CN103019092A - 一种机械传动***定位平台的预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机械传动***定位平台的预测控制方法，该机械传动***带有滚珠丝杠，所述的机械传动***定位平台包括的饲服电机的输出转角作为***的输入信号u(k),经过齿轮箱变速及丝杠的机械传动，再带动工作台负载工作，工作台的位移y(k),即为整个***的输出，给出控制误差ε,

根据***模型，***的工作区间4→1→2和2→3→4都能估计出来，在第k步，能计算出在非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度,i.e.,

其中j∈J_k，J_k={1,2,…,t},|J_k|是J_k的元素的个数，|J_k|≤t₁给定的有界的自然数，t=t+1，如果t≤t₁,那么J_k={1，…,t}；如果t>t₁,那么J_k=J_k-1∪{t}\{t-t₁}；或者在光滑点，J(k)关于u(k)的梯度

其中

我们令

或者

那么我们就能求出***的准输入u₁(k)。

Description

一种机械传动***定位平台的预测控制方法

技术领域

本发明属于机械传动控制技术领域，特别涉及一种机械传动***定位平台的预测控制方法。

背景技术

许多常见的精密加工***所需的设备，譬如高精度万能铣床、三坐标测量仪等，往往采用含有滚珠丝杠装置的机械传动机构的工作平台，这些机械传动机构由于配合或磨损造成的死区、间隙等非线性特性，而这些特性对***的控制性能影响是不能忽略的，它会降低***的控制精度，有时会引起***的抖动，甚至会出现***的不稳定。因此，现存的不少技术大都是对这些非线性特性进行补偿，由于这些非线性特性建模的时候会有比较大的误差，并且随着设备的磨损、老化，模型的误差会越来越大，因此会存在着较大的补偿误差，这在超精密加工设备中体现得更为明显，能否找到一种不必对这些非线性特性进行直接补偿，同时又能消除其影响，获得满意控制性能的实时控制方法，成为提高超精密***控制精度和性能的关键和难点。

发明内容

本发明提出一种不必对这类***中滚珠丝杠产生的间隙这一类非光滑的非线性特性进行直接补偿、却能消除间隙影响的非光滑预测控制方法。

本发明的技术方案是，一种机械传动***定位平台的预测控制方法，该机械传动***带有滚珠丝杠，所述的机械传动***定位平台包括的饲服电机的输出转角作为***的输入信号u(k),经过齿轮箱变速及丝杠的机械传动，再带动工作台负载工作，工作台的位移y(k),即为整个***的输出，其中，

所述定位平台的间隙用来描述齿轮箱与丝杠的机械传动的非线性特性，

L₁(·)是一个线性的动态子模型，用来描述工作平台的负载，

机械传动***的非线性特性的输出，即x(k)，且不能直接测量，

所述定位平台的输入和输出为u(k)和y(k)

所述的间隙的特性描述为，

$\hat{x}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{\hat{m}}_1(u\left(k\right)-{\hat{D}}_1),& u\left(k\right)>\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \hat{x}(k-1),& \frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\&le;u\left(k\right)\&le;\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1& \\ {\hat{m}}_2(u\left(k\right)+{\hat{D}}_2),& u\left(k\right)<\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<(k-1)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

和

分别是间隙模型上升和下降的斜率，

和

分别是模型上升和下降的记忆区的绝对值，并且 $0<{\hat{m}}_1<\&infin;,$ $0<{\hat{m}}_2<\&infin;,$ $0<{\hat{D}}_1<\&infin;$ 和 $0<{\hat{D}}_2<\&infin;,$

L₁(·)模型可以表述为：

$\hat{y}\left(k\right)=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_{i}y(k-i)+\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j\hat{x}(k-j-d)---\left(2\right)$

其中n_a和n_b是线性子模型的阶次，d是预测模型的预测步长，

和

是线性子模型的系数，

由式（1）和（2）组成机械传动***的模型，则有线性子***表示成

$y\left(k\right)=\hat{y}\left(k\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(k\right)$

其中ε(k)为模型误差，设其为零均值的白噪声，根据Diophantine方程

$1=F\left(z^{-1}\right)\hat{A}\left(z^{-1}\right)+z^{-d}G\left(z^{-1}\right)---\left(3\right)$

其中 $F\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i{z}^{-i},$ $\hat{A}\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_i{z}^{-i}$ 和 $G\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_j{z}^{-j}.$ 相应的d步超前预测模型为

$\hat{y}(k+d)=G\left(z^{-1}\right)y\left(k\right)+Q\left(z^{-1}\right)\hat{x}\left(k\right)---\left(4\right)$

其中 $Q\left(z^{-1}\right)=F\left(z^{-1}\right)\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{i=0}{\overset{n_b+d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{q}_i{z}^{-i}$ 和 $\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j{z}^{-j},$

