CN102594244B - 双馈风电机组一次调频联合控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双馈风电机组一次调频联合控制方法，利用连续Hopfield神经网络对PD控制器参数进行在线优化设计，建立了自适应能力较强的神经控制器，能实现转子动能和备用功率的联合控制，以频率变化最小作为目标函数，使网络权值对应于***状态变量，并将神经元的输出作为PD控制器的参数，通过目标函数表达式与能量函数表达式的结合得到参数的变化规律，进而根据规律寻找稳态的输出。本发明利用PSCAD/EMTDC仿真平台对神经联合控制策略进行了详细地仿真研究，并与传统频率控制策略进行了比较，结果表明Hopfield神经联合控制具有更好的一次调频控制效果。

Description

双馈风电机组一次调频联合控制方法

技术领域

本发明涉及双馈风电机组一次调频控制方法，用以研究利用风力发电机的控制提高电力***频率稳定性，属于风力发电技术领域。

背景技术

近年来，可再生能源的开发利用越来越受到世界各国的广泛重视，风能作为一种可持续发展的新能源，以其无污染性和可再生性，成为一种很有发展前途的绿色能源。风能和潮汐能、太阳能等能源相比，其利用率最高，具有可与常规发电方式比拟的竞争力。因此近几年来我国的风力发电产业得到了迅速的发展，风电装机容量不断提高。

在风力发电技术中，基于变速恒频双馈感应电机(DFIG)的风力发电***与传统的基于普通异步发电机的恒速恒频风力发电***相比具有明显的优势，因此已逐渐成为风电市场的主流机型。由于双馈风电机组控制***使其机械功率与***电磁功率的解耦、转速与***频率的解耦，风力机转子机械部分无法对***频率变化做出快速有效的响应，因此其旋转动能对***惯量的贡献几乎没有。大量的双馈风电机组接入电网替代部分常规发电机组，整个***的惯量必然会受到影响而相对减少。已知***的惯量与频率降低的变化率有关，在电网发生严重的频率降低事故时，惯量越低，***频率降低得越快，因此***的频率将更难控制。

如今，越来越多的电力公司提出了严格的风电场并网技术导则，频率控制能力是其中重要的技术要求之一。因此，要求风力发电能像常规发电厂一样具有参与电网一次频率的能力已成为一项重要而迫切的任务。

国内外对双馈风电机组频率控制方式的研究主要包括三种方法：1)转子动能控制。双馈风电机组的转子中储有大量的旋转动能，通过增加附加的频率控制环节控制转子转矩参考值，可实现在频率下降时降低转速，从而释放叶片中的动能提供频率支撑。2)备用功率控制。类似于同步发电机组运行时需要具有一定的备用容量，为了保证变速风机的功率储备，风机必须运行在不是最大风能追踪的工作点。一般可通过控制桨距角或调节功率转速曲线，来使风机卸载运行，使有功功率参考值低于最佳功率曲线，从而保证一次调频备用容量。在***频率大幅降低时，减小桨距角或运行至最优功率转速曲线上从而增加有功输出，参与一次调频。3)联合控制。同时考虑转子动能和备用功率控制。

传统的控制模式，包括转子动能控制、备用功率控制、以及普通联合控制，均需建立一个有效地***数学模型，而对于DFIG风电机组，由于风速的不确定性和电力电子模型的复杂性，模型趋向于非线性和时变性，建立一套详细完整的数学模型十分困难；另一方面，传统控制方法的控制参数一般是依据经验人为确定的，具有很大的主观性，而控制参数的变化对***控制特性影响较大，因此所得控制参数鲁棒性较差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种双馈风电机组频率控制方法，无需精确的数学模型即可执行控制功能，且其控制参数是根据***的运行结构实时计算得出的，具有强的适应性和鲁棒性。

为解决上述技术问题，本发明提供一种双馈风电机组一次调频联合控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)在双馈风机控制***中分别建立转子动能控制模块和备用功率控制模块，转子动能控制模块和备用功率控制模块的输入变量均为频率偏差，转子动能控制模块的输出变量为转矩参考值的修改量，备用功率控制模块的输入变量为桨距角参考值的修改量；

(2)建立Hopfield神经网络，确定控制对象***模型，且目标函数是电网发生频率偏移时***频率变化最小，使控制对象的状态变量对应于网络权值，并将神经元的输出作为PD控制器的参数；

