CN103065039B - 一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数的计算方法，运用复数运算的泰勒展式得到高精度的正弦/余弦函数值；所述方法包括：设计三个子模块，分别是，相位细分模块，初值计算模块和迭代求解模块；其中，相位细分模块将需要求取三角函数相位值分为N份，N为正整数；初值计算模块计算得出细分后相位的三角函数值，并作为迭代初值；迭代求解模块将初值代入计算方程式进行迭代计算，迭代次数越多，所得正弦/余弦值计算精度越高；最后，运用欧拉公式可将迭代结果转换为对应待求相位的正弦/余弦值。

Description

一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法

技术领域

本发明涉及数字信号发生领域，尤其涉及一种高精度正弦/余弦函数值的计算方法。

背景技术

直接数字频率合成现已成为信号发生的重要设计方法，它的主要优点是输出频率、相位和幅度能够在数字处理器的控制下精确而快速地变换。相位-幅度变换器是直接数字频率合成器的重要组成部分，它的精度直接决定了输出正弦/余弦波的精度和纯度，因此，对正弦/余弦值的精确计算是重中之重。

目前，正弦/余弦函数数值的计算方法主要有查表法、插值法和CORDIC算法。在对相位和频率分辨率以及输出精度要求很高的场合，查表法会消耗大量的存储单元，这不仅增大了能耗，而且增加了芯片面积。CORDIC算法运用坐标旋转求取相应的正余弦值，它解决了资源的消耗问题，且非常适合在FPGA上实现，但CORDIC算法在固定迭代次数的情况下，计算的精度随待计算角度的变化而变化。因此，CORDIC算法在频率变化比较大的场合满足不了高精度的要求。

直接数字频率合成在高端技术和军事技术，以及通信技术中有着较为广泛的需求，这就对它极微小的频率调谐和相位分辨能力，以及在两个频率之间的“跳跃”能力，提出了较高的要求，因而，设计一种计算精度与输入角度无关的正弦/余弦计算方法尤为重要。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，实现计算精度与输入角度无关的正弦/余弦计算方法。所述方法依据精细积分原理，可以求得在[0,2π]间任意相位高精度的正弦/余弦值。

本发明的技术方案是：

所述方法通过细分待求相位，根据欧拉公式求得小相位下的迭代初值，并迭代相应次数N(N为正整数)，将迭代结果进行转换，进而得到所述待求相位下的正弦/余弦值；所述方法包括以下步骤：

步骤一，相位细分；将待求相位η细分为2^N份，所述待求相位η的取值范围是[0,2π]，细分后的相位τ₀为：

τ₀＝η/2^N(8)

步骤二，初值计算；针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算，所述复数值的计算采用了泰勒展开式，理论上可以展开成无穷多项，但在实现时，考虑到高次幂对复数值的贡献很小，故取前五项参与运算：

${\mathrm{cos\τ}}_0+{\mathrm{isin\τ}}_0=e^{{\mathrm{i\τ}}_0}\≈1+{\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(9\right)$

令

$T_0={\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(10\right)$

得

$e^{{\mathrm{i\τ}}_0}=1+T_0---\left(11\right)$

其中，T₀就是所述的迭代初值。

步骤三，迭代求解；所述迭代次数为步骤一中定义的N，迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值，根据(8)可知，η＝2^N×τ₀，所述变换依据欧拉公式进行；迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍，迭代公式基于多项式的平方公式，第i+1(i＝0,1,2,3,…N-1)次迭代的相位τ_i+1的复数值与第i次迭代相位τ_i的复数值具有相同的表现形式：

$\left\{\begin{array}{c}{e}^{{\mathrm{i\τ}}_0}=1+T_i\\ e^{{\mathrm{i\τ}}_{i+1}}=e^{i(2\×{\mathrm{\τ}}_i)}={(1+T_i)}^2=1+T_i+T_i^2=1+T_{i+1}\end{array}\right.---\left(12\right)$

所述迭代公式为

$T_{i+1}=2T_i+T_i^2---\left(13\right)$

所得正弦/余弦计算值为

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\η}=real\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=real\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=real(1+T_N)\\ \sin \mathrm{\η}=img\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=img\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=img(1+T_N)\end{array}\right.---\left(14\right)$

进一步的，所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，对于任意一个相位值，计算误差都是独立的，不存在相位值之间的累积误差。

进一步的，所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，迭代次数越多，正弦/余弦函数值越精确。

附图说明

图1为本发明算法框图；

图2为迭代计算流程图；

图3为迭代次数与精度的对应关系。

具体实施方式

参见图1，一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法的算法框图。

所述方法包括以下步骤：

步骤一，相位细分；将待求相位η细分为2^N份，所述待求相位η的取值范围是[0,2π]，细分后的相位τ₀为：

τ₀＝η/2^N(15)

