CN102737253B - 一种sar图像目标识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种SAR图像目标识别方法，本发明的方法利用稀疏表示理论将目标数据表示为训练样本的线性组合，通过求解最优化问题得到了具有可区分能力的近似非负稀疏系数，然后基于各类别系数和的大小确定样本的类别。本发明的方法训练样本系数值的大小反应了目标数据与该训练样本的相似性程度，系数值越大相似性越高，反之则相似性越低，因此实际上目标数据对应系数的大小在某种程度上可以体现目标数据的真实类别；而且通过非负约束保证测试图像均为各训练样本的非负加权和，使其具有更加可以解释的意义，同时也更有利于识别。

Description

一种SAR图像目标识别方法

技术领域

本发明属于合成孔径雷达(SAR,Synthetic Aperture Radar)自动目标识别技术领域，具体涉及一种SAR图像目标识别方法。

背景技术

SAR相对于普通的光学成像等***，对地面目标特别是地面静止目标具有强大的成像优势，作为一种重要的目标探测手段受到广泛的关注和研究。随着SAR成像体制方式的不断创新和发展，各种不同应用的SAR***开始丰富起来，且成像功能及效果也不断增强和完善，利用这些强大的成像***我们获得了大量的探测数据。这些数据在为我们提供对目标更加准确全面的探测结果的同时，也使人们面临着如何从大量探测数据中及时而准确地提取有用信息的困境，单纯依靠人工辨识已经无法跟上数据源膨胀的节奏。当前SAR图像解译***的发展已经远滞后于信息源的获取能力，SAR图像自动目标识别作为SAR图像解译和分析的重要组成部分，具有重要的民用和军事价值，日益成为国内外图像处理和模式识别领域的研究热点。

SAR图像与平台的俯仰角、成像的方位角、目标的电磁散射特性、回波的噪声分布等诸多因素有关，所以SAR图像本身具有复杂的图像特点，将稀疏表示应用于SAR图像目标识别时需要设计针对SAR图像特点的识别算法；另外目前采用的稀疏表示重建算法大多没有对求解的结果增加非负的约束，导致系数向量中存在负系数，例如基追踪(Basis Pursuit,BP)、匹配追踪(Matching Pursuit，MP)、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)、梯度投影(Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR)等算法得到的系数向量中都可能存在负系数，虽然负系数也体现了该训练样本与目标数据之间的某种对应关系，但是这些负系数在样本之间的稀疏表示过程中将可能会产生复杂的减性关系，而不具备目标识别中由局部累加为一个整体的直观性，且应用中难以对这些负系数赋予明确的意义使之便于理解，这些不利因素综合起来将最终降低SAR图像目标识别性能。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有的SAR图像目标识别存在的上述问题，提出一种SAR图像目标识别方法。

本发明的技术方案是：一种SAR图像目标识别方法，具体包括如下步骤：

S1.将k类训练样本的特征向量组成矩阵Θ=[Θ₁,Θ₂,...,Θ_i,...,Θ_k]，其中，第i类目标的n_i个训练样本的特征向量组成矩阵的列向量集

令n=k×n_i，可得Θ∈R^m×n，矩阵的列向量

为SAR图像训练样本的m维特征向量，任一目标数据的特征向量y∈R^m，其中

表示m×n_i维实数数组，R^m×n表示m×n维实数矩阵，R^m表示m维实数向量；

S2.1.将目标数据表示成训练样本的线性组合，得到目标数据和训练样本之间的稀疏表示模型，即:

y=Θα

其中，α∈Rⁿ且α为线性表示的系数向量；

S2.2.将式y=Θα的求解转化为最小l1范数凸优化问题，并对系数向量α施加非负约束，则求解y=Θα的非负稀疏重建模型为：

${\widehat{\mathrm{\α}}}_1=\arg \min {\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|}_1$

s.t.||Θα-y||₂≤ε

α≥0

其中，

表示稀疏表示的非负系数向量，ε>0为重建结果允许的误差上限，

所述

的具体计算过程如下：

对

的求解形式可转化为：

$\underset{\mathrm{\α}}{\min }\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θ\α}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\τ}{\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|}_1,$ 其中，τ为预先设置的调节系数，

