CN102853054B - 基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮及其啮合副 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮及其啮合副，包括相互点接触啮合的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ，所述齿轮Ⅰ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与所述齿轮Ⅱ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线。本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，组成啮合副的齿轮Ⅰ接触曲线Γ₁与齿轮Ⅱ接触曲线Γ₂互为共轭曲线，齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ之间的啮合点沿着接触曲线移动；该啮合副继承了点接触啮合的特点，并且点接触的齿廓具有高的接触强度，接触传动过程沿轴向接近纯滚，传动效率高；在同传动比、同中心距条件下可实现小齿数、大模数的选择确定，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求，具有广阔的应用前景。

Description

基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮及其啮合副

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，具体的涉及一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮及其啮合副。

背景技术

齿轮是装备制造业中典型的关键基础件，广泛应用于生产实践中。在机械传动中，共轭啮合副往往决定着齿轮传动的性能。目前的齿轮啮合副主要存在线接触和点接触两种啮合制的齿轮传动形式：一般说来线接触情况下啮合副齿面间滑动率大，齿面磨损严重并易产生热量和功耗，会降低传动效率；而点接触齿轮的主要特点就是因其近似纯滚啮合可大幅降低其滑动率，渐开线齿轮和圆弧齿轮分别是其中具有突出优点的代表。

渐开线齿轮传动由于其中心距的可分性以及制造、测量方便等许多优点得到了广泛的应用，但也存在相对滑动速度较大、承载能力差等缺点，影响了传动性能。为了克服渐开线齿轮传动的缺点，逐渐开展了对凸凹齿面相啮合的斜齿轮传动方案的研究。圆弧齿轮是以凹凸圆弧齿廓点接触形式传动的，具有较高的接触强度和承载能力，传动过程啮合面易形成动压油膜接近纯滚，传动效率高，且具有良好的跑合性，使用寿命长等特点，广泛应用于起重运输机械、矿山、冶金、化工、纺织等工业领域。但是圆弧齿轮啮合点之间的距离及位置对传动平稳性、承载能力均有一定的影响，存在着对中心距敏感、轴向力作用、齿根弯曲强度低等缺点，阻碍了承载能力和传动精度的提高，难以满足一些重要领域对圆弧齿轮传动的要求。

有鉴于此，本发明旨在探索一种高性能的齿轮啮合副，该啮合副具有齿面间滑动率小、接触强度大且承载能力高、无轴向力作用和跑合性能良好的优点，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提出一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮及其啮合副，该齿轮啮合副具有齿面间滑动率小、接触强度大且承载能力高的优点，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

要实现上述技术目的，本发明首先公开了一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，该齿轮的齿廓曲线为圆弧，且所述齿廓曲线上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线为接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量，n是接触曲线Γ在啮合点处沿给定接触角方向的法矢。

进一步，齿轮的齿廓曲面为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其方程分别为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

进一步，所述接触曲线为呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线平滑过渡。

进一步，所述接触曲线为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0。

本发明还公开了一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，包括相互点接触啮合的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ，所述齿轮Ⅰ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与所述齿轮Ⅱ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线；

所述接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

由共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

式中，i₂₁为齿轮传动比；φ₁,φ₂分别是齿轮1、2转过的角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；a为外啮合配对齿轮间的标准中心距；n是共轭曲线在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾是啮合点处齿轮间的相对运动速度矢量。

进一步，所述齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线均为圆弧，所述齿轮Ⅰ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线；所述齿轮Ⅱ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。

进一步，所述齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧；

所述齿轮Ⅰ的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

所述齿轮Ⅱ的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为齿轮Ⅰ的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为齿轮Ⅱ的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，所述齿轮Ⅰ的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

所述齿轮Ⅱ的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

进一步，所述接触曲线Γ₁为呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₁平滑过渡；所述接触曲线Γ₂为与所述接触曲线Γ₁共轭并呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₂平滑过渡。

进一步，所述接触曲线Γ₁为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0。

本发明的有益效果为：

1、本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，组成啮合副的齿轮Ⅰ接触曲线Γ₁与齿轮Ⅱ接触曲线Γ₂互为共轭曲线，齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ之间的啮合点沿着接触曲线移动；该啮合副继承了点接触啮合的特点，并且点接触的齿廓具有高的接触强度，接触传动过程沿轴向接近纯滚，传动效率高；在同传动比、同中心距条件下可实现小齿数、大模数的选择确定，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求，具有广阔的应用前景。

2、通过将接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂均设置为呈对称的平滑过渡曲线，使得啮合副的齿形对称分布，消除了轴向力的作用使得传动更加平稳，齿面易于加工制造，并使得啮合副具有无轴向力作用和跑合性能良好的优点。

附图说明

图1为本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮的齿廓曲面示意图；

图2为本实施例的齿轮实体结构示意图；

图3为本实施例的齿轮齿廓曲面形成原理图；

图4为本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副所采用的坐标系；

图5为本实施例齿轮啮合副的法向齿廓啮合副示意图；

图6为本实施例齿轮啮合副的齿廓曲面形成原理图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作详细说明。

