CN103761535B - 一种智能的儿童简笔画线条自动补齐方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种智能的儿童简笔画线条自动补齐方法：首先是训练阶段：第一，将所有图像转换为线条图，形成候选、验证和负样本线条图集；第二，将获得的线条转换为四元组表示；第三，对于候选集中的每一条候选线条，在验证集和负样本集上计算其验证代价；第四，将第三步计算所得的验证代价与设定阈值进行比较，如果验证代价小于该阈值，则将该线条加入最终的线条集；其次是自动补齐阶段：第一，根据连接属性来组合四元组线段；第二，将线段组在训练所得的线条组上进行部分匹配；第三，将第二步计算所得的匹配代价与设定阈值进行比较，如果匹配代价小于该阈值，则从训练所得的线条集中获取下一条应该绘制的线条，并将其作为自动补齐的提示。

Description

一种智能的儿童简笔画线条自动补齐方法

技术领域

本发明属于计算机图形图像分析处理与模式识别技术领域，更具体地说，涉及一种在儿童绘制某类物体的简笔画过程中，根据已绘制的部分线条预测并提示下一步绘制线条的自动补齐方法。

背景技术

简笔画具有悠远的历史。在远古时代，人类就已经开始在岩壁上用简单的线条将他们捕猎、祭祀的场面描绘出来，从而形成了反映他们生活的简笔画雏形。用线条来描绘对象是人类最本能、最直接的表达方式。

现代美术认为，简笔画是一种简练、概括、直观及快速地表现对象的绘画形式，“虽简而像”。简笔画通过使用简单的线条、图形等，抓住所描绘对象的主要外形特征、动态特征和神态表情，以充满想象力的夸张、提炼获取对象的精神，使之更为生动，富有美感。简笔画有助于培养儿童的想象力、创造力、观察力及实践能力，帮助儿童认识和辨别物体，协调手、眼、脑的发展，建立审美意识和形象思维，完成早期绘画启蒙和图形积累，为后续美术学习打下基础。因此，自从上世世八十年代中期以来，简笔画成为了每个小学的美术课教学内容的重要部分。

然而，现代教育研究发现，儿童简笔画教学存在严重问题。教师或家长在在运用这一形式时，往往忽略了儿童美术教育的其它方面，忽视了观察力的培养，忽视了儿童在美术活动中主动性与创造性的培养。由于没有观察活动作为绘画的前提，儿童的主动性无从提起；又由于采用了简单临摹教学方式，造成 儿童下笔程式化，即存在着较为明显的规律性；而一成不变的教学也会导致儿童懒惰的思维定向活动，扼杀儿童的想象力，只会临摹某个具体个体，而不会发挥想象创作出形态各异的群体。儿童画画不是按照自己观察、想象加工的结果主动地创造性地绘画，而是不动脑筋地记住了所教的画法。因此，甚至有学者指出简笔画等模式化教学是扼杀孩子想象力的罪魁祸首，儿童画不可教的观点。

近年来，计算机图形图像分析处理与模式识别技术的不断发展为这个问题提出一个可行的解决思路。形状特征已经被广泛应用于图像匹配和检索等任务，形状是刻画物体类别更一般的有效特征，心理学和人体视觉研究也表明人类在早期视觉中确实使用形状对物体分类。

目前形状特征表示方法主要有两类。一类方法是采用在轮廓上密集采样的一系列点来表示物体形状，利用点之间的空间配置关系形成形状特征。这种方法虽然能够保留轮廓细节信息，但通常会导致匹配时受制于评估大量点之间空间配置关系带来的计算复杂度问题，从而限制了该类方法的应用领域。另一类方法则采用直线段或者圆弧的方式表示形状，其核心思想是通过减少细节或者噪音信息，提高计算的效率。这种方法通常需要利用特征之间的几何关系，实现对物体的刻画。如图1所示，虽然已经缺失了很多轮廓细节，但是还是可以非常简单的被确认为一只正在安睡的猫。以上两类方法主要应用于物体检测、图像检索等计算机视觉和图像分析领域，但目前还没有在儿童简笔画自动补齐方面的应用。

