CN103745427A - 基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

一种基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法。一幅待加密的原始图像在迭代振幅-相位恢复算法的作用下被加密成另一幅振幅图像，两块作为公开密钥的随机相位板在首次迭代运算中作为加密密钥使用，加密过程中引入了非线性，两个私有密钥在加密过程中生成，并与加密密钥完全不同，相比对称的加密***，安全性更高。迭代运算过程中实现了加密密钥的更新，使得***具有抵抗迭代振幅-相位恢复算法攻击的能力。传统的加密结果为一置乱的振幅图像，容易引起攻击者的注意，本发明加密的结果是一幅预先选择的“假图像”，具有欺骗性。

Description

基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法

【技术领域】

本发明涉及一种信息安全技术领域，特别是图像的加密方法。

【背景技术】

光学图像加密技术是最近二十年来信息安全研究领域出现的新热点。1995年，美国Connecticut大学的P.Réfrégier和B.Javidi两位专家提出了一种基于4f***的双随机相位编码技术，该技术通过将两块统计无关的随机相位掩模分别放置于4f光学***的输入平面和傅立叶频谱面上，分别用来对输入信息的空间信息和频谱信息作随机扰乱，从而在***的输出平面上得到统计特性随时间平移不变化的均匀白噪声，最终达到信息加密的目的。该技术已获美国专利保护。双随机相位加密技术的提出也促进了国内科研人员对光学图像加密技术研究的热情。例如，北京理工大学的陶然等人提出了一种基于分数阶傅立叶变换的双图像加密方法，该方法已经获得国家专利保护；南昌大学的周南润等人提出了一种基于分数梅林变换的图像加密方法也已获得国家专利保护。到目前为止，绝大多数基于双随机相位加密技术的加密***，其加密过程与解密过程、加密密钥与解密密钥均相同，属于对称加密***。2010年，深圳大学的彭翔等人提出了基于切相傅立叶变换的非对称图像加密***，在经典的双随机相位加密过程引入相位切除操作，使加密过程和解密过程具有了非线性的特点。在该加密***中，加密密钥和解密密钥分别作为公开密钥和私有密钥加以保存，相对传统的对称加密方法，安全性更高。但最近的研究却表明，该加密方法实际上仍然存在安全方面的隐患，当攻击者在获取密文和两个公开密钥匙的情况下，运用迭代振幅-相位恢复算法就可以破解得到原始图像以及两个解密密钥。另外需要特别指出的是，以上图像加密方法具有一个共同的特点，就是加密的结果都是均匀白噪声，容易引起攻击者的注意。

【发明内容】

本发明要解决的技术问题是提供基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法。

解决上述技术问题采用如下技术措施：基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)I(x，y)代表待加密的原始图像，E₀(x，y)代表另一幅与原始图像尺寸相同的图像，R(x，y)、R′(u，υ)是作为公开密钥的两块随机相位板，可以具体表示成exp[2πα(x，y)]、exp[2πβ(u，υ)]，其中(x，y)、(u，υ)分别表示空间域和傅立叶频域的坐标，α(x，y)、β(u，υ)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，运用迭代振幅-相位恢复算法进行加密时，I(x，y)、E₀(x，y)是迭代过程中的两个限定值，假定在第k-1次(k=1，2，3…)迭代过程中已经得到加密密钥R_k(x，y)和R′_k(x，y)，则在第k次迭代过程中，首先对I(x，y)和加密密钥R_k(x，y)的乘积作傅立叶变换，接着对变换后得到的复振幅进行取相位和取振幅操作，分别得到振幅分布g_k(u，υ)和相位分布P′_k(u，υ)，即：

g_k(u，υ)=PT{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}     (1)

P′_k(u，υ)＝PR{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}     (2)

其中FT[]表示傅立叶变换，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，当k=1时，特别规定R₁(x，y)=R(x，y)、R′₁(u，υ)=R′(u，υ)，即两个公开密钥被用作第一次迭代运算的两个加密密钥；

