CN102929148B - 基于t-k控制图的多品种生产模式统计过程控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，包括以下步骤：1)建立用于监测工艺参数均值的T控制图；2)建立用于监测工艺参数标准偏差的K控制图；3)在多品种生产模式下，采用T-K控制图对设备运行状态进行监控，只要每种类型产品样本数据达到2批以上，如果分布参数已知，1批数据即可，并保证每批产品的样本容量相同且大于1，根据工艺参数母体分布的均值或标准偏差是否已知，确定控制限，并建立T-K控制图。通过实例分析及仿真验证，证实该过程控制方法能够及时、有效地检测出多品种生产模式下导致生产过程失控的异常因素，提示操作人员适时做出响应，使生产过程维持在统计受控状态以保证产品质量。

Description

基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法

技术领域

本发明属于工业生产及制造业技术领域，涉及一种统计过程控制方法，具体地说，涉及一种基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法。

背景技术

统计过程控制(Statistical Process Control，SPC)技术是评价生产过程统计受控状态、进而保证产品质量的主要手段。许多学者提出了众多不同类型的控制图技术，这些传统控制图技术在批量工业生产中得到广泛应用，对改进生产效益、提高产品质量方面产生了明显效果。但是使用传统控制图要求生产过程满足一定的条件。首先，为了计算控制限，要求过程的均值和标准偏差已知，或可以由采集的数据计算得到。但是基于采集的数据计算控制限时，为了保证可信度，至少需要20到25批样本数据，每批5个样本点，即：至少需要100到125个抽样数据。此外，应用传统控制图的前提是要求生产过程中采集的各批次样本数据相互独立且服从同一个正态分布，即通常所说的独立正态同分布(Independent and IdenticallyNormally Distributed，IIND)条件。

然而，在实际生产中，有些生产过程存在明显的多品种、小批量的特点，同一道工序可能要加工几种甚至几十种工艺规范不同的产品，这使得传统控制图技术很难用于这类生产过程的质量控制。首先这种多品种、小批量的生产过程通常不能预先知道过程参数的均值和标准偏差，而且由于产品种类繁多，单一品种的产品批量较小，很难满足建立控制图的数据量要求。如采用较少数据构建控制图，将使得控制图的监控能力降低。此外，不同类型的产品往往由于生产原材料、生产条件或加工要求不同，导致工艺参数母体不服从同一分布，这显然违背了IIND条件。这些问题均对多品种小批量生产过程中施行SPC提出了挑战。

为解决小批量生产模式中数据量过少的问题，一些学者提出了自启动(self-starting)控制图技术。Self-starting控制图的优势在于对样本数据量要求不高，无需经历分析用控制图即可建立控制图，且随着监控过程的持续不断更新母体分布参数。现有技术中提出了一系列基于Q统计量的self-starrting控制图，被称为休哈特Q控制图，用于检测过程工艺参数均值和标准偏差的波动。详细讨论了Q控制图的平均运行长度(Average Run Length，ARL)特性并对Q控制图进行了优化。提出了具有self-starting特点的CUSUM控制图和MEWMA控制图。最近，Zhang等人提出了休哈特t控制图，与传统休哈特均值控制图相比，t控制图无需经历分析用控制图阶段并且有更稳定的监控能力。对t控制图控制限的选取做出了修正并提出用于小批量生产模式的t控制图，该技术具备休哈特t控制图的优点并更适合于小批量生产过程的质量监控。

尽管上述技术很好地解决了小批量生产过程带来的样本量过少的问题，但是尚不能解决多品种问题。对于多品种问题，常规解决方式是先对原始数据转换，使结果数据服从同一个正态分布，再对结果数据施行过程控制，如：与目标值偏差控制图(Deviations from Nominal，DNOM)及标准化DNOM控制图(Standardized DNOM)。然而，利用这些控制图，需要对不同类型产品工艺参数标准偏差进行估计，为此需要对每个品种的产品均要采集足够多的数据，否则标准偏差估计值误差较大，将导致控制图性能下降，表现为误判率提升或对异常原因不敏感。对于多品种小批量情况，通常很难满足这种数据采集量的要求。

