CN103577636B - 一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法 - Google Patents

Abstract

一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，步骤为：一选定截面线r，确定圆弧段中心点B₁，B₂；二从B₁，B₂点求出纵向曲率线L₂，L₆；三从B₁，B₂两侧找到4点V₁，V₂，V₃，V₄；四在叶片两端求出经过该4点的纵向曲率线L₁，L₃，L₅，L₇；五L₁，L₂，L₃作为等参数线，对L₁，L₃中间区域参数化，确定边界线l₁，l₃；L₅，L₆，L₇作为等参数线，对L₅，L₇中间区域参数化，确定边界线l₅，l₇；六分别确定截面线r上圆弧中心点M₁，M₂；七确定经过M₁，M₂纵向曲率线L₄，L₈；八以L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇为新参数域的等参数线，重新参数化；九根据新参数对曲面进行非均匀离散。

Description

一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法

技术领域

本发明提供一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，它是一种用于宽行数控加工中用于刀轨规划的工件曲面的离散方法，它涉及一种宽行数控加工中离散刀位点的选取方法，属于曲面数控加工技术领域。

背景技术

等参数线法是数控加工中常用的刀轨规划方法之一，该方法主要是让刀具沿着工件曲面的一个参数方向运动。等参数线法依赖于曲面的参数化。

在常用的CAM***中，曲面造型一般采用的是弧长参数化，该种参数化方法没有考虑到曲面的弯曲情况，因此可能会产生参数线扭曲或者波动的情况，不利于实际加工。而基于曲率线网的参数化方法能够很好的兼顾曲面的局部弯曲特征，但是在实际的复杂曲面时，曲面的局部造型误差会影响到曲率线的全局走势，从而很难得到可信的曲率线网格。

在实际的宽行加工编程***中，一般先对工件曲面进行离散。传统的曲面离散方法中，均匀离散方法是直接在选取均匀参数网格，非均匀离散方法则主要是通过曲面的局部特征(如弧角变化)来调整离散网格的密度。上述传统的曲面离散方法都是基于曲面既有参数进行离散的，没有解决曲面参数线扭曲的所带来的问题。

一般叶片曲面的参数线扭曲一般发生在进排气边附近，而进排气边附近的圆弧过渡的中心位置处的曲率线走势因其两个主曲率差距大而一般比较稳定，受曲面造型的误差影响较小，而且该处的曲率线一般不会发生扭曲和翻越叶盆叶背的情况，具有叶盆叶背“分界线”的特点。本专利申请考虑了曲面参数线扭曲的情况，结合叶片曲面的上述特征，提出一种基于有限条曲率线的重新参数化方法。并且给出在重新参数化的基础上对曲面进行离散的过程。

发明内容

1、目的：本发明的目的是提供一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，用以解决叶片进排气边附近参数线扭曲造成的刀轨波动问题。

2、技术方案：本发明主要是通过以下技术方案来实现。

本发明一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，它包括以下步骤：

步骤一选定一个有代表性的截面线r，确定其上进排气边圆弧段的中心点B₁，B₂位置。具体过程如下：

选定叶片的某一条等参数线S(u，v₀)作为叶片的一条截型线(如图2中标示有点的截型线所示)，计算该截型线的曲率分布

$k\left(u\right)=\frac{L(u,v_0)}{E(u,v_0)},$

其中L(u，v₀)＝S_uu(u，v₀)·n(u，v₀)，E(u，v₀)＝S_u(u，v₀)·S_u(u，v₀)，n(u，v₀)为曲面在点(u，v₀)处的单位法矢。如图4所示，函数k(u)随着u的从小到大的会由两个突变，不妨设给定阈值系数F，定义当k(u)≥F×k₀时，u处于突变位置之内。分别记录第一个突变的起始位置U_1s和终止位置U_1e，第二个突变的起始位置U_2s和终止位置U_2e。定义运算

$\mathrm{std}\left(a\right)=\left\{\begin{array}{c}a+1,a<0;\\ a-1,a>1;\\ a,0\&le;a\&le;1.\end{array}\right.$

$\mathrm{Add}(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a+b,a\&le;b;\\ a+b+1,a>b.\end{array}.\right.$

令

$U_2=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_{1s},U_{1e})}{2}\right),$

$U_6=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_{2s},U_{2e})}{2}\right).$

