CN102353506A - 一种深水顶张式立管竖向振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种深水顶张式立管竖向振动分析方法。该方法考虑了横向弯曲振动大位移引起的轴向位移对立管轴向振动的影响，将横向弯曲挠度引起的轴向位移转化为附加张力引入轴向刚度；同时，考虑了剪切变形对立管轴向位移的影响，将弯曲刚度与剪切刚度的比值引入轴向振动数学模型，使深水顶张式立管的轴向振动分析更加符合立管的实际受力和变形状态。

Description

一种深水顶张式立管竖向振动分析方法

技术领域

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种深水顶张式立管竖向振动分析方法。

背景技术

深水顶张式立管是深水海洋立管的一种主要类型，立管的下端与海底井口连接，管壁张力直接作用在井口上，而管内的流体源源不断地从海底穿过立管流向浮式平台。竖向振动是浮式平台垂荡运动引起的深水顶张式立管轴向振动，由于现有分析方法采用的是仅受张力而不受横向力作用的等截面直杆的轴向振动理论，其数学模型中不包括显式的张力，仅包括轴向位移，因此，该模型不包括横向振动的影响，且立管的轴向位移响应不是通过轴向荷载的强迫振动计算得到的，而是通过端部的轴向位移计算求解的，故而，也被称为参数(位移本身是对荷载响应，因此，称为参数)振动。但是，深水顶张式立管在海洋环境中不仅受张力作用，同时还受到海洋环境荷载的作用，因此，轴向振动和横向弯曲振动是同时发生的。在小变形条件下，横向弯曲引起的轴向位移较小，可以忽略。但是，对于深水立管的大位移横向弯曲振动，由于横向弯曲引起的轴向位移已经超出了小变形的范围，轴向振动分析时应考虑横向弯曲引起的轴向位移影响。因此，现有的轴向振动(参数振动)分析方法与深水顶张式立管的实际受力(同时受张力和横向荷载作用)和变形(轴向变形和横向变形耦合)状态有较大的区别。

现有的深水顶张式立管轴向振动分析方法是基于等截面直杆的轴向振动理论，该理论建立在小变形假设和没有横向弯曲变形的基础上。基于该理论的深水顶张式立管轴向振动方程可表示为：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}+c\frac{\∂u}{\∂t}-\mathrm{EA}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂x^2}=0---\left(1\right)$

式中：u为立管轴向位移；

x为立管轴向坐标；

t为时间；

为立管单位长度质量；

c为立管材料的阻尼系数；

EA为立管截面拉压刚度。

公式(1)是没有横向弯曲变形且符合小变形假设的深水顶张式立管轴向振动方程，没有考虑横向弯曲大位移对立管轴向振动的影响，即横向弯曲大位移引起的轴向位移。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的缺陷，提供一种深水顶张式立管竖向振动分析方法，使深水顶张式立管的竖向振动分析更加符合立管的实际受力和变形状态。

本发明的技术方案如下：一种深水顶张式立管竖向振动分析方法，该方法采用考虑横向弯曲振动大位移引起轴向位移的深水顶张式立管轴向振动分析模型，其模型方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}+c\frac{\∂u}{\∂t}-\mathrm{EA}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂x^2}=2.6k(T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4})$

式中：u为立管轴向位移；

x为立管轴向坐标；

t为时间；

为立管单位长度质量；

c为立管材料的阻尼系数；

EA为立管截面拉压刚度；

k为剪切不均匀系数；

T为立管张力；

y为立管横向位移；

EI为立管截面拉弯刚度；

利用上述方程，计算立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和应变随时间的变化。

进一步，如上所述的深水顶张式立管竖向振动分析方法，该方法计算立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和应变随时间变化的具体过程如下：

