CN103390102A - 一种卫星图像立体交会角的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于空间对地观测技术领域，具体公开了一种卫星图像立体交会角的计算方法，其步骤：A、通过人工量测或者卫星图像自动匹配的方法获取卫星图像立体像对同名点的像点坐标。B、利用卫星图像同名点坐标，进行基于RFM模型的区域网平差方法，实现RPC参数的优化。C、通过投影轨迹法，计算同名点投影到不同高程投影面上的物方点所对应的空间直角坐标，完成同名光线的空间重建。D、利用重建同名光线的方向矢量，计算同名光线立体交会角。本发明适用于任何相互重叠卫星图像构成的立体模型立体交会角的计算，无需地面控制点，可用于立体模型测图精度评估，具有显著的经济和社会效益。

Description

一种卫星图像立体交会角的计算方法

技术领域

本发明属于空间对地观测技术领域，具体涉及一种卫星图像立体交会角的计算方法，该方法可以快速计算出相互重叠卫星图像所构成的“广义立体模型”的交会角，为卫星图像立体模型精度估算和选择利用提供了技术依据。 

背景技术

近年来，随着对地观测技术的飞速发展，卫星遥感图像在时间分辨率、空间分辨率和光谱分辨率方面均得到了革命性的提升，尤其是空间分辨率。目前，高分辨率遥感卫星不断涌现，光学遥感卫星有Ikonos，Quickbird，GeoEye和WorldView等，SAR遥感卫星有TerraSAR-X,Cosmo-Skymed和Radarsat-2等，这使得空间三维信息获取手段从航空平台上升到航天平台。通常，商业立体卫星图像对拍摄方位、立体交会角都有严格的要求，能够保证所构成立体模型的测图精度，但是其价格比单景卫星图像昂贵许多。此外，在实际工程应用中，受云层覆盖等影响，有时无法及时获取高分辨率卫星立体图像，这将极大地延误公路勘察设计工期。从技术角度上说，任何从不同视角拍摄的相互重叠的两景卫星图像均可构成立体模型，又称为“广义立体模型”。利用广义立体模型获取高精度的地形数据，不仅可以降低数据获取的成本，而且可以降低对立体卫星图像的依赖，具有重要的实际意义。 

立体交会角，是评估卫星图像立体模型精度的重要指标。对于航空影像，可直接利用基高比来估算立体交会角，但对于光学卫星图像，一般为多中心投影成像方式，且卫星图像公司往往不提供构建严格几何模型所需的各种轨道定向参数，因此，卫星图像立体交会角往往无法得到。 

为此，本申请的发明人拟提出一种卫星图像立体交会角的计算方法，无需地面控制点，仅需利用卫星图像及其自带的有理函数模型(Rational Function Model，RFM)，将产生显著的经济和社会效益。 

发明内容

本发明的目的在于针对实际工程应用中利用单景卫星图像构成的“广义立体模型”空间信息获取的技术问题，提出了一种卫星图像立体交会角的计算方法。该方法直接利用卫星图像及其自带的RPC参数，无需任何辅助信息，可免除布设地面控制点工作，精确快速地计算出卫星图像的立体交会角，为“广义立体模型”测图精度估算提供有力依据，有效保证采集数据的质量。 

为了达到上述目的，本发明采取了如下技术措施： 

一种卫星图像立体交会角的计算方法，其步骤如下： 

1、卫星图像同名点图像坐标获取：采用人工量测或者卫星图像自动匹配的方法得到； 

2、卫星图像RPC参数优化：利用卫星图像同名点，进行基于RFM模型的区域网平差， 实现对卫星图像RPC参数的优化； 

3、卫星图像同名光线空间重建：通过投影轨迹法，建立同名点在物方空间中同名光线的直线方程； 

4、卫星图像立体交会角计算：利用重建的同名光线直线方程，计算出相应的立体交会角。 

与现有的技术相比，本发明的显著优点和效果主要表现在： 

1、直接利用卫星图像及其自带的支持文件信息，无需布设地面控制点，方法简单实用； 

2、可在立体模型构建前计算出立体交会角，能对数据质量做出预估，方便卫星图像的合理选择和有效利用。 

本发明创新性地基于RFM模型提出卫星图像“广义立体模型”立体交会角计算方法，可缩短数据获取周期、保障数据质量。本发明的技术方案已经成功应用于西藏1000多公里的公路勘察设计项目中，成功剔除测图精度不合要求的卫星图像立体模型，缩短数据获取周期1/3，展现出重大的工程应用价值。 

