CN103971024A - 小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了电力***继电保护领域的小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，用以解决目前电力***继电保护领域研究中存在的问题。该方法包括：首先，整合继电保护***失效样本；然后，通过拟合优度检验确立以威布尔分布作为失效分布模型，并利用蒙特卡罗方法抽样扩大数据样本，与小样本原始数据共同作为先验信息，构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型；最后，结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估。本发明克服了传统基于大失效样本可靠性评估方法中所需样本大，可靠性参数精准度不高等实际应用中的局限性，有效实现了小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法。

Description

小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及电力***继电保护领域，特别涉及小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法。

背景技术

作为电力***的第一道防线，继电保护***的可靠性水平对于电力***的安全稳定运行有着重要意义。从目前系列文献对继电保护装置实际运行情况的统计数据看，继电保护装置在其工作年限内，极少发生“误动”、“拒动”等失效情况甚至缺陷情况。加之保护装置换代周期缩短、目前继电保护***缺陷和失效信息记录尚不十分规范和标准，在一定地域和时间范围内，具体到装置型号、失效模式的完整失效记录样本更少。迄今为止，继电保护可靠性评估方法还很少考虑该小样本失效的特点，而主要以常规基于解析法和模拟法的可靠性评估方法为主。解析法如Markov状态空间法、GO法、故障树法、风险分析等主要根据***的结构、功能或二者的逻辑关系建立可靠性概率模型，通过递推或迭代等求解模型、计算指标。模拟法如蒙特卡罗仿真是通过对概率分布采样来进行状态的选择和估计，利用统计学方法得到可靠性指标。考虑到继电保护***在有限时间内很难获取足够的失效数据(甚至无失效数据)，即便缺陷数据样本也不丰富，因此依赖于大失效样本的传统可靠性评估方法的有效性会打折扣，并在一定程度上降低其评估结果的可信度，可能进一步影响以可靠性评估为依据的检修策略等的参考价值。还有方法考虑继电保护装置运行特性，采用威布尔分布作为其寿命分布模型，直接通过回归分析确定威布尔分布中的形状参数、尺度参数计算可靠度、失效率等可靠性指标，但由于继电保护装置的失效数据少，利用有限的失效数据样本分析结果的准确度较低。

针对上述问题，本发明提出了小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法。本发明涉及以下两个背景技术。

1继电保护***小样本失效数据

目前继电保护的失效数据主要来源于故障信息***、维修检修报告、调度中心运行报告、故障录波及台账***等其它数据源。随着电力***和继电保护装置运行水平的不断提高，保护设备极少发生拒动和误动情况，即仅有极少数失效数据可供相关评估所用。加之目前设备更新换代的周期较短，很多保护装置在服役期间根本没有出现过失效情况使得原本就不丰富的失效样本中同型号装置的数据更为缺乏。整体上，现场获得的失效数据呈现比较典型的小样本特征。

对于现场获得的继电保护装置失效数据，一般可分为以下三种数据类型：完整数据、左截尾数据和定时截尾数据。实际上，由于保护装置投运时间的差异较大和现场运行情况的差别，反映保护装置运行情况的数据更符合定时截尾数据的特点。对于截尾数据中的检修时间，由于其相对于设备运行时间来说极短，加之以已经发生的失效或者缺陷数据为分析对象时，修复完成后会重新进入运行时间的统计周期，故该类分析中修复时间可忽略不计。

2贝叶斯公式及其先验分布的选取

经典统计只以样本提供的信息在一定的统计模型下做统计推断，对样本量较大的情况有较好的统计推断效果。而贝叶斯方法是在取得样本观测值之前，对参数统计模型中的未知参数θ有某些先验知识，这些知识以先验分布的形式体现出来。而在得到样本观测值x(本方法指的是故障间隔时间)之后，由x与先验分布提供的信息得到后验分布，后验分布是贝叶斯统计推断的基础。由于利用了各类先验知识，例如历史数据、专家信息和仿真试验信息等，降低了经典方法对现场运行数据样本的依赖程度，因而对小样本情况往往也很有效。

贝叶斯公式是贝叶斯理论的直接体现，写为：

$g\left(\mathrm{\θ}\right|x)=\frac{f\left(x\right|\mathrm{\θ})g\left(\mathrm{\θ}\right)}{f\left(x\right)}---\left(1\right)$

