CN103164863A - 用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其包括：根据康普顿散射的散射光子事例投影工作原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型；根据所述散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数；根据散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数；利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像。本发明能够提高探测效率，在临床应用中大幅度降低被检测对象及操作者所受的辐射剂量、缩短检查时间、提高使用效率、完备数据采样、简化探测器结构、降低探测器成本。

Description

用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法

技术领域

本发明涉及一种成像的方法，尤其涉及一种用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法。

背景技术

正电子发射计算机断层成像（Positron Emission Computed Tomography，PET)作为一种核医学成像技术，为重大疾病的诊断、愈后观测及新药物的研发等提供了重要信息，在临床应用和生物医学研究方面具有重要价值。其主要原理是：将标记了正电子核素的药物（示踪剂）注入被检测对象体内，示踪剂上的正电子核素发生衰变时发射出正电子，正电子与体内的电子发生湮灭反应生成两个方向相反、能量为511keV的伽马光子（背靠背伽马光子对），这两个伽马光子被放置在被检测对象周围的探测器探测到。一次湮灭反应被称为一个事例，如图1、图2a和图2b所示，探测到一个事例的两个伽马光子的晶体条之间的连线称作响应线（Line of Response，LOR）。其中，图1示出了正电子湮灭产生两个伽马光子，分别被作为探测器1的两个晶体条探测。图2a和图2b则示出了背靠背伽马光子对在被检测对象内发生散射过程，实线为光子传播路径，虚线为实际LOR线，背靠背伽马光子对具体包括被注入被检测对象体内标记了正电子核素的药物（示踪剂）中的正电子核素发生衰变发射出正电子与被检测对象体内的电子发生湮灭反应生成的两个方向相反、能量为511keV的伽马光子。另外，图2a示出了单光子单次散射，单光子单次散射事例具体包括背靠背伽马光子对中有且只有一个伽马光子与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，即发生单光子单次散射的背靠背伽马光子对。在单光子单次散射事例中，背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测。图2b示出了双光子单次散射，双光子单次散射事例具体包括背靠背伽马光子对中的两个伽马光子分别与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，即发生双光子单次散射的背靠背伽马光子对。在探测到大量的这种伽马光子后，经过图像重建即可获得示踪药物在被检测对象体内的分布。由于示踪药物参与生物体内的某个生理或生化过程，因此，利用PET图像可以得到生物体内的生理或生化信息。

上述PET成像过程只限于一种理想情况，即两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用（例如康普顿散射，但不限于此），以直线传播的方式到达PET探测器被探测器探测到，这种事例被称为非散射光子事例（即好事例）。由于好事例中事例发生的位置在LOR上，因此，由好事例重建出的图像可以真实反映核素（示踪药物）的分布。然而，实际情况中，PET探测到的事例只有一部分是好事例，当一个事例的两个伽马光子在被检测对象内传播时，其中的一个或者两个伽马光子有可能与其中某个原子的核外电子发生碰撞，产生康普顿散射，光子能量和传播方向发生改变，这些发生过散射的事例称为散射光子事例，如前面所详述，散射光子事例具体包括双光子单次散射事例和单光子单次散射事例。由于散射光子事例的LOR线已经偏离了正电子湮灭所在的位置（如图2a、图2b），如果不予以剔除而将其用于图像重建，势必会造成PET图像不能真实反映示踪剂的分布，给后续的定量计算和临床诊断工作带来较大误差。因此，在传统PET中都是利用散射校正算法将散射光子事例剔除。

事实上，当建立合理的散射光子事例投影模型时，散射光子事例也可以用于图像重建获得放射性核素分布图像。由于散射光子事例在PET探测器全部探测到的事例中占了很大比例，同时利用散射光子事例和非散射光子事例进行图像重建，将提高PET的探测效率。在临床应用中，这将大幅度降低被检测对象及操作者所受的辐射剂量；在相同药物剂量下，这将缩短病人检查时间，提高PET的使用效率。

此外，PET探测器1有如图3a所示的环状结构（或闭合的多边形结构）和如图3b所示的双平板结构两种。与图3a所示的环形PET探测器1相比，图3b所示的双平板PET探测器1成本较低、安装维护简单，并且可具备更大的探测视野，有较好的应用和普及前景。但是，对于静态双平板PET探测器，发射轨迹与两平板没有交点或只有一个交点的LOR是无法被探测到的，如图4所示，在静态双平板PET探测器1中，利用散射光子事例解决数据采样不完备问题，虚线为非散射光子事例传播路径（探测器1无法获得沿该方向发射的事例），实线为散射光子事例可能的传播路径（探测器可以获得沿该方向发射的事例）。由于存在数据采样不完备问题，图像重建的质量不高，这限制了静态双平板PET探测器1的广泛应用。

鉴于此，业界开发了带有旋转机构的平板PET探测器，其虽然可以解决上述采样不完备问题。但是，与环形PET和静态双平板PET相比，其存在明显的缺点。首先，旋转机构的加入让***变得更加复杂，探测器中心和旋转中心的偏移，会造成重建时几何定位的偏差，从而严重影响图像质量；其次，旋转采集的方式需要在不同的位置获取被测物信息，扫描时间大大增加，降低了PET探测器的使用效率。

事实上，沿着上述发射轨迹与两平板没有交点或只有一个交点的LOR发射的事例如在传播过程中发生散射，成为散射光子事例，是能够被静态双平板PET的探测器所探测的（如图4），因此当利用这些散射光子事例进行重建时，将解决静态双平板PET图像重建中数据采样不完备问题。