则U₂和U₆即为圆弧过渡的中心位置。

本专利申请中如果不加说明，都有v₀＝0；std(a)运算保证了结果落在参数的定义域内；Add(a，b)则是考虑到突变区域跨越参数域边界的情况；k₀实际上表示截型线的平均曲率；圆弧过渡的中心位置一般对应着截型线的最弯处；U₂和U₆的确定的也可以通过选取叶片多条截型线，分别通过上述步骤计算，再取平均值得到；U₂和U₆确定了图3中的点B₁，B₂。

步骤二从B₁，B₂点出发向叶片两端求出经过点B₁，B₂的两条纵向曲率线L₂，L₆。具体过程如下：

令u_2，1＝U₂，u_6，1＝U₆，v₁＝0.

如果己知曲率线上第i个点，首先确定第二条曲率线下一点的参数值。计算叶片曲面在点(u_2，i，v_i)处与V方向相近的主方向D_2，i，则下一点P2_，i+1＝S(u_2，i，v_i)+step×D_2，i，其中step为给定的步长，其大小影响V方向的离散精度。再计算点P_2，i+1在曲面上对应的参数值(u_2，i+1，v_i+1)。当vi+1≥1时，上述步骤终止。

对于j＝6，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝2，6，记U_i对应的曲率线为L_i。

说明：曲率线是通过一系列给定步长的离散点表示；也可以选取其他曲率线确定v_i+1取值；计算过程保证了两条曲率线在第i个点的V参数值是一致的；主方向D_2，i为三维空间中的向量，而d_j，i则为曲面上一方向的比值表示。

步骤三在代表截面线r上，从B₁，B₂两点出发，分别在该点两侧进排气边圆弧范围内找到4个指定点V₁，V₂，V₃，V₄。

给定距离值dis₁，dis₂，计算U₁，U₃，U₅，U₇，使得

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_1}^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_1}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_2}^{U_5}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_{U_2}^0\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_5}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_5}^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_5}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_6}^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_6}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

则U₁，U₃，U₅，U₇即为所需求的圆弧上V₁，V₂，V₃，V₄的位置。

在求解积分时出现U₁，U₃，U₄，U₆与步骤一中的U_1s，U_1e，U_2s，U_2e意义不一样。实际叶片曲面在圆弧过渡边缘处的曲率走势一般会比较紊乱，所以需要通过参数dis₁，dis₂来调整U₁，U₃，U₄，U₆的取值，使得经过点(U₁，v₀)，(U₃，v₀)，(U₄，v₀)，(U₆，v₀)处的四条与叶片造型方向一致的曲率线稳定可信。

步骤四从V₁，V₂，V₃，V₄出发向叶片两端求出分别经过V₁，V₂，V₃，V₄的四条纵向曲率线L₁，L₃，L₅，L₇。

u_1，1＝U₁，u_3，1＝U₃，u_5，1＝U₅，u_7，1＝U₇。

己知曲率线上第i个点，对于j＝1，3，5，7，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝1，3，5，7，记U_i对应的曲率线为L_i.

步骤五把L₁，L₂，L₃作为等参数线，对L₁，L₃中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₁，l₃；把L₅，L₆，L₇作为等参数线，对L₅，L₇中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₅，l₇。

设叶片进排气边的平均过渡圆弧弧长为ArcL，

定义

$m(a.b)=\left\{\begin{array}{c}a-b-1,a>b;\\ a-b,a\&le;b.\end{array}\right.;$

$M(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b+1,c<b;\\ a-b,a\&GreaterEqual;b.\end{array}\right..$

令

$u_{1,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;m(u_{1,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{3,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;M(u_{3,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{5,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;m(u_{5,i},u_{6,i})}{{2\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

$u_{7,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;M(u_{7,i},u_{6,i})}{{2\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

从而把L₁，L₃，L₅，L₇往远离进排气边方向(如图6中的箭头所示)平移至新的参数域边界。记平移后得到的曲线分别为l₁，l₃，l₅，l₇。

由于造型的误差，实际叶片曲面在进排气边过渡圆弧起末端区域的曲率线走势会比较紊乱，一般不能够直接求解通过该区域的曲率线，步骤四是把该区域外侧的曲率线通过距离比例来移动，从而得到经过该区域的近似曲率线；l₁，l₃，l₅，l₇通过图3中的点P₁，P₂，P₃，P₄。

步骤六分别确定截面线r上叶盆叶背圆弧的中心点M₁，M₂。

令 $U_4=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_6,U_5)}{2}\right),U_8=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_7,U_1)}{2}\right).$

则U₄，U₈记录了点M₁，M₂的位置。

步骤七确定经过M₁，M₂的两条纵向曲率线或等参数线L₄，L₈。

L₄，L₈如果为曲率线，则求解过程如下：

己知曲率线上第i个点，对于j＝4，8，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝4，8，记U_i对应的曲率线为L_i.

