CN103020334A - 一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法 - Google Patents

一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法 Download PDF

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刘有余
柳昊
张海峰
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本发明属于用于计算机制图的3D建模领域，尤其是多项式表面绘图，涉及一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法。现有CAD软件不能将Gompertz曲线保持原本特性延伸相交于指定对象，本发明采用Gompertz曲线延伸模型延伸Gompertz曲线，步骤依次为：在待延伸Gompertz曲线上选取组特征点{
Figure 2012104819817100004DEST_PATH_IMAGE002
,
Figure 2012104819817100004DEST_PATH_IMAGE003
}；判断Gompertz曲线延伸模型应用条件；确定待定参数；确定Gompertz曲线延伸模型；计算延伸模型与目标对象的交点；利用Gompertz曲线延伸模型进行延伸。所述方法还可以应用于平面内任意位置的形状为Gompertz曲线的精确智能延伸。本发明所述方法延伸部分没有改变原曲线特性，可以长距离精确智能延伸，精度高，连接处曲线光滑；解决了通用CAD软件非圆曲线不能延伸的共性关键难题，增加或完善了现有CAD软件Gompertz曲线延伸功能。

Description

一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法
技术领域
本发明属于用于计算机制图的3D建模领域，尤其是多项式表面绘图，涉及一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法。
背景技术
应用CAD软件进行二维或三维制图或建模时，经常遇到曲线需要延伸或过渡的问题，现代CAD软件对直线或圆弧均能保持原有特性进行延伸，但对其他非圆曲线却无能为力。Gompertz曲线是一种常用曲线，可用于CAD曲线的延伸或过渡。
中国专利CN 101482979A公开了一种光顺优化的NURBS空间曲线曲率连续拼接的CAD方法，在不改变曲线原有部分的情况下，填补了两条NURBS曲线间的缝隙，并且保证了曲线延伸部分的光顺性最优；中国专利CN 101299278A公开了一种基于延伸的产品外形空间曲线拼接的CAD方法，在不添加第三条曲线的情况下，既填补了两条曲线间原有的缝隙，又不改变曲线的原有部分，实现了一种新的曲线拼接效果。前述2项专利解决了两条曲线间的无缝拼接，在CAD中有很强的实用性；但不能将曲线保持原本特性延伸至指定目标。
实践中，面对Gompertz曲线的延伸，工程人员常将延伸部分用3次样条曲线近似绘制，误差大，曲线不光滑；如采用Gompertz曲线模型延伸，则能保持曲线原本特性精确延伸。
发明内容
本发明的目的在于：针对现有技术不能将Gompertz曲线保持特性延伸至指定目标的弊端，提出一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法，可应用于现有CAD软件的核心升级使其具备Gompertz曲线延伸功能。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明的Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法，该方法在计算机中实现，包括如下步骤：
（1）在待延伸Gompertz曲线上选取组特征点{                                                
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE001
,
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE002
}： 
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE003
是特征点分成3组后，各组特征点的个数；若起初
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE004
不等于
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE005
，可舍弃离延伸位置较远的若干点，使
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE006
；
（2）判断Gompertz曲线延伸模型应用条件：离散型Gompertz曲线方程为
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE007
，其中
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE008
，a、b、k为常系数；Gompertz曲线上特征点序列的对数一阶差分
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE010
的环比系数
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE011
，即为常数时，可使用Gompertz曲线智能延伸；
（3）确定待定参数：延伸模型为，其中
Figure 762600DEST_PATH_IMAGE001
为第i延伸点的横坐标值，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE013
为第i延伸点的纵坐标值，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE015
、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE016
为待定参数，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE017
；
将特征点代入下式，求出中间变量
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE018
、、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE021
根据中间变量
Figure 368156DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 210210DEST_PATH_IMAGE020
确定Gompertz模型所需参数：
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE023
（4）确定Gompertz曲线延伸模型：将所述待定参数、
Figure 421398DEST_PATH_IMAGE015
、数值代入延伸模型，构成Gompertz曲线延伸模型；
（5）计算延伸模型与目标对象的交点：将Gompertz曲线延伸模型与目标对象
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE025
联立求解，其解即为Gompertz曲线延伸至目标对象的终点；
（6）利用Gompertz曲线延伸模型进行延伸：绘制从延伸起始点至目标对象间的Gompertz曲线。
所述Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法还可以应用于平面内任意位置的形状为Gompertz曲线的精确智能延伸，以坐标原点建立直角仿射坐标系