综上，如果将散射光子事例结合非散射光子事例用于PET成像，将会能够提高PET探测器的探测效率，从而在临床应用中，大幅度降低被检测对象及操作者所受的辐射剂量；在相同药物剂量下，缩短病人检查时间，提高PET的使用效率。同时有利于解决平板结构PET探测器数据采样不完备问题，简化PET探测器结构、降低PET探测器制造和维护成本。

申请号为CN201080030171.9的中国专利申请公开一种“利用基于飞行时间信息逐个事件生成的图像内容的飞行时间正电子发射断层摄影重建”技术方案，但是该现有技术只限于具有飞行时间（time of flight，TOF）测量技术的PET探测器上使用，其需要利用TOF技术测量得到背靠背伽马光子对中两个伽马光子被探测器探测到的时间差，且只适用于背靠背伽马光子对中有且只有一个伽马光子发生康普顿散射的散射光子事例（单光子单次散射事例），因此具有较大的局限性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，以解决现有技术存在的具有较大局限性的问题。

为了解决上述问题，本发明提供一种用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其包括以下步骤：步骤一：根据康普顿散射的散射光子事例投影工作原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型，其中，所述散射光子事例包括双光子单次散射事例和单光子单次散射事例，所述双光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中的两个伽马光子分别与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，所述单光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中有且只有一个伽马光子与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，在所述单光子单次散射事例中，背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测，所述背靠背伽马光子对为被注入被检测对象体内标记了正电子核素的示踪剂中的正电子核素发生衰变发射出正电子与被检测对象体内的电子发生湮灭反应生成的两个方向相反、能量为511keV的伽马光子，所述指定模型参数由基本物理量和被检测对象的物质组成相关的物理量创建，被检测对象的物质组成相关的物理量包括通过创建被检测对象的物质组成后可参照现有的基本物理量获取方式创建的基本物理量；步骤二：根据所述散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数；所述散射光子事例点扩展函数包括双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数，所述双光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的所述背靠背伽马光子对与被检测对象发生双光子单次散射最后被探测器探测的概率，所述单光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生单光子单次散射最后被探测器探测的概率；步骤三：根据散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数，其中，所述非散射事例为所述背靠背伽马光子对中的两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用而以直线传播的方式到达探测器最后被探测器探测的光子事例，所述非散射光子事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对中的两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用而以直线传播的方式到达探测器最后被探测器探测的概率；步骤四：利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建正电子发射计算机断层成像图像。

由上可知，本发明克服了现有技术存在的局限性缺陷，不需要像TOF技术那样测量得到背靠背伽马光子对中两个伽马光子被探测器探测到的时间差，将双光子单次散射事例和单光子单次散射事例结合非散射光子事例用于PET图像重建，能够提高PET的探测效率。在临床应用中，大幅度降低被检测对象及操作者所受的辐射剂量；在相同药物剂量下，缩短病人检查时间，提高PET的使用效率。同时有利于解决平板结构PET探测器数据采样不完备问题，简化PET探测器结构、降低PET探测器制造和维护成本。

附图说明

图1为一个事例的两个伽马光子在晶体条之间的响应线的示意图；

图2a为单光子单次散射的示意图；

图2b为双光子单次散射的示意图；

图3a为环形PET探测器结构示意图；

图3b为平板PET探测器结构示意图；

图4为静态双平板PET探测器利用散射光子事例解决数据采样不完备问题的示意图；

图5为根据本发明的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法的流程示意图；

图6为本发明的计算模块的示意图；

图7为散射光子事例投影示意图；

图8为散射光子事例点扩展函数示意图；

图9为实施例装置的示意图。

其中，附图标记说明如下：

1探测器

S1、S2、S3、S4步骤

21散射光子事例投影模型创建模块

22散射光子事例点扩展函数创建模块

23非散射光子事例点扩展函数创建模块

24重建PET图像模块

31探测器

32电子学模块

33计算模块

34仿体

35放射源

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细说明。

图5示出了根据本发明的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法的流程图，如图所示，其包括四个步骤S1-S4且依序说明如下。

步骤S1：根据康普顿散射的散射光子事例投影工作原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型。

在该步骤S1中，散射光子事例包括双光子单次散射事例和单光子单次散射事例。双光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中的两个伽马光子分别与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，即发生双光子单次散射的背靠背伽马光子对。单光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中有且只有一个伽马光子与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，即发生单光子单次散射的背靠背伽马光子对；在单光子单次散射事例中，背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测。所述背靠背伽马光子对为被注入被检测对象体内标记了正电子核素的示踪剂中的正电子核素发生衰变发射出正电子与被检测对象体内的电子发生湮灭反应生成的两个方向相反、能量为511keV的伽马光子。

指定模型参数由基本物理量和被检测对象的物质组成相关的物理量创建。基本物理量可参照现有的基本物理量（例如后面的公式1）获取方式创建，具体可通过公开的研究资料和基本物理量数据库等现有的基本物理量获取方式创建。被检测对象的物质组成相关的物理量包括通过创建被检测对象的物质组成后可参照现有的基本物理量获取方式创建的物理量。

创建被检测对象的物质组成具体包括：使用测量方法来创建被检测对象的物质组成，具体通过使用计算机断层成像（Computer Tomography，CT）、磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）等现有的具有创建被检测对象三维结构图像功能的方式创建被检测对象三维结构图像，从而创建被检测对象的物质组成；或，使用非测量方法创建被检测对象的物质组成，具体通过被检测对象的物质组成的先验知识计算来创建被检测对象的物质组成。

