CN102707664B - 一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法，包括以下步骤：获取五轴加工刀具在单位球面上的离散姿态矢量与位置矢量，根据离散姿态矢量获得变换四元数，利用最小二乘法对变换四元数在四元数空间内进行参数插值优化，以得到优化后的单位四元数，根据优化后的单位四元数获得优化后的离散姿态矢量，离散姿态矢量位于单位球面上，采用最小二乘法对位置矢量进行插值优化，通过插值优化的位置矢量与优化后的离散姿态矢量获得平滑的加工路径，将平滑的加工路径输入五轴数控机床，从而实现对工件的加工。本发明能够对单位球面上离散的姿态点插值，以形成一条连续平滑的轨迹，并能利用平滑的轨迹进行实际切削，以提高加工精度。

Description

一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法

技术领域

本发明属于计算机数控加工技术领域，更具体地，涉及一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法。

背景技术

五轴联动数控加工相对于传统的三轴联动数控加工，在提高加工质量、降低加工成本和减少加工时间等方面有着明显的优势。其加工路径的生成对加工效率和加工质量影响巨大。在五轴联动数控加工中加工路径包括两部分：一是刀触点的平动，其实质是空间中质点的运动；二是刀轴的转动，也就是刀具姿态的变化，由于刀具姿态可以用单位矢量来表示，因此姿态变化的实质是单位球面上质点的运动。

在五轴加工中，虽然可以实时调整刀具姿态以避免刀具的干涉和碰撞，且可将刀具相对工件表面处于最有效地切削状态，但同时必须实时地确定每个插补周期刀具的姿态。给定一系列的刀具姿态点矢量，这些姿态点矢量可以看成是单位球面上的离散点，对这些离散点进行插值运算以生成一条连续的轨迹有很多种方法，如拉格朗日多项式插值、参数三次曲线等，但这些方法不能保证生成的曲线仍在单位球面上，更重要的是这些生成的曲线不连续且不平滑，由此导致刀具加工的精度偏低。

发明内容

针对现有技术的缺陷，本发明的目的在于提供一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法，其能够对单位球面上离散的姿态点插值，以形成一条连续平滑的轨迹，利用该平滑的轨迹进行实际切削可以提高加工精度。

为实现上述目的，本发明提供了一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法，包括以下步骤：

（1）获取五轴加工刀具在单位球面上的离散姿态矢量P_i'＝P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk与位置矢量，其中i、j和k为基本矢量，P_i′x、P_i′y、P_i′z分别为离散姿态矢量P_i'在X、Y、Z轴三个方向的分量值；

（2）根据离散姿态矢量P_i'获得变换四元数Q_i′；

（3）利用最小二乘法对变换四元数Q_i'在四元数空间内进行参数插值优化，以得到优化后的单位四元数Q′_i′；

（4）根据优化后的单位四元数Q′_i′获得优化后的离散姿态矢量P′_i′，离散姿态矢量P′_i′位于单位球面上；

（5）采用最小二乘法对位置矢量进行插值优化；

（6）通过插值优化的位置矢量与优化后的离散姿态矢量获得平滑的加工路径。

本发明的方法还包括：在步骤（6）以后，将平滑的加工路径输入五轴数控机床，从而实现对工件的加工。

步骤（2）进一步包括：

获取与离散姿态矢量P_i'xi+P_i′y+jP_i和基本矢量i垂直的矢量S_i'xi+S_i′yj+S_i′zk＝i×(P_i′xi+P_i′yj+P_i′zk)＝P_i′yk-P_i zj,其中S_i′x、S_i′y和S_i′z是矢量垂直的矢量在X、Y、Z轴三个方向的分量值，将矢量单位化得到：

$S_{i^{\′}x}i+S_{i^{\′}y}j+S_{i^{\′}z}k=\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}j;$

利用离散姿态矢量P_i'xi+P_i′yj+P_i'zk与基本矢量i间的夹角关系θ得到变换四元数Q_i′： $Q_{i^{\′}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)(1+\frac{P_{i^{\′}y}}{1+P_{i^{\′}x}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{1+P_{i^{\′}x}}j);$

将变换四元数Q_i'进一步表示为Q_i′＝a_i′0+a_i′xi+a_i′yj+a_i′zk，具体为：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=a_{10}+a_{1x}i+a_{1y}j+a_{1z}k\\ Q_2=a_{20}+a_{2x}i+a_{2y}j+a_{2z}k\\ ......\\ Q_m=a_{m0}+a_{\mathrm{mx}}i+a_{\mathrm{my}}j+a_{\mathrm{mz}}k\end{array}\right.;$

