CN103106338B - 决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于电力***技术领域。为在电力***热稳定安全域边界的求解中进一步提高精度，进一步提高计算速度，本发明采取的技术方案是，决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法，包括如下步骤：第一步，把向量(所处的空间作为决策变量空间，THSR定义；第二步，选定目标线路k(k∈B)，通过运行点转移程序获取一个线路k的THSR临界点；第三步，计算线路k电流幅值平方|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的Jacobi矩阵J_I和表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵Sˊ；第四步，线路k的THSR边界。本发明主要应用于电力***热稳定安全域边界的求解。

Description

决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法

技术领域

本发明属于电力***技术领域，涉及一种电力***热稳定安全域边界的求解方法，具体讲，涉及决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法。

背景技术

在电力***的在线安全监视、评估与控制中，安全域[1]的计算方法具有十分重要的意义；同时由于线路过负荷校验是电力***安全性分析中最基本的工作，因此使所有输电线路电流限值约束都得到满足的注入功率空间或决策空间上的热稳定安全域（PowerSystemThermalSecurityRegion，简写为THSR）成为了一种最基本的安全域，它是仅计及热稳定约束的电力***静态安全域[2,3]。THSR边界的快速生成可以使电力***在线安全监视、评估与控制更加科学有效[4,5]。

目前已有关于THSR边界快速生成方法的探索[3,4]，其中文献[4]方法所确定的THSR工程实用边界精度较高。该方法基于线路有功和无功电流的解耦表达式[6]，推导了可综合考虑线路电流的有功和无功分量的简洁数学表达式。但该方法建立于忽略线路电阻的假设之上，而且没有计及松弛节点的注入复功率对线路电流的影响，从而制约了准确性的提高。

[1]余贻鑫．电力***安全域方法研究述评[J]．天津大学学报，2008，41(6)：635-646。

[2]Felix.F.Wu，Kumagai．Steady-StateSecurityRegionsofPowerSystems．IEEETransactionsonCircuitsandSystems，1982，29(11)：703-711。

[3]Chen-ChingLiu．Anewmethodfortheconstructionofmaximalsteady–statesecurityregionsofpowersystems．IEEETransactionsonPowerSystems，1986，1(4)：19-26。

[4]王菲，余贻鑫．基于广域测量***的电力***热稳定安全域．中国电机工程学报，2011，31(10)：33-38。

[5]王菲，余贻鑫．基于注入空间安全域的电网自愈决策[J]．天津大学学报，2011，44(9)：753-758。

[6]余贻鑫，冯飞．电力***有功静态安全域．中国科学（A辑），1990，6:664-672。

发明内容

本发明旨在克服现有技术的不足，进一步提高精度，进一步提高计算速度，为达到上述目的，本发明采取的技术方案是，决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法，包括如下步骤：

第一步，假设***由n+1个节点和nb条支路组成，其中节点0为松弛节点s，则其节点复电压向量记为用G:＝{1,2,…,ng}表示发电机节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可分别记为P_G∈R^ng和Q_G∈R^ng，R^ng表示ng维的实数空间；用L:＝{ng+1,ng+2,…,n}表示负荷节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可记为P_L∈R^(n-ng)和Q_L∈R^(n-ng)；用N:＝G∪L∪0表示全部节点的集合；用B表示全部线路的集合，所有线路的电流幅值向量记为I_l，设发电机节点电压幅值V_G和松弛节点电压即复电压向量分别为指定值和并保持不变，把向量上标T表示向量或矩阵的转置，所处的空间作为决策变量空间，设即P表示所有负荷节点和发电机节点的有功注入功率的向量，Q:＝Q_L∈R^(n-ng)，即Q表示所有负荷节点的无功注入功率的向量，电力***的静态安全域通常定义为：

Ω_SS:＝{y|V∈R_V,P_G∈R_GP,I_l∈R_l,f(x)＝y}(1)

式中，V指所有节点的电压幅值向量，f(x)＝y为潮流方程，x∈Cⁿ⁺¹为节点复电压向量，Cⁿ⁺¹表示n+1维的复数空间，y∈Cⁿ⁺¹为节点注入复功率向量；R_V、R_l和R_GP分别为如式(2)所示的节点电压幅值约束、线路电流约束和发电有功功率约束：