该步骤S1可以由计算机根据康普顿散射的散射光子事例投影工作原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型，如下：

为突出关键物理规律同时避免冗繁计算，散射光子事例投影概率模型对三维空间进行了抽象，在空间中任意切面形成的二维平面上建立数学描述，当然不限于此，也可以直接在三维空间中建立三维数学描述。

公式1描述了初始能量为E₀的光子与被检测对象发生康普顿散射后，其剩余能量E_ω与散射角度ω关系。

$E_{\mathrm{\ω}}=\frac{E_0}{1+\frac{E_0}{m{c}^2}(1-\cos \mathrm{\ω})},$ 公式1

其中，m是电子静止质量，c是光速，m和c都是基本物理量。

参考图7和图8，公式2描述了双光子单次散射事例的康普顿散射投影过程，即由模型空间内的点S发射的背靠背伽马光子对分别在点M₁、点M₂与被检测对象（即散射介质）相互作用发生康普顿散射，散射角度分别为ω₁、ω₂（即散射角度对(ω₁,ω₂)），两个伽马光子被散射后运动径迹发生改变最后分别被探测器单元D₁、D₂(即探测器单元对(D₁,D₂))探测到的概率，即通量微分。

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S,(M_1,M_2))=\frac{f\left(S\right)d{S}_S}{2\mathrm{\π}}\mathrm{\δ}(\∠M_{1}S{M}_2-\mathrm{\π})\mathrm{\φ}(S\→M_1)\frac{1}{\mathrm{\σ}}\mathrm{\φ}(S\→M_2)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_1\right)n_e\left(M_1\right)d{S}_{M_1}$

$\mathrm{\φ}(M_1\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_2\right)n_e\left(M_2\right)d{S}_{M_2}\mathrm{\φ}(M_2\→D_2)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}},$ 公式2

其中,S＝(x_s,y_s)表示放射性活度密度为f(S)的某点；

表示散射介质中的某点；

表示某探测器单元，其探测到了与被检测对象相互作用发生康普顿散射后能量为的伽马光子；∠M₁SM₂表示以点S为顶点的角M₁SM₂；δ表示离散***单位样值响应函数，当∠M₁SM₂等于其他角度值时其值为0，当∠M₁SM₂等于π时其取值为1（即点M₁、点S和点M₂共线，∠M₁SM₂为平角）；dS_S表示点S的面微元；

表示点M_i的面微元；σ表示散射介质的线微元；σ‘表示探测器的线微元；n_e(M_i)是点M_i电子密度，由在点M_i的被检测对象的物质组成创建；φ(S→M_i)表示点S发出的伽马光子在点M_i的通量，用公式3描述；φ(M_i→D_j)表示在点M_i与被检测对象相互作用发生康普顿散射的伽马光子在探测器单元D_i的通量，用公式4描述；σ_C(ω)表示伽马光子发生散射角度为ω的康普顿散射时的微分截面，用公式5描述。

$\mathrm{\φ}(S\→M_i)=2\arctan \left(\frac{\mathrm{\σ}}{2\left|S{M}_i\right|}\right),$ 公式3

其中，SM_i表示点S到点M_i的距离。

$\mathrm{\φ}(M_i\→D_j)\text{=2arctan}\left(\frac{{\mathrm{\σ}}^{\′}}{2\left|M_i{D}_j\right|}\right),$ 公式4

其中，M_iD_j表示点M_i到探测器单元D_j的距离。

${\mathrm{\σ}}_C\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\π}{r}_e^{2}P\left(\mathrm{\ω}\right),$ 公式5

其中，r_e是经典电子半径，是基本物理量；P(ω)是克莱因-仁科（Klein–Nishina）散射概率密度，用公式6描述；

$P\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1+{\cos }^2\mathrm{\ω}}{{(2-\cos \mathrm{\ω})}^2}[1+\frac{{(1-\cos \mathrm{\ω})}^2}{(2-\cos \mathrm{\ω})(1+{\cos }^2\mathrm{\ω})}],$ 公式6

公式7描述了给定点S发射的与被检测对象相互作用发生散射角度对(ω₁,ω₂)的康普顿散射且被探测器单元对(D₁,D₂)所探测的背靠背伽马光子对的通量，即模型空间内的给定点S发射的背靠背伽马光子对与被检测对象相互作用发生散射角度对(ω₁,ω₂)的康普顿散射最终被探测单元对(D₁,D₂)探测到的概率。

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S)=\∫\∫\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S,(M_1,M_2))\mathrm{\δ}(\∠S{M}_1{D}_1-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_1))\mathrm{\δ}(\∠S{M}_2{D}_2-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_2)),$ 公式7

其中，∠SM_iD_i是以为点M_i顶点的角SM_iD_i。

公式7可以称为双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分公式。

再次参考图7和图8，当散射角度对(ω₁,ω₂)满足ω₁=0或ω₂=0但|ω₁|+|ω₂|>0时，散射光子事例为单光子单次散射事例（换句话说，单光子单次散射事例变成散射光子事例的特例），公式2可简化为公式8-1或8-2，公式7可简化为公式9-1或9-2。

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1=0,{\mathrm{\ω}}_2\≠0)|S,M_2)=\frac{f\left(S\right)d{S}_S}{2\mathrm{\π}}\mathrm{\δ}(\∠D_{1}S{M}_2-\mathrm{\π})\mathrm{\φ}(S\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}},$ 公式8-1

$\mathrm{\φ}(S\→M_2)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_2\right)n_e\left(M_2\right)d{S}_{M_2}\mathrm{\φ}(M_2\→D_2)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}$

