CN102048553B - 用于在任意节距值下的螺旋ct拍摄的精确图像重建 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于从测量数据(g)中重建检查对象的图像数据(f)的方法，其中，在计算机断层扫描***(C1)的辐射源(C2、C4)与检查对象之间相对螺旋运动时，由检测器(C3、C5)在其Tam-Danielsson窗的内部和外部采集所述测量数据(g)。由于螺旋运动，在Tam-Danielsson窗的外部的测量数据(g)存在中断。通过仅使用Tam-Danielsson窗的测量数据，从测量数据(g)中进行第一图像数据(f)的数学上精确的第一重建。此外，通过至少使用Tam-Danielsson窗外部的其他测量数据，从测量数据(g)中进行第二图像数据(f)的数学上精确的第二重建，其中，通过使用存在的测量数据(g)和/或第一图像数据(f)和/或从存在的测量数据(g)中重建的其他图像数据(f)，补偿测量数据的中断。最后将第一图像数据(f)与第二图像数据(f)进行组合。

Description

用于在任意节距值下的螺旋CT拍摄的精确图像重建

技术领域

本发明涉及一种用于从测量数据中重建检查对象图像数据的方法，其中，上述测量数据是在计算机断层扫描***的辐射源与检查对象之间相对螺旋运动时由检测器采集的。

背景技术

利用CT***扫描检查对象的方法众所周知。在此，例如使用圆扫描、具有进给的顺序圆扫描或者螺旋扫描。在这些扫描中，利用至少一个X射线源和至少一个相对的检测器从不同的拍摄角度拍摄检查对象的吸收数据并将这样收集的这些投影借助相应的重建方法计算出检查对象的剖面或者体图像。

为从CT机的X射线-CT-数据组中重建计算机断层扫描的图像数据，其中在获取数据期间，从其发出圆锥形X射线的X射线源在螺旋线轨迹上环绕所要检测的对象或感兴趣体积(VoI：VolumeofInterest)旋转，目前作为标准方法使用所谓的滤波反投影(FilteredBackProjection；FBP)。这种方法原则上工作非常好，但这是一种近似的方法；也就是说，不能进行数学上精确的重建。这一点导致伪影。特别是在FBP方法中，由于其近似的工作方式而产生所谓圆锥射线伪影的问题。这些伪影随着检测器行的数量增加。在检测器行的数量明显增加并且例如超过100时，如在最新型的检测器中的情况下那样，这一点特别严重。

因此人们尝试开发数学上可以精确和稳定重建的方法。此方面的例子是沿所谓“Π线”的“微分反投影”。在此被称为Π线的是以小于全循环的距离两次与螺旋线轨迹相交的直线。在此获得的反投影数据相应于所期望的图像数据的希尔伯特(Hilbert)变换，从而通过后面的Hilbert反变换可以计算所期望的图像数据。三维微分反投影及随后Hilbert反变换的方法在H.K.Stierstorfer，F.Dennerlein，T.WhiteandF.Noo的出版物中有所详细介绍：：“Towardsanefficienttwo-stephilbertalgorithmforhelicalcone-beamCT.”inProc.2007MeetingonFully3DImageReconstructioninRadiologyandNuclearMedicine(Lindau，Germany)，F.BeckmanandM.Kachelrieβ，Eds.，2007，第120-123页。因为该方法数学上精确并不会由于X射线的扇形几何形状而出现伪影，所以在检测器行的数量如上所述强烈增加的情况下仍重建良好的图像。

然而这种重建方法限于对检测器的如下测量数据的使用，这些测量数据处于检测器上所谓的塔姆-丹尼尔森(Tam-Danielsson)窗(下面称为“TD窗”)内部。这种TD窗在此通过X射线源轨迹(也就是X射线源的螺旋形循环轨迹)在检测器上的投影确定。在上述的方法中不能使用在该TD窗外面的检测器区内被测量的数据。但因为在常用的CT***中X射线源的圆锥射线这样构成，使其击中整个检测器，也就是也击中TD窗外面的区域，所以药量未被利用地浪费。虽然理论上X射线源可以这样构成，使其产生准确击中TD窗的X射线。但这一点意味着在螺旋曲线的螺距(也就是节距)调整上不再具有灵活性并且此外成本也非常高，从而更加适合使用矩形的标准检测器和传统的X射线源。

此外值得期望的是，能够使用TD窗外部的数据。这些数据-与TD窗内部的数据相反-是冗余数据，因此不一定非得用于完整的重建。这些冗余数据可以用于在图像分辨率不变的情况下降低图像噪声。

原则上可以采用近似的方法进行冗余数据的利用，但其中上述的数学上精确重建的优点也被取消。在J.Pack，F.NooandR.Clackdoyle的出版物“Cone-beamreconstructionusingthebackprojectionoflocallyfilteredprojections”IEEETrans.Med.Imag.，vol.24，no.1，pp.70-85，Jan.2005中，介绍了一种精确数学重建的方案，其中，也可以使用TD窗外部的检测器数据。然而这种方法局限于，对每个单个体素实施微分反投影和随后的Hilbert反变换，其中，需要分别为单个体素进行多次重建并且然后对各个体素重建值求平均值。这一点导致明显增加计算开支，以重建整个感兴趣体积。因此这种方法效率非常低并不能在日常的实践中使用。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于，提供一种用于重建CT图像的高效但数学上精确的方法。此外提供一种相应的控制和计算单元、CT***、计算机程序和计算机程序产品。

依据本发明的方法用于从测量数据中重建检查对象的图像数据。测量数据事先在计算机断层扫描***的辐射源与检查对象之间相对螺旋运动时，由检测器在其Tam-Danielsson窗的内部和外部采集，其中，由于螺旋运动，Tam-Danielsson窗外部的测量数据具有中断。对第一图像数据进行数学上精确的第一重建，其中，为此仅使用Tam-Danielsson窗的测量数据。此外对第二图像数据进行数学上精确的第二重建，其中，为此除了别的之外至少使用Tam-Danielsson窗外部的测量数据。为进行第二重建，通过使用存在的测量数据和/或第一图像数据和/或从存在的测量数据中重建的其他图像数据，补偿测量数据的中断。最后将第一图像数据与第二图像数据进行组合。

Tam-Danielsson窗是检测器表面上的一种定义的、精确界定和相关的区域。通过对节距系数的选取，确定Tam-Danielsson窗的界限，对节距系数的选取与对X射线源相对于检查对象的螺旋轨迹的曲线的选取意义相同。

这样实现为图像重建而考虑的测量数据，使得在Tam-Danielsson窗的外部存在测量数据的中断。这种中断相应于在确定的节距值时对检查对象的中断的照射。在存在中断照射的情况下，检查对象体元素的投影在X射线源在其螺旋轨迹上确定的角位置下进入检测器，以便在以后的时间点上在螺旋轨迹的运行中重新出来并在更靠后的时间点上重新进入。在出来与重新进入之间因此不存在对于该体元素的测量数据。

在体元素的投影进入Tam-Danielsson窗与从Tam-Danielsson窗出来之间不存在中断的照射的这种效应。因此可以毫无问题地计算第一重建，其中仅使用Tam-Danielsson窗的测量数据。

