CN103200491A - 一种基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于非线性声学领域，具体涉及一种基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法。本发明包括：获取三维自治的气泡任意时刻的半径及脉动速度；测量气泡的谐振频率，估计气泡平衡半径的大小；对气泡振动***进行参数微扰；建立不同气泡平衡半径下微扰控制参数数据库。本发明方法建立了参数微扰下的气泡运动的动力学模型，提出了基于参数微扰的气泡运动混沌化控制方法，克服了高强度外加激励声场声压级实现气泡运动混沌化的限制，降低了对水声发射换能器和功率放大器等设备的要求。避免了实时拾取气泡振动响应。此方法提高了***的混沌化效果，实现了对不同半径气泡的最优控制。

Description

一种基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法

技术领域

本发明属于非线性声学领域，具体涉及一种基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法。

背景技术

目前对于气泡在声场中运动状态的研究，主要集中在周期性外部声场作用下气泡振动***的非线性动力学行为方面。气泡在一定频率和幅度的声波激励下会产生振动，如果只考虑径向振动，则可以认为气泡半径随时间的变化为此***的响应，即表现为气泡的收缩和扩张。

从现有理论基础来说，液体介质中气泡的振动规律满足一定形式的微分方程，可以通过微分方程的解来研究声场中气泡的运动状态。当气泡振动的振幅较大时，振动特性超出了线性理论的范畴，需要建立有限振幅气泡非线性振动的数学模型。此数学模型一般为非线性微分方程，可通过研究方程解的动力学行为来得到气泡的运动状态。分析此类方程解的动力学行为的方法主要有两种，一种是借助非线性动力学理论对方程进行解析分析，另一种是运用现代数值计算方法对方程进行数值分析，其中后者是快速得到此类微分方程解的动力学行为的有效途径。

混沌现象是非线性***所特有的一种运动形式，是一个确定性***的随机运动状态，表现为***的初值敏感性和运动的非周期性。对于气泡非线性动力学***来说，由于周期性外部声场的激励作用，其响应存在混沌运动形式。混沌表现出来的混乱现象一度被认为是需要抑制的对象，但在有些场合混沌的产生是有益的，例如文献“混沌隔振方法研究。船舶力学，2006,10:136-141”提出混沌在非线性隔振***中可以用来抑制低频线谱噪声。所以水中气泡的混沌运动在降低目标低频辐射噪声方面具有潜在应用价值，研究声场中气泡运动混沌化方法显得十分必要。

目前气泡运动混沌化控制方法的研究还在探索阶段，文献“声场中气泡运动的混沌特性。物理学报，2011,60:104302”讨论了外加声场参数变化时水中气泡的动力学行为，得到气泡产生混沌运动的参数区域。此方法通过控制外加声场参数，可以达到气泡运动混沌化的目的。但是气泡发生混沌运动所需的外部声场强度具有一定的阈值，通常这个阈值很大，例如平衡半径为10μm的气泡，在频率为300kHz的声波激励下，发生混沌运动的声压阈值为250kPa，一般的水声换能器很难达到要求，而且可供选择的声压混沌区域也不大。文献“基于离散混沌化方法的线谱控制技术研究。振动与冲击，2010,29:50-52”利用反馈混沌化控制方法，使非线性隔振***在谐波激励下发生稳定的混沌，并降低辐射水声中的线谱成分。此类反馈混沌化方法需要由传感器实时得到***的响应，计算出反馈信号后加入***的输入激励端。但是对于气泡振动***而言这种方法有其局限性，一方面由于气泡的不稳定性，很难实时的获得气泡振动响应，另一方面高声强声波作为气泡振动***的输入激励时，由于介质的非线性作用会产生波形畸变，而此方法对反馈信号的精度要求很高，使得声波作为反馈激励对***混沌化效果产生不利影响。

