CN103414583B - 一种低复杂度的网络平均路径优化方法 - Google Patents

Abstract

一种低复杂度的网络平均路径优化方法，提出了一种新颖的优化网络平均路径长度的快速方法，该方法提出了一种用于评估添加某一连边对于网络平均路径长度带来的降低的指标Ζ_ij，并使用该指标进行网络的逐一添边优化网络平均路径长度。对于网络的某一节点对，Ζ_ij=Ω_ijΞ_ijΨ_ij，其中Ω_ij是添加连边前后连接节点对ij的路径长度的比值，Ξ_ij是添加连边前后连接节点对ij的路径长度的差值，Ψ_ij是同时经过节点对ij的交通流需求。方法在每次添加连边时，首先计算网络中所有节点对的Ζ_ij指标值，然后从中找出指标值最大的节点对添加连边。逐一添加连边的网络优化最终在达到终止条件，例如添加新连边长度超过某一设定值时结束。

Description

一种低复杂度的网络平均路径优化方法

技术领域

本发明涉及网络科学，特别是指一种低复杂度的网络平均路径优化方法。

背景技术

网络和人类生活紧密联系，他们是网络传输物质与信息的重要载体。研究表明，大部分网络具有小世界特性，也就是网络中点到点的平均路径长度较小，这使得这些网络往往具有较好的传输功能。对于网络设计优化人员来说，一个重要目标是尽可能降低网络平均路径长度，已使网络拥有良好的传输效率。针对这个问题，近年来相关研究得到了进行并给出了一些方法。

通过添加连边进行网络的平均路径长度优化是其中一类常见并实际的方法。这类方法具体来说就是通过合理向网络中添加一定数目的新连边，使得网络的平均路径长度可以尽可能降低。在这类方法中，最优化的方法是遍历并评估每一种添加连边方案给网络平均路径长度带来的降低，然后从中选出最好的方案。然而，这种方法无可避免的会遇到组合***问题，在某些情况下甚至无法应用于小规模网络。通过模拟退火算法等优化方法，或者通过逐一添加连边的方法可以避免组合***带来的不能解问题，但是他们依然存在算法时间复杂度过大的问题。

分析上述算法，运算过程中最消耗时间的是计算网络的平均路径长度。例如，对于一个拥有n个节点的稀疏网络来说，如果使用最短路径来模拟网络使用者的常用路径，那么通过使用常用的Dijkstra算法计算网络中所有节点对的最短路径然后求平均得到网络的平均路径长度，需要耗时O(n²log(n))。如果选用逐一添加连边的方法来说，每次添加一条连边时，由于网络最多可以有n(n-1)/2条可供选择的连边，遍历每条连边都要计算一次网络的平均路径长度，那么总体需要耗时O(n⁴log(n))的时间。在所有的添加连边优化平均路径长度的方法中，计算平均路径长度的操作无法避免，但是如果能尽量避免这一操作的次数，就可以降低方法的时间复杂度。从这一想法入手解决问题，本发明提供了一种低复杂度的网络平均路径优化方法。

发明内容

为了克服已有的添加连边优化网络平均路径长度方法存在的时间复杂度过大问题，本发明提出了一种低复杂度的网络平均路径优化方法。

该方法考虑网络中的交通流需求分布，并基于一种新定义的针对节点对的指标来选择连边进行逐一添边以优化网络平均路径长度。新定义的指标是对于添加某一连边对于网络平均路径长度的降低的估计。具体来说，如果使用Ζ_ij代表节点对ij的这一指标，那么定义

Ζ_ij＝Ω_ijΞ_ijΨ_ij。

上述公式包含三个子项：

1)Ω_ij＝l_ij/l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的比值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度。l_ij可以使用

$l_{ij}={\mathrm{\Σ}}_{m\∈{\mathrm{PATH}}_{ij}}len\left(m\right)p_{ij}\left(m\right)$

进行数学表示，其中PATH_ij是代表连接节点对ij的常用路径集合，len(m)代表路径m的长度，p_ij(m)代表从节点i出发到达节点j的交通流需求中使用路径m的比例。其中总是成立。

2)Ξ_ij＝l_ij-l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的差值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度。由于添加一条长度为w_ij的连边时，如果w_ij≥l_ij，那么这一新连边不会对网络中的路径产生影响，所以实际添边时，总有l_ij'＝w_ij<l_ij。据此总有：Ω_ij≥1andΞ_ij≥0。

3)是同时经过节点i和j的交通流需求。其中D_od是网络中从节点o出发到达节点d的出行需求分布概率，可通过实际交通流统计得到；PATH_od是代表连接节点对的常用路径集合；σ_ij(m)是一个变量，当路径m同时经过节点i和j时为1，否则为0；p_od(m)代表从节点o出发到达节点d的交通流需求中使用路径m的比例。如果对Ψ_ij进行归一化处理，使得∑_odD_od＝l，那么最终网络的平均路径长度L即可表示为L＝∑_odl_odD_od，l_od为节点o到节点d之间的路径长度。

对于Ζ_ij指标来说，Ξ_ijΨ_ij反映了添加连边ij对于网络平均路径长度降低的下限。考虑到添加连边ij前后连接节点对的路径长度改变越大，新连边就越能吸引其他原先不同时经过节点i和j的路径，Ζ_ij中包含了Ω_ij这以吸引子。可见，可以理解成Ζ_ij为添加连边ij对于网络平均路径长度降低的估计。