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE026
，使Y轴与待延伸的Gompertz曲线对称轴平行，将原坐标系
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE027
中待延伸的Gompertz曲线
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE028
和目标对象仿射变换至所述坐标系
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE030
中，仿射变换方法为：
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE031
=
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE032
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE033
，
其中
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE034
、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE035
为所述
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE036
和所述
Figure 808966DEST_PATH_IMAGE029
在坐标系中的横、纵坐标值，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE037
、
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE038
为所述和所述
Figure 150265DEST_PATH_IMAGE029
在坐标系中的横、纵坐标值，
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE040
为所述坐标系
Figure 874825DEST_PATH_IMAGE026
相对所述坐标系的旋转夹角；将所述Gompertz曲线
Figure 366166DEST_PATH_IMAGE036
在所述坐标系
Figure 699671DEST_PATH_IMAGE026
进行延伸，延伸部分的曲线
Figure 2012104819817100002DEST_PATH_IMAGE041
逆仿射变换至所述坐标系
Figure 129515DEST_PATH_IMAGE027
中，得
Figure DEST_PATH_IMAGE042
，逆仿射变换方法为：
= ，在所述坐标系
Figure 165101DEST_PATH_IMAGE027
中绘制所述即得延伸曲线。
本发明的有益效果是：采用Gompertz曲线延伸模型延伸Gompertz曲线，延伸部分没有改变原曲线特性，基于曲线类型相同，可以长距离精确智能延伸，精度高，连接处曲线光滑；本发明解决了通用CAD软件Gompertz曲线不能延伸的共性关键难题，可应用于现有CAD软件的核心升级，也可用于对其进行二次开发，增加或完善了现有CAD软件非圆曲线延伸功能。
附图说明
图1为本发明整个方法的步骤流程图；
图2为本发明智能延伸Gompertz曲线实例；
图3为本发明仿射变换智能延伸Gompertz曲线实例。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
实施例一
参见附图2，本实施例待延伸Gompertz曲线101表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure DEST_PATH_IMAGE045
；目标对象104表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE046
；趋势外推精确智能延伸包括如下步骤：
（1）在待延伸Gompertz曲线101上选取3组共9个特征点：（-4.000，0.100）、（-3.436，0.005）、（-2.873，0.033）、（-2.309，0.120）、（-1.745，0.318）、（-1.182，0.664）、（-0.618，1.151）、（-0.055，1.740）、（0.509，2.371）；
（2）判断Gompertz曲线延伸模型应用条件：所述选取9个点序列
Figure 291506DEST_PATH_IMAGE009
的对数一阶差分
Figure 183370DEST_PATH_IMAGE010
的环比系数
Figure DEST_PATH_IMAGE047
，忽略计算误差即为常数，选用Gompertz曲线智能延伸；
（3）确定待定参数：延伸模型为
Figure 681347DEST_PATH_IMAGE012
，用本发明所述方法确定待定参数为
Figure DEST_PATH_IMAGE048
0.300+5.910×10-11，
Figure DEST_PATH_IMAGE049
0.600+2.666×10-11，
Figure DEST_PATH_IMAGE050
6.000+6.901×10-10；
（4）确定Gompertz曲线延伸模型：
Figure DEST_PATH_IMAGE051
；
（5）计算延伸模型与目标对象的交点105：（7.182，5.818）；
（6）利用Gompertz曲线延伸模型进行延伸：绘制从延伸起始点102至交点105的Gompertz曲线103。
实施例二
参见附图3，本实施例待延伸曲线201表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE052
，
Figure DEST_PATH_IMAGE053
；目标对象204表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE054
；趋势外推精确智能延伸包括如下步骤：
（1）计算所述曲线201对称轴与y轴夹角
Figure 390677DEST_PATH_IMAGE040
=45°，以坐标原点建立直角仿射坐标系
Figure 341316DEST_PATH_IMAGE026
，在所述曲线201上选取9个点：（9.992，0.000）、（4.330，-0.001）、（3.660，0.007）、（2.991，0.044）、（2.321，0.167）、（1.651，0.439）、（0.981，0.889）、（0.311，1.489）、（-0.359，2.170），所述9个点在所述坐标系
Figure 28081DEST_PATH_IMAGE026
中横坐标为等差数列；
（2）判断Gompertz曲线延伸模型应用条件：所述选取9个点序列
Figure DEST_PATH_IMAGE055
的对数一阶差分
Figure DEST_PATH_IMAGE056
的环比系数
Figure DEST_PATH_IMAGE057
，忽略计算误差即为常数，选用Gompertz曲线智能延伸；
（3）确定待定参数：延伸模型为
Figure DEST_PATH_IMAGE058
，用本发明所述方法确定待定参数为
Figure 442882DEST_PATH_IMAGE048
0.300+4.43×10-8，
Figure 385430DEST_PATH_IMAGE049
1.600+9.32×10-8，
Figure 636414DEST_PATH_IMAGE050
6.000+5.86×10-9；
（4）确定Gompertz曲线延伸模型：
Figure DEST_PATH_IMAGE059
；
（5）计算延伸模型与目标对象的交点205：（-5.657，5.515）；
（6）利用Gompertz曲线延伸模型进行延伸：将延伸模型逆仿射变换，绘制从延伸起始点202至交点205的Gompertz曲线203。

