CN101977034A - Backlash自适应滤波器及其对迟滞的建模与补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种Backlash自适应滤波器及其对迟滞的建模与补偿方法，属于迟滞非线性***建模与控制技术领域。本发明的滤波器包括加法器模块、误差计算模块、多个自适应加权模块以及多个相同宽度的Backlash算子模块；整个设计方案避免使用延迟项，只与当前输入有关，同时可以体现迟滞的非线性，并具有更精确的建模效果；其自适应逆控制可以有效补偿压电陶瓷执行器的迟滞分线性。本发明的自适应滤波器以及基于该滤波器的建模和自适应逆控制方法可以应用于具有迟滞非线性特性的***，例如磁致伸缩材料，励磁电机以及压电晶片和压电陶瓷等智能材料。

Description

Backlash自适应滤波器及其对迟滞的建模与补偿方法

技术领域

本发明涉及一种Backlash自适应滤波器及其对迟滞的建模与补偿方法，属于迟滞非线性***建模与控制技术领域。

背景技术

迟滞非线性现象存在于很多现实***当中，如磁致伸缩材料，励磁电机，压电晶片和压电陶瓷等***。非线性特性的存在使这些***重复性降低，瞬态响应速度变慢，可控性变差。迟滞具有多映射性以及记忆性，这使得经典控制理论和现代控制理论都难以对其实施有效控制。所以需要提出特定的建模与控制方法解决该领域的问题。

要对迟滞进行补偿以实现迟滞非线性***的精确控制，首先需要建立精确地迟滞模型，然后在模型的基础上提出控制补偿方法。

对于迟滞非线性对象，目前Krasnoselskii-Pokrovskii(KP)模型、Jiles-Atherton(JA)模型、Preisach模型、Duhem模型、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型等多种迟滞建模方法已被提出，目前存在的建模方法大都实现较复杂，不利于实际应用。PI模型用斜坡函数特性的迟滞元进行叠加来逼近迟滞特性，由于其结构简单，可以解析的求逆，较多地应用于实时控制。基于Backlash迟滞算子的迟滞模型属于PI模型，这种模型由一系列Backlash算子加权叠加组成。为补偿迟滞的不良影响，目前所提出的Backlash迟滞补偿方法大多通过建立迟滞的Backlash逆模型并将其与迟滞***串联以抵消迟滞非线性。这类方法所采用的Backlash算子迟滞特性参数的确认缺乏有效手段，模型结构采用类似神经网络结构，实现比较复杂，网络学习存在局部最优问题。

自适应逆控制由美国斯坦福大学B.Widrow首先提出的一种自适应信号处理和控制方法，这种方法采用数字信号处理中常用的横向滤波器结构，由可变加权的抽头延迟线、一个加法器和一个自适应过程所构成。这些权系数的输入信号就是在各延迟抽头线上的信号，用一个加法器将这些加权后的信号相加，再由一个LMS自适应过程自动搜寻调节这些权系数。它用被控对象的逆作为串联控制器来对***的动态特性做开环补偿，避免了反馈可能引起的不稳定问题，同时实现了动态特性控制与扰动补偿的分开处理。该方法结构简单，计算速度快，自适应能力强，非常便于计算机模拟以及硬件实现。但是对迟滞非线性对象进行建模与控制的精度较差。为此，在线性滤波器的结构基础上加入平方项构成非线性横向滤波器，但是其结构计算复杂，不便于实现，迟滞建模精度改善不大。

发明内容

本发明的目的是为解决压电非线性迟滞***的建模与控制的技术问题，针对时间延迟线横向滤波器、加入平方项的非线性滤波器等迟滞建模与补偿控制方法精度以及可实现性不足的问题，结合Backlash迟滞建模的特点和自适应逆控制的横向滤波器结构简单适应性强的优点，提出一种Backlash自适应滤波器及其对迟滞的建模与补偿方法。

Backlash自适应滤波器组成包括加法器模块、误差计算模块、多个自适应加权模块以及多个相同宽度的Backlash算子模块。其中，多个相同宽度的Backlash算子模块形成串联结构，滤波器的信号输入端与第一个Backlash算子模块相连；串联的相邻两个Backlash算子模块之间的信号被引出，连接到一个自适应加权模块的输入端；每个自适应加权模块的输出连接加法器模块的输入端；加法器模块的输出作为整个滤波器的输出，同时与误差计算模块的一个输入相连，误差计算模块的另一个输入是滤波器的期望输出信号即目标信号；误差计算模块的输出连接到各个自适应加权模块。