附图说明

图1为本发明的一种卫星图像立体交会角的计算方法的流程示意图。 

图2为基于RFM模型计算同名光线立体交会角的示意图。 

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法做进一步的详细描述。 

实施例1： 

一种卫星图像立体交会角的计算方法，如图1所示，各步骤详细阐述如下： 

第1步：卫星图像同名点图像坐标获取，可以采用两种方法： 

1）人工量测：人工判读出卫星图像间具有相同影像特征的点，并利用量测工具准确获取同名点真实图像坐标(sample,line)。 

或2）自动匹配：直接利用卫星图像自动匹配软件，如ERDAS Imagine软件的Leica Photogrammetry Suite模块，获取同名点图像坐标，并进行检查，删除错误匹配点，最终获取卫星图像同名点真实图像坐标(sample,line)。 

第2步：卫星图像RPC参数优化 

利用所获取的同名点真实图像坐标，通过RFM模型区域网平差的方法，对RPC参数进行优化，从而实现同名光线对对相交。 

对于卫星图像有理函数模型，图像坐标(x,y)表示为以对应地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)为自变量的多项式的比值，即： 

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{x}=\frac{p_1(P,L,H)}{p_2(P,L,H)}\\ \stackrel{\‾}{y}=\frac{p_3(P,L,H)}{p_4(P,L,H)}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，

为图像坐标(x,y)的规格化坐标，P,L,H为地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)的规格化坐标，p_i(P,L,H)(i=1,2,3,4)一般为三次有理函数多项式，其系数称为RPC（Rational Polynomial Coefficients）参数。 

和P,L,H分别通过对图像坐标(x,y)和地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)进行平移和缩放后得到，其变换关系为： 

$P=\frac{\mathrm{Lat}-\mathrm{LAT}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LAT}\_\mathrm{SCALE}}$

$L=\frac{\mathrm{Lon}-\mathrm{LON}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LON}\_\mathrm{SCALE}}$

$H=\frac{\mathrm{Height}-\mathrm{HEIGHT}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{HEIGHT}\_\mathrm{SCALE}}---\left(2\right)$

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{x-\mathrm{SAMP}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{SAMP}\_\mathrm{SCALE}}$

$\stackrel{\‾}{y}=\frac{y-\mathrm{LINE}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LINE}\_\mathrm{SCALE}}$

式中，LAT_SACLE,LON_SCALE,HEIGHT_SCALE表示物方大地坐标规格化缩放参数，LAT_OFF,LON_OFF,HEIGHT_OFF表示物方大地坐标规格化平移参数，SAMP_SCALE,LINE_SCALE表示像方坐标规格化缩放参数，SAMP_OFF,LINE_OFF表示像方坐标规格化平移参数。 

由于卫星图像自带的RPC参数存在***误差，利用公式(1)、(2)计算得到的图像坐标(x,y)和真实图像坐标(sample,line)存在差异，采用像方仿射变换模型对其进行校正，从而建立地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)和真实图像坐标(sample,line)间精确的空间几何关系，其表达式为： 

$\left\{\begin{array}{c}{p}_{x_0}+p_{x_1}\·x+p_{x_2}\·y+x-\mathrm{sample}=0\\ p_{y_0}+p_{y_1}\·x+p_{y_2}\·y+y-\mathrm{line}=0\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

(i=0,1,2)为图像仿射变换系数，的缺省值为1，其他系数缺省值均为0。 

令 $F_x=p_{x_0}+p_{x_1}\·x+p_{x_2}\·y+x-\mathrm{sample},$ $F_y=p_{y_0}+p_{y_1}\·x+p_{y_2}\·y+y-\mathrm{line}.$ 对每个同名点的像点坐标，以其所在卫星图像对应的仿射变换系数和该点对应的物方坐标为未知数，对公式(3)线性化，可以建立基于RFM模型区域网平差的误差方程： 

V=At+Bx-L,P      (4) 

式中， 

$A=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{{\∂F}_x}{\∂p_{x_0}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{x_1}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{x_2}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_0}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_1}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_2}}\\ \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_0}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_1}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_2}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_0}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_1}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_2}}\end{array}\right];$

$B=\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Lon}}& \frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Height}}\\ \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Lon}}& \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Height}}\end{array}\right];---\left(5\right)$