其中，θ为总体分布中的未知参数，本方法具体为威布尔分布中的形状参数m和尺度参数η,其中形状参数m用来区分设备的不同失效类型，当m>1时失效率随时间变化为递增型，当m＝1时，失效率很定，不随时间的变化而变化，当m<1时失效率随时间变化为递减型；尺度参数η起到放大或缩小坐标尺度的作用；x为样本X的观测值，f(x)＝∑f(x|θ)g(θ)，f(x_i|θ)为给定参数θ时的条件概率分布，称为似然分布。g(θ|x)为给定x时的联合概率密度，即后验分布。在得到样本X前，关于对参数的认识总结于g(θ)中，样本中θ的新信息包含于似然函数f(x|θ)中。经过贝叶斯公式则得到比较全面的后验信息g(θ|x)。

发明内容

本发明的目的在于，提出小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，用以解决目前继电保护***可靠性评估研究中存在的问题。

为实现上述目的，本发明提出的技术方案是，小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，

假设：继电保护***故障是因为硬件自然老化或失效造成的；

其特征在于所述方法包括下列步骤：

步骤1：继电保护***失效样本整合，计算正常运行时间间隔t₁,t₂,...,t_n，选取最大的时间间隔为截止时间T_s，其中，n为失效样本总数；

步骤2：构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，其中构建模型具体包括：

步骤21：根据装置的寿命分布类型，采用威布尔分布作为估计分布，并进行分布拟合优度检验，以确认选取模型的寿命分布是否符合实际情况，

双参数威布尔分布的故障概率密度为

可靠度函数为R(t)＝1-F(t)＝exp[-(t/η)^m]

失效率函数为λ(t)＝mt^m-1/η^m

其中，t为故障间隔时间，m为双参数威布尔分布的形状参数，η为尺度参数，F(t)为不可靠度函数；

步骤22：利用小样本失效数据进行分布拟合得到威布尔分布的一组形状参数m和尺度参数η的估计值；

步骤23：将上述参数估计值代入威布尔分布模型，并利用反函数法进行蒙特卡罗抽样得到Bootstrap子样，即，得到M组每组样本容量为n的再生样本，分别进行分布拟合得到M组威布尔分布的形状参数m_i和尺度参数η_i，并确定先验分布的表示形式g(m＝m_i,η＝η_j)＝1/M²，其中，i＝1,...,M，j＝1,...,M；

步骤24：利用继电保护***的小样本失效数据和先验分布，根据贝叶斯理论得到贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，

$g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j|x)=\frac{f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_i)}{\&Integral;f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)}$

其中，f(x|m＝m_i,η＝η_j)为似然估计函数，g(m＝m_i,η＝η_j)为先验分布函数，x为样本观测值，是继电保护装置故障间隔时间；

步骤3：结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估。

所述步骤23中选取子样本数M的方法为以某一设备运行时间下的“M-可靠度值”曲线的斜率作为结果的稳定性判断标准，即某一设备运行时间下，当M在[20，300]范围内，如果对于不同的M值和对应的可靠度值R，|ΔR/ΔM|保持最小且接近于0时，评估结果受M值影响最小，此时将M在该段范围内的最小值作为稳定标准值，选取该值作为最终M值，其中ΔM为子样本数的变化值，可取固定值，表示M在[20，300]范围内的变化间隔；ΔR为可靠度随子样本数变化ΔM时，可靠度的变化值。

所述步骤3中结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估，具体包括：

步骤31：根据工业实际情况设定可靠性依据，给出可靠度参考阈值；

步骤32：对于每个继电保护***，通过贝叶斯-蒙特卡罗评估模型计算其可靠度、平均故障间隔时间、失效率及故障概率密度等指标，

可靠度函数的点估计为：

$R\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]$

故障概率密度函数的点估计为：

$f\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\frac{m_i{t}^{m_i-1}}{{\mathrm{\&eta;}}^{m_i}}\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]$

由可靠度函数和故障概率密度函数可得失效率函数的点估计为：

λ(t)＝f(t)/R(t)

平均无故障工作时间：

$\mathrm{MTBF}=\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}R\left(t\right)\mathrm{dt}$

其中，R_ij(t)表示m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时对应的可靠度函数值，g[i][j]即g(m＝m_i,η＝η_j)，为随机变量m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时的联合概率密度值；

步骤33：可靠度小于某一阈值，进行维修或维护，而平均故障间隔时间可作为保护装置寿命预测及制定最优检修周期的参考依据。而失效率及故障概率密度指标可作为其它可靠性评估方法的基础数据。