(1)将立管划分为若干个单元；

(2)将单元的位移函数表示为插值函数的形式：

u＝[S]{q}，

y＝[N]{a}；

其中，[S]为轴向位移插值函数矩阵，{q}为单元节点轴向位移向量；[N]为横向位移插值函数矩阵，{a}为单元节点横向位移向量；

(3)采用伽辽金方法，将深水顶张式立管轴向振动模型的方程转换为矩阵方程如下：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{q}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{q}\right\}+\left[K\right]\left\{q\right\}=\left\{P\right\}$

式中：

阻尼矩阵[C]＝α[M]+β[K]，α，β为瑞雷阻尼系数；

$\left\{P\right\}=-\stackrel{n}{\mathrm{\Σ}}\left(T{\∫}_0^l{\left[S^{\′}\right]}^T\right[N^{\′}]\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^l{\left[S^{\′\′}\right]}^T[N^{\′\′}\left]\mathrm{dx}\right)\left\{a\right\};$

为竖向加速度矢量；

为竖向速度矢量；

{q}为竖向位移矢量；

{a}为横向位移矢量；

l为单元长度；

n为单元数量；

{P}为横向弯曲位移引起的轴向扰动；

(4)基于立管的横向弯曲振动方程求出每个时间增量的横向位移{a}，并将其代入步骤(3)中{P}的表达式，计算出{P}；

(5)由步骤(3)中质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]和阻尼矩阵[C]的表达式分别计算出立管的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；

(6)将立管的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和{P}代入步骤(3)中的矩阵方程，采用逐步积分法按下式求出立管第一个时间增量Δt后的加速度增量

速度增量

和位移增量{Δq_i}，此时i＝0：

$\left(\frac{6}{\mathrm{\Δ}{t}^2}\right[M]+\frac{3}{\mathrm{\Δt}}[C]+[K\left]\right)\left\{\mathrm{\Δ}{q}_i\right\}=\left(\frac{6}{\mathrm{\Δt}}\right[M]+3[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·}{q}}_i\right\}+\left(3\right[M]+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·\·}{q}}_i\right\}+\left\{\mathrm{\Δ}{P}_i\right\};$

此处，{ΔP_i}为与时间增量Δt对应的横向弯曲位移增量引起的荷载增量；

(7)由加速度增量、速度增量和位移增量按下式计算第一个时间增量后的加速度、速度和位移，此时i＝0：

q_i+1＝q_i+Δq_i

${\stackrel{\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{q}}_i;$

${\stackrel{\·\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·\·}{q}}_i$

(8)根据步骤(7)中得到的位移计算出立管的应力和张力；

(9)重复步骤(4)～(8)，直至时间t达到要求的时长，即可计算出立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和轴向应变随时间的变化。

更进一步，如上所述的深水顶张式立管竖向振动分析方法，步骤(4)中所述的立管的横向弯曲振动方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}y}{\∂t^2}+c\frac{\∂y}{\∂t}+(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4}-2.6k{\mathrm{\ϵ}}_{T}T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\frac{\∂T}{\∂x}\frac{\∂y}{\∂x}=q(x,t)$

式中：y为立管横向弯曲位移；

x为立管的轴向坐标；

t为时间；

EI为立管横截面抗弯刚度；

T为立管张力，是时间和立管轴向坐标的函数，即：T＝T(x，t)；

为立管单位长度的质量；

c为阻尼系数；

k为剪切不均匀系数；

ε_T为张力引起的立管轴向应变；

q(x，t)为作用在立管上的流体荷载。

本发明的有益效果如下：本发明在深水顶张式立管的轴向振动分析中，考虑了横向弯曲振动大位移引起的轴向位移对立管轴向振动的影响，将横向弯曲挠度引起的轴向位移转化为附加张力引入轴向刚度；同时，考虑了剪切变形对立管轴向位移的影响，将弯曲刚度与剪切刚度的比值引入轴向振动数学模型，使深水顶张式立管的轴向振动分析更加符合立管的实际受力和变形状态。