发明内容

本发明提出了一种智能的儿童简笔画自动补齐方法。本发明方法不是针对某 个物体个体，而是针对物体类别，根据已绘制的部分线条预测并提示下一步绘制线条，从而使得儿童在绘制简笔画时既有一定的临摹参考，又具有足够的发挥空间，以提高学习效果。

本发明采取以下技术方案：一种智能的儿童简笔画线条自动补齐方法，其按如下步骤进行：

首先是训练阶段：

第一步，将所有图像转换为线条图，形成候选、验证和负样本线条图集；

第二步，将获得的线条转换为四元组表示；

第三步，对于候选集中的每一条候选线条，在验证集和负样本集上计算其验证代价；

第四步，将第三步计算所得的验证代价与设定阈值进行比较，如果验证代价小于该阈值，则将该线条加入最终的线条集；

其次是自动补齐阶段：

第一步，根据连接属性来组合四元组线段；

第二步，将线段组在训练所得的线条组上进行部分匹配；

第三步，将第二步计算所得的匹配代价与设定阈值进行比较，如果匹配代价小于该阈值，则从训练所得的线条集中获取下一条应该绘制的线条，并将其作为自动补齐的提示。

优选的，训练阶段的第一步：应用边缘检测子获取边缘线图，然后对检测到的边缘通过多边线简化算法获取线条图。

优选的，对于一条由多个顶点构成的多边线：

1）选取两个端点（v₁和v₇）构成第一条多边线，作为对原始多边线的近似；

2）在原始多边线顶点中寻找离当前近似多边线最远的端点（v₄）和距离；

3）如果该距离小于设定阈值（ε），则认为当前的近似多边线已经足够好，算法停止；否则将该端点作为一个新的顶点加入近似多边线；

4）迭代执行上述2)-3)步骤。

优选的，训练阶段的第二步：将一条线段表示为四元组(θ,ρ,d,l)，其中，θ为该线段法线和横轴的夹角，ρ为该线段到坐标原点的距离，d为该线段中心到垂线的距离，l为该线段的长度；其中，d是一个矢量，定义d正方向的单位向量为

即该线段的单位法向量

逆时针旋转π/2后的向量；当θ∈[0,π)，称(θ,ρ,d,l)为标准的四元组表示；显然，对于任何一个(θ,ρ,d,l)，总有

(θ,ρ,d,l)=(θ+kπ,(-1)^kρ,(-1)^kd,l)

这种四元组表示能够处理线段的刚性变换和缩放，易得：

其中，r表示逆时针旋转角度，s是缩放因子，是平移量。

优选的，对于任意两个标准的四元组表示f=(θ_f,ρ_f,d_f,l_f)和h=(θ_h,ρ_h,d_h,l_h)，两者之间的距离为：

$\mathrm{dis}(f,h)=\sqrt{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{\θ}}{({\mathrm{\θ}}_f-{\mathrm{\θ}}_h)}^2+w_{\mathrm{\ρ}}{({\mathrm{\ρ}}_f-{\mathrm{\ρ}}_h)}^2\\ +w_d{(d_f-d_h)}^2+w_l{(l_f-l_h)}^2\end{array}}$

其中，w[·]∈[0,1]表示四元组对应元素的权重；此外，定义f在旋转、缩放、平移变换后与h之间的距离为

优选的，训练阶段的第三步：将每条候选线段f的验证代价定义为C(f)=c_s(f)c_g(f)，其中c_s(f)为形状代价

$c_s\left(f\right)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{+}}{\mathrm{dis}}^{+}(f,{P_v}_i)/L^{+}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{-}}{\mathrm{dis}}^{-}(f,{N_v}_i)/L^{-}},$

其中，L⁺表示在验证集的大小，L^-表示在负样本集的大小；表示f通过随机多次平移操作与中最为相似的线条的平均距离，即

表示f通过平移操作后与中最为相似的线段距离，即

而c_g(f)为几何代价，定义为f在上的平移量，即上式中的的平均值。

优选的，自动补齐阶段的第一步：定义一个线段组为其中，m为组大小，为线段组中的各线段（i=1,2,...,m），它与和相连；和也可能相连，此时该线段组构成一个线段环。