加法器模块的功能为将各个算子的加权值叠加得到滤波器输出：P_ri[x(k)]表示串联Backlash算子结构中的第i个算子的输出，w_i表示第i个加权模块的值。每个Backlash算子的宽度为r。x(k)表示k时刻滤波器的输入信号。

误差计算模块的功能为计算期望输出y(k)与实际滤波器输出y′(k)的误差e(k)＝y(k)-y′(k)，其结果供调整自适应加权模块的自适应权值使用。

自适应加权模块有多个。各个加权模块的自适应权值根据期望输出与实际滤波器输出的误差，即误差计算模块的输出进行实时调整。调整原则为最小均方(LMS)自适应算法，其具体过程为：计算滤波器输出y′(k)与期望输出y(k)的误差

最小均方差ξ＝E[e²(k)]。LMS能利用性能曲面的梯度来寻找它的最小值，权向量上的每一步变化都正比于梯度向量的负值：

为梯度向量，标量参数μ是收敛因子，它控制了稳定性和自适应速率，μ越大收敛速度越快。取ε²(k)作为均方误差E[ε²(k)]的估计值，可得此时权向量的递推表达式：

W(k+1)＝W(k)+2·μ·e(k)P_r(k)

其中，W(k+1)，W(k)分别是(k+1)时刻与(k)时刻的权值向量，W(k)＝[w₀(k)，w₁(k)...w_n(k)]。μ是收敛因子，P_r(k)是Backlash算子串联结构输出向量，P_r(k)＝[P_r0(k)，P_r1(k)...P_rn(k)]。

本滤波器采用若干个相同宽度的Backlash算子串联的结构，为硬件实现奠定了基础，避免不同宽度的Backlash算子在硬件实现时的复杂性。在对整个滤波器的输入进行归一化处理、输出进行反归一化处理的情况下，每个Backlash算子的宽度r由所选用的Backlash算子的个数n决定：

串联结构中各个Backlash算子模块的输出的计算方法为：

k时刻滤波器的输入信号x(k)经过一个宽度为r的Backlash算子模块的输出P_r1[x(k)]为：

$P_{r1}=\left[x\left(k\right)\right]=\left\{\begin{array}{cc}x\left(k\right)-r& x\left(k\right)>x(k-1)\&P_{r1}\left[x(k-1)\right]\&le;x(k-1)-r\\ x\left(k\right)+r& x\left(k\right)<x(k-1)\&P_{r1}\left[x(k-1)\right]\&GreaterEqual;x(k-1)+r\\ P_{r1}\left[x(k-1)\right]& \mathrm{others}\end{array}\right.---\left(1\right)$

k时刻滤波器的输入x(k)经过i个宽度为r的Backlash算子模块串联结构后的输出P_ri[x(k)]为：

$P_{\mathrm{ri}}\left[x\left(k\right)\right]=\left\{\begin{array}{cc}x\left(k\right)-r\&CenterDot;i& x\left(k\right)>x(k-1)\mathrm{and}{P}_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]\&le;x(k-1)-r\&CenterDot;i\\ x\left(k\right)+r\&CenterDot;i& x\left(k\right)<x(k-1)\mathrm{and}{P}_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]\&GreaterEqual;x(k-1)+r\&CenterDot;i\\ P_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]& \mathrm{others}\end{array}\right.---\left(2\right)$

利用本发明的Backlash自适应滤波器对迟滞的建模方法为：

步骤1，搭建迟滞***的自适应建模***。将建模信号同时连接实际迟滞非线性***的输入端以及Backlash自适应滤波器的信号输入端。将具有扰动信号输入的实际迟滞非线性***与Backlash自适应滤波器的输出信号分别输入减法器。减法器的输出经自适应算法计算后连接到Backlash自适应滤波器的期望输出信号输入端。

步骤2，搭建好建模***后，随机给定加权模块的值W(0)＝[w₀(0)，w₁(0)...w_n(0)]，将第一个建模信号输入自适应建模***，Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构输出向量：P_r(0)＝[P_r0(0)，P_r1(0)...P_rn(0)]，相应减法器的输出e(0)＝y(0)-y′(0)被用来按照LMS算法调节加权模块的权值：W(0)＝W(0)+2·μ·e(0)P_r[y(0)]。