如果L₄，L₈为等参数线，则对于j＝4，8，u_j，i+1＝U_j。

步骤八以L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇为新参数域下的等参数线，对曲面进行重新参数化。

设重新参数化的后的曲面表达式为S′(u′，v′)。

将八条线看做是新的等U′参数线，首先确定第j条线在新参数化下对应的U′坐标u′_j。令u′₁＝0，则

u′_j＝u′_j-1+M(U_j，U_j-1)，j＝2，…，8.

记u′₉＝1。

给定一个U′V′坐标(u′，v_i)，其对应的UV坐标为

$(\mathrm{std}(\frac{(u^{\&prime;}-{u^{\&prime;}}_j)M(u_{j+1,i},u_{j,i})}{{u^{\&prime;}}_{j+1}-{u^{\&prime;}}_j}+u_{j,i}),v_i),$

其中j满足u′_j≤u′≤u′_j+1.

八条线L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇实际上是逼近图2中叶片曲面上与V方向一致的八根线，这八根曲率线根据曲面的弯曲特征把叶片曲面分割了八块相对平稳的区域，从而可以保证每块区域中的参数线都不会出现过大的扭曲。

步骤九根据新参数对曲面进行非均匀离散。

V′方向的离散已经由步骤二确定，故只需讨论U′方向的离散。给定U′方向的离散弓高为GgU，最大离散间隔为Offset，记V′方向的离散点数为vnum。如果当前U′参数位置为U′_i，对于1≤j≤vnum，计算点(U′_i，v_j)在UV坐标下的参数，从而确定该点处的沿U′方向的曲率uQL_ij。令 $r_{i,j}=\frac{1}{\left|\mathrm{uQ}{L}_{i,j}\right|},$

${\mathrm{OS}}_{i,j}=\frac{2\&times;\sqrt{r_{i,j}^2-{(r_{i,j}-\mathrm{GgU})}^2+\mathrm{Gg}{U}^2}\&CenterDot;}{{\mathrm{uLen}}_j}$

其中uLen_j表示曲面上的曲线V＝v_j的弧长。

令offset_i＝min{min_jOS_i，j，Offset}，则下一个离散位置为U′_i+1＝U′_i+offset_i。

说明：最大离散间隔Offset限制了离散的最大步长，以防止在离散叶背叶盆等较平区域时出现步长过大的情况；离散弓高的意义如图5所示；U方向的离散密度受到曲面局部曲率的影响，故为非均匀离散；V方向的离散由三维空间中的步长确定，可以近似认为为均匀离散。

叶片截型线一般由叶盆部分、叶背部分和两端小的过渡圆弧组成。其中叶片曲面造型圆弧过渡的中心位置是小过渡圆弧的中点。如图1所示。

其中纵向指的是叶片造型方向，是指叶片截型线的排列的参数方向，一般为V方向。如图2所示。

3、优点和功效：

本发明提供了一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，该方法考虑了叶片的造型特征，以八条曲线为基准对把叶片曲面划分成八个边界与曲率线走势一致的平坦的区域，再分别对每个区域进行重新参数化，使得每个区域的边界都为新参数域下的等参数线，解决了叶片在进排气边附近参数线扭曲严重的情况，从而实现叶片进排气加工的刀轨光顺稳定，一方面降低了叶片加工对机床加速度和机床联动的要求，另一方面提高了叶片进排气边加工的表面质量。另外，本发明在叶片较弯曲的方向采用非均匀的离散方法，在保证离散精度的基础上大大节省了存储空间，减少了计算量。同时本发明具有兼容性强、实现成本低的优点。

附图说明

图1：叶片截型线构成示意图。可以看出，叶片截型线一般由叶盆部分、叶背部分和两端小的过渡圆弧组成。

图2：叶片构造方向说明。叶片曲面一般是通过数条排列好的截型线生成，称与叶片截型线的排列的方向一致的参数方向为叶片造型方向，也称为叶片纵向。为方便起见，本专利申请说明书中一般认为叶片造型方向为V方向。