在第二重建时情况不同。为该第二重建仅使用或者至少部分使用由检测元件在Tam-Danielsson窗外部采集的测量数据。这些测量数据因此有空缺或有中断存在。为了仍可以进行图像重建，对这种中断进行补偿。这种补偿可以完整进行；在这种情况下，为每个由于中断而缺失的数据提供等效物或者对于重建所需的等效参量。但也可以仅部分地进行补偿；例如当并非所有由于中断而不存在的测量数据对图像重建都是必要的时，这样做是具有优点的。

因此在第一和第二图像重建之后存在双重的图像数据。为提高结果图像的质量，特别是为降低图像噪声，进行图像数据的组合。

为补偿由于中断而缺失的测量数据存在多种处理方式。这些处理方式以如下为基础，即充分利用已经重建的第一图像数据或者其他图像数据所使用的现有的测量数据。这些其他图像数据例如可以是在使用现有数据中的也用于重建第二图像数据的那些数据的情况下获取的图像数据。为获取其他图像数据可以使用数学上精确的重建；但也可以使用近似的方法。后者的优点是，近似的图像重建方法不同于数学上精确的重建，很少受到测量数据有空缺存在的不利影响。因此可以进行近似的图像重建，这种图像重建在没有由于空缺(Lücken)而缺失的数据情况下也足够，并随后从这些图像数据中测定可以作为数学上精确重建的基础的缺失数据。

也可以将所称的这三种类型的补偿进行组合。用于补偿的特别具有优点的可能性如下：

第一，可以使用现有的测量数据，方法是，从现有的测量数据内插或者外推到中断，该内插或外推作为数学上精确的第二重建的基础。缺失的测量数据因此被赋予从现有的测量数据中测定的数值。在最简单的情况下，可以为缺失的测量数据使用最靠近的所采集的测量数据的数值。

第二，可以使用第一图像数据，方法是，从第一图像数据中计算与中断相应的、作为数学上精确的第二重建的基础的投影数据。如果识别到检查对象的衰减分布，那么可以计算在CT扫描时必须获得的那些测量数据。在投影数据的这种计算时使用CT测量的物理模型。

第三，可以使用第一图像数据，方法是，从第一图像数据中计算作为数学上精确的第二重建的基础的Hilbert变换。这种过程特别具有优点的是，第二图像重建以计算Hilbert反变换为基础。

依据本发明的进一步构成，通过除了别的之外至少使用Tam-Danielsson窗外部的其他测量数据，进行第三图像数据的数学上精确的第三重建，其中，通过使用现有的测量数据和/或第一图像数据补偿测量数据的中断。然后将第一图像数据和第二图像数据以及第三图像数据加以组合。包括中断补偿在内的第三图像数据的测定最好按照与第二图像数据相同的方式进行。有益的是为第三图像重建使用检测器表面上的测量数据的不同于第二图像重建的区域。不言而喻，这种做法也可以用于第三图像数据的第四、第五、第六等数学上精确的重建。

特别简单和有效的是，图像数据，也就是第一图像数据、第二图像数据和需要时还有第三图像数据通过取平均值加以组合。这种取平均值最好按图像点进行。

在本发明的进一步构成中，图像重建，也就是第一和第二以及需要时第三重建是借助微分反投影和随后Hilbert反变换的基于体积的重建。基于体积的图像重建与逐点重建不同，在逐点重建中为感兴趣体积的每个体元素单个计算图像值。在基于体积的图像重建中，同时为整个体积或者至少连续为多个面积进行计算。

对于第一图像数据，最好在由M线形成的第一组表面上，借助微分反投影，对于第二图像数据，在由M线形成的第二组表面上，借助微分反投影，以及需要时对于第三图像数据，在由M线形成的第三组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建。在这种情况下，M线是连接X射线源在其螺旋形轨迹上的确定位置与检测器表面上的确定的点的线。因此为两个或者三个图像重建的每一个定义一组表面，其中，每个表面由一定数量的M线张开。这些组最好这样构成，使其没有共同的表面，也就是说，不存在属于两组或者三组的表面。每组表面最好这样构成，使其覆盖检查对象的感兴趣体积。这一点意味着，如果将一组的所有表面“堆叠”，那么产生的堆叠遍及全部感兴趣体积。感兴趣体积在这种情况下是检查对象的需要通过图像数据成像的那个区域。

在本发明的构成中，第一组中由各个M线形成的每个表面完全在Tam-Danielsson窗的内部击中检测器，第二组中由各个M线形成的每个表面在Tam-Danielsson窗的上面或者下面击中检测器，以及在使用第三组的情况下，第三组中由各个M线形成的每个表面在Tam-Danielsson窗的上面或者下面击中检测器。如果既使用第二组也使用第三组，那么具有优点的是，第二组在Tam-Danielsson窗的上面和第三组在下面击中或者相反。按照这种方式，全部检测器表面得到充分利用。

依据本发明的一种构成，一组的内部所有M线击中相同的检测器行。因此为第一组存在与第一组的所有M线表面相交的确定的检测器行；相应内容适用于第二组和需要时也适用于第三组。在这种情况下具有优点的是，第一组、第二组和需要时还有第三组的这些确定的检测器行彼此不同。这一点也用于有效利用全部检测器面。

具有优点的是，投影到垂直于螺旋运动的纵轴线的平面上的形成表面的所有M线是平行的。此外具有优点的是，在测量数据之间内插数据，使得表面的M线等距。因为测量数据不是连续地、而是在离散的测量时间点上由分立的检测器元素所采集，所以通常根据现有的测量数据可产生的M线是不等距的。可以通过内插法考虑这一点。相应内容也适用于表面M线的平行性。

在本发明的构成中，在不同重建中重建的图像数据被变换到笛卡尔坐标并在该坐标系的内部进行图像数据的组合。

特别具有优点的是，数据采集时这样选择螺旋运动，使Tam-Danielsson窗小于与两个最外面的检测器行的外缘相邻的Tam-Danielsson窗的尺寸。Tam-Danielsson窗相对于最大尺寸的缩小通过缩小节距值得到，相应于测量数据的冗余度的提高。这一点伴随中断照射的效应的变大。在这种情况下，中断的照射典型地对小于一定阈值的所有节距值存在。这种阈值取决于感兴趣体积的直径，典型的阈值在0.75到1.35之间的节距因数范围内变化。本发明特别适用于以小节距值的CT扫描的CT图像重建，特别适用于小于所称阈值的节距值。

依据本发明的控制和计算单元用于从CT***的测量数据中重建检查对象的图像数据。该控制和计算单元包括用于储存程序代码的程序存储器，其中，程序存储器内-需要时除了别的之外-存在适用实施上述类型方法的程序代码。依据本发明的CT***包括这种控制和计算单元。此外可以包括例如采集测量数据所需的其他组成部分。

依据本发明的计算机程序具有程序代码装置，其适用于在计算机上执行计算机程序的情况下实施上述类型的方法。

依据本发明的计算机程序产品包括储存在计算机可读数据载体上的程序代码装置，其适用于在计算机上执行计算机程序的情况下实施上述类型的方法。

附图说明

下面借助实施例对本发明进行详细说明。其中：

图1示出具有图像重建组成部分的计算机断层扫描***的第一示意图；

图2示出具有图像重建组成部分的计算机断层扫描***的第二示意图；

图3示出数据获取的几何式示意图；

图4A和4B示出一个检测器上的TD窗的两个示意图；

图5示出与位置x上的确定的体素相交的三条不同的M线以及X射线源轨迹上的对应反投影区域的示意图；

图6关于X射线源轨迹和检测器表面上的TD窗示意性示出的M线表面；

图7示出三个不同的M线表面；

图8示出用于说明中断的照射的视图。

具体实施方式

图1首先示意示出具有图像重建装置C21的第一计算机断层扫描***C1。处于门架外壳C6内的是这里未示出的封闭门架，上面设置第一X射线管C2及相对的检测器C3。可选地，在这里所示的CT***中，设置第二X射线管C4及相对的检测器C5，从而通过附加可供使用的放射器/检测器组合可以达到更高的时间分辨率，或者在使用不同的X光能量光谱时，放射器/检测器***内也可以进行“双能量(Dual-Energy)”检查。

