CN102778889B - 航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，步骤是：首先建立航天器姿态控制***数学模型；其次建立间歇性控制器故障的数学模型；运用Lyapunov方法设计控制器，并分别刻画姿控***在正常情况和故障情况下的行为，用随机切换***模型描述带有间歇性故障的航天器姿控***的运行全过程；进而将姿控***的容错分析问题转化为带有不稳定模态的切换***的稳定性分析问题，提供一种容错判断准则以实时地判断当前***是否稳定，只要满足该准则，则不需要采取任何容错控制措施，***在正常状态和故障状态的平衡作用下依然可以保持稳定。该发明可以避免采用容错控制以及容错控制实施过程中产生的高控制能耗、高计算复杂度和风险。

Description

航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法

技术领域

本发明属于航天器姿态容错控制领域，特别涉及一种针对航天器控制器的间歇性故障的容错分析方法。

背景技术

航天器姿态控制问题，因其重要的工程及学术价值，已经引起了人们极大的兴趣。航天器姿控***对安全性有着极高的要求，而姿控***的控制器、执行器、传感器以及***内部都有可能发生故障，这些故障会严重影响***的性能，甚至使***崩溃。因此姿控***需要具有一定的容错能力，才能保证其运行的稳定性和可靠性。关于航天器容错控制的方法和技术已经有很多成果，例如文献(IEEETransactions on Control Systems Technology,2008,16(4),799-808),（Journal of Guidance,Control and Dynamics,2008,31(5),1456-1463），（IET Control Theory & Applications,2011,5(2),271-282）等。这些容错控制方案大多只考虑执行器和传感器的故障情况，容错的核心思想是当故障发生后，通过调节或重构控制器以补偿故障对***产生的影响，从而使故障***依然稳定运行。

发生在航天器姿控***的控制器的间歇性故障自身时而产生，时而消失。当它发生时，会使得***工作发生异常；当它消失时，***又回到正常的工作状态。间歇性故障是导致电路***失效的主要原因,文献（IEEE Transactions onReliability,1997,46,(2),269-274）提到这类故障的发生概率是永久性故障的10至30倍。对于航天器姿控***的控制电路单元，各个电气元件和电路板上的焊接点随着时间的推移会产生物理磨损而破裂，或者产生时断时续的连接现象。这种松散的连接是一类典型的间歇性故障，可以直接影响到控制器的输出，即转矩指令电压，进而影响电机的输出。因此，对姿控***的控制器间歇性故障进行容错分析是十分必要的。

然而，针对航天器间歇性故障的容错分析和设计的成果鲜有报道。众所周知，根据故障情况调节控制器以实现容错控制目标需要一定的时间，并且消耗一定的控制能量，这种方法很难适用于控制器的间歇性故障，原因有三：

1）间歇性故障发生频率比较高，如果每次当这些故障发生时都去调节控制器，势必要耗费很多的控制能耗；

2）过于频繁地调节控制器，会产生严重的超调，令***的性能下降，甚至不稳定；

3）当控制器自身发生故障时，很难再去调节控制器以实现容错目标。

因此，本发明人试图提出一种简便的控制器间歇性故障容错分析方法，本案由此产生。

发明内容

本发明的目的，在于提供一种航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，其针对控制器的间歇性故障，分析间歇性故障的发生和消失对***稳定性的影响，得到一个容错判断准则，使得当间歇性故障满足一定条件时，不需要采取任何容错控制措施，带有控制器间歇性故障的航天器姿控***依然稳定运行，从而避免采取容错控制，以及容错控制实施过程中产生的高控制能耗、高计算复杂度和风险。

为了达成上述目的，本发明的解决方案是：

一种航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，包括如下步骤：

（1）建立航天器的姿态控制***数学模型：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+\mathrm{\μ}+d$

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}(q_4\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}q)$

${\stackrel{\·}{q}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q$

其中，表示惯性角速度；q₄是标量，q₁,q₂,q₃,q₄表示为四元数；J=J^T表示正定惯性矩阵，μ表示控制器输出，即控制扭矩；d表示***的不确定和扰动；

选择姿控***的平衡点为：ω=q=0，q₄=1，则有：

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{\×}q$

${\stackrel{\·}{\tilde{q}}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q$

其中， ${\tilde{q}}_4\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{q}_4-1;$