$L=\left[\begin{array}{c}-F_{x_0}\\ -F_{y_0}\end{array}\right];$

x=[dLat dLon dHeight]^T； 

P—权矩阵。 

式中，

为F_x对地面点大地坐标的偏导数，

为F_y对地面点大地坐标的偏导数，dLat、dLon、dHeight为同名点对应地面点大地坐标的改正数，

(i=0,1,2)为F_x对图像仿射变换系数的偏导数，

(i=0,1,2)为F_y对图像仿射变换系数的偏导数，

(i=0,1,2)为图像仿射变换系数的改正数， 

为未知参数取近似值时F_x、F_y的计算值，v_x、v_y为F_x、F_y虚拟观测值的改正数。 

利用最小二乘平差原理，计算出每张卫星图像的像方仿射变换系数，从而完成RPC参数的优化。 

第3步：卫星图像同名光线空间重建 

采用投影轨迹法实现，如图2所示。图中，点(x₁,y₁)和点(x₂,y₂)是一个同名点对，首先，以测区平均高程为中心建立不同的高程平面其中△Z的取值可任意，本实施例中取为1000米。在优化PRC参数后，通过点(x₁,y₁)和点(x₂,y₂)可以确定两条同名光线L₁、L₂，同名光线L₁、L₂分别与两个高程平面相交于点(X₁,Y₁,Z₁)、(X₂,Y₂,Z₂)和(X₃,Y₃,Z₃)、(X₄,Y₄,Z₄)。通过这四个交点，可实现同名光线的空间重建。 

四个交点坐标的计算方法如下，以交点(X₁,Y₁,Z₁)的坐标计算为例： 

首先计算交点对应的大地经纬度坐标(Lat,Lon)。根据公式(1)、(3)，将点(x₁,y₁)投影到物方高程面

采用公式(6)计算物方点对应的大地经纬度坐标(Lat,Lon)。 

V=Bx-L                              (6) 

$B=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂F_x}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{\∂F_x}{\∂\mathrm{Lon}}\\ \frac{\∂F_y}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{\∂F_y}{\∂\mathrm{Lon}}\end{array}\right],$ $L=\left[\begin{array}{c}-F_{x0}\\ -F_{y0}\end{array}\right],$ $x=\left[\begin{array}{c}\mathrm{dLat}\\ \mathrm{dLon}\end{array}\right]$

式中，F_x0,F_y0是指未知数Lat、Lon取初始值时的F_x,F_y的计算值，dLat,dLon分别代表Lat、Lon的改正数。通过迭代计算，可计算得到大地经纬度坐标(Lat,Lon)。 

利用大地测量学中大地坐标系与空间直角坐标系的关系式，可以获得点(x₁,y₁)投影到高程面

的物方点在空间直角坐标系中的物方坐标(X₁,Y₁,Z₁)。 

采用与交点(X₁,Y₁,Z₁)坐标计算相同的方法，可以计算得到(X₂,Y₂,Z₂)、(X₃,Y₃,Z₃)和(X₄,Y₄,Z₄)。利用坐标(X₁,Y₁,Z₁)和(X₂,Y₂,Z₂)、(X₃,Y₃,Z₃)和(X₄,Y₄,Z₄)，可以分别完成同名光线L₁、L₂的空间重建。 

同名光线L₁的空间直线方程为： 

$\frac{X-X_1}{X_2-X_1}=\frac{Y-Y_1}{Y_2-Y_1}=\frac{Z-Z_1}{Z_2-Z_1}---\left(7\right)$

同名光线L₂的空间直线方程为： 

$\frac{X-X_3}{X_4-X_3}=\frac{Y-Y_3}{Y_4-Y_3}=\frac{Z-Z_3}{Z_4-Z_3}---\left(8\right)$

第4步：卫星图像立体交会角计算 

以同名点对(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为例，令  $D_1=\sqrt{{(X_2-X_1)}^2+{(Y_2-Y_1)}^2+{(Z_2-Z_1)}^2},$ $D_2=\sqrt{{(X_4-X_3)}^2+{(Y_4-Y_3)}^2+{(Z_4-Z_3)}^2},$ 则点(x₁,y₁)对应空间直线的方向矢量为点(x₂,y₂)对应空间直线光线的方向矢量为

设该同名点对应的立体交会角为θ，则 

$\mathrm{\θ}=\arccos (\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{X_4-X_3}{D_2}+\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{Y_4-Y_3}{D_2}+\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{Z_4-Z_3}{D_2})---\left(9\right)$ 。

Claims (2)