CT***C1此外具有病床C8，在检查时可以将患者在病床上沿也称为z轴的***轴线C9移动到测量场内。在这种情况下，X射线源C2或C4分别环绕患者旋转。在此，与X射线源C2或C4相对地，检测器C3或C5平行地一起运转，以采集投影测量数据，该投影测量数据然后用于重建剖面图像。在这里进行螺旋扫描，其中在采用X射线的循环扫描期间将患者连续沿***轴线C9移过在X射线管C2或C4与检测器C3或C5之间的检查区。通过患者沿轴线C9的运动和X射线源C2或C4的同时循环，在测量期间在X射线源C2或C4相对于患者的螺旋扫描的情况下形成螺旋轨迹。这种轨迹也可以通过如下实现，即在患者不运动的情况下沿轴线C9移动门架。

CT***C1通过具有存在于存储器内的计算机程序代码Prg₁-Prg_n的控制和计算单元C10控制。从控制和计算单元C10可以通过控制接口24传递采集控制信号AS，以便依据确定的测量协议控制CT***C1。

由检测器C3或C5获取的投影测量数据g(下面也称为原始数据)通过原始数据接口C23传送到控制和计算单元C10。这些原始数据g然后需要时在适当的预处理后在图像重建组成部分C21内被进一步处理。图像重建组成部分C21在该实施例中在控制和计算单元C10内以处理器上的软件方式，例如以一个或者多个计算机程序代码Prg₁-Prg_n的方式实现。由图像重建组成部分C21重建的图像数据f然后寄存在控制和计算单元C10的存储器C22内和/或以常见的方式在控制和计算单元C10的屏幕上输出。它们也可以通过图1中未示出的接口输入到与计算机断层扫描***C1连接的网络内，例如放射信息***(RIS)并寄存在那里可访问的大容量存储器内或者作为图像输出。

控制和计算单元C10作为附加还可以执行EKG功能，其中，导线C12用于在患者与控制和计算单元C10之间传导EKG势能。图1中所示的CT***C1附加还具有造影剂注射器C11，通过其附加可以将造影剂注入患者的血液循环内，从而可以更好显示患者的血管，特别是心脏跳动的心室。此外因此还存在实施同样适用于所提出方法的灌注测量的可能性。

图2示出一个C形架***，其中与图1的CT***不同，外壳C6携带C形架C7，在其上面一方面固定X射线管C2、另一方面固定相对的检测器C3。C形架C7为扫描同样环绕***轴线C9回转，从而可以从大量的扫描角度进行扫描并可以从大量的投影角度中测定相应的投影数据g。图2的C形架***C1与图1中的CT***一样具有图1所述类型的控制和计算单元C10。

本发明可以在图1和2所示的两个***中使用。此外，原则上也可以用于其他CT***，例如具有形成完整一圈检测器的CT***。对后面的说明重要的是，可以进行螺旋形扫描。

下面借助图3介绍数据获取几何式以及其中所使用的符号。所要重建的三维密度分布衰减分布称为f(x)，其中，x＝(x、y、z)是笛卡尔坐标系中的向量。假设，关于检查对象，该笛卡尔坐标系(x、y、z)是固定的并且z轴线与检查对象在X射线源的循环期间相对于CT机运动的方向相应，也就是说，z轴线最后是***轴线，螺旋轨迹沿其在进给方向(正z值的方向)上向前移动。

X射线源相对于检查对象在螺旋轨迹上的运动可以如下描述：

a(λ)＝[R₀cos(λ+λ₀)，R₀sin(λ+λ₀)，z₀+hλ](1)

在此，R₀是X射线源螺旋形运动的半径并且2Πh表示螺旋线的螺距。λ是一个自由变量，其说明X射线源在螺旋轨迹上的位置；X射线源的位置因此可以通过λ的值说明。λ₀和z₀相当于X射线源在起始时间点上的坐标。

下面假定，使用常见的矩形、圆柱体扇形的检测器Det，正如图3示意示出的那样。这种检测器Det具有N_rows个检测器行，分别包括N_cols个检测器元素，它们以半径D围绕环绕圆锥尖(也就是X射线源)共同形成圆柱形扇面。为从数学上描述检测器Det上的相对于对象的位置，也就是检测器元素的相对于对象的位置，可以使用三个环绕z轴线以变量λ旋转的正交单位向量：

e _u(λ)＝[-sin(λ+λ₀)，cos(λ+λ₀)，0](2)

e _v(λ)＝[-cos(λ+λ₀)，-sin(λ+λ₀)，0](3)

e _w＝[0，0，1](4)

它们这样设置，使e _v平行于(x、y)平面并确定从圆锥尖到检测器Det的线方向，该线与z轴线相交。这些直线与检测器Det的交点同时也确定检测器坐标的原点。检测器坐标的其他方向然后通过与z轴线平行的e _w和如下定义的e _u来定义，即，使三个单位向量e _u、e _v、e _w形成三维空间R³的标准正交基。根据所选择的检测器几何式，检测器行到e _u/e _w平面上的投影平行于e _u。

在检测器Det上接收具有等距检测器坐标w和γ的单个检测器像素的测量值。坐标w表示检测器行并在维e _w的方向上计数，而γ则确定检测器列的扇形角度，也就是两个平面，即包含圆锥尖和z轴线的平面与包含圆锥尖和各自检测器列的平面之间的角度。坐标γ的正值相当于检测器坐标系中单位向量e _u的正向。

在这样确定的几何式中，在测量时所采集的数据g可以如下描述：

$g(\mathrm{\λ},\mathrm{\γ},w)=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}f(\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\left(\mathrm{\λ}\right)+t\underset{\‾}{\mathrm{\α}}(\mathrm{\λ},\mathrm{\γ},w))\mathrm{dt}---\left(5\right)$

其中，α(λ，γ，w)描述一个单位向量，该向量从a(λ)指向扇形角度γ上和检测器行w内的检测器元素，也就是说，

$\underset{\‾}{\mathrm{\α}}(\mathrm{\λ},\mathrm{\γ},w)=\frac{(D\sin \mathrm{\γ}{\underset{\‾}{e}}_u\left(\mathrm{\λ}\right)+D\cos \mathrm{\γ}{\underset{\‾}{e}}_v\left(\mathrm{\λ}\right)+w{\underset{\‾}{e}}_w)}{\sqrt{D^2+w^2}}---\left(6\right)$

因此在数据采集中，通过检查对象沿一条从X射线源直至具有坐标γ和w的检测器像素的线形成关于检查对象的衰减分布f的线积分。

Tam-Danielsson窗(TD窗)形成检测器Det内部的如下区域，在该区域内部采集对精确重建所必要和足够的数据。这一点相当于为感兴趣体积的每个体素从180°的投影角度区域中采集数据。该区域说明(Bereichsangabe)意味着，从各自体素的角度出发，该体素由X射线源从不同位置在180°的区域上照射并且辐射到达检测器Det。相反，由检测器像素在TD窗外部检测的数据是冗余数据；它们对精确重建是不需要的。