由于限制α≥0，α直接表示为：

α=u,u≥0

所以 $\underset{\mathrm{\α}}{\min }\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θ\α}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\τ}{\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|}_1$ 可表示为：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θu}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)$

s.t.u≥0

其中，

为n个1组成的向量，T表示矩阵的转置运算，由于α=u，为实现正确的矩阵运算这里的n取α∈Rⁿ中的n同样大小。

有：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θu}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)$

$=\underset{u}{\min }({({\mathrm{\τ}1}_n-{\mathrm{\Θ}}^{T}y)}^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu})$

将 $\underset{u}{\min }({({\mathrm{\τ}1}_n-{\mathrm{\Θ}}^{T}y)}^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu})$ 重写为标准的BCQP形式有：

$\underset{z}{\min }{c}^{T}z+\frac{1}{2}{z}^T\mathrm{Bz}\≡F\left(z\right)$

s.t.z≥0

其中，

z=u,b=Θ^Ty,c=τ1_n-b,B=Θ^TΘ

目标函数F(z)的梯度方程为：

$\▿F\left(z\right)=c+\mathrm{Bz}$

利用梯度投影算法经过t次迭代求得稀疏解z^(t+1)，进而求得稀疏表示的非负系数向量的

S3.计算

中第i类上的系数之和：

$s_i\left(y\right)=\mathrm{sum}\left({\mathrm{\δ}}_i\left({\widehat{\mathrm{\α}}}_1\right)\right),(i=1,...,k)$

是实际情况下求得的系数向量，对于每一类i，构造函数δ_i提取第i类上的系数，对于

是保留α中第i类的系数，其它类对应的系数是赋值为0的向量，其中，s_i(y)是向量

的系数之和；

S4.输出目标数据类别identity(y)：将测试样本归类到样本系数之和最大的类别：

$\mathrm{identity}\left(y\right)=\arg \underset{i}{\max }\left(s_i\left(y\right)\right).$

本发明的有益效果：本发明的方法利用稀疏表示理论将目标数据表示为训练样本的线性组合，通过求解最优化问题得到了具有可区分能力的近似非负稀疏系数，然后基于各类别系数和的大小确定样本的类别，从以上介绍可以看出该方法有四个特点：其一，通过非负约束保证测试图像均为各训练样本的非负加权和，使其具有更加可以解释的意义，同时也更有利于识别；其二，训练样本系数值的大小反应了目标数据与该训练样本的相似性程度，系数值越大相似性越高，反之则相似性越低，因此实际上目标数据对应系数的大小在某种程度上可以体现目标数据的真实类别；其三，目标数据的类别不再依赖于单个或小部分训练样本，而是由所有训练样本系数的相对大小共同决定，避免了只由单个或小部分训练样本最终决定目标数据类别的偶然性；其四，当训练样本的种类或数量越多时，往往能够真正决定目标数据类别的训练样本数量相对却减少，也就是说与目标数据相关的训练样本在所有训练样本中所占的比例相对减少，因此稀疏表示越容易取得更稀疏的样本表示结果，也越有利于实现对样本的正确识别。这些特点为本发明设计的识别方法的可行性提供了保证，有利于本发明取得更好的识别率和鲁棒性。

附图说明

图1本发明的实施流程图。

图2总体系数分布情况。

图3单个目标数据的系数分布。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明。

利用稀疏表示的重建算法可以求解稀疏表示的系数向量α₀，理想情况下，系数向量α₀中只有与目标数据同类的第i类训练样本系数可能非0，其它类别训练样本对应的系数都为0，也就是说，目标数据基于全体训练样本的线性组合实际上只依赖于部分同类型的训练样本。

