CN103384898A - 计算机实现的工具箱***和方法 - Google Patents

Abstract

根据优选实施例，提供一种涉及计算机或其它具有软件、硬件或固件的处理设备的编程的***或方法，其被配置为创建处理工具（即，在此称为工具箱），其可被配置为基于在此描述的新的数学原理来提供一个或多个操作函数，以例如用于合成或分析形状等。

Description

计算机实现的工具箱***和方法

技术领域

本申请是由Johan Gielis于2010年6月21日提交的名称为“ComputerImplemented Tool Box（计算机实现的工具箱）”的美国临时专利申请No.61,356,836的非临时申请，其整个内容在此被结合以作为参考，如同在此全部引用。

背景技术

本发明改进了在2009年11月17日授权给本发明人Johan Gielis的美国专利No.7,620,527中公开的主题，该专利的整个内容在此被结合以作为参考，如同在此全部引用。

通过527专利描述的***和方法，图案（例如，图像、诸如声音、电磁波或其它信号的波形等）通过使用以新的数学公式编程的计算机合成、调制和/或分析。公式可用于创建各种形状、波形和其它表示。公式大大提高了计算机操作的能力，节省了计算机内存，并大幅提高了计算能力。

527专利的几何概念用于建模和解释为什么某些自然形状和形式长成那个样子。如在527专利中说明的，发明人在其中发现大多数传统的几何形式和规则的形状，包括圆形和多边形，可以被描述为下面公式的特殊实现：

$r=\frac{1}{\sqrt[n_1]{{|\frac{1}{a}\·\cos \frac{m_1\·\mathrm{\φ}}{4}|}^{n_2}\±{|\frac{1}{b}\·\sin \frac{m_2\·\mathrm{\φ}}{4}|}^{n_3}}}$

（a,b,n_i,m_i∈R⁺）（其中a和b不等于零）

527专利说明了该公式及其表示如何用于图案（即，包括例如图像图案和诸如电磁（例如电、光等）、声音的波形和其它波形或信号图案）等的“合成”和“分析”。

为了合成多种图案，该公式中的参数可被修改，以使得各种图案可被合成。应当注意，参数m₁、m₂、n₁、n₂、n₃、a和/或b可被调节。通过调节或调制旋转对称（m_i）、指数（n_i）和/或短长轴（a和b）的个数，各种各样的自然、人工和抽象的形状可以被创建。

图1是527专利的示意图的再现，其示出可被包括在用于使用超级公式操作符合成图案和/或分析图案的各种实施例中的各种组件。如在527专利中描述的，根据第一个方面，作为说明的目的参照图1，形状或波可通过应用下面的实例性基本步骤“合成”：在第一步骤中，进行参数的选择（例如，通过将值输入到计算机10中，即，通过键盘20、触摸屏、鼠标指针、语音识别设备或其它输入设备等，或者通过使计算机被指定值），计算机10用于根据参数的选择合成所选择的超级形状。在第二可选择的步骤中，超级公式可用于改编所选择的形状以计算优化等。该步骤可包括使用：图形程序（例如2D、3D等）；CAD软件；有限元分析程序；波生成程序；或其它软件。在第三步骤中，来自第一或第二步骤的输出被用于将计算化的超级形状变换成物理形式，诸如通过：（a）在监视器30上显示超级形状31、从打印机50在诸如纸张的普通材料52上打印超级形状51（2D或3D）;（b）执行计算机辅助制造（例如，通过基于第三步骤的输出而控制外部设备60，诸如机器、机器人等）；（c）通过扬声器***70等产生声音；（d）执行立体印刷制造；（e）执行快速原型法；和/或（f）以本领域已知的另一种方式利用输出以转换这种形状。

527专利讨论了合成（例如，形状的创建）和分析（例如，形状的分析）。对于分析，527专利说明“通常，尽管不限于此，但形状或波形可通过应用如下的基本步骤（这些步骤与前面的合成的步骤的反向类似）来“分析”：在第一步骤中，图案可被扫描或输入到计算机中（例如，以数字形式）。例如，对象的图像可被扫描（2D或3D），麦克风可接收声波，或者电信号（例如波）可被输入，来自诸如CD-ROM、磁盘等的计算机可读媒体的数据可被输入，数据可例如通过因特网或企业网等在线接收。各种其它的已知输入技术可以被使用，诸如使用数字或其它照相机（例如，是单张照片还是连续的实时等）等。图1表示图像扫描仪100（例如，用于扫描在诸如纸张或照片的普通材料上的图像的文件扫描仪或者另一种扫描设备）和/或记录器200（例如，其通过麦克风等接收波形）结合计算机10使用的例子。在第二步骤中，图像被分析以确定超级公式的参数值等。在该步骤中，所分析的信号还可以被识别、分类、比较等。在某些计算机分析的情况下，计算机可包括原语（例如，用参数值对各种超级形状进行分类）库或目录（例如，存储在存储器中）。在后面的情况下，计算机则可用于基于库或目录中的信息对超级形状进行近似、识别、分类等。原语目录可被用于例如图案或形状的首次近似。在第三可选步骤中，所分析的信号可按照要求进行调节（例如，可执行与上面参照合成的第二通用阶段或步骤描述的类似的操作）。在第四步骤中，可创建输出。输出可包括：（a）提供可视（例如，所显示或打印的）或可听（例如，声音）的输出；（b）控制特定设备的操作（例如，如果某些条件被确定）；（c）提供与所分析的图案有关的指示（例如，识别它、对它分类、识别优选或最优配置、识别缺陷或异常等）；（d）创建如对本领域的普通技术人员显然的另一种形式的输出或结果。在分析中，在图案被数字化后，计算机使用某种类型的表示进行处理。如果是化学图案，则XY图应当被选择。如果是闭合形状，则修正的傅立叶分析应当被选择。计算机应当适应于（例如，通过软件）对表示数字化图案的公式提供正确参数的估计。”

尽管527专利说明了技术上的显著进步，但在过去的十年中，本发明人已经发现了某些显著的进步和改进，其是本申请的主题。

背景参考

此外，以下的参考被引用以作为通常的背景信息，下面的参考的每一个的全部内容在此被结合以作为。

1.Gielis,J.A generic geometric transformation that unifies a largerange of natural and abstract shapes.American Journal of Botany90(3)Invited Special Paper,333-338(2003).

2.Bera,N.,Bhattacharjee,J.K.,Mitra,S.& Khastgir,S.P.Energylevels of a particle confined in a supercircular box.The EuropeanPhysical Journal D46,41-50(2008).

3.Richardson,J.S.et al.RNA Backbone:Consensus all-angleconformers and modular string nomenclature.RNA14,465–481(2008).

4.Guitart,R.Les coordonnées curvilignes de Gabriel Lamé,réprésentations des situation physiques et nouveaux objectsmathématiques.In:Gabriel Lamé:Les pérégrinations d’uningénieur du XIXe siècle.Actes du Colloque.SABIX N°44,119-129(2009).

5.Gielis,J.,Beirinckx,B.& Bastiaens,E.Superquadrics withrational and irrational symmetries.In:(Elber G.and Shapiro V.,Eds).Proceedings of the8th ACM Symposium on Solid Modeling andApplications,Seattle,June16-20,2003,262-265(2003).

6.Ulrich,W.Decomposing the process of species accumulation intoarea dependent and time dependent parts.Ecological Research21(4),578-585(2006).

7.Fougerolle,Y.D.,Gribok,A.,Foufou,S.,Trucheret,F.& Abidi M.A.Boolean Operations with Implicit and Parametric Representation ofPrimitives Using R-Functions.IEEE Transactions on Visualizationand Computer Graphics11(5),529-539(2005).

8.Johnson,J.E.,Starkey,R.P.& Lewis,M.J.Aerodynamic stability ofreentry heat shield shapes for a crew exploration vehicle.Journal ofSpacecraft and Rockets43(4),721-730(2006).

9.Gielis,J.,Haesen,S.& Verstraelen,L.Universal shapes:from thesupereggs of Piet Hein to the cosmic egg of George Kragujevac Journal of Mathematics28,55-67(2005).

10.Haesen,S.& Verstraelen,L.Curvature and Symmetries of ParallelTransport(Chapter8)and Extrinsic Symmetries of ParallelTransport(Chapter9)In:M.Boucetta and J.-M.Morvan(Eds)Differential Geometry and Topology,Discrete and ComputationalGeometry:Volume197NATO Science Series:Computer & SystemsSciences(2005).

11.Koiso,M.& Palmer,B.Equilibria for anisotropic energies and theGielis Formula.Forma(Society for Science on Form,Japan)23(1),1-8(2008).

12.Calhoun,D.A.& Helzel,C.A finite volume method for solvingparabolic equations on logically Cartesian curved surface meshes.SIAM J.Sci.Comp.31(6),4066-4099(2009).

13.Natalini,P.,Patrizi,R.& Ricci,P.E.The Dirichlet problem for theLaplace equation in a starlike domain of a Riemann surface.Numer.Algor.DOI10.1007/s11075-008-9201-z(2008).