(3)将目标函数表达式与标准能量函数表达式对应起来，推导得到连接权矩阵和网络的偏值表达式；

(4)将得到的连接权重矩阵和网络输入偏值矩阵代入Hopfield网络的动态方程中，并取神经元输出的非线性特性为对称型S非线性作用函数，推导得到控制器参数的变化规律。

本发明所达到的有益效果：发明的基于Hopfield神经网络的双馈风电机组一次调频联合控制方法，根据频率下降最小为目标采用Hopfield神经网络对控制器的参数进行了优化设计，可以更合理的安排转子动能控制和备用功率控制的联合调频。当***发生频率偏移时，风机即可实现释放储存在转子叶片中的旋转动能，并增加有功出力提供频率支撑，能进一步缓解***的频率下降。采用的Hopfield神经网络控制器实现了参数自适应的功能，不易受外界环境变化的影响，能很快适应***参数等发生的变化。

附图说明

图1为Hopfield神经联合控制示意图；

图2为四机两区域仿真***；

图3为PSCAD中的神经控制器A和神经控制器B示意图；

图4为神经控制器A中的Hopfield神经网络示意图；

图5为功率扰动各种策略下调频曲线比较示意图；

图6为风速扰动各种策略下调频曲线比较示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体叙述如下：

(1)技术方案的第一部分：综合考虑转子动能控制和备用功率控制，在双馈风机控制***中分别建立转子动能控制模块和备用功率控制模块(见附图1)。控制设计的核心是Hopfield神经控制器A和Hopfield神经控制器B，转子动能控制模块和备用功率控制模块输入变量均为频率偏差Δf，输出变量分别为转矩参考值的修改量ΔT_ref和桨距角参考值的修改量Δβ_ref，目的是优化联合控制的频率控制特性。

(2)技术方案的第二部分：建立Hopfield神经网络，确定控制对象***模型，并使网络权值已知，对应于控制对象的状态变量，将神经元的输出作为PD控制器参数，确定目标函数是频率变化最小。

由于电力电子变换器对电功率快速的控制，可以认为风电机组中频率控制环节整体所调节的转矩参考值修改量和桨距角参考值修改量与实际输出之间没有动态：

$\mathrm{\Δ}{T}_{\mathrm{ref}}=-K_{f1}\mathrm{\Δf}-K_{\mathrm{in}1}\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}---\left(1\right)$

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ref}}=-K_{f2}\mathrm{\Δf}-K_{\mathrm{in}2}\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}$

控制器A控制的对象可认为是 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}=K_A\mathrm{\Δ}{T}_{\mathrm{ref}}\\ y=f\end{array}\right.,$ 控制器B控制的对象可认为是 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}=K_B\mathrm{\Δ}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ref}}\\ y=f\end{array}\right.,$ 其中神经控制器A的参数A和神经控制器B的参数B可通过对简单的转子动能控制和简单的备用功率控制的运行参数进行简单辨识得到。其中f为***频率，Δf为频率偏差，ΔT_ref为转矩参考值修改量，Δβ_ref为桨距角参考值修改量，K_f1、K_in1分别为神经控制器A的比例调节系数与微分调节系数，K_f2、K_in2分别为神经控制器B的比例调节系数与微分调节系数，y为控制器的输出，K_A为控制器A的控制对象的参数，K_B为控制器B的控制对象的参数。

对控制器A、B的一般情况的***模型y(t)＝C[Ax(t)+Bu(t)]进行讨论，这样推导的结论具有一般性，模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}]\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，y(t)为***输出变量，x(t)为***状态变量，u(t)为***输入变量，A、B、C均为描述***模型的待定系数。

控制器采用PD控制器，其输出为：

$u\left(t\right)=k_{p}e\left(t\right)+k_d\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}---\left(3\right)$

式中，k_p、k_d为控制器比例调节系数和微分调节系数，e(t)为控制***误差，r(t)为额定频率，取恒值；y(t)为当前频率)，即：

e(t)＝r(t)-y(t)(4)

控制***的目标函数取：

$E=\frac{1}{2}{e}^2\left(t\right)---\left(5\right)$

将式(2)、(3)、(4)代入式(5)展开得：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{e}^2\left(t\right)=\frac{1}{2}{\{r\left(t\right)-C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)\left]\right\}}^2$

$=\frac{1}{2}{\{r\left(t\right)-C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+B(k_p\left(t\right)e\left(t\right)+k_d\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}})\left]\right\}}^2---\left(6\right)$