1.一种卫星图像立体交会角的计算方法，其步骤如下：

（1）、卫星图像同名点图像坐标获取：采用人工量测或者卫星图像自动匹配的方法得到；

（2）、卫星图像RPC参数优化：利用卫星图像同名点，进行基于RFM模型的区域网平差，实现对卫星图像RPC参数的优化；

（3）、卫星图像同名光线空间重建：通过投影轨迹法，建立同名点在物方空间中同名光线的直线方程；

（4）、卫星图像立体交会角计算：利用重建的同名光线直线方程，计算出相应的立体交会角。

2.根据权利要求1所述的计算方法，其特征在于，步骤如下：

第1步：卫星图像同名点图像坐标获取，采用如下两种方法之一：

1）人工量测：人工判读出卫星图像间具有相同影像特征的点，并利用量测工具准确获取同名点真实图像坐标(sample,line)；

或2）自动匹配：利用卫星图像自动匹配软件获取同名点图像坐标，并进行检查，删除错误匹配点，最终获取卫星图像同名点真实图像坐标(sample,line)；

第2步：卫星图像RPC参数优化

利用所获取的同名点真实图像坐标，通过RFM模型区域网平差的方法，对RPC参数进行优化，从而实现同名光线对对相交；

对于卫星图像有理函数模型，图像坐标(x,y)表示为以对应地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)为自变量的多项式的比值，即：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{x}=\frac{p_1(P,L,H)}{p_2(P,L,H)}\\ \stackrel{\‾}{y}=\frac{p_3(P,L,H)}{p_4(P,L,H)}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，

为图像坐标(x,y)的规格化坐标，P,L,H为地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)的规格化坐标，p_i(P,L,H)(i=1,2,3,4)一般为三次有理函数多项式，其系数称为RPC参数；

和P,L,H分别通过对图像坐标(x,y)和地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)进行平移和缩放后得到，其变换关系为：

$P=\frac{\mathrm{Lat}-\mathrm{LAT}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LAT}\_\mathrm{SCALE}}$

$L=\frac{\mathrm{Lon}-\mathrm{LON}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LON}\_\mathrm{SCALE}}$

$H=\frac{\mathrm{Height}-\mathrm{HEIGHT}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{HEIGHT}\_\mathrm{SCALE}}---\left(2\right)$

$\stackrel{\‾}{x}=\frac{x-\mathrm{SAMP}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{SAMP}\_\mathrm{SCALE}}$ $\stackrel{\‾}{y}=\frac{y-\mathrm{LINE}\_\mathrm{OFF}}{\mathrm{LINE}\_\mathrm{SCALE}}$

式中，LAT_SACLE,LON_SCALE,HEIGHT_SCALE表示物方大地坐标规格化缩放参数，LAT_OFF,LON_OFF,HEIGHT_OFF表示物方大地坐标规格化平移参数，SAMP_SCALE,LINE_SCALE表示像方坐标规格化缩放参数，SAMP_OFF,LINE_OFF表示像方坐标规格化平移参数；

由于卫星图像自带的RPC参数存在***误差，利用公式(1)、(2)计算得到的图像坐标(x,y)和真实图像坐标(sample,line)存在差异，采用像方仿射变换模型对其进行校正，从而建立地面点大地坐标(Lat,Lon,Height)和真实图像坐标(sample,line)间精确的空间几何关系，其表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{p}_{x_0}+p_{x_1}\·x+p_{x_2}\·y+x-\mathrm{sample}=0\\ p_{y_0}+p_{y_1}\·x+p_{y_2}\·y+y-\mathrm{line}=0\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

(i=0,1,2)为图像仿射变换系数，

的缺省值为1，其他系数缺省值均为0；

令 $F_x=p_{x_0}+p_{x_1}\·x+p_{x_2}\·y+x-\mathrm{sample},$ $F_y=p_{y_0}+p_{y_1}\·x+p_{y_2}\·y+y-\mathrm{line},$ 对每个同名点的像点坐标，以其所在卫星图像对应的仿射变换系数和该点对应的物方坐标为未知数，对公式(3)线性化，可以建立基于RFM模型区域网平差的误差方程：

V=At+Bx-L,P      (4)

式中，

$V=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right];$ $A=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{{\∂F}_x}{\∂p_{x_0}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{x_1}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{x_2}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_0}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_1}}& \frac{\∂F_x}{\∂p_{y_2}}\\ \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_0}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_1}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{x_2}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_0}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_1}}& \frac{\∂F_y}{\∂p_{y_2}}\end{array}\right];$

$B=\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Lon}}& \frac{{\∂F}_x}{\∂\mathrm{Height}}\\ \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Lon}}& \frac{{\∂F}_y}{\∂\mathrm{Height}}\end{array}\right];---\left(5\right)$