对比上述两个等式中的系数，以得到数集： $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10},a_{20},...,a_{m0};\\ a_{1x},a_{2x},...,a_{\mathrm{mx}};\\ a_{1y},a_{2y},...,a_{\mathrm{my}};\\ a_{1z},a_{2z},...,z_{\mathrm{mz}};\end{array}\right.,$ 将该数集拟合成一条曲线。

步骤（3）进一步包括：

用最小二乘法对拟合的曲线进行优化，以得到一条新的曲线；

取该曲线上离散的点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},z_{2z}^{\′},...,z_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 作为优化后的点集；

将优化后的离散点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},z_{2z}^{\′},...,z_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 替换原数集，以得到优化后的一系列Q′_i′值：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1^{\′}=a_{10}^{\′}+a_{1x}^{\′}i+a_{1y}^{\′}j+a_{1z}^{\′}k\\ Q_2^{\′}=a_{20}^{\′}+a_{2x}^{\′}i+a_{2y}^{\′}j+a_{2z}^{\′}k\\ ......\\ Q_m^{\′}=a_{m0}^{\′}+a_{\mathrm{mx}}^{\′}i+a_{\mathrm{my}}^{\′}j+a_{\mathrm{mz}}^{\′}k\end{array}\right.$

步骤（4）进一步包括：根据优化后的一系列Q′_i′值和姿态变化表达式

获得优化后的离散姿态矢量P′_i′，其中

与Q′_i′互为共轭。

通过本发明所构思的以上技术方案，与现有技术相比，具有以下的有益效果：

1）本发明利用四元数代数可以方便处理刚体空间旋转问题这个巨大优势，将刀具姿态插值优化问题转化为四元数代数计算问题；

2）首先获取一系列离散的刀具姿态矢量，利用四元数物理含义获得一系列单位四元数，在四元数空间中对其进行优化，从而到更加平滑连续的球面姿态曲线，利用优化后的姿态曲线可获得更加平滑的加工路径；

3）采用优化的加工路径加工工件可以降低切削力的变化，避免震动和过切的发生，从而提高了加工精度。

附图说明

图1是本发明对五轴加工刀具平滑加工路径的方法的流程图。

图2是优化前后变换四元数的四个元素a_io、a_ix、a_iy、a_iz对比图。

图3是优化前后的离散姿态矢量在三维坐标系中的对比示意图。

图4是优化前后的离散姿态矢量在单位球面上的曲线图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

由于刀具姿态曲线是四元数空间Q⁴上的曲线，因此刀具的k阶平滑性（即C^k，k≥1）不能由三维向量空间上的度量来确定，而应该由四元数空间Q⁴上的度量来确定。

本发明对五轴加工刀具平滑加工路径的方法包括以下步骤：

（1）获取五轴加工刀具在单位球面上的离散姿态矢量P_i'＝P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk和位置矢量，其中i’=1,2，...,m，m为离散姿态矢量的数量，i、j和k为基本矢量，P_i′x、P_i′y、P_i'z分别为离散姿态矢量P_i′在X、Y、Z轴三个方向的分量值；

（2）根据离散姿态矢量P_i'获得变换四元数Q_i′；

具体而言，首先获取与离散姿态矢量P_i′xi+P_i′yj+P_i′zk和基本矢量i垂直的矢量S_i'xi+S_i'yj+S_i′zk＝i×(P_i′xi+P_i′yj+P_i′zk)＝P_i′yk-P_i′zj,其中S_i′x、S_i′y和S_i′z是矢量垂直的矢量在X、Y、Z轴三个方向的分量值，将矢量单位化得到：

$S_{i^{\′}x}i+S_{i^{\′}y}j+S_{i^{\′}z}k=\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}j.$

然后，利用离散姿态矢量P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk与基本矢量i间的夹角关系：i·(P_i′xi+P_i′yj+P_i′zk)＝P_i′x＝cosθ，得到基本矢量i绕自身旋转θ角，基本矢量i再绕矢量S_i'xi+S_i'yj+S_i'zk旋转θ角的四元数表示，即变换四元数Q_i′：

$Q_{i^{\′}}=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)[\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}(S_{i^{\′}x}i+S_{i^{\′}y}j+S_{i^{\′}z}k)]$

$=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)[\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos \mathrm{\θ})}+\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos \mathrm{\θ})}(\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}j)]$

$=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)[\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}+\sqrt{\frac{1}{2}(1-P_{i^{\′}x})}(\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}j)]$