本发明实现了小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，其有益效果如下：

1结合继电保护装置“可靠性高、失效数据少”的实际运行特点，研究继电保护装置可靠性的贝叶斯-蒙特卡罗评估方法。相比传统基于大失效样本的可靠性评估方法，该方法综合利用了蒙特卡罗方法受问题维数影响小的特点和贝叶斯方法有效结合多种来源、多种形式的先验信息，得到较完整后验信息的优势，不需很大的失效样本即可得到较好概率估计值，更符合继电保护***的运行实际。

2由于双参数威布尔分布不存在共轭分布，不能直接通过使用威布尔分布的共轭先验分布进行贝叶斯公式计算，本发明利用Bootstrap子样得出的参数估计值的联合概率密度作为先验分布，既综合利用了先验信息，又解决了威布尔分布下贝叶斯公式难以求解的问题。此外，采用蒙特卡罗方法抽样得到的Bootstrap子样作为贝叶斯的先验分布可减少对小样本数据的依赖，提高参数估计的稳健性。

3方法得到的指标如MTBF可用于检修周期的参考依据，失效率等可作为可靠性评估方法中的基础数据。

附图说明

图1是可靠度随时间变化曲线。

图2是失效率随时间变化曲线。

图3是失效概率密度随时间变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图，对优选实施例作详细说明。应该强调的是，下述说明仅仅是示例性的，而不是为了限制本发明的范围及其应用。

本发明解决问题的思路是小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法：首先，整合继电保护***失效样本；然后，通过拟合优度检验确立以威布尔分布作为失效分布模型，并利用蒙特卡罗方法抽样扩大数据样本，与小样本原始数据共同作为先验信息，构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型；最后，结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估。

下面结合附图和实例来阐述小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法。

假设：继电保护***故障是因为硬件自然老化或失效造成的。并不包括连接错误、设计问题等人为因素。

该方法包括如下步骤：

步骤1：继电保护***失效样本整合，计算正常运行时间间隔，选取最大的时间间隔为截止时间。

设有原始失效数据t₁,t₂,...,t_n，即t₁,t₂,...,t_n为故障间隔时间，可根据设备故障时刻与设备投入运行时刻之差计算而得。T_s为截止时间(即当故障间隔时间t>T_s时的故障间隔时间t将不计入样本)，且t₁≤t₂≤...≤t_n为截尾数据。容量n(n为记录的失效数据个数)一般小于30。

步骤2：构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，其中构建模型具体包括：

步骤21：根据装置的寿命分布类型，采用威布尔分布作为估计分布，并进行分布拟合优度检验。

双参数威布尔分布的故障概率密度：

$f\left(t\right)=\frac{m{t}^{m-1}}{{\mathrm{\&eta;}}^m}\exp [-{(t/\mathrm{\&eta;})}^m]---\left(2\right)$

可靠度函数：

R(t)＝1-F(t)＝exp[-(t/η)^m] (3)

失效率函数：

λ(t)＝mt^m-1/η^m (4)

其中，t为故障间隔时间，m为双参数威布尔分布的形状参数，η为尺度参数，F(t)为不可靠度函数。可靠度是指设备在规定的时间t内和规定的条件下，完成规定功能的概率。一般继电保护的可靠度函数R(t)表示当设备运行时间为t能够完成规定功能的概率。失效率是指设备工作到t时刻尚未失效的设备，在该时刻后单位时间内产品发生失效的频率，即为设备的瞬时故障率。

首先利用已有的失效数据通过目前常用的最小二乘法等进行分布拟合确定一组形状参数和尺度参数。

为保证可靠性分析结果的可信性，对继电保护失效数据进行拟合优度检验，以验证样本是否符合威布尔分布。常用的分布拟合检验方法主要有χ²检验法、W检验法、正态分布检验法和柯尔莫哥洛夫-斯米尔洛夫(K-S)检验法等。χ²检验法适用于大样本(样本容量大于50)情况。W检验用于检验总体的正态性，适用于样本容量在[8,50]间的数据。K-S检验法则适用于样本数较少情况下概率分布类型的检验，且检验经验分布函数与所拟合的理论分布函数之间的偏差。故采用K-S检验法进行威布尔分布拟合优度检验。