但是实际应用中受成像角度、噪声干扰、模型误差等因素影响，使得许多相对较小的非0系数分散到其它多个类上。但是总体上目标数据y所属类中仍然集中了多数相对较大的非0系数，也就是说对于可正确分类的情况，目标数据对应类别中的非0系数在所有非0系数中仍然占有主要的部分。由此可见稀疏表示的系数向量本身对目标数据类别具有可区分能力，这种系数向量的分布特点为识别方法的设计提供了指导。因此本发明利用该分布特点设计的分类算法为：首先计算每一类训练样本的系数之和，然后将目标数据归类到样本系数之和最大的类别。

本发明仅涉及SAR图像目标识别阶段的技术内容，但识别前进行简单的SAR预处理和特征提取，将更有利于提高目标识别的性能。因此在本发明中当提到训练样本和目标数据时，均指代其对应的特征向量。另外，训练样本中必须包含目标数据的相关类别。

下面结合附图，给出本发明的具体实施过程：

S1.根据目标数据选取训练样本，训练样本包含目标数据类型。将k类训练样本的特征向量组成矩阵Θ=[Θ₁,Θ₂,...,Θ_i,...,Θ_k]，其中第i类目标的n_i个训练样本的特征向量组成矩阵的列向量集

令n=k×n_i，可得Θ∈R^m×n，矩阵的列向量

为SAR图像训练样本的m维特征向量，任一目标数据的特征向量y∈R^m，其中

表示m×n_i维实数数组，R^m×n表示m×n维实数矩阵，R^m表示m维实数向量；

S2.1.目标数据y在全体训练样本下的线性表示为：

$y={\mathrm{\α}}_{\mathrm{1,1}}{v}_{\mathrm{1,1}}+{\mathrm{\α}}_{\mathrm{1,2}}{v}_{\mathrm{1,2}}+\·\·\·+{\mathrm{\α}}_{i,n_i}{v}_{i,n_i}$

即：y=Θα，其中，

是理想情况下稀疏表示的系数向量，α中只有与目标数据同类的第i类训练样本系数可能非0，其它类系数都为0，也就是说，目标数据基于全体训练样本的线性组合实际上只依赖于部分同类的训练样本。实际应用中受成像角度、噪声干扰、模型误差等因素影响，使得许多相对较小的非0系数分散到其它多个类上。但是总体上目标数据y所属类中仍然集中了多数相对较大的非0系数，也就是说对于可正确分类的情况，目标数据对应类别的训练样本中的非0系数在所有非0系数中仍然占有主要的部分。

S2.2.通过非负稀疏重建算法求解下列最小l₁范数问题，可以获得稀疏表示的非负系数向量

${\widehat{\mathrm{\α}}}_1=\arg \min {\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|}_1$

s.t.||Θα-y||₂≤ε   (1)

α≥0

本发明在GPSR算法的基础上推导出非负梯度投影稀疏重建算法(Non-negative GradientProjection for Sparse Reconstruction，GPSR)对该问题进行求解。通过NGPSR算法就可以获得非负系数向量

该方法对公式(1)的求解形式可以转化为：

$\underset{\mathrm{\α}}{\min }\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θ\α}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\τ}{\left|\right|\mathrm{\α}\left|\right|}_1---\left(2\right)$

式中α∈Rⁿ，||z||₂=(∑(z_i)²)^1/2表示z的欧几里德范数，||z||₁=∑|z_i|表示z的l₁范数。

是为了优化稀疏表示的误差，||α||₁是为了优化系数向量的稀疏性，τ为预先设置的调节系数，具体为非负常数，其作用是为了调节两者在整体优化结果中的比重。l₁范数形式将引导向量α中值较小的系数逐渐趋向于零，最终促进解向量α的稀疏性，这种性质使得公式在统计学和信号处理中稀疏性问题方面占有重要地位。

由于限制α≥0，α可以直接表示为：

α=u,u≥0   (3)

因此

其中，

为n个1组成的向量，由于α=u，为了实现正确的向量运算，这里的n与向量α∈Rⁿ中的n取同样大小。所以式(2)又可以描述为如下边界受限的二次方程(Bound-Constrained Quadratic Program,BCQP)：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θu}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)---\left(4\right)$

s.t.u≥0

经推导，有：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\Θu}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)$