步骤3，输入下一个建模信号，根据Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构实时的输出以及此时减法器的输出e(k)＝y(k)-y′(k)，在上一时刻加权模块的基础上，按照LMS算法更新权值，重复此过程，k时刻的更新方法为：W(k+1)＝W(k)+2·μ·e(k)P_r[y(k)]

步骤4，重复步骤3直至误差不再下降并保持一段时间，使得对于同样的输入信号，本发明的Backlash自适应滤波器的输出尽可能的逼近实际迟滞非线性***的输出，以保证本发明的的Backlash自适应滤波器能够精确的模拟实际迟滞非线性***。

利用本发明的Backlash自适应滤波器对迟滞的补偿方法为：

步骤1，搭建迟滞***的自适应逆控制***。指令输入信号与Backlash自适应滤波器的滤波信号输入端相连，Backlash自适应滤波器的输出端与实际迟滞非线性***相连，将指令输入信号与实际迟滞非线性***的输出信号分别输入减法器。减法器的输出经自适应算法后连接到Backlash自适应滤波器的期望输出信号输入端。

步骤2，在步骤1搭建的自适应逆控制***的基础上，随机给定加权模块的值W(0)＝[w₀(0)，w₁(0)...w_n(0)]，将第一个指令输入信号输入自适应逆控制***，Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构输出向量：P_r(0)＝[P_r0(0)，P_r1(0)...P_rn(0)]，相应减法器的输出e(0)＝v(0)-v′(0)，v(0)，v′(0)分别为初始给定信号和非线性***的输出信号。被用来按照LMS算法调节加权模块的值：W(0)＝W(0)+2·μ·e(0)P_r[v(0)]。

步骤3，输入下一个指令信号，根据Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构此时的输出向量以及此时减法器的输出e(k)＝v(k)-v′(k)，在上一时刻加权模块的基础上，按照LMS算法更新权值，重复此过程，k时刻的更新方法为：W(k+1)＝W(k)+2·μ·e(k)P_r[v(k)]。

步骤4，重复步骤3直至误差不再下降并保持一段时间，使得输出信号以较小的误差跟随给定的输入信号，实现精确的跟踪控制。

有益效果

本发明的Backlash自适应滤波器在横向线性滤波器的结构上进行改进，加入Backlash算子，设计方法简单易行。本发明的滤波器避免使用延迟项，只与当前输入有关，同时可以体现迟滞的非线性。与横向滤波器以及加了平方项的分线性滤波器相比，Backlash自适应滤波器有更精确的建模效果。基于Backlash自适应滤波器的自适应逆控制可以有效补偿压电陶瓷执行器的迟滞非线性。

本发明的Backlash自适应滤波器以及基于该滤波器的建模和自适应逆控制方法可以应用于具有迟滞非线性特性的***，例如压电陶瓷执行器、磁致伸缩执行器、以及励磁电机等。本发明可以对具有迟滞特性的***进行建模和控制，精确地描述非线性***的迟滞特性，并有效地抵消非线性。

附图说明

图1为本发明的Backlash自适应滤波器结构示意图；

图2为具体实施方式中两个Backlash算子串联等价情况示意图；

图3为本发明的Backlash自适应滤波器的建模***示意图；

图4为本发明的Backlash自适应滤波器的自适应逆控制***示意图；

图5为具体实施方式的压电陶瓷执行器实验平台的结构示意图；

图6为具体实施方式的DSP中断程序中Backlash自适应逆控制算法流程

图7为具体实施方式中用于效果对比的两种滤波器的结构示意图，其中(a)为线性前向滤波器的结构示意图，(b)为加入了平方项的非线性滤波器的结构示意图；

图8为具体实施方式中Backlash自适应滤波器与其他滤波器的建模效果图；其中，(a)为采用了线性前向滤波器时的建模情况与误差，(b)为采用了加入平方项的非线性滤波器时的建模情况与误差，(c)为采用了本发明的Backlash自适应滤波器时的建模情况与误差。

图9为具体实施方式中采用基于Backlash自适应滤波器的自适应逆控制方法时跟踪情况以及误差效果图；

图10为具体实施方式中经Backlash自适应滤波器补偿后的输入-输出曲线图。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施例加以进一步说明。