在图3的几何式中，TD窗的上限w_top和下限w_bottom可以如下描述：

$w_{\mathrm{top}}=\frac{\mathrm{Dh}}{R_0}\frac{\mathrm{\π}/2-\mathrm{\γ}}{\cos \mathrm{\γ}},w_{\mathrm{bottom}}=-\frac{\mathrm{Dh}}{R_0}\frac{\mathrm{\π}/2+\mathrm{\γ}}{\cos \mathrm{\γ}}---\left(7\right)$

图4A示出TD窗在检测器Det表面上的位置。采用QT标注X射线源相对于检查对象运动的螺旋轨迹。为提高概览性，与图3相反未标出单个检测器像素之间的界限。TD窗的上限w_top和下限w_bottom作为在检测器表面上的线标出。TD窗相当于这些线之间的面积。如图4B所示，通过在检测器Det上形成X射线源轨迹QT的投影，获得TD窗。也就是说，如果在螺旋轨迹QT上设置一个确定的点，在图4B中的点λ，并将螺旋轨迹QT的相对部分投影到检测器Det上，那么螺旋轨迹QT处于实际位置λ上面部分的投影是TD窗的上限w_top和螺旋轨迹QT处于实际位置下面部分的投影是TD窗的下限w_bottom。图4B中从点λ开始的射线通过螺旋轨迹QT的相对面延伸，从而其在检测器Det上的击中点是所寻找的投影并因此处于TD窗的上限w_top和下限w_bottom上。

TD窗的重要性例如在C.Bontus，的“ReconstructionAlgorithmsforComputedTomography”，AdvancesinImagingandElectronPhysics，Vol.151，Elsevier2008中有所介绍。

在实施CT数据的反投影之前，具有优点的是首先在伪平行(pseudoparallele)的“楔形(Wedge)”-几何式(Keil(楔形)几何式)内进行所谓的“重排(Rebinning)”。这种方法例如在K.Stierstorfer，A.Rauscher，J.Boese，H.Bruder，S.SchallerandT.Flohr：”WeightedFBP-asimpleapproximate3DFBPalgorithmformultislicespiralCTwithgooddoseusageforarbitrarypitch.”Phys.Med.Biol.，vol/49，pp.2209-2218，2004和D.Heuscher，K.BrownandF.Noo：“Redundantdataandexakthelicalcone-beamreconstruction.”Phys.Med.Biol.，vol.49，pp.2219-2238，2004做了详尽介绍。数学上可以如下描述这种重排：

g_r(θ(λ，γ)，s_r(λ，γ)，w)＝g(λ，γ，w)，(8)

包括重排等式

$\mathrm{\θ}(\mathrm{\λ},\mathrm{\γ})=\mathrm{\λ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}-\mathrm{\λ},s_r(\mathrm{\λ},\mathrm{\γ})=R_0\sin \mathrm{\γ}---\left(9\right)$

其中，变量w保持不变。在这种最后相当于测量数据重新分类的重排中，重要的是将测量数据***实际上在检测器Det上实际测量的数据之间，以便产生具有所要求的几何式的伪X射线(Pseudo-)。在这样设置的几何式中，TD窗TD的上限和下限可以依据等式(7)做如下描述：

$w_{\mathrm{top}}=\frac{\mathrm{Dh}}{R_0}\frac{\mathrm{\π}/2-\arcsin (s_r/R_0)}{\sqrt{1-s_r^2/R_0^2}},w_{\mathrm{bottom}}=\frac{\mathrm{Dh}}{R_0}\frac{\mathrm{\π}/2+\arcsin (s_r/R_0)}{\sqrt{1-s_r^2/R_0^2}}---\left(10\right)$

下面所介绍的方法均可以采用也可以不采用这种重排应用。

现在介绍一种算法，利用该算法可以实施精确的重建。为此首先从-以后取消的-假设出发，为感兴趣体积的每个体素在至少180°的投影角度范围上采集中断的数据。(这一点相当于后面还要详细介绍的假设，即为感兴趣体积的每个体素仅采集中断的数据，也就是说，感兴趣体积每个体素的投影分别仅唯一一次击中检测器或从检测器出来，从而“整块地(amStück)”测量存在的所有数据。)

图5三次示出X射线源的螺旋轨迹QT。采用λ_in和λ_out为三种不同情况标注各自在至少180°投影角度范围上延伸的不中断照射的终点。即，不中断地利用X射线从螺旋轨迹QT上的X射线源位置λ_in一直到螺旋轨迹QT上的X射线源位置λ_out穿透感兴趣体积的体素x，X射线然后击中检测器Det；也就是说，对该整个范围存在体素x在检测器Det上的投影。

如下的X射线源位置采用λ₁来标注，即，在这些X射线源位置的情况下，关于感兴趣体积的体素x所采集的数据进入TD窗，而那些X射线源位置则采用λ₂来标注，即，在那些X射线源位置的情况下，关于体素x所采集的数据从TD窗出来。可以看出，采集超出在λ₁与λ₂之间延伸的区域的数据；这一点相当于TD窗外面的数据。下面介绍如何进行数学上精确的重建，其中也使用TD窗外面的数据。这种数据的应用值得追求，因为由此可以降低图像噪声。这一点意味着，在相同的剂量情况下可以获得更好的图像。

在M线上进行微分反投影。M线是将X射线源位置与检测器Det上的任意点连接的线。为阐述M线上微分反投影(DBP)的方案，下面为体素x在区间[λ_a、λ_b]上的微分反投影使用名称DBP{λ_a、λ_b、x}。也就是说，为所称的反投影使用在X射线源位置λ_a与λ_b之间的区域内获得的数据。

因为在实施反投影之前的上述重排步骤使效率和噪声特性方面得到明显改进，所以这种微分反投影最好在依据方程式(8)定义的重排的几何式中实施。类似于上述的名称，在该几何式内采用DBP_r(θ_a，θ_b，x}标注在体素x上在区间[θ_a，θ_b]上重排的测量值g_r(θ、s_r、w)的微分反投影。于是反投影方程式为：

${\mathrm{DBP}}_r\{{\mathrm{\θ}}_a,{\mathrm{\θ}}_b,\underset{\‾}{x}\}={\∫}_{\mathrm{\θa}}^{\mathrm{\θb}}{g}_b(\mathrm{\θ},s_r^{*}(\mathrm{\θ},x),w^{*}(\mathrm{\θ},x))\mathrm{d\θ},---\left(11\right)$

其中，

$g_d(\mathrm{\θ},s_r,w)=\frac{D}{\sqrt{D^2+w^2}}\frac{\∂}{{\∂s}_r}{g}_r(\mathrm{\θ},s_r,w),---\left(12\right)$

$s_r^{*}(\mathrm{\θ},\underset{\‾}{x})=x\cos (\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)+y\sin (\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)$ 以及(13)

$w^{*}(\mathrm{\θ},\underset{\‾}{x})=\frac{D(z-z_0-h(\mathrm{\θ}-\mathrm{\π}/2+\arcsin (s_r^{*}/R_0)))}{y\cos (\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)-x\sin (\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)+\sqrt{R_0^2-s_r^{*2}}}---\left(14\right)$