$\begin{array}{c}{R}_V:=\{V\∈R^n|V_i^m\≤V_i\≤V_i^M,\∀i\∈G\∪L\}\\ R_l:=\{I_l\∈R^{\mathrm{nb}}|\left|I_{l,i}\right|\≤\left|I_{l,i}^M\right|,\∀i\∈B\}\\ R_{\mathrm{GP}}:=\{P_G\∈R^{\mathrm{ng}}|P_{\mathrm{Gi}}^m\≤P_{\mathrm{Gi}}\≤P_{\mathrm{Gi}}^M,\∀i\∈G\}\end{array}---\left(2\right)$

式中，V_i是某个发电机节点i(i∈G)或负荷节点i(i∈L)的电压幅值，|I_l,i|是线路i(i∈B)的电流幅值，P_Gi是发电机节点i(i∈G)的有功注入功率，上标M、m分别表示变量的上、下限，R^nb表示nb维的实数空间；

考虑到在电力***实时控制中，P_G和V_G以及P_L和Q_L属于决策变量，分别对应于潮流方程求解中的P-V指定向量和P-Q指定向量，为便于与潮流分析相配合，假设V_G为指定值不变，把向量所处的空间作为决策变量空间，THSR定义如下：

${\mathrm{\Ω}}_T:=\left\{{(P_L^T,P_G^T,Q_L^T)}^T\right|\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_s={\stackrel{\·}{V}}_s^0,V_G=V_G^0,P_G\∈R_{\mathrm{GP}},\\ I_l\∈R_l,f\left(x\right)=y\end{array}\}---\left(3\right)$

第二步，选定目标线路k(k∈B)，通过运行点转移程序获取一个线路k的THSR临界点((θ^cr)^T,(V^cr)^T,(P^cr)^T,(Q^cr)^T)，θ^cr、V^cr、P^cr和Q^cr分别表示当***运行于某临界状态时各节点的电压相角向量、电压幅值向量、有功注入功率向量和无功注入功率向量；

第三步，设线路k的首末两端节点i和j的电压相角和幅值分别为θ_i、θ_j、V_i和V_j，计算线路k电流幅值平方|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的Jacobi矩阵J_I和表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'；

第四步，计算常数项C=J_IS'[(P^cr)^T(Q^cr)^T]^T，线路k的THSR边界可表示为J_IS'[P^TQ^T]^T/C＝1，进一步可化简为如的形式，其中系数a_i和b_i由J_IS'∈R^1×(2n-ng)给出。

第二步进一步细化为：设线路k的首末端节点为i和j，I_kf和I_kt分别表示流过线路k首端和末端的电流，I_i0和I_j0分别表示流过线路k首端和末端对地导纳的电流，I_ij表示线路k首端和末端之间的电流，下文中的线路k电流I_k专指I_kf：

${\stackrel{\·}{I}}_k={\stackrel{\·}{I}}_{\mathrm{ij}}+{\stackrel{\·}{I}}_{i0}$ $\left(4\right)$

$={\stackrel{\·}{V}}_i{y}_{i0}+({\stackrel{\·}{V}}_i-{\stackrel{\·}{V}}_j)y_{\mathrm{ij}}$

式中，为幅值为V_i、V_j的向量，表示相应的电流向量，若设线路导纳y_ij＝g_ij+jb_ij，以g_ij表示线路k的电导，b_ij表示线路k的电纳，对地导纳y_i0＝jb_i0，b_i0是线路k在首端i的对地电纳，且考虑到支路角1∠θ_ij＝cosθ_ij+jsinθ_ij，θ_ij表示线路k的支路角，θ_ij＝θ_i-θ_j和和分别指线路k电流的复数形式和复数共轭形式，则可得：

${\left|I_k\right|}^2=V_j^2(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)+V_i^2[g_{\mathrm{ij}}^2+{(b_{i0}+b_{\mathrm{ij}})}^2]$ $+2V_i{V}_j{b}_{i0}(g_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-b_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})---\left(5\right)$

$-2V_i{V}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)$

先设定发电机控制节点集合GC:=[g₁,g₂,...,g_m]，m≤ng，则线路k的某个THSR临界点的非线性方程组可写为由1个线路k电流幅值平方的不平衡方程式ng-m个节点注入功率不平衡方程式和2n-2ng+m-1个转移方向的不平衡方程式组成的非线性方程组：