采用式（5）来作为预测控制的目标函数，

$J\left(k\right)=\frac{[r(k+d)-\hat{y}(k+d){]}^2}{2}+\frac{\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1){]}^2}{2}---\left(5\right)$

其中，r(k+d)是参考轨迹，

是预测模型的输出，λ是一个非负的加权系数，J(k)是Lipschitz连续的，在该优化函数的非光滑点，用次微分来替代传统意义的梯度，J(k)是伪凸的，在非光滑点存在唯一的最优值，在该点的广义梯度为0，

在间隙的非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度可以描述为：

${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\&Element;\mathrm{conv}\left\{{\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\right\}---\left(6\right)$

其中

是J(k)关于u(k)的在非光滑点附近的光滑点处的梯度，

J(k)关于u(k)在光滑点处的梯度

为：

${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_1,& u\left(k\right)>\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]+0,& \frac{x(k-1)}{m_2}-D_2<u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1& \\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_2,& u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<u(k-1)\end{array}\right.---\left(7\right)$

则所述的预测控制方法包括步骤，

第一步,给出控制误差ε,即：

第二步,根据***模型，***的工作区间4→1→2和2→3→4都能估计出来，在第k步，我们能计算出，在非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度,i.e.,

其中j∈J_k，J_k={1,2,…,t},|J_k|是J_k的元素的个数，|J_k|≤t₁给定的有界的自然数，t＝t+1，如果t≤t₁,那么J_k={1，…,t}；如果t>t₁,那么J_k=J_k-1∪{t}\{t-t₁}；或者在光滑点，J(k)关于u(k)的梯度 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right);$

第三步， ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i{\&PartialD;}_{u\left(k\right)}^{i}J\left(k\right),$ 其中 $\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i=1.$ 我们令 ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0$ 或者 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0,$ 那么我们就能求出***的准输入u₁(k)；

第四步,如果

并且t₁∈(0,1),那么u(k)=u₁(k),我们转入第六步.如果|r(k+d)-y(k+d)|≥t₁ε,那么我们转入第五步；

第五步,根据

求出u(k)=u_j(k)，如果

那么u(k)=u_j(k)，否则，u(k)=u(k-1)，转到第六步；

第六步,k＝k+1,转入第二步。

本发明是针对带有滚珠丝杠一类机械传动装置的定位平台的一种预测控制方法。在机械传动中滚珠丝杠由于配合及磨损所产生的间隙现象不能直接测量，如果不对间隙的影响进行直接补偿的情况下，用一种非光滑的预测控制策略消除间隙对机械传动的不利影响。用非光滑的优化技术来设计该非光滑***的预测控制器，解决了非光滑点的优化预测控制问题，不必对定位平台中滚珠丝杠产生的间隙进行直接补偿，避免了其他控制方法中需要对间隙求逆的困难。

附图说明

图1本发明的含有滚珠丝杠的机械传动机构工作平台的实际物理结构示意图。

图2本发明的采用滚动丝杠的机械传动机构定位平台模型的结构图。

具体实施方式

含有机械传动机构工作平台的预测模型，例如，含有滚珠丝杠的机械传动机构工作平台的实际物理结构，可以用如图1所示，

其中饲服电机的输出转角作为***的输入信号u(k),经过齿轮箱变速及丝杠的机械传动，再带动工作台（负载）工作，工作台的位移y(k),即为整个***的输出。

图1所示的***可以进一步用图2所示的模型结构图表示，其中间隙用来描述齿轮箱与丝杠的机械传动的非线性特性，L₁(·)是一个线性的动态子模型，用来描述工作平台的负载，机械传动的非线性特性的输出，即x(k)不能直接测量，只有整个***的输入和输出，即：u(k)和y(k)可以直接测量。图2中，间隙的特性可以描述为：

$\hat{x}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{\hat{m}}_1(u\left(k\right)-{\hat{D}}_1),& u\left(k\right)>\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \hat{x}(k-1),& \frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\&le;u\left(k\right)\&le;\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1& \\ {\hat{m}}_2(u\left(k\right)+{\hat{D}}_2),& u\left(k\right)<\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<(k-1)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：和

分别是间隙模型上升和下降的斜率，

和

分别是模型上升和下降的记忆区的绝对值，并且 $0<{\hat{m}}_1<\&infin;,$ $0<{\hat{m}}_2<\&infin;,$ $0<{\hat{D}}_1<\&infin;$ 和 $0<{\hat{D}}_2<\&infin;.$

L₁(·)模型可以表述为：

$\hat{y}\left(k\right)=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_{i}y(k-i)+\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j\hat{x}(k-j-d)---\left(2\right)$