（2）建立带有间歇性故障的控制器数学模型：

用μ_σ表示带有间歇性故障的控制器输出，其中下标σ(t)是一个随时间变化的切换函数，在{0,1}中取值，其中0表示控制器处在正常情况，1表示控制器处在间歇性故障情况，根据间歇性故障的发生特点，该切换函数用马尔科夫链来描述，即

$P\{\mathrm{\σ}(t+\mathrm{\Δ})=j|\mathrm{\σ}\left(t\right)=i\}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right),& i\≠j\\ 1+{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right)& i=j\end{array}\right.$

其中，0≤ρ_ij≤1表示从模式i到模式j(i≠j)的转移率，ρ_ii=-∑_j≠iρ_ij；△>0是无穷维转移时间间隔，ο(△)是高阶无穷小；

根据姿态控制***模型，设计镇定状态控制器μ₀，该控制器在故障情况下变化为μ₁；

（3）用带有不稳定模态的随机切换***描述***运行过程：

姿态控制***模型在μ_σ的作用下写为切换***：

dx(t)=f_σ(t)(x(t))dt

其中状态f_σ由姿态控制***模型获得；

（4）建立容错判断准则：

定义符号η₀和η₁分别为***在正常情况和故障情况下的状态收敛率和发散率，定义△t₁为时间段[0,t]中***正常情况下的工作总时间，△t₂为时间段[0,t]中***故障情况下的工作总时间， $\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{\right|{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\left|\right|i\∈M\},$ $\widetilde{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}\right|i,j\∈M\};$

容错判断准则设计如下：

在t时刻，如果存在一个常数β>0使得

$e^{-{\mathrm{\η}}_0\mathrm{\Δ}{t}_1+{\mathrm{\η}}_1\mathrm{\Δ}{t}_2}\≤\mathrm{\β}{e}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t},$ $\∀t\≥0$

那么航天器姿态控制***在间歇性故障的作用下是稳定的。

上述步骤（1）中，不确定项为***状态的未知函数d(x)，满足Lipschitz条件，即 为已知的正数。

上述步骤（2）中，正常情况下的控制器设计如下：

${\mathrm{\μ}}_0={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}-k_1\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jq}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)$

其中，k₁>0，k₂>0，k₃>0，ε>0是一个任意小的常数；

故障情况下，控制器的电路性能异常，导致放大增益发生变化，控制器μ₀变为

${\mathrm{\μ}}_1={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}{k}_1^f\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jq}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)$

其中，均表示故障下的增益系数， 这使得控制器的输出偏离正常值。

上述步骤（3）中，通过以下方法求取正常情况下的状态收敛率η₀和故障情况下的状态发散率η₁：

在正常情况下，定义一个李雅普诺夫条件函数定义： ${\mathrm{LV}}_p\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\frac{\∂V_p\left(x\right)}{\∂x}{f}_p\left(x\right),p=\mathrm{0,1}$

通过选择适当的k₁、k₂、k₃，有

${\mathrm{LV}}_0=2{\mathrm{\ω}}^T{J}^{-1}(-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+{\mathrm{\μ}}_0)+q^T({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}-{\tilde{q}}_4^T{\mathrm{\ω}}^{T}q+\stackrel{\‾}{d}{V}_0$

$=-2k_1{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}(-k_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0$

$\≤-{\mathrm{\η}}_0{V}_0$

其中，η₀大于0，表明控制器可以镇定正常情况下的***，V₀指数收敛；

在故障情况下，有

${\mathrm{LV}}_0=2k_1^f{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}(-k_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0\≤{\mathrm{\η}}_1{V}_0$

其中η₁>0，表明故障情况下***不再稳定，函数V₀指数发散。

上述步骤（4）中，容错判断准则适用于任意时刻，即在任意t时刻，如果存在一个常数β>0，使得

$e^{-{\mathrm{\η}}_0\mathrm{\Δ}{t}_1+{\mathrm{\η}}_1\mathrm{\Δ}{t}_2}\≤\mathrm{\β}{e}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t},$ $\∀t\≥0$

