CN102289812B - 一种基于先验形状和cv模型的目标分割方法 - Google Patents

Abstract

一种基于先验形状以及CV模型的目标分割方法，首先选取先验形状构建符号距离函数，再根据仿射变换参数向量对先验形状符号距离函数进行仿射变换，仿射变换参数在对水平集函数进行迭代时会发生改变并最终趋于稳定，最后根据水平集迭代公式演化活动轮廓曲线，同时根据各仿射参数迭代公式求出下一次的各仿射变换参数。本发明在保持先验形状模型具有旋转、缩放和平移不变性的基础上，增加了X、Y方向拉伸以及剪切不变约束能量项，通过对先验形状的自适应变换的拓展，本发明可以实现对复杂背景下姿态变换较大的空间目标进行较好的分割。

Description

一种基于先验形状和CV模型的目标分割方法

技术领域

本发明涉及图像处理技术，具体是一种基于先验形状和CV模型的目标分割方法。

背景技术

目前，在已有的各种目标分割方法中，曲线演化方法对目标的分割有相当好的结果，具体包括Snake方法、活动轮廓线方法、变形模型以及水平集方法等，参数化的Snake方法允许与模型直接交互，并且模型的表达紧凑，有利于模型的快速实现，但是难以处理模型拓扑结构的变化。基于变分水平集方法的活动轮廓模型能自然地处理演化曲线或曲面拓扑结构的变化，并能够自然地将边界信息和区域信息整合在一起。

Mumford在1989年提出通过分片光滑函数的最佳逼近解决边缘检测问题的M-S水平集模型(Mumford D，Shah J.Optimal approximation by piecewise smooth functionsand associated variational problems.Communication on Pure and Applied Mathematics，1989，42(5)：577-685.)，Chan和Vese在M-S模型的基础上提出了简化的CV水平集模型(Chan T F，Vese L A.Active contours without edges.IEEE Transactions on ImageProcessing，2001，10(2)：266-277.)，该模型的一个显著优点就是全局优化，在边界模糊处也能获得较好的分割结果，并且初始轮廓线可以放置在图像的任意位置。但该模型是基于灰度相似性来划分目标区域的，因此该模型存在三个方面的缺陷：①不能分割目标灰度与背景相似的目标，②不能有效分割纹理图像，③不能分割被遮挡、数据缺失的目标。

为了克服以上缺陷，近年来国内外许多学者重点研究了把先验形状信息和水平集结合进行图像分割的问题。Tony Chan等提出了利用先验形状知识进行图像分割处理的可形变模型(Chan T and Zhu W.Level set based shape prior segmentation.IEEEConference on Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR)，2005：1164-1170.)，该模型在CV模型的基础上加入先验形状信息，能够在图像中分割出数据缺失、被遮挡或目标灰度与背景相似的目标。但该模型中的先验形状项只具有旋转、缩放和平移不变特性，对于发生剪切或在X、Y方向有不同拉伸系数的目标，上述模型的分割效果较差。

发明内容

本发明为了克服现有的先验形状模型对目标的自适应变化存在的局限性，即先验形状项只具有X、Y方向等大小缩放、平移以及旋转三个不变特性，提供一种基于先验形状和CV模型的目标分割方法，本发明在原有先验形状变分水平集模型基础上增加了X、Y方向拉伸以及剪切不变约束能量项，通过对先验形状的自适应变换的拓展，本方法可以实现对复杂背景下姿态变换较大的目标进行准确分割。

本发明通过以下技术方案实现：

一种基于先验形状和CV模型的目标分割方法，为基于变分水平集方法的图像分割模型，它在融入图像区域信息基础上，自然地融入先验形状信息，很好地处理了一些传统的几何活动轮廓模型无法解决的问题。

本发明所构建的模型对应的能量函数表示如下：

E(c₁，c₂，φ，ψ)＝E_CV(c₁，c₂，φ)+λE_shape(φ，ψ)    (1)

其中：c₁和c₂分别是φ对应的零水平集曲线内、外部区域的图像灰度平均值，λ为先验形状能量项对应的权重系数，CV能量项E_CV(c₁，c₂，φ)和先验形状项E_shape(φ，ψ)分别表示如下：