图3：叶片截型线分区点示意图。点P₁，P₂，P₃，P₄，M₁，M₂，B₁，B₂把截型线分成了八段，这八段截型线自然对应着八块叶片曲面区域。其中点P₁，P₂，P₃，P₄把截型线分成了曲率变化均匀的四段，这四段线对应的叶片曲面区域内部曲率变化较为均匀，对重新参数化后的参数线性质起了主要作用。

图4：叶片截型线的曲率分布示意图。叶片截型线曲率函数有两个明显的峰值，分别对应着叶片截型线的两个过渡圆弧的位置。

图5：离散弓高示意图。如果当前点为P₁，则可以把2L作为离散步长，得到下一个离散点的坐标。因为要满足离散弓高的要求，此时P₁点处的离散步长不能够大于2L。

图6：叶片曲面在新的参数域下的分区示意图。可以看出，曲率线L₂，L₄，L₆，L₈和近似曲率线l₁，l₃，l₅，l₇为新参数域下的等参数线，而且该八条等参数线自然把叶片划分为八块区域。

图7：叶片曲面统一离散流程。

图中代号、符号说明如下：

M₁，M₂-截型线上对应叶盆叶背区域的中点。

B₁，B₂-截型线上进排气边过渡圆弧的中点

V₁，V₂，V₃，V₄-在截型线上，从B₁出发，在指定范围内确定点V₁，V₂；从B₂出发，在指定范围内确定点V₃，V₄。

P₁，P₂，P₃，P₄-在截型线上，V₁，V₂，V₃，V₄按照指定规则平移得到点P₁，P₂，P₃，P₄。

U₂，U₆-对应点B₁，B₂的U方向参数值。

U₁，U₃，U₅，U₇-对应点V₁，V₂，V₃，V₄的U方向参数值。

U₄，U₈-对应点M₁，M₂的U方向参数值。

P_i-曲面上某一点。

r_ij-P_i点处沿着离散方向的r_ij曲率。

GgU-离散弓高。

L-P_i点离散步长的一半。

L₁，L₂，L₃，L₄，L₅，L₆，L₇，L₈-分别对应曲面上经过点V₁，B₁，V₂，M₁，V₃，B₂，V₄，M₂的曲率线。

l₁，l₃，l₅，l₇-分别对应曲面上经过曲线L₁，L₃，L₅，L₇以特定规则移动后得到的经过点P₁，P₂，P₃，P₄的曲线。

具体实施方式

本发明提出一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法。叶片截型线一般由叶盆部分、叶背部分和两端小的过渡圆弧组成。其中叶片曲面造型圆弧过渡的中心位置是小过渡圆弧的中点。如图1所示。本发明的流程如图7所示。

具体实施方式如下：

不妨设叶片的造型参数方向为V方向，叶片曲面的参数方程为S(u，v)，其中0≤u，v≤1。

步骤一选定一个有代表性的截面线r，确定其上进排气边圆弧段的中心点B₁，B₂位置。具体过程如下：

选定叶片的某一条等参数线S(u，v₀)作为叶片的一条截型线(如图2中标示有点的截型线所示)，计算该截型线的曲率分布

$k\left(u\right)=\frac{L(u,v_0)}{E(u,v_0)},$

其中L(u，v₀)＝S_uu(u，v₀)·n(u，v₀)，E(u，v₀)＝S_u(u，v₀)·S_u(u，v₀)，n(u，v₀)为曲面在点(u，v₀)处的单位法矢。如图4所示，函数k(u)随着u的从小到大的会由两个突变，不妨设给定阈值系数F，定义当k(u)≥F×k₀时，u处于突变位置之内。分别记录第一个突变的起始位置U_1s和终止位置U_1e，第二个突变的起始位置U_2s和终止位置U_2e。定义运算

$\mathrm{std}\left(a\right)=\left\{\begin{array}{c}a+1,a<0;\\ a-1,a>1;\\ a,0\&le;a\&le;1.\end{array}\right.$

$\mathrm{Add}(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a+b,a\&le;b;\\ a+b+1,a>b.\end{array}.\right.$

令

$U_2=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_{1s},U_{1e})}{2}\right),$

$U_6=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_{2s},U_{2e})}{2}\right).$

