CN103077310B - 基于螺旋空间夹角的串联和并联机器人机构的奇异裕度检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于螺旋空间夹角的串联或并联机器人机构的奇异裕度检测方法。本发明方法在建立机器人螺旋坐标系并计算关节运动螺旋或支链约束力螺旋的基础上，计算扩展螺旋矩阵的行列式，进而表达出螺旋空间的夹角。若发现机器人在运动过程中螺旋空间夹角接近九十度，则认为机器人的奇异裕度很小；若螺旋空间夹角接近零度，则认为机器人的奇异裕度很大。这种方法的特点是，不需要借助优化算法，因而方法的计算效率高；以螺旋空间夹角作为奇异裕度指标，具有几何意义；不仅适用于串联机器人或串联支链的运动奇异裕度检测，也适用于并联机器人的静力奇异裕度检测。

Description

基于螺旋空间夹角的串联和并联机器人机构的奇异裕度检测方法

技术领域

本发明涉及一种基于螺旋空间夹角的串联或并联机器人机构的奇异裕度检测方法。

背景技术

奇异构型对串联和并联机器人的运动学和动力学的影响很大，可以分为运动奇异和静力奇异两大类。若机器人机构进入运动奇异位形，将无法通过指定末端执行器或动平台的速度来求取串联支链各关节速度；若并联机器人进入静力奇异位形，支链将无法对动平台提供必要的约束力。处于奇异状态的串联或并联机器人将不可控，甚至会损坏机器人的结构。奇异裕度表征了机器人当前位形到奇异位形的余量。因此，检测奇异裕度是机器人机构设计和运动控制的重要技术问题。

判断机器人是否处于奇异位形，可以采用机器人雅可比矩阵的最小奇异值、条件数或行列式是否等于0来判断。但雅可比矩阵的最小奇异值、条件数或行列式却不合适用来检测机器人的奇异裕度，因为它们缺乏必要的物理或几何意义，并且不是坐标不变量。因此，人们采用了一些其它方法来检测机器人的奇异裕度，例如，Voglewede和Ebert-Uphoff于2005年在《IEEETransactionsonRobotics》（21(6)：第1037-1045页）的论文“Overarchingframeworkformeasuringclosenesstosingularitiesofparallelmanipulators”中提出在速度域和力域中采用约束优化方法中的特征值算法来检测机器人的奇异裕度，并将奇异裕度表征为功率、刚度、动能、自然频率等具有物理意义的指标。Hubert和Merlet于2009年在《ASMEJournalofMechanismsandRobotics》（1(1)：第1-6页）的论文“Staticofparallelmanipulatorsandclosenesstosingularity”中提出了计算力空间边界的算法，通过设置关节最大驱动力的阈值来检测并联机器人的奇异裕度。Liu于2012年在《ASMEJournalofMechanismsandRobotics》（4(4)：第1-10页）的论文“Anewapproachforsingularityanalysisandclosenessmeasurementtosingularitiesofparallelmanipulators”中通过支链传动力螺旋与关节运动螺旋或动平台运动螺旋之间的互易积来度量并联机器人的奇异裕度。这些方法往往需要借助于计算量很大的优化算法，有些方法中提出的奇异裕度指标缺乏必要的几何或物理意义，且不具备坐标不变性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于螺旋空间夹角的串联或并联机器人机构的奇异裕度检测方法。这种方法不需要借助于优化算法，因此计算量较小，且具有几何意义。

本发明提出的基于螺旋空间夹角的串联或并联机器人机构的奇异裕度检测方法，具体步骤如下：

建立机器人的螺旋坐标系，判断所述机器人的类型，机器人的类型为串联机器人或并联机器人；

对于串联机器人或并联机器人的一条支链检测步骤如下：

(1)将螺旋坐标系的原点建立在机器人的末端执行器上，坐标系的姿态可以任意选择；

(2)计算关节运动螺旋，并组成螺旋矩阵：对于串联机器人或并联机器人的一条支链，计算串联机器人或并联机器人的一条串联支链的运动链中各关节的运动螺旋t_i，其中i=1,2,...,N，N是运动螺旋的数目，将这一组运动螺旋组成一个运动螺旋矩阵M_t={t₁,t₂,...t_N}；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式D_t：