14.Gielis,J.,Caratelli,D.,Haesen,S.& Ricci,P.E.Rational mechanicsand Science Rationelle Unique.In:Paipetis,S.,Ceccarelli,M.(Eds.)The Genius of Archimedes:23centuries of influence on mathematics,science and engineering.Springer Verlag,HMMS Series11,29-43(2010).

15.Lamé,G.Examen de differentes méthodes employées pour résoudreles problèmes de géometrie.M.V.Courcier imprimeur Libraire,Paris(1818).

16.Thompson,A.C.Minkowski geometry,Encyclopedia of Mathematicsand its Applications,Vol.63,Cambridge University Press,Cambridge(1996).

17.Chern,S.-S.Back to Riemann.In:Mathematics:Frontiers andPerspectives2000.International Mathematical Union,33-34(2000).

18.Yajima,T.& Nagahama,Y.Finsler geometry of seismic ray path inanisotropic media.Proc.R.Soc.A465,1763-1777(2009).

19.Berger,M.A panoramic view of Riemannian geometry.SpringerVerlag(2003).

20.Verstraelen,L.Philosophiae Naturalis Principia Geometrica I.Bull.Transilvania Univ.Brasov14(49)Proc.Conf.RIGA2007,dedicated to Radu Rosca,335–351(2007).

21.Thom,R.Structural stability and morphogenesis.Benjamin(1972).

22.Loria,G.Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven:Theorie und Geschichte.Teubner G.B.Verlag(1902).

23.West,G.B.,Brown,J.H.&Enquist,B.J.A general model for theorigin of allometric scaling laws in biology.Science276,122-126(1997).

24.West,G.B.,Brown,J.H.&Enquist,B.J.The fourth dimension oflife:fractal geometry and allometric scaling of organisms.Science284,1677-1679(1999).

25.Verstraelen,L.On Natural Geometric Symmetries.Dedicated tothe memory of Katsumi Nomizu.Murcia(Spain)Workshop“Differential Geometry and Submanifolds”Departamento deMatemáticas,Universidad de Murcia November18-20(2008).

26.D’Arcy Thompson,W.On Growth and Form.CambridgeUniversity Press(1917).

27.Colding,T.H.& Minicozzi W.P.Shapes of embedded minimalsurfaces.PNAS,July25:11106-11111(2006).

28.Koiso,M.& Palmer B.Rolling constructions for anisotropicDelaunay surfaces.Paci?c Journal of Mathematics2,345-378(2008).

29.Palmer B.Geometry of materials.Simon Stevin Transactions onGeometry1,117-129,Tilburg,The Netherlands(2010).

30.Libbrecht K.The physics of snow crystals.Reports on Progress inPhysics68,855-895(2005).

31.Suslov,D & Verbelen,J.-P.Cellulose orientation determinesmechanical anisotropy in onion epidermal cell walls.Journal ofExperimental Botany57(10),2183-2192(2006).

32.Hamant,O.,et al.Developmental Patterning by Mechanical Signalsin Arabidopsis.Science322,1650-1655(2008).

33.Chen B.Y.Total mean curvature and submanifolds and finite typecurves.Series in Pure Mathematics Vol.1.World Scientific(1984).

34.Verstraelen L.Curves and surfaces of finite Chen type.Geometryand Topology of Submanifolds III,World Scientific,Singapore,304–311(1991).

35.Caratelli,D.,Natalini,P.,Ricci P.E.&Yarovoy A.The Neumannproblem for the Helmholtz equation in a starlike planar domain.Applied Mathematics and Computation216(2),556-564(2010).

36.Caratelli,D.,Natalini,P.& Ricci,P.E.Fourier solution of thewave equation for a starlike shaped vibrating membrane.Computersand Mathematics with Applications59,176-184(2010).

37.Fougerolle,Y.D.,Trucheret,F.& Gielis,J.A new potentialfunction for self intersecting Gielis curves with rational symmetries.In:Proceedings of GRAPP2009-International Conference onComputer Graphics Theory and Applications-Lisboa,February5-8,2009.

38.Verstraelen L.Philosophiae Naturalis Principia Geometrica II RaduRosca in memoriam,unpublished&pers.comm.

39.Chern,S.S.Introduction.In:Dillen,F.and Verstraelen,L.(Eds.),Handbook of Differential Geometry1,North-Holland,Amsterdam(2000).

40.Einstein,A.On the method of Theoretical Physics.The HerbertSpencer Lecture,delivered at Oxford,June10,1933.OxfordUniversity Press(1933).

在下面的描述中，对上述背景文章的参考以文本注释的方式用数字给出（例如，文章1的参考用上标1表示）。

发明内容

鉴于在本领域中的上述和/或其它问题，本发明的优选实施例已被开发。本发明的优选实施例可显著地改进现有的方法和/或装置。

根据优选实施例，提供一种涉及计算机或其它具有软件、硬件和/或固件的处理设备的编程的***和/或方法，其被配置为创建处理工具（即，在此称为工具箱），其可被配置为基于在此描述的新的数学原理提供一个或多个操作函数，以例如用于合成和/或分析形状等。

根据第一实施例，提供一种合成或分析形状的方法，其包括：

a）提供计算机工具箱，其被编程为求解下面的公式

其中，

以及

b）使用计算机工具箱以用所述公式合成或分析形状。

根据另一个实施例，提供一种合成或分析形状的计算机工具箱，其包括：

a）计算机，其被编程为求解下面的公式，

其中，

以及

b）所述该计算机被配置为使用所述公式来合成或分析形状。

在某些例子中，该方法或***还包括使用计算机工具箱以使用所述公式连同项之间的线性插值来合成形状。在某些例子中，该方法或***还包括使用计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲线。在某些例子中，该方法或***还包括使用计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲面。在某些例子中，该方法或***还包括在数据库对数据聚类以及使用计算机工具箱以使用所述公式执行所述聚类数据的数据挖掘。在某些例子中，该方法或***还包括使用计算机工具箱以利用所述公式执行计算。在某些例子中，该方法或***还包括所述计算涉及无网格建模。在某些例子中，该方法或***还包括所述计算涉及产品的优化设计。

在此，对于各种特征、实施例、方法和装置的优点和缺点的描述并不意味着限制本发明。例如，本发明的优选实施例的某些特征能够克服某些缺点和/或提供某些优点，诸如在此讨论的缺点和/或优点，但仍保留在此公开的特征、实施例、方法和装置的某些或全部。

附图说明

作为例子而非限制的本发明的优选实施例在附图中示出，其中：

图1是527专利的示意图的再现，其示出可包括在用于合成图案和/或分析图案的各种实施例中的各种组件（即，这些组件可同样用于实现本发明的实施例）。

图2示出在具有相同边界的所有曲面中最小化由（m,n₁,n₂,n₃,M,M₁,M₂,M₃）=（4;40;40;40;4;40;40;40）的立方体定义的各向异性能量的示意性超悬链曲面（supercatenoid）（右）。

图3是示出4个形状（A）、（B）、（C）、（D）的图，其有助于演示所有超级形状（也是高度复杂形状的，（非常）类似奇怪吸引子（strange attractor））的信息内容可被仅存储在单个公式和几个参数中。

图4是示出示意性k型Gielis曲线（k=3）的图。

图5（A）示出阶数N＝7的部分和U_N的空间分布，其表示对于图4所描述的域，拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解，其中用f(x,y)=x+cosy描述边界数据，图5（B）示出具有展开阶数N=7的部分和

的角行为（angular behavior），图5（C）示出N=7的相对边界误差e_N。

图6是示出描述有明显不连续性的超声波的示意性信号的图。

图7是示出可用于实现本发明的实施例的示意性计算机内的组件的示意图。

图8是示出根据某些示意性实施例构建的花的示意性例子的图。

图9是表示与线性插值有关的三个基本策略的图。

图10是表示与线性插值有关三个基本策略的组合的图。

具体实施方式

尽管本发明可体现为许多不同的形式，但在此描述许多示意性实施例，应当理解为本发明被认为是提供本发明的原理的例子，并且这些例子并不意味着将本发明限于在此描述和/或说明的优选实施例。

1.宇宙自然形状（Universal Natural Shape）：针对万物的几何化

Gielis曲线、曲面和（子）流形是拉梅（Lamé）曲线的概括。它们能够唯一且统一地描述在科学^2,3,4和技术^5,6,7,8中广泛应用的大量自然形状¹。这些曲线和曲面有效地模拟了如细胞、晶体和星系、DNA分子和花的不同的形状；因此，它们也被称为宇宙自然形状^9,10。在此，除了单纯的说明之外，我们描述这些曲线、曲面和子流形如何被用于在几何上理解自然形状，如同物理子流形最小化来自周围空间的张力。它们变成最自然的欧式（Euclidean）曲线和曲面。这本质上通过常数各向异性平均曲率面¹¹的出现示出。另外，这些变换允许开发用于基于逻辑笛卡尔曲面网格¹²或用半傅立叶方法¹³求解偏微分方程的通用计算方法。使用傅立叶级数以求解有关2D和3D中的任何正交极性域（normal polar domain）上的PDE在本文中被扩展以包括通用傅立叶级数和k型曲线，从而结合拉梅和傅立叶¹⁴的工作，其可应用于科学和技术的所有域。

