CN103487001A - 求解Al/SiO2/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法 - Google Patents

Abstract

求解Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：（1）利用MEMS工艺制作的Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅基底、二氧化硅膜、铝膜的杨氏模量和厚度;（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，硅基底、二氧化硅膜、铝膜的残余应力依次为σ_res,1，σ_res,2，σ_res,3;（3）将上述数据代入Stoney延伸公式

其中

这里ε_res,i表示第i层膜的残余应变，ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3。κ_ben就是Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率。

Description

求解Al/SiO2/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法

技术领域

本发明涉及一种求解三层MEMS结构各层残余应力与其结构变形的方法。

背景技术

在电容式风速传感器中，三层结构的悬臂梁常作为电容的一极构成了一个平行板电容器。风力作用于传感器敏感结构引起电容器的极板面积、极板间距以及绝缘层介电常数的变化，从而引起电容器输出电容的变化，通过测量传感器输出电容的变化值可以实现风速的测量。Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁是其比较常用的结构，其中Si作为基底是悬臂梁的主要力学部分，SiO₂起到绝缘层的效果，铝薄膜则为平行板电容器的上电极。

然而由于各种原因，经过加工制造和后处理过程这类薄膜结构各层中通常表现出较大的残余应力(应变)，应力（应变）的不协调则会导致结构的弯曲变形影响结构的测量性能。因此各层膜内残余应力与该结构变形的关系的表征就显得至关重要。通常我们采用Stoney公式来作为表征方法，但是Stoney公式的适用必须基于许多苛刻的假设，比方说Stoney公式的假设要求基底与薄膜的杨氏模量相近。因此由于各层的杨氏模量相差较大，Al/SiO₂/Si三层结构的变形并不适合用Stoney公式去表征。

发明内容

为了解决现有技术由于各层残余应力分布不均匀而导致的Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的变形问题，本发明提出了一种求解Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法.

一种求解Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：

（1）利用MEMS工艺制作的Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅基底、二氧化硅膜、铝膜的杨氏模量和厚度;

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，设硅基底、二氧化硅膜、铝膜的残余应力依次为σ_res,1，σ_res,2，σ_res,3;

（3）将上述数据代入Stoney延伸公式

其中

$\begin{array}{c}{I}_1=2[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}$

这里ε_res,i表示第i层膜的残余应变，ε_res,i=σ_res,i/E_i,i=1,2,3。

κ_ben就是Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率。

本发明所用的Stoney延伸公式推导过程如下：

假设有n层膜粘连而成的三维结构，受到沿厚度方向任意分布的残余应力，如图1。有约束状态下各层中初始应变的存在，在约束消失后会导致整个结构产生变形。本专利中，多层结构的力学分析基于以下几个假设：(i)每一层结构的厚度相对于其长度足够小；(ii)材料具有均匀性，各向同性，线性弹性；(iii)结构近边界的边缘效应可以忽略不计；(iv)平行于界面的各层材料的包括杨氏模量在内的所有材料特性保持不变；(v)线应变和角应变无限小。并且，残余应变ε_res表示残余应力σ_res在无约束下引起的潜在弹性变形。根据假设(ii)和(iii)，残余应变和残余应力之间的关系可表示为ε_res=σ_res/E，在悬臂梁结构中E是材料杨氏模量；在板结构中E表示双轴模量。第i层膜的残余应变沿厚度方向分布特性可以表示成一个多项式函数：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i}\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left[\frac{z-z_i}{h_i}\right]}^k,z_i\≤z\≤z_{i+1}---\left(1\right)$

其中，h_i和分别表示第i层的厚度以及第i层底面的位置,k表示阶数。从上式的物理意义上讲，第i层膜0阶残余应变ε_res,i,0可能由薄膜-基底热膨胀系数失调产生；而一些局部效应，如沿膜厚度的原子扩散，原子喷丸效应，沿膜厚度的晶粒尺寸变化，间隙或置换缺陷，都会导致残余应变梯度的产生。

下面只对式(1)中k阶的残余应力进行讨论。如果将各层剥离，每层结构都有各自的变形，但由于各层在界面位置要表现出相同的位移，各层在粘连面处都会有内力和内力矩产生。如图2所示，第i层中有作用在顶面与第i+1层之间的内力N_i,k和作用在底面与第i-1层之间的内力N_i-1,k。同样的，第i层中与相邻层之间的内力矩可用M_i,k和M_i-1,k表示。根据定义有N_0,k=N_n,k=0，M_0,k=M_n,k=0。

