CN103246807A - 一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法。其首先选用二维正方晶格类型声子晶体原胞，将声子晶体原胞分割成M×M正方形像素型结构；然后，根据二维固-固声子晶体XY和Z模态所满足的弹性波动方程，开发出任意材料布局的二维固-固声子晶体XY和Z模态能带快速计算的平面波展开法程序，计算其带隙,然后先固定XY模态带隙，再将Z模态带隙与之比较，从而确定混合模态带隙；最后利用遗传优化算法，根据对混合模带隙的要求，搜寻二维固-固声子晶体原胞最优的材料布局。这种方法实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构；同时减少计算时间，提高计算效率。

Description

一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法

技术领域

本发明属声带隙材料设计领域，涉及一种声带隙材料拓扑优化设计方法，特别涉及一种基于遗传算法和快速平面波展开法（PWE）,对二维固-固声子晶体原胞材料分布进行拓扑优化设计，以获得所需要的二维固-固声子晶体XY和Z混合模态带隙特征。

背景技术

声子晶体是指由两种及两种以上材料在空间中按周期性排列，具有弹性波带隙的复合材料。在某些条件下，当弹性波在受到材料常数的周期性调制时，会产生声子带隙，即一定频率范围的弹性波的传播被抑制或禁止。声子晶体的这种特性具有极大的理论意义，在无源隔音、精密机械平台减振、声滤波器等新型声学功能材料等方面具有广泛的应用前景。在上述应用中，声子晶体完全带隙的存在与否及带隙大小都非常重要；而且，带隙越大，其应用价值就越高。所以，寻求具有大禁带的声子晶体结构,一直是声子晶体理论研究的重点。

传统的声子晶体设计思路一般是：在特定的晶格类型（正方晶格、三角晶格等）条件下，采用有限的几种对称图形(如二维问题中，采用圆柱、正方柱等)作为原胞的散射体,通过调整这些散射体的几何参数以及散射体和基体材料参数来打开声子晶体带隙或改善带隙的特性,进而经验性地提炼可能的设计规律,然后指导性地寻找更好的声子晶体新结构。

然而，对何种形式的声子晶体原胞结构具有所期望的最优带隙，仅根据经验性的总结和直觉性的预测，则是一个难以实现的问题，这在很大程度上束缚了人们对声子晶体的应用。

发明内容

为了克服现有的声子晶体设计分析方法的不足，本发明提出一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其基于遗传算法和快速平面波展开法，根据对二维固-固声子晶体XY和Z混合模态带隙的要求，自动寻找对应的声子晶体材料最优布局，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构，使其达到最好的技术经济性能。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：用改进的快速平面波展开法计算二维固-固像素型声子晶体XY和Z模态的频散关系，提取相应的混合模态带隙值；然后应用遗传优化算法，根据混合模态带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局。其特点是包括以下步骤：

1)初始化：随机生成N_pop个二进制数表示的染色体(个体)构成初始种群，每个二进制数的每一位被随机地设为0或者1。一般来说，一个随机产生的二进制数所对应的二维声子晶体结构不一定具有完全禁带,也正因如此,才能保证种群的多样性，更容易收敛到全局最优解。

2)计算个体适应度：采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的像素型声子晶体原胞XY模态和Z模态的频散关系。研究发现：固-固声子晶体XY模态前八个能级以下，两相邻能级间不一定都能形成完全带隙，但固-固声子晶体Z模态每两相邻能级间的带隙都能打开。所以在对固-固声子晶体混合模态带隙优化时，先计算指定的XY模态的带隙，然后将Z模态的带隙和XY模态的带隙作比较，从而确定混合模带隙。根据优化的目标，用声子晶体混合模禁带构造目标函数，然后以目标函数值来度量遗传个体的适应度。