附图说明

图1为本发明的深水顶张式立管的竖向振动分析方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细描述。

本发明所提供的深水顶张式立管竖向振动分析方法采用考虑横向弯曲振动大位移引起轴向位移的深水顶张式立管轴向振动分析模型，其模型方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}+c\frac{\∂u}{\∂t}-\mathrm{EA}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂x^2}=2.6k(T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4})---\left(2\right)$

式中：u为立管轴向位移；

x为立管轴向坐标；

t为时间；

为立管单位长度质量；

c为立管材料的阻尼系数；

EA为立管截面拉压刚度；

k为剪切不均匀系数；

T为立管张力；

y为立管横向位移；

EI为立管截面拉弯刚度；

利用上述方程，计算立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和应变随时间的变化。

深水顶张式立管竖向振动分析方法的具体步骤如下：

(S1)将立管划分为若干个单元；

(S2)将单元的位移函数表示为插值函数的形式：

u＝[S]{q}            (3)

y＝[N][a}            (4)

公式(3)、(4)中，[S]为轴向位移插值函数矩阵，{q}为单元节点轴向位移向量；[N]为横向位移插值函数矩阵，{a}为单元节点横向位移向量；

(S3)采用伽辽金方法(此为本领域的公知常识)，

$\underset{0}{\overset{L}{\∫}}\mathrm{\δu}[\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}+c\frac{\∂u}{\∂t}-\mathrm{EA}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂x^2}-2.6k(T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4})]=0---\left(5\right)$

将深水顶张式立管轴向振动分析模型的方程(公式(2))转换为矩阵方程如下：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{q}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{q}\right\}+\left[K\right]\left\{q\right\}=\left\{P\right\}---\left(6\right)$

式中：

阻尼矩阵[C]＝α[M]+β[K]，α，β为瑞雷阻尼系数    (9)

$\left\{P\right\}=-\stackrel{n}{\mathrm{\Σ}}\left(T{\∫}_0^l{\left[S^{\′}\right]}^T\right[N^{\′}]\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^l{\left[S^{\′\′}\right]}^T[N^{\′\′}\left]\mathrm{dx}\right)\left\{a\right\}---\left(10\right)$

为竖向加速度矢量；

为竖向速度矢量；

{q}为竖向位移矢量；

{a}为横向位移矢量；

l为单元长度；

n为单元数量；

{P}为横向弯曲位移引起的轴向扰动，相当于轴向强迫振动的外力；

(S4)基于立管的横向弯曲振动方程求出每个时间增量的横向位移{a}，并将其代入步骤(S3)中{P}的表达式(公式(10))，计算出{P}；

此处，横向位移{a}是与每个时间增量的竖向位移对应的横向位移，即每个时间增量先计算横向位移，然后再依据下述各步骤计算竖向位移；

(S5)由步骤(S3)中质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]和阻尼矩阵[C]的表达式(公式(7、8、9))分别计算出立管的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；

(S6)将立管的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和{P}代入步骤(S3)中的矩阵方程，采用逐步积分法按下式求出立管第一个时间增量Δt后的加速度增量速度增量

和位移增量{Δq_i}，此时i＝0：

$\left(\frac{6}{\mathrm{\Δ}{t}^2}\right[M]+\frac{3}{\mathrm{\Δt}}[C]+[K\left]\right)\left\{\mathrm{\Δ}{q}_i\right\}=\left(\frac{6}{\mathrm{\Δt}}\right[M]+3[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·}{q}}_i\right\}+\left(3\right[M]+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·\·}{q}}_i\right\}+\left\{\mathrm{\Δ}{P}_i\right\};---\left(11\right)$

公式(11)中，{ΔP_i}为与时间增量Δt对应的横向弯曲位移增量引起的荷载增量；

(S7)由加速度增量、速度增量和位移增量按下式计算第一个时间增量后的加速度、速度和位移，此时i＝0：

q_i+1＝q_i+Δq_i

${\stackrel{\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{q}}_i;$

${\stackrel{\·\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·\·}{q}}_i$

(S8)根据步骤(S7)中得到的位移计算出立管的应力和张力；

(S9)重复步骤(S4)～(S8)，直至时间t达到要求的时长，即可计算出立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和轴向应变随时间的变化。