$L=\left[\begin{array}{c}-F_{x_0}\\ -F_{y_0}\end{array}\right];$

x＝[dLat dLon aHeight]^T；

P—权矩阵；

式中，为F_x对地面点大地坐标的偏导数，

为F_y对地面点大地坐标的偏导数，dLat、dLon、dHeight为同名点对应地面点大地坐标的改正数，

(i=0,1,2)为F_x对图像仿射变换系数的偏导数，

(i=0,1,2)为F_y对图像仿射变换系数的偏导数，

(i=0,1,2)为图像仿射变换系数的改正数，

为未知参数取近似值时F_x、F_y的计算值，v_x、v_y为F_x、F_y虚拟观测值的改正数；

利用最小二乘平差原理，计算出每张卫星图像的像方仿射变换系数，从而完成RPC参数的优化；

第3步：卫星图像同名光线空间重建

采用投影轨迹法实现，点(x₁,y₁)和点(x₂,y₂)是一个同名点对，首先，以测区平均高程

为中心建立不同的高程平面

其中△Z的取值可任意；在优化PRC参数后，通过点(x₁,y₁)和点(x₂,y₂)可以确定两条同名光线L₁、L₂，同名光线L₁、L₂分别与两个高程平面相交于点(X₁,Y₁,Z₁)、(X₂,Y₂,Z₂)和(X₃,Y₃,Z₃)、(X₄,Y₄,Z₄)；通过这四个交点，实现同名光线的空间重建；

四个交点坐标的计算方法如下，以交点(X₁,Y₁,Z₁)的坐标计算为例：

首先计算交点对应的大地经纬度坐标(Lat,Lon)，根据公式(1)、(3)，将点(x₁,y₁)投影到物方高程面

采用公式(6)计算物方点对应的大地经纬度坐标(Lat,Lon)；

V=Bx-L                            (6)

$B=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂F_x}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{\∂F_x}{\∂\mathrm{Lon}}\\ \frac{\∂F_y}{\∂\mathrm{Lat}}& \frac{\∂F_y}{\∂\mathrm{Lon}}\end{array}\right],$ $L=\left[\begin{array}{c}-F_{x0}\\ -F_{y0}\end{array}\right],$ $x=\left[\begin{array}{c}\mathrm{dLat}\\ \mathrm{dLon}\end{array}\right]$

式中，F_x0,F_y0是指未知数Lat、Lon取初始值时的F_x,F_y的计算值，dLat,dLon分别代表Lat、Lon的改正数。通过迭代计算，可计算得到大地经纬度坐标(Lat,Lon)；

利用大地测量学中大地坐标系与空间直角坐标系的关系式，可以获得点(x₁,y₁)投影到高程面的物方点在空间直角坐标系中的物方坐标(X₁,Y₁,Z₁)；

采用与交点(X₁,Y₁,Z₁)坐标计算相同的方法，计算得到(X₂,Y₂,Z₂)、(X₃,Y₃,Z₃)和(X₄,Y₄,Z₄)，利用坐标(X₁,Y₁,Z₁)和(X₂,Y₂,Z₂)、(X₃,Y₃,Z₃)和(X₄,Y₄,Z₄)，分别完成同名光线L₁、L₂的空间重建。

同名光线L₁的空间直线方程为：

$\frac{X-X_1}{X_2-X_1}=\frac{Y-Y_1}{Y_2-Y_1}=\frac{Z-Z_1}{Z_2-Z_1}---\left(7\right)$

同名光线L₂的空间直线方程为：

$\frac{X-X_3}{X_4-X_3}=\frac{Y-Y_3}{Y_4-Y_3}=\frac{Z-Z_3}{Z_4-Z_3}---\left(8\right)$

第4步：卫星图像立体交会角计算

以同名点对(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为例，令 $D_1=\sqrt{{(X_2-X_1)}^2+{(Y_2-Y_1)}^2+{(Z_2-Z_1)}^2},$ $D_2=\sqrt{{(X_4-X_3)}^2+{(Y_4-Y_3)}^2+{(Z_4-Z_3)}^2},$ 则点(x₁,y₁)对应空间直线的方向矢量为

点(x₂,y₂)对应空间直线光线的方向矢量为

设该同名点对应的立体交会角为θ，则

$\mathrm{\θ}=\arccos (\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{X_4-X_3}{D_2}+\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{Y_4-Y_3}{D_2}+\frac{X_2-X_1}{D_1}*\frac{Z_4-Z_3}{D_2})---\left(9\right).$

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