那么航天器姿态控制***在间歇性故障的作用下依然是稳定的。

采用上述方案后，本发明充分利用间歇性故障的时而出现和时而消失的特点，只要满足本发明提出的容错判断准则，姿控***在正常状态和故障状态的平衡作用下依然可以保持稳定，在这种情况下，不需要采取任何容错控制措施，***在正常状态和故障状态的平衡作用下依然可以保持稳定，即不需要像传统的容错控制方法那样，对控制器进行重构。该方法避免了容错控制实施过程中产生的高控制能耗、高计算复杂度和风险，对于航天器这种要求高可靠性并且需要高能耗的复杂***有着重要的实际意义。

附图说明

图1是本发明中姿态控制***的结构框图；

图2是本发明基于切换***的容错方法示意图；

图3是第一个切换函数的轨迹图；

图4是姿态控制***对应图3的状态轨迹图；

图5是第二个切换函数的轨迹图；

图6是姿态控制***对应图5的状态轨迹图。

具体实施方式

以下将结合附图，对本发明的技术方案及有益效果进行详细说明。

本发明提供一种航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，包括如下步骤：

（1）建立航天器的姿态控制***数学模型，即为图1中的航天器机体模块、执行器模块和传感器模块；

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+\mathrm{\μ}+d---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}(q_4\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}q)---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{q}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q---\left(3\right)$

其中，表示惯性角速度；q₄是标量，q₁,q₂,q₃,q₄表示为四元数；J=J^T表示正定惯性矩阵，μ表示控制器输出，即控制扭矩。不确定项为***状态的未知函数d(x)，d(x)满足Lipschitz条件，即 为已知的正数。叉积形式为：

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& -{\mathrm{\ω}}_1\\ -{\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

选择姿控***的平衡点为：ω=q=0，q₄=1，则(2)-(3)式可改写为：

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{\×}q---\left(4\right)$

${\stackrel{\·}{\tilde{q}}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q---\left(5\right)$

其中， ${\tilde{q}}_4\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{q}_4-1.$

（2）建立间歇性控制器故障数学模型，确定马尔科夫链的转移率ρ₁₀（即间歇性故障消失的概率）和ρ₀₁（间隙性故障发生的概率）；

用μ_σ表示采用状态反馈设计的控制器输出，即控制扭矩。其中下标σ(t)是一个随时间变化的切换函数，在{0,1}中取值，其中0表示控制器处在正常情况，1表示控制器处在间歇性故障情况，这意味着控制器的输出值可能因故障情况而跳变。根据间歇性故障的发生特点，该切换函数用马尔科夫链来描述，即

$P\{\mathrm{\σ}(t+\mathrm{\Δ})=j|\mathrm{\σ}\left(t\right)=i\}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right),& i\≠j\\ 1+{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right)& i=j\end{array}\right.$

其中，0≤ρ_ij≤1表示从模式i到模式j(i≠j)的转移率，ρ_ii=-∑_j≠iρ_ij。△>0是无穷过渡的时间间隔，ο(△)是高阶无穷小。

正常情况下的控制器设计如下：

${\mathrm{\μ}}_0={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}-k_1\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jq}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)---\left(6\right)$

其中，k₁>0，k₂>0，k₃>0，ε>0是一个任意小的常数。

所考虑的控制器间歇性故障是由于控制电路芯片中的各个焊接点由于时间的推移产生的物理磨损而破裂或者松动造成的。这种松散的连接是一个典型间歇性故障，可以使控制电路的性能异常，导致放大增益发生变化。故障情况下，控制器μ₀（6）变为

${\mathrm{\μ}}_1={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}{k}_1^f\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jq}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)---\left(7\right)$

其中， 均表示故障下的增益系数，这使得控制器的输出偏离正常值。

（3）基于Lyapunov函数（李雅普诺夫函数）方法设计正则控制器μ₀，即为图1中的控制器模块，并计算出Lyapunov函数V₀的收敛率η₀，将其传给容错分析模块；

姿态控制***模型（1）（4）（5）在μ_σ的作用下可写为切换***：

dx(t)=f_σ(t)(x(t))dt

其中，状态f_σ可以由姿态控制***模型获得。

在正常情况下，定义一个李雅普诺夫条件函数定义： ${\mathrm{LV}}_p\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\frac{\∂V_p\left(x\right)}{\∂x}{f}_p\left(x\right),p=\mathrm{0,1}$

