CN103364579B - 一种用于乒乓球机器人的乒乓球自旋角速度的测量方法和测量装置 - Google Patents

Abstract

本发明是一种用于乒乓球机器人的乒乓球自旋角速度的预测方法，建立了乒乓球飞行轨迹的动力学模型，利用该模型分析由视觉捕捉***得到的乒乓球飞行轨迹，并由此来计算乒乓球的自旋角速度，完善现有的乒乓球飞行轨迹的预测方法，使乒乓球机器人可以在进行乒乓球对打时提高成功率。

Description

一种用于乒乓球机器人的乒乓球自旋角速度的测量方法和测量装置

技术领域

本发明涉及一种用于乒乓球机器人的乒乓球飞行自旋角速度的计算，属于机器人技术领域。

背景技术

机器人进行快速击球作业时，需要针对事先难以预料的来球轨迹与环境因素进行瞬时交互。为了使机器人能完成有效的快速回球，使球越过球网装置，再触及对方台区，需要尽可能地快速、准确获取环境信息。在乒乓球作业过程中，中等飞行速度的球，从对手击球至球飞抵机器人能击球空间的时间约为0.5秒左右，而机器人手臂驱动球拍从静止加速到一定的速度，与球轨迹相交接触需要一定的时间，因此机器人必须尽可能早地检测到运动球的轨迹，尽早地对球将来的空中飞行、碰撞和反弹的轨迹进行预测，而不能等到球飞行至手臂的作业空间内再开始动作，这些是实现机器人有效回球的必要前提和基础。

对于乒乓球轨迹的预测，乒乓球的旋转测量是一个比较重要并且比较难的问题。在现有的测量方法中，精确度高的方法是通过在乒乓球上画网格，然后用高速摄像机采集乒乓球在飞行中的网格速度的变化，通过对所采集的数据进行处理得到乒乓球的旋转速度。这种方法虽然精度较高，但是不具有实时性，不能满足乒乓球机器人对于乒乓球轨迹快速识别的需求。因而，现有的乒乓球机器人在进行打乒乓球作业时，无法处理旋转中的乒乓球。不考虑接发弧旋球。如果对方打弧旋球，通常采用光木板球拍，对旋转球不敏感。

现有专利201110136109.4提供了一种获取乒乓球机器人球拍击球姿态和击球速度的方法，该方法能够通过预测乒乓球落点位置及乒乓球落点速度来计算机器人击球姿态，使机器人实现击打乒乓球。并不考虑到乒乓球的旋转问题。

现有专利200910095291.6公开了一种精确测量和预测乒乓球轨迹***与***运行方法，该方法可以测量并能够实时的在显示屏上回放乒乓球的轨迹，该方法只是实时的测量乒乓球的运行轨迹，也没有给出乒乓球飞行中旋转速度的相关参数。

本专利提出的飞行中的乒乓球自旋角速的检测方法，可以通过机器人的视觉捕捉***来获得乒乓球飞行的轨迹，建立乒乓球飞行的动力学模型，并利用该模型分析乒乓球飞行的轨迹，进而机算出乒乓球在飞行中的自旋角速度，使预测出乒乓球的轨迹更加精确，从而使得乒乓球机器人快速击球的成功率大大的提高。

发明内容

本发明提出了一种用于测量飞行中的对象的自旋角速度的方法，为乒乓球机器人进行打乒乓球作业提供更加精确的乒乓球轨迹预测，使乒乓球机器人提高快速击球的成功率。所述的技术方案如下：

一方面，本发明提供了一种自旋角速度的测量方法，包括：

（1）获取一系列的被测量对象在绝对坐标系中的四维坐标，包括3个方向的位置信息和一个时间信息；

（2）利用所获取的数据得到所述对象飞行的速度，并用最小二乘法拟合所述对象沿3个方向飞行轨迹的3次多项式；

（3）从上一步骤得到的3次多项式和速度信息，得到所述对象的加速度分量；

（4）对加速度方程式两边求导，并联合速度方程的行列式得到所述对象的自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z。