2.宇宙自然形状

作为后文的基础的统一描述自然对象和现象以及对称的定义是几何学的“圣杯（holy grail）”。对称（-μετρια）意味着比例或右平衡，而συμμετρεω是使对象相称的故意行为，其形成几何学的基础。Gielis变换对函数f(θ)（公式1）和相关的曲线、面和（子）流形^1,9进行操作。它们提供唯一和统一的描述如植物细胞、茎和花、海星、晶体和星系的不同的各种形状¹的方式。这些都变成相称的，作为圆锥截面的单步变换。

(m,n₂,n₃∈R;n₁,A,B∈R₀)                         公式1

宇宙自然形状的概念由下面的事实促成：对拉梅曲线的方程¹⁵（公式2-6）执行的变形、通过Gielis变换以得到Gielis曲线

或表面（超级形状）

的超椭圆或超椭球基本上与毕格拉斯的闵可夫斯基定理的变换相同。它们导致在物理上相关的Friedman-

-Robertson-Walker（FLRW）时空模型^9,10。在开发自然的几何化中，基于超椭圆和超级形状作为长度指示线研究切线、切线空间和曲率可揭示闵可夫斯基¹⁶和黎曼-芬斯勒（Riemann-Finsler）¹⁶几何学中所有曲率的几何含义以及以这种方式建模的各种自然过程^9,10。伯杰¹⁹（Berger）指出：“目前的几何学模型，即使相当多，也不能够回答各种基本问题。例如：在活的生物体的所有可能的配置中，描述它在时间上的轨迹（生命）”。这种几何学（具有几何学内促发的各向异性²⁰）的发展基本上是“自然形状及其发展（不考虑创造它们的力的性质）的几何理论”的根基。

在很大程度上确定在自然界观察到的形状（从蛋白质到相对论宇宙本身）的自然原理的描述将在所涉及的“物理子流形”的内在和外在曲率¹⁰以及内在曲率和外在曲率之间不可避免的不等性方面进行。这种几何上自然曲率条件涉及在其最简单的形式中像用平均曲率H（表示统一表面张力）表示的外在曲率或用欧式3D空间中表面M的高斯曲率K表示的内在曲率那样的曲率的恒定性；因此，它们是实现基本对称或经典的变量最适度（variational optima）⁹的例子。欧拉（Euler）不等式K≤H²是两个主要曲率的几何（平方）与算术平均之间的经典关系。

实际上，拉梅曲线包括所有4个圆锥截面²²（公式3-6）。超椭圆（公式2）是圆和椭圆的概括，而幂函数、幂律^23,24仅是抛物线和双曲线的概括。超椭圆和超圆（在公式2中，A=B）使用增加到固定幂的变量（xⁿ和y^m）的加法（与算术平均有关），而幂律使用乘法（xⁿy^m=常数或x=y^m/n）。因此，自然可基于纯数字的几何与算术平均之间的不等式来研究，作为面积和圆锥截面的应用理论的展开。

${\left|\frac{x}{A}\right|}^n+{\left|\frac{y}{B}\right|}^n=1,$ $\frac{x}{A}+\frac{y}{B}=1,$ $\frac{A}{x}+\frac{B}{y}=1,$ ${\left(\frac{x}{A}\right)}^2+{\left(\frac{y}{B}\right)}^2=1,$ $\sqrt{\frac{x}{A}}+\sqrt{\frac{y}{B}}=1$ 公式2-6

拉梅和Gielis曲线和（超）曲面引入“温和的”各向异性，并已被称为“欧氏几何的最自然的曲线和曲面”²⁵。从纯几何的角度来看，自然科学中大量的形状都可以用这种相当普遍的方式生成：1）施加某些“欧氏”几何原理，和2）对由这些几何原理²⁵产生的形状应用某些Gielis变换ρ(θ)。这给出了形状如何发展和成长以及它们如何嵌入在周围空间中的精确几何意义。两个众所周知的例子，圆形和螺旋形，可用处理应力的几何原理来表征。在研究自然形状及其发展中，有两种相反的处理应力的方式，其中应力通过周围的空间而被引导到形状上¹⁰。第一个策略是“顺其自然”。在此，位置矢量和曲率矢量是平行的，圆形是相关联的形状。第二个策略是用两个垂直的矢量“完全对抗张力”，然后，对数螺旋线是相关联的形状（其与球心增长有关）。对圆形或螺旋形应用Gielis变换分别得到

（其中，

=常数）和

（k=常数）。自然向我们提供了如何从简单开始演进到无穷的最美丽和精彩的形状和形式的无限例子。

3.常数各向异性平均曲率曲面是非平衡条件的平衡形状

常数平均曲率H的德劳内（Delaunay）的旋转曲面（H＝0的平面和悬链曲面（catenoid），H≠0的球面、圆柱面、波形曲面（unduloid）和结点曲面（nodoid））是变量最适度的其它实现，用作用于各种海洋生物体的“平衡形状”²⁶。这些形状密切联系于普拉托（Plateau）问题、肥皂泡和最小曲面²⁷，尽可能有效地在所有时间都最小化表面张力。

近来，使用Gielis曲面¹¹研究常数各向异性平均曲率（CAMC）曲面、悬链曲面和德劳内曲面的各向异性类似物，Gielis曲面被定义为两个平面Gielis曲线的球形产物，如乌尔夫（Wulff）形状的例子。乌尔夫形状是各向异性能量在其是固定体积的能量的最小者¹¹意义下的“球面”。超悬链曲面具有其足够小的部分在具有相同边界的所有表面中最小化由乌尔夫形状定义的各向异性能量的属性。波形曲面和结点曲面的足够小的部分在具有相同边界并包围相同的三维体积的所有表面中最小化各向异性能量。从物理上来看，考虑某些基础的例如分子对称性，超悬链曲面是最小曲面。六边形超悬链曲面可以在棱镜、柱形或封盖的柱状形状的雪花中观察到29。像肥皂膜中的悬链曲面完全最小化用于各向同性能量的应力一样，在超悬链曲面中，由各向异性能量定义的应力也在本地被最小化。然后，超悬链曲面提供了雪花的平衡形状以及它们的发展。用于非球面形状的D’ArcyThompson的原始公式已经用常数H概括曲面。他使用两个主要曲率κ₁和κ₂之间的加权算术平均（在表面上有正交张力T_1,2）作为权重系数^26,29。同样的各向异性生长最近已在植物中被演示^30,31,32。

作为参考，图2示出在具有相同边界的所有表面中最小化用（m,n₁,n₂,n₃,M,M₁,M₂,M₃）=（4;40;40;40;4;40;40;40）的立方体定义的各向异性能量的示意性超悬链曲面（右）（参见上面的参考11的文本）。

4.用于直接描述形状的广义傅立叶级数

当前，Gielis曲线和曲面考虑以非常紧凑的方式统一描述自然形状（而不仅是如在17世纪时考虑它们的轨迹）。在不借助无限级数的情况下，这至今还是棘手的问题。在这方面，考虑科学发展的两个不同路线是有用的。最重要的路线聚焦在各向同性，其使用线和圆作为基本曲线描述形状，以欧几里得、阿基米德、托勒密（Ptolomy）、牛顿和傅立叶为最知名的代表。第二路线聚焦于唯一直接的描述，由此，大量的形状符合统一描述。这经常被显著地链接到圆锥截面。与这一直接描述的路线相关联的名字有阿波罗尼奥斯（Apollonius）、开普勒、伽利略、拉梅和闵可夫斯基。将自然形状链接到圆锥截面的Gielis变换也属于这一路线。然后，我们对自然的理解的进步源于根据圆的计算方法将这种统一的描述就像Galilei和开普勒分别将抛物线轨迹和行星轨道描述为圆锥截面一样概括成万有引力定律。牛顿的主要步骤实际上是使用圆确定任何平面曲线的曲率，奥蕾姆-开普勒-惠更斯-牛顿（Oresme-Kepler-Huygens-Newton）传统的顶峰。

这个正在进行的间接对直接表示的辩证过程是有限对无限的争论。傅立叶级数（其广泛用于在科学和技术中描述封闭轮廓和波形）对陈氏的有限类型曲线是一个例子。在子流形理论中，k型子流形包括如极小子流形的重要类别。在平面中，从纯几何点的角度来看，有且仅有一条封闭曲线，其可以用有限傅立叶级数表示，并且是圆本身^33,34。圆是有限类型（即1型（1T））的仅有的封闭平面曲线，但任何其它曲线必须具有无限类型（∞T）的傅立叶展开。傅立叶级数基于具有欧氏圆及其相关三角函数的各向同性，另一种解释是除了圆之外的所有曲线，包括椭圆，都同样复杂：一旦它们的傅立叶展开开始，就永不停止。