(ii)对g_k(u，υ)和R′_k(u，υ)的乘积作逆傅立叶变换后进行取相位和取振幅操作，分别得到相位分布P_k(x，y)和振幅分布E_k(x，y)，即：

P_k(x，y)＝PR{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}     (3)

E_k(x，y)＝PT{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}     (4)

其中IFT[]表示逆傅立叶变换；

(iii)对P_k(x，y)和E₀(x，y)的乘积作一次傅立叶变换后得到一复振幅分布，对该分布进行取相位和取振幅操作后分别得到振幅分布g′_k(u，υ)和相位分布R′_k+1(u，υ)，接着对g′_k(u，υ)和P′_k(u，υ)的乘积作逆傅立叶变换后进行取相位操作，得到相位分布R_k+1(x，y)，计算公式分别如下：

g′_k(u，υ)＝PT{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}     (5)

R′_k+1(u，υ)＝PR{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}     (6)

R_k+1(x，y)＝PR{IFT[g′_k(u，υ)P′_k(u，υ)]}     (7)

由此，通过运用P_k(x，y)、P′_k(u，υ)和限定值E₀(x，y)计算得到第k+1次迭代过程中需要用到的两个加密密钥R_k+1(x，y)和R′_k+1(u，υ)，随后进入下轮迭代过程(即第k+1次迭代过程)；

(iv)当迭代次数达到n次时迭代运算终止，分别由式(2)、式(3)和式(4)得到两个私有密钥P′(u，υ)、P(x，y)和最终的加密结果E(x，y)，则有

P′(u，υ)=PR{FT[I(x，y)R_n(x，y)]}      (8)

P(x，y)＝PR{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}     (9)

E(x，y)＝PT{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}     (10)

其中由式(1)可知g_n(u，υ)在第n次迭代运算过程中生成，由式(6)和式(7)可知R_n(x，y)和R′_n(u，υ)在第n-1次迭代运算过程中生成；

(2)解密：

(i)将密文E(x，y)与私有密钥P(x，y)相乘后作傅立叶变换，可以具体表示为FT[E(x，y)P(x，y)]，由式(9)、式(10)可知：FT[E(x，y)P(x，y)]＝g_n(u，υ)R′_n(u，υ)，对变换结果作取振幅运算后得到g_n(u，υ)，即g_n(u，υ)=PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}；

(ii)振幅信息g_n(u，υ)与私有密钥P′(u，υ)相乘后进行一次逆傅立叶变换，即IFT[g(u，υ)P(u，υ)]，由式(1)、式(8)可知：IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]=I(x，y)R_n(x，y)，对该逆傅立叶变换结果进行取振幅操作后得到原始图像的分布，即I(x，y)=PT{IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]}；

综合以上各过程，解密结果可以表述为：

I(x，y)=PT{IFT[PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}P′(u，υ)]}     (11)其中，两个解密密钥P′(u，υ)、P(x，y)和加密结果E(x，y)分别由式(8)、式(9)和式(10)给出。本发明的有益效果在于：首先，加密结果为一幅预先任意选择的“假图像”，密文具有欺骗性，传统的加密结果为一置乱的振幅图像，容易引起攻击者的注意；其次，加密过程中引入了非线性，两个私有密钥在加密过程中生成，并与加密密钥完全不同，相比对称的加密***，安全性更高；最后，迭代运算过程中实现了加密密钥的更新，使得***具有抵抗迭代振幅-相位恢复算法攻击的能力。