其中n_a和n_b是线性子模型的阶次，d是预测模型的预测步长，和

是线性子模型的系数。

由此，式（1）和（2）就组成了机械传动机构的模型。则线性子***可以表示成

$y\left(k\right)=\hat{y}\left(k\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(k\right)$

其中ε(k)为模型误差，设其为零均值的白噪声。根据Diophantine方程

$1=F\left(z^{-1}\right)\hat{A}\left(z^{-1}\right)+z^{-d}G\left(z^{-1}\right)---\left(3\right)$

其中 $F\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i{z}^{-i},$ $\hat{A}\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_i{z}^{-i}$ 和 $G\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_j{z}^{-j}.$ 相应的d步超前预测模型为

$\hat{y}(k+d)=G\left(z^{-1}\right)y\left(k\right)+Q\left(z^{-1}\right)\hat{x}\left(k\right)---\left(4\right)$

其中 $Q\left(z^{-1}\right)=F\left(z^{-1}\right)\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{i=0}{\overset{n_b+d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{q}_i{z}^{-i}$ 和 $\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j{z}^{-j}.$

2.采用丝杠机械传动机构工作平台的预测控制

我们用式（5）来作为预测控制的目标函数。

$J\left(k\right)=\frac{[r(k+d)-\hat{y}(k+d){]}^2}{2}+\frac{\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1){]}^2}{2}---\left(5\right)$

其中，r(k+d)是参考轨迹，

是预测模型的输出，λ是一个非负的加权系数。

J(k)是Lipschitz连续的，因此，在该优化函数的非光滑点，我们可以用次微分来替代传统意义的梯度，又因为J(k)是伪凸的，所以在非光滑点存在唯一的最优值，并且在该点的广义梯度为0.

因此，在间隙的非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度可以描述为：

${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\&Element;\mathrm{conv}\left\{{\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\right\}---\left(6\right)$

其中

是J(k)关于u(k)的在非光滑点附近的光滑点处的梯度.

J(k)关于u(k)在光滑点处的梯度

为：

${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_1,& u\left(k\right)>\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]+0,& \frac{x(k-1)}{m_2}-D_2<u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1& \\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_2,& u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<u(k-1)\end{array}\right.---\left(7\right)$

该预测的算法为：

第一步,给出控制误差ε,即：

第二步,根据***模型，***的工作区间4→1→2和2→3→4都能估计出来，在第k步，我们能计算出，在非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度,i.e.,其中j∈J_k，J_k={1,2,…,t},|J_k|是J_k的元素的个数，|J_k|≤t₁给定的有界的自然数，t＝t+1，如果t≤t₁,那么J_k={1，…,t}；如果t>t₁,那么J_k=J_k-1∪{t}\{t-t₁}；或者在光滑点，J(k)关于u(k)的梯度 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right).$

第三步， ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i{\&PartialD;}_{u\left(k\right)}^{i}J\left(k\right),$ 其中 $\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i=1.$ 我们令 ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0$ 或者 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0,$ 那么我们就能求出***的准输入u₁(k)。

第四步,如果

并且t₁∈(0,1),那么u(k)=u₁(k),我们转入第六步.如果|r(k+d)-y(k+d)|≥t₁ε,那么我们转入第五步。

第五步,根据

求出u(k)=u_j(k)，如果

那么u(k)=u_j(k)，否则，u(k)=u(k-1)，转到第六步.

第六步,k＝k+1,转入第二步。

可以采用角编码器作为传感器，对其测量值进行解码和差分后获得含有机械平台的速度，并传送到数字信号处理器（DSP）中。DSP计算控制算法输出。经过放大器放大后驱动饲服电机。

Claims (1)

1.一种机械传动***定位平台的预测控制方法，该机械传动***带有滚珠丝杠，其特征在于，所述的机械传动***定位平台包括的饲服电机的输出转角作为***的输入信号u(k),经过齿轮箱变速及丝杠的机械传动，再带动工作台负载工作，工作台的位移y(k),即为整个***的输出，其中，

所述定位平台的间隙用来描述齿轮箱与丝杠的机械传动的非线性特性，

L₁(·)是一个线性的动态子模型，用来描述工作平台的负载，

机械传动***的非线性特性的输出，即x(k)，且不能直接测量，

所述定位平台的输入和输出为u(k)和y(k)

所述的间隙的特性描述为，

$\hat{x}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{\hat{m}}_1(u\left(k\right)-{\hat{D}}_1),& u\left(k\right)>\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \hat{x}(k-1),& \frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\&le;u\left(k\right)\&le;\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_1}+{\hat{D}}_1& \\ {\hat{m}}_2(u\left(k\right)+{\hat{D}}_2),& u\left(k\right)<\frac{\hat{x}(k-1)}{{\hat{m}}_2}-{\hat{D}}_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<(k-1)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中：