本发明的Backlash自适应滤波器结构如图1所示，包括加法器模块、误差计算模块、多个自适应加权模块以及多个相同宽度的Backlash算子模块。按照式(2)计算各个串联Backlash算子环节的输出。式(2)的有效性证明由以下定理得出。

定理：对于如图2所示串联的宽度分别为r₁和r₂的两个Backlash算子，可以等价为一个宽度为r₁+r₂的Backlash算子。

证明：对于宽度分别为r₁和r₂的两个Backlash算子，其离散形式的传递特性分别为：

$y_1\left(k\right)=P_{r_1}\left[x_1\left(k\right)\right]\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x}_1\left(k\right)-r_1& x_1\left(k\right)>x_1(k-1)\mathrm{and}{P}_{r_1}\left[x_1(k-1)\right]\&le;x_1(k-1)-r_1\\ x_1\left(k\right)+r_1& x_1\left(k\right)<x_1(k-1)\mathrm{and}{P}_{r_1}\left[x_1(k-1)\right]\&GreaterEqual;x_1(k-1)+r_1\\ P_{r_1}\left[x_1(k-1)\right]& \mathrm{others}\end{array}\right.$

和：

$y_2\left(k\right)=P_{r_2}\left[x_2\left(k\right)\right]\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{x}_2\left(k\right)-r_2& x_2\left(k\right)>x_2(k-1)\mathrm{and}{P}_{r_2}\left[x_2(k-1)\right]\&le;x_2(k-1)-r_2\\ x_2\left(k\right)+r_2& x_2\left(k\right)<x_2(k-1)\mathrm{and}{P}_{r_2}\left[x_2(k-1)\right]\&GreaterEqual;x_2(k-1)+r_2\\ P_{r_2}\left[x_2(k-1)\right]& \mathrm{others}\end{array}\right.$

式中x₁和x₂分别为宽度为r₁和r₂的Backlash算子的输入，y₁和y₂分别为输出。

当两个算子如图2串联连接时，有x₁(k)＝x(k)，y₁(k)＝x₂(k)，y(k)＝y₂(k)，为了计算串联后算子的输出y(k)，可以分以下三种情况来讨论：

(1)当x₁(k-1)＜x₁(k)时：

如果y₁(k)≤x₁(k-1)-r₁，则存在y₁(k)＝x₁(k)-r₁

因为Backlash函数是非严格单调递增的，且x₁(k-1)＜x₁(k)

所以y₁(k-1)＜y₁(k)即x₂(k-1)＜x₂(k)

如果y₂(k-1)≤x₂(k-1)-r₂＝x₁(k-1)-r₁-r₂＝x₁(k-1)-(r₁+r₂)

则y₂(k)＝x₂(k)-r₂＝x₁(k)-(r₁+r₂)

(2)x₁(k-1)＞x₁(k)时：

如果y₁(k)≥x₁(k-1)-r₁，则存在y₁(k)＝x₁(k)-r₁

因为Backlash函数是非严格单调递增的，且x₁(k-1)＞x₁(k)

所以y₁(k-1)＞y₁(k)即x₂(k-1)＞x₂(k)

如果y₂(k-1)≥x₂(k-1)-r₂＝x₁(k-1)-r₁-r₂＝x₁(k-1)-(r₁+r₂)

则y₂(k)＝x₂(k)-r₂＝x₁(k)-(r₁+r₂)

(3)其他情况时：y(k)＝y(k-1)

证毕

由以上定理，若两个串联的Backlash算子宽度相等，r₁＝r₂＝r，则等价为一个宽度为2r的Backlash算子。依次类推，i个宽度为r的Backlash算子串联，等价为如下一个宽度为i·r的算子

本发明的Backlash算子模块的输出可以采用发明内容中的输出P_ri[x]的计算公式表示。

本实施例通过在压电陶瓷执行器纳米定位***实验平台上进行实验，以验证本发明提出的Backlash自适应滤波器的建模与补偿效果优于现有技术。

利用本发明的Backlash自适应滤波器对迟滞非线性***进行建模的***示意图如图3所示。其中，本实施例建立的模型中的“非线性***”为压电陶瓷。建立模型时，对于输入的建模信号，将压电陶瓷执行器纳米定位***的输出位移与Backlash自适应滤波器的输出通过减法器求得误差，根据Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构的输出向量，采用LMS算法更新权值，最终求得一组使得本发明的Backlash自适应滤波器能够较精确的逼近压电陶瓷执行器迟滞的权值，建模过程结束。通过实验选择使收敛速度较快且不会导致发散的收敛因子μ＝0.01以及串联Backlash算子的个数n＝60，即宽度