发明内容

为了解决上述技术问题，克服现有技术中存在的缺陷，本发明提供一种基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，该方法提出了多品种生产模式下的T-K控制图，用于检测工艺参数母体均值及标准偏差的波动。其基本思想是采用一种对样本量要求不高的方法，基于采集的每批样本数据，计算T、K统计量，使得T、K统计量各自相互独立且服从相同分布。根据实际情况，提出了两种计算统计量的方法。一种用于工艺参数均值已知，另一种用于均值未知的情况。

其技术方案如下：

一种基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，包括以下步骤：

1)建立用于监测工艺参数均值的T控制图

假设一生产过程计划按照P种不同的规范要求加工产品，即：生产P种产品。设X为关键工艺参数，对每批产品随机抽取n个观测样本，{X^(r)i，j，l，...，X^(r)i，j，n}为第i组样本，i＝1，2，...；j表示该批次样本对应的产品类型序号，j＝1，2，...P；n为样本容量，上标r表示该批样本在同一类型产品内的序号。如无特殊说明，文中所涉及的具有下标的符号，第一下标表示样本批次顺序编号，第二下标代表该样本对应的品种序号，第三下标表明该数据在所属批次内的序号；括号内的上标表示该组样本在相应类型产品样本中的序号。在统计受控状态下，同一批次内及批次之间的工艺参数数据相互独立，同一品种的样本数据服从同一个正态分布，而不同品种的样本数据服从不同的正态分布，即：X_i，j，k～N(μ_j，σ_j)，i＝1，2，...，j＝1，2，...P，k＝1，2，...n,其中μ_j和σ_j为受控状态下第j种产品工艺参数母体所服从分布的均值和标准偏差。第i组样本的样本均值及样本标准偏差S_i，j分别为：

${\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{i,j,k}$ $S_{i,j}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(X_{i,j,k}-{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j})}^2}---\left(1\right)$

1.1)T统计量的定义

实际生产中，工艺参数母体分布的均值μ通常为未知参数。如果产品加工目标值与工艺参数实际分布均值偏差不大，可用目标值作为母体分布均值，或根据实际生产经验能够确定μ的取值时，可将μ视为已知参数。在构建T统计量时，根据各类型产品工艺参数母体均值是否已知，有两种方式建立统计量。

情况一：工艺参数母体均值已知

对于每一批样本，i＝1，2，...，统计量T_i，j的表达式如下：

$T_{i,j}=\frac{{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}-{\mathrm{\μ}}_j}{S_{i,j}/\sqrt{n}},$ j＝1，2，..P                        (2)

其中n为每批样本的容量，μ_j为过程受控时第j种产品工艺参数母体均值。当生产过程处于统计受控状态，T_i，j相互独立且服从自由度为n-1的t分布。

情况二：工艺参数母体均值未知

定义：

${\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_j^{(r-1)}=\frac{1}{r-1}\underset{h=1}{\overset{r-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{X}}_j^{\left(h\right)},$ j＝1，2，..P，r＝2，3...            (3)

    表示产品类型为j的前r-1批样本数据的均值，T统计量的表达式为：

$\begin{array}{c}{T}_{i,j}^{\left(1\right)}=0\\ T_{i,j}^{\left(r\right)}=\frac{{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}^{\left(r\right)}-{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_j^{(r-1)}}{S_{i,j}^{\left(r\right)}}\sqrt{\frac{n(r-1)}{r}}\end{array}$ j＝1，2，..P，r＞1                  (4)