和

分别是间隙模型上升和下降的斜率，

和

分别是模型上升和下降的记忆区的绝对值，并且 $0<{\hat{m}}_1<\&infin;,$ $0<{\hat{m}}_2<\&infin;,$ $0<{\hat{D}}_1<\&infin;$ 和 $0<{\hat{D}}_2<\&infin;,$

L₁(·)模型表述为：

$\hat{y}\left(k\right)=-\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_{i}y(k-i)+\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j\hat{x}(k-j-d)---\left(2\right)$

其中n_a和n_b是线性子模型的阶次，d是预测模型的预测步长，

和

是线性子模型的系数，

由式（1）和（2）组成机械传动***的模型，则有线性子***表示成

$y\left(k\right)=\hat{y}\left(k\right)+\mathrm{\&epsiv;}\left(k\right)$

其中ε(k)为模型误差，设其为零均值的白噪声，根据Diophantine方程

$1=F\left(z^{-1}\right)\hat{A}\left(z^{-1}\right)+z^{-d}G\left(z^{-1}\right)---\left(3\right)$

其中 $F\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i{z}^{-i},$ $\hat{A}\left(z^{-1}\right)=1+\underset{i=1}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{a}}_i{z}^{-i}$ 和 $G\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_a}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_j{z}^{-j}.$ 相应的d步超前预测模型为

$\hat{y}(k+d)=G\left(z^{-1}\right)y\left(k\right)+Q\left(z^{-1}\right)\hat{x}\left(k\right)---\left(4\right)$

其中 $Q\left(z^{-1}\right)=F\left(z^{-1}\right)\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{i=0}{\overset{n_b+d}{\mathrm{\&Sigma;}}}{q}_i{z}^{-i}$ 和 $\hat{B}\left(z^{-1}\right)=\underset{j=0}{\overset{n_b}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\hat{b}}_j{z}^{-j},$

采用式（5）来作为预测控制的目标函数，

$J\left(k\right)=\frac{[r(k+d)-\hat{y}(k+d){]}^2}{2}+\frac{\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1){]}^2}{2}---\left(5\right)$

其中，r(k+d)是参考轨迹，是预测模型的输出，λ是一个非负的加权系数，

J(k)是Lipschitz连续的，在该优化函数的非光滑点，用次微分来替代传统意义的梯度，J(k)是伪凸的，在非光滑点存在唯一的最优值，在该点的广义梯度为0，

在间隙的非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度可以描述为：

${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\&Element;\mathrm{conv}\left\{{\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)\right\}---\left(6\right)$

其中

是J(k)关于u(k)的在非光滑点附近的光滑点处的梯度，

J(k)关于u(k)在光滑点处的梯度

为：

${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_1,& u\left(k\right)>\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1\mathrm{and}& u\left(k\right)>u(k-1)\\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]+0,& \frac{x(k-1)}{m_2}-D_2<u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_1}+D_1& \\ \mathrm{\&lambda;}[u\left(k\right)-u(k-1)]-[r(k+d)-\hat{y}(k+d)]q_0{m}_2,& u\left(k\right)<\frac{x(k-1)}{m_2}-D_2\mathrm{and}& u\left(k\right)<u(k-1)\end{array}\right.---\left(7\right)$

则所述的预测控制方法包括步骤，

第一步,给出控制误差ε,即：

第二步,根据***模型，***的工作区间4→1→2和2→3→4都能估计出来，在第k步，我们能计算出，在非光滑点，J(k)关于u(k)的Clarke次梯度,i.e.,

其中j∈J_k，J_k={1,2,…,t},|J_k|是J_k的元素的个数，|J_k|≤t₁给定的有界的自然数，t t+1，如果t≤t₁,那么J_k={1，…,t}；如果t>t₁,那么J_k=J_k-1∪{t}\{t-t₁}；或者在光滑点，J(k)关于u(k)的梯度 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right);$

第三步， ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i{\&PartialD;}_{u\left(k\right)}^{i}J\left(k\right),$ 其中 $\underset{j=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_i=1.$ 我们令 ${\&PartialD;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0$ 或者 ${\&dtri;}_{u\left(k\right)}J\left(k\right)=0,$ 那么我们就能求出***的准输入u₁(k)；

第四步,如果

并且t₁∈(0,1),那么u(k)=u₁(k),我们转入第六步.如果|r(k+d)-y(k+d)|≥t₁ε,那么我们转入第五步；

第五步,根据

求出u(k)=u_j(k)，如果

那么u(k)=u_j(k)，否则，u(k)=u(k-1)，转到第六步；

第六步,k＝k+1,转入第二步。

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