台机器人基座标系B¹到第二台机器人基座标系B²变换关系的平移矩阵。

第二步：获得握手采样点位置。首先在每个机器人的末端安装标定指，先使第一台机器人末端标定指运动到样本点，再使第二台机器人末端标定指运动到相同的位置，实现两台机器人的握手动作，获取其末端标定指的位置。具体过程如下：

201)：在每台机器人上安装标定指，依据标定指参数得到标定指末端在各自机器人基座标系中的位置。例如，在每台机器人上安装钉型标定指，并在示教盒中输入标定指尺寸参数。对于钉型标定指而言，其长度为110mm，则输入参数为(0,0,110,0,0,0)。

202)：为第一台机器人设置标定指末端所要到达的点集，且该点集中的所有样本点都在两台机器人的工作空间重叠区域内。设该点集中有N个样本点。为减少相对误差，样本点最好在两机器人的公共作业空间内均匀分布，并使其间距尽量大。如图2所示，给出了一种样本点分布的例子。

203)：使第一台机器人标定指末端运动到点集中的某一样本点，再使第二台机器人标定指末端实现与第一台机器人标定指末端的接触，即实现握手动作。通过示教盒读取该样本点在第二台机器人基座标系中的坐标，并记录。

204)：重复步骤203)，直至点集中所有的样本点都实现两机器人的握手动作。

第三步：建立基于最小二乘的标定模型，具体包括以下过程：

301)：点p_k是双机器人工作空间重叠区域中的任意一点，点p_k在第一个机器人基坐标系中的坐标为点p_k在第二个机器人基座标系中的坐标为

$p_k^1={(p_{\mathrm{kx}}^1,p_{\mathrm{ky}}^1,p_{\mathrm{kz}}^1)}^T$

$p_k^2={(p_{\mathrm{kx}}^2,p_{\mathrm{ky}}^2,p_{\mathrm{kz}}^2)}^T$

其中，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的z轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的z轴坐标，上标T表示矩阵的转置。

302)：和满足式(5)：

$p_k^1=R_2^1\·p_k^2+T_2^1$     式(4)

式(4)中，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的旋转矩阵，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的平移矩阵。

303)：在双机器人工作空间重叠区域中设有N个样本点，建立如式(5)所示的基于最小二乘的标定模型：

${\mathrm{\Σ}}^2=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|p_k^1-R_2^1\·p_k^2-T_2^1\left|\right|}^2$     式(5)

第四步：进行双机器人协作***的标定：采用奇异值分解算法对第三步建立的标定模型进行求解，得到双机器人基坐标之间的旋转矩阵和平移矢量，进而得到双机器人基座标系间的齐次坐标变换矩阵，完成双机器人协作***的标定。

对样本点进行初步处理，用每个样本点的坐标减去样本点集中心坐标，得到中间点集，然后对中间点集的协方差矩阵进行奇异值分解，进而得到基座标系间的旋转矩阵和平移矩阵。

针对式(5)所示的最小二乘问题，本专利采用奇异值分解算法加以求解。奇异值分解算法具有鲁棒性较好，稳定性和精度都较高的优点。

第四步包括以下过程：

401)：记由组成点集M，其中，k＝1、2、…、N；记由组成点集D，其中，k＝1、2、…、N；测算两个点集的中心：点集M中心为点集D中心为 $c_d=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{p}_k^2;$

在两个点集中，用每个样本点的坐标减去样本点集中心坐标，得到点集M的中间点集M′和点集D的中间点集D′：

$M^{\′}={\{m_k^{\′}=p_k^1-c_m\}}_{k=1,...,N.}$

$D^{\′}={\{d_k^{\′}=p_k^2-c_d\}}_{k=1,...,N.}$

其中，m'_k表示点集M′中的第k个元素，d'_k表示点集D′中的第k个元素。

402)：建立如式(6)所示的协方差矩阵H

$H=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i^{\′}{m}_i^{\′T}=\left(\begin{array}{ccc}{S}_{\mathrm{xx}}& S_{\mathrm{xy}}& S_{\mathrm{xz}}\\ S_{\mathrm{yx}}& S_{\mathrm{yy}}& S_{\mathrm{yz}}\\ S_{\mathrm{zx}}& S_{\mathrm{zy}}& S_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)$     式(6)

其中，H的各分量为

其中，协方差矩阵H的各分量为：

$S_{\mathrm{xx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{xy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{xz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kx}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′},$

$S_{\mathrm{yx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{yy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{yz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{ky}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′},$

$S_{\mathrm{zx}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{kx}}^{\′},S_{\mathrm{zy}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{ky}}^{\′},S_{\mathrm{zz}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{\mathrm{kz}}^{\′}{d}_{\mathrm{kz}}^{\′};$

其中，m′_kx表示点集M′中第k个点的x坐标，d′_kx表示点集D′中第k个点的x坐标，d′_ky表示点集D′中第k个点的y坐标，d′_kz表示点集D′中第k个点的z坐标，m′_ky表示点集M′中第k个点的y坐标，m′_kz表示点集M′中第k个点的z标。

403)：对协方差矩阵H作奇异值分解：

H＝QΛV^T

其中，Q的列为HH^T的特征向量，V的列为H^TH的特征向量，HH^T与H^TH有相同的特征值，将特征值设为λ₁,...,λ_r，r表示协方差矩阵H的秩；Λ中对角线元素i＝1,..r，且Λ中对角线元素按降序排列，Λ中其余元素为0。