可见T控制图中各类型产品的第一个统计量为常量0，而后续统计量由其在相应类型产品中的出现位置及以往数据决定。

1.2)T控制图控制限的确定

T控制图控制限为：

$\mathrm{UCL}=G_t^{-1}(1-\frac{\mathrm{\α}}{2}|n-1)$

CL＝0                            (5)

LCL＝-UCL

其中是自由度为n-1的t分布累计分布函数的逆函数，α为显著性水平，按照统计过程控制理论，上下控制限对应于±3σ位置，即α取值为0.0027。对于同一生产过程，如果过程处于受控状态、工艺参数均值未发生偏移，那么不同种类产品，只要每个子组的样本容量相同，则由每个子组工艺参数测量值计算而得的T统计量相互独立且服从同一个t分布，并且具有相同的控制限。将这些T统计量绘在同一张控制图中，就可以对生产过程进行质量监控。通过上述分析过程可以发现，即便在SPC分析的起始阶段，T控制图的显著性水平仍与传统休哈特控制图相同保持在固定值0.0027，这表明即便在小批量生产模式下T控制图仍可以正常地对生产过程施行质量监控。

T控制图的显著性水平、控制限的选取均与休哈特控制图一致，且T统计量相互独立，因此传统控制图的判断规则仍适用于T控制图。在工艺过程的监控中，除检测是否有超出控制限的点外，任何在控制图中表现出非随机现象的点亦视为失控点，在这些失控判据中还需借助控制图的±σ(概率值0.3173)和±2σ(概率值0.0455)的位置。T控制图根据t分布的分位数确定控制限，其控制限与每批数据的样本容量相关，为方便实际应用，表1中列出了在不同样本容量下T控制图中心线、控制限以及±σ和±2σ位置的取值。

表1.T控制图的控制限及±σ和±2σ值

样本容量	CL	±σ	±2σ	UCL/LCL
					n＝2	0	±1.8373	±13.9677	+/-235.7837
n＝3	0	±1.3213	±4.5265	+/-19.2060
					n＝4	0	±1.1969	±3.3068	+/-9.2187
n＝5	0	±1.1416	±2.8693	+/-6.6201
					n＝6	0	±1.1105	±2.6486	+/-5.5070
n＝7	0	±1.0906	±2.5165	+/-4.9040
					n＝8	0	±1.0767	±2.4288	+/-4.5299
n＝9	0	±1.0665	±2.3664	+/-4.2766
					n＝10	0	±1.0587	±2.3198	+/-4.0942

2)用于监测工艺参数标准偏差的K控制图

与T控制图统计量的定义类似，根据工艺参数标准偏差是否已知，K控制图的建立分两种情况。

2.1)工艺参数母体标准偏差已知

此时，各批次样本的K_i，j统计量为：

$K_{i,j}=\frac{(n-1)S_{i,j}^2}{{\mathrm{\σ}}_j^2},$ j＝1，2，..P                (6)

其中n为子组样本容量，σ_j为过程受控时第j类产品工艺参数母体标准偏差。当生产过程处于统计受控状态，K_i，j服从自由度为n-1的卡方分布，K控制图的控制限为：

$\mathrm{LCL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\α}}{2}\right|n-1)$

$\mathrm{CL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}\left(0.5\right|n-1)---\left(7\right)$

$\mathrm{UCL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}(1-\frac{\mathrm{\α}}{2}|n-1)$

其中是自由度为n-1的卡方分布累计分布函数的逆函数，α为显著性水平，取值为0.0027，与T控制图类似，同样能够求出不同样本容量时K控制图的上下控制线、中心线以及±σ和±2σ位置的取值。对于同一生产过程，只要过程处于受控状态、工艺参数标准偏差未发生偏移、各批测量数据的样本量相同，则由每批数据工艺参数测量值计算而得的K统计量相互独立且服从同一个卡方分布，并且具有相同的控制限。因此来自不同类型产品的K统计量可由同一张控制图进行质量监控。