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1\≠0,{\mathrm{\ω}}_2=0)|S,M_1)=\frac{f\left(S\right)d{S}_S}{2\mathrm{\π}}\mathrm{\δ}(\∠D_{2}S{M}_1-\mathrm{\π})\mathrm{\φ}(S\→D_2)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}},$ 公式8-2

$\mathrm{\φ}(S\→M_1)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_1\right)n_e\left(M_1\right)d{S}_{M_1}\mathrm{\φ}(M_1\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}$

其中，∠D₁SM₂表示以点S为顶点的角D₁SM₂；∠D₂SM₁表示以点S为顶点的角D₂SM₁。

以公式8-1为例，公式2可通过下述过程简化为公式8-1：单光子单次散射事例中背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测，而不会与被检测对象发生康普顿散射，即由点S发射的所述伽马光子将直接到达探测单元D₁，公式8-1中点S、点M₁和点D₁共线，公式2中∠M₁SM₂简化为公式8-1中∠D₁SM₂。因此，公式2中所述伽马光子在点M₁发生康普顿散射后被探测单元D₁探测的概率 $\mathrm{\φ}(S\→M_1)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_1\right)n_e\left(M_1\right)d{S}_{M_1}\mathrm{\φ}(M_1\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}$ 简化为公式8-1中由点S发射的所述伽马光子直接到达探测单元D₁的概率

具体地，在点M₁处未发生康普顿散射，公式2中表示所述物理过程的概率

不存在物理意义，因此在公式8-1被简化；由点S发射的所述伽马光子沿直线传播到达探测单元D₁，公式2中表示点S发射的所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的概率简化为公式8-1中由点S发射的所述伽马光子沿直线传播到达探测单元D₁的概率

其中，公式2中由点S发射的所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的概率由点S发射的所述伽马光子在点M₁的单位通量

与所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的单位通量

的乘积表示。公式2到公式8-2的简化可参照上述过程得到。

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1=0,{\mathrm{\ω}}_2\≠0)|S)=\∫\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1=0,{\mathrm{\ω}}_2\≠0)|S,M_2)\mathrm{\δ}(\∠S{M}_2{D}_2-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_2)),$ 公式9-1

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1\≠0,{\mathrm{\ω}}_2=0)|S)=\∫\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1\≠0,{\mathrm{\ω}}_2=0)|S,M_1)\mathrm{\δ}(\∠S{M}_1{D}_1-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_1)),$ 公式9-2

公式9-1和9-2可以称为单光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分公式。以公式9-1为例，公式7可通过下述过程简化为公式9-1：当ω₁＝0时，公式7中δ(∠SM₁D₁-(π-ω₁))简化为δ(∠SM₁D₁-π)，单光子单次散射事例中背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测，因此公式9-1中点S、点M₁和点D₁共线，∠SM₁D₁为平角，δ(∠SM₁D₁-π)＝1。公式7中dΦ((D₁,D₂),(ω₁,ω₂)|S,(M₁,M₂))简化为公式9-1中dΦ((D₁,D₂),(ω₁=0,ω₂≠0)|S,M₂)，简化过程参照公式2到公式8-1的简化过程。对比公式7，公式9-1中只在点M₂发生一次康普顿散射，因此只对点M₂积分。公式7到公式9-2的简化可参照上述过程得到。

公式1到公式9-2描述了散射光子事例投影概率模型的创建，其中指定模型参数通过公式1到公式9-2涉及的基本物理量和被检测对象的物质组成相关的物理量创建。其中，双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分公式和单光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分公式可以统称为克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分公式。

步骤S2：根据散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数。

在该步骤中，散射光子事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生双光子单次散射和单光子单次散射最后被探测器探测的概率，所述散射光子事例点扩展函数包括双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数。双光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生双光子单次散射最后被探测器探测的概率。单光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生单光子单次散射最后被探测器探测的概率。

该步骤中，可由计算机执行创建散射光子事例点扩展函数的操作，具体包括：计算探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生双光子单次散射和单光子单次散射最后被探测器探测的概率；换句话说，计算双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数。原理如下：

参考图8，对于双光子单次散射事例，即ω₁≠0且ω₂≠0，给定点S、探测器单元对(D₁,D₂)和散射角度对(ω₁,ω₂)，公式7的积分为对点M₁、点M₂组成的点对（M₁,M₂）轨迹的积分（当然不限于此，也可以采用其他适用的二维积分模式），上述积分过程具体包括：

在二维平面上，点M_i积分路径为点S、点M_i和点D_i所确定的圆中的弦SD_i所对的圆周角为π-ω的弧。以伽马光子1为例，在弧SM₁D₁确定一点M₁，根据背靠背伽马光子发射方向相反的特点可知，点M₁与点S确定唯一直线M₁S，直线M₁S与弧SM₂D₂的交点唯一确定点M₂，之后在弧SM₁D₁上移动点M₁，成为“S”型的点对（M₁,M₂）的线积分。在二维平面上，弦SD_i所对的圆周角为π-ω的弧共存在两条，因此在二维平面上点对（M₁,M₂）的积分为两个“S”型曲线积分。或，在三维空间内，弦SD_i所对的圆周角为π-ω的弧成为以弦SD_i为固定轴线、弧SM_iD_i为母线回转而形成的回转面，因此在三维空间内点对（M₁,M₂）的积分为两个“S”型母线的回转面积分。