【附图说明】

图1为加密过程示意图。

图2为迭代振幅-相位恢复算法流程图。

图3为解密过程流程图。

图4(a)待加密图像I(Cameraman)；(b)“假图像”E₀(Lena)；(c)公开密钥R；(d)公开密钥R′。

图5(a)迭代运算50次后得到的加密结果；(b)私有密钥P(x，y)；(c)私有密钥P′(u，υ)。

图6为MSE(迭代运算得到的加密结果E(x，y)和“假图像”E₀(x，y))与迭代次数的关系图。

图7不同迭代次数所对应的加密结果：(a)5；(b)10；(c)20。

图8(a)正确的解密结果；(b)用公开密钥R、R′分别代替私有密钥P、P′进行解密后的解密结果；(c)用两块随机生成的相位板代替私有密钥P、P′进行解密后得到的解密结果。

图9(a)两步迭代振幅-相位恢复算法攻击中的第一步得到的MSE(E(x，y)与迭代过程中得到的E(x，y)的近似值)与迭代运算次数的关系图；(b)第二步中得到的MSE(攻击结果和原始图像)与迭代运算次数的关系图。

图10不同迭代次数对应的攻击结果：(a)m=500，n=5；(b)m=500，n=100。

【具体实施方式】

本发明所述方法的具体实施方式如下：

(1)图像的加密过程(如图1和图2所示)分如下几个步骤：

(i)如图1所示，原始图像I(x，y)在公开密钥R(x，y)、R′(u，υ)的作用下，通过迭代振幅-相位恢复算法被加密成另一幅图像E(x，y)，E(x，y)可以看成是“假图像”E₀(x，y)的近似值，“假图像”是一幅预先选择的与原始图像具有相同尺寸的图像，加密过程中同时生成两个私有密钥P(x，y)、P′(u，υ)，其中(x，y)、(u，υ)分别表示空间域和傅立叶频域的坐标，R(x，y)、R′(u，υ)是两块随机相位板，可以具体表示成exp[2πα(x，y)]，exp[2πβ(u，υ)]，其中α(x，y)、β(u，υ)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，在迭代振幅-相位恢复算法中，两个公开密钥被用作首次迭代运算中的两个加密密钥；

(ii)迭代振幅-相位恢复算法的具体流程如图2所示，整个迭代加密过程分成两个部分，即加密单元和解密单元，EPK1和EPK2分别表示加密单元加密过程中的两个加密密钥，DPK1和DPK2分别表示在加密单元中生成并且用于解密单元进行解密的两个解密密钥，在运用迭代振幅-相位恢复算法对原始图像进行加密的过程中，已经归一化的原始图像I(x，y)和“假图像”E₀(x，y)作为迭代运算过程中的两个限定值，用R_k(x，y)和R′_k(u，υ)分别表示在第k-1次(k=1,2,3…)迭代过程中解密单元生成的EPK1和EPK2，则在第k次迭代过程中，首先对I(x，y)和R′_k(u，υ)的乘积作傅立叶变换，对该变换结果进行取相位和取振幅操作后分别得到振幅1和DPK1，分别用函数g_k(u，υ)和P′_k(u，υ)表示，则g_k(u，υ)=PT{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}、P′_k(u，υ)=PR{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}，其中FT[]表示傅立叶变换，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，特别规定：当k=1时，有R₁(x，y)=R(x，y)、R′₁(u，υ)=R′(u，υ)，即两个公开密钥被用作第一次迭代运算中的两个加密密钥，对振幅1和EPK2的乘积进行逆傅立叶变换后进行取相位和取振幅操作后分别得到DPK2和振幅2，分别由函数P_k(x，y)和E_k(x，y)表示，则有P_k(x，y)=PR{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}、E_k(x，y)=PT{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}，其中IFT[]表示逆傅立叶变换；