通过选择适当的k₁、k₂、k₃，有

${\mathrm{LV}}_0=2{\mathrm{\ω}}^T{J}^{-1}(-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+{\mathrm{\μ}}_0)+q^T({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}-{\tilde{q}}_4^T{\mathrm{\ω}}^{T}q+\stackrel{\‾}{d}{V}_0$

$=-2k_1{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}(-k_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0$

$\≤-{\mathrm{\η}}_0{V}_0$

其中，η₀大于0，由上式可以看出控制器式（6）的作用下，李雅普诺夫条件函数V₀以指数形式收敛，收敛率为η₀。

在故障情况下，有

${\mathrm{LV}}_0=2k_1^f{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}(-k_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0\≤{\mathrm{\η}}_1{V}_0$

其中η₁>0，由上式可以看出发生故障后，控制器式（7）不再能够镇定***，函数V₀以指数形式发散，收敛率为η₁。

因此切换***dx(t)=f_σ(t)(x(t))dt的模态0稳定，模态1不稳定。

运用这种随机切换***有两个优点：

1）可以方便地分析姿控***整个过程的行为，而不是单独研究故障前和故障后的情况。这对于分析在间歇性故障下的***行为是很重要的；

2）姿控***的容错问题可以转化为带有不稳定模态的切换***的稳定性问题，可以使用一些对切换***很有用的分析工具。

（4）建立容错判断准则：

定义△t₁为时间段[0,t]中***正常情况（模式0运行）下的工作总时间，△t₂为时间段[0,t]中***故障情况（模式1）下的工作总时间，定义

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{\right|{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\left|\right|i\∈M\},$ $\widetilde{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}\right|i,j\∈M\};$

容错判断准则设计如下：

在t时刻，如果存在一个常数β>0使得

$e^{-{\mathrm{\η}}_0\mathrm{\Δ}{t}_1+{\mathrm{\η}}_1\mathrm{\Δ}{t}_2}\≤\mathrm{\β}{e}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t},$ $\∀t\≥0---\left(8\right)$

那么航天器姿态控制***在间歇性故障的作用下是稳定的。

简便起见，下面用共同的η代替η₀和η₁。用记号N_σ(t)表示***在[0,t]时间段内的切换次数。用t_k代表***的第k次切换时刻。

假设在时刻t切换了j次，即t≥t_j。由得到：

$E\left[V_0\left(x\left(t\right)\right)\right]\≤E\left[e^{\mathrm{\η}(t-t_j)}{V}_0\left(x\left(t_j\right)\right)\right]$

$\≤E\left[e^{\mathrm{\η}(t-t_{j-1})}{V}_0\left(x\left(t_{j-1}\right)\right)\right]$

$\begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}$

$\≤E\left[e^{\mathrm{\ηt}}{V}_0\left(x\left(0\right)\right)\right]$

$\≤\underset{j=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}P(N_{\mathrm{\σ}\left(t\right)}=j)e^{\mathrm{\ηt}}{V}_0\left(x\left(0\right)\right)$

$\≤\underset{j=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{e^{-\widetilde{\mathrm{\λ}}t}{\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}t\right)}^j}{j!}\mathrm{\β}{e}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t}{V}_0\left(x\left(0\right)\right)$

$\≤\mathrm{\β}{V}_0\left(x\left(0\right)\right)$

由上式可以看出，在整个***运行过程中，如果容错条件（8）满足，则在间歇性故障的影响下，状态x(t)的数学期望仍然始终是有界的，且随着x(0)趋于原点而趋向于原点。

容错判断准则（8）充分利用了间歇性故障的时而出现和时而消失的特点。该准则的核心在于运用不稳定模态和稳定模态之间的平衡去镇定***。如果***在正常情况（故障消失）下的工作时间足够长，而在故障出现的情况下工作时间足够短，那么***仍然能保证稳定，***性能和β的选取有很大关系，该值通常根据姿控***的需求选择。

设计间歇性故障的检测与诊断机制，即为故障诊断模块，依据是

LV₀≤-η₀V₀                    （9）

如果在t时刻，上述不等式（9）不满足，则认为有故障在t时刻发生。如果某些故障发生了，不等式（9）仍然满足，则认为该故障没有破坏***的稳定性，无需检测。

在***运行的过程中，始终运行故障诊断模块，该模块实时采集***的输入和状态信息，当检测出间歇性故障发生后，计算出故障情况下函数的发散率η₁，将故障发生时间和值η₁传给容错分析模块。如果在某时刻故障消失了，故障诊断模块也将故障消失的时刻传给容错分析模块；