$=\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{(y-\mathrm{\Θu})}^T(y-\mathrm{\Θu})+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)$

$=\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{y}^{T}y-\frac{1}{2}{y}^T\mathrm{\Θu}-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^{T}y-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu}+{\mathrm{\τ}1}_n^{T}u)---\left(5\right)$

$=\underset{u}{\min }({\mathrm{\τ}1}_n^{T}u-y^T\mathrm{\Θu}-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu}+\frac{1}{2}{y}^{T}y)$

$=\underset{u}{\min }({({\mathrm{\τ}1}_n-{\mathrm{\Θ}}^{T}y)}^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu})$

则式(4)等价于：

$\underset{u}{\min }{({\mathrm{\τ}1}_n-{\mathrm{\Θ}}^{T}y)}^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\Θ}}^T\mathrm{\Θu}---\left(6\right)$

s.t u≥0

式(6)也可重写为如下更标准的BCQP形式：

$\underset{z}{\min }{c}^{T}z+\frac{1}{2}{z}^T\mathrm{Bz}\≡F\left(z\right)---\left(7\right)$

s.t.z≥0

其中，

z=u,b=Θ^Ty,c=τ1_n-b,B=Θ^TΘ

式(7)中目标函数的梯度方程为：

$\▿F\left(z\right)=c+\mathrm{Bz}---\left(8\right)$

下面将利用梯度投影算法(Gradient Projection，GP)求解式(7)，进而求得稀疏表示的非负系数向量的

GP算法按照下面描述的公式从z^(t)迭代到z^(t+1)。首先选择参数ρ^(t)>0，并设：

$w^{\left(t\right)}={(z^{\left(t\right)}-{\mathrm{\ρ}}^{\left(t\right)}\▿F\left(z^{\left(t\right)}\right))}_{+}---\left(9\right)$

其中，(·)₊为取正算子，定义为(α)₊=max{0,α}。然后选择第二个标量参数λ^(t)∈[0,1]，并设：

z^(t+1)=z^(t)+λ^(t)(w^(t)-z^(t))   (10)

该算法的关键在于参数ρ^(t)和λ^(t)的计算，下面将详细描述。

在该方法中z^(t)的迭代搜索沿着负梯度方向

可以沿着该方向估计出ρ^(t)的一个初始值使得F尽量最小，并且不会遇到新的边界。

首先定义向量g^(t)为：

$g_i^{\left(t\right)}=\left\{\begin{array}{ccc}{(\&dtri;F\left(z^{\left(t\right)}\right))}_i& \mathrm{if}& z_i^{\left(t\right)}>0\mathrm{or}{(\&dtri;F\left(z^{\left(t\right)}\right))}_i<0\\ 0& & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(11\right)$

然后估算ρ^(t)的初始值：

${\mathrm{\&rho;}}_0=\arg \underset{\mathrm{\&rho;}}{\min }F(z^{\left(t\right)}-{\mathrm{\&rho;g}}^{\left(t\right)})---\left(12\right)$

或者通过下列公式准确计算：

${\mathrm{\&rho;}}_0=\frac{{\left(g^{\left(t\right)}\right)}^T{g}^{\left(t\right)}}{{\left(g^{\left(t\right)}\right)}^T{\mathrm{Bg}}^{\left(t\right)}}---\left(13\right)$

为了防止ρ₀过大或过小，将ρ₀限定在区间[ρ_min,ρ_max](0<ρ_min<ρ_max)内，并定义算子mid(a,b,c)为这三个标量值的中值。

综上所述，利用GP算法的求解步骤描述如下：

(1)设置z⁽⁰⁾的初始值，选择参数β∈(0,1)，

并设t=0。

(2)利用式(13)计算ρ₀，并用mid(ρ_min,ρ₀,ρ_max)替代ρ₀。

(3)在数字序列ρ₀,βρ₀,β²ρ₀,…选择第一个满足下列不等式的常数等于ρ^(t)