$E_{\mathrm{CV}}(c_1,c_2,\mathrm{\φ})=\mathrm{\μ}{\∫}_{\mathrm{\Ω}}\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)|\▿\mathrm{\φ}|\mathrm{dxdy}+{\mathrm{\λ}}_1{\∫}_{\mathrm{\Ω}}{(f-c_1)}^{2}H\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{dxdy}+{\mathrm{\λ}}_2{\∫}_{\mathrm{\Ω}}{(f-c_2)}^2(1-H\left(\mathrm{\φ}\right))\mathrm{dxdy}---\left(2\right)$

E_shape(φ，ψ)＝∫_Ω(H(φ)-H(ψ))²dxdy    (3)

$\mathrm{\ψ}(x,y):={\mathrm{\ψ}}_0\left(h_{X_T}(x,y)\right)$ $\left(4\right)$

$h_{X_T}{(x,y)}^T=R_{\mathrm{sc}}{R}_{\mathrm{\θ}}{R}_{\mathrm{sh}}{(\tilde{x},\tilde{y})}^T+T---\left(5\right)$

其中： $R_{\mathrm{sc}}=\left(\begin{array}{cc}{S}_x& 0\\ 0& S_y\end{array}\right),$ $R_{\mathrm{\θ}}=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),$ $R_{\mathrm{sh}}=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{shx}\\ \mathrm{shy}& 1\end{array}\right),$ $T=\left(\begin{array}{c}{T}_x\\ T_y\end{array}\right),$ $\left(\begin{array}{c}\tilde{x}\\ \tilde{y}\end{array}\right)={(\frac{x-x_g}{S_x},\frac{y-y_g}{S_y})}^T$

X_T＝(S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y)，其中S_x及S_y分别为X、Y方向上的两个缩放系数，θ为角度旋转参数，shx，shy分别为X、Y方向上的两个修剪参数，T_x，T_y分别为X、Y方向上的两个平移参数；f为定义在图像域Ω上的灰度值；ψ为先验形状的水平集函数ψ₀经式(4)的仿射变换得到，用于对式(3)的先验形状能量项进行约束。

对式(1)的能量项E(c₁，c₂，φ，ψ)进行最小化，采用变分法及梯度下降流方程构建演化模型对应的数值计算格式，令

对式(1)能量项E(c₁，c₂，φ，ψ)求变分，可得c₁，c₂，仿射变换参数X_T＝(S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y)以及演化的水平集函数φ对应的最速梯度下降方程为：

$c_1=\frac{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}f(x,y)H\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{dxdy}}{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}H\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{dxdy}}$ $c_2=\frac{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}f(x,y)(1-H\left(\mathrm{\φ}\right))\mathrm{dxdy}}{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}(1-H\left(\mathrm{\φ}\right))\mathrm{dxdy}}---\left(6\right)$

$\frac{{\∂S}_x}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_x\·(\tilde{x}\·(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{shy}\·\sin \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(\cos \mathrm{\θ}\·\mathrm{shx}+\sin \mathrm{\θ}))\mathrm{dxdy}---\left(7\right)$

$\frac{{\∂S}_y}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_y\·(\tilde{x}\·(-\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\θ}\·\mathrm{shy})+\tilde{y}\·(-\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{shx}+\cos \mathrm{\θ}))\mathrm{dxdy}---\left(8\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\θ}}{\∂t}=-{\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·(\tilde{x}\·(S_x\·\sin \mathrm{\θ}-S_x\·\mathrm{shy}\·\cos \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(S_x\·\mathrm{shx}\·\sin \mathrm{\θ}-S_x\·\cos \mathrm{\θ}))---\left(9\right)$

${+\mathrm{\ψ}}_y\·(\tilde{x}\·(S_y\·\cos \mathrm{\θ}+S_y\·\mathrm{shy}\·\sin \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(S_y\·\mathrm{shx}\·\cos \mathrm{\θ}+S_y\·\sin \mathrm{\θ})))\mathrm{dxdy}$

$\frac{\∂\mathrm{shx}}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·\tilde{y}\·S_x\·\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ψ}}_y\·\tilde{y}\·S_y\·\sin \mathrm{\θ}\left)\right)\mathrm{dxdy}---\left(10\right)$

