CN103279959B - 一种二维分析稀疏模型、其字典训练方法和图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种充分利用图像的空间相关性、需要更少的训练样本、大量节省字典的存储空间的二维分析稀疏模型，以及基于该模型的字典训练方法和图像去噪方法。

Description

一种二维分析稀疏模型、其字典训练方法和图像去噪方法

技术领域

本发明属于信号建模的技术领域，具体地涉及一种二维分析稀疏模型，以及基于该模型的字典训练方法和图像去噪方法。

背景技术

稀疏表示是一种比较成熟的的建模方式，已经被广泛研究，而且在大多数信号处理领域广泛应用，如图像去噪，纹理合成，视频处理和图像分类。利用稀疏表示对信号建模主要包括两类：合成稀疏建模和分析稀疏建模。

合成模型定义如下：x=Db,s.t.||b||₀=k，这里是一个过完备字典，其中每一列表示一个原子(基元)。是一个稀疏向量。l₀范数||·||₀用于表征稀疏信号的稀疏度，定义为一个向量中k个非零元素。在合成模型中，信号x可以由D中的k个原子线性表示^[2]。

分析模型是指一个信号x，当被一个分析字典乘后，其结果b满足b=Ωx,s.t.||b||₀=p-l，是一个稀疏信号，l表示信号x的联合稀疏度，其中合成稀疏系数向量b有l个零元素。对比与合成模型中，分析模型更加强调稀疏系数中零元素的位置，因为这些位置表明了信号x正交的空间，也就是说明了信号所属的正交补空间。

对于分析稀疏模型的研究主要包括如下三个方面：追踪算法(PursuitAlgorithm)，字典训练问题，和理论分析。过去所有的分析稀疏模型在处理二维图像时，都是将其按列或按行转化为一维高维信号，导致了以下问题：首先，图像的二维空间结构被破坏，图像间的局部相关性没有被有效利用，其次，为了得到有效的鲁棒性的估计，需要大量的高维空间中的训练样本。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种充分利用图像的空间相关性、需要更少的训练样本、大量节省字典的存储空间的二维分析稀疏模型。

本发明的技术解决方案是：这种二维分析稀疏模型，该模型为公式（2）

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{X}}_j\right\}}_{j=1}^M\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_1,{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{X_j\right\}}_{j=1}^M}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|X_j-Y_j\left|\right|}_F^2$

$s.t.{\left|\right|{\mathrm{\Ω}}_1{X}_j{\mathrm{\Ω}}_2^T\left|\right|}_0\≤p-l,\∀1\≤j\≤M,---\left(2\right)$

${\left|\right|w_i^{\left(1\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_1,$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤k\≤p_2,$

其中p=p₁×p₂,和分别为表征了图像块X_j水平特性和垂直特性的水平字典和垂直字典，和分别为Ω₁的第i行和Ω₂的第k行向量，导出稀疏信号中零元的个数为l个,M为样本集中图像块的个数，Y_j为样本集中的第j个图像块元素，是X_j加噪后的待噪图像块。

还提供了基于二维分析稀疏模型的字典训练方法，包括以下步骤：

（1）构造训练样本集I：对一副含噪图像，对该图像进行随机采样若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀=M×d₁,M表示图像块样本数量；

（2）初始化两个字典Ω₁，Ω₂：利用冗余的离散余弦变换字典的伪逆,初始化字典Ω₁，Ω₂；

（3）稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典Ω，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中vec(Y_j)表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d=d₁×d₁，于是对每一列信号vec(Y_j)，利用公式(5)求解重建结果vec(X_j)

$\left\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{\mathrm{vec}\left(X_j\right)}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(Y_j\right)-\mathrm{vec}\left(X_j\right)\left|\right|}_2^2,---\left(5\right);$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\mathrm{vec}\left(X_j\right)=0,\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d-r$