发明内容

本发明的目的在于提出一种避免了高强度外加激励声场声压级的限制，降低了***发生混沌的参数阈值，提高声场中气泡运动混沌化的有效性的声场中气泡运动混沌化控制方法。

本发明的目的是这样实现的：

本发明包括如下步骤：

(1)建立气泡振动的非线性动力学模型，对模型进行自治化，获取三维自治的气泡任意时刻的半径及脉动速度：

$\stackrel{\·}{R}=U$

$\stackrel{\·}{U}=[-\frac{U^2}{2}(3-\frac{U}{c})+(1+(1-3\mathrm{\κ})\frac{U}{c})\×(\frac{P_{\mathrm{stat}}-P_V}{\mathrm{\ρ}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρ}{R}_n}){\left(\frac{R_n}{R}\right)}^{3\mathrm{\κ}}-\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρR}}-\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρ}}\frac{U}{R}$

$-(1+\frac{U}{c})\frac{P_{\mathrm{stat}}+P_V+P_a\sin \left(2\mathrm{\π\θ}\right)}{\mathrm{\ρ}}-R\frac{2\mathrm{\π}{v}_a{P}_a}{\mathrm{\ρc}}\cos \left(2\mathrm{\π\θ}\right)]/[(1-\frac{U}{c})R+\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρc}}]$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=v_a$

其中，P_stat为环境大气压，P_V为泡内蒸汽压，p₁为作用于气泡壁上液体的压力，σ为液体表面张力，μ为液体粘滞系数，c为声波在液体中的传播速度，ρ为液体密度，κ为泡内气体的多方指数，R_n为气泡平衡半径，R为气泡任意时刻的半径，

为气泡的脉动速度，P_a为声压幅值，v_a为声波频率，θ是为将显含时间t消除化为自治形式而引入的变量；

(2)测量气泡的谐振频率f₀，估计气泡平衡半径R_n的大小,气泡的共振频率为：

$f_0=\frac{1}{2\mathrm{\π}{R}_n\sqrt{\mathrm{\ρ}}}\sqrt{3\mathrm{\κ}(p_{\mathrm{stat}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-p_V)-\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-\frac{{4\mathrm{\μ}}^2}{{\mathrm{\ρR}}_n^2}};$

(3)根据***参数R_n对气泡振动***进行参数微扰，其中

R_n=R_psin(2πf_pt)；

根据响应的时域波形、相轨迹，Poincare截面，功率谱，Lyapunov指数判断***在参数微扰控制下是否发生混沌运动；

（4）控制参数微扰频率f_p和微扰幅度R_p，选取***发生混沌的参数区域中混沌化的参数组合，建立不同气泡平衡半径下微扰控制参数数据库。

本发明的有益效果在于：

本发明方法建立了参数微扰下的气泡运动的动力学模型，提出了基于参数微扰的气泡运动混沌化控制方法，克服了高强度外加激励声场声压级实现气泡运动混沌化的限制，降低了对水声发射换能器和功率放大器等设备的要求。避免了实时拾取气泡振动响应。此方法提高了***的混沌化效果，实现了对不同半径气泡的最优控制。

附图说明

图1为参数微扰控制前，***随声压幅值P_a的分岔图；

图2为参数微扰控制后，***随声压幅值P_a的分岔图；

图3为参数微扰控制后，***随声压幅值P_a的最大Lyapunov指数图；

图4为不同微扰控制参数f_p下***分岔图；

图5为不同微扰控制参数f_p下***最大Lyapunov指数图；

图6为不同微扰控制参数R_p下***分岔图；

图7为不同微扰控制参数R_p下***最大Lyapunov指数图；

图8为基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法流程图。

具体实施方式

第一步，建立气泡振动的非线性动力学模型，进行自治化，使其不显含时间，获取三维自治的气泡任意时刻的半径及脉动速度。

第二步，测量气泡的谐振频率f₀，估计气泡平衡半径R_n的大小。

第三步，对气泡振动***进行参数微扰，控制参数微扰频率f_p和微扰幅度R_p，通过仿真选取***发生混沌的参数区域中最优的f_p和R_p参数。通过周期性的改变***参数R_n，使***产生混沌吸引子。在外加声场的激励作用下，实现气泡运动的混沌化。