$\frac{\∂\mathrm{shy}}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·\tilde{x}\·S_x\·\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ψ}}_y\·\tilde{x}\·S_y\·\cos \mathrm{\θ}\left)\right)\mathrm{dxdy}---\left(11\right)$

$\frac{{\∂T}_x}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_x\mathrm{dxdy}---\left(12\right)$

$\frac{{\∂T}_y}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_y\mathrm{dxdy}---\left(13\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}=\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)\·({(f-c_1)}^2-{(f-c_2)}^2+2\mathrm{\λ}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right)))---\left(14\right)$

本发明包括如下步骤：

1、利用先验形状样本构建符号距离函数：

从序列图中选取标准姿态的目标图像作为构建先验形状模型样本，然后对选中的先验形状样本进行阈值分割，阈值的大小根据样本背景的复杂度进行手动调整，其次采用数学形态算子对阈值分割后的图像进行背景抑制并用Sobel算子提取目标的二值边缘轮廓，最后利用生成的二值轮廓线构建先验形状符号距离函数；

2、根据初始化的仿射变换参数，利用公式(4)、(5)对先验形状模型样本对应的符号距离函数进行仿射变换：

本发明拓展了原有先验形状的仿射变换项，即仿射变换从四元关系(a，b，r，θ)拓展为(S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y)，其中S_x及S_y分别为X、Y方向上的两个缩放系数，θ为角度旋转参数，shx，shy分别为X、Y方向上的两个修剪参数，T_x，T_y分别为X、Y方向上的两个平移参数；

3、利用式(6～14)对图像进行水平集全局迭代运算：

数值化计算采用正则化函数

Dirac函数

分别代替H(z)和δ(z)，使得下降流方程(14)能够作用在所有的水平集上，从而能够对图像区域的所有目标进行自动检测，并且使能量函数E(c₁，c₂，φ，ψ)达到全局极小值。

本发明的有益效果是：

1、由于本发明拓展了先验形状对目标的自适应变化方式，在使用改进的先验形状水平集模型对目标进行分割时，可以分割出复杂背景下姿态变化较大且复杂的目标。

2、本发明测试的实验仿真数据是由美国AGI公司卫星仿真工具包STK软件产生的一组视频场景，利用STK8.0计算轨道姿态信息，并得到从观测平台看到的目标飞行器模拟图像信息。为使仿真数据尽量逼真，以检验目标检测、跟踪与识别方法，在生成模拟图像过程中，考虑了以下几点：(1)目标飞行器在视场中的大小必须按照两飞行器真实距离变化；(2)目标飞行器要有一定的旋转；(3)目标飞行器不应始终处于视场中央；(4)背景应有一定的变化，有星空背景，有地球背景，或星空地球背景交替变化。

下面结合附图和实施案例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是从地球背景和星空背景下选取的5幅典型卫星姿态图片。

图2是选取的先验形状样本(图2(a)及其对应的二值图图2(b)、二值轮廓图图2(c)。

图3是基于图2(b)生成的人工合成图。

图4是图3(a)对应的初始轮廓线图以及不同模型下的分割效果图。

图5是图3(b)对应的初始轮廓线图以及不同模型下的分割效果图。

图6是图3(c)对应的初始轮廓线图以及不同模型下的分割效果图。

图7是图1中的各图对应的初始轮廓线叠加图。

图8是传统的CV模型对图1中各图的分割结果。

图9是传统的基于先验形状的CV模型对图1中各图的分割结果。

图10是本发明基于先验形状的CV模型对图1中各图的分割结果。

图11是本发明方法的流程图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明的作详细说明：本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施的例子，给出了详细的实施方式和过程，但本发明的保护范围不应限于下述的实施例。

从太空对目标进行跟踪时，采集的序列图像由于拍摄的角度以及自身的姿态调整，提取的图像目标轮廓线之间基本符合仿射变换关系，本实施例选取地球背景和星空背景下的5幅典型卫星姿态图片用于检验本发明所阐述的“基于先验形状和CV模型的目标分割方法”性能，如图1所示，本实施例同时选取图2(a)作为先验形状样本，本发明基于先验形状和CV模型的目标分割方法的具体实施步骤如下：