Claims (2)

1.一种Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法，其特征在于：所述方法是在计算机上依次按照如下步骤实现的：
（1）在待延伸Gompertz曲线上选取组特征点{                                                
Figure 2012104819817100001DEST_PATH_IMAGE001
,
Figure 2012104819817100001DEST_PATH_IMAGE002
}：
Figure 2012104819817100001DEST_PATH_IMAGE003
是特征点分成3组后，各组特征点的个数；若起初不等于
Figure DEST_PATH_IMAGE005
，可舍弃离延伸位置较远的若干点，使
Figure DEST_PATH_IMAGE006
；
（2）判断Gompertz曲线延伸模型应用条件：离散型Gompertz曲线方程为
Figure DEST_PATH_IMAGE007
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE008
，a、b、k为常系数；Gompertz曲线上特征点序列
Figure DEST_PATH_IMAGE009
的对数一阶差分
Figure DEST_PATH_IMAGE010
的环比系数
Figure DEST_PATH_IMAGE011
，即为常数时，可使用Gompertz曲线智能延伸；
（3）确定待定参数：延伸模型为，其中
Figure 304956DEST_PATH_IMAGE001
为第i延伸点的横坐标值，
Figure DEST_PATH_IMAGE013
为第i延伸点的纵坐标值，
Figure DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure DEST_PATH_IMAGE015
、
Figure DEST_PATH_IMAGE016
为待定参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE017
；
将特征点代入下式，求出中间变量
Figure DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure DEST_PATH_IMAGE019
、，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
，
根据中间变量
Figure 542907DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 656356DEST_PATH_IMAGE020
确定Gompertz模型所需参数：
；
（4）确定Gompertz曲线延伸模型：将所述待定参数
Figure DEST_PATH_IMAGE024
、
Figure 643904DEST_PATH_IMAGE015
、
Figure 681261DEST_PATH_IMAGE016
数值代入延伸模型，构成Gompertz曲线延伸模型；
（5）计算延伸模型与目标对象的交点：将Gompertz曲线延伸模型与目标对象
Figure DEST_PATH_IMAGE025
联立求解，其解即为Gompertz曲线延伸至目标对象的终点；
（6）利用Gompertz曲线延伸模型进行延伸：绘制从延伸起始点至目标对象间的Gompertz曲线。
2.根据权利要求1所述的Gompertz曲线趋势外推精确智能延伸方法，其特征在于：还可以应用于平面内任意位置的形状为Gompertz曲线的精确智能延伸，以坐标原点建立直角仿射坐标系
Figure DEST_PATH_IMAGE026
，使Y轴与待延伸的Gompertz曲线对称轴平行，将原坐标系
Figure DEST_PATH_IMAGE027
中待延伸的Gompertz曲线和目标对象
Figure DEST_PATH_IMAGE029
仿射变换至所述坐标系中，仿射变换方法为：
Figure DEST_PATH_IMAGE030
=
Figure DEST_PATH_IMAGE031
，
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE033
、
Figure DEST_PATH_IMAGE034
为所述
Figure DEST_PATH_IMAGE035
和所述
Figure 777841DEST_PATH_IMAGE029
在坐标系
Figure 190368DEST_PATH_IMAGE026
中的横、纵坐标值，
Figure DEST_PATH_IMAGE036
、
Figure DEST_PATH_IMAGE037
为所述
Figure 280684DEST_PATH_IMAGE028
和所述
Figure 272386DEST_PATH_IMAGE029
在坐标系
Figure 462059DEST_PATH_IMAGE027
中的横、纵坐标值，
Figure DEST_PATH_IMAGE038
为所述坐标系相对所述坐标系
Figure 990309DEST_PATH_IMAGE027
的旋转夹角；将所述Gompertz曲线
Figure 105027DEST_PATH_IMAGE035
在所述坐标系
Figure 465601DEST_PATH_IMAGE026
进行延伸，延伸部分的曲线
Figure DEST_PATH_IMAGE039
逆仿射变换至所述坐标系
Figure 915037DEST_PATH_IMAGE027
中，得
Figure DEST_PATH_IMAGE040
，逆仿射变换方法为：
Figure 284838DEST_PATH_IMAGE032
=
Figure 988483DEST_PATH_IMAGE030
，在所述坐标系中绘制所述
Figure 456691DEST_PATH_IMAGE040
即得延伸曲线。
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