另一方面，本发明提供了一种自旋角速度的测量装置，包括：

视觉捕捉***，能够获取一系列的被测量对象在绝对坐标系中的四维坐标，包括3个方向的位置信息和一个时间信息；

视觉处理***，能够利用所获取的数据得到所述对象飞行的速度，并用最小二乘法拟合所述对象沿3个方向飞行轨迹的3次多项式；

所述视觉处理***还能够利用得到的3次多项式和速度信息，得到所述对象的加速度分量；以及

对加速度方程式两边求导，并联合速度方程的行列式得到所述对象的自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z。

本发明提供的技术方案的有益效果是：

通过视觉捕捉***得到的乒乓球飞行的轨迹，对该轨迹的简单分析，即可以有效地预测出乒乓球飞行的自旋角速度，可以实时的为机器人提供乒乓球轨迹数据，是机器人更加顺利的完成打乒乓球的作业。

附图说明

图1是本专利所提出的计算运行中乒乓球轨迹的方法流程图。

图2是本专利所用到的乒乓球台的详细参数以及模型的坐标系的建立位置的示意图。

图3是本发明所用到的乒乓球机器人进行乒乓球作业时的***示意图。

图4是本发明所用到的乒乓球机器人的视觉识别***的示意图。

图5是本发明施例中机器人完成击打乒乓球作业的***流程图。

具体实施方式：

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。

本发明所用的乒乓球、球台、球拍、球网采用与《乒乓球竞赛规则》中规定的相同。其详细参数如下：

（1）球台外形为与水平面平行的长方形，长2.74m，宽1.525m，台面离地面高0.76m。台面具有一致的弹性，当标准球从离台面0.30m高处落至台面时，弹起高度约为0.23m，参见图2。

（2）球网悬挂在一根绳子上，整个球网的顶端距离比赛台面0.1525m。

（3）乒乓球直径为40mm，球的质量为2.7g。

（4）球拍为椭圆形，短轴长约为0.15m，长轴长约为17cm。选用普通球拍。

建立机器人作业***的世界坐标系，坐标原点设在球台的一角，沿着乒乓球台“长”的方向为+X（朝着机器人方向为正方向，离球桌中线300mm），沿着乒乓球台“宽”的方向为+Y，由右手法则，确定+Z（正方向与重力加速度方向相反）。

机器人的进行打乒乓球作业的整体***组成如下：

天花板上有高速立体视觉，处理速度100幅/秒，对5米/秒运动的球，分辨率为5厘米一个球图，高速图像处理***可以实时计算出球的位置与速度，并根据动力学方程计算未来轨迹、落点与反弹轨迹，将计算结果通过无线通讯传给机器人，机器人预测球未来的轨迹。机器人根据自己位置、姿态，计算拦截点，进行运动规划，控制全身上下肢运动击球，参见图3。

机器人的视觉捕捉***主要组成如下所示：

***包括两个同型号的黑白智能相机，分别固定于标准乒乓球台(2.74m×1.525m)左上方和右上方对称位置的天花板上，它的视频输出线直接连接到显示器，可以实时看到相机采集的图像。智能相机集成了高性能数字处理芯片DSP与FPGA，具有较强的图像处理能力，最 高采集处理能力能够达到250帧/秒。而且具有串口、以太网接口等，并且支持TCP/IP协议。

两台智能摄像机A、B与个人电脑通过以太网接口构成局域网。其中智能相机A为服务器，智能相机B与个人电脑为客户端。当对面球台的球飞来时，两台智能相机同步采集乒乓球的轨迹，并将处理结果发送给个人电脑。个人电脑利用离线标定好的信息，完成乒乓球的三维轨迹计算。参见图4。

该方法得到乒乓球轨迹的主要过程为：

机器人的视觉捕捉***从球飞过预测线时起，获取一系列的乒乓球在绝对坐标系中的四维坐标(x_i，y_i，z_i，t_i),i为序列号。当获取了6组以上乒乓球的位置坐标后，分别对坐标的X、Y、Z分量用最小二乘法拟合乒乓球沿X、Y、Z轴飞行轨迹的3次多项式（即取m＝3，n≥6）：

$\left.\begin{array}{c}{S}_x\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{xi}}{t}^i=S_{x0}+v_{x0}t+\frac{1}{2}{a}_{x0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{x0}{t}^3\\ S_y\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{yi}}{t}^i=S_{y0}+v_{y0}t+\frac{1}{2}{a}_{y0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{y0}{t}^3\\ S_z\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{zi}}{t}^i=S_{z0}+v_{z0}t+\frac{1}{2}{a}_{z0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{z0}{t}^3\end{array}\right\}---\left(1.1\right)$