则U₂和U₆即为圆弧过渡的中心位置。

说明：为了便于说明，本专利申请中如果不加说明，都有v₀＝0；std(a)运算保证了结果落在参数的定义域内；Add(a，b)则是考虑到突变区域跨越参数域边界的情况；k₀实际上表示截型线的平均曲率；圆弧过渡的中心位置一般对应着截型线的最弯处；U₂和U₆的确定的也可以通过选取叶片多条截型线，分别通过上述步骤计算，再取平均值得到；U₂和U₆确定了图3中的点B₁，B₂。

步骤二从B₁，B₂点出发向叶片两端求出经过点B₁，B₂的两条纵向曲率线L₂，L₆。

具体过程如下：

令u_2，1＝U₂，u_6，1＝U₆，v₁＝0.

如果己知曲率线上第i个点，首先确定第二条曲率线下一点的参数值。计算叶片曲面在点(u_2，i，v_i)处与V方向相近的主方向D_2，i，则下一点P_2，i+1＝S(u_2，i，v_i)+step×D_2，i，其中step为给定的步长，其大小影响V方向的离散精度。再计算点P_2，i+1在曲面上对应的参数值(u_2，i+1，v_i+1)。当v_i+1≥1时，上述步骤终止。

对于j＝6，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝2，6，记U_i对应的曲率线为L_i。

说明：曲率线是通过一系列给定步长的离散点表示；也可以选取其他曲率线确定v_i+1取值；计算过程保证了两条曲率线在第i个点的V参数值是一致的；主方向D_2，i为三维空间中的向量，而d_j，i则为曲面上一方向的比值表示。

步骤三在代表截面线r上，从B₁，B₂两点出发，分别在该点两侧进排气边圆弧范围内找到4个指定点V₁，V₂，V₃，V₄。

给定距离值dis₁，dis₂，计算U₁，U₃，U₅，U₇，使得

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_1}^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_1}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_2}^{U_5}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_{U_2}^0\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_5}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_5}^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_5}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_6}^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_6}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}+{\&Integral;}_0^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du},{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|\mathrm{du}<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

则U₁，U₃，U₅，U₇即为所需求的圆弧上V₁，V₂，V₃，V₄的位置。

说明：在求解积分时出现U₁，U₃，U₄，U₆与步骤一中的U_1s，U_1e，U_2s，U_2e意义不一样。实际叶片曲面在圆弧过渡边缘处的曲率走势一般会比较紊乱，所以需要通过参数dis₁，dis₂来调整U₁，U₃，U₄，U₆的取值，使得经过点(U₁，v₀)，(U₃，v₀)，(U₄，v₀)，(U6_，v₀)处的四条与叶片造型方向一致的曲率线稳定可信。

步骤四从V₁，V₂，V₃，V₄出发向叶片两端求出分别经过V₁，V₂，V₃，V₄的四条纵向曲率线L₁，L₃，L₅，L₇。

u_1，1＝U₁，u_3，1＝U₃，u_5，1＝U₅，u_7，1＝U₇。

己知曲率线上第i个点，对于j＝1，3，5，7，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝1，3，5，7，记U_i对应的曲率线为L_i.

步骤五把L₁，L₂，L₃作为等参数线，对L₁，L₃中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₁，l₃；把L₅，L₆，L₇作为等参数线，对L₅，L₇中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₅，l₇。

设叶片进排气边的平均过渡圆弧弧长为ArcL，

定义

$m(a.b)=\left\{\begin{array}{c}a-b-1,a>b;\\ a-b,a\&le;b.\end{array}\right.;$

$M(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b+1,c<b;\\ a-b,a\&GreaterEqual;b.\end{array}\right..$

令

$u_{1,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;m(u_{1,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{3,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;M(u_{3,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{5,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;m(u_{5,i},u_{6,i})}{{2\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

$u_{7,i}=\mathrm{std}(\frac{\mathrm{ArcL}\&times;M(u_{7,i},u_{6,i})}{{2\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

从而把L₁，L₃，L₅，L₇往远离进排气边方向(如图6中的箭头所示)平移至新的参数域边界。记平移后得到的曲线分别为l₁，l₃，l₅，l₇。

说明：由于造型的误差，实际叶片曲面在进排气边过渡圆弧起末端区域的曲率线走势会比较紊乱，一般不能够直接求解通过该区域的曲率线，步骤四是把该区域外侧的曲率线通过距离比例来移动，从而得到经过该区域的近似曲率线；l₁，l₃，l₅，l₇通过图3中的点P₁，P₂，P₃，P₄。