当拉梅-Gielis曲线用作广义傅立叶级数中的单位圆时，即，在经典傅立叶级数的任一项上，Gielis变换都可以起作用，任何Gielis曲线都可以直接编码在一个项中。它们的展开一旦开始，就立即停止。所有Gielis曲线，包括圆，都是同样简单的。这对应于这样的事实：它们被编码在一个公式中，并且与圆的不同仅在于几个参数。以同样的方式，这可以被扩展到球面调和，因为曲面（作为例子，诸如海星、金字塔、锥形物和花以及图3中的高度复杂的形状）与球面的不同仅在于几个参数。这还可用作建立k型（k是整数）曲线和曲面的起点，导致在它们自己的坐标系中的谱分解。从编码信息的角度来看，形状集合的复杂度极大地降低。图3示出了所有超级形状（也是高度复杂的形状，非常类似于奇怪吸引子）的信息内容可被存储在单个公式仅具有少数参数的公式中。

5.独特的有理科学

对于物理子流形的研究，应当指出，从几何的角度，拉普拉斯算子直接与平均曲率H有关，其是形状从周围空间接收的表面张力的度量³⁸。对于E³中的表面M²，平均曲率H出现在贝尔特拉米（Beltrami）公式

中，其中

是E³中M²的位置矢量场，Δ是M²的拉普拉斯算子，

是E³中M²的平均曲率矢量场。实际上，在k型理论中，曲线关于弧长的傅立叶展开仅仅是曲线关于它的拉普拉斯算子的谱分解³³。除了广泛统一的抽象和自然形状的描述外，本说明书结合了代数学、分析和几何学，其中前两者提供数学的基础，后者是核心³⁹。

该方法结合了加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé）（1795-1870）和约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）（1768-1830）在19世纪前二十年代的观点和见解，这两位都是巴黎高等理工学院的教授。在1817年，加布里埃尔·拉梅出版了他的名著¹⁵，主张用超椭圆（公式2，其中A=B，且n=1）作为晶体学的模型。在他后来在数学物理方面的著作中，拉梅设想从数学的角度看，研究物理***实际上是研究曲线坐标，其表示特定的物理情形。因此，曲线坐标的数学世界可被认为是物理***世界的模型⁴。为了研究物理问题，采用适当的曲线坐标***，只需要求解一个公式：曲线坐标中的泊松方程，具有合适的边界条件；其它公式和定律被减少到特殊情况⁴。现在，该解可使用傅立叶方法获得。另外，Gielis曲线和曲面带有自然曲线坐标***，适合于所研究的***，使人想起拉梅的独特的有理科学（或数学物理学）。该科学有理独特性、宇宙自然形状和形态形成的几何理论都沿着提供世界的几何图画的相同路线产生共鸣。

在几何上，广义勾股定理表示在n方体的体积中的守恒定律，其使自然形状、对象和现象是相称的（即，对称）。适合于形状的坐标的引入提供了对形状的描述和理解，大的、小的和两者之间的大部分，而幂律提供了它们可成长和发展的框架。另外，拉梅所应用的相同的方法，即代数公式中的指数调和，可用于概括概率分布。Gielis变换已经完全嵌入通常的几何学和科学中，与爱因斯坦的评论⁴⁰产生很好的共鸣：“我们最新的经验已经向我们证明，可以相信在自然界实现理想的数学简单性”。

6.计算方法

从统一直接描述的概念返回到基于各向同性的计算方法的理念，Gielis变换已经打开了对于解决边界值问题的傅立叶方法的展开的门。由于几乎所有二维和三维正交极性域用Gielis曲线和曲面描述（或者至少近似于所需要的），因此，技术已经发展到使用半傅立叶方法用伸展极坐标（stretchedpolar coordinates）求解涉及具有狄利克雷、纽曼或罗宾类型的边界条件的拉普拉斯算子（包括热、波形、拉普拉斯-、泊松-和亥姆霍兹（Helmholtz）公式）的偏微分方程^{12,13,14,35,36}。

作为该用于单个和简单形状的方法的扩展，我们提出了k型的Gielis域中拉普拉斯公式的内部和外部狄利克雷问题的分析解，作为专用于本申请的形状的例子（即，其扩展超出了上述的527专利所描述的）。在图4中示出的3型Gielis曲线是三个项的和，每个项是内接在Gielis曲线¹中的玫瑰或Grandi曲线²⁶。在玫瑰曲线中，叶片的数量取决于该数量是奇数还是偶数。使用绝对值可避免这个问题，并且叶片的数量是2m，因此，m/2用于取代公式1中的m/4。第一项是在各向同性空间中的三叶花，因为指数n_i＝2产生欧氏圆。第二和第三项分别是内接在正方形和五边形中的四叶花和五叶花，其中指数n=1。

参照图4，该图示出了k=3的示意性k型Gielis曲线，即：

在此，我们使用半傅立叶技术来求解拉普拉斯方程中的狄利克雷问题（图5（A）-（C））。在伸展极坐标系中拉普拉斯算子的技术、定理和证明的完整说明可在后面第8部分中“宇宙自然形状的补充材料……”中找到。为了评估技术在准确性和收敛速度方面的性能，使用公式7评估相对边界错误，其中，||·||表示通常的L²准则，U_N是阶数N相对于类傅立叶级数展开的部分和，表示拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解，F是描述边界值的函数。

公式7

这样，可获得解的高度准确近似值，其刻画与经典属性类似的属性。准确解与其近似值之间的差异的L²准则通常很小。解的逐点收敛属性似乎与理纳特·卡尔松（Lennart Carleson）在级数展开上的理论发现相一致，唯一的例外是由边界的会切和准会切奇点组成的一组测度零。

参照图5（A）-5（C），图5（A）示出了阶数N=7的部分和U_N的空间分布，其表示对于图4所描述的域，拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解，其中f(x,y)=x+cosy描述边界数据，图5（B）示出了具有展开阶数N=7的部分和的角行为，图5（C）示出了N＝7的相对边界误差e_N。

因此，一种对于任何这种域给出闭合形式解的通用且一致的方法替代各种方法（诸如通过最小二乘法的格林函数近似、通过迭代法的保形映射或边界积分方程的解），避免了麻烦的有限差分和有限元的计算方法。大范围的经典微分问题的闭合形式解在平面和立体中是可能的，也用于多值函数，如黎曼曲面¹²或自交（有理）Gielis曲线³⁷。该方法可以方便地扩展到用傅立叶描述子描述的形状，是一种广泛用于描述生物界中非常复杂的形状的方法。

7.建立计算工具箱

尽管使用上述新的计算方法，可以观察到朝向解的快速收敛（对于N=7），但传统的傅立叶分析仍然存在典型的缺点，最突出的是在准确性需要提高时的吉布斯（Gibbs）现象。这可通过将坐标函数直接使用于广义傅立叶分析来避免，而不是仅在描述中。图6中的示意性信号（其描述具有明显不连续性的超声波）例如用一个单一步骤（k=1）中的公式1描述，明显不连续性被直接嵌入在形状描述中。通过仅使用一个或有限个数的项（k通常很小），吉布斯现象可被避免。

这允许根据凸面或凹面形状而不是圆来将可微分性和曲率引入连续但不平滑的曲线。更一般地，它允许用角或圆锥奇点来研究具有边界的流形，两者都在流形本身上和在其切空间中，从而桥接离散点和连续点。该方法还可应用于用锐角组成形状。直到现在，这种形状不能被认为是流形。应当知道，该方法可扩展到低阶、高阶或混合阶的偏微分方程，扩展到球面调和以及其它变换（例如包括小波），扩展到L^p而不是L²等等。

此外，在此的实施例可应用于各种应用和实现，包括固体物理学、流体力学、电磁学、电信、量子理论、信号分析、化学、生物学、经济和金融。有利地，该新的和非常通用的方法允许构建“计算机工具箱”-例如，一种可编程的计算机，其被配置为运行软件，该软件被配置为执行本发明的方法，以例如在最广泛的意义上直接描述和/或计算形状和/或它们的演进。

根据某些实施例，提供一种***和/或方法，其涉及计算机或其它具有软件、硬件和/或固件的其它处理设备的编程，其被配置为创建处理工具（即，在此被称为工具箱），其可被配置为根据在此描述的新的数学原理提供一个或多个操作函数，以用于例如合成和/或分析形状等。

在优选实施例中，这种“工具箱”可通过计算机实现，诸如利用被编程为执行在此所述的过程的计算机。作为例子，在某些实施例中，计算机可包含如下所述并在图7中示出的特征。具体地，如下面图中所示，示意性的计算机或控制单元可用于实现将要由设备执行的计算过程步骤，诸如例如计算机（例如，桌上型计算机、膝上型计算机、个人数字助理、服务器计算机和/或任何其它现在或未来的计算设备）。在某些实施例中，计算机或控制单元包括中央处理单元（CPU）322，其可通过总线326与一组输入/输出（I/O）设备324通信。I/O设备324可包括例如键盘、监视器和/或其他设备。CPU322可以通过总线326与计算机可读存储媒体（例如，传统的易失性或非易失性数据存储设备）328（在此称为“存储器328”）进行通信。CPU322、I/O设备324、总线326和存储器328之间的交互可与现有技术类似。存储器328可包括例如数据330。存储器328还可存储软件338。软件338可包括许多用于实现过程的步骤的模块340。传统的编程计算可用于实现这些模块。存储器328还可存储上述和/或其它数据文件。在某些实施例中，在此描述的各种方法可通过与计算机***一起使用的计算机程序产品实现。这些实现可例如包括固定在计算机可读媒体（例如，磁盘、CD-ROM、ROM等）上或者可通过诸如调制解调器等的接口设备传送到计算机***的一系列计算机指令。通信媒体可基本上是有形的（例如，通信线路）和/或基本上是无形的（例如，使用微波、光、红外等的无线媒体）。计算机指令可用各种编程语言编写和/或可存储在存储器设备中，诸如半导体设备（例如芯片或电路）、磁质设备、光设备和/或其它存储设备。在各种实施例中，传输可以使用任何适当的通信技术。