分别用ε_aix,i,k和κ_ben,i,k表示在第i层由式(1)中k阶的残余应变引起的轴应变和弯曲曲率，则沿厚度方向的变形应变ε_def,i,k(z)可表示为

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{def},i,k}\left(z\right)={\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{axi},i,k}-{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},i,k}(z-z_i-\frac{h_i}{2}),z_i\≤z\≤z_{i+1}---\left(2\right)$

各层的轴变形（拉伸或压缩）ε_axi,i,k由该层的内力和平均残余应变

决定，

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{axi},i,k}=-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}-\frac{N_{i,k}-N_{i-1,k}}{E_i{h}_{i}b}---\left(3\right)$

其中，b表示多层结构的宽度，E_i表示第i层膜的杨氏模量，第i层膜k阶平均残余应变

为

$\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}=\frac{1}{h_i}{\∫}_{z_i}^{z_{i+1}}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left(\frac{z-z_i}{h_i}\right)}^k\mathrm{dz}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}{k+1}---\left(4\right)$

根据梁理论，第i层膜k阶弯曲曲率κ_ben,i,k与弯曲刚度E_iI_i，弯曲力矩M_i,k的关系如下：

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},i,k}=\frac{M_{i,k}}{E_i{I}_i}---\left(5\right)$

其中

是截面转动惯量。除了相邻层之间的内力、内力矩外，影响各层弯曲力矩的还有该层的梯度残余应变，即

$M_{i,k}=\frac{(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i}{2}+(M_i-M_{i-1})+\stackrel{\‾}{M_{i,k}}---\left(6\right)$

其中

表示梯度残余应变中k阶残余应变导致第i层膜产生的弯矩

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{M_{i,k}}={\∫}_{z_i}^{z_{i+1}}{E}_{i}b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}{\left(\frac{z-z_i}{h_i}\right)}^k(z-z_i-\frac{h_i}{2})\mathrm{dz}\\ =\frac{E_{i}b{h}_i^2}{2}\frac{k{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}{(k+1)(k+2)}\end{array}---\left(7\right)$

由于各层粘连在一起，故每一层都具有相同的弯曲曲率，即

κ_ben,i,k=κ_ben,k    (8)

根据式(5)(6)(8)中可以得到

$\begin{array}{c}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}{E}_i{I}_i=\stackrel{\‾}{M_{i,k}}+\frac{(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i}{2}\\ +(M_i-M_{i-1})\end{array}---\left(9\right)$

式(9)可进一步推导出

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{E}_i{I}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\stackrel{\‾}{M_{i,k}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(N_{i-1,k}+N_{i,k})h_i---\left(10\right)$

粘连层的变形应变必须满足连续性，即

ε_def,i,k(z_i+1)=ε_def,i+1,k(z_i+1),1≤i≤n-1    (11)

综合式(2)(3)(11)可得

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}\frac{h_{i+1}+h_i}{2}=\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i+1,k}}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},i,k}}+\frac{N_{i+1,k}-N_{i,k}}{E_{i+1}{h}_{i+1}b}-\frac{N_{i,k}-N_{i-1,k}}{E_i{h}_{i}b}---\left(12\right)$

联立式(10)(12)(n个方程组成的线性方程组)可解得弯曲曲率κ_ben,k和内力N_i,k(1≤i≤n-1)。

将各项κ_ben,k相加就得到该多层结构的总曲率κ_ben，即

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}---\left(13\right)$

在图3三层MEMS悬臂梁结构中，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂。可根据式(10)(12)(13)计算得到三层悬臂梁弯曲曲率：

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},k}=\frac{6}{(k+1)(k+2)h_2}\frac{I_1^{*}}{I_2}---\left(14a\right)$

其中

I₂分别为

$\begin{array}{c}{I}_1^{*}=k({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k})({\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2)\\ +(k+2)[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1,k}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2,k}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3,k}]\end{array}---\left(14b\right)$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}---\left(14c\right)$

假设各层膜内残余应力沿厚度方向均匀分布，即式（1）中只包含0阶项，三层悬臂梁弯曲曲率：

${\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben}}={\mathrm{\κ}}_{\mathrm{ben},0}=\frac{3}{h_2}\frac{I_1}{I_2}---\left(15a\right)$

其中

$\begin{array}{c}{I}_1=2[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3}]\end{array}---\left(15b\right)$

式中ε_res,1,ε_res,2,ε_res,3分别表示膜1,2,3的残余应变。

本发明的优点是:对三层膜结构中各层杨氏模量比与厚度并比无严格要求，同时保证了比较高的准确性，可应用于类似于Al/SiO₂/Si三层结构那样基底与薄膜杨氏模量相差较大的情况。

