CN103528543A - 一种光栅投影三维测量中的***标定方法 - Google Patents

Abstract

一种基于光栅条纹投影的三维测量中的***标定方法，标定对象为由一台投影仪和一台摄像机组成的***，其实现步骤为：(1)调整投影仪和摄像机的相对位置，使投影仪和摄像机的镜头纵轴平行。(2)采用正弦光栅相移算法和格雷码相结合，计算参考面的绝对相位。(3)将至少两个高度已知但不相同的标准块置于参考面，并计算绝对相位分布。(4)三维测量***的标定：建立投影和成像模型，推导待测物体上的物点高度-相位关系式；利用已知高度的标准块及其绝对相位分布，通过最小二乘法拟合高度-相位关系式中的系数。(5)计算待测物体的绝对相位值，并由标定后的公式可以得到其高度分布，实现对物体的高度测量。本发明可操作性强，测量精度高。

Description

一种光栅投影三维测量中的***标定方法

技术领域

本发明利用灰度正弦光栅相移算法求取主值相位，再采用格雷码法求取条纹阶次，分别得到参考面和物体的绝对相位分布。然后由投影仪和摄像机的位置约束条件，得到物点的高度-相位关系式，再利用已知高度的标定块进行***标定，拟合出高度-相位关系式的各项系数。最后将待测物体各点的像素坐标和绝对相位值代入关系式中，即可测量物体的三维轮廓，重构物体的三维形状。属于三维信息重构的领域。

背景技术

光学三维测量技术通过对物体图像的分析，得到被测物体表面形状的三维信息，可用于三维模型重建、工业环境中的尺寸和形位参数的检测等，因此在虚拟现实、实物仿形、工业制造与检测、质量控制、医学整形和美容、文物保护等诸多领域都有着广阔的应用前景。

光栅投影法是一种重要的三维测量技术，通过向物体表面投射光栅条纹，获得被物体高度调制而发生变形的光栅，变形光栅的绝对相位公布即包含了物体的高度信息。利用特定算法对变形条纹图像进行处理，提取其中的相位，再通过对测量***的标定，从而获取物体的三维信息。

测量***的标定是三维测量技术中至关重要的一步，它起着将我们能够直接获取的二维图像信息转化为待测物体的三维空间信息的作用。三维***的标定通常分为两方面：z标定，即高度方向的标定；(x,y)标定，即横向标定。横向标定技术已经非常成熟，而高度方向的标定是近年来研究的热点，如“Y.S.Xiao,Y.P.Cao,Y.C.Wu,“Improved algorithm for phase-to-height mapping in phase measuringprofilometry”,APPLIED OPTICS,51(8),1149-1155,(2011)”，但仍然没有一种非常有效的标定方法。在高度的标定中，必须首先建立测量***的模型，而模型又受到测量***中投影仪和摄像机的位置关系的约束。传统的测量模型要求投影仪和摄像机满足如下条件：摄像机的光轴垂直于参考面，投影仪和摄像机的光轴相交于参考面，投影仪和摄像机的镜头光心连线平行于参考面，投影仪的镜头纵轴平行于摄像机的镜头纵轴等。但光轴和光心分别为假想的空间直线和点，在实际中无法准确定位，上述条件非常难以满足，因此测量***在实际应用时受到较大限制，可操作性不强。同时由于位置校准过程复杂，难免会存在误差，因此传统的三维测量***的精度并不高。

发明内容

技术问题：针对光学三维测量***中投影仪和摄像机的位置关系对测量***的标定的限制，本发明在位置关系的约束条件上进行了研究，使投影仪和摄像机在仅满足其镜头纵轴平行的条件下，仍能够进行高精度的标定。本方法中，仅需投影仪和摄像机满足其镜头纵轴平行的条件，然后建立***的投影和成像模型，进而推导出了物体高度-相位关系式。由于关系式中的系数项与***参数有关，如两光心之间的距离、光心到参考面的距离等，而这些参数并不能够直接测量得到，因此可以通过对已知高度的标准块进行绝对相位的求解，再利用最小二乘法拟合公式中的系数，即可得到完整的高度-相位公式。最后只需求解被测物体的绝对相位分布，代入公式即可得到被测物体的高度信息。本方法只需投影仪和摄像机满足一个位置约束条件，减少了约束条件个数，提高了***的可操作性，有利于三维测量***的实际应用，同时提高了测量的精度。