步骤六分别确定截面线r上叶盆叶背圆弧的中心点M₁，M₂。

令 $U_4=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_6,U_5)}{2}\right),U_8=\mathrm{std}\left(\frac{\mathrm{Add}(U_7,U_1)}{2}\right).$

则U₄，U₈记录了点M₁，M₂的位置。

步骤七确定经过M₁，M₂的两条纵向曲率线或等参数线L₄，L₈。

L₄，L₈如果为曲率线，则求解过程如下：

己知曲率线上第i个点，对于j＝4，8，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向d_j，i，则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j，i+1，v_i+1)。

对于i＝4，8，记U_i对应的曲率线为L_i.

如果L₄，L₈为等参数线，则对于j＝4，8，u_j，i+1＝U_j。

步骤八以L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇为新参数域下的等参数线，对曲面进行重新参数化。

设重新参数化的后的曲面表达式为S′(u′，v′)。

将八条线看做是新的等U′参数线，首先确定第j条线在新参数化下对应的U′坐标u′_j。令u′₁＝0，则

u′_j＝u′_j-1+M(U_j，U_j-1)，j＝2，…，8.

记u′₉＝1。

给定一个U′V′坐标(u′，v_i)，其对应的UV坐标为

$(\mathrm{std}(\frac{(u^{\&prime;}-{u^{\&prime;}}_j)M(u_{j+1,i},u_{j,i})}{{u^{\&prime;}}_{j+1}-{u^{\&prime;}}_j}+u_{j,i}),v_i),$

其中j满足u′_j≤u′≤u′_j+1.

说明：八条线L₂，L₄，L₆，L₈和l₁，l₃，l₅，l₇实际上是逼近图2中叶片曲面上与V方向一致的八根线，这八根曲率线根据曲面的弯曲特征把叶片曲面分割了八块相对平稳的区域，从而可以保证每块区域中的参数线都不会出现过大的扭曲。

步骤九根据新参数对曲面进行非均匀离散。

V′方向的离散已经由步骤二确定，故只需讨论U′方向的离散。给定U′方向的离散弓高为GgU，最大离散间隔为Offset，记V′方向的离散点数为vnum。如果当前U′参数位置为U′_i，对于1≤j≤vnum，计算点(U′_i，v_j)在UV坐标下的参数，从而确定该点处的沿U′方向的曲率uQL_i，j，令 $r_{i,j}=\frac{1}{\left|\mathrm{uQ}{L}_{i,j}\right|},$

${\mathrm{OS}}_{i,j}=\frac{2\&times;\sqrt{r_{i,j}^2-{(r_{i,j}-\mathrm{GgU})}^2+\mathrm{Gg}{U}^2}\&CenterDot;}{{\mathrm{uLen}}_j}$

其中uLen_j表示曲面上的曲线V＝v_j的弧长。

令offset_i＝min{min_jOS_i，j，Offset}，则下一个离散位置为U′_i+1＝U′_i+offset_i。

说明：最大离散间隔Offset限制了离散的最大步长，以防止在离散叶背叶盆等较平区域时出现步长过大的情况；离散弓高的意义如图5所示；U方向的离散密度受到曲面局部曲率的影响，故为非均匀离散；V方向的离散由三维空间中的步长确定，可以近似认为为均匀离散。

本发明的实现途径为编写程序，通过CAM***的二次开发接口获取工件曲面的信息，通过上述过程对曲面进行曲率特征划分离散，离散后的曲面可以进一步通过二次开发程序进行处理。

Claims (1)

1.一种基于曲率特征的叶片曲面统一离散方法，其特征在于：它包括以下步骤：

步骤一选定一个有代表性的截面线r，确定其上进排气边圆弧段的中心点B₁,B₂位置；具体过程如下：

选定叶片的某一条等参数线S(u,v₀)作为叶片的一条截面线，计算该截面线的曲率分布

$k\left(u\right)=\frac{L(u,v_0)}{E(u,v_0)}$

其中L(u，v₀)＝S(u，v₀)·n(u，v₀)，E(u，v₀)＝S(u，v₀)·S(u，v₀)，n(u,v₀)为曲面在点(u,v₀)处的单位法矢，函数k(u)随着u的从小到大的会有两个突变，设给定阈值系数F,定义当k(u)≥F×k₀时，u处于突变位置之内；分别记录第一个突变的起始位置U_1s和终止位置U_1e，第二个突变的起始位置U_2s和终止位置U_2e；定义运算