D_t=det(M_t ^TM_t)(式1)

其中，D_t表示N阶扩展螺旋矩阵的行列式，det表示矩阵的行列式运算，T表示对矩阵的转置运算；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式V_ti：

V_ti=det(M_ti ^TM_ti)(式3)

其中，V_ti表示N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式，M_ti表示在螺旋矩阵M_t中去除第i条螺旋之后所获得的新矩阵；由于i=1,2,...,N，因此存在N个不同的V_ti；

(5)计算螺旋空间的夹角：对于运动螺旋，运动螺旋t_i与螺旋系中其余N-1条运动螺旋构成的螺旋空间法向的夹角α_i为：

(式5)

其中，||t_i||表示对螺旋t_i的取模运算；将N个α_i中的最大值记为α；

(6)计算机器人的奇异裕度：对于串联机器人或并联机器人的一条支链，运动奇异裕度A_t=90°-α；当螺旋空间夹角α=90°时，表明机器人处于运动奇异状态；当螺旋空间夹角α=0°时，表明机器人远离运动奇异状态；

对于并联机器人检测步骤如下：

(1)对于并联机器人，将螺旋坐标系的原点建立在动平台上，坐标系的姿态可以任意选择；

(2)计算关节支链约束力螺旋，并组成螺旋矩阵：对于并联机器人，计算各支链的约束力螺旋w_i，其中i=1,2,...,N，N是约束力螺旋的数目，将这一组约束力螺旋组成一个力螺旋矩阵M_w={w₁,w₂,...w_N}；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式D_w：

D_w=det(M_w ^TM_w)(式2)

其中，D_w表示N阶扩展螺旋矩阵的行列式，det表示方阵的行列式运算，T表示对矩阵的转置运算；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式V_wi：

V_wi=det(M_wi ^TM_wi)(式4)

其中，V_wi表示N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式，M_wi表示在螺旋矩阵M_w中去除第i条螺旋之后所获得的新矩阵；由于i=1,2,...,N，因此存在N个不同的V_wi；

(5)计算螺旋空间的夹角：对于力螺旋，螺旋w_i与螺旋系中其余N-1条力螺旋构成的螺旋空间法向的夹角β_i为：

(式6)

其中，||w_i||表示对螺旋w_i的取模运算；将N个β_i中的最大值记为β；

(6)计算机器人的奇异裕度：对于并联机器人，静力奇异裕度A_w=90°-β；当螺旋空间夹角β=90°时，表明机器人处于静力奇异状态；当螺旋空间夹角β=0°时，表明机器人远离静力奇异状态。

本发明可以根据步骤(3)与步骤(4)分别计算N阶和N-1阶扩展运动螺旋矩阵或N阶和N-1阶扩展力螺旋矩阵的行列式。

本发明可以根据步骤(5)计算螺旋空间的夹角，以此衡量机器人的奇异裕度。

本发明具有的有益效果是：

(1)提出的机器人奇异裕度检测方法不需要借助优化算法，提高了奇异裕度的计算效率；

(2)这种方法以螺旋空间的夹角作为奇异裕度的评价指标，具有几何意义；

(3)能够用于检测串联机器人或并联机器人支链的运动奇异裕度；

(4)能够用于检测并联机器人的静力奇异裕度。

附图说明

图1是含机器人奇异裕度检测的流程图。

图2是3R平面机器人机构示意图。

图3是3-UPU并联机器人示意图。

图中：1、基座，2、1号转动副，3、1号连杆，4、2号转动副，5、2号连杆，6、3号转动副，7、3号连杆，8、末端执行器，9、螺旋坐标系，10、动平台，11、万向副，12、移动副。