（5）容错分析模块收到故障发生时间，发散率η₁以及故障消失时间后，根据容错判断准则（8），判断***当前的稳定性，如果满足则***继续运行，不采取任何容错控制或者保护措施，因为在过去的时间里，***在正常情况（故障消失）下的工作时间足够长，而在故障出现的情况下工作时间足够短，因此***仍然能保证稳定，如图2所示。如果判断出当前***已不稳定，则报警，此时必须采取容错控制措施。

下面以仿真验证本发明方法的有效性。

在仿真时，选择惯性矩阵：

$J=\left[\begin{array}{ccc}1200& 100& -200\\ 100& 2200& 300\\ -200& 300& 3100\end{array}\right]\mathrm{kg}\·m^2$

假定不确定项为d=0.1Wω，其中W为标准的布朗运动，代表噪声干扰。初始参数选为

(ω₁ ω₂ ω₃)=(0.2 -0.1 0.1)(rad/s)

(q₁ q₂ q₃ q₄)=(0.5 0.5 0.5 -0.5)

假定间歇性故障满足-ρ₀₀=ρ₀₁=0.5且-ρ₁₁=ρ₁₀=0.8，控制器的参数设计k₁=k₂=k₃=10，ε=0.001，发生间歇性故障时，参数变为 令β=2。

由于故障的发生和消失都是随机的，因此做两组仿真。图3给出了在时间段0秒到20秒内的第一个切换函数的曲线，表明了故障发生和消失的各个时刻。经检验，在图3所示的故障情况下，容错判断准则在0秒到20秒内的任意时刻都是满足的，图4给出了对应的***状态轨迹，可以看出虽然有间歇性故障发生，但***状态（即姿态角速度和四元数）在保持原有控制器而没有采取任何容错控制的情况下依然是有界的，这表明了本发明所提供的容错判据的有效性。类似的，图5给出了在时间段0秒到20秒内的第二个切换函数的曲线，该曲线和图3所示的曲线不同，但经检验，在图5所示的故障情况下，容错判断准则在0秒到20秒内的任意时刻也都是满足的，图6给出了对应的***状态轨迹，可以看出***状态在没有采取任何容错控制的情况下依然是有界的，这同样表明了本发明所提供的容错判据的有效性。

以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (4)

1.一种航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)建立航天器的姿态控制***数学模型：

$J\stackrel{.}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+\mathrm{\μ}+d$

$\stackrel{.}{q}=\frac{1}{2}(q_4\mathrm{\ω}+{\mathrm{\ω}}^{\×}q)$

${\stackrel{.}{q}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q$

其中，表示惯性角速度；q₄是标量，q₁,q₂,q₃,q₄表示为四元数；J＝J^T表示正定惯性矩阵，μ表示控制器输出，即控制扭矩；d表示***的不确定和扰动；

ω的叉积形式为：

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& -{\mathrm{\ω}}_1\\ {-\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

选择姿控***的平衡点为：ω＝q＝0，q₄＝1，则有：

$\stackrel{.}{q}=\frac{1}{2}({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{\×}q$

${\stackrel{\stackrel{.}{~}}{q}}_4=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}^{T}q$

其中， ${\tilde{q}}_4\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{q}_4-1;$

(2)建立带有间歇性故障的控制器数学模型：

用μ_σ表示带有间歇性故障的控制器输出，其中下标σ(t)是一个随时间变化的切换函数，在{0,1}中取值，其中0表示控制器处在正常情况，1表示控制器处在间歇性故障情况，根据间歇性故障的发生特点，该切换函数用马尔科夫链来描述，即

$P\{\mathrm{\σ}(t+\mathrm{\Δ})=j|\mathrm{\σ}\left(t\right)=i\}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right),& i\≠j\\ 1+{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\mathrm{\Δ}+o\left(\mathrm{\Δ}\right)& i=j\end{array}\right.$