再次参考图8，对于单光子单次散射事例，即ω₁=0或ω₂=0但|ω₁|+|ω₂|>0，给定点S、探测器单元对(D₁,D₂)和散射角度对(ω₁,ω₂)，公式9-1或9-2的积分为对点M₁或点M₂轨迹的积分，上述积分具体包括：当ω_i＝0时，点S、点M_i和点D_i共线。以公式9-1为例，背靠背伽马光子对中的伽马光子1由点S发射后未发生康普顿散射直接被探测器单元D₁探测，背靠背伽马光子对中的伽马光子2发生散射角度为ω₂的康普顿散射后被探测器单元D₂探测，将线段D₁S沿点D₁到点S方向延长，其延长线与弧SM₂D₂的交点将唯一确定点M₂。因此给定点S、探测器单元对(D₁,D₂)和散射角度对(ω₁≠0,ω₂＝0)或(ω₁＝0,ω₂≠0)，对点M₁或点M₂轨迹的积分为唯一确定的点M₁或点M₂。

给定点S、探测器单元对(D₁,D₂)和散射角度对(ω₁,ω₂)，对于双光子单次散射事例和单光子单次散射事例，分别确定公式7和公式9-1、9-2的积分具体形式，计算由给定点S发射的背靠背伽马光子发生散射角度对(ω₁,ω₂)的康普顿散射最后被探测器对(D₁,D₂)探测的概率，即分别创建双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数，从而创建散射光子事例点扩展函数。

步骤S3：根据散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数。

在该步骤中，可由计算机创建非散射光子事例点扩展函数，具体包括：计算探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对中的两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用（例如康普顿散射，当然不限于此）而以直线传播的方式到达PET探测器被探测器探测的概率，换句话说，可以计算探测器探测视野内指定一点发射的双光子单次散射事例，其两个伽马光子均发生散射角度为0康普顿散射最后被探测器单元探测到的概率。原理如下：

参考图7和图8，对于非散射光子事例，当散射角度对(ω₁,ω₂)满足ω₁=0且ω₂=0时，公式2或公式8-1、8-2可简化为公式10，公式7或公式9-1、9-2可简化至与公式10等价（换句话说，非散射光子事例是散射光子事例的特例）。

$\mathrm{d\Φ}\left((D_1,D_2)\right|S)=\frac{f\left(S\right)d{S}_S}{2\mathrm{\π}}\mathrm{\δ}(\∠D_{1}S{D}_2-\mathrm{\π})\mathrm{\φ}(S\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}\mathrm{\φ}(S\→D_2)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}},$ 公式10

其中，φ(S→D₁)表示点S发出的伽马光子在点D_i的通量，用公式11描述；∠D₁SD₂表示以点S为顶点的角D₁SD₂。

$\mathrm{\φ}(S\→D_i)=2\arctan \left(\frac{{\mathrm{\σ}}^{\′}}{2\left|S{D}_i\right|}\right),$ 公式11

其中，SD_i表示点S到探测器单元D_i的距离。

给定点S、探测器单元对(D₁,D₂)和散射角度对(ω₁,ω₂)，对于非散射光子事例，公式10为给定点S发射的背靠背伽马光子未与被检测对象发生康普顿散射直接被探测器单元对(D₁,D₂)探测到的概率，换句话说公式10为给定点S发射的背靠背伽马光子发生散射角度对(ω₁=0,ω₂=0)的康普顿散射被探测器单元对(D₁,D₂)探测到的概率。计算公式10，由此创建非散射事例的点扩展函数。

以公式8-2为例，公式10通过下述过程简化由公式8-2得到：点S发射的背靠背伽马光子未与被检测对象发生康普顿散射直接被探测器单元对(D₁,D₂)探测到的概率，而不会与被检测对象发生康普顿散射，即在公式8-2中由点S发射的所述伽马光子对中与被检测对象发生一次康普顿散射被探测器单元D₁探测的伽马光子在公式10中将直接到达探测单元D₁，点S、点M₁和点D₁共线，∠M₁SM₂简化为∠D₁SM₂。因此，公式8-2中所述伽马光子在点M₁发生康普顿散射后被探测单元D₁探测的概率 $\mathrm{\φ}(S\→M_1)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_1\right)n_e\left(M_1\right)d{S}_{M_1}\mathrm{\φ}(M_1\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}$ 简化为公式10中由点S发射的所述伽马光子直接到达探测单元D1的概率

具体地，在点M₁处未发生康普顿散射，公式8-2中表示所述物理过程的概率

不存在物理意义，因此在公式10被简化；由点S发射的所述伽马光子沿直线传播到达探测单元D₁，公式8-2中表示点S发射的所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的概率

简化为公式10中由点S发射的所述伽马光子沿直线传播到达探测单元D₁的概率其中，公式8-2中由点S发射的所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的概率

由点S发射的所述伽马光子在点M₁的单位通量

与所述伽马光子通过点M₁再到达探测器单元D₁的单位通量

的乘积表示。公式8-1到公式10的简化可参照上述过程得到。

此外，公式10也可通过先将公式2简化为公式8-1或8-2，再由公式8-1或8-2简化得到。

以公式9-2为例，公式10通过下述过程简化由公式9-2得到：当ω₁＝0时，公式9-2中δ(∠SM₁D₁-(π-ω₁))简化为δ(∠SM₁D₁-π)，表示伽马光子将被探测器直接探测，因此公式9-2中点S、点M₁和点D₁共线，∠SM₁D₁为平角，δ(∠SM₁D₁-π)＝1。公式9-2中dΦ((D₁,D₂),(ω₁=0,ω₂≠0)|S,M₂)简化为公式10中dΦ((D₁,D₂)|S)，简化过程参照公式8-2到公式10的简化过程。公式9-1到公式10的简化可参照上述过程得到。