附图说明

图1为本发明的多层膜结构及残余应力分布简图

图2为本发明的各层膜受力分析

图3为本发明的三层MEMS悬臂梁结构示意图（薄膜-薄膜-基底结构）

图4为本发明的Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构示意图

图5为本发明的Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构变形的ANSYS仿真（Y轴位移）

具体实施方式：

参照附图，进一步说明本发明：

求解Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：

（1）利用MEMS工艺制作的Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅基底、二氧化硅膜、铝膜的杨氏模量和厚度。

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询文献得到的，设硅基底、二氧化硅膜、铝膜的残余应力依次为σ_res,1，σ_res,2，σ_res,3。

（3）将上述数据代入Stoney延伸公式其中

$\begin{array}{c}{I}_1=2[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}$

这里ε_res,i表示第i层膜的残余应变，ε_res,i=σ_res,i/E,i=1,2,3。

κ_ben就是Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率。

附图4表示一个Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构，上层铝薄膜和中间层二氧化硅薄膜厚度较小，为0.2μm，h₂=h₃=0.2μm，而下层硅悬臂梁作为衬底，厚度较大，为10μm，h₁=10μm。硅、二氧化硅、铝的杨氏模量依次为E₁=179GPa，E₂=70GPa，E₃=70GPa。在一定的工艺条件下，可知道各层材料的残余应力。若在某一工艺条件下，各层残余应力分别为σ_res,1=30MPa,σ_res,2=60MPa,σ_res,3=100MPa。将上述数据代入式（15）和（14c），可以计算得该Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率κ_ben=8.97×10^-6(μm)^-1。图5是该Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构在各层残余应力作用下的弯曲变形的仿真结果，悬臂梁长100μm，最大挠度仿真结果为0.0459μm。考虑在x=0处的边界条件ω|_x=0=0和dω/dx|_x=0=0，悬臂梁沿长度方向的位移可表示为ω(x)=κ_benx²/2，x表示沿悬臂梁长度方向的坐标，该悬臂梁弯曲曲率的仿真结果κ_ben,sim=9.18×10^-6(μm)^-1。可见，用上述表征方法计算得到的解析解与仿真结果还是比较吻合的。

因为理论上通过改变制造工艺过程，可以大概地控制Al/SiO₂/Si三层膜结构各层中的残余应力，所以在这种表征方法的指导下，可以通过对制造工艺过程的控制使得该结构的变形达到最小。上述表征方法对电容式风速传感器中的Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的工艺最优化提供了一定的理论支撑。

Claims (1)

1.一种求解Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弹性变形的方法，包括以下步骤：

（1）利用MEMS工艺制作的Al/SiO₂/Si三层悬臂梁结构，其各层杨氏模量和厚度是已知，设杨氏模量比γ₁=E₁/E₂,γ₂=E₃/E₂，厚度比r₁=h₁/h₂，r₂=h₃/h₂，其中E₁，E₂，E₃，h₁，h₂，h₃分别依次表示硅基底、二氧化硅膜、铝膜的杨氏模量和厚度;

（2）在一定的工艺条件下，经过加工制造和后处理过程，不同材料膜所产生的残余应力是可以通过查询相关文献得到的，设硅基底、二氧化硅膜、铝膜的残余应力依次为σ_res,1，σ_res,2，σ_res,3;

（3）将上述数据代入Stoney延伸公式

其中

$\begin{array}{c}{I}_1=2[-{\mathrm{\γ}}_1{r}_1(r_1+{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+1+2{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},1}\\ +({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2-{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},2}+{\mathrm{\γ}}_2{r}_2({\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+2{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+{\mathrm{\γ}}_1{r}_1{r}_2+r_2){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{res},3}]\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2={\mathrm{\γ}}_1^2{r}_1^4+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^3+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^3{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{r}_1+1+4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2+4{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^3\\ +4{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^3+{\mathrm{\γ}}_2^2{r}_2^4+6{\mathrm{\γ}}_1{r}_1^2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2+6{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1^2{r}_2^2\\ +12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2+12{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\γ}}_2{r}_1{r}_2^2+6{\mathrm{\γ}}_2{r}_2^2\end{array}$

这里的ε_res,i表示第i层膜的残余应变，ε_res,i=σ_res,iE_i,i=1,2,3。

κ_ben就是Al/SiO₂/Si三层MEMS悬臂梁结构的弯曲曲率。

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