（4）字典更新：当更新Ω₂时，假设Ω₁是给定的，利用U₁=[(Ω₁X₁)^T,(Ω₁X₂)^T,Λ,(Ω₁X_M)^T]得到估计的V₁，目标函数为公式(6),当求得估计的V₁后，通过找到V₁中与当前待估计的某行基元正交的索引行J，然后对应找到U₁对应索引J下的子矩阵，然后求解公式(7)，实现对字典Ω₂的第k行进行更新，对Ω₁的更新与此相同

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{v}}_j\right\}}_{j=1}^N\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{v_j\right\}}_{j=1}^N}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|u_j-v_j\left|\right|}_2^2$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}{u}_j=0,\∀1\≤j\≤N,$

$\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d_1-r_2$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_2---\left(6\right)$

$\left\{w_k^{\left(2\right)}\right\}=\arg \min \left|\right|w_k^{\left(2\right)}{U}_J\left|\right|,s.t.{\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1---\left(7\right);$

（5）判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代停止条件则回到步骤（3），否则返回输出字典Ω₁，Ω₂，完成字典的训练。

还提供了一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像去噪方法，包括以下步骤：

（1）利用含噪图像构造待求解的图像块；

（2）利用两个训练字典Ω₁，Ω₂求解一维稀疏编码中所需字典Ω；

（3）利用一维稀疏重建方法求解Y的重建值；

（4）利用上述N个重建图像块得到去噪图像。

本发明中提出的二维分析模型中考虑了两个字典Ω₁，Ω₂分别从水平方向和垂直方向来刻画图像的特性，这样可以充分利用图像的空间结构和图像的空间相关性，这样只需要训练存储空间较小的字典就可以自适应地反映图像特性，利用训练得到的字典进行图像去噪，可以更好地从待噪图像中挖掘出原始图像特性，从而实现更好地图像去噪。本发明的实施例反映当字典Ω₁，Ω₂的存储空间大小远小于传统一维分析模型中字典Ω的存储空间的大小，而是与字典Ω₁，Ω₂张量生成的Ω₀存储空间相等时，本发明的去噪效果与传统稀疏模型的去噪效果相当。而当传统模型中字典小到与本发明字典的大小相近时，去噪效果明显下降，因此本发明中在降低字典存储空间，仍可以保证图像的去噪效果，而传统模型字典降低到与本发明字典存储大小相等时，去噪效果则明显下降，本发明的去噪效果要远远好于传统模型，而且本发明的字典训练算法较传统分析模型字典训练算法算法复杂度上有一定的降低。

附图说明

图1示出了根据本发明的基于二维分析稀疏模型的字典训练方法的流程图；

图2示出了利用本发明的基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像去噪方法的流程图。

具体实施方式

这种二维分析稀疏模型，该模型为公式（2）

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{X}}_j\right\}}_{j=1}^M\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_1,{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{X_j\right\}}_{j=1}^M}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|X_j-Y_j\left|\right|}_F^2$

$s.t.{\left|\right|{\mathrm{\Ω}}_1{X}_j{\mathrm{\Ω}}_2^T\left|\right|}_0\≤p-l,\∀1\≤j\≤M,---\left(2\right)$

${\left|\right|w_i^{\left(1\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_1,$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤k\≤p_2,$

其中p=p₁×p₂,和分别为表征了图像块X_j水平特性和垂直特性的水平字典和垂直字典，和分别为Ω₁的第i行和Ω₂的第k行向量，导出稀疏信号中零元的个数为l个,M为样本集中图像块的个数，Y_j为样本集中的第j个图像块元素，是X_j加噪后的待噪图像块。

还提供了基于二维分析稀疏模型的字典训练方法，包括以下步骤：

（3）构造训练样本集I：对一副含噪图像，对该图像进行随机采样若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集，其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀=M×d₁,M表示图像块样本数量；

（4）初始化两个字典Ω₁，Ω₂：利用冗余的离散余弦变换字典的伪逆,初始化字典Ω₁，Ω₂；

（3）稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典Ω，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中vec(Y_j)表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d=d₁×d₁，于是对每一列信号vec(Y_j)，利用公式(5)求解重建结果vec(X_j)