$=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)[\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}+\sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}}}j)]$

$=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)[\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}+\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{2(1+P_{i^{\′}x})}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{2(1+P_{i^{\′}x})}}j]$

$=(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)\left[\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}(1+\frac{P_{i^{\′}y}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}}}j)\right]$

$=\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)(1+\frac{P_{i^{\′}y}}{1+P_{i^{\′}x}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{1+P_{i^{\′}x}}j)$

将Q_i'中的

用φ代替，可得到：

$Q_{i^{\′}}=\±\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}(\cos \mathrm{\φ}+i\sin \mathrm{\φ})(1+\frac{P_{i^{\′}y}}{1+P_{i^{\′}x}}j-\frac{P_{i^{\′}z}}{1+P_{i^{\′}x}}k)---\left(1\right)$

在四元数空间内，式（1）中的变换四元数Q_i′可进一步表示为Q_i'＝a_i′0+a_i'xi+a_i′yj+a_i'zk，其中，a_i′0、a_i′x、a_i′y、a_i'z∈R¹，其中R¹代表一维向量空间，a_i′0、a_i′x、a_i′y、a_i′z为变换四元数Q_i′中的四个元素，刀具姿态曲线的平滑性可以由R¹×R¹×R¹×R¹上的度量来确定。

由Q_i'＝a_i′0+a_i′xi+a_i′yj+a_i′zk具体可得到：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=a_{10}+a_{1x}i+a_{1y}j+a_{1z}k\\ Q_2=a_{20}+a_{2x}i+a_{2y}j+a_{2z}k\\ ......\\ Q_m=a_{m0}+a_{\mathrm{mx}}i+a_{\mathrm{my}}j+a_{\mathrm{mz}}k\end{array}\right.---\left(2\right)$

对比式（1）和（2）中的系数，可以得到数集： $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10},a_{20},...,a_{m0};\\ a_{1x},a_{2x},...,a_{\mathrm{mx}};\\ a_{1y},a_{2y},...,a_{\mathrm{my}};\\ a_{1z},a_{2z},...,z_{\mathrm{mz}};\end{array}\right.,$ 该数集可以拟合成一条曲线；

（3）利用最小二乘法对变换四元数Q_i'在四元数空间内进行参数插值优化，以得到优化后的单位四元数Q′_i′；

具体而言，用最小二乘法对步骤（2）中拟合的曲线进行优化，得到一条新的曲线，取该曲线上离散的点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},z_{2z}^{\′},...,z_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 作为优化后的点集，将优化前后的四条曲线对比显示，如图2所示，粗线为优化前数据，细线为优化后数据，可以看出优化后的曲线要更加平滑。

将优化后的离散点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},z_{2z}^{\′},...,z_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 替换式（2）中的系数，可得到优化后的一系列Q′_i'值：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1^{\′}=a_{10}^{\′}+a_{1x}^{\′}i+a_{1y}^{\′}j+a_{1z}^{\′}k\\ Q_2^{\′}=a_{20}^{\′}+a_{2x}^{\′}i+a_{2y}^{\′}j+a_{2z}^{\′}k\\ ......\\ Q_m^{\′}=a_{m0}^{\′}+a_{\mathrm{mx}}^{\′}i+a_{\mathrm{my}}^{\′}j+a_{\mathrm{mz}}^{\′}k\end{array}\right.---\left(3\right)$

（4）根据优化后的单位四元数Q′_i′获得优化后的离散姿态矢量P′_i′，离散姿态矢量P′_i′位于单位球面上；

具体而言，将式（3）代入姿态变化表达式

中，以解出优化后的离散姿态矢量P′_i′，其中

与Q′_i'互为共轭。

图3是优化前后刀具的离散姿态矢量在三维坐标系中的对比显示图，同时参考图4，其中实线表示优化之前的离散姿态矢量，点线为优化后的离散姿态矢量，可以清晰的看出，优化前后的离散姿态矢量都在单位球面上，而优化后的离散姿态矢量曲线更加平滑。

（5）采用最小二乘法对位置矢量进行插值优化；

（6）通过插值优化的位置矢量与优化后的离散姿态矢量获得平滑的加工路径；

在数控加工中，加工路径是由一系列的刀位点组成的，每一个刀位点可由刀具的位置矢量和离散姿态矢量定义。

在Visual C++环境下，使用ACIS工具包将原始的离散刀位点可视化，可以看出其走刀不够平滑，存在角加速度大的情况，对加工不利，而对比优化后的加工路径，其平滑性得到很大的提升。