根据空气动力学，在乒乓球飞行阶段，乒乓球受主要受重力、空气阻力、马格努斯力(Magus force)的作用。空气阻力与球速的平方关系，马格努斯力与自旋速度和球速的平方成正比。一般地，只要球拍对乒乓球球的作用力不通过球的质心，球就会产生自旋，产生马格努斯效应。记球的速度矢量为自旋矢量重力加速度为则在飞行阶段乒乓球加速度的公式为：

$\stackrel{\→}{a}=-C_d\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{v}+C_m\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}\×\stackrel{\→}{v}-\stackrel{\→}{g}---\left(1.2\right)$

式中，C_d是空气阻力系数，C_m是马格努斯系数。在室内条件情况下，对于乒乓球而言，C_d的取值大约为0.12，Cm约为4×10^-5。式（1.2）右端第二项，矢量与是叉乘关系。式（1.1）是一个非线性耦合的微分方程，不易获得解析解。

对于给定速度分量v_x,v_y,v_z及自旋向量分量ω_x,ω_y,ω_z，依据式（1.2）可得作用于乒乓 球的加速度分量a_x,a_y,a_z。其表达式如下式：

$\left.\begin{array}{c}{a}_x=-C_{d}v{v}_x+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_z-v_y{\mathrm{\ω}}_z)\\ a_y=-C_{d}v{v}_y+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_z{v}_x-v_z{\mathrm{\ω}}_x)\\ a_z=-C_{d}v{v}_z+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_y-v_x{\mathrm{\ω}}_y)-g\\ a_z=-C_{d}v{v}_z+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_y-v_x{\mathrm{\ω}}_y)-g\\ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\end{array}\right\}---\left(1.3\right)$

如果直接将拟合得到的初始速度及加速度代入式（1.3），不能求解出初始自旋角速度ω_x0、ω_y0、ω_z0。方程式（1.3）是奇异的，因为下面的行列式等于零。

$\det \left|\begin{array}{ccc}0& v_z& -v_y\\ -v_z& 0& v_x\\ v_y& -v_x& 0\end{array}\right|=0---\left(1.4\right)$

实际上，可以利用式（1.3）所得的加速度率来求解角速度ω_x0、ω_y0、ω_z0。

对等式a_x＝-C_dvv_x+C_mv(ω_yv_z-v_yω_z)两边时间t求导，整理后得：

${\mathrm{\ω}}_y{a}_z-{\mathrm{\ω}}_z{a}_y=\frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{a_x}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_{m}v}---\left(1.5\right)$

其中，a_x'＝j_x0，

$v^{\′}=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\frac{\∂v}{\∂v_x}\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_y}\frac{{\mathrm{dv}}_y}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_z}\frac{{\mathrm{dv}}_z}{\mathrm{dt}}=\frac{a_x{v}_x+a_y{v}_y+a_z{v}_z}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

联合式（1.4）和（1.5），得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=\frac{1}{a_y{v}_z-a_z{v}_y}\left[\begin{array}{cc}{a}_y& -v_y\\ a_z& -v_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{C_d{v}_x}{C_m}+\frac{a_x}{C_{m}v}\\ \frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{\left(a_x\right)}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_m{v}^2}\end{array}\right]$

${\mathrm{\ω}}_y=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_y-a_x{v}_y)+a_x{a}_{y}v-{a_x}^{\′}v{v}_y+a_x{v}_y{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}---\left(1.6\right)$

${\mathrm{\ω}}_z=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_z-a_x{v}_z)+a_x{a}_{z}v-{a_x}^{\′}v{v}_z+a_x{v}_z{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}---(1.7)$

将ω_z代入a_v＝-C_dvv_y+C_mv(ω_zv_x-v_zω_x)，求解得：

${\mathrm{\ω}}_x=\frac{{\mathrm{\ω}}_z{v}_x}{v_z}-\frac{a_y+C_d{\mathrm{vv}}_y}{C_m{\mathrm{vv}}_z}---\left(1.8\right)$

乒乓球在飞行期间，作用在球上的力矩可以忽略，因此，认为乒乓球在整个飞行期间自旋角速度不变。至此我们利用乒乓球飞行的轨迹得到了乒乓球飞行中的三个方向上的自旋角速度。乒乓球在飞行中的基本参数都已经通过我们的专利提出的方法得到了。