步骤二，初值计算；针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算，所述复数值的计算采用了泰勒展开式，理论上可以展开成无穷多项，但在实现时，考虑到高次幂对复数值的贡献很小，故取前五项参与运算：

${\mathrm{cos\τ}}_0+{\mathrm{isin\τ}}_0=e^{{\mathrm{i\τ}}_0}\≈1+{\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(16\right)$

令

$T_0={\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(17\right)$

得

$e^{{\mathrm{i\τ}}_0}=1+T_0---\left(18\right)$

其中，T₀就是所述的迭代初值。

步骤三，迭代求解；所述迭代次数为步骤一中定义的N，迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值，根据(15)可知，η＝2^N×τ₀，所述变换依据欧拉公式进行；迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍，迭代公式基于多项式的平方公式，第i+1(i＝0,1,2,3,…N-1)次迭代的相位τ_i+1的复数值与第i次迭代相位τ_i的复数值具有相同的表现形式：

$\left\{\begin{array}{c}{e}^{{\mathrm{i\τ}}_i}=1+T_i\\ e^{{\mathrm{i\τ}}_{i+1}}=e^{i(2\×{\mathrm{\τ}}_i)}={(1+T_i)}^2=1+2T_i+T_i^2=1+T_{i+1}\end{array}\right.---\left(19\right)$

所述迭代公式为

$T_{i+1}=2T_i+T_i^2---\left(20\right)$

迭代计算的流程图参见图2。

所得正弦/余弦计算值为

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\η}=real\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=real\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=real(1+T_N)\\ \sin \mathrm{\η}=img\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=img\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=img(1+T_N)\end{array}\right.---\left(21\right)$

所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，对于任意一个相位值，计算误差都是独立的，不存在相位值之间的累积误差。迭代次数越多，正弦/余弦函数值越精确。迭代次数与正弦/余弦值计算精度之间的关系参见图3。

以上对本发明及其实施方式的描述，并不局限于此，附图中所示仅是本发明的实施方式之一。在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造地设计出与该技术方案类似的结构或实施例，均属本发明保护范围。

Claims (2)

1.一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，主要用于数字信号发生领域，解决高精度直接数字频率合成的问题，是一种计算精度与输入角度无关的正弦/余弦值计算方法，其特征在于，该方法包括下述步骤：

步骤一，相位细分；将待求相位η细分为2^N份，所述待求相位η的取值范围是[0,2π]，细分后的相位τ₀为：

τ₀＝η/2^N(1)

步骤二，初值计算；针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算，所述复数值的计算采用了泰勒展开式，理论上可以展开成无穷多项，但在实现时，考虑到高次幂对复数值的贡献很小，故取前五项参与运算：

${\mathrm{cos\τ}}_0+i{\mathrm{sin\τ}}_0=e^{{\mathrm{i\τ}}_0}\≈1+{\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(2\right)$

令

$T_0={\mathrm{i\τ}}_0+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left({\mathrm{i\τ}}_0\right)}^4}{24}---\left(3\right)$

得

$e^{{\mathrm{i\τ}}_0}=1+T_0---\left(4\right)$

其中，T₀就是所述的迭代初值，

步骤三，迭代求解；所述迭代次数为步骤一中定义的N，迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值，根据(1)可知，η＝2^N×τ₀，所述变换依据欧拉公式进行；迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍，迭代公式基于多项式的平方公式，第i+1次迭代的相位τ_i+1的复数值与第i次迭代相位τ_i的复数值具有相同的表现形式：

$\left\{\begin{array}{c}{e}^{{\mathrm{i\τ}}_i}=1+T_i\\ e^{{\mathrm{i\τ}}_{i+1}}=e^{i(2\×{\mathrm{\τ}}_i)}={\left(1+T_i\right)}^2=1+2T_i+T_i^2=1+T_{i+1}\end{array}\right.---\left(5\right)$

所述迭代公式为

T_i+1＝2T_i+T_i ²(6)

所得正弦/余弦计算值为

$\left\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\η}=real\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=real\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=real\left(1+T_N\right)\\ \sin \mathrm{\η}=img\left(e^{i\mathrm{\η}}\right)=img\left(e^{{\mathrm{i\τ}}_N}\right)=img\left(1+T_N\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，i＝0,1,2,3,…N-1。

2.根据权利要求书1所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法，其特征在于，迭代子模块的迭代次数越多，所得的正弦/余弦值的精度越高。