（7）将平滑的加工路径输入五轴数控机床，从而实现对工件的加工。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种对五轴加工刀具平滑加工路径的方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）获取五轴加工刀具在单位球面上的离散姿态矢量P_i'=P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk与位置矢量，其中i、j和k为基本矢量，P_i'x、P_i'y、P_i'z分别为离散姿态矢量P_i'在X、Y、Z轴三个方向的分量值；

（2）根据离散姿态矢量P_i'获得变换四元数Q_i'，具体包括：

获取与离散姿态矢量P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk和基本矢量i垂直的矢量S_i'xi+S_i'yj+S_i'zk=i×(P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk)=P_i'yk-P_i'zj,其中S_i'x、S_i'y和S_i'z是矢量垂直的矢量在X、Y、Z轴三个方向的分量值，将矢量单位化得到： $S_{i^{\′}x}i+S_{i^{\′}y}j+S_{i^{\′}z}k=\frac{P_{i^{\′y}}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}k-\frac{P_{i^{\′z}}}{\sqrt{1-P_{i^{\′}x}^2}}j;$

利用离散姿态矢量P_i'xi+P_i'yj+P_i'zk与基本矢量i间的夹角关系θ得到变换四元数Q_i'： $Q_{i^{\′}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+P_{i^{\′}x})}(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}i)(1+\frac{P_{i^{\′}y}}{1+P_{i^{\′}x}}k-\frac{P_{i^{\′}z}}{1+P_{i^{\′}x}}j)---\left(1\right);$

将变换四元数Q_i'进一步表示为Q_i'=a_i'0+a_i'xi+a_i'yj+a_i'zk，具体为：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1=a_{10}+a_{1x}i+a_{1y}j+a_{1z}k\\ Q_2=a_{20}+a_{2x}i+a_{2y}j+a_{2z}k\\ ......\\ Q_m=a_{m0}+a_{\mathrm{mx}}i+a_{\mathrm{my}}j+a_{\mathrm{mz}}k\end{array}\right.---\left(2\right)$

对比上述等式（1）和（2）中的系数，以得到数集： $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10},a_{20},...,a_{m0};\\ a_{1x},a_{2x},...,a_{\mathrm{mx}};\\ a_{1y},a_{2y},...,a_{\mathrm{my}};\\ a_{1z},a_{2z},...,a_{\mathrm{mz}};\end{array}\right.,$ 将该数集拟合成一条曲线；

（3）利用最小二乘法对变换四元数Q_i'在四元数空间内进行参数插值优化，以得到优化后的单位四元数Q'_i'，具体包括：

用最小二乘法对拟合的曲线进行优化，以得到一条新的曲线；

取该曲线上离散的点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},a_{2z}^{\′},...,a_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 作为优化后的点集；

将优化后的离散点集 $\left\{\begin{array}{c}{a}_{10}^{\′},a_{20}^{\′},...,a_{m0}^{\′};\\ a_{1x}^{\′},a_{2x}^{\′},...,a_{\mathrm{mx}}^{\′};\\ a_{1y}^{\′},a_{2y}^{\′},...,a_{\mathrm{my}}^{\′};\\ a_{1z}^{\′},a_{2z}^{\′},...,a_{\mathrm{mz}}^{\′};\end{array}\right.$ 替换原数集，以得到优化后的一系列Q′_i'值：

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1^{\′}=a_{10}^{\′}+a_{1x}^{\′}i+a_{1y}^{\′}j+a_{1z}^{\′}k\\ Q_2^{\′}=a_{20}^{\′}+a_{2x}^{\′}i+a_{2y}^{\′}j+a_{2z}^{\′}k\\ ......\\ Q_m^{\′}=a_{m0}^{\′}+a_{\mathrm{mx}}^{\′}i+a_{\mathrm{my}}^{\′}j+a_{\mathrm{mz}}^{\′}k\end{array}\right.;$

（4）根据优化后的单位四元数Q'_i'获得优化后的离散姿态矢量P′_i'，离散姿态矢量P′_i'位于单位球面上，具体包括：

根据优化后的一系列Q′_i'值和姿态变化表达式

获得优化后的离散姿态矢量P′_i'，其中

与Q′_i'互为共轭；

（5）采用最小二乘法对位置矢量进行插值优化；

（6）通过插值优化的位置矢量与优化后的离散姿态矢量获得平滑的加工路径。

2.根据权力要求1所述的方法，其特征在于，还包括步骤：在步骤（6）之后，将平滑的加工路径输入五轴数控机床，从而实现对工件的加工。

Images