将得到的乒乓球飞行的预测轨迹以及自旋角速度发送给乒乓球机器人，乒乓球机器人将其和自己的身***置与手臂位置进行对比，计算球拍最快可以达到的地点，将其作为预定拦截点。同时根据在拦截点的球速、球向，我方击球后预定的落点，计算自己球拍以什么速度与角度到达拦截点。并在运动过程中不停的根据自己的实际位置与球的实际位置，调节拦截点，最后精确到达拦截点，将球击回。机器人完成击打乒乓球作业的***流程图参见图5。

Claims (2)

1.一种自旋角速度的测量方法，包括：

(1)获取一系列的被测量对象在绝对坐标系中的四维坐标(x_i，y_i，z_i，t_i)，其中i为序列号，包括3个方向的位置信息和一个时间信息；

(2)当获取了6组以上所述对象的位置坐标后，利用所获取的数据得到所述对象飞行的速度v，并用最小二乘法拟合所述对象沿3个方向飞行轨迹的3次多项式:

$\left.\begin{array}{c}{S}_x\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{xi}}{t}^i=S_{x0}+v_{x0}t+\frac{1}{2}{a}_{x0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{x0}{t}^3\\ S_y\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{yi}}{t}^i=S_{y0}+v_{y0}t+\frac{1}{2}{a}_{y0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{y0}{t}^3\\ S_z\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{zi}}{t}^i=S_{z0}+v_{z0}t+\frac{1}{2}{a}_{z0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{z0}{t}^3\end{array}\right\};$

所述被测对象的加速度公式为：

$\stackrel{\→}{a}=-C_d\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{v}+C_m\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}\×\stackrel{\→}{v}-\stackrel{\→}{g}$

其中为所述对象的速度矢量，为自旋矢量，为重力加速度，C_d是空气阻力系数，C_m是马格努斯系数；

(3)对于给定速度分量v_x,v_y,v_z及自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z，得到作用于所述对象的加速度分量a_x,a_y,a_z，其表达式如下式：

$\left.\begin{array}{c}{a}_x=-C_d{\mathrm{vv}}_x+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_z-v_y{\mathrm{\ω}}_z)\\ a_y=-C_d{\mathrm{vv}}_y+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_z{v}_x-v_z{\mathrm{\ω}}_x)\\ a_z=-C_d{\mathrm{vv}}_z+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_y-v_x{\mathrm{\ω}}_y)-g\\ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\end{array}\right\};$

(4)对加速度方程式两边求导，并联合速度方程的行列式得到所述对象的自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z，过程如下：

对等式a_x＝-C_dvv_x+C_mv(ω_yv_z-v_yω_z)两边时间t求导，整理后得：

${\mathrm{\ω}}_y{a}_z-{\mathrm{\ω}}_z{a}_y=\frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{a_x}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_{m}v}$

其中，a_x'＝j_x0，

$v^{\′}=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\frac{\∂v}{{\∂v}_x}\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_y}\frac{{\mathrm{dv}}_y}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_z}\frac{{\mathrm{dv}}_z}{\mathrm{dt}}=\frac{a_x{v}_x+a_y{v}_y+a_z{v}_z}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

进一步求解得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=\frac{1}{a_y{v}_z-a_z{v}_y}\left[\begin{array}{cc}{a}_y& -v_y\\ a_z& -v_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{C_d{v}_x}{C_m}+\frac{a_x}{C_{m}v}\\ \frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{\left(a_x\right)}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_m{v}^2}\end{array}\right]$

即

${\mathrm{\ω}}_y=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_y-a_x{v}_y)+a_x{a}_{y}v-{a_x}^{\′}{\mathrm{vv}}_y+a_x{v}_y{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}$

${\mathrm{\ω}}_z=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_z-a_x{v}_z)+a_x{a}_{z}v-{a_x}^{\′}{\mathrm{vv}}_z+a_x{v}_z{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}$

将ω_z代入a_v＝-C_dvv_y+C_mv(ω_zv_x-v_zω_x)，求解得：

${\mathrm{\ω}}_x=\frac{{\mathrm{\ω}}_z{v}_x}{v_z}-\frac{a_y+C_d{\mathrm{vv}}_y}{C_m{\mathrm{vv}}_z}.$