优选的，自动补齐阶段的第二步：定义线段组之间的匹配代价为线段组之间的距离

${\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}\mathrm{dis}(g_f^i,g_h^i),$

其中，g_f为当前所绘制的线段组，g_h为训练所的线条集中构成的线段组，两个线条组大小为m，L(·)为线段组的线段总长度；

首先确定最佳的缩放因子

$\underset{s}{\min }{\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h;s)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}\mathrm{dis}(g_f^i,g_h^i;s)$

通过求解上式，同时获得最佳的缩放因子以及在此缩放变换下g_f和g_h匹配的匹配代价。

从上述技术方案的描述中可知，本发明可以分成两个部分。

首先是训练部分，通过处理一系列符合要求的某类物体样本图像，构建该类物体的线条集。该阶段涉及到的是离线（off-line）处理过程，所需要的学习时间与输入的样本图像数量和物体的轮廓复杂度相关，但不会影响到自动补齐的速度。这些输入的图像可以是简笔画，也可以是包含该类物体的图像。但是要求这些图像：

1、干净。只包含目标物体，且物体占据了图像的大部分区域，没有太多其他的背景；

2、相近。只是某个视图角度范围内的物体图像，且图像中的物体呈现大致相近的姿态；

3、相似。所有图片具有相同的长宽比，可以缩放至同一尺寸。

训练过程的基本思想是自动从上述图像中获取最能刻画该类物体的线条，以实现后续的自动补齐。因此，输入的图像需要首先转换为对应的线条图。该步骤只需要在输入图像上应用边缘检测子，然后再将检测到的轮廓边缘经过多边线简化处理获得对应的线条图，如图2所示。

因为边缘检测子并不理想，可能会引入很多噪音线条。因此，获得线条图之后，需要从中评估每条线条的对物体类别的刻画能力，只有刻画能力强的线条才能被挑选纳入最后的线条集。挑选过程的基本思想是这些线条频繁的出现在包含同类物体的图像的某个位置，同时很少出现在不包含同类物体的图像的对应位置。因此，训练集会被拆分成候选集和验证集；除此之外，还需要提供 一些完全不包含目标物体的图像，这些图像也需要先转换为线条图（如图2所示），形成负样本集。为了高效地判断候选集中的线条是否出现/不出现在验证集/负样本集的某个位置，本发明提出了线条表示和线条之间的相似度测量方法，以及验证代价计算方法，详见下文。上述线条挑选流程如图3所示，候选集中的每一条线条都在验证集/负样本集上经过验证，只有验证代价小于设定阈值的线条会被加入最终的线条集。为了更加有效的利用训练集中的线条，可以将拆分后的候选集和验证集交换后重新再应用一次上述挑选过程。

本发明的第二个部分就是在获得线条集的基础上，进行自动补齐。该阶段主要思想是将用户已经绘制的简笔画部分作为输入和学习阶段构建的线条集进行匹配，确定最相似部分，并给出下一步应该绘制的线条提示。该过程的流程如图3所示。每当用户绘制一条笔画时，就会以该笔画为起始构建线条组（大小为N），并将其与训练时所建立的线条集进行匹配。通常来说，这是一个部分匹配，因此，会产生一系列的匹配代价，分别对应于训练所得线条集上多个不同的匹配组。而且由于用户绘制的比例大小也可能和训练集中的物体，因此这个线条组匹配还需要处理比例问题。更详细的线条组匹配方法见下文。

本方明所提出来的线条组匹配方法不仅可以高效的处理缩放，而且还能处理一定的平面内旋转。最后将每个匹配代价和设定阈值进行比较获得较好的匹配组，并以此为依据，从训练所得线条集上获取下一步该绘制的线条，加入提示集。

由上述描述内容可以看出，本发明方法不是针对物体个体图像获取该个体的简笔画线条，而是从多个同类物体个体的图像中训练获取能够刻画该类物体的线条，并以此实现自动补齐。因此，在儿童进行简笔画绘制过程中，所给出的下一步应该绘制的线条提示并不是针对某个个体，但是又属于该类物体。这 样的提示既可以给儿童一定的临摹参考，不至于变成随意的涂鸦和四不像，又不会显得非常死板程式化，限制儿童的想象力和创造力。