K-S检验法首先将n个失效数据按从小到大排序，根据假设的分布，计算每个数据对应的原假设分布函数F0(x_i)，然后将其与经验分布函数F_n(x_i)进行比较，其中差值最大的绝对值即为检验统计量D_n的观察值，将D_n与临界值D_n,a进行比较，满足条件则接受原假设，否则拒绝原假设：

D_n＝sup|F_n(x)-F₀(x)|＝maxd_i≤D_n,a (5)

式中，a为给定的置信水平，一般取a＝0.05。

$F_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}0,x<x_i\\ i/n,x_i\&le;x<x_{i+1}\\ 1,x\&GreaterEqual;x_n\end{array}\right.---\left(6\right)$

$d_i=\max \{F_0\left(x_i\right)-\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}-F_0\left(x_i\right)\}---\left(7\right)$

当a＝0.05时，查临界值表可知：

步骤22：利用小样本失效数据进行分布拟合得到威布尔分布的一组形状参数和尺度参数的估计值。

本方法基于失效数据进行参数计算，故将正确动作的数据过滤后按设备的正常运行时间长短排序，得到时间序列t_i，作为原始数据。利用式(3)建立的威布尔分布可靠度模型，通过最小二乘法拟合，得到估计威布尔分布的形状参数和尺度参数估计值。具体可参见后面“实施例1”分析中表1和表2部分的叙述。

具体地，首先对式(3)连续取两次对数得

令： $y=\ln \ln \frac{1}{1-F\left(t\right)},x=\ln t,a=-m\ln \mathrm{\&eta;},b=m,$ 则有y＝a+bx。

然后根据观测数据利用最小二乘法即可得到回归系数m、η。进而可得到故障率函数以及可靠度函数等的表达式。这里的F(ti)为经验分布函数，可以选取式(6)所示的函数，也可以通过近似中位秩公式计算。

步骤23：将上述参数估计值代入威布尔分布模型，并利用反函数法进行蒙特卡罗抽样得到Bootstrap子样，即，得到M组每组样本容量为n的再生样本，分别进行分布拟合得到M组威布尔分布的形状参数m_i和尺度参数η_i，并确定先验分布的表示形式g(m＝m_i,η＝η_j)＝1/M²，其中，i＝1,...,M，j＝1,...,M。

步骤23中选取子样本数M的方法为以某一设备运行时间下的“M-可靠度值”曲线的斜率作为结果的稳定性判断标准，即某一设备运行时间下，当M在[20，300]范围内，如果对于不同的M值和对应的可靠度值R，|ΔR/ΔM|保持最小且接近于0时，评估结果受M值影响最小，此时将M在该段范围内的最小值作为稳定标准值，选取该值作为最终M值，其中ΔM为子样本数的变化值，可取固定值，表示M在[20，300]范围内的变化间隔；ΔR为可靠度随子样本数变化ΔM时，可靠度的变化值。

上面确定的威布尔分布参数m、η，将其作为已知值，代入式(8)进行抽样，产生M组每组样本容量为n(等于原始样本数)的再生样本。M推荐取100，其相对于小失效样本而言，样本数已足够满足精度要求。抽样先得到区间(0,1)上均匀分布的伪随机数组e[n]。再由反函数法得服从威布尔分布的随机变量，抽样公式如下所示：

t[n]＝η(-ln(e[n]))^1/m (8)

上式为可靠度函数(3)的反函数，通过将抽样得到的伪随机数组e[n]替代可靠度函数取值，并利用以求得的参数m、η求得抽样失效数据t[n]，所求t[n]即为与原始失效数据样本有相似变化规律的模拟数据样本。

将t[n]按从小到大排列，并将每组抽样数据与截止时间进行比较，例如对于第l个抽样数据，若t[l]>T_s，则t[l]＝T_s，得到满足继电保护基础数据的截尾性特点的抽样数据。然后分别对每组抽样数据利用回归分析方法得到威布尔分布的参数m_i，η_i，将其数值分别保存于数组m[i]，η[i]中(对于每组再生样本失效数据都可以根据威布尔分布模型拟合计算出一组参数m_i，η_i)。

假设m_i，η_i相互独立，可得m和η的离散先验联合概率密度分布：

$\left|\begin{array}{c}(m_1,{\mathrm{\&eta;}}_1),(m_1,{\mathrm{\&eta;}}_2)......(m_1,{\mathrm{\&eta;}}_M)\\ (m_2,{\mathrm{\&eta;}}_1),(m_2,{\mathrm{\&eta;}}_2)......(m_2,{\mathrm{\&eta;}}_M)\\ ......\\ (m_M,{\mathrm{\&eta;}}_1),(m_M,{\mathrm{\&eta;}}_2)......(m_M,{\mathrm{\&eta;}}_M)\end{array}\right|$