数学上微分反投影的两个变形(没有重排和有重排)通过方程式

DBP{λ_a，λ_b，x}＝DBP_r{θ^*(λ_a，x)，θ^*(λ_b，x)，x)(15)

关联，其中

${\mathrm{\θ}}^{*}(\mathrm{\λ},\underset{\‾}{x})=\mathrm{\λ}+\frac{\mathrm{\π}}{2}-{\mathrm{\γ}}^{*}(\mathrm{\λ},\underset{\‾}{x})---\left(16\right)$

(参见方程式(9))以及

${\mathrm{\γ}}^{*}(\mathrm{\λ},\underset{\‾}{x})=\arctan \left(\frac{y\cos (\mathrm{\λ}+{\mathrm{\λ}}_0)-x\sin (\mathrm{\λ}+{\mathrm{\λ}}_0)}{R_0-x\cos (\mathrm{\λ}+{\mathrm{\λ}}_0)-y\sin (\mathrm{\λ}+{\mathrm{\λ}}_0)}\right)---\left(17\right)$

与使用微分反投影的哪个变形无关，也就是事先是否实施重排无关，反投影的结果不是显示所寻找的对象本身(也就是各自重建的体素的衰减值f(x))，而是其沿确定的线(在目前的情况下是沿上面定义的M线)的Hilbert变换。因此反投影之后必须实施Hilbert反变换。因为假定，所寻找的函数f(x)仅在有限的区域上被定义，所以可以毫无问题地实施有限的Hilbert反变换。

Hilbert反变换时的具体做法在文章H.K.Stiersdorfer，F.DennerLein，T.WhiteandF.Noo：“Towardsanefficienttwo-stepHilbertalgorithmforhelicalcone-beamCT.”inProc.2007MeetingonFully3DImageReconstructioninRadiologyandNuclearMedicine(Lindau，Germany)，F.BeckmanandM.Kachelrieβ，Eds.，2007，pp.120-123中有所介绍，文中同样介绍了微分反投影，但是在Π线上。因为Π线形成M线的子集，所以那里所介绍的用于在Π线上反投影和随后的Hilbert反变换的方法也可以类似相应变化的方式用于M线的反投影，从而数学细节方面的内容参见该文献。

下面在体素x的位置上沿单位向量ω所寻找的衰减值f(x)的Hilbert变换采用(Hf)(x，ω)标注，而在方向x上X射线螺旋线上点a(λ)的单位向量则采用ω(λ，x)标注。采用这种标记，M线上的反投影(M线在这种情况下相当于沿单位向量ω的一条线)可以做如下描述：

$\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}({\mathrm{\λ}}_M,\underset{\‾}{x}))=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DBP}\right\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_2,\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_1,\underset{\‾}{x}\left\}\right)--\left(18\right)$

这一点适用于螺旋线内部的每个任意体素x，只要x不中断地照射到λ_M与λ₂之间以及λ_M与λ₁之间的间隔内。

连接源位置a(λ_M)与x的线ML(参见图5)定义Hilbert变换的方向，也就是说，反投影结果取决于λ_M。只有在实施Hilbert反变换后，重建结果数学上才与λ_M的选择无关。在此，不需要λ_M处于通过TD窗限制的在λ₁与λ₂之间的间隔内。仅需要λ_M这样存在，使上述的不中断照射存在。不中断照射的该范围的界限通过λ_in和λ_out给出。与TD窗无关地选择λ_M的可能性表明，在重建时也可以考虑在TD窗TD的外面测量的冗余数据。

图5示出三条不同M线的三个不同起点λ_M，1、λ_M，2、λ_M，3。源轨迹QT的加粗部分在此标出源位置，这些源位置对于与方程式(18)相应的反投影作出贡献。在左面所示的情况下(λ_M＝λ_M，1＜λ₁)，整个反投影间隔从λ_M＝λ_M，1一直延伸到λ₂。如果λ_M处于λ₁与λ₂之间(λ_M，2的中间情况)，那么反投影间隔从λ₁向λ₂延伸。在第三种情况下(右侧)λ_M＝λ_M，3＞λ₂，从而关于从λ₁向λ_M，3的所有λ实施反投影。在中间的情况下，反投影时仅利用来自TD窗的数据。在左侧的情况下，为反投影也考虑TD窗下面和在右侧的情况下也考虑TD窗上面的冗余数据。

但单个体素的这种反投影并非有效。因此实施基于体积的重建。这一点通过同时处理平行M线的整束(ganzeSchar)进行。为此将所要求的整体待重建的体积V划分为一堆叠的表面，这些表面分别通过一组彼此成对平行的M线形成。

图6示出由大量平行的M线ML张开的M线表面。每条M线ML在相同的检测器行w_surf内击中检测器Det。检测器Det的不同行在图6中通过点状线彼此分开。在被投影到x-y平面上的情况下，M线表面的M线ML等距并彼此平行。对于一个确定的M线表面仅存在一条与z轴线相交的M线ML。该M线的λ值采用λ_surf标注。通过在w_surf恒定的情况下λ_surf从-∞到+∞(或者也在更窄限制的区域上)变化，获得一堆叠覆盖整个感兴趣体积的圆盘(Scheiben)。因此首先选取一个检测器行(其然后被称为w_surf)并在通过λ的变化产生的所有M线表面上实施重建。按照这种方式重建整个感兴趣体积。

这一过程不仅对于一个检测器行并因此唯一的w_surf进行，而且对于多个检测器行进行。图7示出对于不同的w_surf的M线表面。那里示出三种变化，其中，源轨迹QT、检测器面Det以及在其上通过源轨迹QT的投影而形成的Tam-Danielsson窗TD，分别借助上限w_top和下限w_bottom标注。三个M线表面的每一个在此的特征在于，检测器行w_surf，在该检测器行w_surf上相关表面与检测器Det相交，以及在于源轨迹QT上的位置λ_surf给出的M线ML的方向。在这种情况下是与z轴线相交的中心M线ML。

正如上面已经介绍的那样，在w_surf确定的情况下可以改变对于λ的数值，以便因此通过一组M线显示整个感兴趣体积。这一点为图7所示的所选取的三个检测器行w_surf的每一个进行。因此存在三组M线表面-其中图7仅示出每组中各自一个M线表面-，它们可以分别用于感兴趣体积的图像重建。

图7中间示出一种情况，其中由M线ML形成的表面在全部处于TD窗内的检测器行w_surf上与检测器相交。左侧示出一种情况，其中检测器行w_surf处于TD窗上面，确切地说处于检测器Det的上缘上，也就是最上面的检测器行上。右侧示出相反的情况，其中M线ML这样选择，使由其形成的表面处于检测器Det的下缘上，也就是落在最下面的检测器行w_surf并因此处于TD窗下面。在此，通过阴影线各自标出检测器区，在基于体积的反投影时考虑该检测器区中的测量数据。对此很容易看出，左侧的情况下使用TD窗上面区域中的冗余数据，在中间的情况下仅使用TD窗中的数据，而在右侧的情况下则使用TD窗下面检测器区中的冗余数据。如果将这一点与图5的图示对照，那么图7中间的情况相当于图5的中间情况，图7的左侧情况相当于图5的左侧情况，而图7的右侧情况则相当于图5的右侧情况。