(iii)在解密单元中，对DPK2和E₀(x，y)的乘积作傅立叶变换后得到一复振幅分布，对该分布进行取振幅操作则得到振幅3，可以用函数g′_k(u，υ)表示，则有g′_k(u，υ)=PT{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}，对傅立叶变换后得到的复振幅分布进行取相位操作则可以得到用于下一轮迭代运算的新的EPK2，即R′_k+1(u，υ)，则有R′_k+1(u，υ)=PR{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}，接着振幅3和DPK1即P′_k(u，υ)相乘后进行一次逆傅立叶变换，对变换结果取相位则得到用于下一轮迭代运算的EPK1，即R_k+1(x，y)，则有R_k+1(x，y)=PR{IFT[g′_k(u，υ)P′_k(u，υ)]}，由此，通过运用P_k(x，y)、P′_k(u，υ)和限定值E₀(x，y)计算得到第k+1次迭代过程中需要用到的两个加密密钥R_k+1(x，y)和R′_k+1(u，υ)，随后进入下轮迭代过程(即第k+1次迭代过程)；

(iv)当迭代次数达到n次时迭代终止，分别由式(2)、式(3)和式(4)得到两个私有密钥P′(u，υ)、P(x，y)和最终的加密结果E(x，y)，则有P′(u，υ)=PR{FT[I(x，y)R_n(x，y)]}、P(x，y)＝PR{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}E(x，y)＝PT{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}，其中由式(1)可知g_n(u，υ)在第n次迭代运算过程中生成，由式(6)和式(7)可知R_n(x，y)和R′_n(u，υ)在第n-1次迭代运算过程中生成；

(2)图像的解密过程(如图3所示)：

(i)将密文E(x，y)与私有密钥P(x，y)相乘后进行一次傅立叶变换，可以具体表示为FT[E(x，y)P(x，y)]，由式(9)、式(10)可知：FT[E(x，y)P(x，y)]＝g_n(u，υ)R′_n(u，υ)，对变换结果作取振幅运算后得到g_n(u，υ)，即g_n(u，υ)=PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}；

(ii)振幅信息g_n(u，υ)与私有密钥P′(u，υ)相乘后进行一次逆傅立叶变换，即IFT[g(u，υ)P(u，υ)]，由式(1)、式(8)可知：IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]=I(x，y)R_n(x，y)，对该逆傅立叶变换结果进行取振幅操作后得到原始图像的分布，即I(x，y)=PT{IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]}；

综合以上各过程，解密结果可以表述为：I(x，y)=PT{IFT[PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}P′(u，υ)]}，其中，两个解密密钥P′(u，υ)、P(x，y)和加密结果E(x，y)分别由式(8)、式(9)和式(10)给出。

本发明提出的基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法的加密过程和解密过程具有非线性的特点，解密密钥在加密过程中生成，又由于迭代运算过程中使用的加密密钥不断地被更新，因此该方法安全性极高；本发明提出的加密方法能够有效地抵制暴力攻击、迭代振幅-相位恢复算法等方法的攻击；本发明所提出的非对称加密方法的一个重要特性是加密的结果不是乱码，而是一幅具有欺骗性的图像，可以避免引起攻击者的注意。

运算中使用均方差(Mean Square Error，MSE)作为衡量两幅图像品质上的差异，已知E₀代表“假图像”，E是通过迭代振幅-恢复算法得到的加密结果，两者间的MSE可以表示为：

$\mathrm{MSE}(E,E_0)=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{|E(i,j)-E_0(i,j)|}^2---\left(12\right)$

其中M，N是图像的尺寸，E(i，j)和E₀(i，j)分别表示两幅振幅图像在像素点(i，j)的值，通过MSE可以反映本方法所进行的迭代运算的收敛性。MSE值越小，说明加密结果与预先选择的“假图像”的差异越小，从而加密结果的视觉效果越好。需要特别指出的是，根据式(11)可以看出，不论加密结果E的品质如何，运用两个解密密钥都可以完全恢复出原始图像I。