$std\left(a\right)=\left\{\begin{array}{c}a+1,a<0;\\ a-1,a>1;\\ a,0\&le;a\&le;1.\end{array}\right.$

$Add(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a+b,a\&le;b;\\ a+b+1,a>b.\end{array}\right..$

令

$U_2=std\left(\frac{Add(U_{1s},U_{1e})}{2}\right),$

$U_6=std\left(\frac{Add(U_{2s},U_{2e})}{2}\right).$

则U₂和U₆即为圆弧过渡的中心位置；

如果不加说明，都有v₀＝0；std(a)运算保证了结果落在参数的定义域内；Add(a,b)则是考虑到突变区域跨越参数域边界的情况；k₀实际上表示截面线的平均曲率；圆弧过渡的中心位置对应着截面线的最弯处；U₂和U₆的确定通过选取叶片多条截面线，分别通过上述步骤计算，再取平均值得到；U₂和U₆确定了点B₁,B₂；

步骤二从B₁,B₂点出发向叶片两端求出经过点B₁,B₂的两条纵向曲率线L₂,L₆；具体过程如下：

令u_2,1＝U₂，u_6,1＝U₆,v₁＝0

如果已知曲率线上第i个点，首先确定第二条曲率线下一点的参数值；计算叶片曲面在点(u_2,i,v_i)处与V方向相近的主方向三维空间中的向量D_2,i,则下一点P_2,i+1＝S(u_2,i,v_i)+step×D_2,i，其中step为给定的步长，其大小影响V方向的离散精度；再计算点P_2,i+1在曲面上对应的参数值(u_2,i+1,v_i+1)，当v_i+1≥1时，上述步骤终止；

对于j＝6，确定叶片曲面在点(u_j，i，v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；

对于i＝2,6，记U_i对应的曲率线为L_i；

步骤三在代表截面线r上，从B₁,B₂两点出发，分别在B₁和B₂点两侧进排气边圆弧范围内找到4个指定点V₁,V₂,V₃,V₄；

给定距离值dis₁,dis₂，计算U₁,U₃,U₅,U₇，使得

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_1}^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_1}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du+{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_2}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_2}^{U_3}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_1;\\ {\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du+{\&Integral;}_0^{U_3}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_{U_2}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_1\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_5}^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_5}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du+{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

${\mathrm{dis}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\&Integral;}_{U_6}^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du\&GreaterEqual;{\mathrm{dis}}_2;\\ {\&Integral;}_{U_6}^1\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du+{\&Integral;}_0^{U_7}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du,{\&Integral;}_0^{U_6}\left|S^{\&prime;}(u,v_0)\right|du<{\mathrm{dis}}_2\end{array}\right.$

则U₁,U₃,U₅,U₇即为所需求的圆弧上V₁,V₂,V₃,V₄的位置；

在求解积分时出现U₁,U₃,U₄,U₆与步骤一中的U_1s,U_1e,U_2s,U_2e意义不一样，实际叶片曲面在圆弧过渡边缘处的曲率走势会比较紊乱，所以需要通过参数dis₁,dis₂来调整U₁,U₃,U₄,U₆的取值，使得经过点(U₁,v₀),(U₃,v₀),(U₄,v₀),(U₆,v₀)处的四条与叶片造型方向一致的曲率线稳定可信；

步骤四从V₁,V₂,V₃,V₄出发向叶片两端求出分别经过V₁,V₂,V₃,V₄的四条纵向曲率线L₁,L₃,L₅,L₇；

u_1,1＝U₁,u_3,1＝U₃,u_5,1＝U₅,u_7,1＝U₇；

已知曲率线上第i个点，对于j＝1,3,5,7，确定叶片曲面在点(u_j,i,v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；对于i＝1,3,5,7，记U_i对应的曲率线为L_i；

步骤五把L₁,L₂,L₃作为等参数线，对L₁,L₃中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₁,l₃；把L₅,L₆,L₇作为等参数线，对L₅,L₇中间的区域进行重新参数化，确定重新参数化后的参数域边界线l₅,l₇；