$\left\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{\mathrm{vec}\left(X_j\right)}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(Y_j\right)-\mathrm{vec}\left(X_j\right)\left|\right|}_2^2,---\left(5\right);$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\mathrm{vec}\left(X_j\right)=0,\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d-r$

（4）字典更新：当更新Ω₂时，假设Ω₁是给定的，利用

U₁=[(Ω₁X₁)^T,(Ω₁X₂)^T,Λ,(Ω₁X_M)^T]得到估计的V₁，目标函数为公式(6),当求得估计的V₁后，通过找到V₁中与当前待估计的某行基元正交的索引行J，然后对应找到U₁对应索引J下的子矩阵，然后求解公式(7)，实现对字典Ω₂的第k行进行更新，对Ω₁的更新与此相同

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{v}}_j\right\}}_{j=1}^N\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{v_j\right\}}_{j=1}^N}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|u_j-v_j\left|\right|}_2^2$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}{u}_j=0,\∀1\≤j\≤N,$

$\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d_1-r_2$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_2---\left(6\right)$

$\left\{w_k^{\left(2\right)}\right\}=\arg \min \left|\right|w_k^{\left(2\right)}{U}_J\left|\right|,s.t.{\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1---\left(7\right);$

（5）判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代停止条件则回到步骤（3），否则返回输出字典Ω₁，Ω₂，完成字典的训练。

还提供了一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像去噪方法，包括以下步骤：

（1）利用含噪图像构造待求解的图像块；

（2）利用两个训练字典Ω₁，Ω₂求解一维稀疏编码中所需字典Ω；

（3）利用一维稀疏重建方法求解Y的重建值；

（4）利用上述N个重建图像块得到去噪图像。

传统分析稀疏模型中将图像按列或按行扫描成向量形式，这样破坏了图像的空间结构，无法充分利用图像的空间相关性，如图像块第一行的元素与最后一行的元素不相邻，相关性较弱，而经过了按列扫描后，在训练字典过程中，认为它们是强相关的，这样训练得到的字典的结果一定不能很好地反映图像的空间相关性。传统稀疏表示模型中字典反映了向量化图像块正交补空间的特性，即只考虑了图像一个维度的特性，而本发明中提出的二维分析模型中考虑了两个字典Ω₁，Ω₂分别从水平方向和垂直方向来刻画图像的特性，这样可以充分利用图像的空间结构和图像的空间相关性，这样只需要训练存储空间较小的字典就可以自适应地反映图像特性，利用训练得到的字典进行图像去噪，可以更好地从待噪图像中挖掘出原始图像特性，从而实现更好地图像去噪。本发明的实施例反映当字典Ω₁，Ω₂的存储空间大小远小于传统一维分析模型中字典Ω的存储空间的大小，而是与字典Ω₁，Ω₂张量生成的Ω₀存储空间相等时，本发明的去噪效果与传统稀疏模型的去噪效果相当。而当传统模型中字典小到与本发明字典的大小相近时，去噪效果明显下降，因此本发明中在降低字典存储空间，仍可以保证图像的去噪效果，而传统模型字典降低到与本发明字典存储大小相等时，去噪效果则明显下降，本发明的去噪效果要远远好于传统模型，而且本发明的字典训练算法较传统分析模型字典训练算法算法复杂度上有一定的降低。

优选地，迭代条件为迭代次数是否达到上限L或噪声误差是否达到指定值。

下面具体说明本方法的具体实施例。

为了便于下文中公式和符号的理解，这里先给出些符号公式的解释。下文中黑色大写字符表示矩阵：如矩阵X，而该矩阵按列重排列后的向量形式记为vec(X)。黑色小写字符表示向量，如向量x，向量范数定义为这里x_j是向量x中的第j的元素。||·||₀表示l₀范数，用来表征一个向量的非零元素的个数。矩阵的F范数是指其中x_ij表示矩阵X的第i行第j列。矩阵U和V的Kroneckerproduct(张量积)定义为：

$U\⊗V=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{\mathrm{1,1}}V& u_{\mathrm{1,2}}V& \mathrm{\Λ}\\ u_{\mathrm{2,1}}V& u_{\mathrm{2,2}}V& \\ M& & O\end{array}\right).$