由于有两个控制器的参数即P、D参数，取Hopfield网络输出神经元数为2，即CHNN由两个神经元组成，CHNN在t时刻的输出为：

V(t)＝[V₁(t)，V₂(t)]^T＝[k_p(t)，k_d(t)]^T(7)

技术方案的第三部分：将目标函数表达式与标准能量函数表达式对应起来，推导得到连接权矩阵和网络偏值表达式。

令V₁＝k_p，V₂＝k_d，将E_N(t)展开得：

$E_N\left(t\right)=-\frac{1}{2}[w_{11}\left(t\right)k_p\left(t\right)k_p\left(t\right)+w_{12}\left(t\right)k_p\left(t\right)k_d\left(t\right)+w_{21}\left(t\right)k_d\left(t\right)k_p\left(t\right)---\left(8\right)$

$+w_{22}\left(t\right)k_d\left(t\right)k_d\left(t\right)]-k_p\left(t\right)I_1\left(t\right)-k_d\left(t\right)I_2\left(t\right)$

其中V₁、V₂分别为神经元1和神经元2的输出，w_ij为神经元i和神经元j的连接权值，I₁(t)、I₂(t)分别为神经元1和神经元2的阈值。

当Hopfield网络处于平衡状态时，能量函数最小，w₁₂＝w₂₁，此时：

$\frac{\∂E_N}{\∂k_p}=\frac{\∂E}{\∂k_p}=0---\left(9\right)$

$\frac{{\∂E}_N}{\∂k_d}=\frac{\∂E}{\∂k_d}=0$

其中E_N为网络的标准能量函数，E为目标函数，e为***偏差，x***状态，r为恒定输入。

由 $\frac{{\∂E}_N}{\∂k_p}=\frac{\∂E}{\∂k_p}=0$ 得：

$\frac{{\∂E}_N}{\∂k_p}=\frac{1}{2}({-2w}_{11}{k}_p-2w_{12}{k}_d)-I_1=0---\left(10\right)$

$\frac{\∂E}{\∂k_p}=\frac{1}{2}({2B}^2{C}^2{e}^2{k}_p+{2B}^{2}C{k}_{d}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}+2{\mathrm{ABC}}^2\mathrm{xe}-2\mathrm{BCre})=0---\left(11\right)$

由上面两式得：

ω₁₁＝-B²C²e²， ${\mathrm{\ω}}_{12}={\mathrm{\ω}}_{21}=-2B^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}},---\left(12\right)$

I₁＝-2ABC²ex+2BCre

同理由 $\frac{{\∂E}_N}{\∂k_d}=\frac{\∂E}{\∂k_d}=0$ 得：

${\mathrm{\ω}}_{22}=-B^2{C}^2{\left(\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}\right)}^2,$ ${\mathrm{\ω}}_{12}={\mathrm{\ω}}_{21}=-2B^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}},$ (13)

$I_2=-2{\mathrm{ABC}}^2\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}x+2\mathrm{BCr}\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}$

通过上面推导得到连接权矩阵W和网络的偏值(阈值)I如下：

$W=-\left[\begin{array}{cc}{\left[\mathrm{CBe}\left(t\right)\right]}^2& 2B^2{C}^{2}e\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\\ 2B^2{C}^{2}e\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}& {\left[\mathrm{CB}\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\right]}^2\end{array}\right]---\left(14\right)$

$I={\left[\begin{array}{c}-2A{\mathrm{BC}}^{2}e\left(t\right)x\left(t\right)+2\mathrm{BCr}\left(t\right)e\left(t\right)\\ -2{\mathrm{ABC}}^2\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}x\left(t\right)+2\mathrm{BCr}\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]}^T---\left(15\right)$

(3)技术方案的第四部分：将得到连接权重矩阵和网络输入偏值矩阵代入Hopfield网络的动态方程中，并取神经元输出的非线性特性为对称型S非线性作用函数，推导得到控制器参数的变化规律。

标准Hopfield网络的动态方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_i\frac{{\mathrm{du}}_i}{\mathrm{dt}}=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{ij}}{V}_j+I_i\\ V_i=f\left(u_i\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

取C_i＝1.0，将所求的W和I代入上式得：

$\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}=w_{11}{V}_1+w_{12}{V}_2+I_1$