如图1所示，为本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮的齿廓曲面示意图；图2为本实施例的齿轮实体结构示意图。

本实施例基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，该齿轮的齿廓曲线1为圆弧，且所述齿廓曲线1上由啮合点构成的接触曲线2的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角。

齿廓曲面4的圆心构成的圆心曲线为接触曲线2沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量，n是接触曲线Γ在啮合点处沿给定接触角方向的法矢。

如图3所示，齿轮的齿廓曲面4为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其方程分别为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

优选的，接触曲线2为呈轴对称的对称曲线，且接触曲线2平滑过渡，如图1所示，接触曲线2在对称中心区域3处光滑过渡连接，保证齿轮啮合时的平稳性。

优选的，接触曲线2为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0，保证接触曲线2在对称中心区域3处的光滑过渡。

本实施例基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮的齿廓曲线1可以为凸圆弧，也可以是凹圆弧。

下面结合采用上述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮组成的啮合副的具体实施方式。

如图4所示，为本发明基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副所采用的坐标系；图5为本实施例齿轮啮合副的法向齿廓啮合副示意图。

本实施例基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，包括相互点接触啮合的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ，齿轮Ⅰ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与齿轮Ⅱ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线；

接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

由共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

式中，i₂₁为齿轮传动比；φ₁,φ₂分别是齿轮1、2转过的角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；a为外啮合配对齿轮间的标准中心距；n是共轭曲线在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾是啮合点处齿轮间的相对运动速度矢量。

本实施例的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线均为圆弧，齿轮Ⅰ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。齿轮Ⅱ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线可以为都采用凸圆弧，也可以为分别采用凸圆弧和凹圆弧，本实施例的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧。

根据接触曲线Γ₁可得到齿轮Ⅰ的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

根据接触曲线Γ₂可得到齿轮Ⅱ的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为齿轮Ⅰ的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为齿轮Ⅱ的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

如图6所示，齿轮Ⅰ的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ′₁运动的球族管状包络面，其方程为：

齿轮Ⅱ的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

本实施例基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，组成啮合副的齿轮Ⅰ接触曲线Γ₁与齿轮Ⅱ接触曲线Γ₂互为共轭曲线，齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ之间的啮合点沿着接触曲线移动；该啮合副继承了点接触啮合的特点，并且点接触的齿廓具有高的接触强度，接触传动过程沿轴向接近纯滚，传动效率高；在同传动比、同中心距条件下可实现小齿数、大模数的选择确定，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求，具有广阔的应用前景。

优选的，接触曲线Γ₁为呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₁平滑过渡；所述接触曲线Γ₂为与所述接触曲线Γ₁共轭并呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₂平滑过渡。通过将接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂均设置为呈对称的平滑过渡曲线，使得啮合副的齿形对称分布，消除了轴向力的作用使得传动更加平稳，齿面易于加工制造，并使得啮合副具有无轴向力作用和跑合性能良好的优点。

如图4所示，坐标系S(O-x,y,z)，S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个在空间固定的坐标系，z轴与齿轮Ⅰ的回转轴线重合，z_p轴与齿轮Ⅱ的回转轴线重合，且两轴线平行。x轴与x_p轴重合，它们的方向就是两轴的最短距离方向，且OO_p等于最短距离也就是中心距a。坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与齿轮Ⅰ固连，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与齿轮Ⅱ固连，在起始位置时它们分别与S,S_p重合。齿轮1以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，齿轮2以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，规定ω⁽¹⁾正向与z轴正向相同，ω⁽²⁾正向与z_p轴正向相反。从起始位置经过一段时间后，S₁及S₂运动到图中所示位置。齿轮Ⅰ绕z轴转过φ₁角，齿轮Ⅱ绕z_p轴转过φ₂角。

如图4所示，接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂在任意接触点P处啮合。接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂分别为齿轮啮合副中齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ齿廓曲面上的一条光滑曲线，而接触曲线Γ₂是在一定运动条件下依据给定接触曲线Γ₁得到的与之共轭的曲线，二者形成曲线共轭啮合。

设定本实施例的接触曲线Γ₁为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0，如图4所示，设接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R\cos \mathrm{\θ}\\ y_1=R\sin \mathrm{\θ}\\ z_1=p\left(\mathrm{\θ}\right)\·\mathrm{\θ}\end{array}\right.$

式中，R是螺旋曲线所在圆柱面半径；p(θ)是关于螺旋曲线参数θ的线性表达式，此处可以表示为p(θ)＝kθ，k为线性参数。

在图4所示的坐标系下，依据共轭曲线原理推得齿轮Ⅱ上接触曲线Γ₂的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=R\cos [(i_{21}+1){\mathrm{\φ}}_1+\mathrm{\θ}]-a\cos \left(i_{21}{\mathrm{\φ}}_1\right)\\ y_2=R\sin [(i_{21}+1){\mathrm{\φ}}_1+\mathrm{\θ}]-a\sin \left(i_{21}{\mathrm{\φ}}_1\right)\\ z_2=k{\mathrm{\θ}}^2\\ E\cos {\mathrm{\φ}}_1-F\sin {\mathrm{\φ}}_1=M\end{array}\right.$