具体操作如下：

首先，推导得到气泡平衡半径R_n按照谐和规律变化时，气泡在外加声场激励下运动所满足的三维自治变参数常微分方程组。

接着，利用计算机编程语言（Matlab、C）和现代数值计算方法对三维自治变参数常微分方程组进行数值计算，对方程的解进行混沌分析，判断此解是否出现混沌现象。

最后，调节不同的参数微扰频率f_p和微扰幅度R_p，得到***发生混沌的参数区域。

***混沌参数区域中混沌化效果最好的参数组合，在该参数组合下对气泡的平衡半径进行微扰，此时在周期性外加声场作用下，可以实现气泡振动***的混沌化控制。

下面结合附图对本发明做进一步描述：

首先建立液体介质中气泡在周期性外加声场激励下的数学模型，假设气泡在声场激励下只做径向振动，考虑液体的可压缩性、粘滞性、表面张力及液体的蒸汽压，气泡运动方程采用Keller-Miksis方程

$(1-\frac{\stackrel{\·}{R}}{c})R\stackrel{\·\·}{R}+\frac{3}{2}(1-\frac{\stackrel{\·}{R}}{3c}){\stackrel{\·}{R}}^2=(1+\frac{\stackrel{\·}{R}}{c})\frac{p_1}{\mathrm{\ρ}}+\frac{R}{\mathrm{\ρc}}\frac{{\mathrm{dp}}_1}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$p_1=(P_{\mathrm{stat}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-P_V){\left(\frac{R_n}{R}\right)}^{3\mathrm{\κ}}-P_{\mathrm{stat}}+P_V-\frac{2\mathrm{\σ}}{R}-\frac{4\mathrm{\μ}}{R}\stackrel{\·}{R}-P_a\sin \left(2\mathrm{\π}{v}_{a}t\right)---\left(2\right)$

其中，P_stat为环境大气压，P_V为泡内蒸汽压，p₁为作用于气泡壁上液体的压力，σ为液体表面张力，μ为液体粘滞系数，c为声波在液体中的传播速度，ρ为液体密度，κ为泡内气体的多方指数，R_n为气泡平衡半径，R为气泡任意时刻的半径，

为气泡的脉动速度，

为脉动速度变化率，P_a为声压幅值，v_a为声波频率。Keller-Miksis模型是几个具有代表意义的气泡径向振动模型中考虑因素比较全面，适用范围比较大的一个。

Keller-Miksis方程经变换可化为如下自治形式：

$\stackrel{\·}{R}=U$

$\stackrel{\·}{U}=[-\frac{U^2}{2}(3-\frac{U}{c})+(1+(1-3\mathrm{\κ})\frac{U}{c})\×(\frac{P_{\mathrm{stat}}-P_V}{\mathrm{\ρ}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρ}{R}_n}){\left(\frac{R_n}{R}\right)}^{3\mathrm{\κ}}-\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρR}}-\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρ}}\frac{U}{R}$

(3)

$-(1+\frac{U}{c})\frac{P_{\mathrm{stat}}+P_V+P_a\sin \left(2\mathrm{\π\θ}\right)}{\mathrm{\ρ}}-R\frac{2\mathrm{\π}{v}_a{P}_a}{\mathrm{\ρc}}\cos \left(2\mathrm{\π\θ}\right)]/[(1-\frac{U}{c})R+\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρc}}]$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=v_a$

其中，

为气泡的脉动速度，θ是为将显含时间t消除以使方程化为自治形式而引入的变量。

Keller-Miksis方程适用的气泡平衡半径从几微米到几毫米，适用的激励频率范围从几赫兹到几兆赫兹，适用的激励幅度范围从0帕到几兆帕。气泡的共振频率的表达式为