$\mathrm{\Δ}{\left|I_k\right|}^2={\left|I_k^M\right|}^2-{\left|I_k\right|}^2=0$

${\mathrm{\ΔP}}_i=P_i^0-P_i=0,(i\∈G,i\∉\mathrm{GC})$ $\left(6\right)$

${\mathrm{\Δc}}_i={\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\ΔP}}_i-{\mathrm{\ΔP}}_{g_m}=0,(i\∈\mathrm{GC}\∪L,i\≠g_m)$

${\mathrm{\Δd}}_i={\mathrm{\β}}_i{\mathrm{\ΔP}}_i-{\mathrm{\ΔQ}}_i=0,(i\∈L)$

式中，是发电机非控制节点在当前运行状态下的节点有功注入功率；ΔP_i(i∈GC)是选定的发电机控制节点的有功注入功率增量；α_i是可能的负荷节点有功注入功率和发电机控制节点有功注入增量之比β_i是可能的负荷节点无功注入功率增量和有功注入增量之比ΔQ_i/ΔP_i(i∈L)；α_i组成的行向量α和β_i组成的行向量β表示运行点的转移方向，Δc_i(i∈GC∪L,i≠g_m)组成的行向量Δc和Δd_i(i∈L)组成的行向量Δd表示每次迭代后转移方向的偏差值，采用牛顿法求解该方程组，设Δθ为各节点电压相角变量组成的向量，ΔV为各节点电压幅值变量组成的向量，则ΔP'、Δ|I_k|²、Δc、Δd、Δθ和ΔV在第t次迭代过程中所对应的ΔP'(t)、Δ|I_k|²(t)、Δc(t)、Δd(t)、Δθ(t)和ΔV(t)有如下对应关系：

${\left[\begin{array}{cccc}{\left({\mathrm{\ΔP}}^{\′}\left(t\right)\right)}^T& \mathrm{\Δ}{\left|I_k\right|}^2\left(t\right)& \mathrm{\Δc}\left(t\right)& \mathrm{\Δd}\left(t\right)\end{array}\right]}^T=J^{\′}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\θ}\left(t\right)\\ \mathrm{\ΔV}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中，J'是对式(6)方程组中各式求导而得到的Jacobi矩阵：

$J^{\′}=\left[\begin{array}{cccccccc}{\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂V}_n\\ {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_n\\ \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_n\\ {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_n\\ {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_n/{\∂V}_n\\ {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_n\\ {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_n/{\∂V}_n\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，所涉及到的P_i为节点i(i∈N)的有功注入功率、Q_i为节点i(i∈N)的无功注入功率、c_i和d_i可由下式求得：

$P_i=V_i\underset{j\∈N}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(g_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+b_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),(i\∈N)$

$Q_i=V_i\underset{j\∈N}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(g_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-b_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),(i\∈N)---\left(9\right)$

$c_i={\mathrm{\α}}_i{P}_i-P_{g_m},(i\∈\mathrm{GC}\∪L,i\≠g_m)$

$d_i={\mathrm{\β}}_i{P}_i-Q_i,(i\∈L)$

通过运行点转移的迭代计算，求得1个线路k的THSR临界点。

第三步进一步具体为：

先计算|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的一阶导数组成的Jacobi矩阵J_I：

$J_I=\left[\begin{array}{cccc}\∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_i& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_j& \∂{{\left|I_k\right|}^2}_I/{\∂V}_i& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_j\end{array}\right]---\left(10\right)$

再计算表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'，一般求取S'的思路是计算灵敏度矩阵S并取S中与θ_i、θ_j、V_i和V_j对应的四个行向量构成S'，其中S可按下式求取：

S＝J^-1(11)

式中，J∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}是潮流方程的Jacobi矩阵：

$J=\left[\begin{array}{cccccccc}{\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂V}_n\\ {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_n/{\∂V}_n\\ {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_n\\ {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_n/{\∂V}_n\end{array}\right]---\left(12\right)$

直接求取S中所需要的4个行向量组成S'，考虑到S中的某行s_k有如下关系：

$J^T{s}_k^T=e_k---\left(13\right)$

式中，e_k是单位阵E∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}的第k行；通过高斯消去法来求解式(13)。

本发明的技术特点及效果：

本发明给出了一种决策空间下热稳定安全域边界的快速计算方法，由于推导过程未对交流潮流模型进行任何形式的简化，致使同现有方法相比，本发明所得结果更加准确；而且计算过程无需大规模矩阵的求逆，使得计算速度大为提高。实际大***的算例表明本发明在速度和精度两个方面均可满足工程上的需要。