技术方案：本发明的一种基于光栅条纹投影的三维测量中的***标定方法，具体步骤如下：

步骤1：调整投影仪和摄像机的相对位置：以直立墙面为参考面，将竖直方向的灰度条纹图投影到参考面，并利用摄像机拍摄条纹图，建立以像素点为单位的图像坐标系(u,v)，坐标系的原点位于图像的左下角，横、纵像素轴分别为u轴和v轴，调整摄像机的位置，使拍摄到的光栅条纹在成像面上为竖直方向，即垂直于u轴；

步骤2：采用八步正弦光栅相移算法和格雷码相结合的方法，计算参考面的绝对相位分布，具体步骤如下：

步骤2.1：利用计算机生成八幅数字正弦光栅图，两相邻图间的相移为2π/8，然后投影至参考平面并通过摄像机拍摄此条纹图，设(u,v)为图像上某一点的像素坐标，I'(u,v)为条纹光强的背景值，I''(u,v)为调制强度，θ(u,v)是待求的绝对相位，将八幅正弦光栅图分别表示为：

I_n(u,v)＝I'(u,v)+I''(u,v)cos[θ(u,v)+2πn/8]，

其中n＝0,1,2...7，I_n(u,v)为第n幅图像(u,v)处的灰度值，解得相位主值φ(u,v)为：

$\mathrm{\φ}(u,v)=\arctan \left[\frac{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\sin (2\mathrm{\πn}/8)}{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\cos (2\mathrm{\πn}/8)}\right],$

其值域为[-π,+π)；

步骤2.2：利用格雷编码的光栅图计算光栅阶次k(u,v)：通过逐步二分的方法生成七幅格雷编码的光栅图，再分别投射到参考平面上，然后计算每个点的条纹阶数k(u,v)，则参考面上的绝对相位分布θ(u,v)为：

θ(u,v)＝φ(u,v)+2k(u,v)π，

步骤3：将至少两个高度已知但不相同的标准块放于参考面上，再利用步骤2计算包含标定块时的绝对相位分布θ'(u,v)；

步骤4：求相位差值：对于摄像机图像上任意一点(u,v)，其相位差值为：

Δφ(u,v)＝θ'(u,v)-θ(u,v)，

步骤5：建立测量***的投影和成像模型，求高度-相位之间的映射关系，具体步骤如下：

步骤5.1：设投影仪的光轴与参考面的交点为原点O，沿光栅条纹方向为Y轴，沿参考面的法向量方向为Z轴，沿垂直于YZ平面的方向为X轴建立右手世界坐标系O-XYZ，设投影仪的光心P在参考面上的投影为P'，摄像机的光心C在X轴的投影为C"，物体上一点D的世界坐标为(x,y,h)，在X轴上投影为点B，PD连线交X轴于点A，CD连线交参考面于点E，E'为点E在X轴的投影，点P和C到参考面的距离分别为L₁、L₂，设投影仪光轴与Z轴之间的夹角为θ₁，过原点O点且与投影光轴垂直的平面上光栅条纹周期为p₀，由***模型中的相似三角形关系：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{AP}}^{\′}}}{L_1}\\ \frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}B}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}{C}^{\′\′}}}{L_2}\end{array}\right.,$

和参考面上光栅条纹周期p：

$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_0}\cos {\mathrm{\θ}}_1(1-\frac{2x\sin {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1}{L_1}),$

得到世界坐标系下的高度-相位公式，写成如下形式：

$h(x,y)=\frac{a_1\mathrm{\Δ\φ}(x,y)}{a_2+a_{3}x+a_4{x}^2+a_5\mathrm{\Δ\φ}(x,y)},$

其中Δφ(x,y)＝θ'(x,y)-θ(x,y)，θ'(x,y)为存在标定块时点D处的绝对相位值，θ(x,y)为仅有参考平面时点E处的绝对相位值，a₁～a₅为p₀、θ₁、L₁、L₂等***参数的组合，是定常系数；

步骤5.2：建立摄像机的成像模型，设K为摄像机的内参数矩阵，R和T分别为图像坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移矩阵，参考面上某点的世界坐标与其成像点的图像坐标之间的转换关系为：