具体实施方式

下面通过实施例结合附图进一步说明本发明。

实施例1：下面结合3R平面机器人对本发明作进一步说明。机器人奇异裕度检测的流程图见图1所示，包括以下关键步骤：

(1)建立机器人的螺旋坐标系；

(2)计算关节运动螺旋，并组成螺旋矩阵；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式；

(5)计算螺旋空间的夹角；

(6)计算机器人的奇异裕度。

以图2所示的3R平面机器人机构为例。3R平面机器人有3个转动副，设3根连杆的长度均为0.5m，设1号连杆与水平线的夹角为45°，2号连杆与水平线的夹角为0°，3号连杆与水平线的夹角为90°。

(1)建立3R平面机器人的螺旋坐标系。如图2所示，在机器人末端执行器8处建立螺旋坐标系9，螺旋坐标系9原点位于末端执行器8中心，螺旋坐标系的x轴水平向右，螺旋坐标系的y轴竖直向上。

(2)计算3个关节的运动螺旋，并组成螺旋矩阵。经计算，1号转动副2的运动螺旋为t₁=(0,0,1,-0.853553,0.853553,0)^T，t₂=(0,0,1,-0.5,0.5,0)^T，t₃=(0,0,1,0,-0.5,0)^T。运动螺旋矩阵为M_t={t₁,t₂,t₃}。

(3)计算3阶扩展螺旋矩阵的行列式。根据(式1)，3阶扩展螺旋矩阵的行列式D_t=det(M_t ^TM_t)=0.03125。

(4)计算2阶扩展螺旋矩阵的行列式。由于3阶螺旋系中共有3个2阶螺旋系，因此根据(式3)分别计算3个2阶扩展螺旋矩阵的行列式V_t1=det(M_t1 ^TM_t1)=1.3125，V_t2=det(M_t2 ^TM_t2)=2.7428，V_t3=det(M_t3 ^TM_t3)=0.25。

(5)计算螺旋空间的夹角。由于存在3个2阶螺旋系，因此根据(式5)分别计算螺旋空间的3个夹角：

，

，

，

因此，α=85.0002°。

(6)计算机器人的奇异裕度。3R平面机器人处于图2构型时的运动奇异裕度A_t=90°-α=4.9998°。

实施例2：下面结合3-UPU并联机器人对本发明作进一步说明。机器人奇异裕度检测的流程图见图1所示，包括以下关键步骤：

(1)建立机器人的螺旋坐标系；

(2)计算关节运动螺旋，并组成螺旋矩阵；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式；

(5)计算螺旋空间的夹角；

(6)计算机器人的奇异裕度。

以图2所示的3-UPU并联机器人机构为例。3-UPU并联机器人动平台10和基座之间通过3条支链相连，每条支链由2个万向副11和1个移动副12构成，其中移动副是驱动关节。基座上的3个万向副呈等边三角形布置，三角形边长为0.5m，基础坐标系原点O处于三角形中心。动平台上的3个万向副也呈等边三角形布置，三角形边长为0.2m，动平台工具坐标系原点P处于三角形中心。动平台中心P点在(0,0.1m,1m)位置。

(1)建立3-UPU并联机器人的螺旋坐标系。如图3所示，在3-UPU并联机器人动平台10处建立螺旋坐标系9，螺旋坐标系9原点为位于动平台10中心。

(2)计算3条支链的约束力螺旋，并组成力螺旋矩阵。经计算，3条支链对动平台共有6个约束力螺旋，分别为w₁={0,0,0,0.0433,0.025,1}，w₂={-3.75,10.825,43.301,-17.321,-10,1}，w₃={0,0,0,-0.0433,0.025,1}，w₄={-3.75,-2.165,43.301,17.321,-10,1}，w₅={0,0,0,0,0.1,1}，w₆={-3.75,-2.165,-21.651,0,-10,1}。力螺旋矩阵为M_w={w₁,w₂,w₃,w₄,w₅,w₆}。

(3)计算6阶扩展螺旋矩阵的行列式。根据(式2)，6阶扩展螺旋矩阵的行列式D_w=det(M_w ^TM_w)=422.351。

(4)计算5阶扩展螺旋矩阵的行列式。由于6阶螺旋系中共有6个5阶螺旋系，因此根据(式4)分别计算6个5阶扩展螺旋矩阵的行列式V_w1=det(M_w1 ^TM_w1)=3.337，V_w2=det(M_w2 ^TM_w2)=3.437，V_w3=det(M_w3 ^TM_w3)=13.449，V_w4=det(M_w4 ^TM_w4)=615895，V_w5=det(M_w5 ^TM_w5)=615895，V_w6=det(M_w6 ^TM_w6)=611740。