附图说明

图1是输电线路的电流示意图

图2是运行点转移迭代过程的原理框图

图3是9节点算例拓扑结构图

图4是线路8-7的THSR边界比较

图5是不同临界点处线路8-7的THSR边界比较

图6是姚计II线THSR边界比较

具体实施方式

针对当前技术中存在的问题，本发明基于交流潮流模型推导了计算THSR边界的数学公式，其中推导过程未对交流潮流模型进行任何形式的简化；为进一步提高精度，设计了求取热稳定临界点的运行点转移程序(即当前运行点沿特定方向转移到一个临界点)，然后以临界点处的状态量生成THSR边界的数学表达式；同时本发明的程序较为精简，不涉及大规模矩阵的求逆运算，可进一步提高计算速度。通过基于实际大***（河南973节点***）的算例验证了本发明在计算速度和精度两个方面可满足工程上的需要。

第一步，假设***由n+1个节点和nb条支路组成，其中节点0为松弛节点s，则其节点复电压向量可记为用G:＝{1,2,…,ng}表示发电机节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可分别记为P_G∈R^ng(R^ng表示ng维的实数空间)和Q_G∈R^ng；用L:＝{ng+1,ng+2,…,n}表示负荷节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可记为P_L∈R^(n-ng)和Q_L∈R^(n-ng)；用N:＝G∪L∪0表示全部节点的集合；用B表示全部线路的集合，所有线路的电流幅值向量记为I_l。设发电机节点电压幅值V_G和松弛节点电压即复电压向量分别为指定值和并保持不变，把向量所处的空间作为决策变量空间，设(即P表示所有负荷节点和发电机节点的有功注入功率的向量)，Q:＝Q_L∈R^(n-ng)，即Q表示所有负荷节点的无功注入功率的向量。

电力***的静态安全域通常定义为：

Ω_SS:＝{y|V∈R_V,P_G∈R_GP,I_l∈R_l,f(x)＝y}(1)

式中，V指所有节点的电压幅值向量，f(x)＝y为潮流方程，x∈Cⁿ⁺¹(Cⁿ⁺¹表示n+1维的复数空间)为节点复电压向量，y∈Cⁿ⁺¹为节点注入复功率向量；R_V、R_l和R_GP分别为如式(2)所示的节点电压幅值约束、线路电流约束和发电有功功率约束：

$\begin{array}{c}{R}_V:=\{V\∈R^n|V_i^m\≤V_i\≤V_i^M,\∀i\∈G\∪L\}\\ R_l:=\{I_l\∈R^{\mathrm{nb}}|\left|I_{l,i}\right|\≤\left|I_{l,i}^M\right|,\∀i\∈B\}\\ R_{\mathrm{GP}}:=\{P_G\∈R^{\mathrm{ng}}|P_{\mathrm{Gi}}^m\≤P_{\mathrm{Gi}}\≤P_{\mathrm{Gi}}^M,\∀i\∈G\}\end{array}---\left(2\right)$

式中，V_i是某个发电机节点i(i∈G)或负荷节点i(i∈L)的电压幅值，|I_l,i|是线路i(i∈B)的电流幅值，P_Gi是发电机节点i(i∈G)的有功注入功率，上标M、m分别表示变量的上、下限；

考虑到在电力***实时控制中，P_G和V_G以及P_L和Q_L属于决策变量[7]，分别对应于潮流方程求解中的P-V指定向量和P-Q指定向量，为便于与潮流分析相配合，本发明假设V_G为指定值不变，把向量所处的空间作为决策变量空间。于是本发明研究的THSR定义如下：

${\mathrm{\Ω}}_T:=\left\{{(P_L^T,P_G^T,Q_L^T)}^T\right|\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_s={\stackrel{\·}{V}}_s^0,V_G=V_G^0,P_G\∈R_{\mathrm{GP}},\\ I_l\∈R_l,f\left(x\right)=y\end{array}\}---\left(3\right)$

第二步，选定目标线路k(k∈B)，通过运行点转移程序获取一个线路k的THSR临界点((θ^cr)^T,(V^cr)^T,(P^cr)^T,(Q^cr)^T)(θ^cr、V^cr、P^cr和Q^cr分别表示当***运行于某临界状态时各节点的电压相角向量、电压幅值向量、有功注入功率向量和无功注入功率向量)。该步具体说明如下：