$\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[K\right]\left[\begin{array}{cc}R& T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\\ 1\end{array}\right],$

其中λ为比例因子，求出x与u的关系式：

$x=\frac{a+\mathrm{bu}}{c+\mathrm{du}},$

其中a，b，c，d为与摄像机参数有关的系数，作为待定常系数，将x与u的关系式代入步骤5.1中的高度-相位公式，得到物点的高度与相位、像素坐标之间的关系式：

$h(u,v)=\frac{b_1\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_2\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_3\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_6\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_{7}u+b_8\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2+b_9{u}^2},$

其中b₁～b₉是a，b，c，d与a₁～a₅的组合，只与测量***本身的参数有关，当测量***固定后，其值为常数，可通过步骤5.3求得；

步骤5.3：采用最小二乘法求待测系数b₁～b₉：对标准块上的点进行随机采样，得到第i个采样点处的高度

相位差Δφ_i和像素横坐标u_i，设采样点的总个数为m，m≥9，总采样点的最小二乘偏差为：

$S=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[\frac{b_1\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_3\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_6\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_7{u}_i+b_8\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2+b_9{u_i}^2}-h_i^g]}^2,$

再分别求S对b_j,j＝1,2...9的偏导数，令偏导数为零，即可求得b₁～b₉：

$\frac{\∂S}{\∂b_i}=0,i=\mathrm{1,2},...,9.$

步骤6：利用步骤3和步骤4求待测物体的绝对相位差Δφ，再利用步骤5.3得到的常系数b₁～b₉和步骤5.2中的高度-相位公式，得到待测物体上任意一点的高度值，最终实现物体高度分布的测量。

有益效果：近年来，大量学者对测量***的位置关系约束条件进行了研究，提出了多种自由度越来越高的***标定模型，但都要或多或少满足一些限制条件。本发明与这些方法相比，只需满足一个约束条件，所受限制更少，提高了测量***的自由度。

其次，由于对三维测量***的位置约束条件越多，而这些约束条件又非常不容易满足，即使投影仪和摄像机的实际摆放位置与理想位置存在很小的误差，也会使最后的标定精度受到影响，进而影响到三维测量***的精度。本发明的约束条件只有一个，因此与现有方法相比，可以得到更高的测量精度。

综上所述，本发明只需投影仪和摄像机满足一个位置约束条件，提高了光栅投影三维测量***的可操作性，增加了其在现在中的应用性，同时也提高了测量***的精度，有利于实现高精度测量。

附图说明

图1是本发明整个过程的流程图。

图2是本发明所使用的格雷编码图。

图3是摄像机采集到的参考面上一幅代表性的正弦光栅图和格雷码图。

图4是所求参考面的绝对相位图。

图5是标定块上一幅代表性的变形光栅图和格雷码图。

图6是所求标定块上的绝对相位图。

图7是三维测量***的模型图。

图8是摄像机成像的模型图。

图9是标定块的三维重构图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。本发明是在投影仪和摄像机满足一定的位置关系约束条件下，建立***的标定模型，再通过利用标准块及其绝对相位分布，进一步得出标定参数。实例中使用包含四个已知高度方块的梯形物作为标定块，如图4中所示的梯形物体。

图1是本发明的整个过程的流程图。

标定是光栅投影三维测量中至关重要的一步，现有的标定方法均对投影仪和摄像机的位置关系有着严格的要求，而这些位置约束条件却很难实现，这制约了三维测量***的精度的提高，也限制了其在实际当中的应用。针对这些位置约束条件，本发明提出了一种只需满足一个约束条件的测量模型：投影仪和摄像机的镜头纵轴平行，即如图6中的Y_C轴与Y轴平行。依据此模型，可以得到物体上任意一点的高度与其相位之间的关系。由于模型中的各项参数如两光心之间的距离、光心到参考面的距离等都无法实际测量，可以采用经过精确测定高度的标准块及其相位分布，来拟合高度-相位公式中的各项系数，即可实现三维测量***的标定。