$=-B^2{C}^2{e}^{2}g\left(u_1\right)+2B^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g\left(u_2\right)-2{\mathrm{ABC}}^2\mathrm{ex}+2\mathrm{BCre}---\left(17\right)$

$\frac{{\mathrm{du}}_2}{\mathrm{dt}}=w_{21}{V}_1+w_{22}{V}_2+I_2$

$=2B^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g\left(u_1\right)-B^2{C}^2{\left(\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}\right)}^{2}g\left(u_2\right)-2{\mathrm{ABC}}^2\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}x+2\mathrm{BCr}\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}$

其中w_ij为第i个神经元与第j个神经元的连接权值，I_i、u_i、V_i分别为第i个神经元的偏值、状态量和输出，f(u_i)为作用函数。

取神经元输出的非线性特性为对称型S非线性作用函数(增益K)：

$g\left(u_i\right)=K_i\frac{{1-e}^{-{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}{1+e^{-{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}=\frac{{2K}_i}{1+e^{-{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}-K_i,i=\mathrm{1,2}---\left(18\right)$

其中g(u_i)为作用函数，K_i为增益，β_i为参数。

网络的实际输出为：

k_p＝g(u₁)

            (19)

k_d＝g(u₂)

由于 $1+e^{-{\mathrm{\β}}_1{u}_1}=\frac{{2K}_1}{k_p+K_1},$ $1+e^{-{\mathrm{\β}}_2{u}_2}=\frac{{2K}_2}{k_d+K_2},$ 则有：

$\frac{{\mathrm{dk}}_p}{{\mathrm{du}}_1}=\frac{-2K_1{e}^{-{\mathrm{\β}}_1{u}_1}\left({-\mathrm{\β}}_1\right)}{{(1+e^{-{\mathrm{\β}}_1{u}_1})}^2}=2{\mathrm{\β}}_1{K}_1\frac{K_1-k_p}{k_p+K_1}\frac{{(k_p+K_1)}^2}{{\left({2K}_1\right)}^2}=\frac{{\mathrm{\β}}_1({K_1}^2-{k_p}^2)}{2K_1}$

$\frac{{\mathrm{dk}}_p}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{dk}}_p}{d{u}_1}\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}$

(20)

$=\frac{{\mathrm{\β}}_1({K_1}^2-{k_p}^2)}{2K_1}(-B^2{C}^2{e}^{2}g\left(u_1\right)+2B^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g\left(u_2\right)-2{\mathrm{ABC}}^2\mathrm{ex}+2\mathrm{BCre})$

同理可得：

$\frac{{\mathrm{dk}}_d}{{\mathrm{du}}_2}=\frac{{\mathrm{\β}}_2({K_2}^2-{k_d}^2)}{2K_2}---\left(21\right)$

$\frac{{\mathrm{dk}}_d}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{dk}}_d}{d{u}_2}\frac{{\mathrm{du}}_2}{\mathrm{dt}}$

$=\frac{{\mathrm{\β}}_2({K_2}^2-{k_d}^2)}{2K_2}({2B}^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g{\left(u_1\right)-B^2{C}^2\left(\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}\right)}^{2}g\left(u_2\right)-2{\mathrm{ABC}}^2\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}x+2\mathrm{BCr}\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}})---\left(22\right)$

求解微分方程式(20)和式(22)，可得到优化后的k_p、k_d，从而实现PD参数的整定。

例如采用KUNDUR的4机2区域模型，改造形成本发明的仿真***对文中的控制策略进行仿真验证。如图2所示，仿真***包括同步电机4台，输出功率分别为120MW、120MW、124MW、120MW；双馈风电场忽略了其中各台风电机组的差异性，用一个双馈风机等效，总输出功率为80MW；***负荷L1、L2分别为206MW、342MW。***在5s时，同步电机G2由于失步故障退出运行，或者仿真区域的风速出现扰动，由额定风速12m/s变为10m/s，分析此时***频率变化情况。在PSCAD平台里搭建仿真***模型，分别对转子动能控制、备用功率控制、联合控制、Hopfield神经联合控制进行仿真分析，比较各控制策略下***调频特性差异。

在PSCAD中建立Hopfield神经控制器A和Hopfield神经控制器B模块如图3所示。两个模块内部均包含一个两神经元的Hopfield神经网络，以神经控制器A为例，如图4所示，将***的状态输入对应于网络的权值和阈值，神经元的输出作为控制器的参数，非线性微分方程的求解过程是自动完成的，其中sfunction模块为S型函数模块。