为了能够更好地引入二维分析稀疏模型，本发明首先介绍一维分析稀疏模型。矩阵X表示大小为d₁×d₁的图像块，定义Y=X+V，其中V为噪声块。当给定训练样本集为这里M₀=M×d₁，一维字典的训练过程定义为：

$\{\widehat{\mathrm{\Ω}},\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right){\}}_{j=1}^M\}=\underset{\mathrm{\Ω},{\left\{\mathrm{vec}\left(X_j\right)\right\}}_{j=1}^M}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|\mathrm{vec}\left(X_j\right)-\mathrm{vec}\left(Y_j\right)\left|\right|}_2^2$

$s.t.{\left|\right|\mathrm{\Ωvec}\left(X_j\right)\left|\right|}_0\≤-p-l,\∀1\≤j\≤M,---\left(1\right)$

${\left|\right|w_i\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p,$

这里vec(X_j)表示无噪信号，向量w_i表示冗余分析字典的第i行向量。一维分析稀疏模型假设信号vec(X_j)至少正交于Ω中的l行信号，且满足||Ωvec(X_j)||₀≤p-l。

在以上模型的基础上，本发明引入二维分析模型如下：

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{X}}_j\right\}}_{j=1}^M\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_1,{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{X_j\right\}}_{j=1}^M}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|X_j-Y_j\left|\right|}_F^2$

$s.t.{\left|\right|{\mathrm{\Ω}}_1{X}_j{\mathrm{\Ω}}_2^T\left|\right|}_0\≤p-l,\∀1\≤j\≤M,---\left(2\right)$

${\left|\right|w_i^{\left(1\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_1,$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤k\≤p_2,$

这里p=p₁×p₂,和分别为水平字典和垂直字典，和分别为Ω₁的第i行和Ω₂的第k行向量。二维分析模型指出两个字典——水平字典和垂直字典，分别表征了图像块X_j水平特性和垂直特性，当作用于图像块X_j时，可以得到一个稀疏的信号即同样这里强调的是导出稀疏信号中零元的位置，其零元个数为l个。

Ω₁和Ω₂两个字典在二维分析模型起着重要的作用。如果定义A₁=Ω₁X，A₂=Ω₂X^T，意味着Ω₁和Ω₂分别为X和X^T的字典，此时A₁，A₂为稀疏系数，而当字典Ω₁固定时，则Ω₂可看作是的稀疏字典，反之当字典Ω₂固定时，则Ω₁可看作是的稀疏字典。而当字典Ω₁，Ω₂都固定时，二维分析模型可以转化为一维分析模型，且满足这些特性将作为字典训练的依据。

本发明中可采用两阶段分块松弛方法来求解最优化问题—公式(2)，主要包括两个关键环节稀疏编码和字典更新。稀疏编码的目的是在给定字典Ω₁，Ω₂时，估计重建信号字典更新目的则在于使用以上重建信号对字典Ω₁，Ω₂进行更新。

稀疏编码阶段

当同时给定Ω₁，Ω₂时，重建可以转化为求解对每个X_j求如下最优化问题：

${\hat{X}}_j=\arg \underset{X_j}{\min }{\left|\right|Y_j-X_j\left|\right|}_F^2,s.t.{\left|\right|{\mathrm{\Ω}}_1{X}_j{\mathrm{\Ω}}_2^T\left|\right|}_0\≤p-l---\left(3\right)$

由于当Ω₁，Ω₂都固定时，令则二维分析稀疏求解问题可以转化为如下一维分析稀疏求解问题：

$\left\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{\mathrm{vec}\left(X_j\right)}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(Y_j\right)-\mathrm{vec}\left(X_j\right)\left|\right|}_F^2,---\left(4\right)$

$s.t.{\left|\right|\mathrm{\Ωvec}\left(X_j\right)\left|\right|}_0\≤p-l,{\left|\right|{\mathrm{\ω}}_i\left|\right|}_2=\mathrm{1,1}\≤i\≤p$