$F\left({(z^{\left(t\right)}-{\mathrm{\&rho;}}^{\left(t\right)}\&dtri;F\left(z^{\left(t\right)}\right))}_{+}\right)\&le;F\left(z^{\left(t\right)}\right)$

$-\mathrm{\&mu;}\&dtri;F{\left(z^{\left(t\right)}\right)}^T(z^{\left(t\right)}-{(z^{\left(t\right)}-{\mathrm{\&rho;}}^{\left(t\right)}\&dtri;F\left(z^{\left(t\right)}\right))}_{+})$

并令 $z^{(k+1)}={(z^{\left(k\right)}-{\mathrm{\&rho;}}^{\left(k\right)}\&dtri;F\left(z^{\left(k\right)}\right))}_{+}.$

(4)利用终止条件判断是否收敛：如果是，则结束循环，并得到稀疏解z^(t+1)；否则令t←t+1并返回步骤(2)。

S3.计算

中第i类上的系数之和：

$s_i\left(y\right)=\mathrm{sum}\left({\mathrm{\&delta;}}_i\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_1\right)\right),(i=1,...,k)$

是实际情况下求得的系数向量，对于每一类i，构造函数δ_i提取第i类上的系数，对于

是保留α中第i类的系数，其它类对应的系数赋值为0的向量，其中，s_i(y)是向量

的系数之和。

S4.输出目标数据类别：将测试样本归类到样本系数之和最大的类别。

$\mathrm{identity}\left(y\right)=\arg \underset{i}{\max }\left(s_i\left(y\right)\right).$

本发明的实验数据是MSTAR计划录取的实测SAR地面静止军用目标数据。包括3大类：BMP2（装甲车）、BMP70（装甲车）、T72(主战坦克)，成像分辨率是0.3m×0.3m，方位角覆盖范围是0～360°，图像大小为128×128。实验使用该计划推荐的训练样本是目标在俯仰角为17°时的成像数据，目标数据是目标在俯仰角为15°时的成像数据。其中，目标数据集中的3大类包含6个型号，相同类型不同信号的目标在配置上有些差别，如表1所示为本实验中训练样本和目标数据的类别及其对应的图像数量。

表1

图2表明当目标数据的类别分别为BMP2、BTR70和T72时的总体系数分布情况，这里对目标数据的系数向量的绝对值之和做了归一化处理。由图可以看出，目标数据在相同类别训练样本上的系数分布数值更大，密度更集中，从总体上直观地反应出本发明可以实现对目标的有效识别。

图3是在三类目标中任意抽取的单个目标数据的系数分布。图3(a)是预处理后分割出的图像切片，图3(b)是图像切片基于训练样本的系数分布。可以看出单个目标数据时，系数向量的分布同样集中于与之类别相同的训练样本上，因此将目标数据归类为样本系数之和最大的类别将有利于实现对目标的正确识别。另外注意到系数分布图内的图像切片对应于系数值最大的训练样本，可以看出该训练样本与目标数据在目标形状和散射分布上都很相似，这说明系数向量中的系数值大小反应了目标数据与训练样本之间的相似程度。

表2给出了本发明基于表1实验数据的识别率情况，可以看出本发明对三类典型目标均取得了很高的识别率，同时与其它几种识别方法作对比可看出其平均识别率明显高于其他几种。

表2

本发明利用稀疏表示理论将目标数据表示为训练样本的线性组合，通过求解最优化问题得到了具有可区分能力的非负稀疏系数，分析了该非负稀疏系数在训练样本上的分布特性，从理论和实验两方面研究了该识别方法的原理和可行性。实验结果表明，本发明的可以实现对目标的有效识别，能明显提高对目标的正确识别率。