设叶片进排气边的平均过渡圆弧弧长为ArcL，

定义

$m(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b-1,a>b;\\ a-b,a\&le;b.\end{array}\right.;$

$M(a,b)=\left\{\begin{array}{c}a-b+1,a<b;\\ a-b,a\&GreaterEqual;b.\end{array}\right..$

令

$u_{1,i}=std(\frac{ArcL\&times;m(u_{1,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{3,i}=std(\frac{ArcL\&times;M(u_{3,i},u_{2,i})}{2{\mathrm{dis}}_1}+u_{2,i});$

$u_{5,i}=std(\frac{ArcL\&times;m(u_{5,i},u_{6,i})}{2{\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

$u_{7,i}=std(\frac{ArcL\&times;M(u_{7,i},u_{6,i})}{2{\mathrm{dis}}_2}+u_{6,i});$

从而把L₁,L₃,L₅,L₇往远离进排气边方向平移至新的参数域；记平移后得到的曲线分别为l₁,l₃,l₅,l₇；由于造型的误差，实际叶片曲面在进排气边过渡圆弧起末端区域的曲率线走势会比较紊乱，不能够直接求解通过该区域的曲率线，步骤四是把该区域外侧的曲率线通过距离比例来移动，从而得到经过该区域的近似曲率线；

步骤六分别确定截面线r上叶盆叶背圆弧的中心点M₁,M₂；

令则U₄,U₈记录了点M₁,M₂的位置；

步骤七确定经过M₁,M₂的两条纵向曲率线或等参数线L₄,L₈；

L₄,L₈如果为曲率线，则求解过程如下：已知曲率线上第i个点，对于j＝4,8，确定叶片曲面在点(u_j,i,v_i)处与V方向相近的主方向曲面上一方向的比值d_j,i,则

$u_{j,i+1}=u_{j,i}+(v_{i+1}-v_i)\&times;\frac{\left|S_u(u_{j,i},v_i)\right|}{\left|S_v(u_{j,i},v_i)\right|}\&times;d_{j,i},$

从而第j条曲率线第i+1个点的参数值为(u_j,i+1,v_i+1)；对于i＝4,8，记U_i对应的曲率线为L_i，如果L₄,L₈为等参数线,则对于j＝4,8,u_j,i+1＝U_j；

步骤八以L₂,L₄,L₆,L₈和l₁,l₃,l₅,l₇为新参数域下的等参数线，对曲面进行重新参数化；

设重新参数化的后的曲面表达式为S′(u′,v′)，将八条线看做是新的等U’参数线，首先确定第j条线在新参数化下对应的U’坐标u′_j，令u′₁＝0,则

u′_j＝u′_j-1+M(U_j,U_j-1),j＝2,…,8.

记u′₉＝1；

给定一个U′V′坐标(u′,v_i)，其对应的UV坐标为

$\left(std\right(\frac{(u^{\&prime;}-{u^{\&prime;}}_j)M(u_{j+1,i},u_{j,i})}{{u^{\&prime;}}_{j+1}-{u^{\&prime;}}_j}+u_{j,i}),v_i),$

其中j满足u′_j≤u′≤u′_j+1，八条线L₂,L₄,L₆,L₈和l₁,l₃,l₅,l₇实际上是逼近叶片曲面上与V方向一致的八根线，这八根曲率线根据曲面的弯曲特征把叶片曲面分割了八块相对平稳的区域，从而保证每块区域中的参数线都不会出现过大的扭曲；

步骤九根据新参数对曲面进行非均匀离散；

V’方向的离散已经由步骤二确定，故只需讨论U’方向的离散；给定U’方向的离散弓高为GgU，最大离散间隔为Offset，记V’方向的离散点数为vnum；如果当前U’参数位置为U′_i，对于1≤j≤vnum,计算点(U′_i,v_j)在UV坐标下的参数，从而确定(U′_i,v_j)处的沿U’方向的曲率uQL_i,j,令

${\mathrm{OS}}_{i,j}=\frac{2\&times;\sqrt{r_{i,j}^2-{(r_{i,j}-GgU)}^2+{\mathrm{GgU}}^2}.}{{\mathrm{uLen}}_j}$

其中uLen_j表示曲面上的曲线V＝v_j的弧长；

令offset_i＝min{min_jOS_i,j,Offset}，则下一个离散位置为U′_i+1＝U′_i+offset_i。