此外，公式10也可通过先将公式7简化为公式9-1或9-2，再由公式9-1或9-2简化得到。

步骤S4：利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像。

在该步骤中，可以由计算机功能模块利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像，如下：

统计迭代重建算法是一种基于投影数据统计规律的现有图像重建算法，统计迭代重建算法实现灵活，可通过伽马光子事例点扩展函数将多种物理因素包含进来。在PET图像重建中，其关键技术是获得探测视野中指定点发射的背靠背伽马光子对被一对探测器单元探测到的概率，即获得伽马光子事例点扩展函数。

根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，举例而非限定，本发明实施例采用最大似然期望最大（Maximum Likelihood ExpectationMaximization，MLEM）统计迭代重建算法由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像。

公式12为采用现有的MLEM统计迭代重建对PET图像进行重建。

$f^{\left(k\right)}\left(s_i\right)=\frac{f^{(k-1)}\left(s_i\right)}{\underset{(j_1,j_2)}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}))}\underset{(j_1,j_2)}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}))\frac{P(D_{j_1},D_{j_2})}{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}))f^{(k-1)}\left(s_i\right)},$ 公式12

公式13为采用散射光子事例和非散射光子事例的MLEM统计迭代重建对PET图像进行重建。

$f^{\left(k\right)}\left(s_i\right)=\frac{f^{(k-1)}\left(s_i\right)}{\underset{(k_1,k_2)}{\mathrm{\Σ}}\underset{(j_1,j_2)}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}),({\mathrm{\ω}}_{k_1},{\mathrm{\ω}}_{k_2}))}\underset{(k_1,k_2)}{\mathrm{\Σ}}\underset{(j_1,j_2)}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}),({\mathrm{\ω}}_{k_1},{\mathrm{\ω}}_{k_2}))\frac{P((D_{j_1},D_{j_2}),({\mathrm{\ω}}_{k_1},{\mathrm{\ω}}_{k_2}))}{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\hat{p}(s_i,(D_{j_1},D_{j_2}),({\mathrm{\ω}}_{k_1},{\mathrm{\ω}}_{k_2}))f^{(k-1)}\left(s_i\right)},$ 公式13

其中，f(s_i)表示像素点s_i的放射性活度密度，k表示统计迭代重建算法迭代次数；

表示伽马光子事例点扩展函数，表示点s_i发射的背靠背伽马光子对未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用（例如康普顿散射，但不限于此）等而以直线传播的方式到达PET探测器被探测器单元对

探测的概率；公式12中

具体为公式13中的

表示点s_i发射的背靠背伽马光子对发生散射角度对

的康普顿散射被探测器单元对

探测的概率；

表示未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用（例如康普顿散射，但不限于此）等而以直线传播的方式到达PET探测器被探测器单元对

探测到的伽马光子数量，由探测器的电子学模块获得传输到计算机模块；公式12中

具体为公式13中的

表示发生散射角度对

的康普顿散射被探测器单元对

探测到的伽马光子数量，由探测器的电子学模块获得传输到计算机模块。

具体地，当由点s_i发射的背靠背伽马光子发生散射光子事例时，

为散射光子事例点扩展函数，公式13为采用散射光子事例的MLEM统计迭代重建对PET图像进行重建。当由点s_i发射的背靠背伽马光子发生非散射光子事例时，

为非散射光子事例点扩展函数；此时，公式13与公式12等价，为采用非散射光子事例的MLEM统计迭代重建对PET图像进行重建。

另外，图6示出了本发明的用于由散射与非散射光子重建正电子发射计算机断层成像图像的计算模块的结构，这些计算模块可以运行于一计算机设备中，其包括：

指定模型参数描述的散射光子事例投影模型创建模块21，用于根据康普顿散射的散射光子事例投影原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型，用于执行上述步骤S1。

散射光子事例点扩展函数创建模块22，用于根据散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数，用于执行上述步骤S2。

非散射光子事例点扩展函数创建模块23，用于根据散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数，用于执行上述步骤S3。

由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像模块24，用于利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像，用于执行上述步骤S4。

综上，本发明通过康普顿散射的散射光子事例投影原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型，并通过散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数，再通过散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数，从而由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像，提高PET的探测效率，以便在临床应用中，大幅度降低被检测对象及操作者所受的辐射剂量；在相同药物剂量下，缩短病人检查时间，提高PET的使用效率。同时有利于解决平板结构PET数据采样不完备问题，简化了PET结构、降低了PET制造和维护成本。

本发明所述的方法可以适用于环状探测器、静态双平板探测器、或动态双平板探测器，当然不限于此，只要是能够探测获得上述散射事例的探测器均可。

最后，参照图9所示的静态双平板PET***，来说明本发明所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法的实际操作过程：在一个静态双平板PET***的探测器31的探测视野（Field of View,FOV）内放置一个有机玻璃薄板仿体（phantom）34。仿体34位于探测器31中心，长宽与FOV长宽相同，厚度与探测器31探测最小单元高度相同。仿体34中心有一个F¹⁸的球形的放射源35，放射源35的直径与仿体34厚度相同，利用该静态双平板PET***对仿体34的放射性分布进行成像。

静态双平板PET***的探测器31有两个平板探测器组成。各平板探测器的宽高端面一侧接收到达的伽马光子事例，另一侧连接一电子学模块32以获取伽马事例的能量、位置等信息，信息将被传输到计算模块33，用于由散射与非散射光子重建PET图像，这些计算模块运行于一计算机设备中。