根据定义的Ζ_ij指标，本发明解决其技术问题所采用的技术具体步骤是：

步骤一：计算网络中所有节点对间的路径，并据此计算所有节点对的Ζ_ij指标。

步骤二：从网络所有节点对中找出Ζ_ij指标最大的节点对，给该节点对添加一条新连边。

步骤三：判断添加连边后是否到达终止条件，例如添加的连边的总长度达到某一预定值。如果未到达，跳转到步骤一；否则，方法结束。

对于一个拥有n个节点的稀疏网络来说，如果使用最短路径来模拟网络使用者的常用路径，分析网络的时间复杂度可得：每次添加一条连边，通过步骤一计算网络的所有节点对间的路径，并以此计算所有节点对的Ζ_ij指标需要耗时O(n²log(n))，通过步骤二找出Ζ_ij指标最大的节点对需要耗时O(n²)，通过步骤三添加连边耗时O(1)。总体上添加一条连边耗时O(n²log(n))，这相较于传统的逐一添加连边优化方法在添加一条连边的耗时O(n⁴log(n))有很大的降低。

本发明的优点是：复杂程度低，计算耗时少，效率高。

附图说明

图1是本发明的主流程图。

具体实施方式

参照附图：

本发明所述的一种低复杂度的网络平均路径优化方法其特征在于通过使用新定义的一种关于添加某一连边对网络平均路径长度的降低的估计指标Ζ_ij来进行网络逐一添加连边降低网络平均长度，方法的具体步骤如下：

步骤一：计算网络中所有节点对间的路径，并据此计算所有节点对的Ζ_ij指标；

步骤二：从所有节点对中找出Ζ_ij指标最大的节点对，给该节点对添加一条新连边；

步骤三：判断是否到达预设终止条件，未到达，跳转到步骤一；否则，方法结束。

步骤一所述的关于添加某一连边对网络平均路径长度的降低的估计指标Ζ_ij＝Ω_ijΞ_ijΨ_ij，上述公式包含三个子项：

1)Ω_ij＝l_ij/l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的比值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度。l_ij可以使用

$l_{ij}={\mathrm{\&Sigma;}}_{m\&Element;{\mathrm{PATH}}_{ij}}len\left(m\right)p_{ij}\left(m\right)$

进行数学表示，其中PATH_ij是代表连接节点对ij的常用路径集合，len(m)代表路径m的长度，p_ij(m)代表从节点i出发到达节点j的交通流需求中使用路径m的比例。其中总是成立。

2)Ξ_ij＝l_ij-l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的差值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度。由于添加一条长度为w_ij的连边时，如果w_ij≥l_ij，那么这一新连边不会对网络中的路径产生影响，所以实际添边时，总有l_ij'＝w_ij<l_ij。据此总有：Ω_ij≥1andΞ_ij≥0。

3)是同时经过节点i和j的交通流需求。其中D_od是网络中从节点o出发到达节点d的出行需求分布概率，可通过实际交通流统计得到；PATH_od是代表连接节点对od的常用路径集合；σ_ij(m)是一个变量，当路径m同时经过节点i和j时为1，否则为0；p_od(m)代表从节点o出发到达节点d的交通流需求中使用路径m的比例；如果对Ψ_ij进行归一化处理，使得∑_odD_od＝l，那么最终网络的平均路径长度L即可表示为L＝∑_odl_odD_od，l_od为节点o到节点d之间的路径长度。

Claims (1)

1.一种低复杂度的网络平均路径优化方法，其特征在于：通过使用新定义的一种关于添加某一连边对网络平均路径长度的降低的估计指标Ζ_ij来进行网络逐一添加连边降低网络平均路径长度，方法的具体步骤如下：

步骤一：计算网络中所有节点对间的路径长度，并据此计算所有节点对的Ζ_ij指标；关于添加某一连边对网络平均路径长度的降低的估计指标Ζ_ij＝Ω_ijΞ_ijΨ_ij，上述公式包含三个子项：

1)Ω_ij＝l_ij/l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的比值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度；l_ij可以使用

$l_{ij}={\mathrm{\&Sigma;}}_{m\&Element;{\mathrm{PATH}}_{ij}}len\left(m\right)p_{ij}\left(m\right)$

进行数学表示，其中PATH_ij是代表连接节点对ij的常用路径集合，len(m)代表路径m的长度，p_ij(m)代表从节点i出发到达节点j的交通流需求中使用路径m的比例；其中总是成立；

2)Ξ_ij＝l_ij-l_ij'是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度的差值，其中l_ij、l_ij'分别是添加连边ij前后连接节点对ij的路径长度；由于添加一条长度为w_ij的连边时，如果w_ij≥l_ij，那么这一新连边不会对网络中的路径产生影响，所以实际添边时，总有l_ij'＝w_ij<l_ij；据此总有：Ω_ij≥1且Ξ_ij≥0；

3)是同时经过节点i和j的交通流需求；其中D_od是网络中从节点o出发到达节点d的出行需求分布概率，可通过实际交通流统计得到；PATH_od是代表连接节点对od的常用路径集合；σ_ij(m)是一个变量，当路径m同时经过节点i和j时为1，否则为0；p_od(m)代表从节点o出发到达节点d的交通流需求中使用路径m的比例；如果对Ψ_ij进行归一化处理，使得∑_odD_od＝1，那么最终网络的平均路径长度L即可表示为L＝∑_odl_odD_od，l_od为节点o到节点d之间的路径长度；

步骤二：从所有节点对中找出Ζ_ij指标最大的节点对，给该节点对添加一条新连边；步骤三：判断是否到达预设终止条件，未到达，跳转到步骤一；否则，方法结束。