由概率理论可知随机变量m_i，η_i的联合概率密度均为常数g(m＝m_i,η＝η_j)＝1/M²，i＝1,...,M，j＝1,...,M。将其作为贝叶斯公式的先验分布。

步骤24：利用继电保护***的小样本失效数据和先验分布，根据贝叶斯理论得到贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，

$g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j|x)=\frac{f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_i)}{\&Integral;f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)}$

其中，f(x|m＝m_i,η＝η_j)为似然估计函数，g(m＝m_i,η＝η_j)为先验分布函数，x为样本观测值，是继电保护装置故障间隔时间。

以双参数威布尔分布的故障概率密度函数作为在给定参数下的样本值的条件分布，即：

$f\left(t_i\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_i)=\frac{m_{i}t{\left[i\right]}^{m_i-1}}{{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{m_i}}\exp [-{\left(t\right[i]/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]---\left(9\right)$

似然函数可表示为：

$\begin{array}{c}f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}f\left(x_i\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)\\ ={m_i}^r{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{-r{m}_i}{U}^{m_i-1}\exp (-X/{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{m_i})\end{array}---\left(10\right)$

其中， $U=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Pi;}}}t\left[i\right],X=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}t{\left[k\right]}^{m_i}.$

先验分布为常数：

g(m＝m_i,η＝η_j)＝1/M² (11)

则根据贝叶斯公式，可得m和η后验概率分布如式(12)所示。式中，i，j＝1，2，…，M。所求结果即为结合先验信息和蒙特卡罗抽样样本信息，经贝叶斯公式修正的m和η概率分布。

$\begin{array}{c}g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j|x)=\frac{f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)}{f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)}\\ =\frac{{m_i}^r{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{-r{m}_i}{U}^{m_i-1}\exp (-X/{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{m_i})}{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{m_i}^r{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{-r{m}_i}{U}^{m_i-1}\exp (-X/{{\mathrm{\&eta;}}_j}^{m_i})}\end{array}---\left(12\right)$

步骤3：结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估，具体包括：

步骤31：根据工业实际情况设定可靠性依据，给出可靠度参考阈值。

步骤32：对于每个继电保护***，通过贝叶斯-蒙特卡罗评估模型计算其可靠度、平均故障间隔时间、失效率及故障概率密度等指标；

根据贝叶斯理论求得的参数m和η概率分布，可求得可靠度函数的点估计为：

$R\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]---\left(13\right)$

故障概率密度函数的点估计为：

$f\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\frac{m_i{t}^{m_i-1}}{{\mathrm{\&eta;}}^{m_i}}\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]---\left(14\right)$

由可靠度函数和故障概率密度函数可得失效率函数的点估计为：

λ(t)＝f(t)/R(t) (15)

平均无故障工作时间：

$\mathrm{MTBF}=\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}R\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(16\right)$

其中，R_ij(t)表示m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时对应的可靠度函数值，g[i][j]即g(m＝m_i,η＝η_j)，为随机变量m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时的联合概率密度值。

步骤33：可靠度小于某一阈值，进行维修或维护，而平均故障间隔时间可作为保护装置寿命预测及制定最优检修周期的参考依据。而失效率及故障概率密度指标可作为其它可靠性评估方法的基础(输入)数据。

实施例1：

下面以某省电网公司的继电保护装置的失效记录及各属性信息为例，具体介绍小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法。

表1运行记录表

表1是从某省电网公司67台某型号继电保护装置在近似相同的维护水平和工况下，2005～2007年的失效记录中，筛选出相对完整的继电***的失效记录，以及各属性信息。

这里的失效具体指继电保护***的拒动和误动。“误动”和“拒动”是继电保护领域的专有名词。与之对应的是继电保护***的正确动作，即被保护对象内部/保护区域内部发生故障时，相应的继电保护装置/***应该自动发跳闸命令驱动相应的断路器跳闸以隔离故障(即所谓动作)。而“误动”是指被保护对象无故障或被保护对象外部故障的时候，被保护对象的继电保护***动作，属于“误动作”；拒动是指被保护对象内部有故障，被保护对象的继电保护***应该动作但其没有自动动作。造成这两种情况的原因较多，有硬件老化、故障，接线错误、设计问题等，本发明选取的数据都是因为硬件自然老化或失效造成的。