404)：依据式(7)建立两机器人基座标系的旋转矩阵依据式(8)建立两机器人基座标系的平移矩阵

$R_2^1={\mathrm{QV}}^T$     式(7)

$T_2^1=c_d-R_2^1{c}_m$   式(8)

根据式(7)和式(8)，两机器人基座标系间的齐次变换关系为 $\left(\begin{array}{cc}{R}_2^1& T_2^1\\ 0& 1\end{array}\right),$ 即双机器人基座标系间的位姿，从而完成双机器人协作***的标定。

相比其他的标定方法，本发明的标定方法简单有效，高效省时，不需要借助任何精密仪器，是能够应用于实际生产应用的切实有用的方法，尤其针对机器人基座标系变化频繁的应用场景，具有极为突出的优势。

应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。

Claims (5)

1.一种双机器人协作***的基坐标标定方法，其特征在于：该标定方法包括以下步骤： 

第一步：根据协作***中双机器人间的坐标变换关系，建立双机器人两个基坐标系之间的约束关系； 

第二步：根据第一步建立的基坐标系之间的约束关系，采用安装在双机器人工具手末端的标定指，进行双机器人的握手动作，获取双机器人在各自基坐标系下的握手采样点坐标； 

第三步：根据第二步获取的握手采样点坐标和机器人基坐标系之间的约束关系，建立基于最小二乘的标定模型； 

第四步：进行双机器人协作***的标定：采用奇异值分解算法对第三步建立的标定模型进行求解，得到双机器人基坐标之间的旋转矩阵和平移矢量，进而得到双机器人基座标系间的齐次坐标变换矩阵，完成双机器人协作***的标定。 

2.根据权利要求1所述的双机器人协作***的基坐标标定方法，其特征在于：所述的第一步的过程为：根据协作***中双机器人各自的基座标系，采用一台机器人的基座标系作为世界坐标系，从而得出另一台机器人的基座标系关于世界坐标系的变换关系，将此作为双机器人基座标系之间的约束关系。 

3.根据权利要求1或2所述的双机器人协作***的基坐标标定方法，其特征在于：所述的第二步的过程为： 

201)：在每台机器人上安装标定指，得到标定指末端在各自机器人基座标系中的位置； 

202)：为第一台机器人设置标定指末端所要到达的点集，且该点集中的所有样本点都在两台机器人的工作空间重叠区域内；设该点集中有N个样本点； 

203)：将第一台机器人标定指末端运动到点集中的任一样本点，再将第二台机器人标定指末端与第一台机器人标定指末端接触，实现握手动作；通过示教盒读取该样本点在第二台机器人基座标系中的坐标，并记录； 

204)：重复步骤203)，直至点集中所有的样本点都实现两机器人的握手动作。 

4.根据权利要求3所述的双机器人协作***的基坐标标定方法，其特征在 于：所述的第三步的过程为： 

301)：点p_k是双机器人工作空间重叠区域中的任意一点，点p_k在第一台机器人基坐标系中的坐标为点p_k在第二台机器人基座标系中的坐标为

其中，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第一台机器人基坐标系中的z轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的x轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的y轴坐标，表示点p_k在第二台机器人基坐标系中的z轴坐标，上标T表示矩阵的转置； 

302)：和满足下式： 

    式(4) 

式(4)中，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的旋转矩阵，表示第二个机器人的基坐标系B²到第一个机器人的基座标系B¹的平移矩阵； 

303)：建立如式(5)所示的基于最小二乘的标定模型： 

    式(5)。 

5.根据权利要求4所述的双机器人协作***的基坐标标定方法，其特征在于：所述的第四步包括以下步骤： 

401)：记由组成点集M，其中，k＝1、2、…、N；记由组成点集D，其中，k＝1、2、…、N；测算两个点集的中心：点集M中心为点集D中心为

在两个点集中，用每个样本点的坐标减去点集中心坐标，得到点集M的中间点集M′和点集D的中间点集D′： 

其中，m'_k表示点集M′中的第k个元素，d'_k表示点集D′中的第k个元素； 

402)：建立如式(6)所示的协方差矩阵H

    式(6) 

其中，协方差矩阵H的各分量为： 

其中，m′_kx表示点集M′中第k个点的x坐标，d′_kx表示点集D′中第k个点的x坐标，d′_ky表示点集D′中第k个点的y坐标，d′_kz表示点集D′中第k个点的z坐标，m′_ky表示点集M′中第k个点的y坐标，m′_kz表示点集M′中第k个点的z坐标； 

403)：对协方差矩阵H作奇异值分解： 

H＝QΛV^T

其中，Q的列为HH^T的特征向量，V的列为H^TH的特征向量，HH^T与H^TH有相同的特征值，将特征值设为λ₁,...,λ_r，r表示协方差矩阵H的秩；Λ中对角线元素 i＝1,..r，且Λ中对角线元素按降序排列，Λ中其余元素为0； 

404)：建立两机器人基座标系的旋转矩阵和平移矩阵

    式(7) 

    式(8) 

根据式(7)和式(8)，两机器人基座标系间的齐次变换关系为完成双机器人协作***的标定。