此外，值得一提的是，本发明得到了浙江省自然科学基金资助，项目编号为LY12F02032，并得到国家科技支撑计划（2012BAI34B02）和***人文社会科学研究青年基金（13YJC880111）的部分支持。

附图说明

图1是Attneave的直线段描绘的猫。

图2是图像到线条图的转换流程图。

图3是训练流程图。

图4是匹配流程图。

图5a、5b、5c分别是原图、边缘线图、线条图（图5a、5b、5c显示了原图像到线条图的转换过程）。

图6是多边线简化算法示意图。

图7是线段的四元组表示示意图。

图8是四元组表示的旋转、缩放和平移变换示意图。

图9a、9b是候选集中的两张线条图。

图10是最终线条集的示意图。

图11是自动补齐示意图。

具体实施方式

下面对本发明实施例作详细说明。

以牛这类物体为例，先介绍训练阶段。

第一步，将所有图像转换为线条图，形成候选、验证和负样本线条图集。如图5所示，首先可以应用非常常用的Canny等边缘检测子获取边缘线图，然后对检测到的边缘通过多边线简化算法获取线条图。具体可以采用Douglas和Peucker提出的算法，如图6所示。对于一条由多个顶点构成的多边线：

1）选取两个端点（v₁和v₇）构成第一条多边线，作为对原始多边线的近似；

2）在原始多边线顶点中寻找离当前近似多边线最远的端点（v₄）和距离；

3）如果该距离小于设定阈值（ε），则认为当前的近似多边线已经足够好，算法停止；否则将该端点作为一个新的顶点加入近似多边线；

4）迭代执行上述2)-3)步骤。

第二步，将获得的线条转换为本发明所提出的一种四元组表示，以便于后续验证和匹配过程中的相似度测量和缩放旋转变换。如图7所示，将一条线段表示为四元组(θ,ρ,d,l)，其中，θ为该线段法线和横轴的夹角，ρ为该线段到坐标原点的距离，θ和ρ就表示了该线段所在的直线。为了确定线段的位置和长度信息，引入了d和l，d为该线段中心到垂线的距离，l为该线段的长度。其中，d是一个矢量，定义d正方向的单位向量为

即该线段的单位法向量

逆时针旋转π/2后的向量。当θ∈[0,π)，称(θ,ρ,d,l)为标准的四元组表示。显然，对于任何一个(θ,ρ,d,l)，总有

(θ,ρ,d,l)=(θ+kπ,(-1)^kρ,(-1)^kd,l)

因此，一个线段的四元组表示并不唯一，但总可以转换为唯一的标准表示。

这种四元组表示能够很方便的处理线段的刚性变换和缩放，如图8所示，易得

其中，r表示逆时针旋转角度，s是缩放因子，是平移量。

利用该四元组表示，本发明提出一个在该四元组空间内的加权欧氏距离，作为两条线段之间的相似度度量方法。对于任意两个标准的四元组表示f=(θ_f,ρ_f,d_f,l_f)和h=(θ_h,ρ_h,d_h,l_h)，两者之间的距离为：

$\mathrm{dis}(f,h)=\sqrt{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{\θ}}{({\mathrm{\θ}}_f-{\mathrm{\θ}}_h)}^2+w_{\mathrm{\ρ}}{({\mathrm{\ρ}}_f-{\mathrm{\ρ}}_h)}^2\\ +w_d{(d_f-d_h)}^2+w_l{(l_f-l_h)}^2\end{array}}$

其中，w[·]∈[0,1]表示四元组对应元素的权重。此外，定义f在旋转、缩放、平移变换后与h之间的距离为

第三步，利用上述距离度量方法，对于候选集中（如图9所示）的每一条候选线条，在验证集和负样本集上计算其验证代价。具体计算过程如下：将每条候选线段f的验证代价定义为C(f)=c_s(f)c_g(f)，其中c_s(f)为形状代价