2.2)工艺参数母体标准偏差未知

定义：

${\stackrel{\‾}{S_j^2}}^{(r-1)}=\frac{1}{r-1}\underset{h=1}{\overset{r-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_j^{2\left(h\right)},$ j＝1，2，..P，r＝2，3...            (8)

表示产品类型为j的前r-1批样本方差的均值。

定义中间变量：

${\mathrm{\λ}}_{i,j}^{\left(r\right)}=\frac{S_{i,j}^{2\left(r\right)}}{{\stackrel{\‾}{S_j^2}}^{(r-1)}},$ j＝1，2，..P，r＝2，3，...                (9)

统计量K_i，j的表达式为：

$\begin{array}{c}{K}_{i,j}^{\left(1\right)}=1\\ K_{i,j}^{\left(r\right)}={\mathrm{\Φ}}^{-1}\left[F_{n-1,(n-1)(r-1)}\left({\mathrm{\λ}}_{i,j}^{\left(r\right)}\right)\right]\end{array}$ j＝1，2，..P，r＞1                (10)

其中是第一自由为v₁第二自由度为v₂的F分布的累计分布函数。假设0＜s＜t，则按上式定义的统计量与相互独立，因为当j≠k，来自不同类型产品的样本相互独立，因此两者必定独立；如果j＝k，定义如下变量：

$W_1=(n-1)\underset{h=1}{\overset{r_s-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\·,j}^{2\left(h\right)},$ $W_2=(n-1)\underset{h=r_s}{\overset{r_i-r_s}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\·,j}^{2\left(h\right)},$ $W_3=(n-1)S_{i,j}^{2\left(r_i\right)}$

显然W₁：W₂：W₃：其中：v₁＝(n-1)(r_s-1)，v₂＝(n-1)(r_t-r_s)，v₃＝n-1，由于W₁、W₂与W₃两两独立，所以W₂/W₁与W₃/(W₁+W₂)相互独立。通过变换可得：

${\mathrm{\λ}}_{s,j}^{\left(r_s\right)}=\frac{(n-1)(r_s-1)S_{s,j}^{2\left(r_s\right)}}{W_1},$ ${\mathrm{\λ}}_{i,j}^{\left(r_i\right)}=\frac{v_1+v_2}{v_3}\frac{W_3}{W_1+W_2}$

所以与相互独立。由于(9)式服从第一自由度为(n-1)、第二自由度为(n-1)(r-1)的F分布，因此K统计量相互独立且服从N(0，1)，即：K控制图中所有统计点相互独立且服从标准正态分布。参照传统休哈特控制图控制限的选择方式，标准偏差未知时K控制图的控制限为：

LCL＝-3

CL＝0                            (11)

UCL＝3

综上所述，在多品种生产模式下，采用T-K控制图对设备运行状态进行监控，只要每种类型产品样本数据达到2批以上(如果分布参数已知，1批数据即可)并保证每批产品的样本容量相同且大于1，根据工艺参数母体分布的均值或标准偏差是否已知，通过(2)式或(4)式、(6)式或(10)式计算统计量，按照(5)式、(7)式或(11)式确定控制限，并建立T-K控制图。

本发明的有益效果：

本发明的技术方案适用于多品种小批量生产环境的T-K控制图具有两方面优势。其，对均值及标准偏差的监控，分别仅需一张控制图即可对多品种生产过程的运行状态做出正确评价，而且该控制图算法简单，便于实际应用。其二，T-K控制图具有self-starting特点，无需经历分析用控制图阶段估计母体的分布参数，尤其是T控制图的建立过程与母体标准偏差无关。即便在母体分布参数未知的情况下，只要每个品种的数据达到2批，T-K控制图即可对多品种小批量生产过程实施质量控制。