该方法包括如下步骤：

步骤1：继电保护***失效样本整合，计算正常运行时间间隔，选取最大的时间间隔为截止时间。

根据表1，选取最后一个失效时间2007-12-25为截止时间，即T_s＝20407h。

步骤2：构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，其中构建模型具体包括：

步骤21：根据装置的寿命分布类型，采用威布尔分布作为估计分布，并进行分布拟合优度检验。

利用之前详细叙述的K-S检验法进行了优度检验，符合要求。

本方法基于失效数据进行参数计算，故将正确动作的数据过滤后按设备正常运行的时间长短排序，如表2所示。建立威布尔分布模型，经最小二乘法拟合，得估计威布尔分布参数m＝1.486，η＝79359.988。

表2故障数据

步骤22：利用小样本失效数据进行分布拟合得到威布尔分布的一组形状参数和尺度参数的估计值。

建立威布尔分布模型，经最小二乘法拟合，得估计威布尔分布参数m＝1.486，η＝79359.988。

步骤23：将上述参数估计值代入威布尔分布模型，并利用反函数法进行蒙特卡罗抽样得到Bootstrap子样，分别进行分布拟合得到每组子样的参数估计，作为先验信息，确定先验分布的表示形式。

将该估计参数值作为已知参数，按式(8)抽样，产生M组样本容量为n(等于原始样本数)的再生样本。

步骤24：利用继电保护***的小样本失效数据和先验分布，根据贝叶斯理论得到贝叶斯-蒙特卡罗评估模型。

表3每组Bootstrap样本的参数估计

将每组抽样数据与截止时间进行比较，得到满足继电保护基础数据的截尾特点的抽样数据。分别对每组抽样数据利用基于最小二乘拟合的威布尔分布模型求出对应的参数数组m[i]，η[i]结果如表3所示。利用m_i，η_j按式(9)所示贝叶斯公式求得m，η的概率分布。

步骤3：结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估，具体包括：

步骤31：根据工业实际情况设定可靠性依据，给出可靠度参考阈值MTBF；

步骤32：对于每个继电保护***，通过贝叶斯-蒙特卡罗评估模型计算其可靠度、平均故障间隔时间、失效率及故障概率密度等指标；

当保护设备运行时间达到平均无故障工作时间MTBF附近时，应加强监视，或予以检修或更换，尽早预防事故的发生，提高保护***乃至电力***的运行可靠性。此外当保护的可靠度较低时也应加强监视。

进而可得出设备运行的可靠度、故障概率密度和失效率等指标，典型运行时间点的指标数值如表4所示。

按式(16)得平均无故障工作时间MTBF＝13016。各可靠性指标函数曲线分别如图1～图3所示。其中，图1是可靠度随时间变化曲线，图2是失效率随时间变化曲线，图3是失效概率密度随时间变化曲线。

表4可靠性指标

由表4及图1-图3可知：首先，由于双参数威布尔分布不存在共轭分布，通过把威布尔分布的故障概率密度函数作为在给定参数下的样本值的条件分布用于贝叶斯公式，使原先假设的威布尔分布模型经贝叶斯公式修正后，不再是严格的威布尔分布，从函数曲线中可得到初步验证，但主要趋势大致相同。其变化趋势与可靠性经典理论及保护装置的运行实际对比也在一定程度证明了本方法利用小样本数据进行可靠性评估是有效的。其次，故障概率密度及失效率在设备投运后较短时间内并不为零，但随运行时间的增加迅速减小，一定程度上反映了保护装置的早期失效。

步骤33：可靠度小于某一阈值，进行维修或维护，而平均故障间隔时间可作为保护装置寿命预测及制定最优检修周期的参考依据。而失效率及故障概率密度指标可作为其它可靠性评估方法的基础(输入)数据。

为与经典威布尔分布模型对比，采用威布尔分布模型进行参数估计得m＝1.4860，η＝79359.9882，其MTBF约为40000h。根据本方法原始数据，利用MTBF定义和工程计算方法，有：MTBF＝(4399+5862+9582+9606+13327+16158+17622+20407)/8＝12120.375h。可见前者更符合原始数据反映的失效情况，本方法在一定程度上能更好地适应小样本失效的可靠性评估问题。