8.宇宙自然形状的补充材料：拉普拉斯方程在Gielis域中的狄利克雷问题

拉普拉斯方程在Gielis域中的内部和外部狄利克雷问题通过使用合适的类傅里叶技术（例如参见下面的文献1）分析解决。为了验证所提出的方法，开发了基于计算机代数***

的专用数字过程。这样，可获得解的高度准确的近似值，其刻画与经典属性类似的属性。所计算的结果被发现与L.Carleson提出的关于傅立叶级数展开的理论发现（例如参见下面的文献3）很好地一致。

a.伸展极坐标中的拉普拉斯算子

考虑xy平面中的通用极坐标***

的极坐标方程为

其中，

是[0,2π]区间上的C2函数。假定域D满足

因此，

另外，假定

引入伸展半径

（下面也示为），以使得

和下面的xy平面中的曲线坐标

因此，D可通过不等式

描述。

考虑C2(D)函数

和极坐标中的拉普拉斯算子

在新的伸展坐标系

中表示该算子。

设置

则很容易发现

因此，将公式（1.8）-（1.11）替换到公式（1.6）中，可得到

对于

恢复通用极坐标中的拉普拉斯算子。

b．拉普拉斯方程的狄利克雷问题

考虑拉普拉斯方程在星型域D中的内部狄利克雷问题，该域的边界通过极坐标方程

描述，

证明下面的定理。

定理2.1，假定

其中

${\mathrm{\ϵ}}_m=\left\{\begin{array}{c}1,m=0\\ 2,m\≠0\end{array}\right.$ 是Neumann符号。然后，拉普拉斯方程（2.1）的内部边界值问题承认典型解

v(x,y)∈C²(D)                        （2.4）

以使得下面的类傅里叶级数展开成立

通过求解无限线性***，可以确定（2.5）中的系数A_m、B_m

$\underset{m=0}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{cc}{X}_{n,m}^{+}& Y_{n,m}^{+}\\ X_{n,m}^{-}& Y_{n,m}^{-}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{A}_m\\ B_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_n\\ {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right]---\left(2.6\right)$

其中，

并且m,n∈N₀

证明：在xy平面的伸展坐标***中，域D被转换成单位圆；因此，可使用特征函数（eigenfunction）方法（例如参见文献2）和分离变量法（关于变量ρ,

）来求解（2.1）。结果，问题的基本解可用下面的形式查找：

代入到拉普拉斯方程中，容易发现函数P(·)、Θ(·)必须分别满足普通微分方程：

${\mathrm{\ρ}}^2\frac{d^{2}P\left(\mathrm{\ρ}\right)}{d{\mathrm{\ρ}}^2}+\mathrm{\ρ}\frac{\mathrm{dP}\left(\mathrm{\ρ}\right)}{\mathrm{d\ρ}}-{\mathrm{\μ}}^{2}P\left(\mathrm{\ρ}\right)=0,---\left(2.11\right)$

参数μ是分离常量，它的选择受制于自然规律要求，即在平面上任何固定点处，标量场

必须是单值。因此，通过设置

μ=m∈N₀        （2.12）

发现

其中，a_m,b_m∈R，表示任意常数。满足（2.11）的径向函数P(·)可以容易地表示为

P(ρ)=c_mρ^m+d_mρ^-m,(c_m,d_m∈R)      （2.14）

通常，对于解的边界，必须假定d_m=0。因此，内部狄利克雷问题（2.1）的通用解可用下面形式查找：

最后，施加边界条件：

并使用傅里叶投影方法，可容易得到公式（2.6）-（2.8）。

注释1：考虑在具有由（2.2）给出的边界值

的单位圆上的拉普拉斯方程的相关内部狄利克雷问题。这种问题的解可以容易地表示为

根据最大原则，

的假设意味着问题（2.1）的解由（2.17）控制。因此，

使用算子的线性，发现

其中，m∈N₀。根据勒贝格（Lebesgue）定理，当m→+∞时，傅立叶系数α_m、β_m趋于零，收敛到零的阶数随着边界值的平滑度增加。根据不等式（2.19），系数A_m、B_m也是无限小的，因为

是有界的。这意味着由***（2.6）定义的矢量算子是紧凑的。实际上，我们可以将该算子分成两部分的和，以使得前者是有限维度的，而后者将最大值（或L²）准则表征为如我们期望的一样小。

类似地，可以解决外部狄利克雷问题

受到无穷大处的空值条件影响

$\underset{\mathrm{\ρ}\→+\∞}{\lim }\mathrm{\υ}(x,y)=0,---\left(2.21\right)$

具体地，可以容易地证明下面的定理。

定理2.2：根据前面的定理的假定，拉普拉斯方程（2.20）-（2.21）的外部边界值问题承认典型解。

$\mathrm{\υ}(x,y)\∈C^2(R^2\backslash D)---\left(2.22\right)$

以使得下面的类傅立叶级数展开成立

（2.23）中的系数A_m、B_m是无限线性***的解

$\underset{m=1}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{cc}{X}_{n,m}^{+}& Y_{n,m}^{+}\\ X_{n,m}^{-}& Y_{n,m}^{-}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{A}_m\\ B_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_n\\ {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right]---\left(2.24\right)$

其中

这里，m,n∈N。

注释2：应当指出，在函数

是分段连续函数的假定下，上述公式仍然成立，边界数据由平方可积函数描述，并不必需是连续的，以使得公式（2.3）中的相关傅立叶系数α_m、β_m是有限量。

c.数值例子

已开发的方法可以容易地应用于二维域D中的微分问题的解，该二维域D的边界由通用k型Gielis曲线描述

其中

表示由平滑函数

调制的普通Gielis极坐标方程。作为例子，通过使用定理2.1，拉普拉斯方程的内部狄利克雷问题已经在阶数k=3的k型Gielis域中得到解决

假定边界值由f(x,y)=x+cosy给出。

d.文献

以下的背景文献在此通过参考其全部内容而结合。

[文献1]P.Natalini,R.Patrizi,P.E.Ricci,The Dirichlet problem forthe Laplace equation in a starlike domain of a Riemann surface.Numer.Algor.,49(2008),299–313。

[文献2]G.P.Tolstov,Fourier series,Transl.from Russian by R.A.Silverman,Dover Publ.Inc.,New York,1962。

[文献3]L.Carleson,On convergence and growth of partial sums ofFourier series.Acta Math.,116(1966),135–157。

[文献4]F.Riesz,Les syst`emes d’′equations lin′eaires`a une infinit′ed’inconnues,Gauthier Villars,Paris,1952。

9.新的调制后的Gielis公式

根据优选实施例，说明下面的新的通用公式，其在计算机设备内，诸如在此描述的计算机工具箱内，具有显著有利的应用和实现。

其中，

（公式1）

在某些情况下，参数可包含偏移量，意味着不具有相同的重心或变换，意味着位于平面或空间中的其它地方。

作为参考，该新的公式在第8部分进行了描述（公式3.1），下级公式在第2部分（即公式1）和第8部分（即公式3.2）中描述。该公式产生重大的优点，超过了如在527专利中描述的优点。另外，该公式还具有有利的特殊情况，包括如在此描述的广义傅立叶级数和k型曲线。

此外，使用该新的公式，可以例如以任何所期望的准确性级别描述任何平面曲线或曲面。

该新的公式提供一种新的调制后的Gielis公式，其用平滑函数

调制。

公式1是部分和，其一般形式是：

（公式3）

非常值得注意的是，该新的调制后的Gielis公式考虑到以任何期望的准确性非常准确地描述任何曲线。

原因是傅立叶级数

$f\left(t\right)=a_0+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_n\cos \mathrm{n\ωt}+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{b}_n\sin \mathrm{n\ωt}$ （公式4）

是公式的特殊情形，由此使用三角函数，并且经典Gielis部分等于常量，表示半径为a_n或b_n的圆或各向同性空间。在通常的情况下，这些常量是函数。

傅立叶级数的逐点收敛性已经由Lennart Carleson示出，除了由边界的会切和准会切奇点组成的零测度之外。应当指出，会切和准会切可用Gielis曲线或公式1充分地表示。

10.示意性应用和实现

a.增强的合成应用（例如，制作图像、物品等）

该方法极大地扩展了构建复杂形状的可能性（诸如例如在合成各种图像、物品等中，而无需改变简单性）。

i.项之间的线性插值

原始Gielis公式（也就是在527专利中描述的超级公式）可以被理解为一种变换，其中，约束函数CF作用于可展函数

这些曲线施加约束几何，其中可展函数DF（圆、螺旋……）可以各向异性的方式按优选方向和距离展开（CF≠1）。当

是正弦或余弦函数时，可以获得超圆或超椭圆的坐标函数。同时，这种函数是广义三角函数，其允许大大拓展Grandi花或玫瑰曲线的范围。当使用Grandi曲线时，原始公式用因子m/2进行稍微的修改，因为对于Grandi曲线需要绝对值。这些产生例如在527专利中描述的花形状。