本发明的具体实施步骤如下：

步骤1：调整投影仪和摄像机的相对位置：以直立墙面为参考面，将竖直方向的灰度条纹图投影到参考面，并利用摄像机拍摄条纹图，建立以像素点为单位的图像坐标系(u,v)，坐标系的原点位于图像的左下角，横、纵像素轴分别为u轴和v轴，调整摄像机的位置，使拍摄到的光栅条纹在成像面上为竖直方向，即垂直于u轴；

如图6所示，即调整摄像机，使得摄像机成像平面的Y_C轴与投影的光栅条纹方向Y轴平行，也即在成像平面上，光栅条纹为竖直方向。

步骤2：采用八步正弦光栅相移算法和格雷码相结合的方法，计算参考面的绝对相位分布：首先利用计算机生成八幅数字正弦光栅图和七幅根据格雷编码的要求而设计的条纹图，然后将其通过投影仪投至参考平面，再通过摄像机拍摄此条纹图。本发明所使用的格雷编码条纹图如图2所示。求解绝对相位的步骤如下：

步骤2.1：利用八步相移光栅图计算相位主值，八步相移光栅两相邻图间的相移为2π/8，设(u,v)为图像上某一点的像素坐标，I'(u,v)为条纹光强的背景值，I''(u,v)为调制强度，θ(u,v)是待求的绝对相位，将八幅正弦光栅图分别表示为：

I_n(u,v)＝I'(u,v)+I''(u,v)cos[θ(u,v)+2πn/8]，

其中n＝0,1,2...7，I_n(u,v)为第n幅图像(u,v)处的灰度值，解得相位主值φ(u,v)为：

$\mathrm{\φ}(u,v)=\arctan \left[\frac{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\sin (2\mathrm{\πn}/8)}{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\cos (2\mathrm{\πn}/8)}\right],$

其值域为[-π,+π)；

步骤2.2：利用格雷编码的光栅图计算光栅阶次k(u,v)：通过逐步二分的方法生成七幅格雷编码的光栅图，再分别投射到参考平面上，然后计算每个点的条纹阶数k(u,v)，如图2所示的格雷码图从左至右表示为十进制的光栅阶次依次为0，1，2....63。则参考面上的绝对相位分布θ(u,v)为：

θ(u,v)＝φ(u,v)+2k(u,v)π，

步骤3：将至少两个高度已知但不相同的标准块放于参考面上，再利用步骤2计算包含标定块时的绝对相位分布θ'(u,v)；

步骤4：求相位差值：对于摄像机图像上任意一点(u,v)，其相位差值为：Δφ(u,v)＝θ'(u,v)-θ(u,v)，

步骤5：建立测量***的投影和成像模型，求高度-相位之间的映射关系，具体步骤如下：

步骤5.1：测量***的模型如图7所示，设投影仪的光轴与参考面的交点为原点O，沿光栅条纹方向为Y轴，沿参考面的法向量方向为Z轴，沿垂直于YZ平面的方向为X轴建立右手世界坐标系O-XYZ，设投影仪的光心P在参考面上的投影为P'，摄像机的光心C在X轴的投影为C"，物体上一点D的世界坐标为(x,y,h)，在X轴上投影为点B，PD连线交X轴于点A，CD连线交参考面于点E，E'为点E在X轴的投影，点P和C到参考面的距离分别为L₁、L₂，设投影仪光轴与Z轴之间的夹角为θ₁，过原点O点且与投影光轴垂直的平面上光栅条纹周期为p₀，由***模型中的相似三角形关系：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{AP}}^{\′}}}{L_1}\\ \frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}B}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}{C}^{\′\′}}}{L_2}\end{array}\right.,$

和参考面上光栅条纹周期p：

$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_0}\cos {\mathrm{\θ}}_1(1-\frac{2x\sin {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1}{L_1}),$

得到世界坐标系下的高度-相位公式：

$h(x,y)=\frac{a_1\mathrm{\Δ\φ}(x,y)}{a_2+a_{3}x+a_4{x}^2+a_5\mathrm{\Δ\φ}(x,y)},$

其中Δφ(x,y)＝θ'(x,y)-θ(x,y)，θ'(x,y)为存在标定块时点D处的绝对相位值，θ(x,y)为仅有参考平面时点E处的绝对相位值，a₁～a₅为与***参数有关的系数项；