附图说明

图1为均值失控时T-K控制图分析结果；

图2为标准偏差失控时T-K控制图分析结果；

图3为键合工艺T-K控制图。

具体实施方式

下面结合附图具体实施方式对本发明的方法作进一步详细地说明。

实施例1.通过仿真方式验证T-K控制图检测过程均值失控的能力。利用随机数发生器产生25批数据，每批5个样本，假设这25批数据由两种类型的产品A、B构成，分别服从正态分布N(10，0.1)和N(20，0.5)，产生随机数时每批样本的产品类型以等概率随机确定，假设第1至15批数据处于受控状态，从第16批数据开始，两种产品的均值发生3倍标准偏差的偏移，而标准偏差未发生变化，即：A类型产品参数服从N(10.3，0.1)，B类型产品参数服从N(21.5，0.5)。采用T-K控制图对这25批数据进行分析，结果如图1。

理论上第1至第15批数据处于受控状态，无论是A类型产品还是B类型产品，均值及标准偏差均未发生波动，因此在T-K控制图中前15批数据不应出现失控点。从第16批数据开始，由于“异常因素的出现”，导致参数均值发生偏移而标准偏差保持不变。因此，从第16批数据起T控制图出现超过上控制线的失控点，而K控制图所有统计点一直处于受控状态。

实施例2.利用仿真方式验证T-K控制图检测过程标准偏差失控的能力。验证过程与示例2类似。利用随机数发生器产生25批数据，每批5个样本，这25批数据由两种类型的产品A、B构成，分别服从正态分布N(10，0.1)和N(20，0.5)，假设第1至15批数据处于受控状态，从第16批数据开始，两种产品的标准偏差出现异常扩大为原来的3倍，而均值未发生变化，即：A类型产品参数服从N(10，0.3)，B类型产品参数服从N(20，1.5)。采用T-K控制图分析这25批数据，结果如图2。理论上这25批数据均值未发生偏移，因此在T控制图上不应出现失控点；而从第16批开始，“生产过程出现异常原因”导致工艺参数标准偏差发生偏移，因此K控制图上出现失控点。

实施例3.利用T-K控制图评价实际工艺过程的运行状态。在微电路生产的键合工序中，采用的键合丝有2个品种，型号分别是F30和F50。在正常生产过程中，共监控了25批数据，每批5个样本，采用T-K控制图进行SPC分析，结果如图3所示。分析结果表明，键合工艺过程处于统计受控状态。

结论

在对多品种生产过程进行质量控制时，往往由于数据量不足且不同类型产品工艺参数并不服从同一个正态分布，使得传统控制图技术无法直接用于多品种生产环境。本文提出了适用于多品种生产模式的T-K控制图技术，包括T、K统计量的定义与计算方式、以及T-K控制图控制限的确定，该方法分别仅需一张控制图就能够对工艺参数均值及标准偏差进行监控，对多品种生产模式进行质量控制。同时，T-K控制图具备自启动特点。理论分析表明T-K控制图的监控能力与传统休哈特控制图一致，即便在样本量较少的情况下T-K控制图仍能保持稳定的监控性能。实例分析及仿真验证表明，T-K控制图可以有效地用于多品种生产过程的质量监控，对生产过程的运行状态能够做出正确的判断。

以上所述，仅为本发明较佳具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换均落入本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立用于监测工艺参数均值的T控制图

假设一生产过程计划按照P种不同的规范要求加工产品，即：生产P种产品，设X为关键工艺参数，对每批产品随机抽取n个观测样本，{X^(r) _i，j，1，...，X^(r) _i，j，n}为第i组样本，i＝1，2，...；j表示该批次样本对应的产品类型序号，j＝1，2，...P；n为样本容量，上标r表示该批样本在同一类型产品内的序号，如无特殊说明，文中所涉及的具有下标的符号，第一下标表示样本批次顺序编号，第二下标代表该样本对应的品种序号，第三下标表明该数据在所属批次内的序号；括号内的上标表示该组样本在相应类型产品样本中的序号，在统计受控状态下，同一批次内及批次之间的工艺参数数据相互独立，同一品种的样本数据服从同一个正态分布，而不同品种的样本数据服从不同的正态分布，即：X_i，j，k～N(μ_j，σ_j)，i＝1，2，...，j＝1，2，...P，k＝1，2，...n，其中μ_j和σ_j为受控状态下第j种产品工艺参数母体所服从分布的均值和标准偏差，第i组样本的样本均值及样本标准偏差S_i，j分别为：