特别具有优点的是，如图7示意示出的那样选择三个表面。也就是说，关于表面的三个不同堆叠(Stapel)实施体积的反投影，其中，这样选择第一表面堆叠，使这些表面分别直接击中检测器Det的下缘。为第二反投影或重建选择一个表面堆叠，使这些表面恰好处于TD窗内，并为第三反投影选择一个表面堆叠，使这些表面处于检测器Det上缘TD窗的上面。由此考虑了，尽可能充分利用高数量的冗余数据和由此检测器Det。

为进行反投影，在通过M线定义的表面上(参见图6)利用正交坐标网(s、τ)定义各个体素，该坐标网随同M线的方向沿源轨迹QT旋转。沿后面的正交轴线测量坐标s和τ：

换句话说，M线在x/y平面上的投影是与单位向量e _τ平行的线。这些线处于与原点的距离s(基于符号)内，其中，在e _s方向上正地测量s并且τ是沿M线在x/y平面上投影的坐标。M线表面上点(s、τ)的笛卡尔位置然后由此产生：

x＝-ssin(λ_surf+λ₀)-τcos(λ_surf+λ₀)(21)

y＝-scos(λ_surf+λ₀)-τsin(λ_surf+λ₀)(22)

$z=z_0+h({\mathrm{\λ}}_{\mathrm{surf}}+\arcsin \left(\frac{s}{R_0}\right))+\frac{\mathrm{\τ}+\sqrt{R_0^2-s^2}}{D_R}\·w_{\mathrm{surf}}---\left(23\right)$

为在大小(△x、△y、△z)的体素的笛卡尔坐标网上重建所要求的体积V(x)，现在首先假设w_surf的恒定值并且然后计算利用M线表面覆盖整个体积V所需的λ_surf值的范围。此后在该范围内部形成M线表面，其中，其距离为

△λ_surf＝△z/h(24)

然后在使用方程式(18)的情况下在这些表面上实施反投影，随后进行Hilbert反变换。

随后在使用内插法的情况下换算成笛卡尔坐标。这种内插法分两个步骤进行。首先，在使用方程式(21)和(22)的情况下将(s、τ、λ_surf)坐标网(Gitter)***中间坐标系(x、y、λ_surf)，以及最后利用方程式(23)换算或***笛卡尔坐标网。

相同体积的这种重建进行三次，也就是说，利用三个不同组的M线表面进行(一次如图7左侧所示利用TD窗内部的表面，一次如图7中间所示利用TD窗内中间的表面和一次如图7右侧所示利用Tam-Danielsson窗上面的表面)。由此重建三个体图像f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)。这些体图像然后通过

$\tilde{f}\left(\underset{\‾}{x}\right)=\frac{f_1\left(\underset{\‾}{x}\right)+f_2\left(\underset{\‾}{x}\right)+f_3\left(\underset{\‾}{x}\right)}{3}---\left(25\right)$

取平均值，以便这样建立感兴趣体积的最终重建f(x)。

依据方程式(25)，从三次重建中在位置x上对每个单个体素的衰减值取平均值，也就是说，从中形成平均的衰减值。按照这种方式，形成待重建的体积V(x)所期望的衰减分布不言而喻，这种平均值形成也可以加权进行。例如，仅来自TD窗中的数据的重建可以比还含有冗余数据的重建更强加权进行。它也可以将三个体图像f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)按其他类型共同处理成一个最终图像

采用这种方法提供一种重建方法，其在数学上精确并因此在具有非常多检测器行的检测器情况下，也能避免通过X射线辐射的圆锥形引起的伪影。尽管如此通过利用冗余数据达到明显降低影响噪声的目的并因此所加入的剂量得到完全利用。根据按方程式(25)取平均值得到降低噪声。

开头假设体素x不中断地受到照射，即存在来自在180°的投影角度范围上的全部测量数据。但在中断的照射(英语：interruptedillumination)的情况下却不是这种情况。“中断的照射”的表述描述这种情况，即体素x仅在不相交的范围期间从在180°的投影角度范围上受到不中断照射。体素的投影因此在X射线源轨迹的确定λ值时进入检测器区，在后面的λ值时重新离开该检测器区，以便然后重新进入该检测器区。

图8示意示出中断的照射。可以看出检测器Det和处于下限w_bottom与上限w_top之间的TD窗。检测器Der的不同行通过点状线彼此分开。曲线PP是体素x在检测器Der上的投影；获得这种投影PP的方法是，将X射线源的实际位置与体素的位置x连接并确定该连接线在检测器Det上的击中位置。投影PP因此与其他附图的X射线源轨迹QT并不相应。

在X射线源位置λ_a上，体素x的投影第一次进入检测器Det；从该时间点起，因此开始与体素x相关的数据的采集。在X射线源位置λ_o1与λ_i1之间，投影又处于检测器Det的外面。这一点相当于中断的照射的间隔。从X射线源位置λ_i1起，投影PP又在检测器Det内部延伸，而在X射线源位置λ₁上达到TD窗。在X射线源位置λ₂上又离开TD窗。在投影PP在X射线源位置λ_b上最终离开检测器Det之前，处于X射线源位置λ_o2与λ_i2之间的是中断的照射的第二间隔。

是否出现中断的照射取决于节距因数的选择。该因数作为

$p=2\mathrm{\πh}\frac{D}{R_0{N}_{\mathrm{rows}}\mathrm{\Δw}}---\left(26\right)$

定义，其中2Πh为螺旋轨迹的螺距，D为X射线源与检测器Det之间的距离，N_rows为检测器行的数量并且△w为每个检测器行的伸展。从节距因数因此可以看出，X射线源每转一圈在z方向上运动检测器宽度的多少倍。

存在节距因数值，在该节距因数的情况下在X射线源位置λ_a与λ_b之间进行连续照射；也就是说，与图8的图示相反在这些节距值的情况下不出现中断照射的间隔。这些节距值处于两个极限节距值p_min与p_max之间，其中

和 $p_{\max }=\mathrm{\π}\frac{N_{\mathrm{rows}}-1}{N_{\mathrm{rows}}}\frac{\cos \left({\mathrm{\γ}}_{\max }\right)}{\mathrm{\π}/2+{\mathrm{\γ}}_{\max }}---\left(27\right)$

在这种情况下，γ_max是与几何式相关，γ的最大可能的数值，参见图3。开头采取的不进行不中断照射的假设因此相当于假设在p_min与p_max之间的极限内的节距值的情况下进行CT数据采集。而下面观察的情况相反，节距低于该范围的数值。出于这一原因，会导致图8所示的中断的照射。中断的照射的效应随着节距的下降而增加。

对于高于p_max的节距值来说，TD窗部分处于检测器的外面。因此并非对所有体素都存在在至少180°投影角度范围上的原始数据，因此不能进行稳定的数学上精确的重建。因此下面不考虑这些大的节距值。

在X射线源位置λ₁与λ₂之间的间隔内可以不进行中断照射。根据几何考虑和TD窗的定义可以表明，任意体素的投影pp-与节距无关-仅一次进入TD窗或仅一次离开该窗。因为TD窗完全处于检测器极限的内部，所以投影pp只要处于TD窗的内部，它因此就不能离开检测器。(对于这种相互联系的来源：H.K.Stierstorfer，F.Noo：”AccuratehelicalCTreconstructionwithredundantdata”，PhysicsinMedicineandBiology，2009.)