通过该方法计算出来的失效率等参数可作为诸如马尔科夫模型、故障树等继电保护***可靠性评估常用的解析方法的基础参数，比直接根据原始小样本数据统计计算的道德基础参数准确度更高，更有利于现场运行人员掌握继电保护装置的真实运行状况。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，

假设：继电保护***故障是因为硬件自然老化或失效造成的；

其特征在于所述方法包括下列步骤：

步骤1：继电保护***失效样本整合，计算正常运行时间间隔t₁,t₂,...,t_n，选取最大的时间间隔为截止时间T_s，其中，n为失效样本总数；

步骤2：构建贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，其中构建模型具体包括：

步骤21：根据装置的寿命分布类型，采用威布尔分布作为估计分布，并进行分布拟合优度检验，以确认选取模型的寿命分布是否符合实际情况，

双参数威布尔分布的故障概率密度为

可靠度函数为R(t)＝1-F(t)＝exp[-(t/η)^m]

失效率函数为λ(t)＝mt^m-1/η^m

其中，t为故障间隔时间，m为双参数威布尔分布的形状参数，η为尺度参数，F(t)为不可靠度函数；

步骤22：利用小样本失效数据进行分布拟合得到威布尔分布的一组形状参数m和尺度参数η的估计值；

步骤23：将上述参数估计值代入威布尔分布模型，并利用反函数法进行蒙特卡罗抽样得到Bootstrap子样，即，得到M组每组样本容量为n的再生样本，分别进行分布拟合得到M组威布尔分布的形状参数m_i和尺度参数η_i，并确定先验分布的表示形式g(m＝m_i,η＝η_j)＝1/M²，其中，i＝1,...,M，j＝1,...,M；

步骤24：利用继电保护***的小样本失效数据和先验分布，根据贝叶斯理论得到贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，

$g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j|x)=\frac{f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_i)}{\&Integral;f\left(x\right|m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)g(m=m_i,\mathrm{\&eta;}={\mathrm{\&eta;}}_j)}$

其中，f(x|m＝m_i,η＝η_j)为似然估计函数，g(m＝m_i,η＝η_j)为先验分布函数，x为样本观测值，是继电保护装置故障间隔时间；

步骤3：结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估。

2.根据权利要求1所述的一种小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，其特征是所述步骤23中选取子样本数M的方法为以某一设备运行时间下的“M-可靠度值”曲线的斜率作为结果的稳定性判断标准，即某一设备运行时间下，当M在[20，300]范围内，如果对于不同的M值和对应的可靠度值R，|ΔR/ΔM|保持最小且接近于0时，评估结果受M值影响最小，此时将M在该段范围内的最小值作为稳定标准值，选取该值作为最终M值，其中ΔM为子样本数的变化值，可取固定值，表示M在[20，300]范围内的变化间隔；ΔR为可靠度随子样本数变化ΔM时，可靠度的变化值。

3.根据权利要求1所述的一种小样本失效数据下继电保护***可靠性评估方法，其特征是所述步骤3中结合贝叶斯-蒙特卡罗评估模型，对每个继电保护***进行可靠性评估，具体包括：

步骤31：根据工业实际情况设定可靠性依据，给出可靠度参考阈值；

步骤32：对于每个继电保护***，通过贝叶斯-蒙特卡罗评估模型计算其可靠度、平均故障间隔时间、失效率及故障概率密度等指标，

可靠度函数的点估计为：

$R\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{R}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]$

故障概率密度函数的点估计为：

$f\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_{\mathrm{ij}}\left(t\right)g\left[i\right]\left[j\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}g\left[i\right]\left[j\right]\frac{m_i{t}^{m_i-1}}{{\mathrm{\&eta;}}^{m_i}}\exp [-{(t/{\mathrm{\&eta;}}_j)}^{m_i}]$

由可靠度函数和故障概率密度函数可得失效率函数的点估计为：

λ(t)＝f(t)/R(t)

平均无故障工作时间：

$\mathrm{MTBF}=\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}R\left(t\right)\mathrm{dt}$

其中，R_ij(t)表示m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时对应的可靠度函数值，g[i][j]即g(m＝m_i,η＝η_j)，为随机变量m＝m_i,η＝η_j(i＝1,...,M；j＝1,...,M)时的联合概率密度值；

步骤33：可靠度小于某一阈值，进行维修或维护，而平均故障间隔时间可作为保护装置寿命预测及制定最优检修周期的参考依据，而失效率及故障概率密度指标可作为其它可靠性评估方法的基础数据。