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{i,j,k}& S_{i,j}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(X_{i,j,k}-{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j})}^2}---\left(1\right)\end{array}$

1.1)T统计量的定义

在构建T统计量时，根据各类型产品工艺参数母体均值是否已知，有两种方式建立统计量：

情况一：工艺参数母体均值已知

对于每一批样本，i＝1，2，...，统计量T_i，j的表达式如下：

$T_{i,j}=\frac{{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}-{\mathrm{\μ}}_j}{S_{i,j}/\sqrt{n}},j=\mathrm{1,2},..P$

其中n为每批样本的容量，μ_j为过程受控时第j种产品工艺参数母体均值，当生产过程处于统计受控状态，T_i，j相互独立且服从自由度为n-1的t分布；

情况二：工艺参数母体均值未知

${\stackrel{\stackrel{\‾}{\‾}}{X}}_j^{(r-1)}=\frac{1}{r-1}\underset{h=1}{\overset{r-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{X}}_j^{\left(h\right)},j=\mathrm{1,2},..P,r=\mathrm{2,3}...$

表示产品类型为j的前r-1批样本数据的均值，T统计量的表达式为：

$\begin{array}{c}{T}_{i,j}^{\left(1\right)}=0\\ T_{i,j}^{\left(r\right)}=\frac{{\stackrel{\‾}{X}}_{i,j}^{\left(r\right)}-{\stackrel{\stackrel{\‾}{\‾}}{X}}_j^{(r-1)}}{S_{i,j}^{\left(r\right)}}\sqrt{\frac{n(r-1)}{r}}\end{array},j=\mathrm{1,2},..P,r>1$

T控制图中各类型产品的第一个统计量为常量0，而后续统计量由其在相应类型产品中的出现位置及以往数据决定，按上式建立的统计量相互独立且服从同一个t分布；

1.2)T控制图控制限的确定

T控制图控制限为：

$\mathrm{UCL}=G_t^{-1}(1-\frac{\mathrm{\α}}{2}|n-1)$

CL＝0

LCL＝-UCL

其中是自由度为n-1的t分布累计分布函数的逆函数，α为显著性水平，按照统计过程控制理论，上下控制限对应于±3σ位置，即α取值为0.0027；

2)建立用于监测工艺参数标准偏差的K控制图

根据工艺参数标准偏差是否已知，K控制图的建立分两种情况：

2.1)工艺参数母体标准偏差已知

此时，各批次样本的K_i，j统计量为：

$K_{i,j}=\frac{(n-1)S_{i,j}^2}{{\mathrm{\σ}}_j^2},j=\mathrm{1,2},..P$

其中n为子组样本容量，σ_j为过程受控时第j类产品工艺参数母体标准偏差，当生产过程处于统计受控状态，K_i，j服从自由度为n-1的卡方分布，K控制图的控制限为：

$\mathrm{LCL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\α}}{2}\right|n-1)$

$\mathrm{CL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}\left(0.5\right|n-1)$

$\mathrm{UCL}=H_{\mathrm{\χ}}^{-1}(1-\frac{\mathrm{\α}}{2}|n-1)$

其中是自由度为n-1的卡方分布累计分布函数的逆函数，α为显著性水平，取值为0.0027，求出不同样本容量时K控制图的上下控制线、中心线以及±σ和±2σ位置的取值，对于同一生产过程，只要过程处于受控状态、工艺参数标准偏差未发生偏移、各批测量数据的样本量相同，则由每批数据工艺参数测量值计算而得的K统计量相互独立且服从同一个卡方分布，并且具有相同的控制限，来自不同类型产品的K统计量可由同一张控制图进行质量监控，