步骤5.2：如图8所示建立摄像机的成像模型，设K为摄像机的内参数矩阵，R和T分别为图像坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移矩阵，参考面上某点的世界坐标与其成像点的图像坐标之间的转换关系为：

$\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[K\right]\left[\begin{array}{cc}R& T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\\ 1\end{array}\right],$

其中λ为比例因子，求出x与u的关系式：

$x=\frac{a+\mathrm{bu}}{c+\mathrm{du}},$

其中a，b，c，d为与摄像机参数有关的系数，作为待定常系数，将x与u的关系式代入步骤5.1中的高度-相位公式，得到物点的高度与相位、像素坐标之间的关系式：

$h(u,v)=\frac{b_1\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_2\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_3\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_6\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_{7}u+b_8\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2+b_9{u}^2},$

其中b₁～b₉是a，b，c，d与a₁～a₅的组合，只与测量***本身的参数有关，当测量***固定后，其值为常数，可通过步骤5.3求得；

步骤5.3：采用最小二乘法求待测系数b₁～b₉：对标准块上的点进行采样，设采样点的总个数为m，总采样点的最小二乘偏差为：

$S=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[\frac{b_1\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_3\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_6\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_7{u}_i+b_8\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2+b_9{u_i}^2}-h_i^g]}^2,$

其中i表示一个采样点，

表示第i个采样点处的高度，Δφ_i为第i个采样点处的相位差值，u_i为其在图像坐标系下u轴的像素值，再分别求S对b_j,j＝1,2...9的偏导数，令偏导数为零，即可求得b₁～b₉：

$\frac{\∂S}{\∂b_i}=0,i=\mathrm{1,2},...,9.$

步骤6：利用步骤3和步骤4求待测物体的绝对相位差Δφ，再利用步骤5.3得到的常系数b₁～b₉和步骤5.2中的高度-相位公式，得到待测物体上任意一点的高度值，最终实现测量物体的高度分布。

实例中所用的梯形标定块的真实高度由高到低依次为（mm）：84.33，59.82，29.81，9.74。通过本发明所使用的标定方法，对梯形块进行三维重建，重建效果如图9所示，得到梯形块的高度分别为84.0293、59.9286、29.7322、9.6815，单位mm。与真实值相比，最大相对误差为0.60%，可见本发明具有较高的测量精度，而且操作简便，只需要投影仪和摄像机的位置关系满足一个条件即可。

Claims (1)

1.一种光栅投影三维测量中的***标定方法，其特征在于该标定方法的具体步骤如下：

步骤1：调整投影仪和摄像机的相对位置：以直立墙面为参考面，将竖直方向的灰度条纹图投影到参考面，并利用摄像机拍摄条纹图，建立以像素点为单位的图像坐标系(u,v)，坐标系的原点位于图像的左下角，横、纵像素轴分别为u轴和v轴，调整摄像机的位置，使拍摄到的光栅条纹在成像面上为竖直方向，即垂直于u轴；

步骤2：采用八步正弦光栅相移算法和格雷码相结合的方法，计算参考面的绝对相位分布，具体步骤如下：

步骤2.1：利用计算机生成八幅数字正弦光栅图，两相邻图间的相移为2π/8，然后投影至参考平面并通过摄像机拍摄此条纹图，设(u,v)为图像上某一点的像素坐标，I'(u,v)为条纹光强的背景值，I''(u,v)为调制强度，θ(u,v)是待求的绝对相位，将八幅正弦光栅图分别表示为：

I_n(u,v)＝I'(u,v)+I''(u,v)cos[θ(u,v)+2πn/8]，

其中n＝0,1,2...7，I_n(u,v)为第n幅图像(u,v)处的灰度值，解得相位主值

φ(u,v)为：

$\mathrm{\φ}(u,v)=\arctan \left[\frac{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\sin (2\mathrm{\πn}/8)}{\underset{n=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{I}_n(u,v)\cos (2\mathrm{\πn}/8)}\right],$

其值域为[-π,+π)；

步骤2.2：利用格雷编码的光栅图计算光栅阶次k(u,v)：通过逐步二分的方法生成七幅格雷编码的光栅图，再分别投射到参考平面上，然后计算每个点的条纹阶数k(u,v)，则参考面上的绝对相位分布θ(u,v)为：