根据某些优选实施例，为了描述花的融合，可以使用公式1（即新的调制后的Gielis公式），其仅有两个项，一个用作可展函数，另一个用作约束函数。融合可以使用两个函数CF和DF的加权和实现，其中权重参数α满足0≤α≤1：

α.DF+(1-α).CF             （公式5）

图8示出示意性例子，其中用公式6（下面）构建Huernia花和Caralluma frerei（印度水牛角，右侧）。参照图8，使用DF和CF的加权和，可展函数DF（图8左侧，以蓝色示出）或约束函数CF（超多边形，右侧，以绿色示出）的“影响”可以被调整。参数可如下选择：五边形（m=5），指数n=1。α的值的范围可以从0.5到1。然后，所产生的花是：r_tot=α.r₁+(1-α)r₂（红色）。变量是n和α。这大约是五聚体花（五个花瓣），但r₁和r₂还可以改变成对称性的变量m。

$r1\left(\mathrm{\φ}\right):={[{\left(\right|\cos \left(\frac{\mathrm{\φ}\·5}{4}\right)\left|\right)}^n+{\left(\right|\sin \left(\frac{\mathrm{\φ}\·5}{4}\right)\left|\right)}^n]}^{-\frac{1}{n}}$

$r2\left(\mathrm{\φ}\right):={\left(\right|\cos \left(\frac{5\·\mathrm{\φ}}{2}\right)\left|\right)}^{\frac{1}{1}}$

rtot(φ):=α·r1(φ)+(1-α)·r2(φ)             （公式6）

这样，自然界中的大多数花都可以容易地描述，或者作为卷积或者作为加权和或者是它们的组合。在下面的表中，示出了各种示意性的可能性。DF与CF之间乘法和/或加权和的使用允许定义三个简单策略（S1-3）以描述花的变形，包括多轴对称和单轴对称花（见图9）。第一个策略（S1）作用在CF或DF上。第二和第三个策略（S2）、（S3）分别使用乘法和加法，考虑离瓣花和合瓣花。应当注意，外接多边形也可具有低旋转对称性，其引入双边对称性（参见图9中S2的右边例子）。

下面的逻辑步骤是探索策略的组合（参见图10）。空间的约束－CF对DF的作用－从而引入各向异性，具有许多积极的影响，例如，花的器官（在萼片、花瓣、雄蕊、成长中的雌蕊中）在超多边形的“角”中的等距定位和间隔。

图9是表示在花中的三个基本策略的图，而图10是表示在花中的三种基本策略的组合的图。

此外，该方法解决了用527专利的原始Gielis超级公式无法解决的问题。融合是花的演进中最重要的驱动。另外，这还可用于描述某些具有波形的现象，因为这是花的另一种图形表示。

使用级数是最简单的例子有两个原因。首先，根据策略，它仅包含两个或三个项。其次，它涉及两个函数或公式1中两个项之间的线性插值。在公式1的两个项之间，多个插值是可能的，包括导数和梯度。

尽管这部分讨论了与花有关的应用，但应当理解，根据本公开，本发明可以应用于描述或分析任何形状、波形等。

ii．k型曲线

在此，由公式1得到的形状被称为k型曲线。当函数

是三角函数时，广义傅立叶级数产生结果，其中a_n和b_n是函数而不是常数。在广义傅立叶级数中，即，在经典傅立叶级数的任意项上，可以实施拉梅-Gielis变换，而任意拉梅-Gielis曲线仅在一个项中被直接编码。当然，这是它们被编码成一个公式的事实的直接后果，并仅在几个参数上不同于圆。类似地，这可以扩展到球面调和，因为曲面（作为示意性的例子，诸如海星、棱锥、圆锥和花或高度复杂的形状）仅在几个参数上不同于球面。这还可用作建立作为总和的曲线和曲面的起始点。然后，部分和被称为具有整数k的有限k型。

具有三个项的3型的一个示意性例子是上述的在图4中再现的形状。在该图中，第一项是各向同性空间中的三叶花，因为指数n_i=2产生欧氏圆。第二和第三项分别是内接在正方形和五边形中四叶花和五叶花，其中指数n=1。在飞鸟的形状轮廓中，实际上可以观察到各种对称性。所选择的参数在图的说明中指明。具体地，图4示出示意性的k=3的k型Gielis曲线，即

iii．k型曲面

对于三维情形，Gielis曲面家族可以被无限地扩展到包括任何复杂形状的横截面。3D超级公式的参数表示是基于两个垂直横截面和

公式7

其中，ρ在完全一般性方面由公式1定义。这还可以各种方式扩展到n维。方法与用于2D曲线的方法相同。

应当理解，尽管这里的例子涉及平面或空间中的代表曲线，但在函数空间中，每一个形状都可由单个点表示。

b.增强的分析应用（例如，分析图像、物品等）

i．问题

到目前为止，Gielis曲线和曲面显示某些对称性，并且相对简单（尽管用于分析自相交形状的方法是新的）。更复杂的形状已使用C点技术（参见本发明人Johan Gielis的先前的美国专利申请No.2005/0140678A1，其整个内容在此被结合以作为参考）提出，但这是算术方案。对于科学和技术应用来说，需要直接的表示。

ii．解决方案

通常，在上述的曲线和曲面中，超级形状被定义为从0到2π（或者2kπ，在有理Gielis曲线（RGC）的情况下—使用RGC，m是导致自相交曲线的有理数）。然而，形状可以用分段超级形状定义，类似于现有技术中已知的分段线性近似（包括三角测量）。这种分段方法可通过展开诸如公式1和2进行，因此包括广义傅立叶或三角级数，或作为C点曲线（诸如在美国专利申请No.2005/0140678A1中所述的）。

iii．过程和步骤

在某些示例性实施例中，可以例如用计算机软件实现的过程步骤可以包含以下内容。

高度复杂的形状可使用公式1转换成超级公式参数。这可用多种方式进行。一个例子是使用三角函数及其总和，总和在傅立叶级数的方式后形成。在广义傅立叶级数中，即在经典傅立叶级数的任何一项上，可以进行拉梅-Gielis变换，任何拉梅-Gielis曲线仅被直接编码在一个项中。当然，这是它们被编码成一个公式的事实的直接后果，并仅在几个参数上与圆不同。类似地，这可以扩展到球面调和，因为曲面（例如海星、棱锥、圆锥和花或高度复杂的形状）仅在几个参数上不同于球面。这还可用作建立作为总和的曲线和曲面的起始点。然后，部分和被称为具有整数k的有限k型。

在某些实施例中，根据超级形状本身，软件还可以包含使用新型的导数和求导。经典的导数被欧拉（Euler）扩展以包括k阶导数（k是有理数），例如γ函数。这些提供了非整数阶的导数的插值。在计算机工具箱的某些实施例中，导数的概念包括基于Gielis公式或超级形状的求导概念的概括。在这种情况下，曲线在P点的曲率不再如在经典几何中那样基于圆，而是基于超级形状本身。

在经典的方法中，这种方法是局部操作，每个点可用圆近似，由此，摆动圆（oscullating cirle）的半径是曲线在该点的曲率的倒数，并且只有一个曲线，在该曲线上该圆也完全摆动，这曲线就是圆本身。通过用超级形状近似曲线，来自这些近似的数据可用作与该曲线相关联的单位圆（拉梅的适合于形状的坐标的观点），并且新的曲率函数可以立即导出。各向异性单位圆可具有所希望的那样多的会切点或奇点，经典傅立叶级数不能正确处理的方面。基于纯形状描述的分析包括这种奇点经验。

在最后的步骤中，这可用于将高度复杂的2D和3D形状转换成超级形状数据组。此外，这可用于各种分析应用，诸如某些示意性的例子，例如地图制作和医疗成像和/或其它应用。

c．增强的优化应用（例如，形状、物品等的优化）

1．数据挖掘

数据挖掘是计算机科学和人工智能的分支，其涉及从数据中提取模式的过程。数据挖掘正变成日益重要的工具以将大量的数据转换成提供信息优势的知识形式。数据挖掘还被认为是称为数据库中的知识发现（KDD）的大型过程中的步骤。

i．使用Gielis公式的背景和原理

在数据挖掘中，未决的问题是更高维度空间中区域的定义。Kuri-Morales等已证实超级形状可用于揭示更高维度空间中各向异性区域的存在，使用Gielis公式并通过使用进化算法来确定其参数。在当前的技术中，将各向同性用作基本假设。作为推论，如果假定更高维度空间中各向异性区域的存在，则当前的方法缺少适当的理论基础。不幸地，作为维度之咒的例子，从在3D中进行的实验走入多维度所需要的计算次数是过高的。

ii．Kuri-Morales文献

现在参照Kuri-Morales A.和Aldana-Bobadilla E.（2011）所著的TheSearch for Irregularly Shaped Clusters in Data Mining，在由KimitoFunatsu和Kiyoshi Hasegawa编辑的New Fundamental Technologies inData Mining的第17章，InTech Open Access,Rijeka,Croatia,第223-254页。