上述方法中步骤(S4)所述的立管的横向弯曲振动方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}y}{\∂t^2}+c\frac{\∂y}{\∂t}+(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4}-2.6k{\mathrm{\ϵ}}_{T}T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\frac{\∂T}{\∂x}\frac{\∂y}{\∂x}=q(x,t)---\left(12\right)$

式中：y为立管横向弯曲位移；

x为立管的轴向坐标；

t为时间；

EI为立管横截面抗弯刚度；

T为立管张力，是时间和立管轴向坐标的函数，即：T＝T(x，t)；

为立管单位长度的质量；

c为阻尼系数；

k为剪切不均匀系数；

ε_T为张力引起的立管轴向应变；

q(x，t)为作用在立管上的流体荷载。

采用伽辽金方法(此为本领域的公知常识)，

$\underset{0}{\overset{L}{\∫}}\mathrm{\δy}[\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}y}{\∂t^2}+c\frac{\∂y}{\∂t}+(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4}-$

$2.6k{\mathrm{\ϵ}}_{T}T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\frac{\∂T}{\∂x}\frac{\∂y}{\∂x}-q(x,t)]=0---\left(13\right)$

上式中，L是立管的总长度，δy是弯曲位移的变分，在公式(13)中的作用是权函数，此为公知常识；

将横向弯曲振动模型的方程(公式(12))转换为矩阵方程如下：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{a}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{a}\right\}+\left[K\right\}\left\{a\right\}=\left\{F\right\}---\left(14\right)$

式中：

阻尼矩阵[C]＝α[M]+β[K]，α，β为瑞雷阻尼系数；        (17)

荷载向量

为加速度矢量；

为速度矢量；

{a}为位移矢量；

l为单元长度；

n为单元数量；

将立管的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和荷载向量代入公式(14)，采用逐步积分法按下式求出立管第一个时间增量Δt位移增量{Δa_i}，此时i＝0：

$\left(\frac{6}{\mathrm{\Δ}{t}^2}\right[M]+\frac{3}{\mathrm{\Δt}}[C]+[K\left]\right)\left\{\mathrm{\Δ}{a}_i\right\}=\left(\frac{6}{\mathrm{\Δt}}\right[M]+2[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·}{a}}_i\right\}+\left(3\right[M]+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·\·}{a}}_i\right\}+\left\{\mathrm{\Δ}{F}_i\right\}$

此处，{ΔF_i}是与时间增量Δt对应的荷载增量；

由位移增量按下式计算第一个时间增量后的位移，此时i＝0：

a_i+1＝a_i+Δa_i

依据上述方法，计算出时间t达到要求的时长内每个时间增量的立管横向位移。

上述立管横向位移具体的计算方法可以参照申请人同期进行的专利申请“一种深水顶张式立管弯曲振动分析方法”。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (3)

1.一种深水顶张式立管竖向振动分析方法，其特征在于：该方法采用考虑横向弯曲振动大位移引起轴向位移的深水顶张式立管轴向振动分析模型，其模型方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂t^2}+c\frac{\∂u}{\∂t}-\mathrm{EA}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂x^2}=2.6k(T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4})$

式中：u为立管轴向位移；

x为立管轴向坐标；

t为时间；

为立管单位长度质量；

c为立管材料的阻尼系数；

EA为立管截面拉压刚度；

k为剪切不均匀系数；

T为立管张力；

y为立管横向位移；

EI为立管截面拉弯刚度；

利用上述方程，计算立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和应变随时间的变化。

2.如权利要求1所述的深水顶张式立管竖向振动分析方法，其特征在于：该方法计算立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和应变随时间变化的具体过程如下：