这里ω_i表示Ω的第i行。以上问题可以通过一维稀疏编码方法求解，如贪婪算法(GAP)，反向贪婪算法(BGA)，优化反向贪婪算法(xBG)等求解。

本发明将上述问题转化为以下问题求解：

$\left\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{\mathrm{vec}\left(X_j\right)}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(Y_j\right)-\mathrm{vec}\left(X_j\right)\left|\right|}_2^2,---\left(5\right)$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\mathrm{vec}\left(X_j\right)=0,\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d-r$

这里Λ_j正交于信号vec(X_j)的l行的索引的集合，表示对应索引为Λ_j的Ω的子矩阵，因此而r表示信号vec(X_j)所属的空间的维度，因此 $\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d-r.$

字典更新阶段：

字典训练过程的目的是使用来更新字典Ω₁，Ω₂，然而尽管得到了的估计值，但是对字典Ω₁，Ω₂的更新过程仍然是非凸优化问题，因此本发明采用交替最优算法来更新字典。对于Ω₁，Ω₂的最优化过程是类似的，下面以Ω₂的更新过程为例，给出相应的算法。

本发明中定义N=p₁×M，利用上述分析中二维分析模型的特性，则Ω₂是训练集U₁的字典。因此Ω₂的更新过程转化为以下一维字典学习问题：

$\{{\widehat{\mathrm{\Ω}}}_2,{\left\{{\hat{v}}_j\right\}}_{j=1}^N\}=\underset{{\mathrm{\Ω}}_2,{\left\{v_j\right\}}_{j=1}^N}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|u_j-v_j\left|\right|}_2^2$

$s.t.{\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}{u}_j=0,\∀1\≤j\≤N,---\left(6\right)$

$\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\Ω}}_{{2\mathrm{\Λ}}_j}\right)=d_1-r_2$

${\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1,\∀1\≤i\≤p_2$

这里u_j是U₁的第j列，v_j和V₁分别是u_j和U₁的估计。r₂表征了信号u_j所属空间的维度。

类似于稀疏求解过程(5)，我们首先固定Ω₂，然后一列一列更新V₁。而当更新字典Ω₂中的每一列时，我们将V₁中正交于的列的集合记为J时，则U_J表示U₁包含J中索引的那些列的子矩阵，因此对的更新可以通过求解以下问题求解：

$\left\{{\hat{w}}_k^{\left(2\right)}\right\}=\underset{w_k^{\left(2\right)}}{\arg \min }\left|\right|w_k^{\left(2\right)}{U}_J\left|\right|,s.t.{\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1---\left(7\right)$

这是一个SVD问题：样本集U_J的自相关矩阵对应的最小特征值的特征向量就是所求的解。

这里给出本发明中提出的二维分析稀疏模型中字典训练过程中的算法复杂度和字典存储空间大小。一个m×n的矩阵的准确SVD算法复杂度为O(min{mn²,nm²})。在一维分析稀疏模型中，对字典的每一行进行更新都需要进行一次SVD，其算法复杂度为O(d²M)(d<<M)，则更新整个一维稀疏模型的字典所需的算法复杂度为O(pd²M)。然后，在二维稀疏模型中，需要执行SVD操作的矩阵大小为d₁×N，N=p₁×M，因此字典的每一行进行更新所需算法复杂度为O(d₁ ²N)=O(dp₁M)，而更新字典Ω₁，Ω₂分别包含p₁和p₂行基元，因此，更新所有字典所需的算法复杂度为假设则本发明提出的字典更新的算法复杂度为O(pdM)。对于字典存储空间，本发明中所需的存储空间大小为(p₁+p₂)×d₁个像素，然后一维模型中所需的存储空间大小为p×d,p=p₁×p₂,很显然，本发明中大大减少了训练字典的算法复杂度和字典存储空间。