这一点对与图7和最大节距相关介绍的应用来说是重要的：在图7的中间情况下，仅使用来自TD窗的数据；TD窗内部w_suef的重建对于采用中断照射的CT扫描来说因此毫无问题。因为中断照射不涉及TD窗，所以提供不中断的数据可供重建使用。图像重建f₁因此在中断照射的情况下也可以无上述改变进行。

但对于图7左侧和右侧的情况来说却是另一种情况。在这里检测器行w_surf这样选取，使其处于TD窗的外面。借助图8可以看出，在这些数据的内部会出现中断照射。这一点意味着，对于图像重建f₂和f₃来说，并非对于所有投影角度都存在与体素x相关的测量数据，这些测量数据可以用于重建。

为了尽管如此还可以对于图7左侧情况(与f₂相应)和对于图7右侧情况(与f₃相应)实施图像重建，为中断照射范围内缺失的测量数据进行补偿。对于图7左侧的情况来说，这一点是X射线源位置λ₀₁与λ_i1之间的数据(参见图8)，而对于图7右侧的情况来说，这一点是X射线源位置λ₀₂与λ_i2之间的数据(参见图8)。对这种补偿例如提出三种可能性。

首先，由于中断照射而缺失的数据可以被赋予最上面(图7左侧的情况)或最下面(图7右侧的情况)检测器行的数据。这一点大致相当于检测器Det向上或向下的无尽延续。物理上不存在的行采用最近的物理上存在行的数据填充。相应内容当然也适用于如下变化，即作为对w_surf在图7的左侧和右侧情况下的替换，不是使用最上面或最下面，而是使用其他检测器行。

第二种可能性是，从所计算的图像f₁中通过正向投影确定测量数据。这种情况也相当于检测器向上和向下的无尽延续，但物理上不存在行的数据从所计算的重建f₁中获取。但这一方面要求正向投影步骤以计算缺失的数据，并随后进行第二反投影步骤以从所测量的以及所补充的测量数据中计算重建f₂和f₃。

第三种可能性也用于已经计算的图像f₁。适用微分反投影(DBP)与Hilbert变换之间的关系式(对于来源，参见公开文献J.Pack，F.NooandR.Clackdoyle：“Cone-beamreconstructionusingthebackprojectionoflocallyfilteredprojections”IEEETrans.Med.Imag.，vol.24，no.1.pp.70-85，Jan.2005)，上面已经作为方程式(18)引用：

$\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},{\mathrm{\λ}}_M)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DBP}\right\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_2,\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_1,\underset{\‾}{x}\left\}\right)---\left(18\right)$

为这种情况考虑方程式(18)，即显示检测器Det上端的M线(图7左侧的情况)，从而出现不中断的照射，也就是λ_M≡λ_a＜λ₁。依据图8，λ_o1和λ_i1是中断照射间隔的起点和终点。方程式(18)右侧上两项的每一项可以作为三项的总和描述：

DBP{λ_M，λ₂，x}＝DBP{λ_M，λ₀₁，x}+DBP{λ₀₁，λ_i1，x}+DBP{λ_i1，λ₂，x}(28)

DBP{λ_M，λ₁，x}＝DBP{λ_M，λ₀₁，x}+DBP{λ₀₁，λ_i1，x}+DBP{λ_i1，λ，x}(29)

在这种情况下，可以直接从存在的测量数据中计算出方程式(28)和(29)右侧上的第一项和第三项。但这一点却不适用仅涉及中断照射间隔的中间项。

此外有(对于来源，参见公开文献J.Pack，F.NooandR.Clackdoyle：“Cone-beamreconstructionusingthebackprojectionoflocallyfilteredprojections”IEEETrans.Med.Imag.，vol.24，no.1.pp.70-85，Jan.2005)

DBP{λ_i，λ₀，x}＝(Hf)(x，λ₀)-(Hf)(x，λ_i)(30)

如果将两个方程式(28)和(29)代入方程式(18)并在这种情况下为方程式(28)和(29)右侧上的第二项使用按方程式(30)的关系式，也就是说，取代微分反投影使用Hilbert反变换，那么获得：

$\begin{array}{c}\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}({\mathrm{\λ}}_M,\underset{\‾}{x}))-\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},{\mathrm{\λ}}_{i1})+\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},{\mathrm{\λ}}_{01})=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DBP}\right\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_{01},\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_{i1},{\mathrm{\λ}}_2,\underset{\‾}{x}\}+\\ \mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_{01},\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_{I1},{\mathrm{\λ}}_1,\underset{\‾}{x}\})\end{array}---\left(31\right)$

处于方程式(31)左侧上的是两个未知数：(Hf)(x，λ_i1)和(Hf)(x，λ₀₁)。这两个未知数可以直接从已经计算出的图像f₁中获得。为此从重建的体积f₁中沿着由源点λ_i1或由源点λ_i2在体素x的方向上示出的M线提取或者内插数值。随后各自实施沿该线的前向Hilbert变换。两个缺失的数值(Hf)(x，λ_i1)知(Hf)(x，λ₀₁)是这种Hilbert变换的结果。

方程式(31)右侧上的四个表达式可以直接从所测量的数据中计算。正如借助图8可看到的那样，对重要的间隔[λ_M，λ₀₁]、[λ_i1，λ₂]、[λ_i1，λ₁](参见上面：λ_M≡λ_a)存在连续和无中断的测量数据。

现在可以计算方程式(31)右侧上的四项和从图像f₁中获得的项(Hf)(x，λ_i1)-(Hf)(x，λ₀₁)的Hilbert反变换。按照这种方式获得图像f₂。

最后介绍的用于补充由于中断照射缺失的测量数据的第三种可能性优于第二种可能性，因为首先提到的仅需从图像f₁中计算两个Hilbert变换(Hf)(x，λ_i1)和(Hf)(x，λ₀₁)。事先当然必须确定两个间隔结束λ₀₁和λ_i1。它们取决于所观察的体素的位置x。

以与图像f₂类似的方式，在使用已经计算的图像f₁的情况下可以计算图7右侧情况的图像f₃，也就是λ_M≡λ_b。取代方程式(31)在这里获得：

$\begin{array}{c}\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},\underset{\‾}{\mathrm{\ω}}({\mathrm{\λ}}_M,\underset{\‾}{x}))-\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},{\mathrm{\λ}}_{i2})+\left(\mathrm{Hf}\right)(\underset{\‾}{x},{\mathrm{\λ}}_{02})=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DBP}\right\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_{02},\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_{i2},{\mathrm{\λ}}_2,\underset{\‾}{x}\}+\\ \mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_M,{\mathrm{\λ}}_{02},\underset{\‾}{x}\}+\mathrm{DBP}\{{\mathrm{\λ}}_{I2},{\mathrm{\λ}}_1,\underset{\‾}{x}\})\end{array}---\left(32\right)$

根据对中断照射的这种补偿-作为按照上述三种方法之一的替换-现在因此为图7左侧和右侧的情况也存在用于数学上精确重建的完整数据。中断照射的影响因此得到消除。因此如上所述，通过微分反投影和Hilbert反变换进行f₂和f₃的图像重建，据此从f₁、f₂和f₃中通过平均值形成计算得到改进的图像

因此提出一种方法，该方法可以在自由选择节距的情况下在引入TD窗外部的冗余数据的条件下精确重建螺旋CT数据。由此特别是解决螺旋CT中出现的中断照射问题。

前面借助实施例对本发明进行了说明。不言而喻，可以进行大量的变化和修改，而不偏离本发明的框架。特别是取代三个图像重建(这些图像重建然后计算出结果图像)，也可以使用四个或者多个图像重建。