此时的参数是建模结果较为精确。

采用本发明的Backlash自适应滤波器进行自适应逆控制的***结构示意图如图4所示。本发明的Backlash自适应滤波器作为控制器串联于压电陶瓷迟滞非线性***的前面，给定指令输入与压电陶瓷执行器纳米定位***的输出的误差被用来按照LMS算法实时更新Backlash自适应滤波器的自适应权值。本发明的基于Backlash自适应滤波器的自适应逆控制方法能够实时调整权函数，使得非线性输出较精确地跟随指令输入。

按照图4搭建的压电陶瓷执行器纳米定位***实验平台如图5所示，压电陶瓷型号为PST150/7/40VS12，耐压范围为-30～150V，输出位移范围为0-12μm。功率放大与差动放大由HPV系列压电陶瓷驱动电源实现。DSP控制器用TI公司TMS320LF2407做控制器件，数模及模数转换分别是16位的AD669及AD976，控制器通过串口把采集到的数据传给上位机。Backlash自适应滤波器以及自适应逆控制均在DSP中完成。DSP中断服务程序中自适应逆控制的程序流程如图6所示。

运用Backlash自适应滤波器进行建模的效果如图8(c)所示，压电陶瓷实际输出位移与Backlash自适应滤波器的输出进行了比较并列出了误差。采用线性前向滤波器(如图7(a)所示)的建模效果以及采用加入了平方项的非线性滤波器(如图7(b)所示)的建模效果分别如图8(a)和图8(b)所示。

对不同的输入信号进行建模实验，选取四组信号输入压电陶瓷执行器，测量其实际位移输出，比较不同的信号输入情况下，运用不同的模型时建模的平均绝对值误差|e|_ave以及均方MSE差。计算均方差时，从自适应过程进行一段时间后开始，此后最大绝对值误差基本不再减小。表1列出了不同情况下的误差。

表1不同输入信号下的建模误差

可见提出的Backlash自适应滤波器能达到更高的精度，建模平均绝对值误差降低到0.13μm以下。

图9是给定正弦信号时，采用了Backlash自适应滤波器的自适应逆控制的跟随情况。经过五个周期的调节后，最大绝对值误差下降到0.202微米。

图10是衰减正弦波信号输入情况下，经补偿后输出位移跟随给定位移的情况，可以看出，经过补偿后，输出位移可以基本跟随给定位移，迟滞非线性被有效地补偿了。

由以上实验结果可以看出，本发明提出的Backlash自适应滤波器可以达到较好的建模与补偿控制效果。

Claims (7)

1.Backlash自适应滤波器，其特征在于：包括加法器模块、误差计算模块、多个自适应加权模块以及多个相同宽度的Backlash算子模块；其中，多个相同宽度的Backlash算子模块形成串联结构，滤波器的信号输入端与第一个Backlash算子模块相连；串联的相邻两个Backlash算子模块之间的信号被引出，连接到一个自适应加权模块的输入端；每个自适应加权模块的输出连接加法器模块的输入端；加法器模块的输出作为整个滤波器的输出，同时与误差计算模块的一个输入相连，误差计算模块的另一个输入是滤波器的期望输出信号即目标信号；误差计算模块的输出连接到各个自适应加权模块。

2.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：所述的加法器模块将各个Backlash算子的加权值叠加，得到滤波器输出为：

P_ri[x(k)]表示串联Backlash算子结构中的第i个算子的输出，w_i表示第i个加权模块的值；r为每个Backlash算子的宽度；x(k)表示k时刻滤波器的输入信号。

3.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：所述的误差计算模块计算期望输出y(k)与实际滤波器输出y′(k)的误差e(k)＝y(k)-y′(k)，其结果供调整自适应加权模块的自适应权值使用。

4.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：所述的自适应加权模块有多个；各个自适应加权模块的自适应权值根据期望输出与实际滤波器输出的误差值进行实时调整；调整原则为最小均方自适应算法。