为了说明本发明中提出的二维分析稀疏模型和字典训练方法的有效性，本发明将以上理论与算法应用于图像去噪中。

本发明中使用的测试图像为：'Lena','Barbara','Boats','House','Pepper'。我们对以上信号添加均方误差σ=5的高斯白噪声，然后随机提取20,000块大小为7×7的图像块组成训练集，用于训练字典。利用冗余离散余弦DCT的伪逆对两个字典Ω₁，Ω₂进行初始化。训练过程中设置的迭代次数为20次，求解(5)的过程中令r=6。当训练得到Ω₁，Ω₂后，本发明利用训练的字典对上述加噪图像进行去噪，同时给出了现有技术中一维分析模型的字典训练结果和相应的去噪结果，从而说明本发明中提出的模型和算法的有效性。

为了验证对以上图像的去噪效果，主要是通过峰值信噪比（PeakSignaltoNoiseRatio，PSNR）度量，单位为分贝（dB）。其计算公式如下：

$\mathrm{PSNR}=10\&CenterDot;{\log }_{10}\left(\frac{{255}^2}{\mathrm{MSE}}\right)---\left(8\right)$

两幅大小为m*n的图像的均方误差MSE的定义如下：

$\mathrm{MSE}=\frac{1}{m\&times;n}\underset{x=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{y=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|\right|I(x,y)-J(x,y)\left|\right|}^2---\left(9\right)$

其中I,J分别表示原始不含噪声的图像和利用稀疏编码方法重建图像，而I(x,y),J(x,y)为对应于位置(x,y)处的像素值，则均方误差越小，则PSNR越高，则该方法的去噪效果越高。

表1以PSNR形式给出了去噪结果。前三列是本发明中的实验结果，分别对应字典大小为7×7，8×7，9×7的情况。最后一列是现有技术中字典大小为64×49的结果。与现有技术的方法相比，本发明中提出的二维模型当使用更小的字典时，却能达到和一维模型较大字典相当的去噪效果，而5副图像中有3副图像，甚至去噪效果会高于一维模型(黑体的实验数据)。

本发明进一步比较了二维分析模型和一维分析模型当字典所需存储空间大小相近情况下的去噪结果。该试验中一维分析模型的字典为4×49，而本发明给出的字典大小为8×7时的训练字典结果和去噪结果,其结果如表2所示。与现有技术的方法相比，当现有技术字典的大小与本发明字典大小相当的情况下，去噪结果则远不如本发明的结果。很显然，在字典大小相同或相当的情况下，二维分析模型较之一维分析模型能够获得更好的去噪效果。

表1

表2

由以上结果,可以看出本发明中提出的二维分析稀疏模型能够更好地利用二维图像中的二维相关性。同时本发明中给出的模型，当字典大小远小于一维分析模型所用字典时，仍能够达到相当的去噪效果，而当一维字典大小与本发明中二维字典大小相当时，则本发明中的去噪效果远远好于一维模型的去噪效果。显然，也说明了本发明中字典存储空间的有效性。

二维分析模型字典训练算法实施例

1.首先构造训练样本集I

对一副含噪图像，可以对该图像进行随机采样一些图像块。如采样7×7的图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个d₁×d₁=7×7的图像块M图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀=M×d₁,M表示图像块样本数量。如本实施例中M=20000。

2.初始化两个字典Ω₁，Ω₂

利用冗余的离散余弦变换(DCT)字典的伪逆,初始化字典Ω₁，Ω₂，两个字典大小均设置为8×7。

3.字典Ω₁，Ω₂的训练——稀疏编码

利用表格1中的算法，首先通过得到张量生成的字典Ω，将原始训练样本集中的每一块重排列，得到新的样本集其中vec(Y_j)表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d=d₁×d₁，于是对每一列信号vec(Y_j)，利用公式(5)或(10)求解重建结果vec(X_j)。

$\left\{\mathrm{vec}\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{\mathrm{vec}\left(X_j\right)}{\min }{\left|\right|\mathrm{vec}\left(Y_j\right)-\mathrm{vec}\left(X_j\right)\left|\right|}_2^2,---\left(10\right)$

$s.t.{\mathrm{\&Omega;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_j}\mathrm{vec}\left(X_j\right)=0,\mathrm{Rank}\left({\mathrm{\&Omega;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_j}\right)=d-r$