Claims (27)

1.一种用于从测量数据(g)中重建检查对象的图像数据(f)的方法，其中，在计算机断层扫描***(C1)的辐射源(C2、C4)与检查对象之间相对螺旋运动时，由检测器(C3、C5，Det)在其塔姆-丹尼尔森窗的内部和外部采集所述测量数据(g)，其中，由于螺旋运动，塔姆-丹尼尔森窗的外部的测量数据(g)存在中断，其中，

-通过仅使用塔姆-丹尼尔森窗的测量数据，进行第一图像数据(f)的数学上精确的第一重建，

-通过至少使用塔姆-丹尼尔森窗外部的其他测量数据，进行第二图像数据(f)的数学上精确的第二重建，其中，通过使用存在的测量数据(g)和/或第一图像数据(f)和/或从存在的测量数据(g)中重建的其他图像数据(f)，补偿所述测量数据的中断，

-将第一图像数据(f)与第二图像数据(f)进行组合。

2.按权利要求1所述的方法，其中，为补偿，使用存在的测量数据(g)，方法是，从存在的测量数据(g)内插或者外推到中断，该内插或外推作为数学上精确的第二重建的基础。

3.按权利要求1所述的方法，其中，为补偿，使用第一图像数据，方法是，从第一图像数据中计算相应于中断的投影数据，所述投影数据作为数学上精确的第二重建的基础。

4.按权利要求1所述的方法，其中，为补偿，使用第一图像数据，方法是，从第一图像数据中计算作为数学上精确的第二重建的基础的希尔伯特变换。

5.按权利要求1所述的方法，其中，通过实施取平均值将所述图像数据加以组合。

6.按权利要求1所述的方法，其中，所述第一重建和第二重建是借助微分反投影和随后希尔伯特反变换的基于体积的重建。

7.按权利要求6所述的方法，其中，对于所述第一图像数据，在由M线(ML)形成的第一组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建，

对于所述第二图像数据，在由M线(ML)形成的第二组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建。

8.按权利要求7所述的方法，其中，每组表面覆盖检查对象的感兴趣的体积。

9.按权利要求7所述的方法，其中，在第一组中由各自M线(ML)形成的每个表面完全在塔姆-丹尼尔森窗的内部击中检测器(C3、C5，Det)，在第二组中由各自M线(ML)形成的每个表面在塔姆-丹尼尔森窗的上面或者下面击中检测器(C3、C5，Det)。

10.按权利要求7-9之一所述的方法，其中，一组的内部所有M线(ML)击中相同的检测器行(w_surf)。

11.按权利要求7-9之一所述的方法，其中，投影到垂直于螺旋运动的纵轴线(z)的平面上的、形成一个表面的所有M线(ML)平行。

12.按权利要求7-9之一所述的方法，其中，在所述测量数据之间***数据，使得每个表面的M线(ML)等距。

13.按权利要求1-9之一所述的方法，其中，在不同重建中重建的图像数据被变换到笛卡尔式坐标系并在该坐标系的内部进行图像数据的组合。

14.按权利要求1-9之一所述的方法，其中，这样确定螺旋运动，使塔姆-丹尼尔森窗小于与两个最外面的检测器行的外缘相邻的塔姆-丹尼尔森窗的大小。

15.一种用于从测量数据(g)中重建检查对象的图像数据(f)的方法，其中，在计算机断层扫描***(C1)的辐射源(C2、C4)与检查对象之间相对螺旋运动时，由检测器(C3、C5，Det)在其塔姆-丹尼尔森窗的内部和外部采集所述测量数据(g)，其中，由于螺旋运动，塔姆-丹尼尔森窗的外部的测量数据(g)存在中断，其中，

-通过仅使用塔姆-丹尼尔森窗的测量数据，进行第一图像数据(f)的数学上精确的第一重建，

-通过至少使用塔姆-丹尼尔森窗外部的其他测量数据，进行第二图像数据(f)的数学上精确的第二重建，其中，通过使用存在的测量数据(g)和/或第一图像数据(f)和/或从存在的测量数据(g)中重建的其他图像数据(f)，补偿所述测量数据的中断，

-通过至少使用塔姆-丹尼尔森窗外部的其他测量数据，进行第三图像数据的数学上精确的第三重建，其中，通过使用存在的测量数据和/或第一图像数据，补偿测量数据的中断，

-将第一图像数据与第二图像数据和第三图像数据进行组合。

16.按权利要求15所述的方法，其中，通过实施取平均值将所述图像数据加以组合。

17.按权利要求15所述的方法，其中，所述第一重建和第二重建以及第三重建是借助微分反投影和随后希尔伯特反变换的基于体积的重建。

18.按权利要求17所述的方法，其中，对于所述第一图像数据，在由M线(ML)形成的第一组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建，

对于所述第二图像数据，在由M线(ML)形成的第二组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建，

以及对于所述第三图像数据，在由M线(ML)形成的第三组表面上，借助微分反投影，进行基于体积的重建。

19.按权利要求18所述的方法，其中，每组表面覆盖检查对象的感兴趣的体积。

20.按权利要求18所述的方法，其中，在第一组中由各自M线(ML)形成的每个表面完全在塔姆-丹尼尔森窗的内部击中检测器(C3、C5，Det)，在第二组中由各自M线(ML)形成的每个表面在塔姆-丹尼尔森窗的上面或者下面击中检测器(C3、C5，Det)，在第三组中由各自M线(ML)形成的每个表面在塔姆-丹尼尔森窗的上面或者下面击中检测器(C3、C5，Det)。

21.按权利要求18-20之一所述的方法，其中，一组的内部所有M线(ML)击中相同的检测器行(w_surf)。

22.按权利要求18-20之一所述的方法，其中，投影到垂直于螺旋运动的纵轴线(z)的平面上的、形成一个表面的所有M线(ML)平行。

23.按权利要求18-20之一所述的方法，其中，在所述测量数据之间***数据，使得每个表面的M线(ML)等距。

24.按权利要求15-20之一所述的方法，其中，在不同重建中重建的图像数据被变换到笛卡尔式坐标系并在该坐标系的内部进行图像数据的组合。

25.按权利要求15-20之一所述的方法，其中，这样确定螺旋运动，使塔姆-丹尼尔森窗小于与两个最外面的检测器行的外缘相邻的塔姆-丹尼尔森窗的大小。

26.一种用于从测量数据(g)中重建检查对象的图像数据(f)的装置，其中，在计算机断层扫描***(C1)的辐射源(C2、C4)与检查对象之间相对螺旋运动时，由检测器(C3、C5，Det)在其塔姆-丹尼尔森窗的内部和外部采集所述测量数据(g)，其中，由于螺旋运动，塔姆-丹尼尔森窗的外部的测量数据(g)存在中断，具有：

-用于通过仅使用塔姆-丹尼尔森窗的测量数据，进行第一图像数据(f)的数学上精确的第一重建的部件，

-用于通过至少使用塔姆-丹尼尔森窗外部的其他测量数据，进行第二图像数据(f)的数学上精确的第二重建，其中，通过使用存在的测量数据(g)和/或第一图像数据(f)和/或从存在的测量数据(g)中重建的其他图像数据(f)，补偿所述测量数据的中断的部件，

-用于将第一图像数据(f)与第二图像数据(f)进行组合的部件。

27.一种CT***(C1)，具有按权利要求26所述的装置。