$c_s\left(f\right)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{+}}{\mathrm{dis}}^{+}(f,{P_v}_i)/L^{+}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{-}}{\mathrm{dis}}^{-}(f,{N_v}_i)/L^{-}},$

其中，L⁺表示在验证集的大小，L^-表示在负样本集的大小。表示f通过随机多次平移操作与中最为相似的线条的平均距离，即

表示f通过平移操作后与中最为相似的线段距离，即

而c_g(f)为几何代价，定义为f在上的平移量，即上式中的的平均值。

第四步，将第三步计算所得的验证代价与设定阈值进行比较，如果验证代价小于该阈值，则将该线条加入最终的线条集。通过该步骤，可以去除候选集图片中背景以及物体上不重要的线条，同时可以保留不同物体个体上的重要线条，如图10所示。

然后介绍自动补齐阶段。如图4所示，用户在绘制之前，需要首先确定要绘制的物体中心，然后开始绘制简笔画的线条。所绘制的简笔画线条都会经过多边线简化，并且每画一笔就会进行如下匹配过程，并显示提示集中的下一步笔画，实现自动补齐。

第一步，根据连接属性来组合四元组线段。定义一个线段组为其中，m为组大小，为线段组中的各线段（i=1,2,...,m），它与和相连；和也可能相连，此时该线段组构成一个线段环。

第二步，将线段组在训练所得的线条组上进行部分匹配。定义线段组之间的匹配代价为线段组之间的距离

${\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}\mathrm{dis}(g_f^i,g_h^i),$

其中，g_f为当前所绘制的线段组，g_h为训练所的线条集中构成的线段组，两个线条组大小为m，L(·)为线段组的线段总长度。

考虑到当前所绘制的物体比例大小可能和训练时候不一致，因此，需要首先确定最佳的缩放因子

$\underset{s}{\min }{\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h;s)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}\mathrm{dis}(g_f^i,g_h^i;s)$

通过求解上式，可以同时获得最佳的缩放因子以及在此缩放变换下g_f和g_h匹配的匹配代价。此外，可以计算g_f中线段的θ平均值以及g_h中线段的 θ平均值并在求解上式之间，先将g_f旋转对齐两个线段组，一定程度上实现对平面内的旋转变换的处理。

第三步，将第二步计算所得的匹配代价与设定阈值进行比较，如果匹配代价小于该阈值，则从训练所得的线条集中获取下一条应该绘制的线条，并将其作为自动补齐的提示，如图11中的虚线线条所示。

本发明的训练部分是离线完成的，训练集中所需要的图像可以从网络上收集，也可以是以往绘制的一些简笔画，但是需要符合相关训练要求，以获得更好地自动补齐效果。该过程并没有对物体类别进行假设，因此可以应用到多类物体，为每个类构建线条集。而在自动补齐阶段，则可以首先确定要绘制的物体类别，然后就可以按照上述流程实现自动补齐。对于给定的提示，用户可以接受，也可以不接受，整个过程并不是强制的，具有很强灵活性。

以上对本发明的优选实施例进行了详细说明，对本领域的普通技术人员而言，依据本发明提供的思想，在具体实施方式上会有改变之处，而这些改变也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种智能的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是按如下步骤进行：

首先是训练阶段：

第一步，将所有图像转换为线条图，形成候选、验证和负样本线条图集；

第二步，将获得的线条转换为四元组表示：

将一条线段表示为四元组(θ,ρ,d,l)，其中，θ为该线段法线和横轴的夹角，ρ为该线段到坐标原点的距离，d为该线段中心到垂线的距离，l为该线段的长度；其中，d是一个矢量，定义d正方向的单位向量为

即该线段的单位法向量

逆时针旋转π/2后的向量；当θ∈[0,π)，称(θ,ρ,d,l)为标准的四元组表示；显然，对于任何一个(θ,ρ,d,l)，总有

(θ,ρ,d,l)＝(θ+kπ,(-1)^kρ,(-1)^kd,l)