2.一种自旋角速度的测量装置，包括：

视觉捕捉***，能够获取一系列的被测量对象在绝对坐标系中的四维坐标(x_i，y_i，z_i，t_i)，其中i为序列号，包括3个方向的位置信息和一个时间信息；

视觉处理***，能够利用所获取的数据得到所述对象飞行的速度v，并用最小二乘法拟合所述对象沿3个方向飞行轨迹的3次多项式：

$\left.\begin{array}{c}{S}_x\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{xi}}{t}^i=S_{x0}+v_{x0}t+\frac{1}{2}{a}_{x0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{x0}{t}^3\\ S_y\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{yi}}{t}^i=S_{y0}+v_{y0}t+\frac{1}{2}{a}_{y0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{y0}{t}^3\\ S_z\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{zi}}{t}^i=S_{z0}+v_{z0}t+\frac{1}{2}{a}_{z0}{t}^2+\frac{1}{6}{j}_{z0}{t}^3\end{array}\right\}$

记所述对象的速度矢量为自旋矢量重力加速度为C_d是空气阻力系数，C_m是马格努斯系数，则所述对象加速度的公式为：

$\stackrel{\→}{a}=-C_d\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{v}+C_m\left|\stackrel{\→}{v}\right|\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}\×\stackrel{\→}{v}-\stackrel{\→}{g};$

所述视觉处理***还能够利用得到的3次多项式和速度信息，对于给定速度分量v_x,v_y,v_z及自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z，得到作用于所述对象的加速度分量a_x,a_y,a_z：

$\left.\begin{array}{c}{a}_x=-C_d{\mathrm{vv}}_x+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_z-v_y{\mathrm{\ω}}_z)\\ a_y=-C_d{\mathrm{vv}}_y+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_z{v}_x-v_z{\mathrm{\ω}}_x)\\ a_z=-C_d{\mathrm{vv}}_z+C_{m}v({\mathrm{\ω}}_y{v}_y-v_x{\mathrm{\ω}}_y)-g\\ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\end{array}\right\}$

以及

对加速度方程式两边求导，并联合速度方程的行列式得到所述对象的自旋角速度ω_x,ω_y,ω_z，过程如下：

对等式a_x＝-C_dvv_x+C_mv(ω_yv_z-v_yω_z)两边时间t求导，整理后得：

${\mathrm{\ω}}_y{a}_z-{\mathrm{\ω}}_z{a}_y=\frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{a_x}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_{m}v}$

其中，a_x'＝j_x0，

$v^{\′}=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\frac{\∂v}{{\∂v}_x}\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_y}\frac{{\mathrm{dv}}_y}{\mathrm{dt}}+\frac{\∂v}{{\∂v}_z}\frac{{\mathrm{dv}}_z}{\mathrm{dt}}=\frac{a_x{v}_x+a_y{v}_y+a_z{v}_z}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

进一步求解得：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z\end{array}\right]=\frac{1}{a_y{v}_z-a_z{v}_y}\left[\begin{array}{cc}{a}_y& -v_y\\ a_z& -v_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{C_d{v}_x}{C_m}+\frac{a_x}{C_{m}v}\\ \frac{C_d{a}_x}{C_m}+\frac{{\left(a_x\right)}^{\′}v-a_x{v}^{\′}}{C_m{v}^2}\end{array}\right]$

即

${\mathrm{\ω}}_y=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_y-a_x{v}_y)+a_x{a}_{y}v-{a_x}^{\′}{\mathrm{vv}}_y+a_x{v}_y{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}$

${\mathrm{\ω}}_z=\frac{C_d{v}^2(v_x{a}_z-a_x{v}_z)+a_x{a}_{z}v-{a_x}^{\′}{\mathrm{vv}}_z+a_x{v}_z{v}^{\′}}{C_m{v}^2(a_y{v}_z-a_z{v}_y)}$

将ω_z代入a_v＝-C_dvv_y+C_mv(ω_zv_x-v_zω_x)，求解得：

${\mathrm{\ω}}_x=\frac{{\mathrm{\ω}}_z{v}_x}{v_z}-\frac{a_y+C_d{\mathrm{vv}}_y}{C_m{\mathrm{vv}}_z}.$