1、利用先验形状样本构建符号距离函数：

对先验形状样本图2(a)进行阈值分割，本实施例分割的阈值选为128，然后利用形态学算子对抑制后的图像进行形态学处理并生成二值图，即2(b)，其次利用Sobel算子对图2(b)进行边缘提取，得到先验形状对应的二值轮廓线，即图2(c)，最后基于图2(b)及图2(c)构建先验形状样本(图2(a)对应的符号距离函数ψ与ψ₀；2、本实施例初始化的仿射参数依次为：(1，1，0，0，0，0，0)，即式(3)中先验形状符号距离函数ψ与ψ₀相同，在对能量函数式(3)的最小化过程中，仿射参数向量(S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y)对应的数值不断变化，从而使得先验形状能够逐渐匹配待分割的目标，在活动轮廓线稳定收敛于待分割的目标边界时，仿射参数对应的数值趋于稳定，本实施案例中对应的稳定值为(1，1，0，0，0，0，0)，即先验形状不再发生变化。

3、给定水平集的迭代次数为n＝1000。

4、利用式(6～14)对图3和图1进行水平集迭代运算，当活动轮廓线稳定时，获得待分割的目标边界。

图4(b)、图5(b)、图6(b)为传统CV模型的分割结果，由图可得，当被分割的目标发生遮挡时，传统的CV模型会将目标连同遮挡物一起检测出来，图4(c)、图5(c)、图6(c)为传统的基于先验形状的CV模型分割结果，由图可得，当被分割的目标相对先验形状发生剪切(图3(c))或者在X、Y缩放系数不同时(图3(b))，传统的基于先验形状的CV模型无法给出正确的分割结果，原因就在于先验形状约束项对放射变换的局限性。图4(d)、图5(d)、图6(d)为本发明改进的基于先验形状的CV模型分割结果，由图可得，由于引入了X、Y方向的拉伸及剪切不变特性，改进的图像分割模型可以很好的分割出被遮挡的各个目标。

由图8(e)可得，在目标或背景区域具有较好的同质性，且受到光照、阴影、遮挡、杂波等因数影响较小时，传统的CV方法可以获得比较满意的分割结果。否则传统的CV方法分割的效果较差，如图8(a)、8(b)、8(c)、8(d)所示。由图9可得，当被分割的目标相对先验形状的剪切系数很小并且在X、Y方向的拉伸系数相差也很小时，传统的基于先验形状的CV模型可以分割出比较满意的结果，如图9(a)、9(b)、9(c)；反之传统的基于先验形状的CV模型的分割效果则比较差，如图9(d)、9(e)。相对于传统CV模型和基于先验形状的CV模型，本发明改进的变分水平集合模型可以显著地提高复杂地球以及星空背景下的卫星分割效果，如图10所示。

Claims (1)

1.一种基于先验形状和CV模型的目标分割方法，其特征在于包括下列步骤：

①利用先验形状样本构建符号距离函数：

从序列图中选取标准姿态的目标图像作为先验形状样本，然后对选中的先验形状样本进行阈值分割，阈值的大小根据样本背景的复杂度进行手动调整，其次采用数学形态算子对阈值分割后的图像进行背景抑制并用Sobel算子提取目标的边缘二值轮廓线，最后利用所述的二值轮廓线构建先验形状符号距离函数ψ₀；

②设定并根据初始化的仿射变换参数，对先验形状样本的符号距离函数ψ₀进行仿射变换，得到变换后的符号距离函数ψ：

仿射变换参数为S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y，其中S_x及S_y分别为X、Y方向上的两个缩放系数，θ为角度旋转参数，shx，shy分别为X、Y方向上的修剪参数，T_x，T_y分别为X、Y方向上的平移参数；

$\mathrm{\Ψ}(x,y)={\mathrm{\Ψ}}_0\left(h_{X_T}^T(x,y)\right)---\left(1\right)$

$h_{X_T}(x,y)=R_{\mathrm{sc}}{R}_{\mathrm{\θ}}{R}_{\mathrm{sh}}{(\tilde{x},\tilde{y})}^T+T---\left(2\right)$