4.字典Ω₁，Ω₂的训练——字典更新

以更新Ω₂为例，假设Ω₁是给定的，利用以上求解得到的重建结果以及原始图像块可以计算

U₁=[(Ω₁X₁)^T,(Ω₁X₂)^T,Λ,(Ω₁X_M)^T]，V₁=[(Ω₁Y₁)^T,(Ω₁Y₂)^T,Λ,(Ω₁Y_M)^T]。则目前退化为字典Ω₂的更新过程。但是直接更新Ω₂比较困难，由于Ω₂是V₁的字典，因此对Ω₂字典的更新，需要找到V₁中与之正交的子矩阵。因此首先需要利用U₁=[(Ω₁X₁)^T,(Ω₁X₂)^T,Λ,(Ω₁X_M)^T]得到估计的V₁。目标函数为(6),而求解过程中实质是求解类似于(10)的问题。当求得估计的V₁后，则通过找到V₁中与当前待估计的某行基元正交的索引行J，然后对应找到U₁对应索引J下的子矩阵，然后求解问题(7)或(11)，可以对字典的第k行进行更新。

$\left\{w_k^{\left(2\right)}\right\}=\arg \min \left|\right|w_k^{\left(2\right)}{U}_j\left|\right|,s.t.{\left|\right|w_k^{\left(2\right)}\left|\right|}_2=1---\left(11\right)$

依次完成对Ω₂每一行的更新。Ω₁的计算过程同上。

5.判断是否达到迭代停止条件：如迭代次数是否达到上限L，噪声误差达到一定的限制等。如果仍满足迭代条件回到第3步，进行再次的稀疏编码和字典更新，当不满足迭代条件，则返回输出字典Ω₁，Ω₂。完成字典的训练。

二维合成模型图像去噪实施例

1.利用含噪图像构造待求解的图像块。

对已知含噪图像进行7×7的块采样，而且采样过程中使用有重叠的方式进行采样，重叠部分为overlap=1。共采样N块，则并将图像块排列成7×7N的待稀疏重建的图像，得到待重建集合Y。

2.利用两个训练字典Ω₁，Ω₂求解一维稀疏编码中所需字典Ω

通过得到张量生成的字典Ω.。

3.利用传统的一维稀疏重建方法求解Y的重建值。

本实施例采用一维传统的稀疏重建算法——最优反向贪婪算法(xBG)，对以上Y中每一个图像块进行重排列，得到对其中的每列信号vec(Y_j)进行重建，最终则其重建结果为vec(X_j)，然后对[vec(X₁),vec(X₂),Λ,vec(X_M)]进行逆重排列操作，得到图像块的形式的重建图像块集合。

4.利用上述N个重建图像块得到去噪图像。

根据采样过程中的采样方式以及相应图像块的重叠方式，将目前得到的N个重建图像块重新恢复回原始图像大小，对应于有重叠的地方，则采用取平均值的操作。即如果某个像素点被m=6个块同时共有，则该块最终的值为相应于其共有的采样块上该像素点的平均值。最终可以恢复得到重建的去噪的图像。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (4)

1.一种二维分析稀疏模型，其特征在于：该模型为公式(2)

$\{{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2,{\left\{{\hat{X}}_j\right\}}_{j=1}^M\}=\underset{{\mathrm{\&Omega;}}_1,{\mathrm{\&Omega;}}_2,{\left\{X_j\right\}}_{j=1}^M}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|\right|X_j-Y_j|{|}_F^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\mathrm{\&Omega;}}_1{X}_j{\mathrm{\&Omega;}}_2^T|{|}_0\&le;p-l,\&ForAll;1\&le;j\&le;M,\end{array}---\left(2\right)$