通过仿真结果如图5、6比较可以看出，本发明所提出的基于Hopfield神经网络的双馈风电机组一次调频联合控制方法可以实现参数自适应的功能，因而更能够合理安排转子动能控制和备用功率控制的调频比例，比之于恒参数的联合控制具有自适应的优势，所以能进一步缓解***的频率下降，提高最低频率对改善双馈风电机组一次调频特性具有更理想的控制效果。

Claims (1)

1.一种双馈风电机组一次调频联合控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）在双馈风机控制***中分别建立转子动能控制模块和备用功率控制模块，转子动能控制模块和备用功率控制模块的输入变量均为频率偏差，转子动能控制模块的输出变量为转矩参考值的修改量，备用功率控制模块的输入变量为桨距角参考值的修改量；

（2）建立Hopfield神经网络，确定控制对象***模型，模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=\mathrm{Bu}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}]\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，y(t)为***输出变量，x(t)为***状态变量，u(t)为***输入变量，A、B、C均为描述***模型的待定系数；

且目标函数是电网发生频率偏移时***频率变化最小，使控制对象的状态变量对应于网络权值，并将神经元的输出作为PD控制器的参数，目标函数为：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{e}^2\left(t\right)=\frac{1}{2}{\{r\left(t\right)-C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)\left]\right\}}^2$ $=\frac{1}{2}{\{r\left(t\right)-C[\mathrm{Ax}\left(t\right)+B(k_p\left(t\right)e\left(t\right)+k_d\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}})\left]\right\}}^2---\left(6\right)$

k_p、k_d为控制器比例调节系数和微分调节系数，e(t)为控制***误差，r(t)为额定频率，取恒值；

（3）将目标函数表达式与标准能量函数表达式对应起来，推导得到连接权矩阵和网络的偏值表达式，连接权矩阵W和网络的偏值I：

$W=-\left[\begin{array}{cc}{\left[\mathrm{CBe}\left(t\right)\right]}^2& {2B}^2{C}^{2}e\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\\ {2B}^2{C}^{2}e\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}& {\left[\mathrm{CB}\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\right]}^2\end{array}\right]---\left(14\right)$

$I={\left[\begin{array}{c}-2\mathrm{AB}{C}^{2}e\left(t\right)x\left(t\right)+2\mathrm{BCr}\left(t\right)e\left(t\right)\\ -2\mathrm{AB}{C}^2\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}x\left(t\right)+2\mathrm{BCr}\left(t\right)\frac{\mathrm{de}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\end{array}\right]}^T---\left(15\right)$

（4）将得到的连接权重矩阵和网络输入偏值矩阵代入Hopfield网络的动态方程中，并取神经元输出的非线性特性为对称型S非线性作用函数：

$g\left(u_i\right)=K_i\frac{1-e^{{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}{{1+e}^{-{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}=\frac{{2K}_i}{{1+e}^{{\mathrm{\β}}_i{u}_i}}-K_i$ i=1,2(18)

其中g(u_i)为作用函数，K_i为增益，β_i为参数；u_i为第i个神经元的状态量；

推导得到控制器参数的变化规律：

$\frac{{\mathrm{dk}}_p}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{dk}}_p}{{\mathrm{du}}_1}\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}$

$=\frac{{\mathrm{\β}}_1({K_1}^2-{k_p}^2)}{{2K}_1}({-B}^2{C}^2{e}^{2}g\left(u_1\right)+{2B}^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g\left(u_2\right)-2\mathrm{AB}{C}^2\mathrm{ex}+2\mathrm{BCre})$

                                       (20)

$\frac{{\mathrm{dk}}_d}{\mathrm{dt}}=\frac{{\mathrm{dk}}_d}{{\mathrm{du}}_2}\frac{{\mathrm{du}}_2}{\mathrm{dt}}$

$=\frac{{\mathrm{\β}}_2({K_2}^2-{k_d}^2)}{{2K}_2}({2B}^2{C}^{2}e\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}g\left(u_1\right){-B}^2{C}^2{\left(\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}\right)}^{2}g\left(u_2\right)-2\mathrm{AB}{C}^2\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}x+2\mathrm{BCr}\frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}})$

                                       (22)

求解微分方程式(20)和式(22)，得到优化后的控制器比例调节系数和微分调节系数k_p、k_d，从而实现PD参数的整定。

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