如图1所示，设线路k的首末端节点为i和j，I_kf和I_kt分别表示流过线路k首端和末端的电流，I_i0和I_j0分别表示流过线路k首端和末端对地导纳的电流，I_ij表示线路k首端和末端之间的电流，下文中的线路k电流I_k专指I_kf：

${\stackrel{\·}{I}}_k={\stackrel{\·}{I}}_{\mathrm{ij}}+{\stackrel{\·}{I}}_{i0}$ $\left(4\right)$

$={\stackrel{\·}{V}}_i{y}_{i0}+({\stackrel{\·}{V}}_i-{\stackrel{\·}{V}}_j)y_{\mathrm{ij}}$

式中，为幅值为V_i、V_j的向量，表示相应的电流向量，若设线路导纳y_ij＝g_ij+jb_ij(以g_ij表示线路k的电导，b_ij表示线路k的电纳)，对地导纳y_i0＝jb_i0(b_i0是线路k在首端i的对地电纳)，且考虑到支路角1∠θ_ij＝cosθ_ij+jsinθ_ij(θ_ij表示线路k的支路角，θ_ij＝θ_i-θ_j)和和分别指线路k电流的复数形式和复数共轭形式，则可得：

${\left|I_k\right|}^2=V_j^2(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)+V_i^2[g_{\mathrm{ij}}^2+{(b_{i0}+b_{\mathrm{ij}})}^2]$ $+2V_i{V}_j{b}_{i0}(g_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-b_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})---\left(5\right)$

$-2V_i{V}_j\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)$

先设定发电机控制节点集合GC:=[g₁,g₂,...,g_m]，m≤ng，则线路k的某个THSR临界点的非线性方程组可写为由1个线路k电流幅值平方的不平衡方程式ng-m个节点注入功率不平衡方程式和2n-2ng+m-1个转移方向的不平衡方程式组成的非线性方程组：

$\mathrm{\Δ}{\left|I_k\right|}^2={\left|I_k^M\right|}^2-{\left|I_k\right|}^2=0$

${\mathrm{\ΔP}}_i=P_i^0-P_i=0,(i\∈G,i\∉\mathrm{GC})$ $\left(6\right)$

${\mathrm{\Δc}}_i={\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\ΔP}}_i-{\mathrm{\ΔP}}_{g_m}=0,(i\∈\mathrm{GC}\∪L,i\≠g_m)$

${\mathrm{\Δd}}_i={\mathrm{\β}}_i{\mathrm{\ΔP}}_i-{\mathrm{\ΔQ}}_i=0,(i\∈L)$

式中，是发电机非控制节点在当前运行状态下的节点有功注入功率；ΔP_i(i∈GC)是选定的发电机控制节点的有功注入功率增量；α_i是可能的负荷节点有功注入功率和发电机控制节点有功注入增量之比β_i是可能的负荷节点无功注入功率增量和有功注入增量之比ΔQ_i/ΔP_i(i∈L)；α_i组成的行向量α和β_i组成的行向量β表示运行点的转移方向，Δc_i组成的行向量Δc和Δd_i组成的行向量Δd表示每次迭代后转移方向的偏差值。可采用牛顿法[8]求解该方程组，设则第t次迭代过程中ΔP'(t)、Δ|I_k|²(t)、Δc(t)、Δd(t)、Δθ(t)和ΔV(t)有如下对应关系：

${\left[\begin{array}{cccc}{\left({\mathrm{\ΔP}}^{\′}\left(t\right)\right)}^T& \mathrm{\Δ}{\left|I_k\right|}^2\left(t\right)& \mathrm{\Δc}\left(t\right)& \mathrm{\Δd}\left(t\right)\end{array}\right]}^T=J^{\′}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\θ}\left(t\right)\\ \mathrm{\ΔV}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

式中，J'是对式(6)方程组中各式求导而得到的Jacobi矩阵：

$J^{\′}=\left[\begin{array}{cccccccc}{\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂V}_n\\ {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_{\mathrm{ng}-m}/{\∂V}_n\\ \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_n\\ {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_{m+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_{m+1}/{\∂V}_n\\ {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_{m+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_{m+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂c}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂c}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂c}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂c}_n/{\∂V}_n\\ {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_n\\ {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂d}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂d}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂d}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂d}_n/{\∂V}_n\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，所涉及到的P_i(节点i(i∈N)的有功注入功率)、Q_i(节点i(i∈N)的无功注入功率)、c_i和d_i可由下式求得：

$P_i=V_i\underset{j\∈N}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(g_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+b_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),(i\∈N)$