下面结合实施例和附图对本发明的内容进行进一步的解释。

选择大小为256×256的灰度图“Cameraman”和“Lena”，分别作为待加密的原始图像和迭代过程中作为限定值的“假图像”，归一化后分别如图4(a)、4(b)所示，两个公开密钥R(x，y)、R′(u，υ)的相位分布分别如图4(c)、4(d)所示，根据迭代振幅-相位恢复算法的流程图图2进行加密，迭代运算50次后得到的加密结果如图5(a)所示，加密过程中生成的私有密钥P(x，y)、P′(u，υ)的相位分布图则分别如图5(b)、5(c)所示。通过图4(b)和图5(a)的对比可以发现，我们无法从肉眼上区分出“假图”与加密结果，因此加密的结果具有非常好的视觉效果。迭代运算过程中得到的加密结果E(x，y)和E₀(x，y)之间的MSE与迭代次数之间的关系如图6所示，可以看出，当迭代次数达到10次时，E(x，y)与E₀(x，y)之间MSE值变得很小，即4.4212×10^-7，继续增加迭代次数，MSE会出现非常小的变化，迭代次数为20次以后，MSE就不再发生变化。迭代次数为5、10、20所对应的加密结果分别如图7(a)、7(b)和7(c)所示，可见本发明提出的基于迭代振幅-相位恢复算法的加密方法收敛速度很快，迭代10次后得到的加密结果就具有非常好的视觉效果。

根据流程图图3进行解密。运用图5(b)、5(c)所示的正确的私有密钥P(x，y)、P′(u，υ)对加密结果图5(a)进行解密，正确解密得到的结果如图8(a)所示，它与原始图像的MSE值为6.9737×10^-32，这表明利用正确的私有密钥可以完全复原原始图像。使用公开密钥R(x，y)、R′(u，υ)分别代替私有密钥P(x，y)、P′(u，υ)进行解密后得到的解密结果如图8(b)所示，用两块随机生成的相位板代替私有密钥P(x，y)、P′(u，υ)进行解密后得到的解密结果则如图8(c)所示，可见本发明提出的加密方法能够有效地抵抗暴力攻击。

进一步测试***的安全性。利用两步迭代振幅-相位恢复算法进行攻击，第一步运用迭代振幅-相位恢复算法通过输出面上的加密结果E(x，y)和傅立叶面上的公开密钥R′(u，υ)这两个限定值计算出傅立叶面上的振幅分布，第二步则根据由第一步得到的振幅分布和输入面上的公开密钥R(x，y)计算出原始图像的近似值。从两步迭代振幅-相位恢复算法攻击中的第一步得到的E(x，y)的近似值与限定值E(x，y)本身之间的MSE值与迭代运算次数的关系如图9(a)所示，迭代次数在300次以上，MSE值基本保持不变；第二步中得到的攻击结果和原始图像之间的MSE值与迭代运算次数的关系如图9(b)所示，随着迭代次数的增加，MSE变得越大。第一步迭代次数m=500，第二步迭代次数n=5所对应的攻击结果如图10(a)所示，图中只能显示出模糊的“假图像”轮廓信息，而没有任何有关原始图像的有用信息；第一步迭代次数m=500，第二步迭代次数n=100对应的攻击结果如图10(b)所示，从图9(b)和两个示例10(a)、10(b)可以看出，本发明提出的加密方法能够有效抵抗迭代振幅-相位恢复算法的攻击。

Claims (1)

1.一种基于迭代振幅-相位恢复算法的图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：

(1)加密：

(i)I(x，y)代表待加密的原始图像，E₀(x，y)代表另一幅与原始图像尺寸相同的图像，R(x，y)、R′(u，υ)是作为公开密钥的两块随机相位板，可以具体表示成exp[2πα(x，y)]、exp[2πβ(u，υ)]，其中(x，y)、(u，υ)分别表示空间域和傅立叶频域的坐标，α(x，y)、β(u，υ)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，运用迭代振幅-相位恢复算法进行加密时，I(x，y)、E₀(x，y)是迭代过程中的两个限定值，假定在第k-1次(k＝1，2，3…)迭代过程中已经得到加密密钥R_k(x，y)和R′_k(x，y)，则在第k次迭代过程中，首先对I(x，y)和加密密钥R_k(x，y)的乘积作傅立叶变换，接着对变换后得到的复振幅进行取相位和取振幅操作，分别得到振幅分布g_k(u，υ)和相位分布P′_k(u，υ)，即：

g_k(u，υ)=PT{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}     (1)