θ(u,v)＝φ(u,v)+2k(u,v)π，

步骤3：将至少两个高度已知但不相同的标准块放于参考面上，再利用步骤2计算包含标定块时的绝对相位分布θ'(u,v)；

步骤4：求相位差值：对于摄像机图像上任意一点(u,v)，其相位差值为：

Δφ(u,v)＝θ'(u,v)-θ(u,v)，

步骤5：建立测量***的投影和成像模型，求高度-相位之间的映射关系，具体步骤如下：

步骤5.1：设投影仪的光轴与参考面的交点为原点O，沿光栅条纹方向为Y轴，沿参考面的法向量方向为Z轴，沿垂直于YZ平面的方向为X轴建立右手世界坐标系O-XYZ，设投影仪的光心P在参考面上的投影为P'，摄像机的光心C在X轴的投影为C"，物体上一点D的世界坐标为(x,y,h)，在X轴上投影为点B，PD连线交X轴于点A，CD连线交参考面于点E，E'为点E在X轴的投影，点P和C到参考面的距离分别为L₁、L₂，设投影仪光轴与Z轴之间的夹角为θ₁，过原点O点且与投影光轴垂直的平面上光栅条纹周期为p₀，由***模型中的相似三角形关系：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\stackrel{\‾}{\mathrm{AB}}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{AP}}^{\′}}}{L_1}\\ \frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}B}}{h}=\frac{\stackrel{\‾}{E^{\′}{C}^{\′\′}}}{L_2}\end{array}\right.,$

和参考面上光栅条纹周期p：

$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_0}\cos {\mathrm{\θ}}_1(1-\frac{2x\sin {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1}{L_1}),$

得到世界坐标系下的高度-相位公式，写成如下形式：

$h(x,y)=\frac{a_1\mathrm{\Δ\φ}(x,y)}{a_2+a_{3}x+a_4{x}^2+a_5\mathrm{\Δ\φ}(x,y)},$

其中Δφ(x,y)＝θ'(x,y)-θ(x,y)，θ'(x,y)为存在标定块时点D处的绝对相位值，θ(x,y)为仅有参考平面时点E处的绝对相位值，a₁～a₅为p₀、θ₁、L₁、L₂等***参数的组合，是定常系数；

步骤5.2：建立摄像机的成像模型，设K为摄像机的内参数矩阵，R和T分别为图像坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移矩阵，参考面上某点的世界坐标与其成像点的图像坐标之间的转换关系为：

$\mathrm{\λ}\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[K\right]\left[\begin{array}{cc}R& T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\\ 1\end{array}\right],$

其中λ为比例因子，求出x与u的关系式：

$x=\frac{a+\mathrm{bu}}{c+\mathrm{du}},$

其中a，b，c，d为与摄像机参数有关的系数，作为待定常系数，将x与u的关系式代入步骤5.1中的高度-相位公式，得到物点的高度与相位、像素坐标之间的关系式：

$h(u,v)=\frac{b_1\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_2\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_3\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ\φ}(u,v)+b_6\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u+b_{7}u+b_8\mathrm{\Δ\φ}(u,v)\·u^2+b_9{u}^2},$

其中b₁～b₉是a，b，c，d与a₁～a₅的组合，只与测量***本身的参数有关，当测量***固定后，其值为常数，可通过步骤5.3求得；

步骤5.3：采用最小二乘法求待测系数b₁～b₉：对标准块上的点进行随机采样，得到第i个采样点处的高度

相位差Δφ_i和像素横坐标u_i，设采样点的总个数为m，m≥9，总采样点的最小二乘偏差为：

$S=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[\frac{b_1\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_2\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_3\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2}{b_4+b_5\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i+b_6\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·u_i+b_7{u}_i+b_8\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_i\·{u_i}^2+b_9{u_i}^2}-h_i^g]}^2,$

再分别求S对b_j,j＝1,2...9的偏导数，令偏导数为零，即可求得b₁～b₉：

$\frac{\∂S}{\∂b_i}=0,i=\mathrm{1,2},...,9.$

步骤6：利用步骤3和步骤4求待测物体的绝对相位差Δφ，再利用步骤5.3得到的常系数b₁～b₉和步骤5.2中的高度-相位公式，得到待测物体上任意一点的高度值，最终实现物体高度分布的测量。

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