其中： $R_{\mathrm{sc}}=\left(\begin{array}{cc}{S}_x& 0\\ 0& S_y\end{array}\right),$ $R_{\mathrm{\θ}}=\left(\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),$ $R_{\mathrm{sh}}=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{shx}\\ \mathrm{shy}& 1\end{array}\right),$ $T=\left(\begin{array}{c}{T}_x\\ T_y\end{array}\right),$ $\left(\begin{array}{c}\tilde{x}\\ \tilde{y}\end{array}\right)={(\frac{x-x_g}{S_x},\frac{y-y_g}{S_y})}^T$

X_T＝(S_x，S_y，θ，shx，shy，T_x，T_y)；

③利用下列公式(3)～公式(11)对图像进行水平集全局迭代运算，当活动轮廓线稳定时，即获得待分割的目标边界：

$c_1=\frac{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}f(x,y)H\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{dxdy}}{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}H\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{dxdy}}$ $c_2=\frac{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}f(x,y)(1-H\left(\mathrm{\φ}\right))\mathrm{dxdy}}{{\∫}_{\mathrm{\Ω}}(1-H\left(\mathrm{\φ}\right))\mathrm{dxdy}}---\left(3\right)$

$\frac{{\∂S}_x}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_x\·(\tilde{x}\·(\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{shy}\·\sin \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(\cos \mathrm{\θ}\·\mathrm{shx}+\sin \mathrm{\θ}))\mathrm{dxdy}---\left(4\right)$

$\frac{{\∂S}_y}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_y\·(\tilde{x}\·(-\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\θ}\·\mathrm{shy})+\tilde{y}\·(-\sin \mathrm{\θ}\·\mathrm{shx}+\cos \mathrm{\θ}))\mathrm{dxdy}---\left(5\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\θ}}{\∂t}=-{\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·(\tilde{x}\·(S_x\·\sin \mathrm{\θ}-S_x\·\mathrm{shy}\·\cos \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(S_x\·\mathrm{shx}\·\sin \mathrm{\θ}-S_x\·\cos \mathrm{\θ}))$ $\left(6\right)$

$+{\mathrm{\ψ}}_y\·(\tilde{x}\·(S_y\·\cos \mathrm{\θ}+S_y\·\mathrm{shy}\·\sin \mathrm{\θ})+\tilde{y}\·(S_y\·\mathrm{shx}\·\cos \mathrm{\θ}+S_y\·\sin \mathrm{\θ})))\mathrm{dxdy}$

$\frac{\∂\mathrm{shx}}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·\tilde{y}\·S_x\·\cos \mathrm{\θ}-{\mathrm{\ψ}}_y\·\tilde{y}\·S_y\·\sin \mathrm{\θ})\mathrm{dxdy}---\left(7\right)$

$\frac{\∂\mathrm{shy}}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·({\mathrm{\ψ}}_x\·\tilde{x}\·S_x\·\sin \mathrm{\θ}+{\mathrm{\ψ}}_y\·\tilde{x}\·S_y\·\cos \mathrm{\θ}))\mathrm{dxdy}---\left(8\right)$

$\frac{\∂T_x}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_x\mathrm{dxdy}---\left(9\right)$

$\frac{\∂T_y}{\∂t}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right))\·2\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\ψ}\right)\·{\mathrm{\ψ}}_y\mathrm{dxdy}---\left(10\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}=\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)\·({(f-c_1)}^2-{(f-c_2)}^2+2\mathrm{\λ}(H\left(\mathrm{\ψ}\right)-H\left(\mathrm{\φ}\right)))---\left(11\right)$

其中f为定义在图像域Ω上的灰度值，c₁和c₂分别是φ对应的零水平集曲线内、外部区域的图像灰度平均值，λ为先验形状能量项对应的权重系数，ψ_x，ψ_y分别为水平集函数ψ在x和y方向上的梯度，

数值化计算采用正则化函数

Dirac函数代替H(z)和δ(z)，使下降流方程(11)能够作用在所有的水平集上，从而能够对图像区域的所有目标进行自动检测。

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