$Q_i=V_i\underset{j\∈N}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(g_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-b_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}),(i\∈N)---\left(9\right)$

$c_i={\mathrm{\α}}_i{P}_i-P_{g_m},(i\∈\mathrm{GC}\∪L,i\≠g_m)$

$d_i={\mathrm{\β}}_i{P}_i-Q_i,(i\∈L)$

本发明通过运行点转移的迭代计算(如图2)，可求得1个线路k的THSR临界点。该迭代过程的计算时间很少，与1次潮流计算的耗时相当。

第三步，在第二步算得的临界点((θ^cr)^T,(V^cr)^T,(P^cr)^T,(Q^cr)^T)处计算线路k电流幅值平方|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的Jacobi矩阵J_I和表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'。该步具体说明如下：

先计算|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的一阶导数组成的Jacobi矩阵J_I：

$J_I=\left[\begin{array}{cccc}\∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_i& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂\mathrm{\θ}}_j& \∂{{\left|I_k\right|}^2}_I/{\∂V}_i& \∂{\left|I_k\right|}^2/{\∂V}_j\end{array}\right]---\left(10\right)$

再计算表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'，一般求取S'的思路是计算灵敏度矩阵S并取S中与θ_i、θ_j、V_i和V_j对应的四个行向量构成S'，其中S可按下式求取：

S＝J^-1(11)

式中，J∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}是潮流方程的Jacobi矩阵：

$J=\left[\begin{array}{cccccccc}{\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_1/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_1/{\∂V}_n\\ {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_2/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_2/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂P}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂P}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂P}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂P}_n/{\∂V}_n\\ {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+1}/{\∂V}_n\\ {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_{\mathrm{ng}+2}/{\∂V}_n\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·& \·& \·& & \·\\ {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_1& {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_2& \·\·\·& {\∂Q}_n/{\∂\mathrm{\θ}}_n& {\∂Q}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+1}& {\∂Q}_n/{\∂V}_{\mathrm{ng}+2}& \·\·\·& {\∂Q}_n/{\∂V}_n\end{array}\right]---\left(12\right)$

在真实大***中，对J求逆获取S的计算量极大，计算过程耗时太长。为了减少该过程的计算时间，本发明直接求取S中所需要的4个行向量组成S'。考虑到S中的某行s_k有如下关系：

$J^T{s}_k^T=e_k---\left(13\right)$

式中，e_k是单位阵E∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}的第k行。

式(13)表明S中的第k行向量s_k的求解是一个形如AX＝B的线性方程求解问题，此类问题无须通过J的求逆来解决，实际上通过高斯消去法[9]来求解式(13)是一种更快速且更准确的方法。因此本发明仅通过4次线性方程的求解计算即可求取S'，而无须耗费大量时间求逆计算S，计算时间将进一步减少。

第四步，计算常数项C=J_IS'[(P^cr)^T(Q^cr)^T]^T，线路k的THSR边界可表示为J_IS'[P^TQ^T]^T/C＝1，进一步可化简为如的形式，其中系数a_i和b_i由J_IS'∈R^1×(2n-ng)给出。下面通过算例验证本发明的有效性：

在验证近似边界的精度时，以由交流潮流逐点法生成的THSR边界为基准，并根据下式计算误差：

$\mathrm{\ϵ}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\left|\right|S_i^{\mathrm{AC}}-S_i\left|\right|}_2}{{\left|\right|S_i^{\mathrm{AC}}\left|\right|}_2}\×100\%---\left(14\right)$

式中，ε和n分别为在工程关心的范围内超平面边界的平均误差和进行比较的临界点总数；为由交流潮流算得的THSR真实边界上的第i个临界注入点的复功率向量，S_k为相应的近似边界上的第i个临界注入点的复功率向量，上述两个第i点分别处于由初始运行点所做的同一条放射线上。

算例1

图3所示的9节点算例[10]中包含3个负荷节点(节点5、6和8)、2个发电机节点(节点2和3)和1个松弛节点(节点1，)，若不考虑无节点注入复功率的连接节点，则该算例的决策空间可简化为(P₂,P₃,P₅,P₆,P₈,Q₅,Q₆,Q₈)。

设额定功率为100MVA，以标幺值(负荷节点的注入功率为负值)来表示的初始运行点为(1.2,1,-0.5,-1.1,-1,-0.15,-0.45,-0.3)，将运行点转移到线路8-7的电流限值为200A的THSR临界点(1.2,0.4442,-0.5,-1.1,-1,-0.15,-0.45,-0.3)，在该临界点处可求得线路8-7的超平面系数如表1所示：

