CN103065039B - 一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数的计算方法,运用复数运算的泰勒展式得到高精度的正弦/余弦函数值;所述方法包括:设计三个子模块,分别是,相位细分模块,初值计算模块和迭代求解模块;其中,相位细分模块将需要求取三角函数相位值分为N份,N为正整数;初值计算模块计算得出细分后相位的三角函数值,并作为迭代初值;迭代求解模块将初值代入计算方程式进行迭代计算,迭代次数越多,所得正弦/余弦值计算精度越高;最后,运用欧拉公式可将迭代结果转换为对应待求相位的正弦/余弦值。
Description
技术领域
本发明涉及数字信号发生领域,尤其涉及一种高精度正弦/余弦函数值的计算方法。
背景技术
直接数字频率合成现已成为信号发生的重要设计方法,它的主要优点是输出频率、相位和幅度能够在数字处理器的控制下精确而快速地变换。相位-幅度变换器是直接数字频率合成器的重要组成部分,它的精度直接决定了输出正弦/余弦波的精度和纯度,因此,对正弦/余弦值的精确计算是重中之重。
目前,正弦/余弦函数数值的计算方法主要有查表法、插值法和CORDIC算法。在对相位和频率分辨率以及输出精度要求很高的场合,查表法会消耗大量的存储单元,这不仅增大了能耗,而且增加了芯片面积。CORDIC算法运用坐标旋转求取相应的正余弦值,它解决了资源的消耗问题,且非常适合在FPGA上实现,但CORDIC算法在固定迭代次数的情况下,计算的精度随待计算角度的变化而变化。因此,CORDIC算法在频率变化比较大的场合满足不了高精度的要求。
直接数字频率合成在高端技术和军事技术,以及通信技术中有着较为广泛的需求,这就对它极微小的频率调谐和相位分辨能力,以及在两个频率之间的“跳跃”能力,提出了较高的要求,因而,设计一种计算精度与输入角度无关的正弦/余弦计算方法尤为重要。
发明内容
本发明的目的在于提出一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,实现计算精度与输入角度无关的正弦/余弦计算方法。所述方法依据精细积分原理,可以求得在[0,2π]间任意相位高精度的正弦/余弦值。
本发明的技术方案是:
所述方法通过细分待求相位,根据欧拉公式求得小相位下的迭代初值,并迭代相应次数N(N为正整数),将迭代结果进行转换,进而得到所述待求相位下的正弦/余弦值;所述方法包括以下步骤:
步骤一,相位细分;将待求相位η细分为2N份,所述待求相位η的取值范围是[0,2π],细分后的相位τ0为:
τ0=η/2N(8)
步骤二,初值计算;针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算,所述复数值的计算采用了泰勒展开式,理论上可以展开成无穷多项,但在实现时,考虑到高次幂对复数值的贡献很小,故取前五项参与运算:
令
得
其中,T0就是所述的迭代初值。
步骤三,迭代求解;所述迭代次数为步骤一中定义的N,迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值,根据(8)可知,η=2N×τ0,所述变换依据欧拉公式进行;迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍,迭代公式基于多项式的平方公式,第i+1(i=0,1,2,3,…N-1)次迭代的相位τi+1的复数值与第i次迭代相位τi的复数值具有相同的表现形式:
所述迭代公式为
所得正弦/余弦计算值为
进一步的,所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,对于任意一个相位值,计算误差都是独立的,不存在相位值之间的累积误差。
进一步的,所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,迭代次数越多,正弦/余弦函数值越精确。
附图说明
图1为本发明算法框图;
图2为迭代计算流程图;
图3为迭代次数与精度的对应关系。
具体实施方式
参见图1,一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法的算法框图。
所述方法包括以下步骤:
步骤一,相位细分;将待求相位η细分为2N份,所述待求相位η的取值范围是[0,2π],细分后的相位τ0为:
τ0=η/2N(15)
步骤二,初值计算;针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算,所述复数值的计算采用了泰勒展开式,理论上可以展开成无穷多项,但在实现时,考虑到高次幂对复数值的贡献很小,故取前五项参与运算:
令
得
其中,T0就是所述的迭代初值。
步骤三,迭代求解;所述迭代次数为步骤一中定义的N,迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值,根据(15)可知,η=2N×τ0,所述变换依据欧拉公式进行;迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍,迭代公式基于多项式的平方公式,第i+1(i=0,1,2,3,…N-1)次迭代的相位τi+1的复数值与第i次迭代相位τi的复数值具有相同的表现形式:
所述迭代公式为
迭代计算的流程图参见图2。
所得正弦/余弦计算值为
所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,对于任意一个相位值,计算误差都是独立的,不存在相位值之间的累积误差。迭代次数越多,正弦/余弦函数值越精确。迭代次数与正弦/余弦值计算精度之间的关系参见图3。
以上对本发明及其实施方式的描述,并不局限于此,附图中所示仅是本发明的实施方式之一。在不脱离本发明创造宗旨的情况下,不经创造地设计出与该技术方案类似的结构或实施例,均属本发明保护范围。
Claims (2)
1.一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,主要用于数字信号发生领域,解决高精度直接数字频率合成的问题,是一种计算精度与输入角度无关的正弦/余弦值计算方法,其特征在于,该方法包括下述步骤:
步骤一,相位细分;将待求相位η细分为2N份,所述待求相位η的取值范围是[0,2π],细分后的相位τ0为:
τ0=η/2N(1)
步骤二,初值计算;针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算,所述复数值的计算采用了泰勒展开式,理论上可以展开成无穷多项,但在实现时,考虑到高次幂对复数值的贡献很小,故取前五项参与运算:
令
得
其中,T0就是所述的迭代初值,
步骤三,迭代求解;所述迭代次数为步骤一中定义的N,迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值,根据(1)可知,η=2N×τ0,所述变换依据欧拉公式进行;迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍,迭代公式基于多项式的平方公式,第i+1次迭代的相位τi+1的复数值与第i次迭代相位τi的复数值具有相同的表现形式:
所述迭代公式为
Ti+1=2Ti+Ti 2(6)
所得正弦/余弦计算值为
其中,i=0,1,2,3,…N-1。
2.根据权利要求书1所述的一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法,其特征在于,迭代子模块的迭代次数越多,所得的正弦/余弦值的精度越高。
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