3)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。其中,选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用精英选择与轮盘赌相结合机制；交叉操作采用平均交叉方式,随机选择染色体实施行交叉或列交叉，以增强算法的全局搜索能力；个体变异采用位变异机制。由于“优胜劣汰,适者生存”自然选择和遗传进化机理,最优秀个体的拓扑结构就越来越逼近目标要求的声子晶体原胞最优拓扑布局。

4)检验种群是否满足停止条件(例如固定的进化代数或种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤2)。优化流程见图1。

其中，所述步骤2）中遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格,晶格常数为a。声子晶体原胞被分割为M×M（M为偶数）正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的弹性材料(仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示)。声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型，即仅需1/8像素即可描述整个原胞(如图2所示)。此时,声子晶体的结构设计问题等价于像素中弹性材料的选择问题。显然,当M足够大时原则上可以表达任意形状的结构,材料边界也更光滑，但此时搜索规模往往呈指数形式增长，而且像素粒度过小也给工艺制备带来了难度。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究像素粒度适中的声子晶体结构拓扑优化设计问题。

所述步骤2）中二维固-固像素型声子晶体XY模态和Z模态所满足的波动方程为：

$\left.\begin{array}{c}\frac{{\∂}^2{u}^i}{{\∂t}^2}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\{\frac{\∂}{{\∂x}_i}\left(\mathrm{\λ}\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_l}\right)+\frac{\∂}{{\∂x}_l}[\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}^i}{{\∂x}_l}+\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_i})\left]\right\}\\ \frac{{\∂}^2{u}^z}{{\∂t}^2}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿\left({\mathrm{\μ}\▿u}^z\right)\end{array}\right\}---\left(1\right)$

其中，i，l代表坐标x，y；uⁱ为位移矢量u的i分量；ρ为材料密度；λ和μ为材料弹性常数（拉梅常数）。用改进的快速平面波展开法求解该方程组，即可得到XY和Z模态的频散关系。

所述步骤2）中用改进的快速平面波展开法求解方程组(1)时，组元材料常数g（ρ、λ和μ）的傅里叶变换g(G-G')至关重要。而对于像素型声子晶体而言，可以根据位移特性来计算任意分布的组元材料常数的傅里叶变换g(G)。

设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合。首先计算中心点像素P₀∈P_a（图3）材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)为：

$g_0\left(G\right)=\left\{\begin{array}{cc}{g}_B+f(g_A-g_B),& G=0\\ f(g_A-g_B)\sin c\left(\frac{G_{x}a}{2N}\right)\sin c\left(\frac{G_{y}a}{2N}\right),& G\≠0\end{array}---\left(2\right)\right.$

其中：a为声子晶体原胞晶格常数；G为倒格矢，G_x和G_y分别为G的x和y方向分量；

为散射体占整个原胞的填充比。

根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的傅里叶变换为：

g_r(G)-g₀(G)e^iG·r           (3)

由（3)式可以计算像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\•r}\mathrm{\δ}\left(r\right)---\left(4\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},e^{\mathrm{iG}\·r_2},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_k},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)＝[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]，r_k表示原胞中第k个像素的中心点位置，L表示声子晶体原胞分割后总的像素数。则（4）式等价于

g(G)＝g₀(G)e(G)．δ(r)        (5)

由于e(G)可以离线计算，(5)式表明，给定任意原胞结构的δ(r)后，既可以采用加法计算g(G)。将g(G)离线计算并存储，供每次带隙计算调用，从而大大降低运算量，提高运算速度。

本发明的有益效果是：可以根据对二维固-固声子晶体XY和Z混合模态带隙的要求，自动快速寻找具有全局最优的声子晶体拓扑形状，得到新颖的声子晶体结构；摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强；同时减少了计算时间，提高了计算效率，并使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

附图说明

图1是本发明基于遗传算法和快速平面波展开法对二维固-固像素型声子晶体结构XY和Z混合模态拓扑优化设计流程框图；

图2是本发明中关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称的声子晶体原胞10×10像素结构示意图和基因表达图；