表1线路8-7的THSR超平面系数

鉴于高维的空THSR无法作几何上的直观表示，所以下边用其二维断面来表示。如表1所示，在线路8-7的THSR边界超平面描述中P₈和P₃的对应的超平面系数最大，因此可重点观察由P₈和P₃组成的THSR边界二维断面，此时其他节点注入维持临界点的值不变。图4给出了分别由交流潮流逐点法、本发明方法及文献[4]方法得出的THSR边界，由于本发明方法在推导中对交流潮流模型本身未进行任何省略，因此在该算例中发明方法的误差(0.52%)明显小于文献[4]方法的误差(2.74%)。

为验证不同临界点对生成边界的影响，本发明又取了两个不同的临界点1和2，分别生成THSR的近似边界,如图5所示，其误差分别为1.03%和0.71%，与图5中本发明方法生成边界相比变化不大。观察图5图形可见，两条近似边界均与真实边界上经过一个临界点的切线极为接近；而如图5所示，文献[4]生成边界上的点分布于交流潮流边界的两侧，与真实边界上经过一个临界点的切线相差较大。

算例2

为了检验本发明方法，我们还用1117条线路、145个负荷节点和86个发电节点的河南电网973节点***，计算了其THSR的边界。

选取姚计II线为监视线路，对除平东发电节点和英章负荷节点有功注入功率外的其他节点注入功率保持不变，将THSR降维至平东-英章的二维空间上。如图6所示，本发明方法所得边界的误差(2.26%)少于文献[4]方法误差(4.83%)。在IntelPentiumDual2.00GCPU和2G内存的惠普电脑上，文献[4]方法耗时1.38秒，而本发明方法仅耗时0.27秒，更能满足在线快速计算的要求。

参考文献

[7]余贻鑫，陈礼义．电力***的安全性与稳定性．北京：中国电力出版社，1988．

[8]王锡凡，方万良，杜正春．现代电力***分析．北京：科学出版社，2003．

[9]Atkinson，KendallA．AnintroductiontoNumericalAnalysis．NewYork:JohnWiley&Sons,1989.

[10]P.M.安德逊，A.A.佛阿德．电力***的控制与稳定（第一卷）．北京：水利电力出版社，1979．

Claims (2)

1.一种决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法，其特征是，包括如下步骤：

第一步，假设***由n+1个节点和nb条支路组成，其中节点0为松弛节点s，则其节点复电压向量记为用G:＝{1,2,...,ng}表示发电机节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可分别记为P_G∈R^ng和Q_G∈R^ng，R^ng表示ng维的实数空间；用L:＝{ng+1,ng+2,...,n}表示负荷节点的集合，则其有功和无功功率注入向量可记为P_L∈R^(n-ng)和Q_L∈R^(n-ng)；用N:＝G∪L∪0表示全部节点的集合；用B表示全部线路的集合，所有线路的电流幅值向量记为I_l，设发电机节点电压幅值V_G和松弛节点电压即复电压向量分别为指定值和并保持不变，把向量上标T表示向量或矩阵的转置，所处的空间作为决策变量空间，设即P表示所有负荷节点和发电机节点的有功注入功率的向量，Q:＝Q_L∈R^(n-ng)，即Q表示所有负荷节点的无功注入功率的向量，电力***的静态安全域通常定义为：

Ω_SS:＝{y|V∈R_V,P_G∈R_GP,I_l∈R_l,f(x)＝y}(1)

式中，V指所有节点的电压幅值向量，f(x)＝y为潮流方程，x∈Cⁿ⁺¹为节点复电压向量，Cⁿ⁺¹表示n+1维的复数空间，y∈Cⁿ⁺¹为节点注入复功率向量；R_V、R_l和R_GP分别为如式(2)所示的节点电压幅值约束、线路电流约束和发电有功功率约束：

式中，V_i是某个发电机节点i，i∈G或负荷节点i的电压幅值,i∈L；|I_l,i|是线路i的电流幅值，i∈B；P_Gi是发电机节点i的有功注入功率，i∈G；上标M、m分别表示变量的上、下限，R^nb表示nb维的实数空间；