式中，

$E=-i_{21}a[u\frac{-R^3\sin \mathrm{\θ}-4k^2\mathrm{\θR}(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{2\mathrm{kR}(\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}]$

$F=i_{21}a[u\frac{-R^3\cos \mathrm{\θ}+4k^2\mathrm{\θR}(\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{2\mathrm{kR}(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}]$

$M=(1+i_{21})[u\frac{4k^2\mathrm{\θR}}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{2{\mathrm{kR}}^2\mathrm{\θ}}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}]$

如图6所示，齿轮Ⅰ齿轮Ⅰ的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，齿轮Ⅱ的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面。齿轮Ⅰ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。齿轮Ⅱ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。其中齿轮Ⅰ的凸齿廓沿公法线正向等距，距离为ρ₁；齿轮Ⅱ的凹齿廓沿公法线反向等距，距离为ρ₂，如图5所示，有ρ₂＞ρ₁。球族中球体的球半径为中心曲线与接触曲线之间的距离。

因此，齿轮Ⅰ的齿廓曲面的方程为：

齿轮Ⅱ的齿廓曲面的方程为：

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{x1}=u\frac{-R^3\cos \mathrm{\θ}+4k^2\mathrm{\θR}(\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{2\mathrm{kR}(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}\\ n_{y1}=u\frac{-R^3\sin \mathrm{\θ}-4k^2\mathrm{\θR}(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{2\mathrm{kR}(\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ})}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}\\ n_{z1}=u\frac{2{\mathrm{kR}}^2}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^2}+v\frac{R^2}{{(R^2+4k^2{\mathrm{\θ}}^2)}^{3/2}}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{x2}=n_{x1}\cos \left[(1+i_{21}){\mathrm{\φ}}_1\right]-n_{y1}\sin \left[(1+i_{21}){\mathrm{\φ}}_1\right]\\ n_{y2}=n_{x1}\sin \left[(1+i_{21}){\mathrm{\φ}}_1\right]+n_{y1}\cos \left[(1+i_{21}){\mathrm{\φ}}_1\right]\\ n_{z2}=n_{z1}\end{array}\right.$

如图5所示，齿轮Ⅰ的齿廓曲面和齿轮Ⅱ的齿廓曲面在任意时刻啮合的截面上，齿轮Ⅰ的齿廓曲线5和齿轮Ⅱ的齿廓曲线6在某一接触点处接触，其中，齿轮Ⅰ的齿廓曲线5为凸圆弧，其曲率半径为ρ₁；齿轮Ⅱ的齿廓曲线6为凹圆弧，其曲率半径为ρ₂。K为任意时刻两齿轮的啮合点，齿廓曲线5的曲率中心与齿廓曲线6的曲率中心在过K点的公法线上。随着齿轮啮合副以一定的角速度转动，在某一时刻啮合点沿着各自的接触曲线移动一个距离，齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓沿轴向同时移动一个距离进入下一个啮合点处参与啮合。齿轮Ⅱ的齿廓曲线6的圆弧半径大于齿轮Ⅰ的齿廓曲线5的圆弧半径，根据实际啮合情况，齿廓曲线6对齿廓曲线5形成局部包容，使其具有较高的啮合传动强度。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (10)

1.一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，其特征在于：该齿轮的齿廓曲线为圆弧，且所述齿廓曲线上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线为接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量，n是接触曲线Γ在啮合点处沿给定接触角方向的法矢。

2.根据权利要求1所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，其特征在于：齿轮的齿廓曲面为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其方程分别为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

3.根据权利要求1或2所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，其特征在于：所述接触曲线为呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线平滑过渡。

4.根据权利要求3所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮，其特征在于：所述接触曲线为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0。

5.一种基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：包括相互点接触啮合的齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ，所述齿轮Ⅰ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与所述齿轮Ⅱ齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线；

所述接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

由共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

式中，i₂₁为齿轮传动比；φ₁,φ₂分别是齿轮1、2转过的角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；a为外啮合配对齿轮间的标准中心距；n是共轭曲线在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾是啮合点处齿轮间的相对运动速度矢量。

6.根据权利要求5所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：所述齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线均为圆弧，所述齿轮Ⅰ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线；所述齿轮Ⅱ齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线。

7.根据权利要求6所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：所述齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧；

所述齿轮Ⅰ的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

所述齿轮Ⅱ的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为齿轮Ⅰ的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为齿轮Ⅱ的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

8.根据权利要求7所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：所述齿轮Ⅰ的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

所述齿轮Ⅱ的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，α为球族参数，且满足0≤α≤2π。

9.根据权利要求5-8任一项所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：所述接触曲线Γ₁为呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₁平滑过渡；所述接触曲线Γ₂为与所述接触曲线Γ₁共轭并呈轴对称的对称曲线，且所述接触曲线Γ₂平滑过渡。

10.根据权利要求9所述基于曲线共轭的对称弧面共轭曲线齿轮啮合副，其特征在于：所述接触曲线Γ₁为空间螺旋线，其螺旋角由两端向对称中心处逐渐变化，且位于对称中心处的螺旋角为0。