图3是本发明任一填充g_a材料像素单元的材料常数傅里叶变换计算时的位移变换图；

图4是本发明实例最优声子晶体3×3原胞图；

图5是本发明实例最优声子晶体能带图；

图6是本发明实例遗传算法进化过程中的种群平均适应度及最优个体适应度变化图；

图7是本发明实例遗传算法进化过程中的最优个体对应的声子晶体原胞XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模态带隙上下限及带隙宽度变化图。

具体实施方式

以下结合说明书附图对本发明的具体实施例加以说明：

本实施例研究由两种材料构成的二维正方晶格固-固声子晶体，晶格常数a=1m。材料A为钢，其密度ρ_A=7780kg/m³、材料拉梅常数分别为λ_A=122GPa、μ_A=81GPa；材料B为环氧树脂，其密度ρ_B=1180kg/m³、材料拉梅常数分别为λ_B=4.43GPa、μ_B=1.59GPa。

本实施例包括以下步骤：

1)初始化：随机生成二进制数表示的染色体(个体)构成初始种群,初始种群规模N_pop=60。

2)计算个体适应度：声子晶体原胞被分割为20×20正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的材料(钢或环氧树脂)，采用二进制字符串形式表示,1和0分别表示材料钢和材料环氧树脂。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究声子晶体原胞关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称条件下，声子晶体结构拓扑优化设计问题。此时,仅需1/8像素即可描述整个原胞,遗传个体二进制字符串长度为55。

采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的像素型声子晶体原胞XY模态和Z模态的色散关系,得到对应的禁带数值。研究发现：钢-环氧树脂声子晶体XY模态前八个能级内，第三和第四能级以及第六和第七能级间的带隙比较容易打开，而Z模态的每相邻能级间的带隙都容易打开。所以在对钢-环氧树脂声子晶体混合模态带隙优化时，先固定XY模态的带隙，然后将Z模态的带隙和XY模态的带隙作比较，从而确定混合模带隙。此实例拓扑优化的目标设为钢-环氧树脂声子晶体XY模态第三和第四能级间的带隙所决定的混合模带隙相对值最大，即：

max: $\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_3}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_4\left(k\right)-\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}$

maxω₃(k)和minω₄(k)分别为钢-环氧树脂声子晶体XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模带隙下边缘本征频率的最大值和上边缘本征频率的最小值。然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

3)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。交叉率为0.5、变异率为0.1～0.8。

4)检验种群是否满足停止条件(种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤2)。

经过100次循环迭代，得到二维钢-环氧树脂XY和Z混合模态对应的最优拓扑结构，其3×3原胞见图4；由图4可以发现，由XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模带隙相对值最大所对应的最优拓扑结构中，钢（大材料常数）周期排列但并不相连，即为散射体（图4中的黑色部分）,基体材料为环氧树脂（图4中的白色部分）；散射体为近似正方形，填充率为50%。最优声子晶体的能带图见图5，图中横轴坐标为波矢，纵轴坐标为频率（单位：kHz）；由于采用1/8模型，用快速平面波展开法求二维钢-环氧树脂声子晶体XY和Z模态频散关系时，波矢沿不可约布里渊区ΓXM所有边(即Γ→X→M→Γ方向)扫描；钢-环氧树脂声子晶体XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模带隙的上边为Z模态的第二能级，而下边为XY模态的第三能级，即此混合模带隙是由XY模态和Z模态所共同决定的；混合模带隙相对宽度达到最大，带隙的上边缘最小值为1872Hz，下边缘最大值为837.4Hz，带隙宽度为1034.6Hz。种群的平均适应度和最优个体的适应度随优化过程而变化（图6），图中横轴坐标为遗传优化进化次数（单位：次），纵轴坐标为XY和Z混合模态相对带隙值表示的适应度；种群的平均适应度为种群每个个体适应度的平均值，其中适应度最大的个体为该种群的最优个体；由图6可以发现，遗传算法优化进化前期，进化速度很快，而在后期，特别是接近最优解时，速度很慢，最优解所对应的个体适应度为1.235。进化过程中钢-环氧树脂声子晶体XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模带隙上下限及带隙宽度变化见图7，由图7可以发现，随着优化进化的进行，带隙的上边缘值最小值在变大，下边缘最大值在变小，带隙的宽度在变大。