考虑到在电力***实时控制中，P_G和V_G以及P_L和Q_L属于决策变量，分别对应于潮流方程求解中的P-V指定向量和P-Q指定向量，为便于与潮流分析相配合，假设V_G为指定值不变，把向量所处的空间作为决策变量空间，热稳定安全域定义如下：

第二步，选定目标线路k,k∈B，通过运行点转移程序获取一个线路k的热稳定安全域临界点((θ^cr)^T,(V^cr)^T,(P^cr)^T,(Q^cr)^T)，θ^cr、V^cr、P^cr和Q^cr分别表示当***运行于某临界状态时各节点的电压相角向量、电压幅值向量、有功注入功率向量和无功注入功率向量；

第三步，设线路k的首末两端节点i和j的电压相角和幅值分别为θ_i、θ_j、V_i和V_j，计算线路k电流幅值平方|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的Jacobi矩阵J_I和表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'；

第四步，计算常数项C＝J_IS'[(P^cr)^T(Q^cr)^T]^T，线路k的热稳定安全域边界可表示为J_IS'[P^TQ^T]^T/C＝1，进一步可化简为如的形式，其中系数a_i和b_i由J_IS'∈R^1×(2n-ng)给出；

第二步进一步细化为：设线路k的首末端节点为i和j，I_kf和I_kt分别表示流过线路k首端和末端的电流，I_i0和I_j0分别表示流过线路k首端和末端对地导纳的电流，I_ij表示线路k首端和末端之间的电流，下文中的线路k电流I_k专指I_kf：

式中，为幅值为V_i、V_j的向量，表示相应的电流向量，若设线路导纳y_ij＝g_ij+jb_ij，以g_ij表示线路k的电导，b_ij表示线路k的电纳，对地导纳y_i0＝jb_i0，b_i0是线路k在首端i的对地电纳，且考虑到支路角1∠θ_ij＝cosθ_ij+jsinθ_ij，θ_ij表示线路k的支路角，θ_ij＝θ_i-θ_j和 和分别指线路k电流的复数形式和复数共轭形式，则可得：

先设定发电机控制节点集合GC:＝[g₁,g₂,...,g_m]，m≤ng，则线路k的某个热稳定安全域临界点的非线性方程组可写为由1个线路k电流幅值平方的不平衡方程式ng-m个节点注入功率不平衡方程式和2n-2ng+m-1个转移方向的不平衡方程式组成的非线性方程组：

式中，是发电机非控制节点在当前运行状态下的节点有功注入功率；△P_i，i∈GC是选定的发电机控制节点的有功注入功率增量；α_i是可能的负荷节点有功注入功率和发电机控制节点有功注入增量之比β_i是可能的负荷节点无功注入功率增量和有功注入增量之比△Q_i/△P_i,i∈L；α_i组成的行向量α和β_i组成的行向量β表示运行点的转移方向，△c_i,i∈GC∪L,i≠g_m组成的行向量△c和△d_i,i∈L组成的行向量△d表示每次迭代后转移方向的偏差值，采用牛顿法求解该方程组，设△θ为各节点电压相角变量组成的向量，△V为各节点电压幅值变量组成的向量，则△P'、△|I_k|²、△c、△d、△θ和△V在第t次迭代过程中所对应的△P'(t)、△|I_k|²(t)、△c(t)、△d(t)、△θ(t)和△V(t)有如下对应关系：

式中，J'是对式(6)方程组中各式求导而得到的Jacobi矩阵：

式中，所涉及到的P_i为节点i，i∈N的有功注入功率、Q_i为节点i，i∈N的无功注入功率、c_i和d_i可由下式求得：

通过运行点转移的迭代计算，求得1个线路k的热稳定安全域临界点。

2.如权利要求1所述的决策空间上电力***热稳定安全域的边界快速生成方法，其特征是，第三步进一步具体为：

先计算|I_k|²关于θ_i、θ_j、V_i和V_j的一阶导数组成的Jacobi矩阵J_I：

再计算表示θ_i、θ_j、V_i和V_j与P和Q之间关系的灵敏度矩阵S'，一般求取S'的思路是计算灵敏度矩阵S并取S中与θ_i、θ_j、V_i和V_j对应的四个行向量构成S'，其中S可按下式求取：

S＝J^-1(11)

式中，J∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}是潮流方程的Jacobi矩阵：

直接求取S中所需要的4个行向量组成S'，考虑到S中的某行s_k有如下关系：

式中，e_k是单位阵E∈R^{(2n-ng)×(2n-ng)}的第k行；通过高斯消去法来求解式(13)。