(5)计算螺旋空间的夹角。由于存在6个5阶螺旋系，因此根据(式6)分别计算螺旋空间的6个夹角：

因此，β=88.5018°。

(6)计算机器人的奇异裕度。3-UPU并联机器人处于图3构型时的静力奇异裕度A_w=90°-β=1.4982°。

Claims (1)

1.一种基于螺旋空间夹角的串联或并联机器人机构的奇异裕度检测方法，其特征在于具体步骤如下：

建立机器人的螺旋坐标系，判断所述机器人的类型，机器人的类型为串联机器人或并联机器人；

对于串联机器人检测步骤如下：

(1)将螺旋坐标系的原点建立在机器人的末端执行器上，坐标系的姿态可以任意选择；

(2)计算关节运动螺旋，并组成螺旋矩阵：对于串联机器人，计算串联机器人的转动副运动链中各关节的运动螺旋t_i，其中i=1,2,...,N，N是运动螺旋的数目，将这一组运动螺旋组成一个运动螺旋矩阵M_t={t₁,t₂,...t_N}；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式D_t：

D_t=det(M_t ^TM_t)(式1)

其中，D_t表示N阶扩展螺旋矩阵的行列式，det表示矩阵的行列式运算，T表示对矩阵的转置运算；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式V_ti：

V_ti=det(M_ti ^TM_ti)(式3)

其中，V_ti表示N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式，M_ti表示在螺旋矩阵M_t中去除第i条螺旋之后所获得的新矩阵；由于i=1,2,...,N，因此存在N个不同的V_ti；

(5)计算螺旋空间的夹角：对于运动螺旋，运动螺旋t_i与螺旋系中其余N-1条运动螺旋构成的螺旋空间法向的夹角α_i为：

(式5)

其中，||t_i||表示对螺旋t_i的取模运算；将N个α_i中的最大值记为α；

(6)计算机器人的奇异裕度：对于串联机器人，运动奇异裕度A_t=90°-α；当螺旋空间夹角α=90°时，表明机器人处于运动奇异状态；当螺旋空间夹角α=0°时，表明机器人远离运动奇异状态；

对于并联机器人检测步骤如下：

(1)对于并联机器人，将螺旋坐标系的原点建立在动平台上，坐标系的姿态可以任意选择；

(2)计算支链约束力螺旋，并组成螺旋矩阵：对于并联机器人，计算各支链的约束力螺旋w_i，其中i=1,2,...,N，N是约束力螺旋的数目，将这一组约束力螺旋组成一个力螺旋矩阵M_w={w₁,w₂,...w_N}；

(3)计算N阶扩展螺旋矩阵的行列式D_w：

D_w=det(M_w ^TM_w)(式2)

其中，D_w表示N阶扩展螺旋矩阵的行列式，det表示方阵的行列式运算，T表示对矩阵的转置运算；

(4)计算N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式V_wi：

V_wi=det(M_wi ^TM_wi)(式4)

其中，V_wi表示N-1阶扩展螺旋矩阵的行列式，M_wi表示在螺旋矩阵M_w中去除第i条螺旋之后所获得的新矩阵；由于i=1,2,...,N，因此存在N个不同的V_wi；

(5)计算螺旋空间的夹角：对于力螺旋，螺旋w_i与螺旋系中其余N-1条力螺旋构成的螺旋空间法向的夹角β_i为：

(式6)

其中，||w_i||表示对螺旋w_i的取模运算；将N个β_i中的最大值记为β；

(6)计算机器人的奇异裕度：对于并联机器人，静力奇异裕度A_w=90°-β；当螺旋空间夹角β=90°时，表明机器人处于静力奇异状态；当螺旋空间夹角β=0°时，表明机器人远离静力奇异状态。