P′_k(u，υ)＝PR{FT[I(x，y)R_k(x，y)]}     (2)

其中FT[]表示傅立叶变换，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，当k=1时，特别规定R₁(x，y)=R(x，y)、R′₁(u，υ)＝R′(u，υ)，即两个公开密钥被用作第一次迭代运算的两个加密密钥；

(ii)对g_k(u，υ)和R′_k(u，υ)的乘积作逆傅立叶变换后进行取相位和取振幅操作，分别得到相位分布P_k(x，y)和振幅分布E_k(x，y)，即：

P_k(x，y)＝PR{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}     (3)

E_k(x，y)＝PT{IFT[g_k(u，υ)R′_k(u，υ)]}     (4)

其中IFT[]表示逆傅立叶变换；

(iii)对P_k(x，y)和E₀(x，y)的乘积作一次傅立叶变换后得到一复振幅分布，对该分布进行取相位和取振幅操作后分别得到振幅分布g′_k(u，υ)和相位分布R′_k+1(u，υ)，接着对g′_k(u，υ)和P′_k(u，υ)的乘积作逆傅立叶变换后进行取相位操作，得到相位分布R_k+1(x，y)，计算公式分别如下：

g′_k(u，υ)＝PT{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}     (5)

R′_k+1(u，υ)＝PR{FT[E₀(x)P_k(x，y)]}     (6)

R_k+1(x，y)＝PR{IFT[g′_k(u，υ)P′_k(u，υ)]}     (7)

由此，通过运用P_k(x，y)、P′_k(u，υ)和限定值E₀(x，y)计算得到第k+1次迭代过程中需要用到的两个加密密钥R_k+1(x，y)和R′_k+1(u，υ)，随后进入下轮迭代过程(即第k+1次迭代过程)；

(iv)当迭代次数达到n次时迭代运算终止，分别由式(2)、式(3)和式(4)得到两个私有密钥P′(u，υ)、P(x，y)和最终的加密结果E(x，y)，则有

P′(u，υ)=PR{FT[I(x，y)R_n(x，y)]}     (8)

P(x，y)＝PR{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}     (9)

E(x，y)＝PT{IFT[g_n(u，υ)R′_n(u，υ)]}     (10)

其中由式(1)可知g_n(u，υ)在第n次迭代运算过程中生成，由式(6)和式(7)可知R_n(x，y)和R′_n(u，υ)在第n-1次迭代运算过程中生成；

(2)解密：

(i)将密文E(x，y)与私有密钥P(x，y)相乘后作傅立叶变换，可以具体表示为FT[E(x，y)P(x，y)]，由式(9)、式(10)可知：FT[E(x，y)P(x，y)]＝g_n(u，υ)R′_n(u，υ)，对变换结果作取振幅运算后得到g_n(u，υ)，即g_n(u，υ)=PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}；

(ii)振幅信息g_n(u，υ)与私有密钥P′(u，υ)相乘后进行一次逆傅立叶变换，即IFT[g(u，υ)P(u，υ)]，由式(1)、式(8)可知：IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]＝I(x，y)R_n(x，y)，对该逆傅立叶变换结果进行取振幅操作后得到原始图像的分布，即I(x，y)=PT{IFT[g_n(u，υ)P(u，υ)]}；

综合以上各过程，解密结果可以表述为：

I(x，y)＝PT{IFT[PT{IFT[E(x，y)P(x，y)]}P′(u，υ)]}     (11)

其中，两个解密密钥P′(u，υ)、P(x，y)和加密结果E(x，y)分别由式(8)、式(9)和式(10)给出。

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