数据挖掘的一个主要目标是确定数据库中哪些对象共享感兴趣的属性的无监督过程。该过程也称为知识发现。这种新的知识可导致新的过程或产品，由此，公司可应对新的需求和客户群。在世界范围内，这在一个公司或组织中积累越来越多的数据，存储在计算机数据库或数据仓库中。这些数据不仅可与产品、过程、市场和销售有关，还可以是元数据。数据挖掘或知识发现旨在揭示数据或数据群中的隐藏模式。挖掘这种新信息的分析工具与数据库中的聚类或组的识别有关。聚类没有严格的定义，但它涉及在群中组织数据或对象的过程，该群的成员共享某些相似性。

传统的方法对高维度空间中聚类的形状施加基本约束，并主要处理超球面或通过超平面分割，但这显然限制了潜力，因为这种方法不会发现不规则聚类（Kuri-Morales，2008）。使用其它距离函数和量度会允许发现更复杂和不规则形状的聚类。简单来说，如果存在不规则集群，则普通的方法将不会发现这些聚类。但是，推论甚至更重要：如果它们存在但未被发现，这意味着基于超球面和各向异性空间或子空间的当前技术的基础是不牢固的。

实际上，已经证实原始Gielis公式（即，527专利的超级公式）可用于这种任务（参见Kuri-Morales，2008）。它提供了各种自然形状的统一数学描述，例如海星、分子和时空模型。因此，显然，各向异性空间是自然法则，而不是例外。超级公式最初在2D和3D中开发，但可被扩展到任何维度。然而，这极大地增加了复杂性，并且发现超级形状区域并不是普通的任务，并随着维度数的增加很难处理。经典Gielis曲线和曲面并不是唯一的可能解。任何貌似可行的方法表示内核函数。不管所选择的内核如何，查找不规则的形状的聚类的一个主要问题是聚类过程在许多维度中是高度非线性和非凸性的优化问题。

在Kuri-Morales2008、2011中，描述了10000个数据点如何被分布在3D空间的4个聚类中且每个聚类中有2500个数据点的实验。为了向正确的聚类重新分配数据点，使用了几个监督和无监督方法，这些方法通常用在搜索方法论的许多算法中。结果表明K均值、Kohonen地图和模糊C均值对Gielis曲面很少有效，在Gielis曲面中使用遗传算法搜索参数。这些结果是初步的，但对于其中传统的聚类技术表现不佳的合成数据，可以实现合理的聚类。该方法在某种意义上被认为是唯一的，它是唯一的没有严格涉及量度考虑的一个。因此，它是唯一确保（原则上）发现问题的可接受解的方法，诸如与数据集“C”对应的一个。然而，为了获得实际一般性的方法，有几个问题需要注意。其中，适应度函数（fitness function）必须被改进。不清楚简单的策略是否足够。第二，计算效率需要改善，因为进化算法是计算密集型的。重要的问题实际上是聚类或维度的数量的增加，其导致巨大的计算成本。并行算法和并行处理可以是一种解决方案，因为EA是可并行的。另外，由于硬件的发展，增加计算功率正成为更小的限制。

但是，从这些最初实验中获取的知识是该方法将充分地执行，其中由于概念上的限制，其它的根本不会做。另外，由于有效性是最大化位于这些聚类中的矢量组，因此，没有必要采取特殊的有效性措施，例如聚类的良好度的验证（Kuri-Morales2011）。

iii．问题说明

原始Gielis公式显示了某些局限性，因为没有涉及轨迹的可能形式的绝对选择自由。用于产生内核的可替换的选择可以是有理函数、径向基函数。不管基础内核的选择和成员函数为聚类保持更大期望的事实，挑战不是普通的。这些集中于与增加的维度和***推广到许多维度相关的计算成本。Gielis公式作为内核的主要问题在于它被认为是很难推广到n维空间。这是个问题，因为更高的维度空间非常普遍，其可运行为成千或者甚至更多的维度。

iv．过程

在某些实施例中，下面的过程步骤可被实现。

步骤1：该步骤涉及在计算机中输入需要被分析以进行知识发现的数据（该数据可来自各种领域和应用，例如，来自航线（例如，航线非法营运）、医院、保险、银行的数据或任何类型的数据仓库）。

步骤2：该步骤涉及使用随机方法（例如进化算法），其中，初始猜测由更高维度空间中的各向异性区域组成。这可使用为对象识别而概述的方法进行，考虑到维度每增加一次，复杂度就增加一倍的事实，但还应当知道，2D超级形状本身已经是更高维度空间的表示。作为超级形状的最简单的情形，拉梅（Lamé）曲线x^∧n+y^∧n=R^∧n表示三个n维体之间的等式。

步骤3：该步骤涉及通过使用来自前一组的级数展开改进区域描述。输出是有关空间的优化分割的数据，其可表示在2D或3D图形中，生成有用于在各种应用（诸如，作为例子，航线非法营运、银行和保险事宜和各种其它应用）中增加和优化效率的新知识。应当注意，这可以比任何其它现有的方法快得多地进行。

v．示意性的数据挖掘实现

在某些实施例中，数据挖掘可例如应用在已经多年收集了关于它的客户、产品、销售和/或销售详情的所有数据并数字化地存储该信息的保险公司或其它公司内。在某些实施例中，可以各种方式使用聚类，例如，1）找出用于产品推荐的客户群，或者2）知识发现，其可导致新的保险产品，或者3）预测某些客户或客户群有车辆事故的概率。

在某些实施例中，可实现数据仓库，其包括具有许多数据条目（例如，包括与例如年龄、地区、性别、职业等有关信息）的表。在预处理步骤后，生成数据仓库，根据该数据仓库可执行聚类任务。例如，对于产品推荐，新客户的数据可被发送到应用服务器。在数据预处理后，生成数据仓库，例如，聚类可用于预测对于该客户最可能的产品组合。聚类结果被评估以提供最可能的结果。该结果还可根据用户定义的参数通过使用阈值和过滤进一步改善，其可产生源自数据挖掘的模式的特定子集。这些结果或模式可以可视化在图形显示器上。最后，推荐被发送给销售人员或基于网络的工具。

数据挖掘和聚类的技术可用于知识发现，其中，保险公司的整个数据仓库被包含。目标是发现新的未开发和意外的聚类，揭示与地理位置、年龄、每年的时间等有关的普通模式。聚类算法搜索不规则的聚类或具有特定各向异性的聚类（例如，星型的聚类或者设置成五边形和/或其它设置的聚类）。本发明的公式1的一个重大优点是任何类型的不规则区域可根据超球面使用经典的聚类算法检测到，否则其会避免发现。

下一步包括与经典算法和过程比较结果确定通过使用不规则聚类获得的收益。在该步骤中，向产品开发和市场专家传送聚类，他们然后开发新的产品（例如，保险产品）。

在某些其它示例性实施例中，预测模型用于预测在某个区域某个时间发生某些汽车事故的概率。在该示意性实施例中，数据可以再次安排在数据仓库中，包括例如个人数据、过去事故的记录，将被保险的汽车的特定特征。这可以许多方式来应用，从保险地震多发地区中的房屋到保险公司的员工的履行和其产品的质量控制。

在某些实施例中，相同的工具（例如，计算机可被编程为具有实现在此所述的数学原理的软件工具，其可以应用于各种情形）可用于改善数据挖掘过程，例如，关于搜索行为的模式（例如，财政支出和/或节省）、投资的失败率和/或成功率的模式、和/或新公司的失败率和/或成功率的模式和/或其它应用的模式。在某些其它实施例中，对于数据挖掘方法，这些方法可用于基于历史数据预测。在优选实施例中，算法被嵌入在现有的数据挖掘的软件或工作流中，主要目标在于优化数据挖掘和相关过程的结果。

应当知道，本发明有大量的应用，而这些仅仅是一些示例性的例子。

2．最佳几何学产生器

在某些实施例中，在这方面，本发明考虑一种新的设计策略，其中诸如Gielis曲面和模型以及优化的方法被推广到多维搜索和变化空间。这种策略会需要包括特定的方法，诸如遗传算法（GA）。近年来，在使用遗传算法用于形状的优化方面有日益增加的兴趣。

考虑下面的多目标形状优化，

最小化{f1(a,u1,...,un),...,fm(a,u1,.