$\left|\right|w_i^{\left(1\right)}|{|}_2=1,\&ForAll;1\&le;i\&le;p_1,$

$\left|\right|w_k^{\left(2\right)}|{|}_2=1,\&ForAll;1\&le;k\&le;p_2,$

其中p＝p₁×p₂,和分别为表征了图像块X_j水平特性和垂直特性的水平字典和垂直字典，p₁,p₂分别表示字典Ω₁,Ω₂的行向量的个数，和分别为Ω₁的第i行和Ω₂的第k行向量，导出稀疏信号中零元的个数为l个,M为样本集中图像块的个数，Y_j为样本集中的第j个图像块元素，是X_j加噪后的待噪图像块。

2.一种基于二维分析稀疏模型的字典训练方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)构造训练样本集I：对一副含噪图像，对该图像进行随机采样若干图像块，并将图像块组合到训练样本集中，得到训练样本集其中Y_j表示对图像进行采样得到的第j个图像块的大小，表示实数域，其维度为d₁，M₀＝M×d₁,M表示图像块样本数量；

(2)初始化两个字典Ω₁，Ω₂：利用冗余的离散余弦变换字典的伪逆,初始化字典Ω₁，Ω₂；

(3)稀疏编码：首先通过得到张量生成的字典Ω，将训练样本集中的每一块重排列，得到新样本集其中vec(Y_j)表示对图像块Y_j进行按列重排列的结果，其中d＝d₁×d₁，于是对每一列信号vec(Y_j)，利用公式(5)求解重建结果vec(X_j)

$\left\{vec\left({\hat{X}}_j\right)\right\}=\arg \underset{vec\left(X_j\right)}{min}\left|\right|vec\left(Y_j\right)-vec\left(X_j\right)|{|}_2^2,---\left(5\right)$

$\begin{array}{cc}s.t.& {\mathrm{\&Omega;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_j}vec\left(X_j\right)=0,Rank\left({\mathrm{\&Omega;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_j}\right)=d-r\end{array}$

其中r为信号所属于的子空间的维度；

(4)字典更新：当更新Ω₂时，假设Ω₁是给定的，利用U₁＝[(Ω₁X₁)^T,(Ω₁X₂)^T,…,(Ω₁X_M)^T]得到估计的V₁，目标函数为公式(6),当求得估计的V₁后，通过找到V₁中与当前待估计的某行基元正交的索引行J，然后对应找到U₁对应索引J下的子矩阵，然后求解公式(7)，实现对字典Ω₂的第k行进行更新，对Ω₁的更新与此相同

$\{{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2,{\left\{{\hat{v}}_j\right\}}_{j=1}^N\}=\underset{{\mathrm{\&Omega;}}_2,{\left\{v_j\right\}}_{j=1}^N}{\arg \min }\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|\right|u_j-v_j|{|}_2^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& {\mathrm{\&Omega;}}_{2{\mathrm{\&Lambda;}}_j}{u}_j=0,\&ForAll;1\&le;j\&le;N\end{array},$

$Rank\left({\mathrm{\&Omega;}}_{2{\mathrm{\&Lambda;}}_j}\right)=d_1-r_2$

$\left|\right|w_k^{\left(2\right)}|{|}_2=1,\&ForAll;1\&le;i\&le;p_2---\left(6\right)$

$\left\{w_k^{\left(2\right)}\right\}=\arg min\left|\right|w_k^{\left(2\right)}{U}_J\left|\right|,s.t.\left|\right|w_k^{\left(2\right)}|{|}_2=1---\left(7\right);$

(5)判断是否达到迭代停止条件：如果满足迭代停止条件则回到步骤(3)，否则返回输出字典Ω₁，Ω₂，完成字典的训练。

3.根据权利要求2所述的基于二维分析稀疏模型的字典训练方法，其特征在于：迭代条件为迭代次数是否达到上限L或噪声误差是否达到指定值。

4.一种基于二维分析稀疏模型及其训练字典的图像去噪方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)利用含噪图像构造待求解的图像块；

(2)利用两个训练字典Ω₁，Ω₂求解一维稀疏编码中所需字典Ω，其中 $\mathrm{\&Omega;}={\mathrm{\&Omega;}}_1\&CircleTimes;{\mathrm{\&Omega;}}_2;$

(3)利用一维稀疏重建方法求解Y的重建值

(4)利用上述N个重建图像块得到去噪图像。