$f_0=\frac{1}{2\mathrm{\π}{R}_n\sqrt{\mathrm{\ρ}}}\sqrt{3\mathrm{\κ}(p_{\mathrm{stat}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-p_V)-\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-\frac{{4\mathrm{\μ}}^2}{{\mathrm{\ρR}}_n^2}}---\left(4\right)$

由于气泡对声波会产生衰减作用，当声波的频率与气泡共振频率相同时，气泡的响应具有最大的振幅，此时气泡对声波的衰减作用最大。如果用不同频率的声波对气泡进行激励，衰减最大声波对应的频率即为气泡的共振频率，带入(4)式中可以计算得到气泡的平衡半径。

通过对***参数气泡的平衡半径R_n进行微扰，可以改变***的动力学特性，即让***的吸引子产生变化，最终变成混沌吸引子，从而使***进入混沌状态。由于***的参数气泡的平衡半径是一个比较容易控制的参数，可以通过控制温度、压力来实现对气泡平衡半径的控制。考虑对方程（3）中***参数R_n按照谐和变化的方式进行微扰

R_n=R_psin(2πf_pt)                          (5)

微扰频率为f_p，微扰幅度为R_p，选择谐和变化的方式进行微扰的原因是考虑到通过温度压力手段控制平衡半径时，半径的变化会产生一定的滞后效应，若按照谐和方式变化虽然产生一定的相位差，但是波形不会有变化，而此微扰方法对微扰的相位没有要求，因此选择谐和微扰方式。这种对***参数进行周期性改变的方式也是一种激励形式，称之为参数激励，***在受到周期性外加声场的同时，如果还受到参数激励，那么***原有的周期吸引子将会随时间改变，有最终成为混沌吸引子的可能。

将(5)式带入(4)式的一阶常微分方程组，采用Runge-Kutta法求解该方程组。综合使用时间序列、相轨迹、Poincare截面、功率谱、最大Lyapunov指数多种分析手段，利用多种混沌判据来提高判别***动力学特性的准确度。如果***发生混沌运动，那么***的响应将具有非周期的时域波形，限制在一定区域具有一定混乱程度的相轨迹，一定结构的无穷多个点组成的Poincare截面，连续分布的功率谱，以及正的最大Lyapunov指数。通过以上五种混沌判据可以准确判断***在参数微扰控制下是否发生了混沌运动。

通过数值计算可以得到***发生混沌的微扰参数区域，为了说明此混沌化控制方法的效果，下面以R_n=40μm为例进行数值计算。对Keller-Miksis方程进行参数微扰混沌化控制，取初始数值计算条件如下：R|_t=0=R_n，

ρ=998kg/m³，σ=0.0725N/m，μ=0.001Pa·s，P_stat=1×10⁵Pa，P_V=2.33kPa，c=1500m/s，κ=4/3。

图1和图2分别给出R_n=40μm控制前和控制后***随外激励声压幅值P_a的分岔图，其中外激励声波频率v_a=200kHz，可以求得气泡的共振频率为f₀=79.812kHz。图1和图2所表示的***分岔图中，横坐标为不同激励声压幅值P_a，纵坐标为此声压幅值下***响应的Poincare截面上点的分布，如果纵坐标分布在一个值附近，则说明***做周期一运动，即只在激励频率v_a及其倍频处有响应；如果纵坐标值连续分布在一个有界区域内，则***正在经历状态失稳的过程，可能发生混沌运动，若此时的最大Lyapunov指数大于0，则说明***发生了混沌运动。图1为未经控制时***的分岔图，随着外激励声压的增加，***一直没有出现混沌现象，图2为控制参数为f_p=79.812kHz，R_p=5μm下的分岔图，图3为图2对应的最大Lyapunov指数图，可以看到***在P_a最低为几十千帕的量级上就可以发生混沌，显著降低了***发生混沌的参数阈值。由此可见，通过参数微扰混沌化控制方法，无需很大的激励强度的声波就可以控制混沌的产生。