(1)将立管划分为若干个单元；

(2)将单元的位移函数表示为插值函数的形式：

u＝[S]{q}，

y＝[N]{a}；

其中，[S]为轴向位移插值函数矩阵，{q}为单元节点轴向位移向量；[N]为横向位移插值函数矩阵，{a}为单元节点横向位移向量；

(3)采用伽辽金方法，将深水顶张式立管轴向振动分析模型的方程转换为矩阵方程如下：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{q}\right\}+\left[C\right]\{\stackrel{\·}{q}\}+[K\left]\right\{q\}=\{P\}$

式中：

阻尼矩阵[C]＝α[M]+β[K]，α，β为瑞雷阻尼系数；

$\left\{P\right\}=-\stackrel{n}{\mathrm{\Σ}}\left(T{\∫}_0^l{\left[S^{\′}\right]}^T\right[N^{\′}]\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^l{\left[S^{\′\′}\right]}^T[N^{\′\′}\left]\mathrm{dx}\right)\left\{a\right\};$

为竖向加速度矢量；

为竖向速度矢量；

{q}为竖向位移矢量；

{a}为横向位移矢量；

l为单元长度；

n为单元数量；

{P}为横向弯曲位移引起的轴向扰动；

(4)基于立管的横向弯曲振动方程求出每个时间增量的横向位移{a}，并将其代入步骤(3)中{P}的表达式，计算出{P}；

(5)由步骤(3)中质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]和阻尼矩阵[C]的表达式分别计算出立管的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；

(6)将立管的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和{P}代入步骤(3)中的矩阵方程，采用逐步积分法按下式求出立管第一个时间增量Δt后的加速度增量

速度增量

和位移增量{Δq_i}，此时i＝0：

$\left(\frac{6}{\mathrm{\Δ}{t}^2}\right[M]+\frac{3}{\mathrm{\Δt}}[C]+[K\left]\right)\left\{\mathrm{\Δ}{q}_i\right\}=\left(\frac{6}{\mathrm{\Δt}}\right[M]+3[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·}{q}}_i\right\}+\left(3\right[M]+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}[C\left]\right)\left\{{\stackrel{\·\·}{q}}_i\right\}+\left\{\mathrm{\Δ}{P}_i\right\};$

此处，{ΔP_i}为与时间增量Δt对应的横向弯曲位移增量引起的荷载增量；

(7)由加速度增量、速度增量和位移增量按下式计算第一个时间增量后的加速度、速度和位移，此时i＝0：

q_i+1＝q_i+Δq_i

${\stackrel{\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{q}}_i;$

${\stackrel{\·\·}{q}}_{i+1}={\stackrel{\·\·}{q}}_i+\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·\·}{q}}_i$

(8)根据步骤(7)中得到的位移计算出立管的应力和张力；

(9)重复步骤(4)～(8)，直至时间t达到要求的时长，即可计算出立管轴向振动的加速度、速度、位移、应力和轴向应变随时间的变化。

3.如权利要求2所述的深水顶张式立管竖向振动分析方法，其特征在于：步骤(4)中所述的立管的横向弯曲振动方程如下：

$\stackrel{\‾}{m}\frac{{\∂}^{2}y}{\∂t^2}+c\frac{\∂y}{\∂t}+(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}y}{\∂x^4}-2.6k{\mathrm{\ϵ}}_{T}T\frac{{\∂}^{2}y}{\∂x^2}-(1+2.6k{\mathrm{\ϵ}}_T)\frac{\∂T}{\∂x}\frac{\∂y}{\∂x}=q(x,t)$

式中：y为立管横向弯曲位移；

x为立管的轴向坐标；

t为时间；

EI为立管横截面抗弯刚度；

T为立管张力，是时间和立管轴向坐标的函数，即：T＝T(x，t)；

为立管单位长度的质量；

c为阻尼系数；

k为剪切不均匀系数；

ε_T为张力引起的立管轴向应变；

q(x，t)为作用在立管上的流体荷载。

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