探测器的最小组成单元为碲锌镉（cadmium zinc telluride，CdZnTe，简写为CZT）晶体条，晶体条尺寸为10mm长×1mm宽×1mm高。两平板探测器用于探测伽马光子事例的宽高端面平行相对，距离为64mm，因此静态双平板PET***的理想探测空间尺寸为64mm长×44mm宽×13mm高。静态双平板PET***的探测视野由理想探测空间和电子学装置的设计决定，这里设计探测视野尺寸为64mm长×32mm宽×1mm高，位于理想探测空间中心，以尽量保障探测到伽马光子事例是能量、位置信息被无损地、准确地获取的伽马光子事例。图像空间与探测视野尺寸相同，由64×32个体素组成，体素尺寸为1mm长×1mm宽×1mm高。

薄板仿体34和球形的放射源35位于探测视野的中心，探测视野高度仅为1mm，将探测视野和图像空间的三维空间近似为二维平面，建立散射光子事例投影概率模型数学描述。此时，图像空间由64×32个像素组成，像素尺寸为1mm长×1mm宽。

所述基本物理量通过美国国家标准与技术局（NIST）数据库获得；先验已知散射介质为有机玻璃，电子密度通过NIST数据库获得；从而，由所述基本物理量和所述被检测对象的物质组成相关的物理量创建指定模型参数。给定所述PET***和被检测物参数，确定图7和图8中的几何量，根据公式1到公式9-2，创建由指定模型参数描述的探测器视野内各个图像像素点发射的散射光子事例投影到各个探测器单元对投影概率模型。

其中，对散射光子事例可能发生的散射角度进行离散化，散射角度范围为1°～55°，角度间隔1°，而双光子单次散射的散射角度对是两个所述离散散射角的所有可能组合。

利用在二维平面上公式7和公式9-1、9-2的积分具体形式，计算由探测器有效视野内各个图像像素点发射的背靠背伽马光子发生各个散射角度对、最后被各个探测器对探测的概率，分别创建双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数，从而创建散射光子事例点扩展函数。

相似地，根据所述散射光子事例投影模型和所述散射光子事例点扩展函数，在二维平面上分别计算由探测器有效视野内各个的图像像素点发射的背靠背伽马光子未发生康普顿散射直接被各个探测器单元对探测的概率，创建非散射光子事例点扩展函数。

根据所述散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，采用公式13所述的MLEM统计迭代重建算法由散射光子事例和非散射光子事例重建PET图像。发生各个散射角度对、最后被各个探测器对探测的伽马光子数量，由探测器的电子学模块32传输到计算模块33。

由技术常识可知，本发明可以通过其它的不脱离其精神实质或必要特征的实施方案来实现。因此，上述公开的实施方案，就各方面而言，都只是举例说明，并不是仅有的。所有在本发明范围内或在等同于本发明的范围内的改变均被本发明包含。

Claims (10)

1.一种用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一（S1）：根据康普顿散射的散射光子事例投影工作原理，创建由指定模型参数描述的散射光子事例投影概率模型；

其中：

所述散射光子事例包括双光子单次散射事例和单光子单次散射事例；

所述双光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中的两个伽马光子分别与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例；

所述单光子单次散射事例为背靠背伽马光子对中有且只有一个伽马光子与被检测对象相互作用发生一次康普顿散射后被探测器探测的散射光子事例，在所述单光子单次散射事例中，背靠背伽马光子对中未与被检测对象发生相互作用的伽马光子将被探测器直接探测；

所述背靠背伽马光子对为被注入被检测对象体内标记了正电子核素的示踪剂中的正电子核素发生衰变发射出正电子与被检测对象体内的电子发生湮灭反应生成的两个方向相反、能量为511keV的伽马光子；

所述指定模型参数由基本物理量和被检测对象的物质组成相关的物理量创建，被检测对象的物质组成相关的物理量包括通过创建被检测对象的物质组成后可参照现有的基本物理量获取方式创建的物理量；

步骤二（S2）：根据所述散射光子事例投影概率模型，创建散射光子事例点扩展函数；

其中：

所述散射光子事例点扩展函数包括双光子单次散射事例点扩展函数和单光子单次散射事例点扩展函数；

所述双光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的所述背靠背伽马光子对与被检测对象发生双光子单次散射最后被探测器探测的概率；

所述单光子单次散射事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对与被检测对象发生单光子单次散射最后被探测器探测的概率；

步骤三（S3）：根据散射光子事例投影模型和散射光子事例点扩展函数，创建非散射光子事例点扩展函数；

其中：

所述非散射事例为所述背靠背伽马光子对中的两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用而以直线传播的方式到达探测器最后被探测器探测的光子事例；

所述非散射光子事例点扩展函数为探测器探测视野内指定一点发射的背靠背伽马光子对中的两个伽马光子在产生以后未与被检测对象发生使得伽马光子能量或传播方向发生改变的相互作用而以直线传播的方式到达探测器最后被探测器探测的概率；

步骤四（S4）：利用统计迭代重建算法，根据散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数，由散射光子事例和非散射光子事例重建正电子发射计算机断层成像图像。

2.根据权利要求1所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，在步骤一中，散射光子事例投影概率模型为克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分。

3.根据权利要求2所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，

克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分包括双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分和单光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分，且单光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分是双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分的特例。

4.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分和单光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量微分为二维平面微分。

5.根据权利要求4所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，双光子单次散射克莱因-仁科（Klein–Nishina）通量的二维平面微分的获得过程为：