其中，c1(a,u1)=0,...,cn(a,un)=0

其中a∈U_ad。

在此，a是设计变量，U_ad是可接纳设计的集合。有几个将被优化的状态变量u1=u1(a),...,un=un(a)。它们满足一组状态方程，其可对应于几个规则。主要优点是GA易于在并行或分布式计算环境中实现。

d．增强的计算方法

i．问题说明

在数学物理和电磁学中产生的许多边界值问题（BVP）与拉普拉斯算子有关。其中，值得一提的是那些与拉普拉斯和泊松方程、波和霍尔木兹（Helmholtz）方程以及薛定谔方程有关的。然而，大多数所提到的微分问题可仅在具有特殊形状或对称性的典型域中以明确的方式得以解决。基于边界层技术、积分方程方法、保形映射和最小二乘过程的不同方法已经在科学文献中提出以克服该限制。该问题对于2D和3D中的复杂复合域变弱。

ii．解决方案

可发展一种原始的分析方法，其追溯到经典傅立叶投影方法。这些方法已在称为星型域的简单连通域中被开创。将这些方法扩展到复杂复合域是新颖的，如公式1所给出的。

iii．过程和方法

作为例子，开发了一种用于求解复杂二维域中的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的方案，其中二维域的边界用k型Gielis公式描述。正则函数被认为是边界值，虽然所提出的理论可以容易地通过假设衰减假定来扩展。例如，参见本文第8部分“宇宙自然形状的补充材料”。在示意性例子中，为了评估相关技术，已经开发了基于计算机辅助算术工具

的适合的数字过程。

所考虑的域D的极坐标方程如下：

使用已开发的用于求解Gielis域中与拉普拉斯方程相关的狄利克雷问题的基于傅立叶的方法，下面的数字结果已经在假定

上的边界值用函数f(x,y)=x+cosy描述的情况下收集。例如，参见上面所述的图5（C），其示出了作为类傅立叶部分和的扩展阶数N的函数的相对边界误差e_N，其代表用公式（1）描述的k型Gielis域中拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解。再参见上面所述的图5（B），其示出了具有扩展阶数N=7的类傅立叶部分和

的角行为，其代表用公式（1）描述的k型域中拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解。再参见上面所述的图5（A），其示出了阶数N=7的类傅立叶部分和的空间分布，它表示用公式（1）描述的k型域中拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解。

iv．例子：无网格建模

在某些例子中，使用伸展坐标***（其将星型域缩小到单位圆）允许将经典傅立叶方法应用于复杂的二维正交极性域中很多微分问题。这样，闭合形式解可通过使用适当的正交规则（quadrature rule）获得，因此避免了诸如有限差分或有限元方法的麻烦的数字技术。这些方法可以替换在本领域使用的多种技术，因为它目前可以在二维或三维中在任何域上用任何阶的导数计算BVP。应用领域包括电磁学、天线和微波波导技术、建筑和CAD/CAE。在类傅立叶部分和中需要的有限数量的项被证明是有效的，并可快速拒绝错误项。

另外，在类傅立叶部分和中需要的有限数量的项被证明是有效的，并可快速拒绝错误项，公式1的直接表示确保以特定的存储格式简单和准确地编码数据。

根据某些示意性实施例，无网格建模过程的步骤可包括以下内容。

在第一步骤中，模型可在直接使用公式的CAD或其它设计软件中直接建立，或者数据通过分析步骤变换成公式1数据。

在第二步骤中，不再需要使用网格划分（存在疑问，但工业中广泛应用），因为任何微分或差分公式可直接对所有形状（简单的或组合的）计算。例如，可以研究具有类似于图5（A）所示的形状的鸟形板上的振动或热分布。根据结果，可以在需要时通过在建筑或CAD中使用的传统方法或诸如3D打印的新的过程或其它制造，改变板的模型以提高强度、添加更多或不同的材料、修改材料的颜色或其它特征和/或与确保所有模型可有效地制造的生产相关的问题。

由于模型被清楚地定义，由此，成千上万的形状可被组合和计算，与产品数据管理或产品生命周期分析有关的所有信息可以无缝的集成到任何工作流程中。一个原因是从这些模型中获取的存储器的节省，因为相对于网格建模，文件大小通常比当前所使用的文件小三个数量级。这在如建筑、机械、电磁等的领域中具有更有效和更不易出错的工作流程和改进的产品数据管理的效果。

在最后一个步骤中，该信息可用于操作机器、打印机或其它设备以提供所期望的输出。

v．例子：某些产品的优化设计（例如，天线、微波波导、钻石切割器等）

反向方法是选择适合于周围空间的最可能的形状。可以考虑用于特定空间的特定天线或在飞机和卫星中的微波波导。例如，还可参见以上的“最佳几何计算”中的细节。

通常，形状的合成和优化起源于设计理念，并考虑有关制造、所用的材料、价格等的某些约束。例如，在机械设计中，生产电池，其具有与产品特性和该设备的设计有关的体积约束。使用该新的方法，可以采用反向路径。假定某个周围环境，诸如房间、建筑物、飞机、空腔等，可以计算设备的最佳形状。

作为示意性的特定例子，在电磁学的领域（例如，涉及天线、微波波导、雷达等），这种设备可以被开发以优化其在特定环境中的性能。在示例性实施例中，过程步骤可包括：首先，房间被扫描（即，获得描述房间的图像的数据集），并给出家具和材料细节。接着，通过工具箱（即，在计算机内提供的计算机程序，其被配置为将在此描述的数学原理应用于所述数据集）获得天线或天线阵列的最佳形状。在最后一步，构建天线（即，对于特定应用而定制）；例如，所计算的数据结果可用于操作机械，诸如切割工具、2D或3D打印机或用于单个对象产生的其它设备。可选择地，输出数据可与其它数据集成以用于产生内置应用或设备，诸如与衣物、印刷电路板、飞机和卫星有关。

作为另一个特定例子，在钻石切割的领域，在第一步，用使用视觉技术、X射线断层扫描或其它技术的设备扫描钻石原石。通常，在钻石行业，过程必须被设计成计算以尽可能小的损失从该钻石原石中切割最好的石头的最可能的方式。使用本工具箱（即，计算机实现的软件工具），可以计算特定的形状，其保证从钻石原石中得到最好的。这种形状可以是例如比经典钻石切割更全面。在最后一步，这些优化数据可用于操作激光切割机器以切割钻石。

本发明的广泛范围：

尽管在此陈述和描述了本发明的示例性实施例，但本发明并不局限于在此描述的各种优选实施例，而是包括任何和所有具有等同的单元、修改、省略、组合（例如，各种实施例的各个方面的组合）、改编或变更的实施例，如本领域的普通技术人员可以基于本发明而知道的。权利要求中的限定（例如，包括那些以后添加的）应当根据在权利要求中使用的语言进行广泛的解释，而不应限于在本说明书中或在申请过程中描述的例子，这些例子应当被解释为非独占性的。例如，在本公开中，术语“优选地”是非独占性的，意味着“优选但不限于”。在本公开中和在本申请的申请过程中，装置加功能或步骤加功能的限定将仅被应用于特定的权利要求的限定的情形，在该限定中存在所有下面的条件：a）明确记载了“用于……的装置”或“用于……的方法”；b）明确地记载了对应的功能；c）没有记载结构、材料或支持该结构的动作。在本公开和本申请的申请过程中，术语“本发明”或“发明”可用作本公开中的一个或多个方面的引用。语言“本发明”或“发明”不应当被不正确地解释为临界点的标识，不应当被不正确地解释为应用于所有方面或实施例（即，它应当被理解为本发明具有许多方面和实施例），并且不应当被不正确地解释为限制本申请或权利要求的范围。在本公开和本申请的申请过程中，术语“实施例”可用于描述任何方面、特征、过程或步骤及其组合和/或其任何一部分。在某些例子中，各种实施例可包括重叠的特征。在本公开中，可以应用以下的省略语：“如”，其含义是“例如”。

Claims (16)

1.一种合成或分析形状的方法，包括：

a）提供计算机工具箱，其被编程为求解下面的公式：

其中，

b）使用所述计算机工具箱以用所述公式合成或分析形状。

2.如权利要求1所述的方法，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式连同项之间的线性插值来合成形状。

3.如权利要求1所述的方法，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲线。

4.如权利要求1所述的方法，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲面。

5.如权利要求1所述的方法，还包括：在数据库中对数据聚类；以及使用所述计算机工具箱以使用所述公式执行所述聚类数据的数据挖掘。

6.如权利要求1所述的方法，还包括：使用所述计算机工具箱以利用所述公式执行计算。

7.如权利要求6所述的方法，其中，所述计算涉及无网格建模。

8.如权利要求6所述的方法，其中，所述计算涉及产品的优化设计。

9.一种用于合成或分析形状的计算机工具箱，包括：

a）计算机，其被编程为求解下列公式

其中，

b）所述计算机被配置为使用所述公式合成或分析形状。

10.如权利要求1所述的计算机工具箱，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式连同项之间的线性插值来合成形状。

11.如权利要求1所述的计算机工具箱，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲线。

12.如权利要求1所述的计算机工具箱，还包括：使用所述计算机工具箱以使用所述公式合成k型曲面。

13.如权利要求1所述的计算机工具箱，还包括：在数据库中对数据聚类；以及使用所述计算机工具箱以使用所述公式执行所述聚类数据的数据挖掘。

14.如权利要求1所述的计算机工具箱，还包括：使用所述计算机工具箱以利用所述公式执行计算。

15.如权利要求6所述的计算机工具箱，其中，所述计算涉及无网格建模。

16.如权利要求6所述的计算机工具箱，其中，所述计算涉及产品的优化设计。

Images