其中，0≤ρ_ij≤1表示从模式i到模式j的转移率，且i≠j，ρ_ii＝-∑_j≠iρ_ij；Δ>0是无穷维转移时间间隔，ο(Δ)是高阶无穷小；

根据姿态控制***模型，设计镇定状态控制器μ₀，该控制器在故障情况下变化为μ₁；

(3)用带有不稳定模态的随机切换***描述***运行过程：

姿态控制***模型在μ_σ的作用下写为切换***：

dx(t)＝f_σ(t)(x(t))dt

其中状态f_σ由姿态控制***模型获得；

其中，通过以下方法求取正常情况下的状态收敛率η₀和故障情况下的状态发散率η₁：

在正常情况下，定义一个李雅普诺夫条件函数定义：

${\mathrm{LV}}_0\left(x\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\frac{{\∂V}_0\left(x\right)}{\∂x}{f}_0\left(x\right),$

通过选择适当的k₁、k₂、k₃，有

$\begin{array}{c}{\mathrm{LV}}_0={2\mathrm{\ω}}^T{J}^{-1}(-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}+{\mathrm{\μ}}_0)+q^T({\tilde{q}}_4+1)\mathrm{\ω}-{\tilde{q}}_4^T{\mathrm{\ω}}^{T}q+\stackrel{\‾}{d}{V}_0\\ =-{2k}_1{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}({-k}_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0\\ \≤{-\mathrm{\η}}_0{V}_0\end{array}$

其中，k₁>0，k₂>0，k₃>0，ε>0是一个任意小的常数，η₀大于0，表明控制器可以镇定正常情况下的***，V₀指数收敛，为已知的正数；

在故障情况下，有

${\mathrm{LV}}_0={2k}_1^f{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\frac{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ}}({-k}_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)+\stackrel{\‾}{d}{V}_0\≤{\mathrm{\η}}_1{V}_0$

其中η₁>0，表明故障情况下***不再稳定，函数V₀指数发散， $k_2^f>0,$ $k_3^f>0,$ 均表示故障下的增益系数；

(4)建立容错判断准则：

定义符号η₀和η₁分别为***在正常情况和故障情况下的状态收敛率和发散率，定义Δt₁为时间段[0,t]中***正常情况下的工作总时间，Δt₂为时间段[0,t]中***故障情况下的工作总时间， $\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{\right|{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\left|\right|i\∈M\left|\right\},$ $\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \left\{\right|{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ii}}\left|\right|i,j\∈M\left|\right\};$

容错判断准则设计如下：

在t时刻，如果存在一个常数β>0使得

$e^{-{\mathrm{\η}}_0{\mathrm{\Δt}}_1+{\mathrm{\η}}_1{\mathrm{\Δt}}_2}\≤{\mathrm{\βe}}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t},$ $\∀t\≥0$

那么航天器姿态控制***在间歇性故障的作用下是稳定的。

2.如权利要求1所述的航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，其特征在于：所述步骤(1)中，不确定项为***状态的未知函数d(x)，满足Lipschitz条件，即 为已知的正数。

3.如权利要求1所述的航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，其特征在于：所述步骤(2)中，正常情况下的控制器设计如下：

${\mathrm{\μ}}_0={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}-k_1\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jq}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2{q}^{T}q-k_3{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)$

其中，k₁>0，k₂>0，k₃>0，ε>0是一个任意小的常数；

故障情况下，控制器的电路性能异常，导致放大增益发生变化，控制器μ₀变为

${\mathrm{\μ}}_1={\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{J\ω}{k}_1^f\mathrm{J\ω}-\frac{1}{2}\mathrm{Jp}+\frac{\mathrm{J\ω}}{2({\mathrm{\ω}}^T\mathrm{\ω}+\mathrm{\ϵ})}(-k_2^f{q}^{T}q-k_3^f{\tilde{q}}_4^T{\tilde{q}}_4)$

其中，均表示故障下的增益系数，这使得控制器的输出偏离正常值。

4.如权利要求1所述的航天器姿态控制***的间歇性故障容错分析方法，其特征在于：所述步骤(4)中，容错判断准则适用于任意时刻，即在任意t时刻，如果存在一个常数β>0，使得

$e^{-{\mathrm{\η}}_0{\mathrm{\Δt}}_1+{\mathrm{\η}}_1{\mathrm{\Δt}}_2}\≤{\mathrm{\βe}}^{(\widetilde{\mathrm{\λ}}-\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}})t},$ $\∀t\≥0$

那么航天器姿态控制***在间歇性故障的作用下依然是稳定的。