利用下述公式1描述初始能量为E₀的光子与被检测对象发生康普顿散射后，其剩余能量E_ω与散射角度ω关系；

$E_{\mathrm{\ω}}=\frac{E_0}{1+\frac{E_0}{m{c}^2}(1-\cos \mathrm{\ω})},$ 公式1

其中，m是电子静止质量，c是光速；

利用下述公式2描述双光子单次散射事例的康普顿散射投影过程，即由模型空间内的点S发射的背靠背伽马光子对分别在点M₁、点M₂与被检测对象相互作用发生康普顿散射，散射角度分别为ω₁、ω₂，两个伽马光子被散射后运动径迹发生改变最后分别被PET探测器单元D₁、D₂探测到的概率；

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S,(M_1,M_2))=\frac{f\left(S\right)d{S}_S}{2\mathrm{\π}}\mathrm{\δ}(\∠M_{1}S{M}_2-\mathrm{\π})\mathrm{\φ}(S\→M_1)\frac{1}{\mathrm{\σ}}\mathrm{\φ}(S\→M_2)\frac{1}{\mathrm{\σ}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_1\right)n_e\left(M_1\right)d{S}_{M_1}$

$\mathrm{\φ}(M_1\→D_1)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}}{\mathrm{\σ}}_C\left({\mathrm{\ω}}_2\right)n_e\left(M_2\right)d{S}_{M_2}\mathrm{\φ}(M_2\→D_2)\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{\′}},$ 公式2

其中,S＝(x_s,y_s)表示放射性活度密度为f(S)的某点；

表示散射介质中的某点；

表示某探测器单元，其探测到了与被检测对象相互作用发生康普顿散射后能量为

的伽马光子；

∠M₁SM₂表示以点S为顶点的角M₁SM₂；

δ表示离散***单位样值响应函数，当∠M₁SM₂等于π时其取值为1（即点M₁、点S和点M₂共线，∠M₁SM₂为平角），当∠M₁SM₂等于其他角度值时其值为0；

dS_S表示点S的面微元；

表示点M_i的面微元；

σ表示散射介质的线微元；

σ‘表示探测器的线微元；

n_e(M_i)是点M_i电子密度，由在点M_i的被检测对象的物质组成创建；

φ(S→M_i)表示点S发出的伽马光子在点M_i的通量，由下述公式3描述；

φ(M_i→D_j)表示在点M_i与被检测对象相互作用发生康普顿散射的伽马光子在探测器单元D_i的通量，由下述公式4描述；

σ_C(ω)表示伽马光子发生散射角度为ω的康普顿散射时的微分截面，由公式5描述；

$\mathrm{\φ}(S\→M_i)=2\arctan \left(\frac{\mathrm{\σ}}{2\left|S{M}_i\right|}\right),$ 公式3

其中，SM_i表示点S到点M_i的距离；

$\mathrm{\φ}(M_i\→D_j)\text{=2arctan}\left(\frac{{\mathrm{\σ}}^{\′}}{2\left|M_i{D}_j\right|}\right),$ 公式4

其中，M_iD_j表示点M_i到探测器单元D_j的距离；

${\mathrm{\σ}}_C\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\π}{r}_e^{2}P\left(\mathrm{\ω}\right),$ 公式5

其中，r_e是经典电子半径，P(ω)是克莱因-仁科（Klein–Nishina）散射概率密度，由下述公式6描述；

$P\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1+{\cos }^2\mathrm{\ω}}{{(2-\cos \mathrm{\ω})}^2}[1+\frac{{(1-\cos \mathrm{\ω})}^2}{(2-\cos \mathrm{\ω})(1+{\cos }^2\mathrm{\ω})}],$ 公式6

利用下述公式7描述给定点S发射的与被检测对象相互作用发生散射角度对(ω₁,ω₂)的康普顿散射且被探测器单元对(D₁,D₂)所探测的背靠背伽马光子对的通量微分，从而获得模型空间内的给定点S发射的背靠背伽马光子对与被检测对象相互作用发生散射角度对(ω₁,ω₂)的康普顿散射最终被探测单元对(D₁,D₂)探测到的概率；

$\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S)=\∫\∫\mathrm{d\Φ}((D_1,D_2),({\mathrm{\ω}}_1,{\mathrm{\ω}}_2)|S,(M_1,M_2))\mathrm{\δ}(\∠S{M}_1{D}_1-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_1))\mathrm{\δ}(\∠S{M}_2{D}_2-(\mathrm{\π}-{\mathrm{\ω}}_2)),$ 公式7

其中，∠SM_iD_i是以为点M_i顶点的角SM_iD_i。

6.根据权利要求5所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，所述积分为轨迹积分。

7.根据权利要求3所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，在步骤三中，非散射光子事例是散射光子事例的特例。

8.根据权利要求1所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，在所述步骤四中，所述统计迭代重建算法为最大似然期望最大统计迭代重建算法。

9.根据权利要求1所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，所述探测器为环状探测器、静态双平板探测器、或动态双平板探测器。

10.根据权利要求1-9中任一项所述的用于重建正电子发射计算机断层成像图像的方法，其特征在于，探测器接收到达的所述伽马光子事例，并通过与探测器连接的一电子学模块来以获取伽马事例的包括能量、位置、散射角度、数量在内的信息，这些信息被电子学模块传输到一计算模块中，计算模块计算依据所述散射光子事例点扩展函数和非散射光子事例点扩展函数、进行统计迭代重建算法，重建正电子发射计算机断层成像图像。

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