由结果表明：随着迭代的进行，种群向前进化，最后得到了最优的二维钢-环氧树脂声子晶体，其混合模态带隙完全打开,且相对带隙值达到最大,实现了优化的目标；这种全局拓扑优化方法超越了经验设计的局限，实现了声子晶体的主动设计。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明而并非限制本发明所描述的技术方案；因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换；而一切不脱离发明的精神和范围的技术方案及其改进，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (6)

1.一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，用改进的快速平面波展开法计算二维像素型固-固声子晶体XY和Z模态的频散关系，获取相应的带隙值，确定其混合模态带隙；然后应用遗传优化算法，根据混合模态带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局；其特征在于：包括以下步骤：

1)初始化：随机生成N_pop个二进制数表示的染色体，构成初始种群。

2)计算个体适应度：二维固-固像素型声子晶体XY模态和Z模态所满足的波动方程为：

$\left.\begin{array}{c}\frac{{\∂}^2{u}^i}{{\∂t}^2}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\{\frac{\∂}{{\∂x}_i}\left(\mathrm{\λ}\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_l}\right)+\frac{\∂}{{\∂x}_l}[\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}^i}{{\∂x}_l}+\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_i})\left]\right\}\\ \frac{{\∂}^2{u}^z}{{\∂t}^2}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿(\mathrm{\μ}\▿u^z)\end{array}\right\}---\left(1\right)$

其中，i，l代表坐标x，y；uⁱ为位移矢量u的i分量；ρ为材料密度；λ和μ为材料拉梅常数，用改进的快速平面波展开法求解该方程组，即可得到XY和Z模态的频散关系，进而确定XY和Z混合模带隙；根据优化的目标，用声子晶体混合模态禁带构造目标函数，然后以目标函数值来度量遗传个体的适应度；

3)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化；

4)检验种群是否满足停止条件，满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。

2.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其特征在于：遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格；声子晶体原胞被分割为M×M正方形像素型结构，其中M为偶数；将每个像素随机配置所选定的弹性材料，此处仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示；声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型。

3.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其特征在于：用改进的快速平面波展开法求解二维固-固像素型声子晶体XY和Z模态所满足的波动方程组时，任意分布的组元材料常数g（ρ、λ和μ）的傅里叶变换g(G)，可以根据位移特性来计算；设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合，首先计算中心点像素P₀∈P_a材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)；根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的材料常数傅里叶变换为：

g_r(G)＝g₀(G)e^iG·r

则像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\·r}\mathrm{\δ}\left(r\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},e^{\mathrm{iG}\·r_2},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_k},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)＝[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]，则：

g(G)＝g₀(G)e(G)·δ(r)

其中，G为倒格矢，r_k表示原胞中第k个像素的中心点位置，L表示声子晶体原胞分割后总的像素数；

将g(G)离线存储，供每次带隙计算调用。

4.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其特征在于：拓扑优化的目标设为XY模态第三和第四能级间的带隙所决定的混合模相对带隙值最大，即：

$\max :\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_3}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_4\left(k\right)-{\max \mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}{{\max \mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}$

maxω₃(k)和minω₄(k)分别为钢-环氧树脂声子晶体XY模态第三能级和第四能级所决定的混合模带隙下边缘本征频率的最大值和上边缘本征频率的最小值。

5.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其特征在于：先固定XY模态的带隙，然后将Z模态的带隙和XY模态的带隙作比较，从而确定混合模带隙。

6.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体混合模态带隙优化方法，其特征在于：其中,所述步骤3）中，选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用精英选择与轮盘赌相结合机制；交叉操作采用平均交叉方式,随机选择染色体实施行交叉或列交叉，以增强算法的全局搜索能力；个体变异采用位变异机制。

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