2.2)工艺参数母体标准偏差未知

定义：

${\stackrel{\‾}{S_j^2}}^{(r-1)}=\frac{1}{r-1}\underset{h=1}{\overset{r-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_j^{2\left(h\right)},j=\mathrm{1,2},..P,r=\mathrm{2,3}...$

表示产品类型为j的前r-1批样本方差的均值，

定义中间变量：

${\mathrm{\λ}}_{i,j}^{\left(r\right)}=\frac{S_{i,j}^{2\left(r\right)}}{{\stackrel{\‾}{S_j^2}}^{(r-1)}},j=\mathrm{1,2},..P,r=\mathrm{2,3},...$

统计量K_i，j的表达式为：

$\begin{array}{c}{K}_{i,j}^{\left(1\right)}=1\\ K_{i,j}^{\left(r\right)}={\mathrm{\Φ}}^{-1}\left[F_{n-1,(n-1)(r-1)}\left({\mathrm{\λ}}_{i,j}^{\left(r\right)}\right)\right]\end{array},j=\mathrm{1,2},..P,r>1$

其中是第一自由为v₁第二自由度为v₂的F分布的累计分布函数，假设0＜s＜t，则按上式定义的统计量与相互独立，因为当j≠k，来自不同类型产品的样本相互独立，因此两者必定独立；如果j＝k，定义如下变量：

$W_1=(n-1)\underset{h=1}{\overset{r_s-1}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\•,j}^{2\left(h\right)},W_2=(n-1)\underset{h=r_s}{\overset{r_t-r_s}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\•,j}^{2\left(h\right)},W_3=(n-1)S_{t,j}^{2\left(r_t\right)}$

显然其中：v₁＝(n-1)(r_s-1)，v₂＝(n-1)(r_t-r_s)，v₃＝n-1，由于W₁、W₂与W₃两两独立，所以W₂/W₁与W₃/(W₁+W₂)相互独立，通过变换可得：

${\mathrm{\λ}}_{s,j}^{\left(r_s\right)}=\frac{(n-1)(r_s-1)S_{s,j}^{2\left(r_s\right)}}{W_1},{\mathrm{\λ}}_{t,j}^{\left(r_t\right)}=\frac{v_1+v_2}{v_3}\frac{W_3}{W_1+W_2}$

所以与相互独立，由于(9)式服从第一自由度为(n-1)、第二自由度为(n-1)(r-1)的F分布，因此K统计量相互独立且服从N(0，1)，即：K控制图中所有统计点相互独立且服从标准正态分布，参照传统休哈特控制图控制限的选择方式，标准偏差未知时K控制图的控制限为：

LCL＝-3

CL＝0

UCL＝3

3)在多品种生产模式下，采用T-K控制图对设备运行状态进行监控，只要每种类型产品样本数据达到2批以上，如果分布参数已知，1批数据即可，并保证每批产品的样本容量相同且大于1，根据工艺参数母体分布的均值或标准偏差是否已知，确定控制限，并建立T-K控制图。

2.根据权利要求1所述的基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，其特征在于，步骤1)中所述T控制图的显著性水平、控制限的选取均与休哈特控制图一致，且T统计量相互独立。

3.根据权利要求1所述的基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，其特征在于，步骤1)中在工艺过程的监控中，除检测是否有超出控制限的点外，任何在控制图中表现出非随机现象的点亦视为失控点，在这些失控判据中还需借助控制图的±σ和±2σ的位置。

4.根据权利要求1所述的基于T-K控制图的多品种生产模式统计过程控制方法，其特征在于，步骤1)中T控制图根据t分布的分位数确定控制限，其控制限与每批数据的样本容量相关。