5.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：所述的若干个相同宽度的Backlash算子串联结构；在对整个滤波器的输入进行归一化处理、输出进行反归一化处理的情况下，每个Backlash算子的宽度r由所选用的Backlash算子的个数n决定：

串联结构中各个Backlash算子模块的输出的计算方法为：k时刻滤波器的输入x(k)经过i个宽度为r的Backlash算子模块串联结构后的输出P_ri[x(k)]为：

$P_{\mathrm{ri}}=\left[x\left(k\right)\right]=\left\{\begin{array}{cc}x\left(k\right)-r\&CenterDot;i& x\left(k\right)>x(k-1)\mathrm{and}{P}_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]\&le;x(k-1)-r\&CenterDot;i\\ x\left(k\right)+r\&CenterDot;i& x\left(k\right)<x(k-1)\mathrm{and}{P}_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]\&GreaterEqual;x(k-1)+r\&CenterDot;i\\ P_{\mathrm{ri}}\left[x(k-1)\right]& \mathrm{others}\end{array}\right..$

6.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：利用Backlash自适应滤波器对迟滞的建模方法为：

步骤1，搭建迟滞***的自适应建模***；将建模信号同时连接实际迟滞非线性***的输入端以及Backlash自适应滤波器的信号输入端；将具有扰动信号输入的实际迟滞非线性***与Backlash自适应滤波器的输出信号分别输入减法器；减法器的输出经自适应算法计算后连接到Backlash自适应滤波器的期望输出信号输入端；

步骤2，搭建好建模***后，随机给定加权模块的值W(0)＝[w₀(0)，w₁(0)...w_n(0)]，将第一个建模信号输入自适应建模***，Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构输出向量：P_r(0)＝[P_r0(0)，P_r1(0)...P_rn(0)]，相应减法器的输出e(0)＝y(0)-y′(0)被用来按照最小均方自适应算法调节加权模块的权值：W(0)＝W(0)+2·μ·e(0)P_r[y(0)]；

步骤3，输入下一个建模信号，根据Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构实时的输出以及此时减法器的输出e(k)＝y(k)-y′(k)，在上一时刻加权模块的基础上，按照最小均方自适应算法更新权值，重复此过程，k时刻的更新方法为：W(k+1)＝W(k)+2·μ·e(k)P_r[y(k)]；

步骤4，重复步骤3直至误差不再下降并保持一段时间，使得对于同样的输入信号，本发明的Backlash自适应滤波器的输出尽可能的逼近实际迟滞非线性***的输出，以保证本发明的的Backlash自适应滤波器能够精确的模拟实际迟滞非线性***。

7.根据权利要求1所述的Backlash自适应滤波器，其特征在于：利用Backlash自适应滤波器对迟滞的补偿方法为：

步骤1，搭建迟滞***的自适应逆控制***；指令输入信号与Backlash自适应滤波器的滤波信号输入端相连，Backlash自适应滤波器的输出端与实际迟滞非线性***相连，将指令输入信号与实际迟滞非线性***的输出信号分别输入减法器；减法器的输出经自适应算法后连接到Backlash自适应滤波器的期望输出信号输入端；

步骤2，在步骤1搭建的自适应逆控制***的基础上，随机给定加权模块的值W(0)＝[w₀(0)，w₁(0)...w_n(0)]，将第一个指令输入信号输入自适应逆控制***，Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构输出向量：P_r(0)＝[P_r0(0)，P_r1(0)...P_rn(0)]，相应减法器的输出e(0)＝v(0)-v′(0)，v(0)，v′(0)分别为初始给定信号和非线性***的输出信号；被用来按照最小均方自适应算法调节加权模块的值：W(0)＝W(0)+2·μ·e(0)P_r[v(0)]；

步骤3，输入下一个指令信号，根据Backlash自适应滤波器的Backlash算子串联结构此时的输出向量以及此时减法器的输出e(k)＝v(k)-v′(k)，在上一时刻加权模块的基础上，按照最小均方自适应算法更新权值，重复此过程，k时刻的更新方法为：W(k+1)＝W(k)+2·μ·e(k)P_r[v(k)]；

步骤4，重复步骤3直至误差不再下降并保持一段时间，使得输出信号以较小的误差跟随给定的输入信号，实现精确的跟踪控制。

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