不同的控制参数下，***的动力学行为不同，控制此参数的大小则可以实现***混沌化的目的。图4和图5为让参数R_p=5μm固定不变，改变控制参数f_p时***分岔图及其最大Lyapunov指数图，其中P_a=200kPa。从图4和图5中可得，选取参数f_p为78～85kHz或145～175kHz范围内时，可以使参数为P_a=200kPa、v_a=200kHz的外激励声波作用下的气泡产生混沌运动。图6和图7为让参数f_p=79.812kHz固定不变，改变控制参数R_p时***分岔图及其最大Lyapunov指数图，同样可以给出选取参数R_p为3.2～10μm范围内时，也可以使参数为P_a=200kPa、v_a=200kHz的外激励声波作用下的气泡产生混沌运动。这样就可以给出不同半径气泡在不同参数声波激励下混沌化的微扰参数f_p-R_p数据库，在可实现的合理参数组合下对气泡的平衡半径进行微扰，从而实现不同平衡半径下气泡运动混沌化的最优控制。具体流程图如图8所示。

本方法通过对气泡运动模型进行参数微扰控制，实现了在小激励声波强度下的气泡运动混沌化控制。通过数值计算验证了此方法的有效性，并设计了不同平衡半径下气泡运动混沌化的最优控制流程，结果显示本发明方法可以实现气泡运动混沌化的有效控制，因而本方法可以保证在缺乏大功率实验设备情况下对***进行混沌化控制，对工程实践具有一定的指导意义。

Claims (1)

1.一种基于参数微扰的声场中气泡运动混沌化控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立气泡振动的非线性动力学模型，对模型进行自治化，获取三维自治的气泡任意时刻的半径及脉动速度：

$\stackrel{\·}{R}=U$

$\stackrel{\·}{U}=[-\frac{U^2}{2}(3-\frac{U}{c})+(1+(1-3\mathrm{\κ})\frac{U}{c})\×(\frac{P_{\mathrm{stat}}-P_V}{\mathrm{\ρ}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρ}{R}_n}){\left(\frac{R_n}{R}\right)}^{3\mathrm{\κ}}-\frac{2\mathrm{\σ}}{\mathrm{\ρR}}-\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρ}}\frac{U}{R}$

$-(1+\frac{U}{c})\frac{P_{\mathrm{stat}}+P_V+P_a\sin \left(2\mathrm{\π\θ}\right)}{\mathrm{\ρ}}-R\frac{2\mathrm{\π}{v}_a{P}_a}{\mathrm{\ρc}}\cos \left(2\mathrm{\π\θ}\right)]/[(1-\frac{U}{c})R+\frac{4\mathrm{\μ}}{\mathrm{\ρc}}]$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=v_a$

其中，P_stat为环境大气压，P_V为泡内蒸汽压，p₁为作用于气泡壁上液体的压力，σ为液体表面张力，μ为液体粘滞系数，c为声波在液体中的传播速度，ρ为液体密度，κ为泡内气体的多方指数，R_n为气泡平衡半径，R为气泡任意时刻的半径，

为气泡的脉动速度，P_a为声压幅值，v_a为声波频率，θ是为将显含时间t消除化为自治形式而引入的变量；

(2)测量气泡的谐振频率f₀，估计气泡平衡半径R_n的大小,气泡的共振频率为：

$f_0=\frac{1}{2\mathrm{\π}{R}_n\sqrt{\mathrm{\ρ}}}\sqrt{3\mathrm{\κ}(p_{\mathrm{stat}}+\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-p_V)-\frac{2\mathrm{\σ}}{R_n}-\frac{{4\mathrm{\μ}}^2}{{\mathrm{\ρR}}_n^2}};$

(3)根据***参数R_n对气泡振动***进行参数微扰，其中

R_n=R_psin(2πf_pt)；

根据响应的时域波形、相轨迹，Poincare截面，功率谱，Lyapunov指数判断***在参数微扰控制下是否发生混沌运动；

（4）控制参数微扰频率f_p和微扰幅度R_p，选取***发生混沌的参数区域中混沌化的参数组合，建立不同气泡平衡半径下微扰控制参数数据库。

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