这种四元组表示能够处理线段的刚性变换和缩放，易得：

$(\mathrm{\θ},\mathrm{\ρ},d,l)\stackrel{r}{\→}(\mathrm{\θ}+r,\mathrm{\ρ},d,l)$

$(\mathrm{\θ},\mathrm{\ρ},d,l)\stackrel{s}{\→}(\mathrm{\θ},s\mathrm{\ρ},sd,sl)$

其中，r表示逆时针旋转角度，s是缩放因子，是平移量；

第三步，对于候选集中的每一条候选线条，在验证集和负样本集上计算其验证代价；

第四步，将第三步计算所得的验证代价与设定阈值进行比较，如果验证代价小于该阈值，则将该线条加入最终的线条集；

其次是自动补齐阶段：

第一步，根据连接属性来组合四元组线段；

第二步，将线段组在训练所得的线条组上进行部分匹配；

第三步，将第二步计算所得的匹配代价与设定阈值进行比较，如果匹配代价小于该阈值，则从训练所得的线条集中获取下一条应该绘制的线条，并将其作为自动补齐的提示。

2.如权利要求1所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：训练阶段的第一步：应用边缘检测子获取边缘线图，然后对检测到的边缘通过多边线简化算法获取线条图。

3.如权利要求2所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：对于一条由多个顶点构成的多边线：

1)选取两个端点(v₁和v₇)构成第一条多边线，作为对原始多边线的近似；

2)在原始多边线顶点中寻找离当前近似多边线最远的端点(v₄)和距离；

3)如果该距离小于设定阈值(ε)，则认为当前的近似多边线已经足够好，算法停止；否则将该端点作为一个新的顶点加入近似多边线；

4)迭代执行上述2)-3)步骤。

4.如权利要求3所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：对于任意两个标准的四元组表示f＝(θ_f,ρ_f,d_f,l_f)和h＝(θ_h,ρ_h,d_h,l_h)，两者之间的距离为：

$dis(f,h)=\sqrt{\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{\θ}}{({\mathrm{\θ}}_f-{\mathrm{\θ}}_h)}^2+w_{\mathrm{\ρ}}{({\mathrm{\ρ}}_f-{\mathrm{\ρ}}_h)}^2\\ +w_d{(d_f-d_h)}^2+w_l{(l_f-l_h)}^2\end{array}}$

其中，w_[·]∈[0,1]表示四元组对应元素的权重；此外，定义f在旋转、缩放、平移变换后与h之间的距离为

5.如权利要求1所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：训练阶段的第三步：将每条候选线段f的验证代价定义为C(f)＝c_s(f)c_g(f)，其中c_s(f)为形状代价

$c_s\left(f\right)=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{+}}{\mathrm{dis}}^{+}(f,P_{v_i})/L^{+}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{L^{-}}{\mathrm{dis}}^{-}(f,N_{v_i})/L^{-}},$

其中，L⁺表示在验证集的大小，L^-表示在负样本集的大小；表示f通过随机多次平移操作与中最为相似的线条的平均距离，即

表示f通过平移操作后与中最为相似的线段距离，即

而c_g(f)为几何代价，定义为f在上的平移量，即上式中的的平均值。

6.如权利要求1所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：自动补齐阶段的第一步：定义一个线段组为其中，m为组大小，为线段组中的各线段(i＝1,2,…,m)，它与和相连；和也可能相连，此时该线段组构成一个线段环。

7.如权利要求1所述的儿童简笔画线条自动补齐方法，其特征是：自动补齐阶段的第二步：定义线段组之间的匹配代价为线段组之间的距离

${\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h)=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}dis(g_f^i,g_h^i),$

其中，g_f为当前所绘制的线段组，g_h为训练所的线条集中构成的线段组，两个线条组大小为m，L(·)为线段组的线段总长度；

首先确定最佳的缩放因子

$\underset{s}{\min }{\mathrm{dis}}_g(g_f,g_h;s)=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}\frac{L\left(g_f^i\right)}{L\left(g_f\right)}dis(g_f^i,g_h^i;s)$

通过求解上式，同时获得最佳的缩放因子以及在此缩放变换下g_f和g_h匹配的匹配代价。