综上可以看出本发明在GPSR算法的基础上对目标数据的稀疏系数施加非负的约束，推导了一种非负梯度投影稀疏重建算法以保证测试图像均为各训练样本的非负加权和，使其具有更加可以解释的意义，同时也更有利于识别，最后利用重建的非负系数设计了识别算法实现对SAR图像的有效识别。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的基于MSTRA的实验是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实验。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种SAR图像目标识别方法，具体包括如下步骤：

S1.将k类训练样本的特征向量组成矩阵Θ=[Θ₁,Θ₂,...,Θ_i,...,Θ_k]，其中，第i类目标的n_i个训练样本的特征向量组成矩阵的列向量集

令n=k×n_i，可得Θ∈R^m×n，矩阵的列向量

为SAR图像训练样本的m维特征向量，任一目标数据的特征向量y∈R^m，其中

表示m×n_i维实数数组，R^m×n表示m×n维实数矩阵，R^m表示m维实数向量；

S2.1.将目标数据表示成训练样本的线性组合，得到目标数据和训练样本之间的稀疏表示模型，即:

y=Θα

其中，α∈Rⁿ且α为线性表示的系数向量；

S2.2.将式y=Θα的求解转化为最小l₁范数凸优化问题，并对系数向量α施加非负约束，则求解y=Θα的非负稀疏重建模型为：

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_1=\arg \min {\left|\right|\mathrm{\&alpha;}\left|\right|}_1$

s.t.||Θα-y||₂≤ε

α≥0

其中，

表示稀疏表示的非负系数向量，ε>0为重建结果允许的误差上限，

所述

的具体计算过程如下：

对

的求解形式可转化为：

$\underset{\mathrm{\&alpha;}}{\min }\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\&Theta;\&alpha;}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\&tau;}{\left|\right|\mathrm{\&alpha;}\left|\right|}_1,$ 其中，τ为预先设置的调节系数，

由于限制α≥0，α直接表示为：

α=u,u≥0

所以 $\underset{\mathrm{\&alpha;}}{\min }\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\&Theta;\&alpha;}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\&tau;}{\left|\right|\mathrm{\&alpha;}\left|\right|}_1$ 可表示为：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\&Theta;u}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&tau;}1}_n^{T}u)$

s.t.u≥0

其中，

为n个1组成的向量，T表示矩阵的转置运算，由于α=u，为实现正确的矩阵运算这里的n取α∈Rⁿ中的n同样大小；

有：

$\underset{u}{\min }(\frac{1}{2}{\left|\right|y-\mathrm{\&Theta;u}\left|\right|}_2^2+{\mathrm{\&tau;}1}_n^{T}u)$

$=\underset{u}{\min }({({\mathrm{\&tau;}1}_n-{\mathrm{\&Theta;}}^{T}y)}^{T}u-\frac{1}{2}{u}^T{\mathrm{\&Theta;}}^T\mathrm{\&Theta;u})$

将

重写为标准的边界受限的二次方程形式有：

$\underset{z}{\min }{c}^{T}z+\frac{1}{2}{z}^T\mathrm{Bz}\&equiv;F\left(z\right)$

s.t.z≥0

其中，

z=u,b=Θ^Ty,c=τ1_n-b,B=Θ^TΘ

目标函数F(z)的梯度方程为：

$\&dtri;F\left(z\right)=c+\mathrm{Bz}$

利用梯度投影算法经过t次迭代求得稀疏解z^(t+1)，进而求得稀疏表示的非负系数向量的

S3.计算

中第i类上的系数之和：

$s_i\left(y\right)=\mathrm{sum}\left({\mathrm{\&delta;}}_i\left({\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_1\right)\right),(i=1,...,k)$

是实际情况下求得的系数向量，对于每一类i，构造函数δ_i提取第i类上的系数，对于

是保留α中第i类的系数，其它类对应的系数是赋值为0的向量，其中，s_i(y)是向量

的系数之和；

S4.输出目标数据类别identity(y)：将测试样本归类到样本系数之和最大的类别：

$\mathrm{identity}\left(y\right)=\arg \underset{i}{\max }\left(s_i\left(y\right)\right).$

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